Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Документ'
Диалоги выдающегося русского писателя Валентина Распутина с известным журналистом Виктором Кожемяко, начавшиеся более пятнадцати лет назад, постоянно ...полностью>>
'Документ'
проведения в 2011 году реструктуризации задолженности организаций, осуществляющих деятельность на территории Матвеево-Курганского сельского поселения...полностью>>
'Лекции'
1. Понятие „Сепсис” на протяжении многих веков ассоциировалось с тяжелым общим инфекционным процессом, заканчивающимся, как правило” летальным исходо...полностью>>
'Документ'
Такую неожиданную историческую аналогию по отношению к выходу страны из мирового кризиса провел научный руководитель Государственного университета - В...полностью>>

Непрерывность справа, слева

Главная > Лекция
Сохрани ссылку в одной из сетей:

Лекция 11

§5 Непрерывные функции

  1. Непрерывность в точке и на множестве

f определена на XU(x0). Эта функция называется непрерывной в точке, если

f(x)=f(x0)

Определение непрерывности в точке по Коши

>0>0x X,|x-x0|<: |f(x)-f(x0)|<.

Определение непрерывности в точке по Гейне

xn,{xn}x0, {xn} из области определения: f(xn)=f(x0)

Непрерывность справа, слева.

Непрерывность на [a,b]

Непрерывность на множестве.

  1. Простейшие свойства непрерывных функций

    1. Сумма, разность и произведение двух непрерывных функций в точке. Следствие: Тоже на множестве.

    2. Сохранение знака непрерывной функции: f(x0)>0U(x0):f(x)>f(x0)/2.

    3. f непрерывна в точке x0, g в x0, g(x0)0f/g непрерывна в x0.

    4. |f| непрерывна, если непрерывна f.

    5. Суперпозиция непрерывных функций есть непрерывная функция

f определена в окрестности x0 и непрерывна x0,

g определена в окрестности t0 и непрерывна t0, g(t0)=x0. Тогда в некоторой окрестности тоски t0 определена суперпозиция F(t)=f(g(t)) и непрерывна в т. t0.

Классификация точек разрыва

Если f не является непрерывной в точке x0, то x0 – точка разрыва. В дальнейшем будет предлагать, что f определена в некоторой окрестности x0 ( быть может односторонней).

Опр. Если существуют конечные пределы

f(x0-0)f(x) и f(x0+0)f(x)

и f разрывна в точке x0, то такой разрыв называется разрывом первого рода. Если при этом f(x0-0)=f(x0+0), То разрыв называется устранимым.

Разрыв не первого рода называется разрывом второго года.

Аналогично классифицируются разрывы для функции, определенной в полуокрестности точки.

Например, функция определена на [a,b]. Дать определение в точке a.

  1. Ограниченность непрерывной функции. Теоремы Вейерштрасса.

Лемма. Если {xn}[a,b] и xn=x0, то x0[a,b].

Доказательство. Теорема о переходе к пределу в неравенствах.

Теорема 1(Первая теорема Вейерштрасса). Непрерывная на [a,b] функция f ограничена на [a,b].

Доказательство. Ограниченность: Mx[a,b]:|f(x)|M. Отрицание Mx[a,b]:|f(x)|>M. В частности, nxn[a,b]:|f(xn)|>n. Пусть {}x0, x0[a,b]. Тогда, с одной стороны |f()|>nk, с другой стороны f()f(x0).

Теорема 2. Непрерывная на [a,b] функция f(x) достигает своих точных верхней и точной нижней граней.

Доказательство. M= f(x), nxn:M-1/n<f(xn)M. Пусть x0, x0[a,b], M-1/n<f()Mf(x0)=M.

  1. Теорема о промежуточных значениях непрерывной функции.

Теорема. Если непрерывная на [a,b] функция f(x) принимает на концах промежутка значения разных знаков, то c(a,b):f(c)=0.

Доказательство. Пусть A=f(a)0, B=f(b)0. Последовательное деление отрезка пополам так, что f(an)0f(bn). Тогда

ancbn, bn-an0an=c=bn,

f(an)0f(bn)f(c)0f(c)

Следствие 1. f непрерывна на [a,b], f(a)f(b). Тогда для M из промежутка f(a),f(b) c[a,b]:f(c)=M

Доказательство: A=f(a)<B=f(b), F(x)=f(x)-M

Следствие 2. f непрерывна на [a,b], m=inf f(x), M = sup f(x), тогда множеством значений этой функции будет отрезок [m,M].

  1. Критерий непрерывности монотонной функции.

Теорема. Для того, чтобы монотонная функция f определенная на [a,b] была непрерывна на [a,b] необходимо и достаточно, чтобы множество значений f заполняло целиком отрезок с концами f(a),f(b).

Доказательство.

Лемма. Для монотонно возрастающей на данном отрезке функции существуют: для x0(a,b], и

для x0[a,b).

Доказательство леммы. Положим для некоторого x0(a,b], A=, тогда для x[a,x0):f(x)A и для >0x[a,x0):A-<f(x). Следовательно, для x(x,x0):A-<f(x)A. Таким образом, первое равенство доказано.

Аналогично для предела справа. Для монотонно убывающей функции справедливо похожее утверждение.

Следствие 1. Монотонно убывающая на [a,b] функция имеет конечные односторонние пределы.

Следствие 2. Монотонно убывающая (возрастающая) на [a,b] функция может иметь там лишь разрывы первого рода.

Доказательство критерия. Необходимость уже была доказана ранее ( пункт 4, следствие 2).

Достаточность. Предположим противное. В точке x0 имеется разрыв. Например, f(x0)<f(x0+0). По лемме f(x0+0)=. Имеем f(x)f(x0) при xx0, f(x0) < f(x0+0) f(x) при x>x0. Таким образом, значения между f(x0), f(x0+0) не достигаются.

Аналогично проводится доказательство в случае существования разрыва слева.

Замечание. Для монотонно убывающей функции доказательство проводится заменой f на –f.

  1. Непрерывность обратной функции.

Определение. Пусть f(x) определена на X, Y – множество ее значений. Предположим, что различным значениям x1 и x2 соответствуют различные значения y1 =f(x1), y2=f(x2). Тогда для любого y Y !xX:y=f(x), такое соответствие yx называется обратной функцией и обозначается x=f-1(y).

Теорема ( существование обратной функции у монотонной )

Если y=f(x) строго монотонно возрастает на [a,b] и непрерывна там, то на Y=[f(a),f(b)] существует обратная функция и является непрерывной на этом множестве.

Доказательство. Существование обратной функции следует из монотонности. Кроме того обратная функция также будет монотонной с областью значений [a,b]. Из критерия непрерывности монотонной функции следует ее непрерывность.

  1. Непрерывность элементарных функций.

    1. Непрерывность функции ax, a>0.

a) a>1, ,a=(n+1)n > nn, n<a/n

b) a<1,

Докажем, что (непрерывность в 0)

1 a> 1

Пусть {xk} типа Гейне для 0+0

    1. xk0

    2. xk>0

 nk+ и

далее k.

Аналогично рассматривается случай x0-0. Откуда получаем утверждение для x0.

2 a<1, bx=1/ax, b=1/a>1

2) ax непрерывна .

3). logax непрерывна, как обратная к непрерывной строго монотонной функции.

4). Степенная функция y=x. Докажем непрерывность при x>0. Имеем x=e ln x, далее теорема о непрерывности суперпозиции.

5).

суперпозиция непрерывной и имеющей предел функции. Аналогично доказывается, что

6)

ax -1=y, x=loga(1+y)

x0 y0

7)

(1+x) - 1=y, ln(1+x) = ln(1+y)

8) sin x

|sin x –sin x0|=2|sin(x-x0)/2 cos(x+x0)/2||x-x0|

cos x = sin(x+/2)

tg x, ctg x, arcsin, arcos, arctg, arcctg

9) f=const, x, Pn, Rn.

§6 Равномерная непрерывность

Функция f, определенная на Х называется равномерно непрерывной на Х, если

x,xX,|x-x|<:|f(x)-f(x)|<

Всякая равномерно непрерывная функция на Х непрерывна на Х.

Обратное неверно.

Теорема ( Кантор). Всякая непрерывная на [a,b] функция f равномерно непрерывна на [a,b].

Доказательство. От противного.

0>0>0u,v [a,b],|u-v|<:|f(u)-f(u)|0

=1/n un,vn,| un-vn|<1/n: |f(un)-f(vn)|0 (1)

По Т. Б-В тогда и . В силу непрерывности . Таким образом

, что противоречит (1).



Скачать документ

Похожие документы:

  1. Предел. Непрерывность функций переменные и постоянные величины

    Документ
    В результате измерения физических величин (время, площадь, объем, масса, скорость и т.д.) определяются их числовые значения. Математика занимается величинами, отвлекаясь от их конкретного содержания.
  2. Программа дисциплины «Математический анализ» (2)

    Программа дисциплины
    ЕН.Ф.01 Понятие множества. Операции над множествами. Комплексные числа и многочлены. Понятие окрестности точки. Функциональная зависимость. Графики основных элементарных функций.
  3. Программа дисциплины «математический анализ» (1)

    Программа дисциплины
    Понятие множества. Операции над множествами. Понятие окрестности точки. Функциональная зависимость. Графики основных элементарных функций. Предел числовой последовательности.
  4. Непрерывная реализация программы Национального проекта «Здоровье» по дополнительному профессиональному образованию с января 2006 г для врачей областного центра, центральных районных больниц Тверской области, а также Новгородской области

    Документ
    Организация вновь созданной в академии кафедры внутренних болезней с курсами кардиологии, эндокринологии и гериатрии в 1989 г., на базе которой в 1992 г.
  5. Пособие предназначено для студентов высших технических учебных заведений и может быть использовано преподавателями как в системе профессиональной подготовки, так и в учебном процессе. Научный редактор

    Документ
    Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Санкт-Петербургский государственный горный институт им. Г.В.Плеханова

Другие похожие документы..