Урок-лекция по теме «Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения.»

Урок-лекция по теме «Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения.»

Казанкова Татьяна Владиславовна, учитель математики.

Статья отнесена к разделу: Преподавание математики.

Цель урока:

1. Дать определение квадратного уравнения и показать его общий вид: ах² + bx + с = 0 (а ≠ 0).

2. Дать понятие неполного квадратного уравнения и его трёх видов: а) ах² + с = 0, где с ≠ 0; б) ах² + bx = 0, где b ≠ 0; в) ах² = 0.

3. Рассмотреть методы решения неполных квадратных уравнений.

4. Дать краткую историческую справку об истории развития квадратных уравнений.

5. Продолжить развитие интереса к математике.

«Как солнце блеском своим затмевает звёзды, так учёный человек затмевает славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи.» (старинная индийская книга).

Ход урока.

Перед уроком на доске прикрепляется плакат, на котором записан общий вид квадратного уравнения. С другой стороны доски записано определение квадратного уравнения.

1. Организационный момент.

Во время организационного момента детям сообщается тема урока и цели, которые должны быть достигнуты к концу урока.

2. Изучение нового материала.

1. Определение квадратного уравнения.

Посмотрите, вот определение квадратного уравнения. Прочитайте, что здесь написано. Как вы думаете, почему уравнение такого вида называется квадратным.

Оно также называется уравнением 2-ой степени.

Числа a, b и с тоже имеют свои названия. Их называют коэффициентами квадратного уравнения.

Дети записывают в тетради: а – первый коэффициент,

b- второй коэффициент,

с – свободный член.

Примеры:

Чему равно а, b и с? 9х² + 2х + 7 = 0,

х² + 2х + 3 = 0,

2х² - 7х + 2 = 0,

5х² + х – 2 = 0,

х² – 3х – 1 = 0,

6х – 2х² – 5 = 0.

2. Задача, приводящая к квадратному уравнению.

В период военных учений в системе обороны дивизии было создано несколько командных пунктов, причём каждый из них имел линию связи с любым другим из числа оставшихся. Сколько командных пунктов организовано, если количество линий связи равно 45?

Начинаем рассуждать:

Давайте разберёмся, как вообще была построена система связи. Предположим, что командных пунктов было всего 4. Каждый из них имеет линию связи с любым другим из числа оставшихся. С какими пунктами имеет связь пункт №1, пункт №2, пункт №3, пункт №4? Значит, каждый из командных пунктов имеет по 3 линии связи, а всего пунктов 4. Сколько всего должно получиться линий связи? (3 ^. 4 = 12). Но связь, например, между пунктом №1 и пунктом №2 есть также связь между пунктом №2 и пунктом №1. Значит 12:2 = 6 – линий связи.

Теперь можно сделать общий вывод.

Пусть х – количество командных пунктов. Тогда линий связи у каждого из них ( х – 1). Количество линий связи будет равно х(х – 1) / 2 , что по условию задачи равно 45. Составим и решим уравнение х(х – 1)/2 = 45,

х(х – 1) = 90,

х² – х – 90 = 0.

Мы получили пример квадратного уравнения. Решать такие уравнения мы научимся позже, а сейчас приведите сами несколько примеров квадратных уравнений.

3. Историческая справка.

Теперь можно немного расслабиться и послушать о том, как же появились на свет квадратные уравнения и какие учёные занимались этой проблемой.

Сообщение первого ученика: «Квадратные уравнения в Индии.»

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499г индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский учёный Брахмагупта ( VII в) изложил общее правило решения квадратных уравнений. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

Сообщение второго ученика: «Квадратные уравнения в древнем Вавилоне».

Необходимость решать квадратные уравнения ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения вавилоняне умели решать ещё около 2000 лет до н. э. В их клинописных текстах встречаются не только неполные, но и полные квадратные уравнения. Правило решения этих уравнений, изложенное в Вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила.

Сообщение третьего ученика: «Квадратные уравнения в Европе».

Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202г итальянским математиком Леонардо Фибеначчи. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи «Книги абака» переходили почти во все европейские учебники ХVI – XVII вв.

Но общее правило решения квадратных уравнений, при всевозможных комбинациях коэффициентов было сформулировано в Европе лишь в 1544г М. Штифелем.

4. Неполные квадратные уравнения.

А теперь, после небольшого отдыха, продолжим изучение новой темы.

Если в квадратном уравнении ах² + bx + с = 0, хотя бы один из коэффициентов равен 0 (кроме а), то такое уравнение называется неполным квадратным уравнением.

Неполные квадратные уравнения бывают 3-х видов:

а) ах² + с = 0, где с ≠ 0;

б) ах² + bx = 0, где b ≠ 0;

в) ах² = 0.

Рассмотрим примеры и решения каждого из этих трёх видов:

1. 5х² – 125 = 0,

2. 4х² + 64 = 0,

3. 4х² + 9х = 0,

5х² = 0.

После того, как рассмотрены все примеры с решениями, можно задать домашнее задание.

3. Заключительная часть урока. Обобщение.

Детям задаются несколько вопросов:

1.С какими новыми уравнениями мы познакомились? Как они называются?

2. Какой вид имеют квадратные уравнения?

3. Какое уравнение называется неполным квадратным?

На втором уроке решается несколько примеров и записывается общий вид решений всех видов неполных квадратных уравнений.