Головоломок вишенка в коктейле

154

1000 развивающих головоломок...

1. ВИШЕНКА В КОКТЕЙЛЕ

Это одна из тех редких чудесных головоломок, которые решаются мгновенно, если подойти к ним правильно. В формулировке зада­ния есть изюминка, призванная направить ваши мысли по ложному экспериментальному пути. Известны случаи, когда умные люди би­лись над ней по двадцать минут и в конце концов приходили к за­ключению, что она не имеет решения.

Положите четыре спички так, чтобы изобразить фужер (см. рис. 15). Задача в том, чтобы передвинуть только две спички таким обра­зом, чтобы фужер оказался в другом положении, а вишенка — снару­жи. Фужер можно переворачивать как угодно, но он должен оста­ваться таким же, как исходный. На рисунке под буквой А показано, как можно переместить 2 спички, чтобы «перевернуть» фужер. Од­нако это не является решением, так как вишенка остается внутри. Под буквой В показан другой способ «опустошить» фужер. Однако и это не является решением, так как здесь перемещенными оказы­ваются три, а не две спички.

10. ЗАВЯЖИТЕ УЗЕЛ

Возьмите бельевую веревку длиной примерно 120 см. Завяжите на обоих концах петли, как показано на рис. 18. Петли должны быть такими, чтобы вы могли просунуть в них руки. Надев петли на запя­стья и натянув веревку, попытайтесь завязать узел в центре веревки. Вы можете делать с веревкой всё что угодно, кроме, естественно, высвобождения запястья из петли, разрезания веревки или наруше­ния существующих узлов. За исключением фокусников, этот трюк мало кому известен.

ОТВЕТЫ

1. На рис. 19 показано, как нужно передвинуть две спички, чтобы вишенка оказалась вне фужера.

10. Чтобы завязать узел на веревке, натянутой между запястьями, вначале потяните её среднюю часть и проденьте под веревку, охва­тывающую левое запястье, как показано на рис. 24. Перекиньте пет­лю через левую руку, затем потяните обратно из-под веревки, охва­тывающей запястье. Теперь петля находится у вас на левой руке, как видно на правом рисунке. Если снять петлю с руки через левую ла­донь, на веревке образуется узел.

Если наполовину повернуть петлю вправо после того, как вы первый раз пропустили её под веревкой, охватывающей запястье, но до того, как вы перекинули её через ладонь, получится узел-вось­мерка. А если конец петли продеть через кольцо, прежде чем пере­

кинуть петлю через руку, кольцо прочно завяжется на веревке после того, как вы завяжете любой узел.

Ван Каннингем и Б.Л. Шварц независимо друг от друга написа­ли мне, что постановка задачи не запрещает второго решения. Сло­жите ладони, проденьте каждую из них через соответствующую пет­лю, а после этого просто разведите руки.

Арифметика на пальцах

тичном счете. Но точно так же можно использовать подобные знаки для счета и в любой другой системе. Действительно, пальцы пре­красно подходят для счета по самой простейшей системе счисления — бинарной, или двоичной. Согнутый или выпрямленный палец со­ответствует двум положениям переключателя в схемах современных компьютеров, использующих двоичный код. Фредерик Пол в статье How to Count on Your Fingers («Как считать на пальцах»), опублико­

ванной в 1966 году в странном сборнике Digits and Dastards («Цифры и негодяи»), предлагает начинать счет со сжатых кулаков, поверну­тых тыльной стороной вверх. Вытянутый палец соответствует еди­нице в двоичной системе, согнутый — нулю. Таким образом, чтобы посчитать от 1 до 1111111111 (что соответствует 1023 в десятичной системе), нужно начать с разгибания мизинца правой руки. Для вы­ражения двойки в десятичной системе, то есть 10 в двоичной, нуж­но согнуть мизинец и вытянуть безымянный палец правой руки. Ес­ли вытянуты оба пальца — мизинец и безымянный, — это соответст­вует 11 в двоичной системе или трем в десятичной. На рисунке 34 изображено, как показать на двух руках 500 в двоичной системе. Не­много потренировавшись, вы сможете использовать пальцы для бы­строго счета в двоичной системе и даже, как поясняет Пол, для дво­ичного сложения и вычитания. Благодаря тому что символьная («булева») логика целиком построена на двоичной системе (истина-ложь), с помощью пальцев рук можно решать простые задачи из об­ласти математической логики.

0 11111 0 1

0 0

Рис. 34.

Число 500 в двоичном коде, показанное на пальцах

Любое число в двоичной системе, состоящее из одних единиц, обязательно будет на единицу меньше соответствующей степени двойки. Например, 1023 в десятичной системе, которое в двоичной пальцевой системе показывается распрямлением всех десяти паль­цев, равно 2¹⁰ — 1. Это навело Пола на мысль о занятной головолом­ке. Допустим, мы хотим вычесть некоторое число п из 1023 (или из любого другого числа, которое в двоичной системе выражается ря­дом единиц). Можете ли вы предложить крайне простой способ бы­стро произвести такое вычитание на пальцах?

Так как в Средневековье и эпоху Возрождения мало кто знал таб­лицу умножения дальше 5x5 (счетами также мало кто владел), су­ществовало множество способов вычислить произведения чисел от 6 до 10. Один из распространенных методов, названный в труде 1492 года «древним правилом», — это использование комплементарных, или дополняющих, чисел на базе десяти (число, комплементарное п, равняется 10 — п). Чтобы перемножить 7 и 8, запишем числа, ком­плементарные им — 3 и 2. Каждое из них при вычитании из непарно­го ему дает 5 (8 - 3 = 7 - 2 = 5). Таково число десятков в произведе­нии 7x8. Произведение 3x2 равно 6. Пятьдесят и 6 дают 56 — это и есть конечный результат умножения.

Для этого метода в качестве счетного инструмента часто исполь­зовались пальцы. Пальцам каждой руки присваивались значения от 6 до 10, начиная с мизинца. Чтобы умножить 7 на 8, соедините седь­мой палец одной руки с восьмым другой, как показано сверху на рис. 35. Обратите внимание, что число, комплементарное 7, пред­ставлено тремя пальцами, расположенными над соприкасающими­ся на левой руке, а комплементарное 8 — на правой. Пять располо­женных ниже пальцев символизируют 5 — число десятков в ответе. К пятидесяти нужно прибавить произведение верхних пальцев — 2x3, или 6. В результате получаем 56. Этот способ умножения на пальцах любых чисел от 6 до 10 широко практиковался в эпоху Возрождения и, говорят, до сих пор используется крестьянами в некоторых райо­нах Европы и России.

Сегодня этот метод имеет значительную педагогическую цен­ность для начальной школы не только потому, что он увлекателен для детей, но и потому, что он тесно связан с алгебраическим умно­жением двучленов. Вместо использования чисел, комплементарных внутри десятка, мы можем представить 7 и 8 как дополнения к 5, за­писав их в виде двучленов (5 + 2) и (5 + 3), а затем провести умно­жение:

5 + 2

5 + 3 25+ 10

+ 15 + 6 25 + 25 + 6 = 56.

Первые два числа в нижнем ряду соответствуют сумме нижних пальцев, умноженной на 10, а 6 соответствует произведению верх­них пальцев.

Пальцевый метод умножения легко обобщается для других по­лудесятков, больших 10, хотя нет никаких свидетельств того, что когда-либо в истории подобный метод применялся для чисел больше 10. Для всех полудесятков, заканчивающихся на 5, ис­пользуется несколько иная процедура. Давайте рассмотрим следу­ющий полудесяток от 11 до 15 и предположим, что нам нужно пе­ремножить 14 и 13. Пальцам присваиваются значения от 11 до 15, и те пальцы, которые соответствуют перемножаемым числам, со-

5 X Ю = 50 7X8 = 90 + 6 = 56

прикасаются, как показано на рис. 36. Семь расположенных ниже пальцев умножаются на 10, и получаем 70. Но теперь вместо того, чтобы добавить к этому числу произведение расположенных вы­ше пальцев, мы не обращаем на них внимания, а перемножаем между собой нижние пальцы каждой руки, 4x3= 12. Сложив 12 и 70, получим 82. Последнее действие — прибавить 100 (константа). Ответ - 182.

Объяснить, каким образом этот метод работает, можно по-раз­ному. Самое простое — рассмотреть его в понятиях умножения дву­членов:

10 + 3

10 + 4 100 + 30

+ 40+12 100 + 70+ 12= 182.

Левые 100 — добавляемая константа, 70 — сумма нижних паль­цев, умноженная на 10, а 12 — произведение нижних пальцев обе­их рук.

Для всех полудесятков, оканчивающихся на 0, применяется пер­вая процедура. Для чисел от 16 до 20 нижние пальцы имеют «цен­ность» 20, а добавляемая константа увеличивается до 200, как пока­зано в примере перемножения 17 и 19 (см. рис. 37).

Перемножая шесть нижних пальцев на 20, получаем 120. Произ­ведение верхних пальцев на обеих руках дает 3. К 123 добавляем константу 200 и получаем 323 — окончательный ответ. Биномная за­пись такова:

10 + 7

10 + 9 100 + 70

+ 90 + 63 100 + 160 + 63 = 323.

Если мы переместим влево 100 из 160, а 60 из 63 — в середину, то получим 200 + 120 + 3. Это соответствует подсчету на пальцах. Кон­станта здесь — 200, сумма нижних пальцев, умноженная на 20, рав­на 120, а произведение верхних пальцев каждой руки равно 3.

Таблица на рис. 38, взятая из статьи Ферда У. Макэлвейна Digital Computer — Nonelectronic («Неэлектронный компьютер»), опублико­ванной в сборнике Mathematics Teacher за апрель 1961 года, дает зна­чения нижних пальцев для каждого полудесятка, а также добавочные константы. Не забывайте, что для каждого полудесятка, оканчиваю­щегося на 0, используется первая процедура, в которой участвуют верхние пальцы. Для полудесятков, оканчивающихся на 5, использу­ется вторая процедура, где не участвуют верхние пальцы. Значения, придаваемые нижним пальцам для полудесятков, оканчивающихся на 5, равны \0(d — 1), где d — номер десятка. Для полудесятков, окан­чивающихся на 0, это значение 1(W. Добавочная константа для полу­десятков, оканчивающихся на 5, равна 100(d - I)². Для полудесят­ков, оканчивающихся на 0, константа равна \00d(d — 1).

Данная таблица может быть продолжена для всех остальных по­лудесятков. Существует много способов записи общих формул для полной процедуры.

Значения Добавочная

Десяток Полудесятки нижних пальцев константа

1	1-5	0	0
	6-10	10	0
2	11-15	10	100
	16-20	20	200
3	21-25	20	400
	26-30	30	600
4	31-35	30	900
	36-40	40	1200
5	41-45	40	1600
	46-50	50	2000

Рис. 38.

Таблица значений пальцев и констант для умножения чисел до 50

Натан Альтшиллер Курт в книге Mathematics in Fun and in Earnest («Математика в шутку и всерьез») 1958 года издания предлагает сле­дующую формулу:

(а + х)(а+у) = 2а(х +у) + (а-х)(а-у),

что может быть записано как

(а + х)(а +у) = а(х + у) + ху + а²,

где х и у — конечные цифры в числах, которые надо перемножить, а а может быть равно 5, 10, 15, 20, 25, 30, то есть первым числам каждого полудесятка.

Можно ли применять умножение на пальцах к числам из разных полудесятков, например, 17 х 64? Оказывается, да. К несчастью, этот процесс довольно сложен, требует придания различных значе­ний пальцам каждой руки, поэтому я отсылаю интересующихся к упомянутой выше статье Макэлвейна, где описан этот метод. Ко­нечно, всегда можно разбить большие числа на более мелкие части и провести с ними серию умножений на пальцах, а потом сложить промежуточные результаты для получения окончательного. Так, 9x13 можно представить как (9 х 6) + (9 х 7).

Во всем этом есть и философское зерно. Чистая математика в общепринятом понимании - продукт человеческого ума. Однако между ней и устройством мира существует удивительное соответ­ствие. Особенно ярко оно проявляется в поведении физических тел, например камешков или пальцев, сохраняющих свою индиви­дуальность. Так, «2 + 2 = 4» это не просто закон чистой арифмети­ки, независимой от реального мира, но и закон прикладной ариф­метики. Антропологи, изучающие различные культуры, постоянно стремятся привязать к обыденному народному сознанию науку, и в частности математику. Они заявляют, что, поскольку разные пле­мена используют различные системы счета, математические зако­ны являются строго культурными, как, например, правила пере­возки грузов или игры в бейсбол. Они забывают о том, что различ­ные системы исчисления, используемые разными народами, есть не более чем различные способы символического выражения и пе­редачи одних и тех же чисел, которые подчиняются одним и тем же арифметическим законам, вне зависимости от того, кто пользу­ется ими — математик из Гарварда или абориген, считающий на пальцах.

Очевидно, что нет такого места на Земле или на других планетах, где бы два и два пальца вместе не составляли бы четыре. Единствен­ное исключение я нашел в романе Дж. Оруэлла «1984». В описанной там жуткой сцене пыток Уинстон Смит, в конце концов, вынужден признать, что два плюс два равно пяти:

О'Брайен показал ему левую руку, спрятав большой палец.

— Пять пальцев. Вы видите пять пальцев?

-Да.

И он их видел, одно мимолетное мгновение, до того, как в голове у него все стало на свои места. Он видел пять пальцев и никакого иска­жения не заменсиг.

Точно такая же возможность рассматривалась Достоевским. «Но дважды два четыре — все-таки вещь пренесносная, — говорит герой повести «Записки из подполья». — Дважды два четыре — ведь это, по моему мнению, только нахальство-с. Дважды два четыре смотрит фертом, стоит поперек вашей дороги руки в боки и плюется. Я со­гласен, что дважды два четыре — превосходная вещь; но если уже все хвалить, то и дважды два пять — премилая иногда вещица».

Может, это и премило, однако не применимо ни к какому логи­чески возможному миру. Это субъективное, противоречащее само себе заблуждение, которое может возникнуть лишь временно, и то под влиянием «коллективного солипсизма» (как называл это Ору-элл), когда любая истинность, в том числе и в науке, определяется без связи с абстрактными законами логики или с математическими законами построения внешнего мира.

ДОПОЛНЕНИЕ

Дж. Э. Линдон, проживающий в английском городе Эддлстоуне, является, на мой взгляд, величайшим современным английским ав­тором юмористических стихов. Так как его произведения не слиш­ком широко печатаются (единственным исключением в США слу­жит опубликованная The Worm Runner's Digest), то большая их часть доступна лишь его знакомым, которым, я надеюсь, хватает ума их хранить. Приведенная ниже поэма, посвященная открытию ариф­метики, попала ко мне в 1968 году — вскоре после того, как эта гла­ва появилась в Scientific American.

У ИСТОКОВ АРИФМЕТИКИ Дж. Э. Линдон

Шел первобытный Магг по лесу, Съедая всё, что мог поймать, И так набрел он на поляну, Где Огг надумал размышлять.

Смотрел, смотрел он всё на камни (их было двадцать и один), Костистый лоб свой тер забавно, угрюм, задумчив, недвижим.

О о о ° ° • о ^д 0 ф о о % ₀

Какого черта Огг глядит — Тряхнул Магг головой — На сей расколотый гранит? — и грохнул булавой.

Огг тыкал в камни, а затем Стал пальцы загибать. Рассвирепев, воскликнул Магг: «Что, колесо опять?»

Огг, с гулом стукнув себя в грудь, Ответил: «Есть идея, Но записать её — никак, увы, я не умею.

Смотри: возьмем с тобой по три руки и пары глаз, и это — словно две руки, ноги и нос взять раз».

_О«0О «О, _Оо₀ ,о„ „оо,,

Сложив прямоугольник вмиг, Продолжил Огг: «Смотри, здесь три по семь камней в рядах, А также... семь по три.

_{о о}

_о

о _А о О о о О О о

о ©о _Q ^ * о ©

о °о

о о О

И если верно для камней, что дважды два — четыре, так верно то для всех вещей, что есть иль будут в мире!»

Магг мрачно камни оглянул и рыкнул исподлобья: «Не понял я, что ты загнул, проверим-ка теорию!»

С трудом собравши жен своих (Огг — двух, а Магг — четыре плюс две руки и плюс нога), сказали: встаньте шире!

Все тщетно было, и тогда Магг взял свою дубину и стал порядок наводить в рядах своих любимых.

Триумф идеи налицо: Три по семь — семь по три! Огг в восхищении орет А Магг считает их.

Кусок гранита поострей, Огг от скалы отбил И высек сразу же на ней: «Здесь Огг закон открыл...»

Магг заскучал и прочь побрел, чтоб новых жен добыть: ведь сколько, чтоб открыть закон, придётся жен побить?!

ОТВЕТЫ

Единственное решение «венерианской» задачи 12 + 12 = 101 в тро­ичной системе исчисления. Таким образом, у венерианцев должно быть по 3 пальца на каждой руке. (Венерианская сумма эквивалент­на 5 + 5 = 10 в нашей, десятичной, системе.) Реймонд Де Мерс на­писал мне, что, если у венерианцев по три пальца на руках, то, ско­рее всего, они будут пользоваться шестеричной системой. Он счита­ет, что более вероятно, исходя из условия задачи, что у них всего три пальца, на одной руке — один, а на второй — два.

Кеймерон Д. Андерсон из Уиндзора, Онтарио, Канада, и англи­чанин Гренвилл Тернер из Шеффилдского университета предполо­жили, что венерианские символы могут означать не сложение, а ум­ножение. Тогда решений у этой задачи может быть неограниченное число. Вы можете попробовать доказать, что решение для наимень­шей основы системы счисления — это 13 х 13 = 171 в восьмеричной системе.

Во втором задании предполагается, что десять вытянутых паль­цев обеих рук означают десять единиц в бинарной системе, что эк­вивалентно 2¹⁰ — 1, или 1023 в десятичной, вам нужно найти про­стой метод вычитания из этого числа некоего меньшего п. Фредерик Пол в вышеупомянутой статье предлагает следующее: п необходимо просто выразить в двоичной системе, используя пальцы так, как описано. Теперь, загибая каждый вытянутый палец и вытягивая каждый загнутый — то есть заменяя двоичные единицы на нули и наоборот, — мы получим нужный нам ответ в бинарной системе.

ГЛАВА 9

Ленты Мёбиуса

Стриптизершу по имени Мила К фантастике страсть погубила. Новый танец придумать решив, Назвала его «Мёбиус-стрип» — И больше не видели Милу.

Сирил Корнблат

У листа бумаги две стороны и одна грань, огибающая его по замкну­той кривой. Может ли существовать такой лист, у которого будет од­на грань и одна сторона, так что муравей сможет переползти между любыми двумя точками листа, ни разу не пересекая грани? Трудно в это поверить, но действительно никто не замечал существования односторонних поверхностей, пока немецкий математик и астро­ном Август Фердинанд Мёбиус, скончавшийся в 1868 году, не опи­сал в своем труде «Werke» (т. 2, 1858) ленту с половинным оборотом. После этого лента, получившая имя своего первооткрывателя, стала самой известной из многочисленных топологических забав. Топо­логия — это широкая область современной математики, изучающая способность структур деформироваться без разрывов (так называе­мая «непрерывная деформация»).

Деформация, при которой сохраняются топологические особен­ности, такие как односторонность ленты Мёбиуса, часто поясняет­ся на примере ленты из мягкой резины, которая может быть сфор­мована в объект любой конфигурации при условии, что в ней не де­лается разрывов, а также отделения и перестановки частей. Однако это распространенное заблуждение. Деформация, сохраняющая то­пологические особенности, должна определяться куда более техни­ческим способом, включая сохранение расстояний между точками. Вполне реально существование двух топологически эквивалентных структур (гомеоморфных, как любят говорить топологи), которые в нашем трёхмерном пространстве не могут быть преобразованы одна в другую непрерывной деформацией. Один из простых примеров — две резиновые ленты Мёбиуса, являющиеся зеркальным отображе­нием друг друга, так как они повернуты в противоположных на­правлениях. Эти ленты невозможно преобразовать одну в другую путем растягивания и выворачивания — однако они топологически идентичны. То же самое верно для ленты Мёбиуса и ленты с тремя или иным нечетным числом полуповоротов. Все такие ленты, а так­же их зеркальные отображения являются гомеоморфными, хотя ни одну из них нельзя превратить в другие путем «резиновой» деформа­ции. То же верно и для всех лент (и их зеркальных отображений) с четным числом полуповоротов. Такие ленты топологически отлича­ются от лент с нечетным числом полуповоротов, но гомеоморфны друг другу (см. рис. 39).

Они гомеоморфны, как говорят топологи, внутренне, то есть при рассмотрении только самих поверхностей, но не пространства, в ко­тором они могут располагаться.

Именно потому, что наша модель ленты Мёбиуса помещена в трёхмерном пространстве, она не может быть преобразована в свое зеркальное отображение или в ленту с тремя полуоборотами. Если бы мы могли поместить бумажную ленту Мёбиуса в четырёхмерное пространство, было бы возможно преобразовать её, «вернув» обрат­но в любую сторону, как и ленту с любым нечетным числом полу­оборотов. Точно так же ленту без поворотов (топологически эквива­лентную цилиндру или листу бумаги с отверстием в нем) можно бы­ло бы, поместив в четырёхмерное пространство, повернуть и вер­нуть обратно в наши три измерения с любым четным числом полу­оборотов любого направления.

Но вместо того чтобы воображать манипуляции с лентами в че­тырёхмерном пространстве, давайте лучше представим их как спо­собные к самопересечению поверхности нулевой толщины в трёх измерениях. Довольно просто вообразить, как изменить скручен­ную ленту, пропустив её сквозь себя и превратив в топологически эк­вивалентную структуру. Например, «призрачная» лента Мёбиуса может быть пропущена сквозь себя, в результате чего получится её зеркальное отображение. То же возможно и с любой поверхностью с нечетным числом поворотов любого направления.

Если скрученная лента находится в трёхмерном пространстве, то говорят, что «она обладает внешними топологическими свойствами», которых не имеет при рассмотрении отдельно от пространства, в которое помещена. Лишь в этом «внешнем» смысле можно говорить о том, что лента Мёбиуса топологически отлична от, скажем, ленты с тремя полуоборотами.

Самая фантастическая особенность ленты Мёбиуса (или любой структуры, внутренне идентичной ей) в том, что при разрезании точно по средней линии получается не две ленты, а одна большего размера.

Поразительно, но новая лента, полученная таким способом, ока­зывается двусторонней и двугранной. Поскольку топологическая структура помещена в трёхмерном пространстве, она имеет 2п + 2 полуоборота, где п — число (нечетное) полуоборотов исходной лен­ты. Если п = 1, у новой ленты будет 4 полуоборота — четное число, то есть она будет внутренне гомеоморфна цилиндру. Если п = 3, у получившейся ленты будет восемь полуоборотов, и она завяжется в простой узел.

Лента с четным числом полуоборотов (0, 2, 4,...) при разрезании всегда дает две отдельных ленты, идентичные исходной, за исклю­чением ширины. В трёхмерном пространстве у каждой такой ленты будет п полуоборотов и две ленты будут соединены в п/2 местах. Так, если п = 2, при разрезании вдоль получается две ленты, каждая с двумя полуоборотами, соединенные подобно звеньям цепи. Если п = 4, одна лента будет дважды обвиваться вокруг второй. При п = 2 можно разрезать ленту и получить два соединенных кольца, ото­рвать одно, второе разрезать на два ещё более тонких, соединенных в цепочку, оторвать одно, и продолжать в том же духе (теоретичес­ки) сколько угодно.

В книге «Математические чудеса и тайны»³ (Mathematics, Magic, and Mystery) я объяснял, как фокусники используют эти особеннос­ти в старинном трюке с разрыванием одежды под названием «Аф­ганские ленты». Стивен Барр предложил новый способ демонстра­ции тех же самых свойств. Он начертил среднюю линию на широ­кой и тяжелой бумажной ленте раствором нитрата калия, а затем подвесил ленту на гвоздь так, чтобы она опиралась на него лишь по­ловиной своей ширины. Теперь, если прикоснуться к нарисованной линии в нижней точке кольца тлеющей сигаретой, она быстро заго­рается, и огоньки, поднимаясь вверх по обеим сторонам кольца, встречаются наверху. Половина ленты отваливается, образуя либо одну ленту большего размера, либо две соединенные в цепочку лен­ты, либо завязанные узлом ленты, в зависимости от того, сколько полуоборотов (один, два или три) было у исходной ленты.

Ещё один неожиданный результат можно получить, разрезав ленту с нечетным числом полуоборотов на три части, то есть начав резать на расстоянии Уз ширины от края и дважды обойдя кольцо. В результате получается лента, идентичная исходной, за исключе­нием ширины (это центральная треть исходной ленты), соединен­ная со второй, в два раза длиннее, которая идентична (только уже) ленте, получающейся при разрезании исходной ленты надвое. Если п = I (лента Мёбиуса), при разрезании натрое получается маленькая лента Мёбиуса, соединенная с более длинной двусторонней лентой с четырьмя полуоборотами (см. рис. 40).

Исходя из этого, двое моих читателей — Элмер Л. Мюнгер и Сти­вен Р. Вудбери — независимо друг от друга предложили заниматель­ную головоломку. После того как вы получили две соединенные ленты путем разрезания ленты Мёбиуса натрое, попробуйте сделать из них тройную ленту Мёбиуса, показанную на рис. 40. Если у вас это получится, результатом будет забавная структура, в которой две внешние «ленты» на всем протяжении разделены находящейся «между» ними лентой Мёбиуса.

³ 1-е изд: М.: Мир, 1964.

При этом можно предположить, что лента Мёбиуса окружена двумя отдельными лентами, — но, конечно, вы понимаете, что это не так. Такую же структуру можно получить, сложив вместе три идентичные ленты. Можно их свернуть, удерживая вместе, а затем

соединив три соответствующие грани. Если такую тройную ленту покрасить «снаружи» в красный цвет, то вы увидите, что можно поменять местами внешние части таким образом, чтобы красная сторона большей ленты оказалась внутри, а тройная лента снару­жи оказалась неокрашенной. Весьма занимательно делать подоб­ные ленты толщиной в т слоев с п полуоборотами, а затем попы­таться вычислить, каковы будут результаты их разрезания на две и три части.

У ленты Мёбиуса есть много загадочных внутренних качеств. То­пологи называют её «неориентируемой». Представьте себе ленту как истинную поверхность нулевой толщины. Мысленно поместите в это двумерное пространство плоских существ, зеркально несиммет­ричных (не идентичных собственному зеркальному отображению). Если такое существо один раз обогнет ленту, оно превратится в зер­кальное отображение себя самого. (Космологи разработали анало­гичные модели повернутого трёхмерного пространства, в котором астронавт смог бы совершить путешествие «вокруг» космоса и вер­нуться с сердцем с другой стороны.) Не забывайте о том, что дву­мерные существа находятся «в» поверхности нулевой толщины, а не «на» ней.

Все неориентируемые поверхности должны содержать хотя бы одну мёбиусову поверхность. Иначе говоря, из любой неориентиру-емой поверхности можно вырезать мёбиусову поверхность. Тополо­ги обнаружили множество причудливых типов неориентируемых поверхностей, таких как бутыль Клейна, проективная плоскость и поверхность Боя (открытая немецким математиком Вернером Бо­ем). Все они замкнуты и не имеют краев, как поверхность сферы. Бутыль Клейна может быть разрезана пополам, в результате чего по­лучаются две ленты Мёбиуса, как я объяснял в своей книге Sixth Book of Matematical Games from Scientific American («Шестая книга ма­тематических игр от Scientific Атепсап»). Проективная плоскость превращается в ленту Мёбиуса, если в ней прорезать дыру.

Все неориентируемые поверхности в трёхмерном пространстве односторонни, а все ориентируемые (в которых плоские асиммет­ричные существа не могут поменять ориентацию на зеркальную) — двусторонни. Число сторон при этом не является внутренним топо­логическим свойством, как «ориентабельность». Лишь в нашем трёхмерном пространстве мы можем говорить о том, что двумерная поверхность имеет одну или две стороны. Точно так же мы можем говорить о замкнутой одномерной линии как об имеющей наруж­ную и внутреннюю стороны при размещении на плоскости.

Другая внутренняя особенность, присущая ленте Мёбиуса, имеет отношение к теории графов. На плоскости или на любой ленте с четным числом полуповоротов максимальное число точек, которые можно соединить непересекающимися линиями, прохо­дящими между каждой парой точек, четыре (см. рис. 41). Нетрудно доказать, что с пятью точками это проделать невозможно. Однако на мёбиусовой поверхности можно соединить непересекающими­ся линиями шесть точек. Рассмотрим шесть точек на полоске бу­маги (см. рис. 41). Допустим, два конца полоски соединяются, при этом лента поворачивается один или любое другое нечетное

Рис.41.

Точки на плоскости (слева) и на ленте (справа)

число раз. Можете ли вы соединить точки попарно линиями, не пересекающимися друг с другом и не проходящими через точки? Здесь мы также предполагаем, что полоска имеет нулевую толщи­ну. Каждую линию нужно представить как проходящую «в» бума­ге, подобно чернилам ^ просачивающимся на противоположную сторону листа.

Ленте Мёбиуса находится и практическое применение. В 1923 го­ду Ли де Форест получил американский патент на пленку в виде ленты Мёбиуса, на обеих «сторонах» которой можно было записы­вать звук. Аналогичная идея была применена в магнитофонах, что­бы в два раза увеличить длительность записи на перекрученной ленте. Несколько патентов было выдано на конвейерные ленты в виде ленты Мёбиуса, которые можно использовать с обеих сторон. В 1949 году О. X. Харрису был выдан патент № 2479929 на абразивную ленту Мёбиуса. Компания Б. Ф. Гудрича стала обладательницей подобно­го же патента (№ 2784834) в 1957 году. В 1963 году патент № 3302795 был выдан Дж. У. Джейкобсу на самоочищающуюся фильтроваль­ную ленту для уборочных машин. В результате стало легко смывать грязь с обеих «сторон» ленты по мере её оборота.

В 1963 году Ричард Л. Дэвис, физик из альбукеркской корпора­ции «Сандия», изобрел резистор с нулевой реактивностью на прин­ципе ленты Мёбиуса.

Подсоединив металлическую фольгу двумя концами к непро­водящей ток резине, а затем свернув из этой конструкции трой­ную ленту Мёбиуса, Дэвис обнаружил, что при пропускании эле­ктрических импульсов в обоих направлениях по фольге лента приобретает любые желаемые характеристики электропроводи­мости (см. Time за 25 сентября 1964 года и Electronics Illustrated за ноябрь 1969 года).

Лента Мёбиуса стала предметом вдохновения для многих совре­менных скульпторов, которые создают на её основе абстрактные творения. В новом Музее истории и технологии при Смитсонов-ском институте в Вашингтоне выставлена восьмифутовая стальная лента Мёбиуса, медленно вращающаяся на пьедестале. Она уста­новлена прямо перед входом в музей. Швейцарский скульптор Макс Билль создал на основе ленты Мёбиуса десятки разнообраз­ных абстрактных работ (см. рис. 42).

Художники также используют ленту Мёбиуса в живописи и рек­ламной продукции. На рисунках 43 и 44 представлены два примера использования её голландским художником Морисом К. Эшером. В 1967 году Бразилия принимала математический конгресс, и в его честь была выпущена марка с изображением ленты Мёбиуса. В 1969 го­ду эта лента, но в виде треугольника, была изображена на марке, вы­пущенной в Бельгии. (Эти марки показаны на рис. 45.)

Уплощенная в виде треугольника лента Мёбиуса стала офици­альным символом выставки «Экспо-74», проходившей в Спокейне, штат Вашингтон. На обложке журнала New Yorker за 5 апреля 1976 года красовалась лента Мёбиуса, по которой в обоих направлениях шагало около 30 бизнесменов.

Лента Мёбиуса служит центральной идеей для многих научно-фан­тастических произведений, начиная с моего «нульстороннего» профес­сора (из No-Sided Professor) и заканчивая «Стеной мрака» {The Wall of Darkness) Артура Кларка, опубликованного в июле 1949 года в сборни­ке Super Science Stories. Многие друзья присылали мне на Рождество открытки с разными пожеланиями, например, «бесконечной радос­ти», написанными на ленте Мёбиуса. Интересно, что если вы будете крутить в пальцах такую ленту с надписью, то слова будут всегда напи­саны нормально, хотя при этом на её внутренней стороне они окажут­ся вверх ногами. Когда я был редактором журнала Humpty Dumpty

Рис. 42.

«Непрерывная поверхность в форме колонны» (1953), галерея Олбраита -Нокса, Буффало

Magazine, то даже придумал игру на этом принципе (см. мой рассказ Watch the Thanksgiving Day Parade, ноябрь 1955 года, с. 82—84).

Писатели, пользующиеся печатными машинками и печатающие быстро, чтобы не заменять постоянно бумагу, нередко вставляют в машинку бумагу в рулонах, похожих на бумажные полотенца. Если брать достаточно длинную полосу бумаги, то её можно замкнуть в петлю, повернув так, чтобы печатать непрерывно на обеих сторо­нах. Уолдо Р. Тоблер как-то предложил напечатать на ленте Мёбиу­са карту мира так, чтобы полюса находились на её ребрах, а линии широты и долготы располагались симметрично. Проткнув такую карту в любой точке, с другой стороны вы попадете в точку, которая на глобусе располагается диаметрально противоположно.

Гексафлексагоны являются фигурами с нечетным числом полупо­воротов, так что тоже представляют собой мёбиусовы поверхности.

Задача 15 из следующей главы позволит вам получить представ­ление о занимательной топологии «пересекающихся» лент Мёбиуса. Задача о минимальной длине ленты, которую можно свернуть и со­единить в ленту Мёбиуса, помещена в моей книге Book of Mathematical Games from Scientific American («Книга математических игр из Scientific Атегкап»), Спортсмены, занимающиеся лыжной ак­робатикой (фристайлом), сейчас выполняют трюк под названием «прыжок Мёбиуса», при исполнении которого делают сальто, одно­временно разворачиваясь вокруг своей оси.

Группа французских писателей и математиков, публикующая свои экспериментальные произведения под групповым псевдони­мом ОиЫРо («УЛиПо»), пользуются лентой Мёбиуса для создания новых стихотворений. Например, на одной стороне ленты пишется четверостишие с рифмой абаб, а на другой — с рифмой вгвг. При сворачивании из неё ленты Мёбиуса получается новое стихотворе­ние с рифмами авбг — авбг. (Две главы моей книги Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers 1989 года издания посвящены творчеству УЛиПо.)

В последние годы даже авторы, не специализирующиеся на ма­тематике, кажется, прониклись любовью к мёбиусовым поверхно­стям как символу бесконечности. Существует стихотворение Чарльза Олсона «Лента Мёбиуса» и «Чета Мёбиусов: одиннадцать коротких неприличных историй» Кароля Берге, на обложке кото­рых изображена огромная лента Мёбиуса. Каждую из историй так­же венчают ленточки поменьше. «Когда мужчина и женщина ста­новятся любовниками, — написано на форзаце книги, — между ни­ми возникают потенциально бесконечные отношения, которые, подобно ленте Мёбиуса, не имеют ни начала, ни конца, а лишь не-

5-10396

прерывное протяжение... В этих историях — мудрость и откровен­ность, которых достаточно для того, чтобы вы почувствовали род­ство с этими людьми, как будто познакомились с ними где-то на мёбиусовой ленте жизни».

Не вполне понятно, что прибавляет к старинной метафоре коль­ца или круга поворот на бесконечной петле. Все, что он дает, — это приводит вас обратно в те места, где вы уже были, — но то слева, то справа. Однако остается неясным, как же приложить это к кино­пленке человеческой жизни?

Первый рассказ из книги Джона Барта Lost in the Funhouse («Потерявшийся в комнате смеха») был опубликован в 1968 году. Он, скорее всего, служит введением в повествование и устроен так, что его нужно читать на настоящей мёбиусовой поверхности. Читателю рекомендуется разрезать страницу по пунктирной ли­нии, затем свернуть и склеить, чтобы получилась лента Мёбиуса, на которой можно прочесть бесконечную «присказку». «В один прекрасный день произошла история, которая началась в один прекрасный день, когда произошла история, которая нача­лась...»

Это старинная детская присказка, которая имеет лишь бесконеч­ное начало, но не имеет ни середины, ни конца. Однажды я написал такой вот «метастих» без середины, с бесконечным началом и бес­конечным концом:

Жил да был метапоэт, Был он сыт, обут, одет, Но не знал, о нем писать, И тогда решил начать Вот такой вот метастих О безумных днях своих: «Жил да был метапоэт, Был он сыт, обут, одет, Но не знал, о чем писать, И тогда решил начать Вот такой вот метастих О безумных днях своих: «Жил да был метапоэт...»

«Здесь истории конец», — Написал наш молодец, И, вздохнув, убрал перо, Потому что понял, что «Здесь истории конец», — Написал наш молодец, И, вздохнув, убрал перо, Потому что понял, что «Здесь истории конец»...

К несчастью, я пока не нашел подходящей топологической по­верхности, на которой можно было бы это напечатать.

ОТВЕТЫ

Один из способов решить головоломку с лентой Мёбиуса показан на рис. 46. Допустим, что ленту повернули прежде, чем соединили её концы. Тогда точки а, Ь, с, d, е на нижней стороне ленты совпадут с соответствующими точками на верхней стороне. Поверхность сле­дует принимать имеющей нулевую толщину, линии расположены не «на», а «в» ней.

Комплементарным к этому графу является карта, которая для ок­рашивания требует не менее 6 цветов (соседствующие области обяза­ны иметь различные цвета). На рис. 47 приведено ещё одно, уже сим­метричное решение, которое также нашли многие из читателей.

ГЛАВА 10

_{Смешные задачи}

Для решения приведенных ниже небольших задачек не требуется владения высшей математикой. Большинство из них содержат нео­жиданные вопросы-«ловушки», и их не надо принимать всерьез.

В одной африканской деревне живет 800 женщин. Три процен­та из них носят по одной сережке. Из оставшихся 97% у половины в ушах две серьги, а у другой половины — ни одной. Сколько всего се­режек у всех женщин?

Каждая грань выпуклого многогранника может служить основа­нием, если его поставить на горизонтальную поверхность. У правиль­ного многогранника центр тяжести расположен в середине, так что он устойчив при установке на любую грань. Неправильные многогранни­ки могут быть неустойчивы при установке на некоторые грани, то есть если их поставить на стол такой гранью вниз, они будут переворачи­ваться. Возможно ли построить такой неправильный выпуклый много­гранник, который был бы неустойчив при установке на любую грань?

Какое число пропущено в этом ряду: 10, И, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, 22, 24, 31, 100, —, 100 000? (Подсказка - пропущенное число должно быть в троичной системе.)

Среди утверждений в условии этой задачи есть три ошибки. Найдите их.

а) 2 + 2 = 4 ©4+72 = 2

^*л7₅^{хз78 = 10}

г> 7-(-4)= И д)- 10(6 -6) = -10

Логик, которому было нечем заняться в маленьком городке, решил сходить в парикмахерскую. В городе было только два парик­махера, и у каждого своя мастерская. Логик заглянул в первую и увидел, что там парикмахер был небрит и с взлохмаченной головой. В другой парикмахерской был полный порядок. Парикмахер был свежевыбрит и с аккуратной прической. Логик вернулся в первую парикмахерскую и постригся там. Почему?

К полю для игры в крестики-нолики добавили одну клетку (см. рис. 48). Если играть в игру, как обычно, то первый игрок легко сможет выставить три значка в ряд, начав партию, как показано на рис. 49. Без дополнительной клетки второй игрок может не дать ему выиграть, только если займет центральную клетку. Но на рисунке показано, как первый игрок может пойти в данном случае, с гаран­тией выигрывая следующим ходом.

		X1

Рис 48. Рис. 49.

Выигрывает первый игрок

Так что давайте изменим правила. Добавив дополнительную клетку, введем новое правило. Если игрок хочет выиграть, поставив в ряд свои значки в нижнем ряду, то он должен занять все четыре клетки в нем. Может ли в таком случае первый игрок с гарантией победить?

Секретарша напечатала четыре письма четырем адресатам и надписала четыре конверта. Если она будет вкладывать письма в конверты случайным образом, какова вероятность того, что именно три письма попадут в правильные конверты?

Рассмотрим три точки: центр правильного тетраэдра и любые две его угловые точки. Эти три точки будут лежать на одной плоско­сти. Верно ли то же самое для всех неправильных тетраэдров?

На поверхности шара выбраны три случайные точки. Какова вероятность того, что все три окажутся в одном полушарии? Будем считать, что окружность, разграничивающая полушария, является частью каждого из них.

10. Если вы возьмете три яблока из корзины с тринадцатью ябло­ками, то сколько яблок у вас будет?

С

Рис. 50

И. Из точки С проведены две касательные к окружности (см. рис. 50). Отрезки касательных УС и АС всегда равны. Допустим, дли­на каждого из них — 10 единиц. Точка Р на окружности выбрана слу­чайным образом так, чтобы она оказалась между точками Хи Y. За­тем через точку Р провели ещё одну касательную. Каков периметр треугольника ABC?

Задача с касательными ⁴—'

Если сумма в девять тысяч девять сотен и девять долларов за­писывается как $9909, то как правильно записать сумму в двенад­цать тысяч двенадцать сотен и двенадцать долларов?

Химик открыл, что некая химическая реакция идет 80 минут при условии, что экспериментатор одет в пиджак. Когда же он был без пиджака, то реакция всегда занимала один час и 20 минут. Как вы это объясните?

Каждая из двух бумажных фигур, изображенных на рис. 51, состоит из горизонтальной ленты, присоединенной к вертикальной такой же длины и ширины. Они идентичны друг другу, за исключе­нием того, что вторая фигура имеет полуоборот вертикальной лен­ты. Если первую фигуру разрезать по пунктирной линии, как это ни удивительно, получится большой квадрат, изображенный в виде рамки рисунка. А что получится, если вторую фигуру точно так же разрезать по пунктирной линии?

Равносторонний треугольник и правильный шестиугольник имеют одинаковые периметры. Если площадь треугольника — две квадратных единицы, какова будет площадь шестиугольника?

Можно ли построить куб размерами 6 х 6 х 6 из 27 блоков раз­мерами 1x2x4 (см. рис. 52)?

Посетитель ресторана обнаружил в чашке с кофе муху. Он по­требовал у официанта другую чашку. Отпив из неё один глоток, он

воскликнул: «Это та же самая чашка, которая была у меня внача­ле!» Как он это узнал?

Рис. 53.

Имеется металлический лист в форме квадрата со стороной 2 фута и присоединенных к его противоположным сторонам полукру­гов (см. рис. 53). Если вырезать из центра этой фигуры круг диаме­тром в два фута, как показано на рисунке, какова будет площадь ос­тавшегося металла?

«Я гарантирую вам, — сказал продавец в зоомагазине, — что этот попутай будет повторять все слова, которые услышит». Покупа­тель приобрел попугая, но обнаружил, что тот не произносит ни еди­ного слова. Однако продавец говорил правду. Как это объяснить?

Из одного угла квадрата проведены две линии, точно деля­щие площадь квадрата на три равные части (см. рис. 54). В каком от­ношении эти линии делят стороны квадрата?

Кусок цилиндрической железной трубы длиной в десять фу­тов имеет внутренний диаметр четыре дюйма. Если засунуть в трубу со стороны А стальной шар диаметром три дюйма, а со стороны В — шар диаметром два дюйма, то возможно ли при помощи железного прута протолкнуть каждый шар через трубу так, чтобы достать его с другого конца?

Предложите по меньшей мере три способа измерения высоты здания при помощи барометра.

Как можно сделать куб из пяти спичек? Гнуть или расщеплять спички нельзя.

Какая ситуация более вероятна после раздачи карт в бридже на четверых: у вас и вашего партнера будут на руках только пики или же у вас обоих не будет пиковых карт вообще?

Эта старая задачка по-прежнему ставит в тупик практиче­ски всех, кто впервые сталкивается с ней. Смит отдал клерку в отеле 15 долларов за ночь. Когда клерк обнаружил, что постоялец дал ему лишние 5 долларов, он отправил к нему в номер коридор­ного с пятью долларовыми банкнотами. Нечестный коридорный отдал Смиту только три купюры, а две оставил себе. Получилось, что Смит заплатил за комнату 12 долларов. Коридорный забрал два доллара. Таким образом, всего получается 14. Где оставшийся доллар?

ОТВЕТЫ

1. Если из 97% женщин половина носят по две серьги, а половина — ни одной, то это все равно что все носят по одной. Таким образом, показав, что все 800 женщин в среднем носят по одной серьге, полу­чим всего 800 сережек.

Нет. Если бы выпуклый многогранник мог бы быть неустойчи­вым на любой из граней, тогда можно было бы сделать вечный дви­гатель. Каждый раз, когда фигура переворачивалась бы на новое ос­нование, она все равно оставалась бы неустойчивой и, таким обра­зом, переворачивалась бы снова.

Каждое из этих чисел равно 16 в разных системах исчисления, начиная с шестнадцатеричной и далее в убывающем порядке, за­канчивая двоичной. Недостающее число — шестнадцать в троичной системе, или 121.

Из данных выражений неверны только б ид, так что утвержде­ние, что ошибок в них три, также неверно. Это и есть третья ошибка.

Парикмахеры должны стричь друг друга. Логик выбрал того, который лучше подстриг своего конкурента.

Предположим, что клетки пронумерованы от 1 до 10 слева на­право и сверху вниз. Первый игрок может выиграть лишь в том слу­чае, если сделает первый ход на клетку 2 или 6. Я предоставляю чи­тателям возможность самостоятельно разработать его дальнейшую стратегию при всех ответных ходах противника.

Ноль. Если три письма положены в правильные конверты, то четвертое — тоже.

Да. Любые три точки в пространстве могут лежать в одной пло­скости.

Вероятность этого — единица. Любые три точки на сфере при­надлежат к одному полушарию.

10. Три яблока.

11. Периметр треугольника — 20 единиц. Отрезки касатель-
ных, выходящих из одной точки, равны между собой, так что YA =
=АР, а.ВР = ХВ. Так как АР + BP— это сторона треугольника ABC,
то легко заметить, что периметр его равен 10 + 10 = 20. Это одна
из любопытных задач, которые можно решить другим способом,
если точно знать, что решение имеется. Так как точка Р может
быть в любом месте на окружности между точками Хи Y, то мы
можем предельно сдвинуть её к любой из этих точек. В обоих слу-
чаях одна из сторон треугольника ABC превращается в ноль, а
сторона АВ увеличивается до 10, и в результате получается упро-
щенный до прямой «треугольник» со сторонами в 10, 10 и 0 еди-
ниц. Его периметр равен 20. (Приношу благодарность Филипу К.
Смиту-мл.)

$13 212.

80 минут равны одному часу и 20 минутам.

14. При разрезании второй фигуры получится то же самое, что и
при разрезании первой. Действительно, мы получим такой же боль-
шой квадрат, вне зависимости от того, как скручена вертикальная
лента! Если хотите ещё сюрприз, посмотрите, что получится, если
разрезать неперевернутую ленту второй фигуры пополам, а перевер-
нутую — на три части.

15. Три квадратных единицы (см. рис. 55 и 56).

Рис. 55.

Решение задачи о треугольнике и шестиугольнике (рис. 56)

Нет. Представьте, что куб со стороной 6 единиц состоит из 27 блоков кубической формы со стороной 2 единицы, раскрашенных в чёрный и белый цвета. Так как 27 — число нечетное, то должно быть 13 кубиков одного цвета и 14 — другого. Неважно, как расположены они внутри большого куба, но половина из них должны быть белой, а по­ловина — чёрной. Так что, как бы вы ни складывали их, большой куб будет содержать равное число чёрных и белых блоков. А это противо­речит тому факту, что большой куб состоит из неравного количества кубиков разного цвета — значит, построить его из 27 блоков нельзя.

Посетитель ресторана размешал сахар в чашке с кофе, преж­де чем заметил муху.

Два полукруга вместе составляют круг, совпадающий с отвер­стием. Таким образом, оставшийся металл будет иметь площадь в четыре квадратных фута.

19. Попугай был глухим.

20. Разделяющие квадрат на три равные по площади части линии
также делят в отношении один к двум и стороны квадрата. Как ука-
зал в своем письме Пит Хейн, приславший мне эту задачку, это лег-
ко увидеть, разделив любой прямоугольник пополам диагональю,
проведенной из того же угла, что и делящие его на три части линии.
Каждая половина прямоугольника, очевидно, делится одной из
этих линий на два треугольника, один из которых по площади в два
раза меньше другого. Так как одна из сторон у них общая, значит,
основание меньшего треугольника должно быть в два раза меньше,
чем основание большего.

Можно, если проталкивать два шарика в трубу не одновременно.

Вот пять способов:

Спустить барометр на веревке с крыши и измерить длину ве­ревки.

Сделать то же самое, но не измерять длину веревки, втянув барометр обратно, а оставить его качаться, как маятник, подсчитав

длину веревки по частоте колебаний маятника. (Благодарю за этот вариант Дика Эйкерса.)

Бросить барометр с крыши. Засечь время, которое он будет падать, и подсчитать расстояние по формуле свободного падения.

В солнечный день найти отношение высоты барометра к дли­не его тени и по этому отношению вычислить высоту здания по дли­не его тени.

Найти управляющего домом и предложить ему барометр за то, что он скажет вам высоту здания.

Решение № I очень старое (я слышал его от своего отца в дет­стве), но наиболее полное обсуждение этой задачи со всеми вари­антами решения, кроме второго, дано в книге Александра Калан­дры The Teaching of Elementary Science and Mathematics («Уроки эле­ментарного естествознания и математики») 1969 года издания. Более раннее рассмотрение этой задачи тем же автором, опубли­кованное в издании для учителей Current Science («Современная наука»), послужило основой для заметки в New York Times от 8 марта 1964 года.

Если рассматривать «куб» в числовом смысле, то из пяти спичек можно составить число 1, или 27, или VIII, или I — то есть числа, представляющие собой кубы (третью степень) каких-либо других чисел. Если у спичек ровные грани, то при размещении их так, как показано на рис. 57, в центре получается маленький куб.

Вероятности этих двух ситуаций равны. Если у вас и вашего партнера нет ни одной пиковой карты, значит, все они сданы дру­гим двум игрокам.

Рис. 57.

Куб из пяти спичек

25. Прибавляя 2 доллара, полученные коридорным, к 12, запла­ченным Смитом за комнату, мы получаем бессмысленную сумму. Смит в итоге отдал 12 долларов, из которых 10 взял клерк, а 2 - ко­ридорный. Отдав вначале 15 долларов, Смит получил обратно 3 дол­лара, которые при сложении с 12 долларами, полученными клерком и коридорным, дают в сумме те же 15 долларов.

ГЛАВА 1 1

_{Полигексы и полиаболо}

Обычные паззлы-картинки практически лишены математического интереса: кусочки в них ставятся на место путем проб и ошибок, и при наличии достаточного упорства и терпения рано или поздно картинка будет собрана. Но если головоломка состоит из деталей в форме простых многоугольников, задача составления из них опре­делённой фигуры уже относится к области комбинаторной геомет­рии, и её решение требует серьёзного математического анализа, а возникающие при этом вопросы порой оказываются совсем не три­виальными. Если при выборе множества многоугольных деталей применить простые правила комбинаторики, задача приобретает изящество, а исследование комбинаторных свойств этого множест­ва оказывается не только способом убить время, но и весьма захва­тывающим занятием.

У любителей математических головоломок наибольшей попу­лярностью пользуются так называемые «полиомино». Они пред­ставляют собой набор квадратных деталей, которые нужно сложить всеми возможными способами. Этой разновидности головоломок посвящено множество работ — в том числе книга Polyominoes («По­лиомино») Соломона В. Голомба, профессора университета Южной Калифорнии. Другая хорошо изученная разновидность составных фигур — это «полиамонды», получающиеся при соединении по гра­ням равносторонних треугольников. Гексиамонды (полиамонды, состоящие из шести равносторонних треугольников) рассмотрены в моей книге Sixth Book of Mathematical Games from Scientific American («Шестой книге математических игр от Scientific American»).

Многие читатели, полюбившие задачи с полиомино и поли-амондами, предложили мне другие способы выбора основного на­бора многоугольников, на основе которых можно придумывать по­добные головоломки. В этой главе мы рассмотрим два таких набора, которые чаще всего упоминаются в письмах читателей. Однако до сих пор сведений в печати о них крайне мало.

Так как существует только три типа равносторонних многоуголь­ников, которыми можно заполнить поверхность (квадрат, равносто­ронний треугольник и правильный шестиугольник), то в первую очередь на ум приходит именно составление различных фигур из набора одинаковых шестиугольников. Два шестиугольника можно соединить всего двумя способами, три — тремя, а четыре — семью. Из-за того что такие фигуры напоминают структурные химические формулы веществ с бензольными кольцами, двое читателей, Элинор Шварц и Джеральд Дж. Клутье, предложили называть их «бензена-ми». Предлагались и другие названия. Однако мне кажется наилуч­шим вариант «полигексы», предложенный Дэвидом Кларнером, одним из первых исследователей таких фигур. На рис. 58 показаны 7 тетрагексов с названиями, предложенными читателями.

Следующий по числу составных частей набор шестиугольников — пентагекс — имеет 22 разновидности, так что в качестве развлечения несколько громоздок. Гексагексов существует 82, гептагексов — 333, а октагексов — 1448. (Зеркальные отражения не считаются отдель­ными фигурами.) Подобно случаям полиомино и полиамондов, для вычисления числа полигексов, которые могут быть сложены из дан­ного числа шестиугольников, формула пока не найдена.

Читателю предлагается вырезать набор тетрагексов из картона. Если у вас дома пол выложен шестиугольными плитками, вы може­те вырезать детали соответствующего размера, чтобы использовать пол в качестве игрового поля для составления тетрагексов. Из вось­ми симметричных фигур, представленных на рис. 59, все, кроме од­ной, можно составить из полного набора (семи тетрагексов). Мно­гие читатели предлагали в своих письмах «ромб», «треугольник» или «башню». «Клякса» и «виноградная гроздь» — изобретения Ричарда Э. Хорвитца, «кольцо» — Клутье, «пирамида» — Кларнера, а «ковер» — Т. Марлоу и Кларнера. Можете ли вы найти здесь фигуру, не состав­ляющуюся из семи тетрагексов? Пока не найдено простого доказа­тельства её невозможности. (Эта фигура — не «башня», хотя сложить её трудно, и существует лишь один способ сделать это, если не счи­тать банальной перестановки двух частей, образующей зеркальное отображение фигуры.) Использовать необходимо все семь деталей. Решения, полученные отражением всей конфигурации, не считают­ся отдельными.

Из 22 пентагексов (рис. 60) можно получить множество удиви­тельных симметричных фигур. «Ковер» (который можно разделить на две части и составить из них более длинный и узкий ковер) при­думал Роберт Дж. Кларнер (отец Дэвида Кларнера). Другие фигуры присланы Кристофом М. Хоффманом из Гамбурга. Обратите вни­мание на то, что два ромба можно сложить иначе и получить «ромб» (точнее сказать, параллелограмм) размером 5 х 22 шестиугольника. (Марлоу предложил различные способы составления такого двой­ного ромба и ромба, состоящего из двух треугольников.) Но ни из тетра-, ни из пентагексов нельзя составить шестиугольник. Однако Марлоу и мисс Шварц предложили способ составления этой фигу­ры со стороной 4 из семи тетрагексов и трёх тригексов.

Взяв неправильные многоугольники, мы увидим, что самые про­стые из них — это равнобедренные прямоугольные треугольники. Их можно соединять друг с другом катетами или гипотенузами. Мы будем называть катеты сторонами s, а гипотенузы — сторонами А. Первым описал эту группу фигур в литературе Томас О'Бирн (New Scientist, декабрь 1961). Воспользоваться деталями такой формы ему предложил житель английского Бристоля С. Дж. Коллинз, предло­живший называть фигуры, состоящие из четырёх треугольников,

«тетраболо». Отсюда возникло общее название — «полиаболо». Су­ществует три варианта диаболо, четыре триаболо, 14 тетраболо, 30 пентаболо и 107 гексаболо.

Набор из 14 тетраболо, представленный на рис. 61, имеет общую площадь в 28 квадратов со стороной s, или в 14 со стороной А. Так как оба эти числа не являются квадратами, составить из полного набора тетраболо квадрат невозможно. Квадрат размером 2s у. 2s имеет пло­щадь, соответствующую площади двух тетраболо, — однако доказано, что составить его из них невозможно. Существует три квадрата, ко­торые можно составить из неполного набора тетраболо (см. рис. 62).

£2*

wkm

1 шш Ш

Если вы вырежете из картона полный набор тетраболо, то навер­няка получите удовольствие, составляя из них эти квадраты. Для са­мого маленького из них имеется лишь два решения, а для остальных найдены ещё далеко не все.

На рис. 63 показаны все прямоугольники со сторонами из отрез­ков s, площадь которых такова, что позволяет составить их из пол­ного или неполного набора тетраболо. На рис. 64 — прямоугольни­ки со сторонами из отрезков И. (Очевидно, что получить прямо­угольник с двумя сторонами, равными И, невозможно, за исключе­нием квадрата hxh.) Обратите внимание на то, что наибольшие по площади прямоугольники каждого типа, для составления которых необходим полный набор тетраболо, считаются неразрешимыми. Ниже я приведу замечательное доказательство этого, найденное О'Бирном и опубликованное им в собственной колонке в журнале New Scientist от 18 января 1962 года.

Большинство доказательств невозможности существования по-лиомино базируются на раскрашивании фигур по типу шахматной доски. Но в данном случае этот способ не помогает. Доказательство О'Бирна основано на числе сторон h, которые имеются у полного набора деталей. Если каждую деталь разместить таким образом, что­бы катеты составляющих её треугольников располагались по гори­зонтали и по вертикали, как на рис. 61, то их гипотенузы будут на­правлены либо наклонно влево, либо наклонно вправо. У фигуры А нет сторон, образованных гипотенузами (отрезками И). Эта и следу­ющие восемь фигур (В, С, D, Е, F, G, Н, I) называются «четными», так как в каждой из них четное число отрезков h_y направленных в обе стороны. (Ноль также считается четным числом.) Остальные пять фигур (J, К, L, М, N) называются «нечетными», так как у них по нечетному числу отрезков h каждого направления.

Из того, что существует нечетное число «нечетных» фигур, сле­дует, что неважно, каким способом составлена фигура со сторонами из отрезков s, ориентированных ортогонально. В ней все равно бу­дет иметься нечетное число сторон из отрезков Л, направленных на­клонно в обе стороны.

Теперь рассмотрим два прямоугольника, для построения кото­рых требуется полный набор из 14 тетраболо. Очевидно, что в каж­дом прямоугольнике должно быть четное число отрезков h, направ­ленных в обоих направлениях. Внутри такого прямоугольника лю­бой отрезок И имеет пару — такой же отрезок, направленный в ту же сторону. Таким образом, полное число внутренних отрезков h обоих

	\	N
		\	\
2X4

		\			/
			\	/	/
				/
3X6

3X8

1	■			■—1		: т 'f,J,,lf; ■ 11	| ! ,|
т ■■' 1 1					1 !. г 1 .А ,1 1		it

2Х(7... 14)

	\	\
		/
	\	А
	А	\ X .	/ 5

Рис. 63.

Прямоугольники из тетраболо со сторонами из отрезков s. Доказано, что серые прямоугольники невозможно составить из существующих тетраболо.

						г -
h.-l„ .1
						■

4X6

4X7

типов должно быть четным. В треугольнике же, стороны которого состоят из отрезков И, отрезков каждого типа по периметру также будет четное число. Таким образом, нельзя сложить прямоугольник из полного комплекта 14 тетраболо. Это доказательство нельзя при­менять для всех билатерально симметричных фигур. Возможно, вам будет интересно самостоятельно доказать это, попробовав сложить такую фигуру из 14 тетраболо.

Закрашенные серым прямоугольники на рис. 63, имеющие в вы­соту четное число отрезков s, а в длину 7 и более таких отрезков, не могут быть составлены из тетраболо. Это можно доказать, попробо­вав поместить внутрь такого прямоугольника шесть тетраболо (В, D, Е, G, М, N). Мы увидим, что это невозможно сделать, если не разбивать прямоугольник на две части, которые не будут представ­лять собой набор из квадратов со стороной s. Таким образом, эти те­траболо не могут входить в состав прямоугольника. Из оставшихся же тетраболо можно составить фигуру, максимальная величина пе­риметра у которой будет равн# \7s. Однако прямоугольник разме­ром 2x7 имеет периметр, равный 1 Ss, что на один отрезок s больше, чем имеется в частичном наборе из восьми тетраболо.

На рис. 63 и 64 показано разбиение на составные части всех пря­моугольников, для которых известны эти способы (на основе тетра­боло). Существуют ли четыре незаполненных прямоугольника? Для построения каждого из них требуется 12 тетраболо, то есть из пол­ного набора должны быть исключены одна «четная» и одна «нечет­ная» фигура. Прямоугольник со сторонами 3x8, вероятно, невоз­можно составить из имеющихся тетраболо, так как его большой пе­риметр значительно ограничивает число способов, которыми мож­но соединить составные части. Тем не менее ни для одного из этих четырёх четырёхугольников не найдено доказательства невозмож­ности. И в то же время решения для них также пока не известны.

Читатели, уверенные в своих математических талантах, могут попробовать сложить непростую фигуру — квадрат, предложенный О'Бирном. Из полного набора тетраболо исключаются шесть сим­метричных фигур, не изменяющихся при перевертывании, и ис­пользуются только оставшиеся восемь несимметричных (D, F, Н, 1, J, К, М, N). Так как их общая площадь равна 16 квадратам со сторо­ной s, они могли бы составить квадрат со стороной 4s. Однако у та­кого квадрата по краям должны располагаться 16 одинарных s-ква-дратов, а из восьми данных тетраболо можно получить только 12 та­ких квадратов, расположенных по периметру. Но если брать не толь­

ко сами восемь несимметричных тетраболо, но и их зеркальные от­ражения, то картина меняется. В данном случае мы имеем 16 дета­лей, которые нельзя переворачивать, то есть для решения нужно ис­пользовать обе зеркальные формы тетраболо. Все 16 деталей имеют общую площадь в 16 квадратов со стороной А. Можно ли получить из них квадрат со стороной в 4Л? О'Бирн доказал возможность это­го. Однако построения оказались очень сложны и не были опубли­кованы.

С помощью тетраболо также можно найти ответ на необычный вопрос, поставленный К. Дадли Лэнгфордом из шотландского Эйр­шира и переданный мне британским математиком X. Мартином Канди. Лэнгфорд спрашивает, существуют ли такие четыре фигуры одинаковой площади, но разной формы (зеркальные отображения разными не считаются), которые можно сложить четырьмя различ­ными способами так, чтобы получились четыре фигуры той же фор­мы, но большей площади, чем исходные? В каждой большой фигу­ре должны присутствовать все четыре маленьких. Мне удалось най­ти простое решение этой задачи с применением четырёх тетраболо. Можете ли вы найти эти четыре фигуры и показать, как они склады­ваются?

ДОПОЛНЕНИЕ

В Европе производились и продавались головоломки-тетрагексы, однако в США мне ничего подобного не попадалось. В 1971 году в продажу поступил набор пласт/массовых полигексов (из 10 деталей: трёх тригексов и семи тетрагексов) с прилагающимся буклетом за­дач Стюарта Т. Коффина под названием «Снежинка».

Многие читатели смогли найти доказательства единственности способа построения «башни» из тетрагексов (в двух зеркальных ва­риантах). Во всех доказательствах ключевым моментом является по­ложение «пропеллера».

Эндрю К. Кларк из английского Чешира написал, что из любых полигексов 4-го и 5-го порядков можно составить непрерывную по­верхность, а среди гексагексов таким свойством обладают все, кро­ме четырёх фигур. Также он указывает на то, что поверхность мож­но «замостить» любым полиаболо четвертого порядка. Для пятого порядка исключений уже четыре, для шестого — 19. Но эти резуль­таты никем не подтверждены.

В.Ф. Ланнон, сотрудник Атласской компьютерной лаборатории в Чилтоне, Англия, подсчитал число существующих полигексов до 12-го порядка. Эти сведения опубликованы в статье Counting Hexagonal and Triangular Polyominoes («Подсчет шестиугольных и тре­угольных полиомино»), опубликованной в сборнике Graph Theory and Computing, под редакцией Р.К. Рида в 1972 году. Число существу­ющих полигексов от 9-го до 12-го порядка равно соответственно 6572, 30 490, 143 552 и 683 101.

Подсчетом полиаболо практически никто не занимался. Не­сколько читателей сходятся на том, что число существующих гепта­

боло — 318. Чарльз В. Тригг насчитал 1106 октаболо, а Роберт Оли­вер — 3671 нонаболо.

ОТВЕТЫ

Несуществующая фигура-тетрагекс из представленных на рис. 59 — треугольник. Доказательство невозможности его существования, представленное Дэвидом Кларнером, начинается с рассмотрения ограниченного числа положений, в которых может находиться «пропеллер».

На рис. 65 показано предложенное Кларнером решение для са­мой сложной фигуры — «башни». Обратите внимание, что закра­шенная часть фигуры имеет ось симметрии, относительно которой её можно отобразить зеркально, и таким образом получить второе решение.

Один из способов составить квадрат из восьми асимметричных тетраболо и их зеркальных отображений (без переворачивания де­талей) был найден независимо друг от друга в 1962 году двумя бри­танскими энтузиастами — Р.А. Селтерингтоном из Таунтона и Э.Ф. Спинксом из Летчфорта (см. рис. 66). Детали G, H и М обра-

зуют фигуру, которая может быть зеркально повернута. Группы JKN и FJ К также можно повернуть, а СЕ можно поменять местами с MP, что даст нам различные варианты решения. Томас О'Бирн из Глазго недавно нашел новый способ размещения А, В, С, D, Е, F, G и Н, при котором из них составляется искомый квадрат, внутри ко­торого в результате поворотов деталей вокруг своей оси и их взаим­ного обмена местами возможны и другие варианты решения. Од­ним словом, полный набор решений не только не найден, но и не подсчитан.

Из четырёх тетраболо можно составить фигуры, повторяющие по форме каждую из составных частей (см. рис. 67). Для этого необ­ходимо лишь переместить треугольник. Обратите внимание, что при перемещении треугольника в другие позиции возникают фигу­ры, повторяющие очертания ещё четырёх тетраболо. В результате получается восемь различных фигур, то есть более половины всего набора тетраболо. Уэйд Э. Филпотт и другие заметили, что такая же задача может быть решена и для тетраболо С, I, К и L.

Имеются ли другие наборы из четырёх различных составных ча­стей, обладающие теми же характеристиками? Морис Дж. Пова из Блэкберна, Англия, доказал, что их существует бесконечное число. Его доказательство основывается на решении, показанном на рис. 68, слева, где из четырёх октомино получается четыре различные фигу­ры большего размера, но тех же очертаний. При аффинном преоб­разовании, изменяющем углы, получаем бесконечное множество решений.

Пова также нашел решение для задачи с четырьмя гексамино (см. рис. 69). Эти детали соединяются в 15 различных гексамино, в том числе и в подобные себе. Пова считал, что для гексамино других реше­ний не существует. Самое большее, чего он добился с пентамино, это четыре «укрупненные» детали, которые ему удалось сложить из четы­рёх исходных форм (правда, подобием форм пришлось пожертвовать).

г

Рис. 69.

Решение задачи с получением подобных фигур из гексамино

Подборку задач с четырьмя прямоугольниками из тетраболо раз­решил Джон Харрис, изящно доказав, что ^-прямоугольники разме­ров Зх8и4х6не могут быть составлены из существующих тетра­боло, и найдя решения для двух Л-прямоугольников 2 х 6 и 3 х 4.

ГЛАВА 12

^{Совершенные, дружественные,}

_{общительные}

Нелегко найти другое множество целых чисел, обладающее столь же увлекательной историей и столь же изящными характеристиками и окруженное такой же бездной тайн — и столь же бесполезное с прак­тической точки зрения, — как совершенные числа и их близкие род­ственники, дружественные числа.

Совершенное число — это всего лишь число, равное сумме всех собственных делителей (за исключением самого числа). Наимень­шее такое число — 6. Оно равно сумме своих трёх делителей: 1, 2 и 3. Следующее в этом ряду — число 28. Оно представляет собой сумму 1+2 + 4 + 7 + 14. Эти два числа произвели когда-то большое впе­чатление на комментаторов Ветхого Завета — как иудейских, так и христианских. Ведь мир был создан Богом за 6 дней, а Луна обора­чивается вокруг Земли за 28! Августин Блаженный в «Граде Божьем» (книга 11, глава 30) утверждает, что Бог мог бы создать мир за одно мгновение, однако предпочел заниматься этим 6 дней, ибо совер­шенство этого числа подразумевает совершенство сотворенной Все­ленной. (Ещё раньше подобные взгляды были высказаны Филоном Александрийским в третьей главе его труда «О сотворении мира».) Августин в заключение главы, посвященной числу 6, говорит так: «Не следует пренебрегать числами. Внимательному взору открыва­ется, какое великое значение нужно придавать им во многих местах Священного Писания».

Первым выдающимся достижением в области теории совершен­ных чисел было великолепное евклидово доказательство того, что выражение 2^Л_1(2^Л — 1) всегда равно четному совершенному числу, если выражение в скобках представляет собой простое число. (Оно не может быть простым, если только п не является простым; если же п — простое, тогда IP — 1 не оказывается простым очень редко.) Только 2000 лет спустя Леонард Эйлер доказал, что этой формулой выражаются все четные совершенные числа. Говоря о «совершен­ных числах», я буду иметь в виду именно «четные совершенные чис­ла», поскольку ни одного нечетного совершенного числа не извест­но и, как предполагают, не существует.

Чтобы интуитивно ухватить суть замечательной формулы Евкли­да и увидеть, насколько тесно она связывает совершенные числа с хорошо знакомым нам рядом удвоения 1, 2,4, 8, 16..., вспомните ле­генду о персидском царе, которому так понравилась игра в шахма­ты, что он пообещал её изобретателю любой дар, который он толь­ко захочет. Мудрец попросил у него вроде бы скромный дар: одно пшеничное зернышко за первую клетку шахматной доски, два — за вторую, четыре — за третью и так далее по степеням числа 2 до 64-й клетки. Оказалось, однако, что за последнюю клетку он должен был получить 9 223 372 036 854 775 808 зерен. Общее же число всех зерен равно удвоенному этому числу минус 1, то есть в несколько тысяч раз больше, чем весь мировой урожай пшеницы за год.

На рис. 70 каждая клетка шахматной доски обозначена числом зерен, которые нужно было на неё положить. Если отнять от любой клетки по одному зерну, то получится 2" — 1, где п — номер клетки, то есть выражение в скобках из формулы Евклида. Если это число — простое, то умножим его на число зерен в предыдущей клетке (2"~^х в формуле). Вуаля! У нас получилось совершенное число! Простые числа типа 2^п — 1 теперь называются простыми числами Мерсенна в честь французского математика XVII века, занимавшегося их изуче­нием. На рисунке закрашены клетки, которые при отнятии одного зерна становятся мерсенновыми числами и из которых получаются первые девять совершенных чисел.

С помощью формулы Евклида несложно доказать разнообраз­ные причудливые и занятные свойства совершенных чисел.

Например, все совершенные числа являются треугольными. Это значит, что совершенное число зерен можно разложить в форме рав­ностороннего треугольника, как десять кеглей или пятнадцать бил­лиардных шаров. Иными словами, каждое совершенное число мож­но представить в виде суммы 1 + 2 + 3 + 4 + ... Также просто пока­зать, что любое совершенное число, за исключением 6, является суммой последовательных кубов нечетных чисел: I³ + З³ + 5³ + ...

Цифровой корень любого совершенного числа (кроме 6) - еди­ница. Чтобы получить цифровой корень, сложите все цифры в чис­ле, потом сложите цифры в получившемся результате и продолжай­те в том же духе до тех пор, пока не останется одна цифра. Это то же самое, что исключать последовательно все девятки в записи в про­цессе суммирования. Так что, утверждая, что цифровой корень чис­ла равен 1, мы имеем в виду, что при делении этого числа на 9 в ос­татке будет 1. Для доказательства этого свойства совершенных чисел требуется показать, что евклидова формула всех совершенных чисел дает число с цифровым корнем, равным единице, всегда, когда п — нечетное, поскольку все простые числа, за исключением 2, - нечет­ные. Единственное четное простое число, 2, дает единственное со­вершенное число — 6, не имеющее в качестве цифрового корня еди­ницу. Также все совершенные числа (кроме 6) делятся без остатка на 4 и по модулю 12 равны 4.

Из-за того что совершенные числа так тесно связаны со степеня­ми двойки, можно ожидать, что в них обнаружатся какие-нибудь примечательные свойства при записи их в двоичном коде. Я предла­гаю вам вначале самостоятельно попытаться установить правило, с помощью которого это можно сделать, а затем доказать, что оно применимо в любом случае.

Ещё одно удивительное свойство совершенного числа в том, что сумма чисел, обратных всем делителям, включая само число, равно 2. Например, возьмем число 28:

11111 1 ~

- + - + - + - + — + — = 2.

1 2 4 7 14 28

Эта теорема практически непосредственно вытекает из самого определения совершенного числа п как суммы собственных делите­лей. Очевидно, что сумма всех делителей такого числа равна 2п. Пусть а,Ь,с,— все делители совершенного числа. Тогда можно за­писать равенство таким образом:

п п п -—I—I—h... = 2лг.

а Ъ с

Разделив все члены на я, получим:

111 ~ - + - + - + ... = 2.

а Ъ с

Верно и обратное. Если числа, обратные всем делителям числа я, в сумме дают 2, то это число — совершенное.

Два самых существенных вопроса, касающихся совершенных чисел, на которые пока не найдено ответа: существуют ли нечет­ные совершенные числа и бесконечен ли ряд четных совершен­ных чисел? Пока не найдено ни одного нечетного совершенного числа, однако и не доказано то, что такие числа не существуют. (Брайант Такерман в 1967 году показал, что если нечетное совер­шенное число существует, то оно должно быть больше 10³⁶.) Ответ на второй вопрос зависит от того, бесконечно ли множество про­стых мерсенновых чисел, так как каждое такое число непосредст­венно связано с соответствующим совершенным числом. Если подставить в формулу 2^п — 1 вместо п первые четыре мерсенновых простых числа (3, 7, 31 и 127), в результате получатся более круп­ные мерсенновы числа. Более семидесяти лет математики надея­лись, что эта процедура в конечном итоге приведет к установле­нию бесконечности ряда мерсенновых чисел. Однако очередное выражение, где « = 2¹³ — 1 = 8191, повергло их в уныние. В 1953 го­ду на ЭВМ было рассчитано, что 2⁸¹⁹¹ — 1 не является простым числом. Никто не знает, продолжается ли ряд мерсенновых про­стых чисел бесконечно или имеет свой предел.

В своей книге Number Theory and Its History («Теория чисел и её история») Остен Ор приводит кажущееся весьма разумным пред­сказание Питера Барлоу, взятое им из книги этого автора. Книга Питера Барлоу Theory of Numbers («Теория чисел») увидела свет в 1811 году. Приводя девятое совершенное число, Барлоу добавляет: «Это самое крупное из совершенных чисел, которые будут найдены, так как, учитывая полное отсутствие области их практического при­менения, маловероятно, чтобы кто-нибудь стал утруждаться вычис­лением больших, чем данное, совершенных чисел». В 1876 году французский математик Эдуар Люка, автор классического четырёх­томного труда по занимательной математике, объявил о нахожде­нии следующего совершенного числа, 2¹²⁶(2¹²⁷ — 1). Двенадцатое мерсенново число, на основе которого оно было вычислено, на один меньше, чем число зерен, соответствующее последней клетке второй шахматной доски, если продолжать заполнять её по тому же алгоритму, что и первую. Позднее Люка усомнился в этом числе, од­нако впоследствии было доказано, что оно действительно простое. Это самое большое из мерсенновых чисел, найденное без помощи современных ЭВМ.

На рис. 71 приведены формулы для 24 известных совершенных чисел, число знаков в каждом из них и несколько самих чисел, размеры которых позволяют поместить их в таблицу. Двадцать третье совершенное число появилось на свет в 1963 году, когда с помощью ЭВМ в Иллинойском университете было найдено двад­цать третье мерсенново число. Математический факультет уни­верситета был так горд своим открытием, что долгие годы после этого это число красовалось на почтовых штемпелях этой органи­зации (см. рис. 72, вверху). В 1971 году в исследовательском цен­тре компании IBM, расположенном в Йорктаун-Хайтс в Нью-

	Формула	Число	Число цифр
1	2](22- 1)	6	1
2	22{23- 1)	28	2
3	24(25- 1)	496	3
4	25(27- 1)	8128	4
5	2i2j2i3 _ ^ j	33 550 336	8
6	216{217 - 1)	8 589 869 056	10
7	218(219 - 1)	137 438 691 328	12
	230j23i _ 1 j	2 305 843 008 139 952 128	19
9	2*0j26i _ 1 j		37
10	288j289 _ j j		54
11	2i06j2i07 _ i j		65
12	2126(2127_1)		77
13	2520J2521 _ | J		314
14	2606j2607 _ 11		366
15	2l278j21279 _ j j		770
16	22202^2203 _ j j		1327
17	22280|22281 _ jj		1373
18	23216J23217 _ ц		1937
19	24252j24253 _ j j		2561
20	24422^4423 _ jj		2663
21	29688|29689 _ ^ j		5834
22	29940j29941 _ jj		5985
23	211212J211213 _ jj		6751
24	219936J219937 _ | j		12 003

Рис.71.

Двадцать четыре известных совершенных числа

6-10396

Йорке, Такерман нашел двадцать четвертое мерсенново число (см. рис. 72, внизу).

Оно состоит из 6002 знаков и является на данный момент самым большим из известных простых чисел. И, конечно, из него следует двадцать четвертое совершенное число.

Ещё одна мучительная загадка — последние цифры в совершен­ных числах. Исходя из формулы Евклида, легко доказать, что любое четное совершенное число должно оканчиваться на 6 или 8. (Если последняя цифра — 8, то перед ней должна стоять цифра 2; если по­следняя - 6, то ей предшествует 1,3,5 или 7; исключение составля­ют 6 и 496.) Первые четыре совершенных числа - 6, 28, 496 и 8128 -были известны ещё в древности, и отсюда было сделано поспешное заключение о том, что и дальше в ряду все числа попеременно окан­чиваются то на 6, то на 8. Многочисленные античные и более позд­ние математики принимали это за догму — особенно после того, как оказалось, что пятое совершенное число действительно оканчива­ется на 6 (впервые оно было точно указано в анонимном манус­крипте XV века). Но, увы, так же оканчивается и шестое совершен­ное число. У двадцати четырёх известных совершенных чисел по­следние цифры таковы:

6, 8, 6, 8, 6, 6, 8, 8, 6, 6, 8, 8, 6, 8, 8, 8, 6, 6, 6, 8, 6, 6, 6, 6.

Эта последовательность способна привести в негодование. В пер­вых четырёх числах 6 и 8 следуют по очереди, затем четыре раза по-

^211213-i

IS PRIME

JANIT'fl

, U.S.POSIAGt!

] И С т С ■ ,

55842121

Рис. 72.

Почтовый штемпель и фирменный бланк с двумя наибольшими известными простыми числами

ЩШ^ШШ Thomat J.WetoooПммгсЪCenter I „19937 ш • _{т ялтЛвнлт}, I

ТкмГ р.ово.21» I 1 иш prime I

ЮМ^ш Yorklown Heights, Nm York 106И I "I
вторяются сочетания 66 и 88. Потом, после одинокой шестерки, следуют три восьмерки, потом три шестерки и одна восьмерка.

И наконец, появляется последовательность из четырёх шесте­рок. Есть ли какой-то смысл во всех этих сочетаниях цифр? Может, и нет. Пока никто не открыл правило, которое позволяло бы опре­делять последнюю цифру следующего, ещё неоткрытого совершен­ного числа. Однако если вам известна евклидова формула для со­вершенного числа, то найти его последнюю цифру довольно легко. Можете ли вы предложить правило для этого?

Числа, на I большие или на I меньшие суммы собственных мно­жителей, называются «почти совершенными». Все степени двойки являются «почти совершенными» числами типа +1. Никаких других почти совершенных чисел этого типа неизвестно. Но и не доказано, что их нет. Почти совершенных чисел типа -1 пока не найдено во­обще, как не доказано и то, что их не существует.

Дружественные числа возникли в результате очевидного обоб­щения совершенных. Предположим, мы берем какое-либо число, складываем все его делители и получаем следующее число. Затем складываем делители уже этого числа и продолжаем в том же духе в надежде снова прийти к начальному числу. Если оно получается на первом же этапе, другими словами, цепочка состоит всего из одно­го звена, значит, это число — совершенное. Если в цепочке два зве­на, то эти два числа называются дружественными. Каждое из таких чисел равно сумме делителей другого. Самые маленькие из таких чи­сел — 220 и 284 — были известны ещё пифагорейцам. Собственные делители 220 - это 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 и 110. Сумма этих чисел равна 284. Собственные делители 284 — 1, 2, 4, 71 и 142. Их сумма равна 220.

В братстве пифагорейцев числа 220 и 284 почитались как сим­волы дружбы. Библейские комментаторы обращали внимание на то, что в Книге Бытия (32:14) сказано о 220 козах, которых дал Иа­ков Исаву. Комментатор считает это разумным выбором, посколь­ку 220 как одно из пары дружественных чисел символизировало любовь Иакова к Исаву. В Средние века эти числа использовались в составлении гороскопов, а талисманы с ними считались дарую­щими любовь. В одиннадцатом веке некий араб записал, что ис­пытал эротическое переживание, съев нечто, помеченное числом 284, в то время как второй участник эксперимента проглотил чис­ло 220. Правда, никаких подробностей этот экспериментатор, увы, не приводит.

Следующая пара дружественных чисел, 17 296 и 18 416, была найдена только в 1636 году знаменитым Пьером де Ферма. Ферма и Рене Декарт независимо друг от друга открыли правило для на­хождения определённого типа дружественных пар. Им не было из­вестно, что то же самое правило уже в IV веке вывел один арабский астроном. С его помощью Декарт нашел третью пару: 9 363 584 и 9 437 056. В XVIII веке Эйлер составил список 64 дружественных пар (правда, две из них впоследствии оказались не дружественны­ми). Адриан-Мари Лежандр в 1830 году нашел ещё одну такую па­ру. Затем, в 1867 году, шестнадцатилетний итальянец Б. Николо И. Паганини (тезка знаменитого скрипача) поразил математический мир, заявив, что дружественными являются числа 1184 и 1210. Эту вторую снизу по величине пару до сих пор почему-то никто не за­мечал! Хотя, вероятно, юноша обнаружил её просто путем проб и ошибок, это открытие навсегда вписало его имя в историю теории чисел.

Сейчас известно более тысячи пар дружественных чисел (на рис. 73 приведены пары, меньшие, чем 100 000). Самый полный список дан в монографии Элвина Дж. Ли и Джозефа Мадахи The History and Discovery of Amicable Numbers («История и открытие дружественных чисел»), опубликованной в журнале Journal of Recreational mathema­tics, том 5, № 2, 3 и 4, 1972.

Рис. 73.

Пары дружественных чисел, содержащие 5 и менее разрядов

1	220	284
2	1184	1210
3	2620	2924
4	5020	5564
5	6232	6368
6	10 744	10 856
7	12 285	14 595
СО	17 296	18416
9	63 020	76 084
10	66 928	66 992
11	67 095	71 145
12	69 615	87 633
13	79 750	88 730

Самые крупные числа из 1107 пар этого списка имеют по 25 раз­рядов. В том же, 1972, году Х.Ж.Ж. Риель из Амстердама нашел ещё несколько пар, которые не попали в этот список. Самые большие из них имеют по 152 разряда. Насколько мне известно, это самые боль­шие дружественные числа, известные на сегодняшний день.

В каждой паре дружественных чисел либо оба четных, либо (го­раздо реже) оба нечетных числа. Но пока никем не доказано, что не может существовать дружественной пары из четного и нечетного чисел. Все известные на сегодняшний день нечетные дружествен­ные числа являются кратными 3. Предполагается, что именно таки­ми должны быть все нечетные дружественные числа. Для расчета дружественных пар не существует общей формулы. Также неизвест­но, конечно ли их множество.

В 1968 году я обратил внимание на то, что сумма любых чисел в дружественной четной паре кратна 9, и решил, что это верно для всех таких пар. Ли развенчал мой вывод, найдя три примера, не под­чиняющихся этой закономерности, среди известных дружествен­ных чисел, а затем нашел ещё восемь пар среди тех, что вычислил сам. (См. статью On Division by Nine of the Sums of Even Amicable Pairs, Элвин Дж. Ли, Mathematics of Computation, вып. 22, июль 1969, с. 545—548.) Так как все числа, не соответствующие моему предполо­жению, имеют цифровой корень, равный 7, я изменил свое утверж­дение следующим образом. «За исключением дружественных пар чисел, равных 7 (по модулю 9), все остальные четные дружествен­ные числа при сложении в паре друг с другом дают 0 (по модулю 9)».

Если в цепочке, приводящей обратно к исходному числу, имеет­ся более двух звеньев, такие числа называются «общительными». До 1969 года было известно лишь две такие цепочки. Обе обнародовал в 1918 году французский математик П. Пуле. Одна из этих цепочек — пятичленная. Она состоит из чисел 12 496, 14 288, 15 472, 14 536 и 14 264. Другая начинается с числа 14 316 и имеет двадцать восемь звеньев! Это самая длинная из известных цепочек общительных чисел. (Обратите внимание на то, что 28 - это совершенное число, а если в самом маленьком числе этой цепочки переставить тройку в начало, то получится число к с точностью до 4 знаков после за­пятой.)

И вдруг парижанин Анри Коэн в 1969 году открыл восемь цепо­чек общительных чисел по четыре звена в каждой! (См. его статью On Amicables and Sociable Numbers, журнал Mathematics of Computation, вып. 24, с. 423—429.) Позднее другими математиками были найдены ещё четырёхчленные цепочки. Всего сегодня известно 14 таких це­почек, самые маленькие числа в которых таковы:

2 2 4 7 18 18 28 46 81 174 209 330 498

264 115 784 938 169 048 656 158 722 128 277 524 003 215

460 324 580 136 104 976 380 165 700 632 820 210 580 416

За исключением открытых в 1918 году пятичленной и двадцати-восьмичленной цепочек, других, содержащих более 4 звеньев, неиз­вестно. Самая большая загадка — существует ли цепочка общитель­ных чисел длиной в три звена, получившая название «толпы»? Ни­кто не может найти причину, по которой её существование было бы невозможным. Однако никто до сих пор не нашел и примера такой цепочки. Перебор с помощью компьютера чисел вплоть до 60 мил­лиардов не дал результата. Несмотря на бесполезность таких мно­жеств, их поиски, вероятно, будут продолжаться и дальше, пока кто-нибудь не найдет трёхчленную «толпу» или не докажет её невоз­можность.

ОТВЕТЫ

Какое простое правило можно предложить для записи совершенно­го числа в двоичной системе, если у вас есть его евклидова форму­ла? Вспомним формулу: 2"~'(2" — 1). Правило будет таким: запи­шем п единиц, а затем п — 1 нулей. Пример: совершенное число 496 = 2^5-1(2⁵ — 1) в двоичной системе запишется как 111 110 000.

Это правило просто понять. В двоичной системе 2" — это всегда 1 с п нулями. Выражение в левой части формулы Евклида, 2"~', сле­

довательно, будет в двоичной системе представлять собой 1 и п — 1 нулей. Выражение в скобках (2^п — 1), иначе говоря, число, на 1 меньшее «-ной степени двойки, в двоичной системе будет представ­лять собой п единиц. Очевидно, что произведением этих двух чисел станет число с п единицами и п — 1 нулями.

Читателям наверняка будет интересно проверить теорему о сум­ме чисел, обратных множителям совершенного числа, записав эти обратные числа в двоичной системе и затем сложив их.

Для нахождения последней цифры совершенного числа можно применить несколько правил, основанных на его евклидовой фор­муле. Данное правило кажется мне самым простым. Оно примени­мо ко всем совершенным числам, за исключением 6. Если показа­тель степени (п — 1) кратен 4, то совершенное число оканчивается на 6. В противном случае оно оканчивается на 28.

ГЛАВА 13

Полиомино и спрямление

Всеобщий интерес к полиомино был порожден книгой Соломона В. Голомба Polyominoes («Полиомино»). Полиомино — это многогран­ник, образованный соединенными по граням единичными квадра­тами. В свою очередь, популярность полиомино подтолкнула Го­ломба, преподававшего электроинженерию и математику в универ­ситете Южной Калифорнии, уделить больше свободного времени изучению некоторых темных углов данной области. В своих пись­мах он постоянно ставил занимательнейшие задачи, имевшие отно­шение к игре в пентамино, которую изобрел много лет назад.

На рис. 74 показаны 12 возможных пентамино (полиомино, со­стоящих из пяти квадратов) с названиями, данными им Голомбом. Чтобы сыграть в стандартную игру в пентамино, вам понадобятся эти 12 фигур, вырезанных из картона, и стандартная доска для ша­шек 8x8 клеток, которые должны быть такого же размера, что и квадраты, из которых состоят ваши пентамино. Если вы ещё никог­да не играли в такую игру, вам лучше приготовить набор пентами­но и заранее потренироваться с ним. Эта игра — одна из самых не­обычных математических настольных игр, появившихся в послед­ние годы.

Играют в неё вдвоем. Игроки садятся за доску и кладут рядом на­бор пентамино. Первый игрок берет любую фигуру и кладет её на любые пять клеток доски. Второй кладет на доску вторую фигуру, и так далее, пока кто-то из игроков окажется не способен сделать ход — либо потому, что ни один из оставшихся пентамино не подходит к оставшимся свободным клеткам, либо потому, что больше не оста-

_{*ЧТ f F V I}

NT F Р VI

_{У *Luwl}

Y X L U W Z

Рис. 74.

12 пентамино

лось не выложенных на доску фигур. Этот игрок считается проиг­равшим. Конечно, запрещается пользоваться какими-либо наброс­ками. Партии в эту игру обычно скоротечны. Для успешной игры необходимо мастерство и воображение. Математики пока абсолют­но не имеют понятия, кто из игроков должен выигрывать при усло­вии безошибочной игры. «Полный анализ этой игры, — пишет Го­ломб, — представляет собой задачу, приближающуюся по своей сложности к пределам возможностей быстродействующего ком­пьютера при условии наличия существенного запаса времени и крайне сложной программы». Голомб объясняет, что наиболее ус­пешная стратегия для этой игры — постараться разделить доску на отдельные равные участки. В этом случае весьма вероятно, что на каждый ход вашего противника, сделанный на одном участке дос­ки, вы сможете ответить ходом на другом участке. Если игра будет продолжаться в таком же духе, последний ход останется за вами.

Голомб разработал типичный пример, в котором оба игрока ста­раются придерживаться этой стратегии. Он показана на рис. 75. Иг­рок А кладет фигуру рядом с центром доски, чтобы не дать своему противнику разделить её. Игрок Б в ответ кладет фигуру Uвплотную к А^ход 2). Голомб замечает, что это хороший ход, так как он «не уп­рощает ситуацию для противника и не позволяет ему разделить до­ску». Игрок А теперь также старается перехитрить противника. Он кладет фигуру L (ход 3) так, чтобы препятствовать разделению дос­ки. Четвертый ход, который делает игрок Б, неудачен, так как он позволяет игроку А положить фигуру W (ход 5) таким образом, что

Рис. 75.

она делит доску на два равных участка по 16 клеток в каждом. В дан­ном случае эти участки равны не только по размеру, но и по форме.

Теперь игрок Б кладет фигуру / (ход 6), надеясь, что противник не найдет фигуры, соответствующей другому свободному участку. Однако А оказывается способен положить фигуру Р так, что в ре­зультате выигрывает. Все три оставшиеся свободными участка до­статочно велики для того, чтобы вместить фигуру. Однако те, что могли бы подойти — I, Pvs.ll, — уже были использованы.

Наиболее интересный вариант стандартной игры, продолжает Голомб, это игра с предварительным выбором пентамино. В этом случае игроки выбирают фигуры не перед каждым ходом, а зара­нее, перед началом игры, по очереди. Тот, кто последним берет фи­гуру, ходит первым. Игра продолжается как обычно, за исключе­нием того, что игрок может выкладывать на доску только свои фи­гуры. В этом случае стратегия игры совершенно иная. Вместо того чтобы пытаться разделить доску, добившись того, чтобы осталось четное число ходов, игрок старается обеспечить как можно больше возможностей для размещения своих фигур и одновременно ли­шить противника места на доске, подходящего для его фигур. Это осуществляется созданием «убежищ», как назвал их Голомб, — участков доски, которым соответствуют только собственные фигу­ры игрока.

Партия этого типа изображена на рис. 76. Голомб комментирует её следующим образом. Игрок А избавляется от фигуры X, самой не­удобной из имеющихся у него, делая первый ход, как показано на рисунке. (Фигуры, выбранные каждым из игроков, перечислены сбоку от доски; после использования они вычеркиваются.) Игрок Б в свою очередь выкладывает свой «неудобный» вариант — фигуру W

(ход 2). Теперь А ходит фигурой F (ход 3), чтобы создать убежище для своего Y. Игрок Б при помощи фигуры L отгораживает убежище для U (ход 4). Ход 5 — игрок А кладет фигуру N. Б кладет фигуру / (ход 6) так, чтобы получившийся треугольник 2x3 соответствовал бы только двум из оставшихся фигур — Р и U. Затем игрок А кладет фигуру К (ход 7), но сдается, так как понимает, что дальше игра пой­дет именно так, как показано на рисунке (ход 8). Игроки по очере­ди заполняли бы свои убежища, и в итоге А остался с фигурой Г, ко­торая никуда не подходит.

Если мастерство игроков не одинаково, Голомб предлагает дать более слабому игроку фору, позволив ему первым выбирать фигуру и ходить последним. Можно пойти и ещё дальше, дав более слабому игроку возможность выбрать первым 2 или даже 3 фигуры и также ходить последним.

Существуют и другие занятные варианты этой игры. В игре «со сдачей» названия или очертания фигур изображаются на карточках, которые перемешиваются и сдаются игрокам, как при игре в карты. Каждый игрок забирает себе те фигуры, которым соответствуют оказавшиеся у него карточки, и далее игра идет так же, как описано выше. Можно играть парами, вчетвером, тогда игроки, сидящие друг напротив друга, играют «командой». Проигрывает та команда, один из игроков которой оказывается не способен сделать ход. Так можно играть в любой из описанных вариантов — обычный, с пред­варительным выбором или со сдачей карт. Можно также играть втроем или большим числом человек, но так, чтобы каждый был за себя. В этом случае выигрывает тот игрок, кто сумеет сделать ход последним. Он получает за игру 10 очков. Тот, кто первым оказался не способен ходить, не получает ничего, а остальные игроки — по 5.

Взяв за основу стандартную игру в пентамино, Голомб предло­жил и ряд новых задач на квадратной доске необычного размера. Чтобы возможно было сделать ход, доска должна иметь размеры не менее чем 3x3 клетки. Но на такой доске тот, кто первым сделает ход, сразу же выиграет, так как положить на неё вторую фигуру бу­дет уже невозможно. На доске размером 4x4 всегда выигрывает тот, кто ходит вторым. Голомб рассмотрел все возможные варианты первого хода на такой доске — не считая размещения фигур в зер­кальном отображении и перевернутом виде — и соответствующие ответные ходы, приносящие победу (рис. 77). Во всех случаях, кро­ме одного, у второго игрока имеется выбор варианта хода. Насколь­ко быстро вам удастся найти вариант развития партии, при кото­

Скачать документ