Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Программа дисциплины'
Программа составлена на основании Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования в соответствии с требованиями к о...полностью>>
'Документ'
Е. В. Салимова,[a] О. С. Куковинец,[a] В. Г Касрадзе,[a] Ф. З. Галин,[a] А. В. Кучин,[b] Л.П. Карманова,[b] А.А. Королева,[b] Ф.С. Зарудий,[a] Т.А. С...полностью>>
'Урок'
Цели: продолжить знакомство с биографией и творчеством Михаила Афанасьевича Булгакова, выявить особенности творческого метода писателя, философскую на...полностью>>

Программа дисциплины математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения. Дополнительные главы для направления 010500. 62 «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра. 2 курс Автор: д ф. м н. В. А. Гордин

Главная > Программа дисциплины
Сохрани ссылку в одной из сетей:

Министерство экономического развития и торговли

Российской Федерации

Государственный университет -

Высшая школа экономики

Факультет экономики

Программа дисциплины

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ГЛАВЫ

для направления 010500.62 – «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра. 2 курс

Автор: д.ф.-м. н. В.А. Гордин

Рекомендована секцией Одобрена на заседании кафедры

"Математические и статистические высшей математики методы в экономике" факультета экономики

Председатель Зав. кафедрой

__________________А.С. Шведов Ф.Т. Алескеров ________________________________

«_____» _______________ 200 г. «____»_____________________ 200 г.

Утверждена УС факультета

экономики

Ученый секретарь

_________________________________

« ____» ___________________200 г.

Москва

Тематический план учебной дисциплины



н
азвание темы

всего часов

аудиторные часы

самост. работа

лекции

семинары

Модуль 2

42

8

8

26

1

Подпространства линейных пространств: сумма и пересечение линейных подпространств. Формула Грассмана. Трансверсальность подпространств. Метрические пространства (МП). Неравенства Коши-Буняковского, Минковского, Гёльдера. Непрерывные отображения в МП. Открытые и замкнутые множества в МП.

10

2

2

6

2

Нормированные пространства (НП). Клетки Вороного. Линейные операторы в НП. Ограниченность и непрерывность линейного оператора. Норма оператора. Алгебра операторов.

20

4

4

12

3

Обратный оператор в НП. Условия существования ограниченного обратного оператора. Непрерывность и дифференцируемость в НП. Решение операторных уравнений методом Ньютона.

12

2

2

8

Модуль 3

70

16

14

40

4

Топологические пространства. Метризуемые и неметризуемые пространства. Непрерывные отображения топологических пространств. Гомеоморфизмы.

4

1

1

2

5

Кривые и поверхности. Петли. Гомотопия. Фундаментальная группа топологического пространства.

10

2

2

6

6

Многообразия. Замены координат на многообразии. Непрерывные отображения многообразий. Гомеоморфизмы. Классификация в двумерном случае.

10

2

2

6

7

Общее положение и трансверсальность для многообразий. Лемма Сарда. Критические точки отображений. Лемма Морса.

4

1

1

2

8

Интерполяция многочленами и сплайнами

12

3

2

7

9

Квадратурные формулы для вычисления определенных интегралов

9

2

2

5

10

Компактные схемы для вычисления производных и решения краевых задач

12

3

2

7

11

Конечно-разностные уравнения и случайные блуждания

9

2

2

5

Модуль 4

50

10

10

30

12

Особые точки дифференциальных уравнений

17

3

4

10

13

Сингулярные возмущения обыкновенных дифференциальных уравнений.

17

4

3

10

14

Дифференциальные формы. Замена переменных. Внешнее дифференцирование.

10

2

2

6

15

Лемма Стокса.

6

1

1

4

Итого

162

34

32

96

Формы контроля знаний студентов

Промежуточный контроль: домашние работы, контрольная работа.

Итоговый контроль: зачет (задача, решение которой подразумевает использование компьютера, время зачета неопределенное).

Итоговая оценка О по 10-балльной шкале формируется как взвешенная сумма О=0,2*Д +0,3*K+0,5*Э с округлением до целого числа баллов. В формуле Д обозначает среднее от 10-балльных оценок за домашние работы, K   10-балльную оценку за контрольную работу, Э - 10-балльную оценку за зачет или экзамен.

Перевод в 5-балльную шкалу осуществляется по правилу:

• 1 ≤ О ≤ 3 - неудовлетворительно,

• 4 ≤ О ≤ 5 - удовлетворительно,

• 6 ≤ О ≤ 7 - хорошо,

• 8 ≤ O ≤10 -отлично.

Содержание программы

Тема 1. Подпространства линейных пространств. Метрические пространства.

Подпространства линейных пространств: сумма и пересечение линейных подпространств, теорема о размерности суммы подпространств (формула Грассмана). Трансверсальность подпространств. Общее положение прямых и плоскостей в пространстве. Метрические пространства: определение и примеры метрики, мотивация использования разных метрик, неравенства Коши-Буняковского, Минковского, Гёльдера. Непрерывные отображения в метрических пространствах. Открытые и замкнутые множества в метрических пространствах.

Основная литература.

  1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.  М.: Физматлит, 2008.

  2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.  М.: Наука 1976.

  3. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа.  М.: Высшая школа, 1982.

Тема 2. Нормированные пространства.

Нормированные пространства: определение и примеры нормы. Понятие эквивалентных норм. Эквивалентность норм в конечномерном нормированном пространстве. Сходимость по норме. Клетки Вороного. Выпуклые и симметричные множества в линейных пространствах. Линейные операторы в нормированных пространствах: определение и примеры. Ограниченность и непрерывность линейного оператора. Равносильность ограниченности и непрерывности линейного оператора в конечномерном случае. Норма оператора, примеры ограниченных и неограниченных операторов, вычисление норм. Норма матричного оператора в конечномерном евклидовом пространстве. Алгебра операторов. Нормированное пространство ограниченных операторов. Сходимость поточечная и по норме в пространстве операторов.

Основная литература.

  1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.  М.: Физматлит, 2008.

  2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.  М.: Наука 1976.

  3. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа.  М.: Высшая школа, 1982.

Тема 3. Обратный оператор. Решение операторных уравнений.

Обратный оператор в нормированном пространстве (левый и правый обратные операторы). Некоторые достаточные условия существования ограниченного обратного оператора. Непрерывность и дифференцируемость в нормированных пространствах. Сильная производная (производная Фреше). Решение операторных уравнений методом Ньютона.

Основная литература.

  1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.  М.: Наука 1976.

  2. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа.  М.: Высшая школа, 1982.

Тема 4. Топологические пространства.

Топологические пространства: аксиоматика и примеры. Метризуемые и неметризуемые пространства. Непрерывные отображения топологических пространств. Гомеоморфизмы.

Основная литература.

  1. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.  М.: Наука 1976.

  2. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа.  М.: Высшая школа, 1982.

Тема 5. Кривые и поверхности.

Кривые в пространстве, параметризуемые кривые. Касательная к кривой. Длина дуги кривой. Кривизна кривой. Кривые в . Поверхности. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Ориентируемые поверхности. Площадь поверхности. Кривизна поверхности. Петли. Гомотопия. Фундаментальная группа топологического пространства. Пример нестягиваемой петли, гомологичной нулю.

Основная литература.

  1. Тер-Крикоров А.Д., Шабунин М.И. Курс математического анализа. – М.: изд-во МФТИ, 2000.

Тема 6. Многообразия.

Многообразия: определения и примеры. Ориентируемые и неориентируемые многообразия. Замены координат на многообразии. Преобразования векторных полей. Непрерывные отображения многообразий. Гомеоморфизмы. Классификация в двумерном случае. Формулировка гипотезы Пуанкаре и теоремы Перельмана.

Основная литература.

  1. Тер-Крикоров А.Д., Шабунин М.И. Курс математического анализа. – М.: изд-во МФТИ, 2000.

  2. Спивак М. Математический анализ на многообразиях. – М.: Мир, 1968.

  3. Зорич В.А. Математический анализ: учебник. Т.2. – М.: Наука, 1984, 640с.

Тема 7. Критические точки отображений.

Общее положение и трансверсальность для многообразий. Лемма Сарда. Критические точки отображений. Простейшие примеры. Лемма Морса.

Основная литература.

  1. Арнольд В. И., Варченко А. Н., Гусейн-Заде С. М. Особенности дифференцируемых отображений.   М.: Наука, 1982.

  2. Зорич В. А. Математический анализ. Т.2. – М.: Наука, 1984, 640с.

Тема 8. Интерполяция многочленами и сплайнами.

Формула Лагранжа. Интерполяция Эрмита. Аппроксимация Паде и двухточечная рациональная аппроксимация. Устойчивость интерполяции к шумам в исходных данных. Константа Лебега для пространства С. Устойчивость производной интерполянта к шумам. Сплайны, степень и дефект. Размерность пространства интерполяционных сплайнов на данной сетке. Граничные условия. Кубические сплайны дефекта 1. Метод построения. Метод прогонки. Теорема Биркгофа – де Бура (без док.).

Основная литература.

1. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее приложения. М.: Мир, 1972.

2. Гордин В.А. Как это посчитать? М.: МЦНМО, 2005.

3. Гордин В.А. Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики. М.: Физматлит, 2010.

Тема 9. Квадратурные формулы для вычисления определенных интегралов. Формулы прямоугольников и трапеций. Формула Симпсона. Сплайны для интегрирования. Оценка порядка сходимости квадратурной формулы при уменьшении шага сетки. Оценка несобственных интегралов. Интегралы, зависящие о параметра и их оценка. Эллиптический интеграл. Примеры.

Основная литература.

1. Федоренко Р.П. Лекции по вычислительной физике. Долгопрудный. 1994, 2009.

2. Гордин В.А. Как это посчитать? М.: МЦНМО, 2005.

Тема 10. Компактные схемы для вычисления производных и решения краевых задач.

Составление соотношений для коэффициентов компактных схем, аппроксимирующих операторы первого и второго порядка на трехточечном шаблоне. Определение коэффициентов компактных схем. Определение символа соответствующего разностного оператора. Применение прогонки для решения краевых задач для уравнений второго порядка. Периодические условия и периодическая прогонка.

Примеры.

Основная литература.

1. Гордин В.А. Как это посчитать? М.: МЦНМО, 2005.

2. Гордин В.А. Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики. М.: Физматлит, 2010.

Тема 11. Конечно-разностные уравнения и случайные блуждания.

Блуждания на одномерной сетке и вероятность выигрыша в азартной игре. Многомерные блуждания. Оценка предельного положения для марковской цепи. Примеры.

Тема 12. Особые точки дифференциальных уравнений.

Возможность обобщенных решений. Регулярные и иррегулярные особые точки линейных ОДУ. Уравнение Эйлера и его характеристическое уравнение. Метод Фробениуса.

Основная литература.

1. Айнс Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Харьков, Государственное научно-техническое издательство Украины, 1939, 200?.

2. Федорюк М.В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1983.

Дополнительная литература

1. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М., Наука, 1976; Спб. ``Лань'', 2003.

Тема 13. Сингулярные возмущения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Отличие регулярных и сингулярных возмущений. Медленные и быстрые процессы. Фазовые портреты для систем с сингулярным возмущением. Медленные многообразия. Условия срыва траектории. Релаксационные колебания. Примеры.

Основная литература.

1. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М.: Наука, 1975.

Тема 14. Дифференциальные формы.

Дифференциальные формы: определения и примеры. Замена переменных. Внешнее дифференцирование. Когомологии де Рама. Примеры.

Основная литература.

  1. Никольский С.М. Курс математического анализа, т.II: Учебник. – М.: Наука, 1983.

  2. Ботт Р., Ту Л. В. Дифференциальные формы в алгебраической топологии. — М.: Платон, 1997.

  3. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: методы теории гомологий. — М.: Наука, 1984.

  4. де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия. — M.: КомКнига, 2006.

Тема 15. Лемма Стокса.

Лемма Стокса: общая формулировка и частные случаи.

Основная литература.

  1. Никольский С.М. Курс математического анализа, т.II: Учебник. – М.: Наука, 1983.

  2. Ботт Р., Ту Л. В. Дифференциальные формы в алгебраической топологии. — М.: Платон, 1997.

  3. Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: методы теории гомологий. — М.: Наука, 1984.

  4. де Рам Ж. Дифференцируемые многообразия. — M.: КомКнига, 2006.

Вопросы для оценки качества освоения дисциплины

Для оценки качества освоения дисциплины можно использовать задачи, приведенные в тексте книг:

1. Гордин В.А. Как это посчитать? М.: МЦНМО, 2005.

2. Гордин В.А. Дифференциальные уравнения. Какие явления они описывают и как их решать? Рукопись, выложенная в общий доступ.

3. Гордин В.А. «Математика, компьютер, прогноз погоды и другие сценарии математической физики», М.: ФИЗМАТЛИТе. 2010, рукопись выложена в открытый доступ.

Технология процесса обучения

1. Основное содержание лекции излагается на слайдах, выполненных в Power Point, и дополняется записями на доске. Слайды рассылаются студентам перед очередной лекцией.

2. Домашние задачи требуют от студента понимания аналитического аппарата + владения техникой программирования + умения анализировать полученные численные результаты и графики. Выполнение домашних заданий - трудоемкий, но важный аспект обучения.

3. Занятия на 2-м курсе (4-й и 5-й модули) скоординированы с занятиями по базовому курсу обыкновенных дифференциальных уравнений. Они используют знания, полученные на курсах математического анализа, линейной алгебры и визуализации аналитических расчетов. Аналитические построения постоянно подкрепляются компьютерными вычислениями с получением таблиц и графиков. Некоторые задачи, не требующие компьютерного решения, разбираются со студентами в аудитории.

4. Студенты могут задавать вопросы, как во время занятий, так и по электронной почте.

© В.А. Гордин



Скачать документ

Похожие документы:

  1. Рабочая программа ф тпу 1 21/01 дисциплины «Иностранный язык в сфере профессиональной коммуникации» «утверждаю» 2008 г. (Дата) (2)

    Рабочая программа
    1. Описания дисциплины «Профессиональный иностранный язык», представленного в Государственных образовательных стандартах высшего профессионального образования ГОС ВПО и образовательных стандартах ТПУ по направлениям подготовки специалистов

Другие похожие документы..