Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Рабочая программа'
Рабочая программа по курсу «Этология» составлена на основе требований Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образован...полностью>>
'Задача'
Основными производственными задачами ОАО «ЕМЗ» является выработка сортовой пшеничной муки для удовлетворения полного потребительского спроса. В проше...полностью>>
'Документ'
«Каждый человек – отдельная определенная личность, которой вторично не будет. Люди различаются по самой сущности души; их сходство только внешнее. Че...полностью>>
'Документ'
Відповідно до вимог Законів України "Про вищу освіту" ( 2984-14 ), "Про міліцію" ( 565-12 ), Положення про Міністерство внутрішні...полностью>>

Книга посвящена анализу производственных инвестиций (долгосрочных капиталовложений в производственный процесс) и прежде всего измерению их эффективности, сравнению производственных проектов и ряду смежных проблем.

Главная > Книга
Сохрани ссылку в одной из сетей:

1

Смотреть полностью

Четыркин Е. М. Финансовый анализ производственных инвестиций. — М.: Дело, 1998. — 256с.

ISBN 5-7749-0068-1

Книга посвящена анализу производственных инвестиций (долгосрочных капиталовложений в производственный процесс) и прежде всего измерению их эффективности, сравнению производственных проектов и ряду смежных проблем. Основное внимание уделено динамическим методам анализа.

Книга предназначена широкому кругу лиц, изучающих или использующих методы финансово-экономического анализа, а также специалистам и управленцам различных уровней, связанных с инвестиционной деятельностью.

0605010204-079

Ч ——————— Без объявл. ББК 65. 053

79С(03)-98

ISBN 5-7749-0068-1

© Е. М. Четыркин, 1998

© Издательство "Дело", оформление, 1998

ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ 4

ГЛАВА 1 ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ 6

§ 1.1. Потоки платежей и аннуитеты — информационная база финансового анализа 6

§ 1.2. Обобщающие параметры потоков платежей 7

§ 1.3. Расчет обобщающих параметров непрерывных рент 13

§1.4. Эквивалентные потоки платежей 17

§1.5. Определение доходности на основе потока платежей 17

§ 1.6. Современная стоимость потока платежей с учетом риска 20

ГЛАВА 2 МОДЕЛИ ИЗНОСА ОБОРУДОВАНИЯ 23

§ 2.1. Износ оборудования и методы определения сумм амортизации 23

§ 2.2. Линейная модель 24

§ 2.3. Нелинейные методы без начисления процентов на суммы амортизации 25

§ 2.4. Нелинейные методы с начислением процентов на суммы амортизации 29

§ 2.5. Налог на имущество и выбор модели износа 32

§ 2.6. Математическое приложение 33

ГЛАВА 3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ БАРЬЕРНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ 35

§ 3.1. Общая постановка задачи. Линейная модель 35

§ 3.2. Нелинейные модели 37

§ 3.3. Барьерные точки для налоговых ставок 41

§ 3.4. Положение барьерных точек при неопределенности в исходных данных 46

§ 3.5. Барьерные точки объемов производства, финансовый подход к их определению 48

§ 3.6. Математическое приложение 51

ГЛАВА 4 ДИВЕРСИФИКАЦИЯ И РИСК 52

§4.1. Риск 52

§ 4.2. Диверсификация инвестиций и дисперсия дохода 53

§ 4.3. Минимизация дисперсии дохода 58

§4.4. Математическое приложение 60

ГЛАВА 5 ИЗМЕРИТЕЛИ ЭФФЕКТИВНОСТИ КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЙ. ЧИСТЫЙ ПРИВЕДЕННЫЙ ДОХОД 62

§ 5.1. Характеристики эффективности производственных инвестиций 62

§ 5.2. Чистый приведенный доход 68

§ 5.3. Свойства чистого приведенного дохода 72

§5.4. Математическое приложение 75

ГЛАВА 6 ИЗМЕРИТЕЛИ ЭФФЕКТИВНОСТИ КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЙ: ВНУТРЕННЯЯ НОРМА ДОХОДНОСТИ И ДРУГИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 77

§ 6.1. Внутренняя норма доходности 77

§ 6.2. Срок окупаемости 81

§ 6.3. Индекс доходности 85

§ 6.4. Соотношения относительных измерителей эффективности 86

§ 6.5. Сравнение результатов оценки эффективности 89

§ 6.6. Дополнительные измерители эффективности 90

§ 6.7. Моделирование инвестиционного процесса 91

§ 6.8. Анализ отзывчивости 94

§ 6.9. Математическое приложение 96

ГЛАВА 7 ЛИЗИНГ: РАСЧЕТ ПЛАТЕЖЕЙ 98

§ 7.1. Финансовый и оперативный лизинг 98

§ 7.2. Схемы погашения задолженности по лизинговому контракту 101

§ 7.3. Методы расчета регулярных лизинговых платежей 103

Регулярные платежи (метод А) 103

Регулярные постоянные платежи (метод Б) 108

§ 7.4. Нерегулярные платежи 110

§ 7.5. Факторы, влияющие на размеры лизинговых платежей 111

ГЛАВА 8 ИНТЕРВАЛЬНОЕ ЭКСПЕРТНОЕ ПРОГНОЗИРОВАНИЕ 113

§ 8.1. Основные элементы методики 113

§ 8.2. Методы определения интервальных прогнозов 115

МЕТОДИКА А. Расчет интервального прогноза отдельной характеристики 116

МЕТОДИКА Б. Прогноз суммы показателей 117

МЕТОДИКА В. Прогноз произведения двух параметров 119

§ 8.3. Математическое приложение 120

ПРИЛОЖЕНИЕ 121

Коэффициенты наращения дискретных рент 121

Таблица 1 121

Коэффициенты приведения дискретных рент 125

Таблица 2 125

Таблица 3 Коэффициенты наращения непрерывных рент (*стр. 235, проверить по первоисточнику) 129

Коэффициенты приведения непрерывных рент 132

Таблица 4 132

Значения функции стандартного нормального распределения 136

Таблица 5 136

Таблица 6 (1А) Коэффициенты рассрочки. Ежемесячные платежи постнумерандо, полное погашение стоимости 136

Таблица 6 (2А) Коэффициенты рассрочки. Ежемесячные платежи пренумерандо, полное погашение стоимости 137

Таблица 6 (3А) Коэффициенты рассрочки. Ежемесячные платежи пренумерандо, остаточная стоимость 10% 137

Таблица 6 (4А) Коэффициенты рассрочки. Ежемесячные платежи пренумерандо, остаточная стоимость 20% 138

Таблица 6 (1Б) Коэффициенты рассрочки. Годовые платежи постнумерандо, полное погашение стоимости 139

Таблица 6 (2Б) Коэффициенты рассрочки. Годовые платежи пренумерандо, полное погашение стоимости 139

Таблица 6 (3Б) Коэффициенты рассрочки. Годовые платежи пренумерандо, остаточная стоимость 10% 140

Таблица 6 (4Б) Коэффициенты рассрочки. Годовые платежи пренумерандо, остаточная стоимость 20% 141

ПРЕДИСЛОВИЕ

Что выгоднее — считать или не считать?

И во всех случаях выходит, что выгоднее первое,

зато доступнее второе.

Л. Лиходеев

Инвестиции по направлению вложений денежных средств делятся на две группы — чисто финансовые операции (выдача кредитов, покупка ценных бумаг, инвестиции в различные финансовые инструменты и т. д.) и производственные инвестиции — вложения в создание, реконструкцию или перепрофилирование производственных предприятий. Эти направления различаются не только по своему содержанию, но и по целям и технике исполнения количественного финансового анализа. Данная книга посвящена анализу только производственных инвестиций, главным образом измерению их эффективности, сравнению производственных проектов и ряду смежных проблем.

В производственных инвестициях сталкиваются со значительной неопределенностью применяемых данных — как отдачи от капиталовложений, так и размеров и сроков самих инвестиций. Фактически в таких расчетах в большинстве случаев используются не столько реальные или оговоренные в контрактах данные, сколько ожидаемые их значения, полученные в лучшем случае в ходе технико-экономического анализа для некоторых более или менее правдоподобных гипотез реализации проекта. Часто прибегают и к экспертным оценкам. Отмеченная неоднозначность исходных данных и результатов, полученных на их основе, прежде всего связана с долгосрочностью осуществления инвестиционного проекта и множественностью влияющих на конечный результат факторов. Более того, само воздействие этих факторов изменяется во времени.

Под инвестициями в книге понимаются долгосрочные капиталовложения в производственный проект. Причем анализируется лишь один аспект этого процесса — финансовый. Никакие другие (социальные, экологические, политические и т. д.) здесь не затрагиваются. Особенности производственных инвестиций как объекта анализа и разнообразие его возможных целей привели к необходимости разработки целого ряда методик, которые можно разделить на две большие группы. К первой относятся ''классические" методы, в которых оперируют стоимостными показателями без учета того, когда соответствующие денежные средства были выплачены или получены. Здесь применяются в основном данные бухгалтерского учета. Ко второй группе относятся методы, базирующиеся на приведении денежных характеристик к одному (обычно предшествующему) моменту времени путем их дисконтирования по некоторой процентной ставке. Эти методы используют специально сформированные данные. Если первый подход, который можно назвать статическим, или бухгалтерским, решает ряд частных задач без учета фактора времени, то второй, динамический, или дисконтный, позволяет выполнить более общий анализ, в том числе определять различные показатели эффективности инвестиционных проектов с учетом специфики распределения затрат и доходов во времени, сравнивать по эффективности несколько проектов и т. д. Основное внимание в книге уделено динамическим методам анализа. Эти методы распространились сравнительно недавно. Еще в 60-70-х годах в западной финансовой литературе начали интенсивно обсуждать способы сравнения инвестиционных проектов на основе дисконтирования показателей затрат и поступлений1.

Содержащийся в книге материал по существу является развитием одной из тем, рассмотренных в нашей предыдущей работе2, на которую для сокращения изложения будем неоднократно ссылаться. Наличие последней позволяет обойтись без изложения элементарных сведений, относящихся к финансовой математике, и обсуждения некоторых простых методов количественного анализа. Предлагаемая книга о производственных инвестициях, естественно, базируется на тех же исходных положениях, что и в указанной работе, основным из которых является принцип неравноценности денег, относящихся к разным моментам времени, или, другими словами, зависимости ценности денег от времени (time-value of money). Долгосрочный характер производственных инвестиций многократно усиливает важность применения этого принципа.

Книга в основном имеет методологическую направленность. Центральной темой в ней являются характеристика различных методик оценивания финансовой эффективности производственных инвестиций и обсуждение структуры математической модели, описывающей инвестиционные затраты в производственный проект и отдачу от него. Особое внимание уделено факторам, влияющим на эффективность, и анализу отзывчивости эффективности на изменение ключевых параметров модели (гл. 5, 6). Поскольку поставки оборудования в порядке финансового лизинга начали практиковаться в нашей стране, автор счел целесообразным посвятить методике лизинговых расчетов отдельную главу (гл. 7). Для того чтобы упомянутые проблемы и соответствующие расчетные методы были более понятными, в первых главах книги приводятся сведения, которые непосредственно не относятся к финансовому анализу производственных инвестиций, однако широко в нем используются. Более того, без понимания обсуждаемых в первых четырех главах проблем нельзя овладеть методикой анализа производственных инвестиций.

Любые виды инвестиций, в том числе и в производство, с финансовой точки зрения охватывают два этапа — вложения и отдачу от них. Объектом анализа могут быть как тот или другой этап осуществления проекта, так и оба вместе. Информационной базой для анализа указанных этапов являются соответствующие потоки платежей, поэтому обсуждение проблем финансового анализа начнем с краткой характеристики таких потоков. Этому посвящена первая глава, которая имеет в основном справочный характер и содержит развернутый набор методик для определения основных обобщающих характеристик различных видов потоков платежей. Новым здесь является анализ рент, члены которых задаются статистическими распределениями. Во второй главе приводится сжатое описание методов начисления износа основных средств. Наряду с практикуемым у нас линейным методом начисления амортизации здесь рассматриваются различные применяемые за рубежом методы, позволяющие гибко учитывать те или иные особенности производственного процесса или требования инвестора. Особое внимание уделено проблеме налогообложения и начисления износа производственного имущества.

Далее читателю предлагается глава, посвященная одному из самых распространенных инструментов современного финансового анализа — методу барьерных точек. Этот анализ известен у нас только для одного частного случая — линейного. В третьей главе этот метод распространяется и на нелинейные зависимости. Особое внимание обращено на анализ барьерных точек в условиях неопределенности исходных данных.

Многие необходимые для анализа данные, как известно, обеспечиваются разработкой экспертных оценок. Причем последние для большей надежности анализа получают в виде интервалов значений соответствующих параметров, связывая с некоторыми вероятностями их реализации. Эта проблема обсуждается в последней главе книги. Содержание глав и их последовательность, как полагаем, подчинены определенной внутренней логике.

Некоторые математические доказательства, которые или представляют самостоятельный интерес, поскольку они не встречаются в специальной финансовой литературе, или, как полагает автор, имеют познавательную или методологическую ценность, вынесены в Математические приложения к соответствующим главам. В Приложении содержится ряд таблиц коэффициентов и других показателей, необходимых для быстрого выполнения расчетов.

ГЛАВА 1 ПОТОКИ ПЛАТЕЖЕЙ

Проигрыш чей-то, конечно, чей-то выигрыш.

Знали это при халдеях еще.

Даже больше: выигрыш чей-то — проигрыш чей-то.

Халдеи это тоже соображали.

К. Сэнберг

§ 1.1. Потоки платежей и аннуитеты — информационная база финансового анализа

Инвестиции в производство обычно предполагают не отдельные или единовременные платежи, а некоторую их последовательность во времени, например погашение задолженности за купленное в рассрочку оборудование, периодическое поступление доходов от инвестиций и т. д. Такие последовательности, или ряды, платежей назовем потоками платежей, а отдельный элемент этого ряда — членом потока. Членами потока могут быть как положительные (поступления денег), так и отрицательные (выплаты) величины. Соответствующие платежи производятся через равные или неравные интервалы времени. В западной финансовой литературе в близком смысле применяется термин cash flows (буквально — потоки наличности). Введенное сравнительно недавно в практику финансового количественного анализа (точнее, в анализ производственных инвестиций) понятие "поток платежей" заметно расширило его рамки и возможности. Формирование потока платежей — ключевой этап разработки бизнес-плана и последующего финансового анализа.

Термин "поток платежей" в финансовом анализе применяется в общем и специальном смысле. В первом случае членами потока могут быть любые стоимостные величины, во втором — специально сформированные для анализа производственных инвестиций показатели. Примером потока первого вида может служить последовательность платежей, связанных с приобретением облигации и получением дохода от нее. Поток в этом случае состоит из цены приобретения, выплат купонного дохода и суммы погашения облигации. Специальным потоком платежей является последовательность, члены которой характеризуют, с одной стороны, затраты на капитальные вложения, с другой — чистый доход от их производственного использования. Ограничимся пока этими сведениями. (Более подробно о формировании специальных потоков платежей см. гл. 5.)

Финансовые ренты. Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы между платежами одинаковы, называют финансовой рентой или просто рентой (rent), а иногда аннуитетом (annuity). Строго говоря, последнее наименование предполагает только ежегодные платежи, однако на практике оно применяется более широко — для обозначения любого вида регулярной последовательности платежей. Использование платежей в виде финансовой ренты существенно упрощает количественный их анализ, дает возможность применять стандартные формулы и таблицы значений, необходимых для расчетов ряда коэффициентов (см. Приложение).

Рента характеризуется следующими основными параметрами: член ренты (rent) — размер отдельного платежа, период ренты (rent period, payment period) — временной интервал между двумя последовательными платежами, срок ренты (term) — время от начала первого периода ренты до конца последнего периода, процентная ставка (interest rate). Дополнительные условия и параметры: число платежей в году, способ и частота начислений процентов.

В практике применяют разные по своим условиям ренты. Рассмотрим классификации по основным признакам.

По количеству выплат членов ренты на протяжении года ренты делятся на годовые и р-срочные (р — количество выплат в году). Эти виды рент называют дискретными. В практике встречаются и с такими последовательностями платежей, которые производятся так часто, что их можно рассматривать как непрерывные, т. е. платежи, производимые в бесконечно малые отрезки времени. Заметим, что непрерывный, постоянный поток платежей можно трансформировать в дискретный поток с платежами в середине периодов. Такое преобразование практически не повлияет на точность результатов финансового анализа.

По величине своих членов ренты делятся на постоянные (с одинаковыми платежами) и переменные. Члены переменных рент изменяют свои размеры во времени, следуя какому-либо закону, например арифметической или геометрической прогрессии, или несистематично (задаются таблицей). Нельзя не упомянуть о еще одном виде рент, с которым часто сталкиваются на практике при анализе производственных инвестиций. В таких рентах их члены задаются не конкретными величинами, а их статистическими распределениями. Этот вид рент ранее не рассматривался в классическом финансовом анализе.

По вероятности выплат ренты делятся на верные (annuity certain) и условные (contingent annuity). Верные ренты подлежат безусловной уплате. Выплата условной ренты ставится в зависимость от наступления некоторого случайного события. Поэтому число ее членов заранее неизвестно. Условные ренты (условные аннуитеты) применяются в страховых расчетах.

По количеству членов различают ренты с конечным числом членов, т. е. ограниченные по срокам ренты (их срок заранее оговорен), и бесконечные, или вечные, ренты (perpetuity). Использование последних вместо ограниченных с большим сроком рент обычно упрощает расчеты, не приводя к заметной потере точности получаемых экономических параметров.

По соотношению начала срока ренты и какого-либо момента времени, упреждающего начало ренты (например, начало действия контракта или дата его заключения), ренты делятся на немедленные и отложенные, или отсроченные (deferred annuity).

Важным является различие рент по моменту выплат платежей в пределах периода. Если платежи осуществляются в конце периодов, то соответствующие ренты называют обыкновенными или постнумерандо (ordinary annuity), если же платежи производятся в начале периодов, то их называют пренумерандо (annuity due). Иногда контракты предусматривают платежи или поступления денег в середине периодов.

Например, если ожидается отдача в постоянном размере в течение 10 лет спустя 2 года после завершения инвестиций, то такой поток поступлений представляет собой постоянную, отложенную, ограниченную ренту.

§ 1.2. Обобщающие параметры потоков платежей

В подавляющем числе практических случаев финансовый анализ предполагает расчет одной из двух обобщающих характеристик потока платежей: наращенной суммы и современной стоимости. Наращенная сумма (amount of cash flows) — сумма всех членов потока платежей с начисленными на них к концу срока процентами. Под современной (или текущей) стоимостью потока платежей (present value of cash flows) понимают сумму всех его членов, дисконтированных на начало срока потока платежей или иной упреждающий момент времени. Вместо термина "современная стоимость" в зависимости от контекста также употребляют термины "капитализированная стоимость" или "приведенная величина".

Конкретный смысл этих характеристик определяется содержанием членов потока или их происхождением. Наращенная сумма может представлять собой общую сумму накопленной задолженности к концу срока, итоговый объем инвестиций, накопленный денежный резерв и т. д. В свою очередь, современная стоимость характеризует приведенные к началу осуществления проекта инвестиционные затраты, суммарный капитализированный доход или чистую приведенную прибыль от реализации проекта и т. п. Из двух указанных обобщающих характеристик наибольшую роль в анализе производственных инвестиций играет современная стоимость потока платежей. Это объясняется прежде всего тем, что современная стоимость представляет собой "свертку" — обобщение в виде одного числа любой последовательности платежей и позволяет сравнивать потоки с различными сроками. Современная стоимость потока платежей эквивалентна в финансовом смысле всем платежам, которые охватывает поток.

Общий метод расчета наращенной суммы и современной стоимости потока платежей. Рассмотрим общую постановку задачи. Допустим, имеется ряд платежей Rt, выплачиваемых спустя время nt после некоторого начального момента времени, общий срок выплат составляет п лет. Необходимо определить наращенную на конец срока сумму. Если проценты начисляются раз в году по сложной ставке i, то, обозначив искомую величину через S, получим

. (1.1)

Современную стоимость такого потока также определим прямым счетом как сумму платежей, дисконтированных на начало срока. Обозначив эту величину А, получим

(1.2)

где vnt — дисконтный множитель по ставке i.

. (1.3)

Нетрудно обнаружить, что между величинами А и S существует функциональная зависимость. В самом деле, дисконтируя сумму S, получим

. (1.4)

Наращивая сумму А по той же ставке, находим

(1.5)

ПРИМЕР 1

Контракт предусматривает следующий порядок использования кредитной линии: 01.07.96 г. — 5 млн. руб., 01.01.97 г. — 15 млн. руб., 01.01.99 г. — 18 млн. руб. Необходимо определить сумму задолженности на начало 2000 г. и современную стоимость этого потока на начало срока при условии, что проценты начисляются по ставке 20% годовых.

Находим

S = 5 х 1,23,5 +15 х 1,23 +18 х 1,2 = 56,985 млн. руб.

По этим же данным определим современную стоимость потока на момент выплаты первой суммы. При прямом счете получим

A = 5 + 15х1,2-0,5+18х1,2-2,5 = 30,104 млн. руб. или по формуле (1.5)

А = 56,985 х 1,2-3,5 = 56,985 х 0,52828 = 30,104 млн. руб.

Забегая вперед, заметим, что в практике анализа производственных инвестиций занял видное место показатель, названный чистым приведенным доходом (net present value, NPV). Он представляет собой современную стоимость потока платежей, характеризующего инвестиционный процесс в целом. Таким образом, NPV равен величине А, определенной по формуле (1.2). Поскольку, как было сказано выше, члены такого потока могут быть как положительными, так и отрицательными величинами, то NPV также может иметь тот или другой знак. Отрицательная величина означает, что получаемые доходы с учетом временного фактора не окупают инвестиционные затраты при заданном уровне процентной ставки. Ограничимся пока данным замечанием. (Подробно сущность этого важнейшего показателя и методы его расчета для различных видов потоков платежей рассмотрены в гл. 5.)

Формулы для расчета обобщающих параметров постоянных дискретных рент. Для потоков платежей в виде постоянных рент расчеты современных стоимостей и наращенных сумм можно существенно упростить, применяя стандартные формулы. При их записи используем следующие обозначения:

А — современная стоимость ренты;

Sнаращенная сумма ренты;

Rчлен ренты (размер платежа);

п — срок ренты;

р — число выплат в году;

i — процентная ставка;

v — дисконтный множитель по ставке i (1.3).

Ниже приводятся формулы для наиболее распространенных видов рент3. Во всех случаях предполагаются сложные процентные ставки.

Постоянная годовая рента постнумерандо. Современная стоимость ренты:

(1.6)

Множитель, на который умножается R, называется коэффициентом приведения ренты, обозначим его an;i:

(1.7)

Значения an;i табулированы4. Краткая таблица коэффициентов приведения имеется в Приложении (табл. 2).

Отметим некоторые свойства этого коэффициента. Чем выше значение i, тем меньше его величина (рис 1.1). При i = 0 an;i = п. В свою очередь, при увеличении срока ренты величина an;i растет и стремится к некоторому пределу (рис 1.2). При п = ∞ предельное значение коэффициента составит:

(1.8)

Коэффициент приведения (1.8) применяется при расчете современной стоимости вечной ренты.

Наращенная сумма постоянной ренты определяется по формуле

(1.9)

Множитель, на который умножается R, называется множителем наращения ренты. Обозначим его sn;i:

(1.10)

Значения этого множителя нетрудно табулировать для необходимых диапазонов ставок и сроков5 — см. Приложение (табл. 1).

ПРИМЕР 2

Годовая рента постнумерандо R = 4 млн. руб., п = 5. При дисконтировании по сложной ставке 18,5% годовых получим:

Таким образом, все будущие платежи оцениваются в настоящий момент в сумме 12,368 млн. руб. Иначе говоря, 12,368 млн. руб., размещенных под 18,5% годовых, обеспечивают ежегодную выплату по 4 млн. руб. в течение 5 лет.

При наращении всех платежей по той же ставке имеем

или согласно (1.5) получим: S = 12,368 х 1,1855 =28,900.

Решение этой же задачи, но методом прямого счета приведено в следующей таблице.

t

R

vt

Rvt

1

4

0,8439

3,3755

2

4

0,7121

2,8484

3

4

0,6009

2,4038

4

4

0,5071

2,0286

5

4

0,4279

1,7118

Итого

12,3680

ПРИМЕР 3

Воспользуемся данными примера 2, но при условии, что процентная ставка установлена на уровне 10%. Находим по табл. 1 и 2 Приложения следующие значения коэффициентов наращения и приведения:

а5;10= 3,79079; s5;10 =6,1051, откуда А = 4 х 3,79079 = 15,163 млн. руб. и S = 4 x 6,1051 = 24,420 млн. руб.

Постоянная р-срочная рента постнумерандо. Приведем формулы для двух основных случаев6.

а) Члены ренты выплачиваются р раз в году, проценты начисляются один раз в конце года:

где Rгодовая сумма платежей, каждый раз выплачивается сумма R/p.

б) Число выплат и начислений процентов в году равно р; используется номинальная годовая процентная ставка (nominal rate) j:

В этом случае взаимозависимость наращенной суммы и современной ее стоимости имеет вид:

(1.15)

Нетрудно догадаться, что, чем чаще происходят платежи, тем больше наращенная сумма и современная стоимость ренты. Заметим, что формулы (1.6) и (1.9) применимы и для определения современной стоимости p-срочной ренты для варианта б. В этом случае (например, при погашении ипотечного кредита) переменная п означает общее число периодов, i — ставку за период (но не годовую ставку), Rсумму разового платежа. Номинальная процентная ставка в этом случае составит: j = i x p, а годовая эффективная ставка (effective rate) находится как (1 + i)p.

ПРИМЕР 4

В условия ренты примера 2 внесем изменение. Пусть теперь рента выплачивается поквартально, р = 4. Для варианта а (начисление процентов один раз в году) находим:

Для варианта б по формулам (1.13) и (1.14) получим:

Аналогичные результаты находим по формулам (1.6) и (1.9) при условии, что п = 20, i = 18,5/4 = 4,625%, R = 4/4 = 1. Например, современная стоимость такой ренты по этим данным составит:

Постоянные ренты пренумерандо и ренты с платежами в середине периодов. Напомним, что ренты пренумерандо предполагают выплаты в начале периодов. В этом случае каждый платеж "работает" на один период больше, чем у рент постнумерандо, обобщающие показатели больше аналогичных характеристик рент постнумерандо пропорционально величине соответствующего множителя наращения за один период. Так, для годовых рент такой множитель равен (1 + i), откуда вместо (1.6) и (1.9) имеем:

A = Ran;i(1 + i); S = Rsn;i(1 + i).

Для р-срочных рент (вариант а) корректировочный множитель наращения равен (1 + i)1/p, а для варианта б он имеет вид: (1 + j/p).

ПРИМЕР 5

Пусть рента примера 4 выплачивается не в конце, а в начале кварталов. Тогда обобщающие параметры увеличатся в 1,1851/4 = = 1,04335 раза (вариант а) и в раза (вариант б).

Для годовых рент с платежами в середине периодов получим:

Формулы для производных расчетов. Выше были приведены формулы для расчета основных стоимостных характеристик постоянных рент — А и S. В ряде ситуаций эти величины оказываются заданными и необходимо рассчитать какой-либо неизвестный параметр. Что касается параметров R и п, то они определяются достаточно просто7, чего нельзя сказать о расчете процентной ставки i.

ПРИМЕР 6

Долг в сумме 100 млн. руб. погашается постоянной годовой рентой в течение 5 лет. На остаток долга начисляются проценты по ставке 20% годовых. Приравняв сумму долга современной стоимости погасительных платежей, можно записать 100 = Ra5;20.

Откуда следует, что размер ежегодного погасительного платежа составит R = 100/а5;20. Коэффициент приведения данной ренты находится как

откуда искомая сумма

Определить значение процентной ставки по остальным параметрам ренты не так просто, как это может показаться на первый взгляд. Для этого прибегают к каким-либо приближенным методам (линейная интерполяция), различным итерационным процедурам (метод Ньютона - Рафсона, метод секущей и т. д.). На компьютере легко реализуется метод поразрядного приближения.

Формулы для расчета обобщающих параметров переменных рент. Приведем формулы для расчета обобщающих характеристик наиболее распространенного вида переменных рент — рент с постоянным изменением их членов.

Годовая рента с постоянным темпом изменения. Рассмотрим ситуацию, когда платежи изменяют свои размеры во времени с постоянным относительным приростом. Например, ожидается, что в пределах некоторого интервала времени отдача от инвестиций будет увеличиваться с постоянным темпом. Поток таких платежей здесь следует в геометрической прогрессии и состоит из членов R,Rq,Rq2,...,Rqn-1 (где qзнаменатель прогрессии, характеризует темп роста). Если этот ряд представляет собой ренту постнумерандо, то сумма дисконтированных членов такого потока

(1.16)

Пусть теперь q = 1 + k, где kтемп прироста платежей. Темп прироста может быть как положительным (k > 0), так и отрицательным (k < 0). В итоге

(1.17)

Для сокращения дальнейшей записи обозначим дробь, на которую в данной формуле умножается R, через а. При k = 0 величина а равна коэффициенту приведения постоянной ренты, при k = i имеем а = п. Графическая иллюстрация зависимости а от темпа прироста при условии, что остальные параметры ренты постоянны, приведена на рис. 1.3.

Наращенная сумма такой ренты

(1.18)

ПРИМЕР 7

Условия ренты постнумерандо: R = 15 млн. руб., п = 10, i = 20% годовых, члены ренты увеличиваются каждый год на 12% (k = 0,12). В этом случае члены ренты имеют размеры: 15; 16,800; 18,816; ...; 41,596. Обобщающие характеристики для указанных условий:

Допустим теперь, что платежи уменьшаются во времени с темпом прироста минус 10% в год (А = -0,1), тогда

р-срочная рента с постоянным темпом изменения. Пусть платежи производятся не один, а р раз в год постнумерандо, проценты начисляются один раз в год по ставке i. В этом случае последовательность платежей представляет собой геометрическую прогрессию R, Rq,..., Rqnp-1, где qтемп роста за период. Обобщающие параметры такой ренты находятся по следующим формулам:

ПРИМЕР 8

Пусть, как и в примере 7, R = 15, п = 10, i = 20%. Положим, что платежи увеличиваются с каждым полугодием на 6%. Члены ренты представляют ряд: 15; 15,900; ...; 45,384. Тогда современная стоимость и наращенная сумма составят:

§ 1.3. Расчет обобщающих параметров непрерывных рент

Во всех рассмотренных выше рентах предполагалось, что члены потока платежей поступают дискретно — через фиксированные интервалы времени. Вместе с тем иногда более адекватное описание потока платежей достигается, когда он воспринимается как непрерывный процесс. Например, когда отдача от инвестиций происходит так часто, что в целом этот поток можно рассматривать как непрерывный. Предположение о непрерывности в определенных условиях увеличивает возможности количественного анализа, особенно анализа сложных схем долгосрочных производственных инвестиций.

Постоянная непрерывная рента. Приведем формулы для расчета современной стоимости и наращенной суммы постоянной непрерывной ренты при условии, что применяется годовая дискретная процентная ставка. Найдем коэффициент приведения такой ренты, обозначим его . Очевидно, что искомый показатель является пределом коэффициента приведения р-срочной ренты при . Получим8:

(1.21)

В свою очередь, коэффициент наращения непрерывной ренты имеет вид:

(1.22)

Переход от дискретных взносов постнумерандо к непрерывным увеличивает соответствующие обобщающие показатели и коэффициенты приведения и наращения рент в i/ln(1 + i) раз:

ПРИМЕР 9

Ожидается, что доходы от эксплуатации месторождения полезных ископаемых составят 1 млрд. руб. в год, продолжительность разработки — 10 лет, отгрузка и реализация продукции непрерывны и равномерны. Капитализированная стоимость дохода при дисконтировании по ставке 10% составит:

Важно отметить, что равномерная и непрерывная выплата годовой суммы примерно равнозначна (по влиянию на величины А и S) разовой выплате этой суммы в середине года. Иначе говоря, замена непрерывной постоянной ренты на более привычную дискретную с отнесением платежей к середине периодов мало повлияет на результаты расчетов. Обобщающие параметры ренты в этом случае рассчитываются по формулам, полученным для дискретных рент с учетом множителя (1 + i)1/2.

ПРИМЕР 10

Заменим в примере 9 непрерывную ренту на дискретную с отнесением членов ренты к серединам годовых интервалов. В этом случае

A = 1000а10;10 х 1,11/2 = 1000 х 6,14457 х1,10,5 = 6444,48 млн. руб.

Расхождение с точным ответом обнаруживается только в четвертой цифре.

Заметим, что формулы (1.21), (1.22) предполагают непрерывное поступление платежей и дискретное начисление процентов.

Вероятно, более "естественным" является положение, когда оба процесса рассматриваются как непрерывные, т. е. поступления платежей и начисления процента происходят в бесконечно малые отрезки времени.

Чтобы методы работы с рентами, предусматривающими непрерывное начисление процентов, были более понятными, напомним, как начисляются непрерывные проценты. Формулы наращения и дисконтирования в этом случае записываются следующим образом:

где — ставка непрерывных процентов (force of interest). В русской финансовой литературе эта величина получила название сила роста;

е — основание натуральных логарифмов.

Между дискретными и непрерывными ставками, как известно, существуют зависимости, позволяющие определить эквивалентные размеры ставок, т. е. ставок, дающих одинаковые финансовые результаты:

Из выражения (1.24) следует

Перепишем теперь формулы (1.21) и (1.22), использовав эти соотношения. Получим

Формулы (1.21), (1.22) и (1.25), (1.26) дают тождественные результаты только в том случае, когда непрерывные и дискретные ставки являются эквивалентными.

ПРИМЕР 11

Пусть в примере 9 дисконтирование осуществляется по силе роста, равной 10%, тогда, используя (1.25), получим

Сила роста, эквивалентная дискретной ставке 10%, составит: , или 9,531%. Откуда т. е. получен тот же результат, что и в примере 9.

Непрерывно изменяющийся поток платежей. Выше предполагалось, что годовая сумма R непрерывно и равномерно распределена в пределах года. Такой поток денежных поступлений или выплат не является единственно возможным. На практике, особенно при анализе инвестиций в производство, поток платежей может существенно изменяться во времени, в том числе и следуя какой-либо закономерности, например если ожидается, что в течение первых трех лет работы произойдет плавное и непрерывное увеличение выпуска продукции с постоянным темпом прироста.

Если поток платежей непрерывен и описывается функцией rt = f(t), то общая сумма поступлений за время п равна . В этом случае современная стоимость и наращенная сумма (при начислении процентов используется процентная ставка в виде силы роста) находятся как

Причем зависимость между А и S можно представить как

(1.27)

Чтобы рассчитать величины А и S, необходимо определить конкретный вид функции изменения платежей и значения ее параметров. Рассмотрим методы расчета современных стоимостей только для двух видов функций — линейной и экспоненциальной.

Линейно изменяющийся непрерывный поток платежей. Функция такого потока

Rt =R0+at,

где R0 начальный размер платежа, выплачиваемого в единицу времени, в котором измеряется срок ренты;

а — прирост в единицу времени.

Современная стоимость получена с помощью интегрирования функции потока платежей:

где — коэффициент приведения постоянной непрерывной ренты (см. (1.25)).

ПРИМЕР 12

Намечается ежегодно в течение трех лет увеличивать выпуск продукции на 1 млрд. руб. Базовый уровень выпуска — 10 млрд. руб. Необходимо определить суммарный стоимостной объем выпуска с начислением процентов — сила роста 8%.

Сначала определим современную стоимость данного непрерывного потока поступлений (см. (1.28)):

Коэффициент приведения составит:

Таким образом, А = 30,512 млн. руб.

Затем на основе (1.27) находим наращенную сумму:

Чтобы методика определения современной стоимости непрерывной ренты была более наглядной, решим поставленную задачу иным способом, предварительно трансформировав непрерывную ренту в дискретную с платежами в середине периодов. Получим такую последовательность: 10,5; 11,5; 12,5. Затем определим процентную ставку, эквивалентную силе роста 0,08. Находим

i = е0,08-1=0,083287.

Искомая величина составит:

А = 10,5 х 1,08329-0,5 + 11,5 х l,08329-1,5 + 12,5 х 1,08329-2,5 = = 30,522.

Как видим, погрешность незначительна.

Экспоненциальный рост платежей. Поток платежей описывается экспоненциальной функцией

Rt = R х еgt.

Назовем параметр g непрерывным темпом прироста платежей. Между принятым в статистике дискретным темпом прироста k и непрерывным существует следующая зависимость:

g = ln(l + k).

Современная величина такой ренты находится следующим образом:

(1.29)

В знаменателе формулы (1.29) фигурирует разность параметров, характеризующих непрерывные процессы. Эту разность легко найти с помощью дискретных параметров роста платежей и начисления процентов, которые обычно и задаются в условиях формирования потока платежей, а именно

ПРИМЕР 13

Ожидается, что прирост доходов на протяжении трех лет составит 5% в год (k = 0,05). Какова современная стоимость и наращенная сумма потока доходов, если R = 100, i = 7%, п = 3 года?

Из условий задачи следует:

Таким образом, на основе (1.29) получим:

§1.4. Эквивалентные потоки платежей

В финансовом анализе важную роль играет принцип эквивалентности, согласно которому платежи считаются эквивалентными, если их современные стоимости одинаковы. Сказанное справедливо и применительно к потокам платежей. Так, например, нерегулярный поток платежей и постоянная рента оказываются эквивалентными, если имеет место равенство

Коль скоро потоки платежей являются эквивалентными, замена одного потока другим не изменяет финансовое положение участвующих сторон. Пусть в контракте оговорен поток поступлений со значительными колебаниями их размеров. Возникла необходимость сравнения с конкурирующими условиями, предусматривающими выплату ренты с постоянными членами. Сроки и остальные условия у двух потоков платежей одинаковы. Определим неизвестный размер члена постоянной ренты R.

Напомним, что . Таким образом:

Как видим, R представляет собой среднюю арифметическую взвешенную с весами, равными дисконтным множителям. Пусть заменяющая рента в рассмотренном случае имеет срок n1, отличающийся от п. Тогда

Аналогичным образом можно определить любой другой параметр заменяющего эквивалентного потока платежей. Заметим, что заменяющий поток может отличаться от заменяемого по всем параметрам и по виду. Например, дискретная рента может быть заменена непрерывной и т. д.

§1.5. Определение доходности на основе потока платежей

В § 1.2 мельком была затронута проблема определения размера процентной ставки по остальным параметрам потока платежей. Вернемся к этой проблеме применительно к определению доходности по основным инвестиционным схемам. Остановимся на трех из них:

  • мгновенные (разовые) инвестиции, отдача в виде регулярного или нерегулярного потока платежей;

  • инвестиции в финансовый инструмент (облигацию), постоянная отдача (купонный доход) и возврат номинала в конце срока;

  • инвестиции в финансовый инструмент (долговое обязательство, кредит), последовательное обслуживание долга (равные суммы погашения основного долга и периодическая выплата процентов).

Во второй и третьей схемах предусматриваются два источника дохода: доход от прироста капитала в виде разности между суммой номинала инструмента и его ценой (capital gain) и начисленные проценты.

Условия перечисленных схем можно кратко записать как

где Dразмер инвестиций;

Rt, Rчлены потока поступлений;

Kцена (или курс) финансового инструмента;

dразмер разового погашения долга;

It, — сумма процентов за период.

Приведем уравнения эквивалентности, с помощью которых определяются показатели доходности (в виде процентных ставок) соответствующих инвестиционных схем. Для первой схемы имеем:

(1.30)

где дисконтные множители определяются по искомой процентной ставке j.

ПРИМЕР 14

Сумма мгновенных инвестиций — 100, срок — 5 лет, поступления — в конце каждого года. Как видно из расчета, представленного в нижеследующей таблице, эквивалентность инвестиций и отдачи имеет место в случае, когда дисконтирование производится по ставке 21,46%. Последний показатель характеризует доходность финансовой операции.

t

Rt

vt

Rtvt

1

20

0,82332

16,46633

2

30

0,67785

20,33549

3

60

0,55808

33,48509

4

40

0,45948

18,37921

5

30

0,37830

11,34893

Итого

100,01500

Если отдача постоянна, то вместо (1.30) имеем

D = Ran;j. (1.31)

Величина у рассчитывается по коэффициенту приведения постоянной ренты:

Заметим, что положительное и отличное от нуля значение показателя доходности имеет место в случае, когда an;j < п . Соответственно R/D > п.

Вторая из упомянутых инвестиционных схем пригодна для инвестиций в облигации9 с периодическими выплатами постоянного купонного дохода и погашением обязательства в конце срока по номиналу. Для этих условий получим следующее уравнение эквивалентности при условии, что купоны погашаются ежегодно:

P = Ran;j+Nvn, (1.32)

где R = Ni;

iуровень купонного дохода;

Р — цена облигации;

N — номинал.

Если под Р подразумевается курс облигации (P = K), то N= 100.

Для оценки доходности можно применить и приближенную формулу

(1.33)

В формуле (1.33) средний годовой доход от облигации соотносится с ее ценой, средней за весь срок. За простоту расчета, впрочем, приходится платить потерей точности оценки.

ПРИМЕР 15

Облигация со сроком 5 лет, проценты по которой выплачиваются один раз в год по норме 8%, куплена по курсу 97. Запишем уравнение эквивалентности (1.32) и разделим обе его стороны на 100:

0,97 = (1 + j)-5 + 0,08 a5;j.

С помощью линейной интерполяции находим j = 8,77%. Для проверки рассчитаем курс на основе полученной ставки. Находим

Как видим, расчетный курс весьма близок к рыночному 97. Приближенное решение по (1.33) дает

что соответствует рыночному курсу 0,74. Погрешность заметно выше, чем при использовании линейной интерполяции.

Уравнение эквивалентности для третьей схемы (ежегодные выплаты сумм обслуживания долга без льготного периода) имеет вид:

(1.34)

где — годовой размер погашения долга;

Dt остаток долга на начало года t, D1 = D, Dt = Dt-1- d.

Для быстрой ориентации в сложившейся ситуации иногда прибегают к приближенному методу оценки доходности как суммы двух составляющих:

где hдоходность от разности номинала и цены;

i — процентная ставка по условиям финансового инструмента.

При определении первого элемента этой суммы фактический процесс последовательного погашения долга условно заменяется разовым погашением со средним сроком выплаты. Из равенства

K = DvT

следует, что

где Т — средний срок.

Средний срок в данной ситуации определяется элементарно: Т =п/2 . Наличие льготного периода (без погашения основного долга) увеличивает средний срок на соответствующую величину.

ПРИМЕР 16

Финансовый инструмент (номинал 100) куплен за 75. Погашение долга в течение 5 лет равными платежами, проценты по ставке 10% годовых. Какова финансовая эффективность операции?

Находим . Таким образом,

Точная величина доходности равна 23,11%. Расчет современной стоимости поступлений по этой ставке представлен в таблице, в которой символом Rt обозначена ежегодная сумма обслуживания долга.

t

Dt

Rt

vt

Rtvt

1

100

30

0,909091

24,368450

2

80

28

0,826446

18,474440

3

60

26

0,751315

13,934560

4

40

24

0,683013

10,448110

5

20

22

0,620921

7,779578

Итого

75,005150

С увеличением отклонения K от 100 растет погрешность оценки. Аналогичное можно утверждать и по поводу влияния процентной ставки и срока погашения долга.

§ 1.6. Современная стоимость потока платежей с учетом риска

Количественный анализ потока платежей, в том числе расчет современной стоимости, обычно предполагает фиксированность размеров всех его членов и безусловность их выплат (см. расчетные формулы в § 1.2 и 1.3). В инвестиционных проектах, однако, часто сталкиваются со случаями, когда размер члена потока платежей является случайной переменной (размер заранее точно неизвестен) и задается в виде некоторого диапазона значений или среднего значения, например предполагаемый или ожидаемый уровень добычи минерального сырья, выпуск продукции при условии, что ее производство зависит от погодных условий или возможностей снабжения сырьем и т. д. Иногда проект предусматривает условия, согласно которым члены потока платежей (затраты и поступления) не являются безусловными, а лишь возможны (ожидаемы) с той или иной вероятностью. В частном случае такой поток представляет собой вероятностную или условную ренту. С подобного рода рентами встречаются и в страховании. В упомянутых случаях методики расчета современной стоимости и наращенной суммы по-

тока платежей нуждаются в существенных дополнениях. Эти методики выходят за рамки "классической" финансовой математики. Кратко рассмотрим две из возможных постановок задачи, зависящих от вида имеющейся информации о потоках платежей.

Члены потока платежей задаются статистическими распределениями. Пусть имеется поток платежей, выплачиваемых в моменты t = 1, ..., п. Каждый член потока является случайной величиной с заданным распределением. Вид и параметры распределения устанавливаются на основе имеющейся статистики или, что ближе к действительности, задаются экспертным путем. Таким образом, в целом поток платежей описывается последовательными распределениями случайных величин Rt.

Причем, чем больше срок платежа, тем, очевидно, больше амплитуда колебаний в размерах платежей (рис. 1.4). Обобщающее распределение показателя современной стоимости можно получить, суммируя частные распределения с соответствующим их дисконтированием. Распределения членов потока могут быть одинаковыми, что, разумеется, удобнее для расчетов, хотя и менее правдоподобно.

Для каждого из частных распределений нетрудно найти соответствующие средние . Величина современной стоимости потока, состоящего из средних, по определению, равна

(1.35)

где пtинтервал от начала потока платежей до момента выплаты t-го члена потока.

Найденная по формуле (1.35) величина представляет собой среднюю распределения современной стоимости потока платежей, каждый из которых представлен в виде распределения. В частном случае, когда суммируемые распределения одинаковы на протяжении всего срока (соответственно одинаковы и их средние) и, кроме того, временные интервалы между платежами одинаковы, получим:

Фактическое значение современной стоимости потока платежей будет отличаться от расчетной средней . Различие будет тем больше, чем выше дисперсия распределения величины А. Задача определения такой дисперсии в общем случае достаточно сложна. В связи с этим найдем, используя некоторые положения математической статистики, дисперсию суммарного распределения, но только для одного частного случая, анализ которого делает наглядным существо проблемы.

Допустим, что поток платежей описывается последовательными одинаковыми нормальными распределениями. Соответственно их средние и дисперсии одинаковы. Поскольку А представляет собой сумму дисконтированных величин (в данном случае Rvt), то дисперсия каждого слагаемого этой суммы составит в силу известного свойства дисперсии величину D(Rvt) = D(R)v2t. Обозначим дисперсию частного распределения как D = D(R).

При условии независимости последовательных членов потока платежей (условие, следует заметить, сильно упрощающее действительное положение дел, однако позволяющее представить основные зависимости более наглядно) дисперсию суммы дисконтированных платежей (D0) можно оценить как

(1.36)

Отсюда стандартное отклонение определяется как

(1.37) где и — стандартные отклонения распределения А и R.

Сумма под корнем представляет собой своеобразный коэффициент приведения. Обозначим его dn;i:

(1.38)

Полученная по формуле (1.36) дисперсия современной стоимости потока представляет собой нижнюю границу для величины дисперсии, так как здесь не учитывается возможная положительная корреляция между последовательными членами потока платежей. Как известно, такая корреляция слагаемых увеличивает дисперсию суммы.

Предположение о том, что частные распределения одинаковы, а еще лучше, являются нормальными, существенно упрощает анализ и позволяет решить одну важную задачу, а именно оценить с заданной вероятностью границы, в которых находится действительная величина современной стоимости потока платежей. Такие границы определяются как

где z — нормированное отклонение от средней (см. табл. 5 Приложения).

ПРИМЕР 17

Эксперты определили, что члены потока поступлений (рента постнумерандо) можно описать нормальными распределениями с параметрами 10 (средняя величина) и 3 (стандартное отклонение). Иными словами, полный диапазон значений каждого члена потока платежей укладывается в интервал, примерно равный 10 ± 3 х 3 . Срок поступлений — 5 лет. Дисконтирование производится по годовой ставке 15%. Допустим, что указанные распределения независимые, тогда

Границы диапазона современной стоимости такого потока платежей определяются выражением 32,52 ± z x 2,334.

Если вероятность, с которой желательно установить границы интервала, принята на уровне 90%, то z = 1,65 и искомые границы составят 28,72; 36,37. Уменьшение надежности вывода, естественно, сокращает этот интервал. Так, для вероятности 75% (z = 1,15) получим соответственно 29,84; 35,20.

Современная стоимость с учетом вероятностей выплат членов потока. В общей постановке задача выглядит следующим образом. Пусть выплата каждого члена потока платежей Rt не безусловна, а имеет некоторую вероятность рt. Современная стоимость такого потока составит

(1.39)

Для практических целей данное выражение, очевидно, следует конкретизировать с учетом особенностей потока платежей в инвестиционном процессе или страховании. Например, пусть объектом является поток, состоящий из выплат премий (взносов страхователя) при долгосрочном страховании имущества. Обобщенную сумму премий в виде современной ее стоимости найдем, рассуждая следующим образом. Если страховое событие (например, гибель имущества) произойдет на первом году страхования, то страховщик получит премию только один раз; если это событие случится на втором году страхования, то премия будет выплачена два раза, и т. д. Допустим, что вероятности наступления страховых событий в течение года одинаковы и равны q. Если годовая премия пренумерандо равна Р, то математическое ожидание премии при дисконтировании ежегодных выплат за весь срок страхования составит:

где v — дисконтный множитель.

Полученный показатель Е(А) представляет собой современную стоимость страховых премий с учетом вероятности их выплат. Аналогичным путем можно разрабатывать формулы для оценки величины современной стоимости потоков платежей и для инвестиционных процессов, если учет вероятностей является необходимым.

ГЛАВА 2 МОДЕЛИ ИЗНОСА ОБОРУДОВАНИЯ

Если бы люди не любили все усложнять, мы до сих пор имели бы дело с каменным топором.

Литгазета. Фразы

§ 2.1. Износ оборудования и методы определения сумм амортизации

В анализе производственных инвестиций нельзя обойтись без рассмотрения проблемы износа (depreciation) и амортизации (depreciation allowance) стоимости основных средств, далее для краткости — оборудования. Поскольку данная проблема подробно обсуждается в многочисленных курсах бухгалтерского учета, отечественных и переводных10, остановимся на ней только в той мере, в какой это представляется необходимым для понимания следующих разделов книги.

Бухгалтерское начисление износа — способ распределения затрат на приобретение оборудования в течение ожидаемого срока его производственного использования. Этот способ позволяет, с одной стороны, включать износ оборудования в себестоимость продукции, с другой, как утверждает теория, — накопить денежные средства, достаточные для приобретения нового оборудования взамен изношенного. Начисленный износ, как известно, адекватно уменьшает текущую балансовую стоимость оборудования.

В мировой практике используются различные подходы к начислению износа (сумм амортизационных списаний, начислений) и определению остаточной балансовой стоимости. Классифицируем их по нескольким признакам.

В качестве базы, с которой связывается износ оборудования, чаще всего принимают предполагаемое время эксплуатации оборудования (полезный срок его жизни), реже — ожидаемый объем работы.

По степени равномерности списания стоимости оборудования различают равномерную (линейную) и неравномерную (нелинейную) амортизацию. Последняя может быть реализована различными способами. Например, суммы списания могут изменяться согласно некоторому принципу или по специальному графику и т. д.

Можно также разделить методы списания на нормальные, ускоренные и замедленные. Простейший, но не единственный способ ускоренного списания износа — сокращение срока амортизации.

Важным с экономической точки зрения при определении амортизационных сумм является учет принципа неравноценности денег во времени (см. предисловие). Некоторые методы исходят из этого принципа, другие не учитывают его. Проще говоря, существуют методы, предусматривающие начисление процентов на амортизационные суммы и не предусматривающие его.

Естественно, что разные методы определения сумм амортизации приводят к различным результатам. Отсюда очевидна некоторая условность получаемых результатов. Вместе с тем возможность выбора метода, если таковая имеется, создает определенную гибкость, позволяет учитывать особенности производственных условий. Знакомство с разными моделями износа оборудования, даже если они еще и не применяются в отечественной практике, представляется полезным как в теоретическом, так и в практическом отношении. Рано или поздно российская практика придет к ним.

Каждый из методов начисления амортизации можно формализовать с учетом его особенностей и представить в виде соответствующей модели. При записи таких моделей воспользуемся следующими основными символами:

Р — первоначальная стоимость инвестиций в оборудование (capital investment, capital expenditure);

Lликвидационная стоимость — остаточная стоимость в конце срока эксплуатации оборудования (terminal value, final value);

nсрок амортизации в годах;

Dtсумма амортизации в году t;

Вtбалансовая (остаточная, несамортизированная) стоимость оборудования в конце года t.

Запишем два простых соотношения, определяющих динамику балансовой стоимости:

Соответственно Dt = Bt-1-Bt, причем D1 = Р - В1.

Ниже эти соотношения конкретизируются с учетом особенностей рассматриваемых методов начисления амортизации и возможности их применения.

§ 2.2. Линейная модель

В отечественной практике в основном применяется линейный метод (straight-line method) определения сумм амортизации. Однако он далеко не всегда отвечает условиям производства, сложившейся экономической обстановке и т. д. Иначе говоря, его нельзя рассматривать как некий обязательный стандарт, пригодный во всех случаях жизни. Пожалуй, единственное его достоинство — это простота. Кратко остановимся на нем. Кстати, это необходимо и для того, чтобы иметь базу сравнения

результатов, полученных разными методами начисления износа. По определению

(2.3)

Остаточная стоимость в конце года t после очередного списания износа

(2.4)

Как видно из формулы (2.4), накопленная сумма амортизации Dt линейно увеличивается, в свою очередь, балансовая стоимость адекватно уменьшается во времени (рис 2.1).

Очевидно, что при заданных параметрах Р и L ежегодная сумма амортизации зависит от общего срока амортизации, причем эта зависимость нелинейная (рис 2.2). Увеличение срока в наибольшей мере сказывается на размерах амортизации в начале шкалы сроков.

Развитием рассмотренного метода являются два способа начисления амортизации: пропорционально отработанному времени (machine hour method) и пропорционально объемам производства. Износ в расчете на единицу отработанного времени составит

(2.5)

где Vобщая ожидаемая продолжительность работы оборудования.

Соответственно

где vjвремя, отработанное в году j,

Что касается второго из упомянутых методов, то он может применяться в случаях, когда речь идет об однородной продукции, и, следовательно, можно считать, что при наличии ограничений на общий объем работы износ пропорционален объему выпуска. Например, износ транспортных средств принимается пропорциональным протяженности их пробега при известном общем ресурсе, и т. д. Таким образом, здесь можно использовать формулы (2.5) — (2.7), в которых под V понимается общий ожидаемый объем продукции, а под vj — продукция в году j.

Оба метода являются линейными относительно принятых в них баз для начисления амортизации.

ПРИМЕР 1

Балансовая стоимость оборудования — 100 млн. руб., ожидаемый срок эксплуатации — 5 лет, ликвидационная стоимость — 4 млн. руб. Допустим, объем производства в одну смену постоянен. Предполагается следующее распределение загрузки оборудования в пределах общего срока: первый год — 200 смен, следующие три года — 400 смен, последний год — 300, всего 1700 смен.

При применении линейного метода ежегодные суммы амортизации в расчете на год составят:

В свою очередь, в расчете на 100 смен (V = 17) получим:

Расчет амортизационных начислений по двум методам приведен в следующей таблице.

t

Метод

Линейный

Объемов производства

D

Bt

Vt

DVt

Bt

0

100,0

100,000

1

19,2

80,8

2

11,294

88,706

2

19,2

61,6

4

22,588

66,118

3

19,2

42,4

4

22,588

43,530

4

19,2

23,2

4

22,588

20,942

5

19,2

4,0

3

16,942

4,000

Итого

96,0

17

96,000

Ускоренная амортизация в рамках линейного метода достигается путем повышения нормы амортизации, что адекватно сокращению срока работы оборудования.

§ 2.3. Нелинейные методы без начисления процентов на суммы амортизации

К нелинейным относится ряд методов начисления амортизации, что обеспечивает большую гибкость в отношении учета конкретных условий производственной деятельности. Эти методы можно разделить на две подгруппы: без учета начисления процентов на суммы амортизации и с их учетом, иначе говоря, с учетом фактора времени и без него.

К первой подгруппе отнесем следующие методы:

а) с постоянной долей списания остаточной балансовой стоимости (constant percent depreciation);

б) метод сумм порядковых чисел (sum of digits method);

в) табличный метод.

Ко второй (они рассмотрены в § 2.4) относятся методы:

г) накопленного резерва (sinking fund);

д) аннуитетов (annuity method).

Обсудим их в той последовательности, в которой они были перечислены.

а) Постоянная доля списания балансовой стоимости

Согласно этому методу (далее для краткости назовем его методом постоянных долей) на каждом шаге во времени списывается постоянная доля балансовой стоимости оборудования, т. е.

Bt = Bt-1(1-r), (2.8)

или

Bt=P(1-r)t, (2.9)

где rдоля сокращения балансовой стоимости за каждый амортизационный период.

Амортизационные суммы рассчитываются следующим образом:

Dt = Bt-1 х r. (2.10)

Задача, следовательно, сводится к определению доли r, если она первоначально не задана, а установлен размер ликвидационной стоимости L. Для ее решения рассуждаем так. Балансовая стоимость за весь период эксплуатации оборудования сокращается с величины Р до L. Отсюда справедливо соотношение:

L = P(1-r)n. (2.11)

Если величина ликвидационной стоимости известна, то на основе (2.11) находим:

. (2.12)

Очевидно, что в случае, когда L = 0 (полный износ), данный метод расчета r применить нельзя.

Если r задано, a L заранее не определено, то расчетная сумма остаточной стоимости на конец последнего года находится как разность:

L = Bn-Dn.

Иногда метод постоянной доли комбинируется с линейным методом: в первые годы применяется постоянная доля списания, затем суммы амортизации определяются линейным методом. Этим достигается ускоренное списание в начале срока эксплуатации оборудования. Так, если за первые т лет предусматривается списать М % первоначальной балансовой стоимости оборудования, то в эти годы списывается по 100 r %. Причем

В оставшиеся (п - т) лет суммы амортизации составят:

Иллюстрация расчета по данному методу приведена в примере 2.

б) Метод сумм порядковых чисел

Этот метод (далее для краткости назовем его методом сумм), так же как и предыдущий, нацелен на ускорение процесса амортизации. Доли списания стоимости оборудования здесь уменьшаются с каждым шагом во времени. Соответственно сокращаются абсолютные суммы износа. Для определения долей списания поступают следующим образом. Последовательным годам службы оборудования приписывают порядковые номера: t = 1, 2, ..., п. Сумма этих номеров, обозначим ее Q, принимается за основу для расчета долей списания11. Известно, что

(2.13)

Доли списания амортизируемой стоимости оборудования (т. е. первоначальной балансовой стоимости за вычетом ликвидационной стоимости) последовательно определяются как j/Q, где j — номер года начисления износа в обратном порядке, т. е. с конца срока. Например, при пятилетнем сроке j = 5, 4, 3, 2, 1. В общем виде можно записать:

j = n - t + l.

Таким образом, для первого года доля списания амортизируемой стоимости равна n/Q, для второго — (п - l)/Q и т. д. Для последнего года эта доля составляет 1/Q . По определению, можно записать:

(2.14)

Так, для первого года получим:

Балансовая стоимость на конец года t (после очередного списания) последовательно определяется как

(2.15)

Возможен и другой способ определения этой величины:

После некоторых преобразований последнего выражения получим12

(2.16)

ПРИМЕР 2

Для иллюстрации двух последних методов вернемся к данным примера 1. Для метода с постоянной долей списания находим по формуле (2.12)

Таким образом, каждый раз списывается 47,47% от остаточной стоимости оборудования. В свою очередь, для метода сумм находим

Последовательно начисляем износ в размере и т. д. от амортизируемой стоимости. Суммы амортизации и динамика балансовой стоимости для обоих методов показаны в таблице.

Найдем балансовую стоимость на конец третьего года без построения таблицы. Для этого используем формулу (2.16). Получим

t

Постоянные доли

Метод сумм

Dt

Bt

Dt

Bt

0

100,00

100,00

1

47,47

52,53

32,00

68,00

2

24,94

27,59

25,60

42,40

3

13,10

14,49

19,20

23,20

4

6,88

7,61

12,80

10,40

5

3,61

4,00

6,40

4,00

Итого

96,00

96,00

в) Табличный метод

В ряде стран государственные органы регламентируют ускоренное списание износа. Причем предлагаемая методика часто не связана с сокращением общего срока амортизации. Она заключается в разработке специальных таблиц долей списания первоначальной балансовой стоимости. Приведем соответствующие данные для США13. Например, при пятнадцатилетнем сроке амортизации предусматривались следующие доли списания от первоначальной амортизируемой стоимости: для первых пяти лет 12, 10, 9, 8, 7%, далее четыре года по 6% и затем шесть лет по 5%. Размер ликвидационной стоимости во внимание не принимается.

Сравнение результатов начисления износа различными методами. Как следует из сказанного выше, различные методы начисления износа в разной степени ускоряют амортизацию. В связи с этим возникает проблема сравнения результатов. На рис. 2.3 показана сравнительная динамика балансовой стоимости оборудования (кривая а характеризует метод постоянных долей, б — метод сумм, в — линейный метод). Как видим, второй из сравниваемых методов ближе к равномерному списанию, чем первый.

В качестве аналитического измерителя степени равномерности списания можно предложить срок, в течение которого амортизируется половина стоимости оборудования. Назовем такой срок медианным (рис. 2.4). Медианный срок можно подсчитать относительно первоначальной балансовой стоимости оборудования или относительно его амортизируемой стоимости. Впрочем, различие будет небольшим. Чем меньше эта величина, тем скорее протекает процесс амортизации. Обозначим медианный срок через w. В некоторых случаях для его расчета удается найти простое аналитическое выражение. Например, для линейной модели получим:

а без учета ликвидационной стоимости w = n/2.

Для метода долей величину w находим из равенства

В силу чего

Для метода сумм величину w проще найти интерполяцией данных, характеризующих изменение балансовой стоимости.

ПРИМЕР 3

По данным примера 2 для метода постоянных долей получим:

Для метода сумм применим интерполяцию. Находим размеры балансовой стоимости на конец первого и второго года: В1 = 68,0 (что >50% стоимости) и В2 = 42,4 (что < 50 %). Таким образом, 50% первоначальной стоимости приходится на второй год. С помощью линейной интерполяции находим

При равномерном начислении амортизации w = 0,5 x 5 x (l00/96) = 2,6.

Приближенно (без учета ликвидационной стоимости) w = n/2 = 2,5 года.

Таким образом, самое быстрое списание при одинаковом общем сроке амортизации достигается с помощью метода постоянных долей.

Что касается замедленной амортизации, необходимость в которой крайне редко возникает на практике, то такое условие проще всего реализовать табличным методом или с помощью метода накопленного резерва, о котором речь пойдет ниже.

§ 2.4. Нелинейные методы с начислением процентов на суммы амортизации

г) Метод накопленного резерва

Представим себе ситуацию, когда амортизационные суммы аккумулируются в особом резерве (фонде) для дальнейшего целевого использования — приобретения нового оборудования взамен изношенного. (В действительности эти деньги обычно "работают" в качестве текущих активов фирмы.) Причем, как и в любом другом случае накопления средств, на вложенные в этот резерв деньги начисляются проценты. Далее предположим, что в конце срока амортизации сумма накопленного резерва должна быть равна стоимости выбывшего оборудования с учетом ликвидационной стоимости. Пусть взносы, необходимые для создания резерва, постоянные. Тогда поток платежей представляет собой постоянную финансовую ренту постнумерандо, наращенная сумма которой равна необходимому резерву.

Перепишем формулу наращенной суммы постоянной ренты постнумерандо (1.9), использовав символы, принятые в данной главе.

Dsn;i=P - L,

откуда сумма разового взноса в резерв

(2.17)

где sn;iкоэффициент наращения постоянной финансовой ренты.

Процесс увеличения резерва с учетом последовательных взносов в конце года и наращения процентов определяется как St=Dst;j,

где t — интервал от начала списания до момента оценки.

Из последнего выражения становится понятным, что сумма резерва ускоренно возрастает с каждым шагом во времени. Соответственно должны расти и амортизационные списания. Таким образом, за первый год износ составит величину D, за второй — D(1 + i) и т. д. Износ за год t определяется как Dt = D(1 + i)t-1.

Указанные суммы списываются в конце каждого года с остаточной стоимости. Таким образом, балансовую стоимость на конец первого года после списания износа находим как

B1 = P - D1,

на конец второго года она составит:

B2 = P - [D + D(1 + i)] = B1 - D(1 + i) и т.д.

Для года t

Bt = P - Dst;i (2.18)

или, определяя последовательно,

Bt+1 = Bt - Dt.

Очевидно, что процесс амортизации по этому методу оказывается замедленным. Медианный срок приближенно можно найти из равенства

откуда

где

Отметим, что величина разового взноса в резерв меньше суммы амортизации по линейному методу. Причем, чем выше ставка, применяемая при накоплении, тем больше разница между суммой взноса D и годовым размером линейной амортизации.

ПРИМЕР 4

Для данных примера 1 при условии, что на аккумулируемые средства начисляются проценты по ставке 15% годовых, найдем сумму ежегодного взноса в резерв:

D = (100 - 4)/s5;15 = 96/6,74238 = 14,238 .

Напомним, что по линейному методу годовая сумма амортизации равна в этом примере 19,2. Процесс формирования резерва и динамика балансовой стоимости показаны в таблице.

t

D

Dt

Dst;i

Bt

0

100,000

1

14,238

14,238

14,238

85,762

2

14,238

16,374

30,612

69,388

3

14,238

18,830

49,442

50,558

4

14,238

21,655

71,097

28,903

5

14,238

24,903

96,000

4,000

Итого

96,000

Как видим, в первые годы процесс списания балансовой стоимости здесь более медленный, чем при линейном начислении износа. Половина амортизируемой стоимости амортизируется за 3 года. Напомним, что по линейному методу w = 2,6.

На рис 2.5 проиллюстрирован процесс увеличения износа и сокращения балансовой стоимости оборудования по методу накопленного резерва.

Метод накопленного резерва применяется и при решении задачи, непосредственно не связанной с расчетом сумм амортизации, но по своему содержанию близкой к нему. Познакомимся с проблемой в общем виде. Речь идет об использовании некоторого ограниченного ресурса, который имеется на начало процесса производства. Таким ресурсом чаще всего являются разрабатываемые запасы полезных ископаемых. Их истощение необходимо учитывать в себестоимости продукции (depletion allowance). Инвестор в процессе эксплуатации месторождения должен, во-первых, накопить денежный резерв для возобновления производства на новом участке, а во-вторых, получить прибыль от инвестиций в разработку месторождения.

Возможны две альтернативные постановки задачи. Первая заключается в определении цены объекта разработки, эквивалентной ожидаемому доходу при принятой норме доходности инвестиций. Вторая состоит в определении дохода, эквивалентного заданной цене. Остановимся только на второй постановке задачи.

Допустим, инвестиции в приобретение участка и его подготовку к разработке составили P (условно назовем эту величину ценой участка), ожидаемый срок эксплуатации — n лет. Если норма доходности инвестиций установлена в размере j процентов, а на перечисляемые в резерв средства начисляются проценты по ставке i, то отдача от инвестиций должна составить сумму Pj и для создания резерва необходимо выделять P/sn;i . В целом ежегодные поступления определяются как

(2.19)

В частном случае, когда ставки j и i оказываются одинаковыми, получим (см. § 2.6):

D = P/an;i , (2.20)

где an;i — коэффициент приведения постоянных рент постнумерандо.

ПРИМЕР 5

Пусть цена карьера (приобретение участка, его освоение и т. д.) составляет 100 млрд. руб., срок разработки — 5 лет, норма доходности от инвестиций — 15%, ставка процента при накоплении резерва — 20%.

Находим s5;20 = 7,4416. Следовательно,

Из этой суммы 15 млрд. руб. представляют собой инвестиционный доход. Остальные деньги поступают в резерв.

д) Метод аннуитетов

Строго говоря, метод накопленного резерва, как, впрочем, и другие рассмотренные выше методы, противоречит принципу изменения ценности денег во времени. Дело в том, что накопленные в порядке амортизации средства, если они действительно накопляются, неэквивалентны в финансовом смысле затратам на приобретение оборудования. В самом деле, инвестор вкладывает в оборудование сумму P, амортизирует ее каким-либо способом в течение п лет и создает резерв в той же сумме P. Таким образом, инвестор, по крайней мере теоретически, несет некоторый ущерб. Иное дело, если при амортизации принимается во внимание необходимость начисления процентов на инвестируемые средства. В этом случае баланс между вложениями в оборудование и амортизационными списаниями достигается следующим образом:

P = Dan;i + Lvn,

откуда размер амортизационных затрат, включая процент на инвестированный капитал, составит:

(2.21)

Иначе говоря, модель износа базируется на таком же принципе, что и общепринятый метод обслуживания долга. Конкретно это означает, что затраты на приобретение оборудования рассматриваются как некоторая задолженность, растущая до момента первого списания износа. В этот момент часть суммы D идет на уплату процентов, а остаток — на погашение основного долга, т. е. на уменьшение балансовой стоимости. Процесс повторяется до полной амортизации стоимости оборудования.

Определим для года (t + 1) размер остаточной балансовой стоимости:

Bt+1 = bt - (d - bti) = Bt (1 + i) - D. (2.22)

Разность в скобках равна сумме износа.

ПРИМЕР 6

По данным примера 1 при условии, что i = 15%, находим

Для первого года B1 = 100 - (29,238 - 15,000) = 85,762.

Размеры износа, расходы по амортизации и остаточная стоимость для конца каждого года показаны в таблице, где A = D - Bti.

t

D

%

А

Bt

0

100,000

1

29,238

15,000

14,238

85,762

2

29,238

12,864

16,374

69,388

3

29,238

10,408

18,830

50,558

4

29,238

7,583

21,655

28,903

5

29,238

4,335

24,903

4,000

Итого

96,000

§ 2.5. Налог на имущество и выбор модели износа

Налог на имущество зависит от двух параметров — остаточной стоимости имущества и установленной налоговой ставки. В свою очередь, его остаточная стоимость определяется сроком амортизации и принятым методом (моделью) начисления износа.

Для начала определим общую сумму налогов за весь срок их выплат (срок амортизации) без приведения к начальному моменту времени (обозначим эту сумму N). Для этого обратимся к линейной модели, в которой L = 0. Общность вывода от этого не пострадает. Для сроков амортизации, равных двум и трем годам, имеем:

где Т — налоговая ставка.

Из приведенных формул следует вывод: увеличение срока амортизации неизбежно приводит к росту суммы налога на имущество.

Зависимость суммы налогов от срока можно представить и аналитически. Проще всего это сделать для линейной модели. Суммарная величина налога на имущество в общем виде определяется как

где Ntналог в конце года t;

Bt — остаточная стоимость на конец года до очередного списания износа.

Определим остаточную балансовую стоимость для линейной модели и выполним ряд преобразований. В результате для случая, когда L = 0, находим простую зависимость:

(2.23)

Влияние срока здесь представлено в явном виде — каждый год прироста срока увеличивает общую сумму налога на величину, равную РТ/2. Для общего случая, когда L > 0, зависимость суммы налогов от срока получим (см. § 2.6) в виде

(2.24)

Зависимость общей суммы налогов от срока амортизации и здесь остается линейной. Заметим, что ликвидационная стоимость увеличивает эту сумму.

Обсуждение данной проблемы будет неполным, если не учесть моменты времени, когда выплачивались налоги. Для этого дисконтируем налоговые платежи по некоторой процентной ставке i. Для линейной модели при сроке два и три года получим

где Vприведенная сумма налога;

v — дисконтный множитель по ставке i.

Как видим, и в этом случае вариант с меньшим сроком оказывается предпочтительным для налогоплательщика.

Очевидно, что выбор модели износа также влияет на общую сумму налоговых платежей. Аналитическое сравнение приведенных сумм налогов для разных применяемых моделей износа и сроков амортизации не столь элементарно, как это было сделано выше для линейной модели. Проще на основе конкретных данных подсчитать и сравнить соответствующие величины, тем более что результат сравнения зависит и от уровня применяемой для дисконтирования процентной ставки.

§ 2.6. Математическое приложение

а. Доказательство формулы (2.16) Исходное равенство

Находим долю остаточной стоимости в амортизируемой сумме:

Поскольку и , то

откуда

б. Доказательство соотношения

в. Доказательство формулы (2.24)

Остаточная стоимость в конце года t до очередного списания износа определяется как

Bt = P - D(t - 1).

Соответственно

И, наконец,

ГЛАВА 3 ОПРЕДЕЛЕНИЕ БАРЬЕРНЫХ ЗНАЧЕНИЙ ЭКОНОМИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ

Вы, профессор, воля ваша, что-то нескладное придумали! Оно, может, и умно, но больно непонятно. Над вами потешаться будут.

М. Булгаков

§ 3.1. Общая постановка задачи. Линейная модель

В практике финансово-экономического анализа довольно часто возникает необходимость определить барьерное (критическое, предельно допустимое) значение некоторого параметра. Под барьерным значением параметра понимается такая его величина, превышение которой приводит к положительному или отрицательному конечному экономическому результату в рамках некой производственной или финансовой системы. Например, если речь идет об определении объема производства какого-то продукта, то критическим его значением является такой объем выпуска, при котором полученная прибыль равна нулю. Превышение этого объема дает прибыль, производство в меньшем объеме оказывается убыточным. Подобная и многие другие, сходные по общей постановке задачи решаются с помощью метода барьерной (критической) точки (break-even analysis). Этот метод широко используется в финансовом проектировании, при разработке бизнес-планов и при решении ряда финансовых проблем.

Наиболее простая постановка задачи осуществляется с помощью линейной модели. Разумеется, такая постановка не является единственно возможной. Некоторые пути для дальнейшего развития метода предлагаются в следующих параграфах главы. Причем часть из рассмотренных здесь проблем, например, барьерные точки для налоговых ставок и барьерные точки в условиях неопределенности, до сих пор не обсуждалась в финансовой литературе.

Заметим, что до недавнего времени метод барьерной точки применялся в статическом варианте. Экономические показатели рассматривались в рамках одного, сравнительно короткого периода. В последнее время делаются попытки применить метод к потокам платежей, охватывающим ряд последовательных временных интервалов. В этих случаях с помощью дисконтирования стал учитываться важнейший фактор — время (а именно сроки инвестирования и сроки отдачи от инвестиций).

Для начала рассмотрим наиболее простой и весьма условный вариант статической постановки задачи, к которому обычно прибегают при объяснении сути метода. Пусть необходимо найти критический объем производства одного вида продукта при условии, что все необходимые для анализа количественные зависимости описываются линейными выражениями, иначе говоря, применяется линейная модель.

Для записи такой модели примем обозначения:

Qобъем производства в натуральном или условно-натуральном измерении;

Fпостоянные производственные затраты, затраты, не зависящие от объема выпуска;

с — пропорциональные затраты (в расчете на единицу продукции);

p — цена единицы продукции;

Sобщая сумма затрат;

Vстоимость выпущенной продукции;

P — размер прибыли до уплаты налогов.

Переменные Q, F, S, V, Р определяются в расчете на одинаковый интервал времени, обычно на один год.

Для начала найдем стоимость выпущенной продукции и соответствующую сумму затрат:

V = pQ; (3.1)

S = F + cQ. (3.2)

Искомый критический объем производства или барьерную точку (break-even point) получим на основе равенства стоимости выпущенной продукции и суммы затрат: V = S . Именно равенство двух разнородных экономических показателей, каждый из которых является функцией управляющего параметра (в рассматриваемом случае — объема производства), лежит в основе метода барьерной точки.

Обозначим барьерный объем производства Qk. Тогда, используя (3.1) и (3.2), получим

pQk = cQk + F.

Таким образом,

(3.3)

Как видим, значение барьерной ставки пропорционально постоянным затратам и обратно пропорционально разности цены и величины переменных затрат. При уменьшении этой разности величина барьерной точки ускоренно возрастает.

Прибыль (до выплаты налогов) по определению составит:

P = V - S = (p - c)Q - F. (3.4)

Графическая иллюстрация постановки задачи и ее решения приведена на рис. 3.1. Решение находится в точке пересечения двух линий, одна из которых характеризует динамику затрат S, другая — изменение дохода V по мере увеличения выпуска. Объемы производства, которые меньше критического Qk , приведут к убыткам. Превышение этого объема дает прибыль (линия P). Чем выше размер постоянных и переменных затрат, тем больше критический объем производства. Прибыль после уплаты налогов (пропорциональных прибыли) характеризуется на рис. 3.1 пунктирной линией M.

ПРИМЕР 1

Ожидается, что р = 50, с = 30, F = 100. Находим

, Р = (50 - 30)Q - 100.

Графическое изображение условий задачи и ее решение представлены на рис. 3.2.

Рассмотренный метод базируется на реальных данных бухгалтерского учета или ожидаемых их величинах. Капиталовложения учитываются посредством включения в затраты амортизационных отчислений. Заметим, что все участвующие в расчете параметры рассматриваются как константы. Между тем с течением времени они, безусловно, изменяются, и найденная для одного момента времени критическая точка не окажется таковой для другого момента. Важно также подчеркнуть, что время как важнейший финансовый фактор не принимается здесь во внимание. Такой подход вполне оправдан, если капиталовложения уже осуществлены и встает вопрос только о выборе видов производимой продукции и их объемов.

Сказанное выше позволяет сформулировать общее определение для обсуждаемого метода как способа расчета барьерного значения управляющего параметра исходя из равенства двух "конкурирующих" функций этого параметра. Содержание управляющего параметра и функций, как видим, определяется конкретными условиями решаемой задачи. В рассмотренном примере управляющим параметром является объем производства, "конкурирующими" функциями — доход (выручка) и затраты.

Вариантом рассмотрения задачи является определение минимально допустимого срока выпуска продукции при заданных годовых объемах производства, т. е. срока окупаемости. Объем производства выступает здесь как параметр, а срок выпуска — как управляющая переменная. Вместо годовых постоянных затрат учитывается общий размер инвестиций и сопряженных затрат (параметр F). Тогда "конкурирующие" функции имеют вид

V = nQp; S = F + nQc,

где n — срок выпуска.

Барьерный срок окупаемости nk (методы расчета срока окупаемости для разных ситуаций рассматриваются в гл. 6) определяется как

(3.5)

§ 3.2. Нелинейные модели

Линейная модель во многих случаях дает практически приемлемое описание ситуации. Однако могут возникать ситуации, когда процесс формирования затрат и (или) стоимости продукции более адекватно описывается нелинейными функциями и имеются достаточно надежные данные для получения соответствующих кривых. Вид и параметры таких кривых могут быть установлены, например, в ходе статистического анализа, или их можно задать экспертно.

Барьерный выпуск продукции. Вернемся к задаче по определению критического объема продукции, но в условиях, когда одна или обе "конкурирующие" функции являются нелинейными. Рассмотрим несколько возможных постановок задач. Пусть для начала стоимость продукции — линейная функция выпуска, а затраты на производство описываются нелинейной функцией. Предполагается, что удельные затраты сокращаются по мере роста масштабов производства, а цена единицы продукции не изменяется. Такое сочетание затрат и стоимости продукции представлено на рис. 3.3.

Стоимость продукции находится по формуле (3.1). Допустим, общая сумма переменных затрат описывается степенной функцией cQh , причем 0 < h < 1. В этом случае общая сумма затрат составит:

S = F + cQh.

Разность "конкурирующих" функций в барьерной точке равна нулю:

Решение сводится к нахождению корня этого выражения.

ПРИМЕР 2

Исходные данные: F = 100, р = 50, с = 40, h = 0,5. Соответственно имеем

Получим Qk = 3,5.

Сочетание двух нелинейных зависимостей, каждая из которых не имеет точки максимума, показано на рис. 3.4. Предполагается, что удельные затраты и цены сокращаются по мере роста выпуска продукции.

Например, если обе функции являются степенными:

V = pQm, S = F + cQh, m < 1, h < 1,

то искомый барьерный уровень находим на основе выражения

Пусть теперь обе функции являются параболами второй степени (рис. 3.5):

V = aQ2 + bQ, S = cQ2 + dQ + F,

где a, b, с, dпараметры парабол.

Прибыль в зависимости от уровня выпуска составит:

P = (a - c)Q2 + (b - d)Q - F, (3.6)

а барьерный объем выпуска находится из уравнения

Добавим, что в рассмотренных условиях можно рассчитать объем выпуска, максимизирующего размер прибыли (обозначим его как Qm). Для этого, как известно, достаточно найти производную функции прибыли и приравнять ее нулю. В случае, когда прибыль описывается выражением (3.6), находим

Как видим, положение точки максимума полностью определяется параметрами соответствующих парабол. Причем необходимым условием существования максимума являются следующие соотношения: d > b; a > с. Если b > d и а > с, то прибыль монотонно растет вместе с увеличением выпуска.

Нелинейную модель можно представить и в неформализованном виде — как таблицу данных, характеризующих затраты и стоимость продукции в зависимости от размера выпуска.

ПРИМЕР 3

В приведенной ниже таблице и на диаграмме (рис. 3.6) содержатся данные о затратах, стоимости продукции и ожидаемой прибыли.

Q

F

c

p

S

V

Р

0

100

100

5

100

30

50

250

250

0

10

100

27

50

370

500

130

15

100

22

45

430

675

145

20

100

20

40

500

800

300

25

100

20

30

600

750

150

Барьерный выпуск равен 5. Наибольшая прибыль приходится на выпуск, равный 20.

Сравнение финансовых показателей на основе барьерных величин. Перейдем к решению простой задачи, иллюстрирующей возможности метода при решении некоторых проблем в финансово-кредитной области. Допустим, необходимо выбрать один из двух вариантов поступлений денежных средств: S1; S2 со сроками n1; n2, причем S2 > S1; п2 > n1, иначе постановка задачи не имеет экономического смысла — выбор очевиден. Решение основано на сравнении величин современной стоимости соответствующих денежных сумм. Таким образом, выбор зависит от существующего или ожидаемого уровня доходности денежных инвестиций в виде процентной ставки (управляющая переменная j). При выборе варианта следует ориентироваться на значение барьерной ставки14, т. е. ставки, при которой оба варианта оказываются равноценными по доходности.

Рассмотрим метод решения этой задачи для двух вариантов расчета современных стоимостей по простой и сложной процентным ставкам. Для определения барьерных уровней ставок найдем равенства "конкурирующих" функций — современных стоимостей двух платежей P1 = P2. Для простой ставки имеем

(3.7)

а для сложной —

, (3.8)

где i — величина барьерной ставки. Решив равенство (3.7), получим

(3.9)

Из выражения (3.9) находим необходимое условие для существования барьерной ставки:

S1 n2 > S2 n1, или.

Графическая иллюстрация решения представлена на рис. 3.7.

Как видно на рис. 3.7, при j < i предпочтителен вариант S2

ПРИМЕР 4

S1 = 1; S2 = 1,15; n1 = 7; п2 = 12 (сроки платежей указаны в месяцах).

Находим , следовательно, решение существует. Получим

, или 45,6%.

Таким образом, при рыночной простой ставке, меньшей 45,6%, предпочтительнее более отдаленная выплата при всех прочих равных условиях.

Перейдем к определению барьерного значения сложной ставки. На основе (3.8) находим

,

откуда

В итоге

i = ant ln (1 + i) - 1. (3.10)

ПРИМЕР 5

S1 = 1; S2 = 1,4; n1 = 1; п2 = 2,5 (сроки платежей измерены в годах). Находим

; i = ant ln 0,22431-1 = 0,251.

При ставке, превышающей 25,1%, предпочтительнее оказывается первый вариант.

§ 3.3. Барьерные точки для налоговых ставок

В современной России налоговое законодательство нуждается в существенном совершенствовании. Ни для кого не секрет, что очень часто именно налоги являются тем фактором, который снижает, а иногда и полностью устраняет экономический стимул для инвестирования в производственную деятельность, для развития или даже просто выживания существующего производства.

В данном параграфе рассматривается одна из проблем налогообложения, на которую не обращалось внимание, — внутренние взаимосвязи экономических производственных параметров, определяемые налоговыми выплатами. Учет таких взаимосвязей достигается с помощью их формализации и последующего анализа. Указанный подход к проблеме налогов позволяет определить барьерные точки для налоговых ставок, т. е. ставок, при которых производственная деятельность теряет экономический смысл (себя не окупает), установить влияние налогов на положение барьерного выпуска продукции и попутно найти интересный в экономическом смысле показатель — обобщенный налоговый тариф. Кроме того, можно выявить факторы, в том числе и неочевидные, определяющие экономические результаты производственной деятельности в зависимости от способов налогообложения.

Для того чтобы не увязнуть в технических деталях существующих нормативов налогообложения, в которые, к тому же, непрерывно вносятся изменения, а решение сформулированных выше задач стало более наглядным, обсуждаются только общие, принципиальные подходы к расчету налоговых выплат, без конкретной привязки к российским налоговым законам, тем более что разработка последних далека от завершения.

Рассмотрим только два вида налогов на производственную деятельность, имеющих различную базу начисления: налог на прибыль и налог на стоимость, добавленную обработкой, НДС (в отечественной терминологии — налог на добавленную стоимость). Известно, что помимо указанных налогов существуют различного вида платежи и отчисления. Часть из них включается в себестоимость продукции, остальные — нет. Если такие платежи учитываются в затратах, то они рассматриваются лишь как факторы, сокращающие прибыль и (или) увеличивающие цену продукции, и далее в анализе не затрагиваются. Что касается платежей, не включаемых в себестоимость и выплачиваемых из прибыли15, в связи с чем они по своей сущности или по своим последствиям для налогоплательщика не отличаются от основных налогов (в их числе — взносы в пенсионный фонд и т. п.), то соответствующие платежи в рамках выполненного ниже анализа рассматриваются как фактор, увеличивающий уровень налоговой ставки на прибыль, и раздельно не учитываются. Их выделение в анализе принципиально ничего не меняет.

Какая бы база для определения суммы налогов ни применялась, источник их выплат, как известно, один — прибыль. Поскольку в России оба указанных вида налогов взимаются одновременно (национальное изобретение), то возможны ситуации, когда вся или почти вся прибыль уходит в налоги. Ниже будут определены условия, в которых возникает такая ситуация. В связи со сказанным возникает задача определения общей налоговой нагрузки на прибыль. Иначе говоря, следует выяснить, в какой мере можно практически реализовать известный призыв "Давайте делиться!".

Решим эту задачу формальными методами. Для записи формул введем обозначения:

P — прибыль до уплаты налогов;

М — чистая прибыль;

Vстоимость продукции;

Sобъем затрат;

N — норматив НДС;

Т — ставка налога на прибыль;

gдоля стоимости, добавленной обработкой, в стоимости продукции.

Налоговые ставки Т и N выражены в десятичных дробях.

Хотя указанные налоги начисляются одновременно, для начала в методических целях рассмотрим их влияние порознь. Если прибыль до уплаты налогов определена, как в (3.4), то после уплаты последних она составит:

M = (V - S)(1 - T) = P(1 - T). (3.11)

Допустим на минуту, что предусматривается только НДС, тогда

M = V(1 - gN). (3.12)

При одновременном начислении и выплате двух видов налогов чистая прибыль предприятия в абсолютном измерении составит:

M = (V - S) - [(V - S)T + gVN] = P - [PT + gVN]. (3.13)

До решения поставленной задачи — определения барьерных значений налоговых ставок — необходимо найти ряд зависимостей, относящихся к этим ставкам. Для большей наглядности и упрощения дальнейших выкладок освободимся от абсолютных величин. В последующих записях используем принятые выше обозначения, кроме того, обозначим:

s — удельный вес затрат в цене продукции;

p — относительный размер прибыли до уплаты налогов;

т — относительный размер чистой прибыли (прибыли после уплаты налогов).

По определению

Разделим обе стороны равенства (3.13) на V и после несложных преобразований находим

m = p(1 - T) - gN. (3.14)

Из равенства (3.14) следует, что размеры чистой прибыли зависят не только от налоговых ставок, но и от структуры цены продукции. Причем при фиксированных налоговых ставках чистая прибыль сокращается по мере увеличения доли стоимости, добавленной обработкой (параметр g), и в случае, когда

(3.15)

прибыль полностью поглощается налогами.

Продолжим анализ. Для этого предварительно определим структуру параметра g:

g = 1 - s + a = p + a,

где а — удельный вес в цене продукции элементов стоимости, добавленной обработкой, которые не входят в прибыль (заработная плата, амортизационные отчисления).

Перепишем (3.13), используя последнее выражение:

m = p - [p(T + N) + aN]. (3.16)

Как следует из формулы (3.16), прибыль облагается двойным налогом (по ставкам Т и N). Второй очевидный вывод — база для начисления НДС на величину а больше, чем для начисления налога на прибыль.

Итак, при заданных налоговых ставках размер чистой прибыли полностью определяется двумя элементами структуры цены — р и а. Причем для получения некоторой чистой прибыли явно недостаточно соблюдения, казалось бы, очевидного условия: Т + N < 1.

Единственным источником для выплат налогов на производственную деятельность является, как известно, прибыль. Поэтому при наличии нескольких видов налогов и баз для налогообложения логично свести соответствующие тарифы к одной расчетной ставке налога на прибыль. Назовем результат обобщения ставки налога на прибыль и НДС эквивалентной налоговой ставкой. Обозначим ее как D. Ставка налога на прибыль в размере D приводит к таким же результатам, что и одновременное начисление налогов по ставкам Т и N. Из условия равенства сумм налогов можно записать:

p(1 - D) = p(1 - T) - gN,

откуда следует

(3.17)

Как видим, эквивалентная ставка D зависит не только от исходных налоговых ставок, но и от структурного параметра а/р. Эта ставка больше суммы исходных ставок на величину

(a/p)N. На основе (3.17) получим неравенство, при выполне-

1ии которого производитель получит некоторую чистую при-эыль; иначе говоря, эквивалентная налоговая ставка будет меньше 100%:

.

ПРИМЕР 6

Пусть для некоторого производства получены следующие исходные данные: р = 20%, а = 30% (соответственно g = 0,5). Налоговые ставки, допустим, составляют: Т= 25%, N= 21,5%. На основе приведенных выше данных получим:

налог на прибыль рТ = 0,2 х 0,25 = 0,05,

НДС определяется как gN = (0,2 + 0,3) х 0,215 = 0,1075.

Предельное значение параметра g, при котором прибыль полностью идет на налоги, равно согласно (3.15) величине:

g = = 0,698, что несколько превышает фактическое его значение, следовательно, имеется чистая прибыль.

Общая сумма налогов равна 0,1575. Таким образом, двойное начисление налогов сокращает чистую прибыль до 0,0425. Эту же величину можно найти по формуле (3.14)

m = 0,2 - [0,2 х (0,25 + 0,215) + 0,3 х 0,215] = 0,0425.

Таким образом, прибыль фактически облагается по ставке

D = 0,25 + 0,215 + х 0,215 = 0,7875.

Рассчитаем чистый доход по этой ставке: m = 0,2 х (1 - 0,7875) = 0,0425.

Как видим, эквивалентная налоговая ставка на 0,3225 больше суммы исходных ставок. В итоге в распоряжении предприятия при заданных налоговых ставках и сложившейся структуре цены продукции остается меньше 22% прибыли.

Продолжим пример. Допустим, речь идет о предприятии с высокими производственными трудозатратами, в связи с чем отношение g/p равно не 2,5, а 3,5. Тогда D = 0,25 + 3,5 х 0,215 > 1, т. е. эквивалентная налоговая ставка оказывается больше 100% и, следовательно, расчетная сумма налогов превышает прибыль.

Перейдем теперь к определению барьерных (критических) налоговых ставок. Под последними будем понимать такие расчетные размеры ставок Т или N, при которых чистая прибыль равна нулю при всех прочих заданных условиях; иначе говоря, налоги равны прибыли. Из сказанного следует, что для сохранения экономического смысла налоговые нормативы должны быть меньше соответствующих барьерных ставок. Для решения этой задачи вернемся к уравнению (3.17), определяющему ставку D. Очевидно, что в нормальных экономических условиях должно выполняться неравенство D < 1, или в развернутой записи:

(3.18)

Приведенное неравенство определяет область допустимых с экономической точки зрения сочетаний размеров налоговых ставок. Из него также следует, что налоговые ставки не являются независимыми при условии, что они должны отвечать очевидному экономическому требованию (3.18). Графическая иллюстрация этой области представлена на рис. 3.8.

Сплошная наклонная линия здесь соответствует D = 1. Сочетания налоговых ставок, которые лежат на ней, являются предельными (т. е. вся прибыль идет на налоги, например в точке а). Ставки, находящиеся ниже этой линии, позволяют получить некоторую чистую прибыль (точка b). Например, в примере 6 допустимыми являются ставки, удовлетворяющие условию

Рис. 3.8

Барьерные значения ставок можно найти на основе неравенства (3.17) или, что более наглядно, применив уравнение (3.14). Для этого приравняем прибыль после уплаты налогов нулю, тогда

p(1 - T) - gN = 0.

Если одна из налоговых ставок задана, то для второй можно найти барьерное значение. Обозначим барьерные ставки соответственно как Tk и Nk . Сначала определим барьерную ставку для налога на прибыль. При условии, что заданной является ставка НДС, находим

(3.19)

Ставка налога на прибыль, которая меньше барьерной, создает возможность для получения чистой прибыли. Из приведенного равенства также следует, что положительное значение барьерной ставки существует только тогда, когда.

Если же , то для налога на прибыль не остается "жизненного пространства", вся прибыль идет на НДС.

Как видим, барьерное значение ставки налога на прибыль является линейной функцией от норматива налога на НДС при заданных параметрах p и g.

Аналогичным образом получим барьерное значение ставки НДС при условии, что заданной является ставка налога на прибыль:

(3.20)

Зависимость чистой прибыли от ставки N при заданной ставке T и всех прочих равных условиях показана на рис. 3.9. Как видим, прибыль существует только в диапазоне 0 — а ставки N. Размеры ставки, превышающие критический уровень, приводят к расчетной отрицательной прибыли.

Рис. 3.9

ПРИМЕР 7

Вернемся к данным примера 6 и найдем критическое значение ставки налога на прибыль:

T = 1 - x 0,215 = 0,4625.

Таким образом, ставка налога на прибыль, которая меньше 46,25%, обеспечивает в данных условиях (напомним, что НДС равен 21,5%) получение некоторой чистой прибыли. Что касается барьерной ставки для НДС, то она составит:

Nk = x (1 - 0,25) = 0,3

при условии, что налог на прибыль равен 25%.

Из сказанного выше следует, что двойной принцип налогообложения имеет "внутренние" пороки, следствием которых являются:

  • резкое увеличение налоговых сумм, причем создается возможность для полного поглощения прибыли налогами даже при относительно низких налоговых ставках;

  • неустойчивость в определении этих сумм, поскольку последние зависят от такой варьирующей характеристики, как структура стоимости продукции.

Включение в анализ дополнительных видов налогов только усилит отрицательные последствия двойной системы налогообложения.

§ 3.4. Положение барьерных точек при неопределенности в исходных данных

Барьерное значение выпуска продукции определялось выше для линейной и нелинейной моделей при условии, что все исходные данные установлены однозначно. В этой ситуации получают только одно расчетное значение выпуска. В действительности все не так просто. Так, цену продукции, вероятно, можно с большей надежностью определить для будущего лишь в виде некоторого интервала . Обратившись к линейной модели, получим интервал значений барьерного выпуска продукции (рис. 3.10).

Аналогичное можно сказать и об остальных параметрах в формуле (3.3). Таким образом, при условии, что неоднозначными являются постоянные или переменные затраты, получим диапазоны барьерных показателей выпуска для линейной модели (рис. 3.11 и рис. 3.12).

Рис. 3.10

На рис. 3.13 иллюстрируется совместное влияние на положение барьерного выпуска продукции неопределенности в цене продукции и переменных затратах. На этом же рисунке показана зависимость размера прибыли от выпуска продукции для двух крайних сочетаний значений параметров p и с. В свою очередь, неоднозначность в ожидаемой цене продукта и постоянных затратах приводит к результату, который показан на рис. 3.14.

Рис. 3.11 Рис. 3.12

Рис. 3.13 Рис. 3.14

На рис. 3.15 показана ситуация, при которой интервалами заданы значения всех трех параметров — четыре критические точки: а, b, с, d, причем точка а соответствует минимальным затратам и максимальной цене, точка bмаксимальным затратам и цене, точка с — максимальным затратам и минимальной цене, точка d — минимальным затратам и цене. В зависимости от выдвинутых условий можно получить ряд диапазонов для барьерной точки: а — b, а — с и т. д. Определение диапазонов значений управляющей переменной является частным случаем анализа, о котором речь пойдет в гл. 6.

Рис. 3.15

Что касается способов определения интервалов для значений параметров, то в большинстве случаев вполне оправданно экспертное их оценивание (см. гл. 8).

Расчет интервалов для барьерных значений управляющих переменных дает более полное представление о реально ожидаемых результатах производственной деятельности. Рассмотренный метод определения таких интервалов представляет частный случай анализа чувствительности, о котором речь пойдет в гл. 6.

§ 3.5. Барьерные точки объемов производства, финансовый подход к их определению

Постановку задачи по определению барьерного объема выпуска продукции можно расширить, учитывая дополнительные условия. Представим себе, что разрабатывается проект по производству некоторого нового вида продукции. Выпуск продукции намечен в течение n лет в равных объемах по годам. Что касается затрат, то сохраняется их деление на постоянные (не связанные с объемами производства) и переменные (пропорциональные выпуску продукции). Таким образом, и текущие затраты, и поступления от реализации продукции можно представить в виде потоков платежей. Здесь возможны два конкурирующих подхода к решению. В первом, который условно назовем бухгалтерским, инвестиции не принимаются во внимание непосредственно — они учитываются через амортизационные отчисления. Последние включают в текущие затраты. Во втором, финансовом подходе инвестиции играют ключевую роль: они выступают в качестве самостоятельного фактора, в то время как амортизация не учитывается в текущих расходах.

Как видим, оба метода избегают двойного счета инвестиционных затрат.

Указанные методы применяются на практике и, естественно, дают разные результаты. Начнем с бухгалтерского, согласно которому необходимо определить тот минимальный объем выпуска, при котором затраты окупятся, но не принесут прибыли. Иначе говоря, метод предполагает ориентацию на прибыль.

Найдем размер прибыли в зависимости от объема выпуска продукции для одного временного интервала:

P = pQ - (cQ + f + d),

где p и с имеют тот же смысл, что и выше (см. §3.1);

f — постоянные расходы за год;

d — сумма амортизационных списаний за тот же период.

Пусть сумма амортизации определена линейным способом, т. е. d = const.

Если принять во внимание тот факт, что выпуск продукции (поступления дохода) и затраты представляют собой потоки платежей, то "конкурирующие" функции определяются как современные стоимости соответствующих потоков, а именно: PV(pQ) и PV(f + d + cQ), где PVоператор определения современной стоимости соответствующего потока. Графическая иллюстрация положения барьерной точки выпуска представлена на рис. 3.16.

Конкретизируем сказанное и найдем барьерную точку выпуска для условия, согласно которому выпуск и реализация продукции равномерно распределены в пределах года. В связи с этим без заметной потери точности в расчетах отнесем эти величины к серединам соответствующих лет.

Барьерный объем выпуска продукции составит (см. § 2.6):

(3.21)

что, по существу, совпадает с формулой (3.3). Отличие от последней состоит только в выделении в числителе в качестве самостоятельного слагаемого суммы амортизационных расходов.

Рис. 3.16

Предположим теперь, что все участвующие в расчете удельные характеристики изменяются во времени, т. е. вместо p, c, f, d имеем pt, ct, ft, dt. Переменные параметры, несомненно, более адекватны реальности. Например, затраты на производство растут в связи с увеличением расходов на ремонт по мере износа оборудования, в то же время постоянные затраты могут уменьшаться. В ряде случаев есть основание задаться некоторой закономерностью изменения цен продукции во времени и т. д. Равенство современных стоимостей "конкурирующих" функций в этом случае имеет вид

Отсюда

. (3.22)

ПРИМЕР 8

В таблице приведены исходные данные для расчета барьерного выпуска на основе потоков платежей. Все параметры, кроме сумм амортизации, здесь переменные величины и рассчитаны на 1000 единиц выпуска продукции.

t

p

с

f

d

1

50

28

20

30

2

50

28

20

30

3

46

30

16

30

4

46

30

16

30

5

42

31

12

30

Для дисконтирования применим процентную ставку 15%. Необходимые для расчета по формуле (3.22) данные приведены в следующей таблице.

t

vn

f + d

(f+d)vn

pvn

cvn

1

0,93250

50

46,62500

46,62500

26,11000

2

0,81087

50

40,54350

40,54350

22,70436

3

0,70511

48

32,43506

33,84528

21,15330

4

0,61314

45

28,20444

27,59130

18,39420

5

0,53316

42

22,39284

22,39283

16,52804

Итого

170,20008

170,99791

104,88990

Qk = = 2,57.

Перейдем к финансовому методу, который в отличие от бухгалтерского учитывает размер капитальных вложений, непосредственно осуществленных для реализации проекта, и поток чистых поступлений (без учета амортизационных отчислений). В частном случае, когда удельные характеристики постоянны, имеем следующую последовательность платежей:

-K, (p - c)Q - f, (p - c) Q - f, ...

где Kразмер инвестиций.

Современная стоимость такого потока представляет собой чистый приведенный доход (показатель NPV), с которым мы уже встречались в гл. 1 (§ 1.6). В принятых здесь обозначениях и с привязкой чистых поступлений к середине соответствующих периодов можно записать:

NPV = - K + [(p - c)Q - f]an;i (1 + i)0,5. (3.23)

По определению, в барьерной точке NPV = Q. Отсюда

(3.24)

Первое слагаемое в скобках равно члену финансовой ренты, современная стоимость которой равна сумме инвестиций.

Поток чистых поступлений можно расчленить без потери в точности для последующих расчетов на два потока — поступлений (положительные величины) и расходов (отрицательные величины). Соответственно при постоянных параметрах этих потоков имеем pQ и cQ + f. Графическая иллюстрация изменения современных стоимостей указанных потоков в зависимости от выпуска представлена на рис. 3.17.

ПРИМЕР 9

Применим оба метода анализа, бухгалтерский и финансовый, для анализа инвестиционного проекта, который характеризуется следующими данными: K = 1100, р = 50, с = 30, f = 5, d = 100, п = 10 лет. Дисконтирование осуществляется по ставке 12% годовых.

По формуле (3.21) находим

Qk = = 5,25.

В свою очередь, финансовый метод дает

Qk = = 9,45.

Как видим, последний ответ существенно отличается от предыдущего.

Рис. 3.17

При сравнении формул (3.21) и (3.24) становится очевидным, что расхождение в результатах оценки барьерной точки выпуска связано с тем, что

Иначе говоря, член ренты, амортизирующей капиталовложения, должен быть больше амортизационных отчислений. Равенство в приведенном соотношении будет наблюдаться только в случае, когда i = 0. В этом случае ап;0 = п.

При бухгалтерском подходе из поля зрения аналитика выпадает выгода от возможного иного пути использования ресурсов. В связи с этим введем важное в современной экономике понятие условной (вменённой) потери прибыли (opportunity costs) в результате неиспользования альтернативного курса действий. Для иллюстрации приведем следующий пример. Пусть ресурсом для конкретности является производственное здание. У владельца имеются две альтернативы его использования:

  • осуществить некоторый производственный проект, предусматривающий использование этого здания;

  • продать здание (или сдать его в аренду).

Если владелец реализует проект, то он теряет вторую возможность получения дохода. Таким образом, хотя при реализации проекта здание не приобретается, его стоимость должна включаться в инвестиционные издержки. Здесь уместно привести следующую иллюстрацию16. Компания Локхид обратилась в 1971 г. в Конгресс США по поводу убыточности производства военных самолетов TriStar L-1011. Обращение аргументировалось тем, что коммерческая привлекательность производства была определена с учетом барьерной точки выпуска в размере около 200 самолетов. Однако эта величина не учитывала ранее сделанных капиталовложений в сумме 1 млрд. долл. С учетом указанных вмененных затрат барьерная точка повышается до 500 самолетов.

§ 3.6. Математическое приложение

Доказательство формулы (3.21)

Для того чтобы убедиться в справедливости (3.21), найдем барьерную точку выпуска для условия, согласно которому современная стоимость доходов равна современной стоимости затрат. При расчете современных стоимостей полагаем, что выпуск и реализация продукции равномерно распределены в пределах года. В связи с этим без заметной потери точности в расчетах отнесем эти величины к серединам соответствующих лет. В терминах финансовой математики соответствующие потоки представляют собой постоянные годовые ренты с платежами в середине периодов. Пусть PVоператор определения современной стоимости соответствующего потока платежей. Современная стоимость потока переменных и постоянных затрат, в которые включены и амортизационные начисления, в этом случае составит

PV(f + d + cQ) = (f + d + cQ)v0,5 +...+ (f + d + cQ)vt-0,5 = (f + d + cQ)an;i (1 + i)0,5,

где an;i — коэффициент приведения постоянной ренты;

v — дисконтный множитель.

В свою очередь, современная стоимость поступлений находится как

PV (pQ) = pQv0,5 + pQv1,5 +...+ pQvn-0,5 = pQan;i (1 + i)0,5.

Из равенства полученных современных стоимостей:

(f + d + cQ)a(1 + i)0,5 = pQa(1 + i)0,5

находим искомое соотношение

ГЛАВА 4 ДИВЕРСИФИКАЦИЯ И РИСК

Если человек начинает с определенности,

то закончит сомнениями,

если же он готов начать с сомнений,

то закончит определенностью.

Ф. Бэкон

Не складывайте яйца в одну корзину

Житейская мудрость

§4.1. Риск

В финансовом анализе производственных инвестиций мы неизбежно сталкиваемся с неопределенностью показателей затрат и отдачи. В связи с этим возникает проблема измерения риска и его влияния на результаты инвестиций.

Широко распространенный термин "риск", как известно, понимается неоднозначно. Его содержание определяется той конкретной задачей, где этот термин используется. Отметим, что даже самое общее определение понятия "риск" не оставалось неизменным во времени. Говоря о первом в экономике научном его определении, обычно ссылаются на Ф. Найта17, который предложил различать риск и неопределенность. Риск имеет место тогда, когда некоторое действие может привести к нескольким взаимоисключающим исходам с известным распределением их вероятностей. Если же такое распределение неизвестно, то соответствующая ситуация рассматривается как неопределенность. Как нам представляется, скорее здесь речь идет не об определении риска, а лишь о наличии информации, характеризующей риск.

В экономической практике, особенно финансовой, обычно не делают различия между риском и неопределенностью. Чаще всего под риском понимают некоторую возможную потерю, вызванную наступлением случайных неблагоприятных событий. В некоторых областях экономической деятельности сложились устойчивые традиции понимания и измерения риска. Наибольшее внимание к измерению риска проявлено в страховании. Измеритель риска как возможной потери страховщика был использован еще в конце XVIII в.18 В других направлениях финансовой деятельности под риском также понимается некоторая потеря. Последняя может быть объективной, т. е. определяться внешними воздействиями на ход и результаты деятельности хозяйствующего субъекта. Так, например, потеря покупательной способности денег (инфляционный риск) не зависит от воли и действий их владельца. Однако часто риск как возможная потеря может быть связан с выбором того или иного решения, той или иной линии поведения. Заметим также, что в некоторых областях деятельности риск понимается как вероятность наступления некоторого неблагоприятного события. Чем выше эта вероятность, тем больше риск. Такое понимание риска оправданно в тех случаях, когда событие может наступить или не наступить (банкротство, крушение и т. д.).

Когда невозможны непосредственные измерения размеров потерь или их вероятностей, риск можно измерить с помощью ранжирования соответствующих объектов, процессов или явлений в отношении возможного ущерба, потерь и т. д. Ранжирование обычно основывается на экспертных суждениях.

Естественной реакцией на наличие риска в финансовой деятельности является стремление компенсировать его с помощью так называемых рисковых премий (risk premium), которые представляют собой различного рода надбавки (к цене, уровню процентной ставки, тарифу и т. д.), выступающие в виде "платы за риск". Второй путь ослабления влияния риска заключается в управлении риском. Последнее осуществляется на основе различных приемов, например, с помощью заключения форвардных контрактов, покупки валютных или процентных опционов и т. д. Одним из приемов сокращения риска, применяемых в инвестиционных решениях, является диверсификация, под которой понимается распределение общей инвестиционной суммы между несколькими объектами. Диверсификация — общепринятое средство сокращения многих видов риска. С увеличением числа элементов набора (портфеля) уменьшается общий размер риска. Однако только в случае, когда риск может быть измерен и представлен в виде статистического показателя, управление риском получает надежное основание, а последствия диверсификации поддаются анализу с привлечением методов математической статистики.

В инвестиционном анализе и страховом деле риск часто измеряется с помощью таких стандартных статистических характеристик, как дисперсия и среднее квадратическое (стандартное) отклонение. Обе характеристики измеряют колебания дохода от инвестиций. Чем они больше, тем выше рассеяние показателей дохода вокруг средней и, следовательно, значительнее степень риска.

Напомним, что между дисперсией D и средним квадратическим отклонениемсуществует следующее соотношение:

В свою очередь, выборочная дисперсия относительно средней находится как

,

где n — количество наблюдений;

— средняя случайной переменной х.

Как известно, среднее квадратическое отклонение имеет то неоспоримое достоинство, что при близости реального распределения (речь здесь идет о распределении дохода от инвестиций) к нормальному, что, строго говоря, должно быть статистически проверено, этот параметр может быть использован для

определения границ, в которых с заданной вероятностью следует ожидать значение случайной переменной. Так, например, с вероятностью 68% можно утверждать, что значение случайной переменной х (в нашем случае доход) находится в границах , а с вероятностью 95% — в пределах и т. д. (рис. 4.1).

§ 4.2. Диверсификация инвестиций и дисперсия дохода

Определим теперь, что дает диверсификация для уменьшения риска, и выявим условия, когда эта цель достигается. В качестве объекта анализа примем некоторый абстрактный портфель ценных бумаг (далее для краткости — портфель). Такой выбор объясняется методологическими преимуществами — в этом случае проще выявить зависимости между основными переменными. Однако многие из полученных результатов без большой натяжки можно распространить и на производственные инвестиции.

В § 4.1 отмечалось, что в качестве измерителя риска в долгосрочных финансовых операциях широко распространена такая мера, как дисперсия дохода во времени. Диверсификация портфеля при правильном ее применении приводит к уменьшению этой дисперсии при всех прочих равных условиях. Диверсификация базируется на простой гипотезе. Если каждая компонента портфеля (в рассматриваемой задаче — вид ценной бумаги) характеризуется некоторой дисперсией дохода, то доход от портфеля имеет дисперсию, определяемую его составом. Таким образом, изменяя состав портфеля, можно менять суммарную дисперсию дохода, а в некоторых случаях свести ее к минимуму.

Итак, пусть имеется портфель из п видов ценных бумаг. Доход от одной бумаги вида i составляет величину di. Суммарный доход А равен:

(4.1)

где аi — количество бумаг вида i.

Если di представляет собой средний доход от бумаги вида i, то величина А характеризует средний доход от портфеля бумаг в целом.

Для начала положим, что показатели доходов различных видов бумаг являются статистически независимыми величинами (иначе говоря, не коррелируют между собой). Дисперсия дохода портфеля (обозначим ее D) в этом случае находится как

(4.2)

где Diдисперсия дохода от бумаги вида i.

Для упрощения, которое нисколько не повлияет на результаты дальнейших рассуждений, перейдем от абсолютного измерения количества ценных бумаг к относительному. Пусть теперь ai характеризует долю в портфеле бумаги вида i. Соответственно 0 ai 1; ai = 1.

Для зависимых в статистическом смысле показателей дохода отдельных бумаг дисперсию суммарного дохода находим следующим образом19:

(4.3)

где Di — дисперсия дохода от бумаги вида i;

rij коэффициент корреляции дохода от бумаг вида i и j;

и — среднее квадратическое отклонение дохода у бумаг вида i и j.

Коэффициент корреляции двух случайных переменных х и у20, как известно, определяется по формуле:

, (4.4)

где — средние (в нашем случае средние доходы двух видов бумаг).

Для расчетов часто применяется следующая рабочая формула:

.

Поскольку коэффициент корреляции может быть как положительной, так и отрицательной величиной, то при положительной корреляции дисперсия суммарного дохода увеличивается, при отрицательной — сокращается. В самом деле, при заметной отрицательной корреляции положительные отклонения от среднего дохода одних бумаг погашаются отрицательными отклонениями у других. И наоборот, при положительной корреляции отклонения суммируются, что увеличивает общую дисперсию и риск.

Проследим теперь, каково влияние масштаба диверсификации на размер риска. Под масштабом диверсификации будем понимать количество объектов, возможных для инвестирования (количество видов ценных бумаг). Обратимся к условному примеру, который позволяет наиболее отчетливо выделить влияние указанного фактора. Итак, пусть портфель состоит из бумаг различного вида, но имеющих одинаковую дисперсию дохода . Удельные веса в портфеле каждого вида бумаг также одинаковы, а общая сумма вложений равна 1. Положим, что показатели доходности у отдельных видов бумаг статистически независимы, т. е. применима формула (4.2). В этих условиях для оценки величины среднего квадратического отклонения дохода портфеля получим:

,

где п — количество видов ценных бумаг.

Воспользуемся приведенной формулой и определим дисперсию дохода для портфеля, состоящего из двух и трех видов бумаг. Так, для двух бумаг имеем

.

Для трех видов бумаг квадратическое отклонение портфеля составит 0,580. Таким образом, с увеличением числа составляющих портфеля риск уменьшается даже при одинаковой дисперсии составляющих элементов, однако действенность диверсификации снижается. Соответствующая зависимость изображена на рис. 4.2.

Увеличение масштабов диверсификации оказывает наибольшее влияние на начальных стадиях — при малых значениях n. Например, в рамках рассмотренного примера переход от одного вида бумаг к четырем сокращает квадратическое отклонение на 50%, а от одного к восьми — на 65%.

Полученные выше выводы в отношении тенденции изменения среднего квадратического отклонения в зависимости от числа составляющих при условии, когда дисперсии составляю-

щих одинаковы, справедливы и для более общих случаев. Однако зависимость этого параметра от степени диверсификации проявляется здесь не столь четко.

Посмотрим теперь, как изменяются доход и величина риска при изменении структуры портфеля. Для этого вернемся к формулам (4.2) и (4.3) и запишем их только для двух видов бумаг (X и Y). Такой анализ вряд ли имеет практическое значение. Однако с его помощью наглядно демонстрируются последствия "смешения" ценных бумаг с различными доходностью и дисперсией. Для независимых доходов получим:

(4.5)

и для зависимых доходов

(4.6)

Причем ау = 1 - ах.

В этом случае среднее значение суммарного дохода определяется как

A = axdx + (1 - ax )dy. (4.7)

Положим, что dy > dx и . Тогда увеличение доли бумаг второго вида увеличивает доходность портфеля. Так, на основе (4.7) получим

A = dx + (dy - dx)ay. (4.8)

Рис. 4.3

Что касается дисперсии, то, как следует из (4.6), положение не столь однозначно и зависит от знака и степени корреляции. В связи с этим подробно рассмотрим три ситуации:

  • полная положительная корреляция доходов (rxy = +1),

  • полная отрицательная корреляция (rху = -1),

  • независимость доходов или нулевая корреляция (rху = 0).

В первом случае увеличение дохода за счет включения в портфель бумаги вида Y помимо X сопровождается ростом как дохода, так и дисперсии. Для портфеля, содержащего оба вида бумаг, квадратическое отклонение находится в пределах (рис. 4.3).

Для частного случая, когда , получим по формуле (4.6) D =. Иначе говоря, "смешение" инвестиций здесь не окажет никакого влияния на величину дисперсии.

При полной отрицательной корреляции доходов динамика квадратического отклонения доходов от портфеля более сложная. По мере движения от точки X к точке Y эта величина сначала сокращается и доходит до нуля в точке B, затем растет (рис. 4.4).

Рис. 4.4

В последней из рассматриваемых ситуаций (rху = 0) квадратическое отклонение при увеличении доли бумаги Y проходит точку минимума, равного , далее оно растет до (рис. 4.5).

Рис. 4.5

Совместим теперь все три графика на одном (рис. 4.6). Как видим, все возможные варианты зависимости "доход — среднее квадратическое отклонение" находятся в треугольнике XBY.

Рис. 4.6

Из сказанного непосредственно следует, что эффективность диверсификации (в отношении сокращения риска) наблюдается только при отрицательной или, в крайнем случае, нулевой корреляции.

ПРИМЕР 1

Портфель должен состоять из двух видов бумаг, параметры которых: dx = 2; = 0,8; dy = 3; = 1,1.

Доход от портфеля: А = 2ах + 3ау . Таким образом, доход в зависимости от величины долей находится в пределах 2А3 .

Дисперсия суммы дохода составит:

.

Определим доход и дисперсию для портфеля с долями, равными, допустим, 0,3 и 0,7. Получим по формулам (4.5) и (4.6):

А = 2,7 и D = 0,669 + 0,185 rxy.

Таким образом, при полной положительной корреляции D = 0,854, при полной отрицательной корреляции D = 0,484 . В итоге с вероятностью 95% можно утверждать, что суммарный доход находится в первом случае в пределах

во втором он определяется пределами

.

При нулевой корреляции доходов пределы составят

.

Продолжим анализ с двумя бумагами и проследим, как влияет включение в портфель безрисковой (risk free) инвестиции21. Для этого заменим в портфеле бумагу Y с параметрами dy, на бумагу с такой же доходностью, но с нулевой дисперсией. Доходность портфеля от такой замены, разумеется, не изменится. Что же касается дисперсии, то она теперь составит:

.

Дисперсия и среднее квадратическое отклонение дохода портфеля теперь зависят от удельного веса безрисковой составляющей:

(4.9)

Таким образом, "разбавление" портфеля безрисковой бумагой снижает риск портфеля в целом, а квадратическое отклонение дохода портфеля определяется убывающей линейной функцией доли безрисковой бумаги. Если dx > dy (в противном случае проблема выбора портфеля отпадает — он должен состоять только из безрисковых бумаг), то доход от портфеля по мере увеличения доли безрисковой бумаги уменьшается от dx до dy, а величина квадратического отклонения сокращается от до 0 (рис. 4.7). И наоборот, рост доли рисковой бумаги увеличивает как риск, так и доход.

Последнее утверждение для портфеля, состоящего из двух видов бумаг, иллюстрируется уравнением (4.10):

A = dy + (dx - dy)ax. (4.10)

Рис. 4.7

В свою очередь, на основе (4.9) находим

.

В итоге получим интересное соотношение

. (4.11)

Дробь в приведенном выражении иногда называют рыночной ценой риска. Если эта величина равна, скажем, 0,5, то при росте квадратического отклонения на 1% доход увеличится на 0,5%.

§ 4.3. Минимизация дисперсии дохода

Приведенные выше выражения для дисперсии суммарного дохода позволяют рассмотреть проблему диверсификации инвестиций и риска еще в одном аспекте, а именно определить структуру портфеля, которая минимизирует дисперсию и, следовательно, риск. Для нахождения минимума дисперсии вернемся к определяющим ее формулам. Если предположить, что нет статистической зависимости между доходами от отдельных видов инвестиций, то найти оптимальную в указанном смысле структуру портфеля не так уж и сложно. Положим, что портфель состоит из двух видов бумаг — X и Y. Их доли в портфеле составляют ах и 1 - ах, а дисперсии — Dx и Dy. Общая дисперсия определяется по формуле (4.5). Поскольку эта функция является непрерывной, то применим стандартный метод определения экстремума. Находим, что минимальное значение дисперсии суммы имеет место тогда, когда

, (4.12)

ay = 1 - ax.

Формулу (4.12) обычно приводят в аналитической финансовой литературе. Однако для того чтобы ею можно было воспользоваться, необходимо иметь значения дисперсий. По-видимому, при расчетах на перспективу удобнее оценить или задать экспертным путем не сами дисперсии, а их отношение

Dx/y = Dx/Dy. (4.13)

Разделим теперь числитель и знаменатель (4.12) на Dy, получим

. (4.14)

При наличии корреляции между показателями доходов обратимся к (4.6). Минимум этой функции имеет место в случае, когда

, (4.15)

или, с помощью отношения дисперсий (4.13), получим

. (4.16)

Как видно из приведенных формул, расчетная величина доли одной из бумаг может в некоторых условиях оказаться отрицательной. Из этого следует, что этот вид бумаги не должен включаться в портфель.

ПРИМЕР 2

Вернемся к данным примера 1 и определим структуру портфеля с минимальной дисперсией. Напомним, что = 0,8; = 1,1.

При полной положительной корреляции расчетные значения доли первой бумаги составят по формуле (4.15)

.

Соответственно ау < 0 . Следовательно, минимальная дисперсия имеет место в случае, когда портфель состоит из одной бумаги вида X. Средний доход от портфеля равен 2.

При полной отрицательной корреляции находим

аx = = 0,579;

ay = 1 - 0,579 = 0,421.

Дисперсия в этом случае равна нулю (рис. 4.4), а средний доход составит 2,421.

При отсутствии корреляции получим по формуле (4.12)

ах = 0,654; ау = 1 - 0,654 = 0,346.

Дисперсия дохода при такой структуре портфеля равна 0,418, а средний доход — 2,346.

Пусть теперь портфель состоит из трех видов бумаг — X, Y, Z. Их доли ах, ау и az = 1 - (ax + ay). Дисперсия дохода от портфеля при условии независимости доходов от отдельных видов бумаг составит:

Минимум дисперсии достигается, если структура портфеля определяется следующим образом:

Не будем останавливаться на ситуации, когда доходы трех видов бумаг статистически зависимы. Перейдем к общей постановке задачи и определим структуру портфеля с n составляющими. Положим, что доходы статистически независимы. Опустим доказательства (см. § 4.4) и приведем результат в матричном виде:

A = D-1e, (4-17)

где e — единичный вектор, характеризующий структуру портфеля.

где А — вектор, характеризующий (п - 1) элементов структуры портфеля.

Матрица D имеет размерность (n - 1) х (п - 1) .

ПРИМЕР 3

Эксперты оценили следующие отношения дисперсий для портфеля, состоящего из четырех видов бумаг: Dl/4 = 1,5; D2/4 = 2 ; D3//4 = 1. По формуле (4.17) получим

, откуда

.

Заметим, что структуру портфеля, минимизирующую дисперсию дохода с и составляющими при наличии корреляции, определить так же просто, как это было сделано выше, нельзя. Однако решение существует, хотя его получение — достаточно хлопотное дело. Даже в матричном виде результат весьма громоздок, в силу чего эта задача здесь не обсуждается.

Анализ диверсификации представляет собой первый этап в исследовании портфеля инвестиций. Следующим этапом является максимизация дохода. Эта проблема также связана с измерением риска и требует обстоятельного специального обсуждения, выходящего за рамки настоящей работы. Поэтому ограничимся лишь замечанием о том, что предлагаемый для ее решения метод Марковица22 в теоретическом плане не вызывает возражений. Что касается его практического применения, то здесь, на наш взгляд, скрыты серьезные "подводные камни". Достаточно подробное и простое изложение теории Марковица читатель может найти в книге Ю. Ф. Касимова "Основы теории оптимального портфеля ценных бумаг" (М.: Филинъ, 1998).

§4.4. Математическое приложение

Минимум дисперсии дохода при отсутствии корреляции, формула (4.17).

Дисперсия в этом случае определяется выражением (4.2), которое для п долей запишем как

(1)

В свою очередь,

где

Окончательно имеем:

(2)

Преобразуем (1) с использованием (2) и определим (n - 1) частных производных.

(3)

Разделим каждое уравнение системы (3) на Dn и приравняем его нулю. После некоторых преобразований получим:

(4)

Представим систему уравнений (4) в матричном виде:

AD = e.

После чего получим искомое уравнение (4.17):

A = D-1e.

В частном случае, когда п = 2 и, следовательно, матрица D содержит только один элемент + 1, получим выражение (4.14).

ГЛАВА 5 ИЗМЕРИТЕЛИ ЭФФЕКТИВНОСТИ КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЙ. ЧИСТЫЙ ПРИВЕДЕННЫЙ ДОХОД

Длительная иллюзия обладает

всеми атрибутами правды.

А. Франс

§ 5.1. Характеристики эффективности производственных инвестиций

Основные финансовые критерии. Финансовый анализ производственных инвестиций в основном заключается в измерении (оценивании) конечных финансовых результатов инвестиций — их доходности для инвестора. С такой задачей сталкиваются как на этапе первоначального анализа финансовой "привлекательности" проекта, так и при разработке бизнес-плана. Отрицательный вывод обычно дает основание отказаться от дальнейшего, более основательного и углубленного изучения проекта23. Без расчета такого рода измерителей нельзя осуществить и сравнение альтернативных инвестиционных проектов. Разумеется, при принятии решения о выборе объекта для инвестирования принимаются и другие критерии, помимо финансовых, например, экологические последствия осуществления проекта, различные социальные и гуманитарные соображения, возможность создания дополнительных рабочих мест, развитие производственной базы в данной местности и т. д. Нельзя исключить и такие ситуации, когда нефинансовые требования, например политические, могут оказаться решающими. В данной и следующей главах обсуждение ограничено только финансовыми критериями.

Заметим, что интерес к тонким методам измерения эффективности обычно не возникает при очевидной высокой доходности проектов, превышающей существующий уровень ссудного процента. Так, в послевоенные годы в США при 20% доходности инвестированного акционерного капитала и 3-4%-м уровне ссудного процента менеджеры нефтяных и газовых компаний не применяли сложные критерии. И только в конце 50-х годов, когда наступило заметное снижение доходности бурения новых скважин, возникла необходимость в разработке и применении более надежных и строгих критериев.

Первое, что, вероятно, бросается в глаза при рассмотрении методик измерения эффективности инвестиций, это их разнообразие. За рубежом каждая корпорация, руководствуясь сложившимся опытом управления финансовыми ресурсами, их наличием, целями, преследуемыми в тот или иной момент, а иногда и амбициями, применяет свою методику. Вместе с тем в последние два десятилетия сформировались и общие подходы к решению данной задачи.

Применяемые в финансовом анализе методики и критерии можно разбить на две большие группы по тому, учитывают они фактор времени или нет. Учет фактора времени опирается на дисконтирование, в связи с чем методы и измерители первой группы часто называют дисконтными. Ко второй относят методы без дисконтирования распределенных во времени денежных сумм (затрат и отдачи от них). Условно назовем последние бухгалтерскими. Обычно в финансовом анализе одновременно используется не менее двух характеристик — основная и дополнительная. Причем часто сочетаются показатели, получаемые дисконтными и бухгалтерскими методами. В данной главе внимание сконцентрировано на дисконтных методах. В современной зарубежной практике в средних и крупных фирмах они являются преобладающими. Мелкие фирмы обычно ограничиваются субъективными оценками и бухгалтерскими методами. Методы первой группы уже начали применять (весьма интенсивно) и в отечественной практике.

В основном используют четыре показателя, основанные на дисконтировании:

  • чистый приведенный доход (netpresent value);

  • внутренняя норма доходности (internal rate of return);

  • дисконтный срок окупаемости (discounted payback method);

  • индекс доходности (profitability index, benefit-cost ratio).

Кратко можно сказать, что перечисленные показатели отражают результат сопоставления обобщенных, суммарных отдач от инвестиций со стоимостью самих инвестиций. Причем эти сопоставления производятся под разным углом зрения. Определим их содержание.

Под чистым приведенным доходом N понимается разность дисконтированных показателей чистого дохода и инвестиционных затрат. Если показатели дохода и инвестиционных затрат представлены в виде единого потока платежей, то N равно современной стоимости этого потока, в котором инвестиции показаны с отрицательным знаком, а доходы — с положительным. Чистый приведенный доход представляет обобщенный конечный результат инвестиционной деятельности в абсолютном измерении.

Относительной мерой эффективности реализации инвестиционного проекта является внутренняя норма доходности J. Этот параметр характеризует такую расчетную процентную ставку, которая при ее начислении на суммы инвестиций обеспечит поступление предусматриваемого (ожидаемого) чистого дохода. Иначе говоря, эта ставка "уравновешивает" инвестиции и доходы, распределенные во времени.

Современная стоимость доходов, полученных за дисконтированный срок окупаемости nок, должна быть равна сумме инвестиций, т. е. окупить инвестиции с учетом разновременности получаемых доходов. Заметим, что данная характеристика совпадает, но только по названию (срок окупаемости), с показателем, применяемым в отечественной практике (бухгалтерский метод).

Последний из перечисленных выше измерителей эффективности капиталовложений — индекс доходности, или отношение "доход — затраты" равен отношению современной стоимости поступлений к стоимости инвестиций. Он близок по своему содержанию к показателю рентабельности. Обозначим этот измеритель эффективности как U.

Для того чтобы суть перечисленных показателей была более наглядной, обратимся к частному, но достаточно распространенному случаю. Пусть инвестиции совершаются мгновенно (такое условие может встретиться и на практике, например при приобретении законченного производственного объекта), а доходы поступают регулярно в виде постоянной ограниченной ренты постнумерандо. В этом случае чистый приведенный доход находится так:

N = Ran;i - K, (5.1)

где K — мгновенные инвестиционные затраты;

an;i — коэффициент приведения постоянной ренты (см. гл. 1);

R — член потока доходов;

n — продолжительность периода поступления дохода;

i — ставка, принятая для дисконтирования.

Если капиталовложения не мгновенны, а распределены во времени, то под K понимается сумма инвестиций с начисленными процентами к концу срока инвестиций.

Внутренняя норма доходности J находится на основе условия

N = Ran;J - K = 0. (5.2)

Дисконтированный срок окупаемости пок устанавливается из соотношения

. (5.3)

Наконец, индекс доходности U определяем следующим путем:

. (5.4)

Во всех этих формулах используются одни и те же исходные данные, но в разных комбинациях и с разными коэффициентами приведения.

Перечисленные параметры являются основными в анализе инвестиционных проектов. Разработаны также некоторые дополнительные характеристики, основанные не на приведении затрат и доходов к началу срока реализации проекта, а на наращении всех или части доходов на конец этого срока. Некоторые из этих методик предполагают разделение потока доходов на два интервала. Первый интервал охватывает поток доходов в пределах срока окупаемости пок , второй — поток доходов после этого срока, так называемые новые деньги (см. гл. 6).

Что касается бухгалтерских методов измерения эффективности, то они имеют определенную ценность для анализа и применяются в целях получения самых общих характеристик при предварительной оценке инвестиционного проекта или тогда, когда нет необходимости в серьезном его анализе. К таким показателям относятся:

  • срок окупаемости (payback, payout period);

  • отдача капитальных вложений (profit-to-investment ratio);

  • удельные капитальные затраты.

Первый из этих показателей широко известен в отечественной практике, и нет необходимости детально останавливаться на нем. Его можно рассматривать и как некоторый измеритель риска: чем он больше, тем выше риск при всех прочих равных условиях. Эта характеристика заметно отличается от дисконтного срока окупаемости nок . Вместе с тем между ними имеется функциональная взаимозависимость. Ниже она будет показана.

Под отдачей капиталовложений понимают отношение суммы доходов за весь ожидаемый период отдачи к размеру инвестиций. Такой измеритель не имеет смысла при высокой инфляции.

Удельные капитальные затраты характеризуют инвестиционные издержки в расчете на единицу выпуска однородной продукции, например, капиталовложения на 1 тонну дневной добычи нефти и т. п.

Естественно, что разные показатели, определенные для набора инвестиционных проектов, совсем не обязательно дадут одинаковые результаты в отношении предпочтительности того или иного проекта. Они имеют разный смысл и измеряют эффект с различных точек зрения. Неоднозначность результатов, получаемых при оценивании эффективности проектов, объясняет, почему многие фирмы для повышения надежности при отборе вариантов инвестирования ориентируются на два и более измерителя.

Как показал опрос крупнейших нефтяных компаний США24 (103 компании с годовым оборотом не менее 500 млн. долл., на долю которых приходилось 92% сбыта нефти и газа в стране в 1982 г.), 98% из них использовали в качестве основного или дополнительного по крайней мере один из перечисленных выше измерителей первой группы, а многие — несколько. В табл. 5.1 содержатся данные о частоте применения соответствующих показателей, полученные в результате опроса25. Хотя приведенные данные, несомненно, устарели, вряд ли ситуация заметно изменилась.

Как следует из табл. 5.1, наиболее часто в качестве основного измерителя используется внутренняя норма доходности, на втором месте — срок окупаемости, наконец, третье место принадлежит чистому приведенному доходу. Для окончательного решения привлекаются и дополнительные критерии, в том числе и неформальные, например, связанные с экологией и безопасностью персонала. Наиболее популярна следующая триада формальных показателей (45% опрошенных компаний): внутренняя норма доходности и срок окупаемости в качестве основных и чистый приведенный доход как дополнительный измеритель. 9% компаний вовсе не прибегали к бухгалтерским методам.

В обзоре отмечено, что результативность формального анализа тем выше, чем крупнее компания. Мелкие (из числа обследованных) компании (с годовыми инвестициями менее 10 млн. долл.) приняли на основе формальных критериев 25% проектов, крупные (с инвестициями, превышающими 500 млн. долл.) обосновывали на базе рассматриваемых критериев 92% из принятых проектов.

Таблица 5.1

Методы измерения

Измерители

Основной

Дополнительный

Дисконтные

Внутренняя норма доходности

69

14

Чистый приведенный доход

32

39

Другие методы

12

21

Бухгалтерские

Срок окупаемости

49

34

Рентабельность

18

30

Другие методы

14

23

В данной главе рассматривается только один из упомянутых выше показателей — чистый приведенный доход (остальные см. в гл. 6).

Потоки платежей в инвестиционном анализе. Основная задача при разработке модели, с помощью которой намереваются проанализировать долгосрочный инвестиционный проект, в том числе измерить его финансовую эффективность, заключается в формировании ожидаемого потока платежей26. Первым шагом в этом направлении является разработка структуры потока во времени — разбивка его на этапы, различающиеся своим содержанием и закономерностями формирования доходов и затрат. При этом должны быть приняты во внимание как ожидаемые внешние условия (например, динамика цен на продукцию), так и производственные параметры (объемы производства, уровень производственных затрат и т. д.).

Пусть для определенности речь идет о предприятии по добыче минерального сырья. Тогда процесс осуществления проекта можно разбить на следующие основные этапы: цикл изыскательских работ, проектирование, строительство, закупка оборудования, его монтаж и наладка. В свою очередь, процесс отдачи разбивается на периоды: освоение, нормальная эксплуатация, истощение месторождения. Каждый из них характеризуется своими уровнями доходов и расходов в виде фиксированных величин, статистических распределений или зависимостей от некоторых внешних условий или производственных параметров. Например, расходы на изыскание и проектирование часто можно рассматривать как постоянные в определенном отрезке времени, а на строительство — как переменные. Закупка оборудования связана с разовыми выплатами и т. д. Что касается доходов, то в каждом из выделенных производственных периодов они могут рассматриваться как непрерывные величины, причем в первом они растущие, во втором стабильные, в третьем сокращающиеся.

Часто отдельные отрезки потока платежей могут быть представлены в виде постоянных, или переменных дискретных, или, наконец, непрерывных рент. Сформированные таким путем показатели затрат и поступлений дают возможность определить члены потока платежей для каждого временного интервала.

В общем виде член потока платежей для каждого временного интервала определяется следующим образом при условии, что выплачивается налог на прибыль:

R = (G - C) - (G - C - D)T - K + S, (5.5)

где Rчлен потока платежей;

Gожидаемый общий доход от реализации проекта, сумма выручки за период;

С — текущие расходы;

D — расходы, на которые распространяются налоговые льготы;

Т — налоговая ставка;

Kинвестиционные расходы;

Sразличные компенсации, сокращающие текущие затраты.

Приведенное уравнение характеризует общий подход к определению члена потока. Оно может быть уточнено и развито с учетом конкретных условий и принятой в фирме методики расчетов. Выражение (5.5) разработано без учета источников финансирования. Если во внимание принимается привлечение заемных средств для осуществления капитальных вложений — их погашение и выплата процентов, то член потока платежей определяется следующим образом:

R = (G - C - I) - (G - C - D - I)T - K + B - P + S, (5.6)

где I — сумма выплаченных процентов за заемные средства;

В — полученные в текущем году заемные средства;

P — погашение основного долга.

В данном выражении предполагается, что выплата процентов за кредит освобождается от налогов.

В первые годы реализации проекта члены потока являются отрицательными величинами, так как затраты превышают поступления. Нельзя исключить ситуации, когда отрицательными оказываются потоки платежей и в отдельных интервалах срока эксплуатации, например, в связи с модернизацией технологического процесса. Схематично график потока платежей показан на рис. 5.1.

Инвестиционные затраты включают все виды расходов, необходимых для реализации проекта: проектно-изыскательские работы, закупка лицензий, заказ и оплата оборудования, строительство, монтаж и наладка оборудования и т. д. Что касается поступлений от инвестиций, то в расчет принимаются только чистые доходы. Причем под чистым доходом понимается не бухгалтерская прибыль, а доход, полученный в каждом временном отрезке за вычетом всех реальных расходов, которые

Рис. 5.1

связаны с его созданием. Важно подчеркнуть, что амортизационные списания здесь не учитываются в расходах, так как соответствующие затраты сделаны раньше — при инвестировании средств в реализацию проекта. Теоретически такой подход более последователен, так как фактор времени надо учитывать применительно ко всем затратам.

Необходимо обратить внимание на следующее обстоятельство. Большинство исходных для анализа данных являются оценочными, примерными. Более того, поскольку оценка текущих затрат и поступлений делается на перспективу, то неизбежно возникает необходимость в их прогнозировании или выработке четко сформулированных гипотез о динамике важнейших параметров инвестиционного процесса. Это существенно затрудняет проведение финансового анализа. Однако положение не безнадежное. Одним из практических методов для обеспечения выработки инвестиционного решения является анализ отзывчивости, или чувствительности (sensitivity analysis). Основная цель этого анализа состоит в предоставлении лицу, принимающему решение, не точечных показателей эффективности, а их интервалов, соответствующих некоторым предположениям о возможной динамике ключевых факторов производственной системы27 (подробнее об этом см. гл. 6).

Ставка приведения. Какой бы дисконтный метод оценки эффективности инвестиций ни был выбран, так или иначе он связан с приведением как инвестиционных расходов, так и доходов к одному моменту времени, т. е. с расчетом соответствующих современных стоимостей потоков платежей. Важным моментом здесь является выбор уровня ставки процентов для дисконтирования. Назовем эту величину ставкой приведения (при сравнении нескольких вариантов инвестиций логично называть эту величину ставкой сравнения). Какую ставку следует принять в конкретной ситуации — это дело экономического суждения. Чем она выше, тем в большей мере отражается фактор времени, так как отдаленные платежи оказывают все меньшее влияние на современную стоимость потока. Следовательно, получаемые обобщенные величины доходов от инвестиций являются в определенной степени условными характеристиками. В зависимости от конкретных сложившихся условий учет фактора времени может меняться, и то, что представлялось предпочтительным в одних условиях, может не оказаться таковым в других. Однако (и это важно подчеркнуть) полученное для одного уровня процентной ставки ранжирование нескольких проектов по их финансовой эффективности сохраняется в пределах большого диапазона уровня ставки, т. е. наблюдается известная инвариантность результатов (эта проблема рассматривается ниже).

Выбор уровня процентной ставки для дисконтирования, за редкими исключениями, не является однозначным и зависит от ряда факторов. Обычно ориентируются на существующий или ожидаемый усредненный уровень ссудного процента. Практически для этого используют конкретные ориентиры — доходность ряда ценных бумаг, банковских операций и др. с учетом условий деятельности инвестора. По данным упомянутого выше опроса нефтяных компаний, наиболее часто крупные компании применяли три варианта ставки: усредненную стоимость капитала (усредненную доходность акций, ставок по кредиту и т. д.), субъективные оценки, основанные на опыте корпорации, существующие ставки по долгосрочному кредиту для определенной категории заемщиков.

В западной литературе ставку, принятую для дисконтирования потоков платежей в инвестиционном проекте, рассматривают как минимально привлекательную ставку доходности (minimum attractive rate of return, MARR). В отечественной практике эту ставку, вероятно, следует рассматривать как норматив доходности, приемлемый для инвестора. Если финансовый анализ предполагает расчет внутренней нормы доходности, то этот норматив рассматривается как некоторое пороговое (минимально допустимое) значение данной нормы (подробнее об этом см. гл. 6).

При выборе ставки приведения нельзя не учитывать финансовое положение инвестора, его способность предвидеть и учесть будущие условия и т. п. Важным моментом является учет риска. Риск в инвестиционной деятельности независимо от ее конкретных форм в конечном счете проявляется в виде возможного сокращения отдачи от вложенного капитала по сравнению с ожидаемой, причем это сокращение происходит во времени. В качестве общей рекомендации по учету риска сокращения отдачи, инфляционного обесценения дохода, изменения конъюнктуры и других отрицательных факторов обычно предлагается вводить рисковую надбавку к уровню процентной ставки, применяемой при определении современной стоимости потоков платежей.

Одна и та же компания может применять различные ставки приведения для оценки инвестиционных проектов, имеющих разное назначение, сроки реализации и т. д. Например, вполне оправданным является применение более низких ставок при оценивании проекта расширения действующего производства, чем при создании нового предприятия.

§ 5.2. Чистый приведенный доход

В качестве основного измерителя эффективности большое распространение получил чистый приведенный доход. Этот показатель отражает общий абсолютный результат инвестиционной деятельности, ее конечный финансовый эффект. Он имеет ясную логическую основу и применим при решении широкого круга финансовых проблем, в том числе при расчете различных показателей эффективности, его легко рассчитать.

Методы расчетов (дискретный поток платежей). Пусть капиталовложения и доходы представлены в виде потока платежей, тогда искомая величина находится как современная стоимость этого потока, определенная на начало действия проекта. Таким образом,

, (5.7)

где Rtразмер члена потока платежей в году t;

v — дисконтный множитель по ставке i (ставке приведения, принятой норме доходности).

Напомним, что членами потока платежей являются как положительные (доходы), так и отрицательные (инвестиционные затраты) величины. Соответственно, положительной или отрицательной может быть и величина N. Последнее означает, что доходы не окупают затраты при принятой норме доходности и заданном распределении капитальных вложений и поступлений во времени.

Пусть теперь поток платежей представлен в виде двух последовательных потоков: инвестиций и чистых доходов. Тогда чистый приведенный доход определяется как разность

, (5.8)

где Kt инвестиционные расходы в году t, t = 1, 2, ..., п;

Rj чистый доход в году j, j = l, 2, ...,n2;

n1 — продолжительность инвестиционного периода;

n2 — продолжительность периода поступлений дохода.

Обычно в практической, финансовой (а особенно в учебной) литературе годовые данные о размерах членов потока приурочиваются к окончаниям соответствующих лет. Однако зачастую отдельные компоненты потока можно с достаточным основанием рассматривать как равномерно распределенные затраты (поступления) в пределах года. В таких условиях можно приписывать соответствующие величины к серединам годовых интервалов (см. гл. 1).

ПРИМЕР 1

Сравниваются по финансовой эффективности на начало осуществления проекта два варианта инвестиций. Потоки платежей характеризуются следующими данными, которые относятся к окончаниям соответствующих лет:

А:

-100

-150

50

150

200

200

Б:

-200

-50

50

100

100

200

200

Варианты заметно различаются между собой по характеру распределения платежей во времени. Если норматив доходности (ставка сравнения) принят на уровне 10%, то

NА = -214,9 + 377,1 = 162,2; NБ = -223,14 + 383,48 = 160,3.

Таким образом, если исходить из величины чистого приведенного дохода, то при принятой процентной ставке сравниваемые варианты в финансовом отношении оказываются почти равноценными. Несколько изменим условия задачи и, полагая, что доходы поступают равномерно в пределах года, сдвинем члены потоков платежей к серединам годовых интервалов. Тогда соотношение результатов для двух вариантов изменится, хотя общий вывод о примерной равноценности вариантов сохраняется.

Находим

NA = -225,4 + 395,5 = 170,1; NБ = -234,0 + 402,2 = 168,2 .

В случаях, когда поток доходов можно описать как постоянную или переменную ренту, расчет N заметно упрощается. Так, если доходы поступают в виде постоянной годовой ренты, причем ожидается, что они равномерно распределены в пределах года, то

, (5.9)

где Rгодовая сумма дохода.

Если капиталовложения мгновенны, а доходы регулярно поступают сразу после инвестирования, то

N = Ran;i - K. (5.10)

ПРИМЕР 2

Проект предполагается реализовать за 3 года. Планируются следующие размеры и сроки инвестиций: в начале первого года единовременные затраты — 500, во втором — только равномерные расходы, их общая сумма — 1000, в конце третьего года единовременные затраты — 300. Отдачу планируют получать 15 лет: в первые 3 года — по 200, далее в течение 10 лет ежегодно — по 600, в оставшиеся 3 года — по 300. Доходы поступают равномерно в пределах годовых интервалов.

Пусть ставка приведения равна 10%, тогда современная стоимость капиталовложений составит:

Ktvt = 500 + 1000 х 1,1-1,5 + 300 х 1,1-3 = 1592,2.

В свою очередь, современная стоимость поступлений равна 200а3;10 х 1,1-2,5 + 600а10;10 х 1,1-5,5 + 300а2;10 х 1,1-15,5 = 2693,4 .

Отсюда N = 1101,2, т. е. капиталовложения окупаются.

Несколько изменим условия примера. Допустим, капиталовложения в первом году составляют не 500, а 1700.

Тогда N-100. Таким образом, капиталовложения при заданной процентной ставке не окупаются, несмотря на то что их общая сумма (3 000) существенно меньше общей суммы поступлений (7 500).

Для того чтобы содержание показателя N было более наглядным, приведем следующую иллюстрацию. Имеется инвестиционный проект. Его условия: единовременные капиталовложения в сумме 12, доход поступает 6 лет в равных размерах — по 4 в конце каждого года. Для дисконтирования применена ставка 10%. По формуле (5.10) получим N = 5,42.

Теперь представим, что инвестиции полностью осуществлены за счет привлеченных средств. Весь период осуществления можно условно разбить на два интервала. В первом весь доход используется на покрытие задолженности до полного ее погашения. Во втором доход идет в пользу инвестора. Поток платежей, выплат процентов и суммы погашения задолженности, а также величины поступления чистого дохода инвестору пока-заны в табл. 5.2 (данные на конец каждого года).

Таблица 5.2

t

Поток платежей

Остаток задолженности

Проценты

Погашение долга

Доход инвестора

0

-12

12,000

1

4

9,200

1,200

2,800

2

4

6,120

0,920

3,080

3

4

2,732

0,612

3,388

4

4

0,273

2,732

0,995

5

4

4,0

6

4

4,0

В конце первого года часть доходов (в сумме 1,2) идет на уплату процентов, остальное используется для погашения основного долга. В конце третьего года задолженность после всех выплат по обслуживанию долга равна 2,732. Она погашается в конце следующего года. Оставшаяся в этом году неизрасходованной сумма (с учетом выплаты процентов) и поступления в следующих годах представляют собой чистый инвестиционный доход: 4 - (2,732 + 0,273) = 0,995. Современная величина доходов, поступающих в четвертом и следующих периодах, составит:

0,995 х 1,1-4 + 4 х 1,1-5 + 4 х 1,1-6 = 5,42.

Именно такая величина была получена для данных условий по формуле (5.10).

Во всех рассмотренных случаях предполагалось, что ставка приведения не изменяется во времени. Однако нельзя исключать ситуации, когда, например, в связи с ожиданием увеличения риска неполучения дохода можно применить возрастающую во времени процентную ставку. Общая методика расчета при этом не изменится.

Методы расчетов (непрерывный поток платежей). Обсудим теперь методики, применяемые в случаях, когда потоки платежей и процентные ставки являются непрерывными. Такие потоки в некоторых ситуациях более адекватны реальному положению дел. Сказанное относится к потокам как затрат, так и доходов. Остановимся на следующих видах потоков: постоянном, линейно изменяющемся во времени, с экспоненциальным ростом.

Учесть фактор непрерывности постоянного потока платежей можно двояким путем. Во-первых, путем переноса момента платежа на середину интервала, а во-вторых, с помощью коэффициентов приведения и наращения непрерывной переменной ренты (доказательства последних приведены в § 5.5). Оба подхода дают практически одинаковые результаты для постоянного и линейно изменяющегося потоков.

ПРИМЕР 3

Определим только доходную часть чистого приведенного дохода инвестиционного проекта, согласно которому ожидаются ежегодные поступления в размере 100 ед. в течение 10 лет. Поступления в пределах года постоянны. Дисконтирование осуществляется по процентной ставке i = 10%, соответственно сила роста = ln1,1 = 0,0953102.

Точное значение искомой величины современной стоимости находим, применив непрерывный коэффициент приведения:

= 644,692.

При переносе момента платежа в середину каждого года потока получим

= 644,448.

Однако если еще более упростить расчет и перенести общую сумму поступлений (1000 ед.) в середину всего срока поступлений, то получим всего

1000 х 1,1-5 = 620,921.

Ошибка, как видим, существенна.

При линейном изменении членов потока платежей ("треугольное" распределение платежей во времени) последние

Рис. 5.2

определяются следующим образом (смысл обозначений легко понять из рис. 5.2):

; (5.11)

Rn = R0+ nR,

где Rежегодный прирост членов потока.

В общем виде современная стоимость непрерывного потока платежей находится так:

, (5.12)

где — сила роста,

е — основание натурального логарифма.

Подставив в эту функцию величину Rt получим (доказательство см. в § 5.5):

, (5.13)

где — коэффициент приведения непрерывной ренты.

Первое слагаемое равно современной стоимости постоянного потока с доходом в единицу времени, равным R0. Второе слагаемое соответствует современной стоимости "треугольного" потока платежей.

ПРИМЕР 4

Найдем современную стоимость ожидаемого потока доходов. Последний состоит из трех периодов. В первом (3 года освоения) отдача ежегодно увеличивается на 100 ед., причем в первом году (уровень на начало года) доход равен 200 ед. Во втором периоде (10 лет) доход стабилен — ежегодно по 600 ед., в последнем (3 года) доход ежегодно уменьшается на 200 ед. Во всех периодах доход поступает непрерывно. Дисконтирование осуществляется по ставке 10% годовых (дискретных).

Для первого периода воспользуемся формулой (5.13). Таким образом, современная стоимость доходов в первом периоде составит:

A1 =.

Находим:

= ln 1,1 = 0,09531; e-ln 1,l x 3 = 0,75131; = 2,60922.

Окончательно имеем A1 = 894,6.

Современная стоимость доходов второго периода, рассчитанная на начало периода отдачи от проекта, составит:

А2 = = 2906,2.

Наконец, для третьего периода искомую величину рассчитаем опять-таки с помощью формулы (5.13). Результат, полученный на ее основе, дисконтируем за срок, равный 13 годам.

A3 = = 237,5.

Современная стоимость доходов в целом составит: А = = 4038,3.

В частном случае, когда заданным является суммарный размер доходов за весь период М, причем доход линейно увеличивается от нуля до Rn, современная стоимость составит (см. § 5.4):

. (5.14)

Рассмотрим еще один важный случай — рост доходов по экспоненте. По определению

,

где — непрерывный темп прироста.

Таким образом, современная стоимость доходов составит:

.

Используя формулу (4), приведенную в § 5.4, получим:

. (5.15)

ПРИМЕР 5

Ожидается, что поток платежей непрерывен, причем поступления будут увеличиваться с ежегодным дискретным темпом прироста 10%. При дисконтировании применена непрерывная ставка 20%. Необходимо найти коэффициент приведения для подобного рода ренты за 5 лет.

Исходные данные: = 0,2; = ln 1,1 = 0,09531; n = 5.

Откуда

= 3,8927.

§ 5.3. Свойства чистого приведенного дохода

Остановимся на особенностях чистого приведенного дохода, важных для его понимания и практического применения. Чистый приведенный доход — это абсолютный показатель и, следовательно, зависит от масштабов капитальных вложений. Данное обстоятельство необходимо учитывать при сравнении нескольких инвестиционных проектов.

Обратим внимание на существенную его зависимость от временных параметров проекта. Выделим два из них: срок начала отдачи от инвестиций и продолжительность периода отдачи. Сдвиг начала отдачи вперед уменьшает величину современной стоимости потока доходов пропорционально дисконтному множителю vt, где t — период отсрочки.

ПРИМЕР 6

Пусть по каким-либо причинам момент начала отдачи в примере 1 (вариант А) отодвигается, например, всего на один год. В этом случае

NA= -214,9 + 377,1 х 1,1-1 = 127,9.

Теперь этот вариант заметно проигрывает по величине чистого приведенного дохода по сравнению с вариантом Б.

Что касается продолжительности периода отдачи, то его чрезмерное увеличение создает иллюзию повышения эффективности. Однако размеры отдаленных во времени доходов вряд ли можно считать вполне надежными и обоснованными. Кроме того, затраты и поступления, ожидаемые в далеком будущем, мало влияют на величину чистого приведенного дохода и ими, как правило, можно пренебречь. Проиллюстрируем сказанное. Пусть речь идет о доходе, поступающем в виде постоянной ренты. Зависимость N от срока ренты п показана на рис. 5.3. В начальный момент N = -K. В точке п = а капиталовложения точно окупаются поступившими доходами. По мере увеличения срока поступлений дохода увеличивается величина N. Однако прирост ее замедляется, а само значение N стремится к некоторому пределу A.

Рис. 5.3

Выбор момента, относительно которого дисконтируются члены потока платежей (focal date), также влияет на величину N. Обычно для этого выбирается начало реализации проекта. Сдвиг вперед момента времени для оценивания N увеличивает абсолютные значения обеих составляющих чистого приведенного дохода.

Пусть в проекте предусматриваются мгновенные капиталовложения K и постоянная отдача в течение n лет в виде постоянной ренты постнумерандо, отдача ожидается спустя t лет после начала реализации проекта. При приведении потока платежей к начальному моменту получим:

N = Ran;lvt - K.

В свою очередь, оценивая проект на начало периода отдачи, имеем:

N = Ran;i - K(1+ i)t.

Последнее выражение можно получить, умножая предыдущее равенство на множитель наращения (1 + i)t. В общем виде имеем:

Nt = N0 (1+ i)t,

Рис. 5.4

где N0; Ntвеличины чистого приведенного дохода, рассчитанные на начало реализации инвестиционного процесса и некоторый момент со сдвигом, равным t.

При сравнении нескольких проектов должно соблюдаться естественное требование — этот момент должен быть общим для всех проектов. Заметим также, что предпочтительный вариант проекта остается таковым при любом выборе момента. Знак величины N не изменяется при сдвиге момента для оценивания.

Проследим теперь влияние процентной ставки на величину N. Из (5.7) следует, что с ростом ставки приведения размер чистого приведенного дохода сокращается. Зависимость N от ставки i для случая, когда вложения осуществляются в начале инвестиционного процесса, а отдачи примерно равномерные, видна на рис. 5.4.

Как показано на рис. 5.4, когда ставка приведения достигает величины J, финансовый эффект от инвестиций оказывается нулевым. Ставка J является важной характеристикой в инвестиционном анализе. Ее содержание и метод расчета обсуждаются в гл. 6. Здесь же отметим, что любая ставка, меньшая, чем J, приводит к положительной оценке N (точки а и b), и, наоборот, дисконтирование по ставке выше J дает отрицательную величину чистого приведенного дохода (точка с) при всех прочих равных условиях. Изменение ставки приведения оказывает заметное влияние на абсолютную величину N. Например, для

Рис. 5.5

условий, согласно которым инвестиции осуществляются равномерно в течение 3 лет ежегодно по 100, а доходы будут поступать 7 лет также по 100 денежных единиц, находим следующие значения N в зависимости от уровня процентной ставки:

i

5

10

15

20

N

220,8

105,0

28,8

-22,2

Нулевая величина чистого приведенного дохода в этом примере имеет место при условии i = J = 17,5%.

Для наблюдаемых в практике потоков платежей зависимость не будет столь гладкой и "правильной", как на рис. 5.3. Картина рассматриваемой зависимости становится иной, если члены потока меняют знаки больше одного раза. Например, в силу того что через определенное количество лет после начала отдачи предусматривается модернизация производства, требующая значительных затрат. В этом случае кривая зависимости N от i будет заметно отличаться от кривой на рис. 5.4. Так, на рис. 5.5 показана ситуация, когда величина N трижды меняет свой знак.

Влияние размеров затрат и доходов на N очевидно. Величина N находится в линейной зависимости от каждого из указанных показателей. Причем, чем отдаленнее срок поступления или затрат, тем меньше это влияние.

Теперь остановимся на сравнении (ранжировании) нескольких вариантов проекта по величине N. На первый взгляд, представляется, что такое сравнение весьма условно, так как N зависит от уровня ставки. Однако итог ранжирования проектов обладает высокой устойчивостью (инвариантностью) по отношению к ставке приведения. Для пояснения обратимся к случаю, когда сравниваются три проекта. Обозначим их как А, Б и В. Капиталовложения во всех случаях мгновенные, а потоки доходов представляют собой постоянные ренты постнумерандо с одинаковыми сроками, но разными размерами отдачи. Потоки платежей и расчетные значения N и J показаны в табл. 5.3. Наибольшие значения N и J у варианта Б. При расчете N применена ставка 12%.

Таблица 5.3

t

А

Б

В

0

-20

-25

-25

1

5

7

6

2

5

7

6

...

...

...

...

10

5

7

6

N

8,25

14,55

8,90

J(%)

21,4

25,0

20,2

Кривые зависимости N от i для вариантов А и Б показаны на рис. 5.6. Как видим, для любых значений i положительные значения N варианта Б больше, чем у А. В свою очередь, при сравнении вариантов А и В (см. рис. 5.7) обнаруживаем, что чистый приведенный доход по варианту В больше, чем у А при применении любой ставки, вплоть до 15,1%. Если ставка приведения превышает этот уровень, то места проектов по уровню чистого приведенного дохода меняются.

Приведенный пример иллюстрирует тот факт, что выбор процентной ставки часто совсем не сказывается на ранжировании проектов или не оказывает на него влияние в большом диапазоне значений ставки. Точка пересечения кривых А и В

Рис. 5.6 Рис. 5.7

является критической, или барьерной (см. гл. 3). Барьерная точка определяется из равенства чистых приведенных доходов ("конкурирующие" функции) двух сравниваемых проектов: NA = Nb . Из данного равенства следует

,

где v — дисконтный множитель по неизвестной барьерной ставке j;

RAt и RBtчистые доходы от проектов по варианту А и В.

Барьерная ставка определяется так же, как и внутренняя норма доходности (см. § 6.1).

§5.4. Математическое приложение

а. Некоторые стандартные функции

ln еx = х;

x)' = еx ; (аx)' = ax ln а;

= еn - 1;

б. Производная и интеграл функции у = еat.

Для расчета современной стоимости и наращенной суммы непрерывного потока платежей необходимо определить производную и интеграл функции у = еat, где а — постоянная величина, t — продолжительность потока платежей.

. (1)

Соответственно при наращении и дисконтировании по непрерывной ставкеимеем:

.

В свою очередь, первообразная для функции еat имеет вид eat/a, так как в силу (1) (еat/а)' = еat. Отсюда

. (2)

При использовании непрерывной ставки получим следующие коэффициенты приведения и наращения постоянного потока платежей:

.

в. Определение интеграла. Интегрируем функцию F по частям.

.

Воспользуемся формулой (2), после чего

Если речь идет о непрерывном дисконтировании по ставке, то а = - и, следовательно,

. (3)

г. Определение современной стоимости "треугольного" потока платежей

На основе рис. 5.2 получим

(4)

Общий принцип определения современной стоимости потока платежей:

Применим соотношение (4), после чего

После небольших преобразований получим

Воспользовавшись (2) и (3), окончательно имеем:

(5)

д. Доказательство формулы (5.14) Исходные условия:

R0 = 0; М = ; Rn =

Теперь на основе (5) получим

ГЛАВА 6 ИЗМЕРИТЕЛИ ЭФФЕКТИВНОСТИ КАПИТАЛОВЛОЖЕНИЙ: ВНУТРЕННЯЯ НОРМА ДОХОДНОСТИ И ДРУГИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Великая научная идея редко внедряется путем

постепенного убеждения своих противников...

В действительности депо происходит так,

что оппоненты постепенно вымирают,

а растущее поколение с самого начала

осваивается с новой идеей...

М. Планк

§ 6.1. Внутренняя норма доходности

Не менее важным показателем для финансового анализа производственных инвестиций наряду с чистым приведенным доходом является внутренняя норма доходности. Под этим критерием понимают такую расчетную ставку приведения, при которой капитализация получаемого дохода дает сумму, равную инвестициям, и, следовательно, капиталовложения окупаются, но не приносят прибыль. Иначе говоря, при начислении на сумму инвестиций процентов по ставке, равной внутренней норме доходности J, обеспечивается получение распределенного во времени дохода, эквивалентного инвестициям. В терминах метода барьерных точек J является управляющей переменной, а "конкурирующими" функциями будут современные стоимости капитальных вложений и отдачи от них.

Чем выше эта норма, тем больше эффективность инвестиций. Данный параметр может быть как положительной, так и отрицательной величиной. Последнее означает, что инвестиции не окупаются. Величина этой ставки полностью определяется "внутренними" условиями, характеризующими инвестиционный проект. Никакие предположения об использовании чистого дохода за пределами проекта не рассматриваются.

Пусть i — приемлемый для инвестора уровень ставки процента (выше она была названа минимально привлекательной ставкой доходности или нормативом доходности). Очевидно, что разность ставок (J - i) характеризует эффективность инвестиционной (предпринимательской) деятельности. С чисто финансовых позиций инвестиции имеют смысл только тогда, когда J > i. При J < i нет оснований для осуществления инвестиций, так как доходность ниже принятого норматива; если же под i понимается стоимость заемных средств, то инвестиции просто убыточны.

Расчет внутренней нормы доходности часто применяют в качестве первого шага анализа инвестиций (см. § 5.1). Для дальнейшего анализа в западной практике отбираются только те проекты, которые обеспечивают некоторый приемлемый для данной компании уровень доходности. Последний зависит от многих объективных и субъективных обстоятельств и охватывает весьма большой диапазон возможных значений даже для однородных видов предприятий. Так, при обследовании нефтяных компаний США (см. гл. 5) было получено следующее распределение величины этого показателя28 (табл. 6.1).

Таблица 6.1

Приемлемый уровень доходности (%)

Доля в общем числе обследованных фирм (%)

Менее 5

4

От 5 до 10

8

Свыше 10 до 25

6

Свыше 25 до 50

19

Свыше 50 до 80

26

Свыше 80

23

Не ответили

14

Методы расчетов. В общем случае, когда инвестиции и доходы задаются в виде потока платежей, искомая ставка29 определяется на основе решения уравнения (6.1) относительно v

(6.1)

где v — в данном случае представляет собой дисконтный множитель по искомой ставке J;

tвремя от начала реализации проекта;

Rtчлен потока платежей (вложения и чистые доходы).

Инвестиции имеют в этом равенстве отрицательный знак, доходы — положительный. Если все члены потока имеют один знак, то, естественно, искомую ставку получить нельзя. Положительное значение J имеем, когда сумма дисконтированных доходов больше размера инвестиций, отрицательное — в противоположном случае.

Чистый приведенный доход, при условии что дисконтирование членов потока производится по ставке J, по определению равен нулю (см. рис 5.4). На рисунке кривая пересекает ось i только один раз — в точке J. Это типовой случай. Однако при специфическом распределении членов потока во времени последовательные члены потока платежей могут изменять свой знак несколько раз (например, если ожидаются в будущем крупные затраты на модернизацию процесса производства). В этих случаях кривая пересекает эту ось несколько раз (см. рис. 5.5). Соответственно можно получить несколько значений искомой ставки (несколько корней многочлена), удовлетворяющих (6.1).

Рис. 6.1

В редких, но теоретически возможных случаях чистый приведенный доход оказывается положительной величиной при любом значении ставки i (см. рис. 6.1). Величина J здесь просто отсутствует. Если имеется множественность значений J или оно отсутствует, то при сравнении нескольких инвестиционных проектов следует воспользоваться другими измерителями эффективности.

Расчет искомой ставки осуществляется различными методами, дающими разные по точности ответы. Различаются они и по трудоемкости. В западной учебной литературе часто ограничиваются методом последовательного подбора значения ставки до выполнения условия N = 0. Действительно, при наличии опыта и сравнительно коротком потоке платежей такой подход довольно быстро дает удовлетворительные результаты.

ПРИМЕР 1

Рассчитаем J для данных примера 1 (вариант А) (см. § 5.2). Напишем уравнение, в котором для сокращения записи примем 1 + J = r . Исходная функция, определяющая чистый приведенный доход,

N(r) = -100r -1 - 150r -2 + 50r -3 + 150r -4 + 200r -5 + 200r -6 = 0 .

Решение заключается в определении корня шестой степени. Применим метод последовательного подбора. Возьмем в качестве исходной ставку, равную, допустим, 15%. Найдем величину чистого приведенного дохода по этой ставке: N(1,15) = 104,2, т.е. заметно отличается от нуля. Принятое значение ставки мало.

Изменяя величину ставки в нужном направлении, приближаемся к условию N(r) = 0. Повысим r до уровня, допустим, 1,25. Имеем N(1,25) = 29,0. Ноль в значении функции опять не достигнут.

Далее находим N(1,3) = 4,9 . Можно окончить расчет и удовлетвориться достигнутой точностью или продолжить его и еще раз увеличить ставку, например до 31%. В этом случае N(1,31) = 0,8 . Увеличивать точность расчета далее, вероятно, не имеет смысла.

Можно применить и линейную интерполяцию, если из прошлого опыта известен примерный диапазон значений для J. На рис. 6.2 приведен график, на основе которого легко получить интерполяционную формулу следующего вида:

(6.2)

где i1, i2 — границы диапазона для ставки J;

N1, N2величины чистого приведенного дохода при дисконтировании по ставкам i1, i2.

На рис. 6.2 точное значение внутренней нормы доходности равно J. Расчетная ее оценка составляет J'. Очевидно, что чем уже интервал ставок i1 - i2, тем меньше погрешность этой оценки.

Рис. 6.2

ПРИМЕР 2

Ожидается, что внутренняя норма доходности для потока платежей примера 1 находится в интервале 25 — 35%.

Находим N1 = 29,0; N2 = 13,25 (знак минус не принимаем во внимание). В итоге

J' = = 28,14%. Проверка: N = 13,9.

Оценка размера внутренней нормы доходности оказалась заниженной. Уточним ее. Для этого несколько сузим интервал значений ставки. Воспользуемся уже полученными значениями N: для ставки 28,14% N = 13,9, а для ставки 35% N =13,25.

По интерполяционной формуле получим J' = 31,59% . Проверка: N = -1,59, т. е. расчетное значение близко к нулю. Точность оценки заметно повысилась.

Более "серьезные" методы определения J основываются на различных итерационных процедурах, к которым, в частности, относятся метод Ньютона—Рафсона и метод секущей30 или какие-либо численные процедуры, например метод поразрядного приближения.

В случае, когда инвестиции "мгновенны", а поток доходов может быть представлен в виде постоянной ренты, задача упрощается и сводится к определению ставки J на основе знакомого нам равенства:

K = Ran;J . (6.3)

Из этой формулы следует

(6.4)

Таким образом, задача заключается в расчете искомой ставки по заданному коэффициенту приведения постоянной ренты (см. гл. 1).

ПРИМЕР 3

Инвестиции к началу срока отдачи от них составили 4 млрд. руб. Доход ожидается на уровне 0,7 млрд. руб. в год, поступления в течение 10 лет.

Если полагать, что поступления происходят равномерно в пределах года (соответственно их можно приурочить к серединам соответствующих лет), то коэффициент приведения ренты, необходимый для определения искомой нормы, можно записать следующим образом:

а10;J(1 + J)0,5 = = 5,7143,

что соответствует J = 13,1%.

В свою очередь, если поток доходов непрерывен и постоянен, то непрерывная внутренняя норма доходности D находится на основе коэффициента приведения непрерывной ренты:

(6.5)

Влияние факторов. На величину внутренней нормы доходности влияют те же факторы, что и на чистый приведенный доход, а именно размеры инвестиционных расходов и доходов и специфика их распределений во времени. Однако влияние здесь обратное: все, что увеличивает N, сокращает значение J. В частном случае, когда инвестиции мгновенны, а доходы можно представить в виде постоянной ренты, зависимость нормы доходности от факторов обретает конкретный вид (рис 6.3). В том случае, когда K/R = п , внутренняя норма доходности равна нулю (точка а на рис. 6.3). Соотношение инвестиций и годового дохода оказывается эффективным только тогда, когда оно меньше величины b.

Рис. 6.3

Зависимость внутренней нормы доходности от продолжительности поступлений дохода очевидна: чем она больше, тем выше эта норма при всех прочих равных условиях. Однако ее прирост затухает по мере увеличения п.

При использовании внутренней нормы доходности в качестве ориентира для выбора и принятии инвестиционного решения следует иметь в виду, что

  • данный параметр эффективности не учитывает масштабов проекта;

  • существует возможность (правда, редкая) в некоторых ситуациях получить неоднозначные оценки эффективности, а иногда они вовсе отсутствуют;

  • при отсутствии опыта расчета или соответствующих программ получение значения критерия может быть связано с некоторыми затруднениями.

Здесь уместно привести два дополнительных замечания, затрагивающих как внутреннюю норму доходности, так и чистый приведенный доход. Так, если инвестиционный проект охватывает ряд самостоятельных объектов, каждый из которых характеризуется определенными капитальными затратами и отдачами от них, то для этих составных частей можно определить частные показатели чистого приведенного дохода. Чистый приведенный доход проекта в целом равен сумме частных показателей. Этого нельзя сказать о внутренней норме доходности.

Потребность в применении того или другого показателя эффективности связана с различием в их содержании. Если речь идет о максимизации массы дохода, то резонно выбор проекта основывать на чистом приведенном доходе (такой выбор, разумеется, не обеспечивает наиболее эффективного использования затраченных средств). При стремлении максимизировать относительную отдачу ориентируются на внутреннюю норму доходности.

§ 6.2. Срок окупаемости

Срок окупаемости, как уже отмечено выше, определяется в двух вариантах: на основе дисконтированных членов потока платежей и без дисконтирования. Обозначим первый как nOK, второй как т. Величина nOK характеризует число лет, которое необходимо для того, чтобы сумма дисконтированных на момент окончания инвестиций чистых доходов была равна размеру инвестиций (барьерная точка для срока). Второй показатель в общем смысле аналогичен первому, но время получения доходов не учитывается и доходы не дисконтируются. Иначе говоря, разновременные доходы, одинаковые по своей величине, рассматриваются как эквивалентные.

В предельно простом случае срок окупаемости т определяется как отношение суммы инвестиций к средней ожидаемой величине поступаемых доходов:

Такой расчет имеет смысл при относительно незначительных колебаниях годовых доходов относительно средней. Если же поступления дохода заметно изменяются во времени, то срок окупаемости определяется последовательным суммированием поступлений дохода до тех пор, пока сумма чистого дохода не окажется равной величине инвестиций:

(6.6)

где t — срок получения дохода.

С финансовых позиций более обоснованным является дисконтный срок окупаемости nOK. Последний представляет собой расчетное необходимое время для полной компенсации инвестиций поступающими доходами с дисконтированием обоих потоков по некоторой процентной ставке (ставке приведения).

Пусть размеры капитальных вложений к концу срока инвестирования составляют величину K. Доходы поступают в виде нерегулярного потока платежей Rt . Необходимо найти такой срок, при котором будет выполнено равенство:

. (6.7)

Если капиталовложения производятся несколько лет, то отсчет сроков окупаемости можно осуществить как от начала разработки проекта (первая инвестиция), так и после завершения всего запланированного объема инвестиций.

ПРИМЕР 4

Найдем сроки окупаемости (величины т и nOK) для потока платежей (вариант А) примера 1 (см. § 5.2). Напомним, что он состоит из следующих членов: -100; -150; 50; 150; 200; 200. Общая сумма капитальных вложений равна 250. Суммируем годовые доходы и приравняем их к размеру инвестиций:

50 + 150 + 200x = 250, где х — доля годового дохода. Отсюда х = 50/200 = 1/4 и т = 2 + 0,25 = 2,25 года. Для варианта Б того же примера получим т — 3,5 года.

Для определения дисконтного срока окупаемости установим размер ставки приведения i = 10%. Сумма капиталовложений с наращенными процентами к концу второго года равна 260.

Современная стоимость поступлений за первые два года, рассчитанная на момент начала отдачи, составит для А 169,4, т. е. меньше 260, а за три года поступлений — 319,7, т. е. больше этой суммы. Отсюда срок окупаемости примерно равен

nOK 2 + (260 - 169,4) : 150,3 = 2,6 года после завершения инвестиций, где 150,3 = 200 х 1,1-3.

Аналогичным образом для варианта Б получим

nOK 3 + (270 - 203,2) : 68,3 = 4 года.

Остановимся на ситуации, когда капиталовложения заданы одной суммой, а поток доходов постоянен и дискретен (постоянная ограниченная рента). Тогда из условия полной окупаемости за срок nOK при заданной процентной ставке i и ежегодных поступлений постнумерандо следует:

.

Отсюда

. (6.8)

Аналогичным образом находим дисконтные сроки окупаемости для других видов регулярных поступлений дохода. В каждом таком случае капиталовложения приравниваются к современной стоимости соответствующих финансовых рент. Так, для p-срочной ренты постнумерандо получим:

. (6.9)

ПРИМЕР 5

Определим дисконтный срок окупаемости для данных примера 3 при условии, что поступления дохода происходят:

а) равномерно в пределах года;

б) раз в конце года;

в) в конце каждого месяца.

Дисконтирование осуществим по ставке 10% годовых.

а. Припишем суммы годовых доходов к серединам годовых интервалов. После чего применим (6.8) с небольшим уточнением, вызванным тем, что выплаты производятся не в конце каждого года, а в середине:

nOK = = 8,26 года.

б. По (6.8) находим nOK = 8,89 года.

в. При условии, что р = 12, по (6.9) получим

пOK = = 8,30 года.

Для сравнения заметим, что без учета времени поступления доходов срок окупаемости составит всего m = 5,71 года (см. пример 3).

В свою очередь, для непрерывного постоянного потока доходов можно записать:

,

где — ставка непрерывных процентов (см. § 1.3).

Из приведенного равенства следует:

. (6.10)

Остановимся еще на одном важном случае — непрерывном поступлении доходов при постоянном темпе их прироста . Приравняем современную стоимость такой ренты к величине капитальных вложений. На основе такого равенства (см. (5.15), где K = А) получим:

. (6.11)

При положительной величине темпа прироста срок окупаемости сокращается.

ПРИМЕР 6

Пусть поток поступлений непрерывен, доходы ежегодно увеличиваются на 10%, начальный доход равен 25. Капитальные вложения равны 100.

Исходные данные: K = 100; R0 = 25; = ln 1,1; = 0,15.

nOK = = 4,5 года.

Пусть теперь поступления дохода не изменяются во времени. Тогда по формуле (6.10) находим

nOK = = 6,1 года.

Далеко не всякий уровень дохода при всех прочих равных условиях приводит к окупаемости инвестиций, если применять дисконтный метод. Срок окупаемости существует, если не нарушаются определенные соотношения между доходами и размером инвестиций. Так:

  • если постоянные доходы поступают ежегодно, то R > iK;

  • при поступлении доходов в виде p-срочной ренты R > p[(1 + i)1/p - 1]K;

  • при непрерывном поступлении доходов R > ln(1 + i)K или R > K;

  • если доход поступает непрерывно и изменяется с некоторым постоянным темпом роста то .

Приведенные неравенства, вероятно, окажутся полезными для быстрой оценки сложившейся ситуации. Если указанные требования не выполняются, то инвестиции не окупятся за любой срок. Он в этом случае будет равен бесконечности. В то же время срок окупаемости, подсчитанный без учета фактора времени, при нарушении указанных условий обязательно будет иметь некоторое конечное значение, что искажает действительное положение дел.

Рис. 6.4

ПРИМЕР 7

Пусть K = 4, ожидаемая годовая отдача — 0,2, если i = 10%, то имеем R = 0,2 < 0,4. Таким образом, при заданном уровне поступлений условие окупаемости не выполняется.

Однако упрощенный способ определения срока окупаемости говорит об обратном: т = 4/0,2 = 20 лет.

Влияние факторов и взаимосвязь сроков окупаемости. На дисконтный срок окупаемости влияют два фактора: распределение поступлений во времени ("профиль" доходов) и ставка приведения. Влияние первого фактора очевидно — концентрация отдач к концу срока проекта, да и вообще любая отсрочка поступлений доходов увеличивает срок окупаемости. Что касается второго фактора, то его влияние столь же понятно — с увеличением ставки приведения срок окупаемости растет. Для постоянных доходов и мгновенных капитальных вложений зависимость срока окупаемости от процентной ставки показана на рис. 6.4. При i = R/K капиталовложения не окупаются, дисконтный срок окупаемости оказывается равным бесконечности.

Коль скоро оба рассмотренных срока окупаемости характеризуют одно и то же свойство инвестиционного процесса, то между ними должна существовать некоторая зависимость, которая в значительной мере определяется видом распределения

Рис. 6.5

доходов во времени. Аналитически можно проследить эту зависимость для случая с поступлениями дохода в виде постоянной дискретной ренты. Определим оба показателя срока окупаемости через размер инвестиций и постоянные ежегодные поступления:

; .

Откуда следует, что

. (6.12)

Приведенная зависимость полностью определяется уровнем процентной ставки. Причем при mi > 1 инвестиции не окупаются.

Графическая иллюстрация зависимости двух видов сроков окупаемости от отношения K/R представлена на рис. 6.5.

Как показано на рис. 6.5, величина nOK всегда больше т при условии, что i > 0. Различие между показателями срока окупаемости увеличивается по мере роста отношения K/R.

Основной недостаток срока окупаемости, на который, впрочем, неоднократно обращалось внимание, заключается в том, что он (в любом его виде) не учитывает весь период функционирования инвестиций и, следовательно, на него не влияет вся та отдача, которая находится за его пределами. Особенно наглядно это проявляется в ситуациях, когда отдачи неравномерны во времени.

Вероятно, такой измеритель, как дисконтный срок окупаемости, не должен служить основным критерием отбора инвестиционных проектов. Если срок окупаемости больше, чем принятое ограничение длительности осуществления проекта, то проект исключается из списка возможных альтернативных инвестиционных решений.

§ 6.3. Индекс доходности

Рентабельность инвестиций может быть измерена двумя путями — бухгалтерским и с учетом фактора времени (с дисконтированием членов потока платежей). В обоих случаях доход сопоставляется с размером инвестиций. Так, на основе бухгалтерского метода получим два варианта индекса доходности:

(6.13)

или

(6.14)

В последней записи этот индекс полностью совпадает с принятым у нас показателем рентабельности.

Интересно проследить влияние взаимозависимости бухгалтерского срока окупаемости и показателя рентабельности. Для этого обратимся к случаю, когда доходы постоянны во времени. Упомянутые показатели определяются на основе следующих равенств:

и ,

откуда следует:

(6.15)

Рентабельность и срок окупаемости находятся в обратной зависимости.

При дисконтировании членов потока платежей индекс доходности определяется следующим образом:

если капиталовложения приведены к одной сумме K, то

;

если же капитальные затраты распределены во времени, то

(6.16)

ПРИМЕР 8

По данным примера 1 (см. § 5.2), приведенные к началу срока инвестиционного проекта капиталовложения для варианта А составили 214,9, а доход — 377,1. Для варианта Б — соответственно 223,1 и 383,5. Показатели рентабельности

UA = = 1,754; UБ = = 1,719.

Если поток доходов представляет собой постоянную ренту постнумерандо, а капиталовложения мгновенны, то

(6.17)

ПРИМЕР 9

Поток доходов и остальные условия инвестирования показаны в примере 3. Определим индекс доходности в случае, когда дисконтирование производится по ставке 10%.

U = a10;10 = 1,183.

Аналогичным путем можно определить рентабельность и для иных видов распределения доходов во времени.

§ 6.4. Соотношения относительных измерителей эффективности

Относительные финансовые показатели эффективности инвестиций имеют сходную задачу и базируются в конечном счете на одной методике — сопоставлении доходов и затрат. Однако каждый из них решает задачу под своим углом зрения. Можно ожидать, что подобные измерители взаимосвязаны, причем в общем динамика одного показателя непропорциональна изменению другого. Знакомство с такими зависимостями полезно для лучшего понимания существа рассмотренных показателей и их применения в практических ситуациях.

Зависимости между попарно взятыми показателями эффективности легко выявить аналитическим путем для случаев, когда поток доходов может быть представлен в виде дискретной финансовой ренты, а капиталовложения мгновенны. Для того чтобы обнаружить интересующие нас связи в общем виде, этого достаточно.

Ниже приведены две группы соотношений: между дисконтированными показателями эффективности, между дисконтированными и бухгалтерскими измерителями. Доказательство каждого из этих соотношений базируется на принципе финансовой эквивалентности (см. § 6.9).

Начнем с двух важнейших показателей первой группы — чистого приведенного дохода и внутренней нормы доходности.

Рис. 6.6

На основе формул (5.1) и (5.2) находим следующую зависимость:

N = R(an;i - аn;J). (6.18)

Здесь i — ставка, которая применяется при определении чистого приведенного дохода N. Величина N оказывается положительной, если i < J. Графическая иллюстрация данной зависимости представлена на рис. 6.6.

Зависимость внутренней нормы доходности и дисконтированного срока окупаемости определяется следующим образом (см. § 6.9):

. (6.19)

С повышением срока окупаемости внутренняя норма доходности сокращается. График этой зависимости представлен на рис. 6.7.

Зависимость внутренней нормы доходности и индекса доходности получим на основе формул (5.2) и (5.4):

. (6.20)

Рис. 6.7

Графическая иллюстрация данного соотношения показана на рис. 6.8. Как следует из формулы (6.20), при J = 0 имеем U = 0, при J = i имеем U = 1; наконец, если J > i, то U > 1.

Рис. 6.8

Последняя зависимость этой группы — индекс доходности и срок окупаемости. На основе (5.3) и (5.4) имеем

. (6.21)

График зависимости представлен на рис. 6.9.

Рис. 6.9

Остановимся теперь на некоторых соотношениях показателей второй группы. Найдем соотношения рентабельности с индексом доходности, дисконтированным сроком окупаемости и внутренней нормой доходности.

; ; .

Две первые зависимости иллюстрируются на рис. 6.10. Рентабельность прямо пропорциональна индексу доходности. Коэффициент пропорциональности больше единицы и зависит от размера ставки i. Напомним, что при i = 0 an;i = n.

Рассмотрим соотношения срока окупаемости и дисконтированных показателей эффективности (зависимость т и пOK была показана выше, см. (6.12)). Получим:

; т = an;J .

Срок окупаемости обратно пропорционален индексу доходности и равен коэффициенту приведения ренты, рассчитанному по внутренней норме доходности. Графики соответствующих зависимостей см. на рис. 6.11.

Рис. 6.10

Приведенные соотношения получены для частного случая, когда капиталовложения мгновенны, а отдача от них представляет собой ограниченную постоянную ренту постнумерандо. В действительности поток доходов далеко не всегда следует указанной закономерности, отклоняясь от нее в ту или иную сторону. В силу этого найденные строгие зависимости "размываются".

Рис. 6.11

§ 6.5. Сравнение результатов оценки эффективности

Применяемые при сравнении нескольких инвестиционных проектов показатели часто дают разные результаты по их предпочтительности. Нельзя забывать и то, что дисконтные показатели эффективности (кроме J) зависят от принятой в расчетах процентной ставки. Неоднозначность получаемых при оценивании проектов результатов объясняет, почему многие инвесторы для повышения надежности выбора применяют несколько критериев (об этом см. гл. 5). Для того чтобы сказанное было более наглядным, приведем следующую иллюстрацию. Сравним по шести критериям шесть инвестиционных проектов (табл. 6.2). Два первых одинаковы по общей сумме капиталовложений и отдач, но их распределения во времени имеют существенные различия. Проект В отличается от Б только тремя дополнительными годами поступления дохода. Аналогичное распределение поступлений и у варианта Д. Однако начало поступлений дохода здесь запаздывает на один год. Наконец, вариант Г отличается от Б тем, что на восьмом году реализации проекта предусматривается модернизация производства (в связи с этим расходы превышают доходы) с последующим увеличением срока поступлений дохода.

Перейдем к результатам оценивания эффективности данных вариантов. Соответствующие показатели приведены в нижних строках табл. 6.2. Сравним варианты А и Б. По всем критериям, за исключением u, первый вариант предпочтительнее второго. Объясняется это только различием распределений во времени как капиталовложений, так и доходов. При сравнении вариантов Б и В находим, что продление срока поступлений улучшает все показатели, кроме сроков окупаемости, так как на них дополнительные годы отдачи не отражаются. В свою очередь, вариант Д отличается от В заметным ухудшением всех показателей (кроме u), что объясняется запаздыванием поступлений доходов всего лишь на один год. У этого варианта самая низкая внутренняя норма доходности. Вариант Г, отличающийся от В наибольшим сроком поступлений и их объемом, имеет лучший показатель чистого приведенного дохода, но не внутренней нормы доходности.

Таблица 6.2

t

А

Б

В

Г

Д

1

-100

-200

-200

-200

-200

2

-150

-50

-50

-50

-50

3

50

50

50

50

0

4

150

100

100

100

50

5

200

100

100

100

100

6

200

200

200

200

100

7

50

200

200

200

200

8

100

-150

200

9

100

150

100

10

100

150

100

11

150

100

12

150

13

100

14

100

15

100

K

-250

-250

-250

-400

-250

R

650

650

950

1150

950

m

2,25

3,0

3,0

4,0

4,0

u

2,6

2,6

3,8

2,9

3,8

N

187,9

160,3

288,0

391,4

241,5

J

32,9

25,3

30,5

30,5

24,5

nOK

2,6

4,0

4,0

5,1

4,0

U

1,87

1,72

2,29

2,09

1,91

§ 6.6. Дополнительные измерители эффективности

В западной практике применяется ряд дополнительных показателей эффективности производственных инвестиций, которые базируются на наращении процентов. К ним, в частности, относится показатель, который в литературе называют средним приростом доходов (growth rate of return)31.

Предполагается, что все доходы от проекта реинвестируются по ожидаемой ставке j. Суммарный доход на некоторый момент времени Т составляет вместе с начисленными на поступления процентами сумму B. Поскольку инвестиции осуществлены в размере K, то логично записать следующее соотношение между инвестициями и предполагаемым суммарным доходом:

K(1 + GR)T = В, (6.22)

где GRсредний темп прироста капитала. Откуда

(6.23)

Если рассматривается непрерывный поток доходов, то имеем KеqТ = B и, следовательно,

(6.24)

где qнепрерывный темп прироста капитала.

Как следует из формул (6.23) и (6.24), искомые величины являются расчетными уровнями процентных ставок для роста капитала от K до B.

Известный интерес представляет взаимосвязь этих ставок и чистого приведенного дохода. По определению

N = B(1 + j)-T -К.

Таким образом,

(6.25)

Подставив (6.25) в (6.22), получим

Из последней записи следует

(6.26)

и

ПРИМЕР 10

Обратимся к первым двум потокам платежей табл. 6.2.

А:

-100

-150

50

150

200

200

50

Б:

-200

-50

50

100

100

200

200

Положим, что все платежи производятся в конце года. Тогда при условии, что j = 10%, получим KА = 260 и KБ = 270. По формуле (6.26) получим

GRА = 1,15 х - 1 = 0,321;

GRБ = 1,15 х - 1 = 0,262.

В свою очередь, для непрерывного потока доходов найдем

,

где — непрерывная ставка реинвестирования дохода.

и, наконец,

(6.27)

Из (6.26) следует, что показатель GR можно рассматривать как меру, адекватную чистому приведенному доходу в том смысле, что при положительной величине N темп прироста капитала больше ставки реинвестирования j. В формулах (6.26) и (6.27) рассматриваемый темп функционально связан с отношением N/K. Отсюда следует, что ранжирование инвестиционных проектов по величине GR приведет к аналогичным результатам, что и ранжирование по N.

Иногда весь период отдачи делят на два подпериода с разными условиями начисления процентов. В первом — до конца срока окупаемости — начисления производятся по принятому нормативу доходности, во втором — к "новым деньгам" применяется ставка реинвестирования32. В ряде случаев обходятся без срока окупаемости, разделяя весь предполагаемый срок на две равные половины. Как видим, подходы к решению проблемы измерения эффективности здесь весьма произвольные.

§ 6.7. Моделирование инвестиционного процесса

Параметры эффективности можно получить и для сложных инвестиционных схем. В этих случаях уместно прибегнуть к разработке специальных экономико-математических моделей, состоящих из математических выражений, описывающих как процесс формирования потоков платежей, так и соотношений, позволяющих рассчитать искомые величины. Основное преимущество использования модели, как известно, заключается в одновременном учете в ней всех необходимых требований, условий и предположений. Имеется определенная свобода в пересмотре этих установок в ходе работы с моделью, а сами результаты (показатели) оказываются непротиворечивыми. Модель позволяет получить варианты поведения исследуемого явления (в нашем случае — инвестиционного процесса) для разнообразных сочетаний исходных условий и принятых предположений, например состояния денежно-кредитного рынка, уровня инфляции, спроса на выпускаемую продукцию и т. д. Особенность модели, разрабатываемой для инвестиций в производство, составляет то, что в ней базовым является блок, в котором формируются затраты и отдачи от инвестиций для каждого временного интервала со специфическим их распределением в его пределах. Во втором блоке модели определяются искомые показатели эффективности.

Очевидно, нет смысла строить детальную модель, если имеется в виду только получение оценки для одного варианта условий. Преимущества модельного подхода в этом случае не используются. Модель дает возможность осуществить так называемый анализ отзывчивости, или чувствительности (sensitive analysis), о котором речь пойдет в следующем параграфе. Здесь только кратко заметим, что названный анализ заключается в выявлении наиболее важных (ключевых) входных параметров модели и получении системы оценок эффективности инвестиций для широкого диапазона значений этих параметров. Таким образом, лицу, принимающему решение, предоставляется не единственная, точечная оценка, а развернутая картина (в виде таблиц и графиков) значений эффективности для разнообразных возможных и ожидаемых ситуаций.

Первый шаг при разработке базового блока модели заключается в определении структуры потока платежей во времени (разбиение его на этапы). Причем и затраты и доходы в модели должны быть увязаны как с внешними (экзогенными) условиями, так и с производственными параметрами, например в связи с ожидаемой динамикой цен на производимую продукцию (внешние условия) и возможными изменениями объемов производства и уровней текущих производственных затрат. Данные о затратах и доходах в зависимости от конкретных условий могут быть постоянными и переменными, дискретными и непрерывными. Например, данные о затратах на изыскательские работы и проектирование можно рассматривать как постоянные в некотором ограниченном интервале времени, строительство и закупку оборудования — как переменные, а эксплуатационные расходы — как постоянные затраты и т. д. Доходы часто представляют собой непрерывный поток поступлений.

Модель разрабатывается на основе трех видов данных — уровней или объемных характеристик (выпуск продукции, затраты на строительство и т. д.), временных параметров (моменты начала или окончания отдельных этапов, сроки), "нормативных" показателей (удельные расходы, процентные и налоговые ставки, ожидаемые цены и др.). Часть этих данных заложена в техническом проекте, другая получается из разных источников, включая специальные исследования и экспертные оценки.

Приведем иллюстрацию. Пусть для большей определенности речь пойдет о создании предприятия по добыче каких-либо полезных ископаемых. Последовательность основных этапов во времени показана на рис. 6.12.

Рис. 6.12

Обозначения:

Kj величина затрат на этапе j;

nj — протяженность этого этапа;

tkрасстояние от начального момента или между этапами (периоды отдачи на рисунке не показаны);

K1приобретение участка земли (разовые затраты);

K2изыскательские работы;

K3 — проектирование;

K4 строительство;

K5 закупка и поставка оборудования;

K6 — монтаж и наладка оборудования.

Для простоты положим, что в пределах каждого этапа затраты распределены равномерно. Если это не так, то на протяжении соответствующих этапов можно выделить подпериоды с относительно равномерными инвестиционными расходами.

Общий срок создания предприятия составит:

n = п2 + t3 + n4 + t4 + n6.

Определим современную стоимость инвестиционных расходов относительно начального момента времени. При расчете этой величины используем следующий подход: если протяженность этапа равна году или менее, то вся сумма расходов относится к середине периода, если этап занимает несколько лет, то поток платежей рассматривается как постоянная рента. Для каждого из перечисленных этапов находим следующие искомые значения современных стоимостей и их сумму:

где v — дисконтный множитель по ставке i.

Что касается периода отдачи, то положим, что он состоит из двух интервалов — в первом, сроком n7 лет, ожидается годовой доход (за вычетом текущих затрат) в размере R7, во втором, протяженностью n8 , доход падает (месторождение истощается) примерно на 100h% в год. Для простоты годовую сумму дохода можно без большой потери точности отнести к середине года. Современная стоимость поступлений составит:

Рассмотренная модель может быть детализирована во многих отношениях, и прежде всего путем раскрытия механизма формирования переменных Kj и Rj . Например, последнюю величину можно представить в модели как

,

где Qkjобъем продукции вида k, выпущенной в периоде j;

pkjчистый доход от реализации единицы этой продукции.

В свою очередь, можно ввести в модель расчет показателя чистого дохода и таким образом увязать ее с рядом внешних условий: ценами на продукцию, уровнем заработной платы, стоимостью сырья и т. д. Чем полнее будут охвачены факторы, формирующие затраты и чистый доход, тем больше возможностей для анализа и сокращения риска. Более того, если имеются варианты использования разного сырья и (или) технологий, а также какие-либо альтернативы в строительстве, то это также должно быть отражено в модели.

Приведенная выше модель является дискретной. Однако ее можно трансформировать и представить некоторые составляющие в виде непрерывных величин. В этом случае существенно увеличивается гибкость при описании соответствующих сторон инвестиционного процесса. Например, достаточно просто учесть влияние систематического изменения цен и другие непрерывно действующие факторы. Вернемся к нашей модели. Пусть ожидается, что цены на продукцию предприятия в первом периоде будут расти со средним годовым непрерывным темпом прироста . Тогда суммарный доход в первом году этого периода составит

,

а за все n7 лет

.

Переменные Q и р означают годовой выпуск и цену на начало года. Современная стоимость дохода, определенная на начальный момент разработки проекта, равна

,

где е — основание натуральных логарифмов;

— непрерывная ставка, принятая для дисконтирования, ее соотношение с дискретной ставкой; = ln(1 + i) .

§ 6.8. Анализ отзывчивости

Зависимость потоков затрат и поступлений от множества данных, относящихся к будущему, не позволяет получить однозначные ответы о степени эффективности: цены на продукцию могут понизиться, затраты могут возрасти и т. д. Практически полезно для сокращения риска в условиях неопределенности получить крайние оценки, иначе говоря, применить сценарный подход. Согласно этому методу, получают три оценки. Первая — для базового варианта исходных данных и предпосылок, сформулированных для наиболее вероятного сочетания условий создания и функционирования предприятия. Далее находятся аналогичные оценки для пессимистичного и оптимистичного вариантов условий. Совокупность таких расчетных оценок дает возможность более полно представить финансовые последствия инвестиций.

Более информативным является анализ отзывчивости (или, как его иногда называют, анализ чувствительности). Речь идет об отзывчивости показателей эффективности проекта на изменения данных в базовом варианте условий, в рамках которых формируются потоки платежей.

Можно выделить четыре этапа при осуществлении анализа отзывчивости:

  1. Выбор показателя эффективности, относительно которого проверяется отзывчивость системы на изменение того или иного параметра базового варианта условий.

  2. Отбор ключевых переменных модели, т. е. данных, отклонения значений которых от базовых заметно отразятся на величине показателя эффективности. Число таких параметров не должно быть слишком большим, иначе результат анализа трудно воспринять и использовать. В итоге показатель эффективности определяем как функцию только ограниченного числа ключевых переменных модели. Остальные переменные рассматриваются в модели как константы.

  3. Определение вероятных или ожидаемых диапазонов значений ключевых переменных.

  4. Расчет значений показателя эффективности для принятых диапазонов ключевых переменных и представление результатов расчетов в табличной форме и в виде графиков.

В качестве показателя эффективности, очевидно, следует принять одно из двух: чистый приведенный доход или внутреннюю норму доходности. Что касается отбора ключевых переменных, то можно предложить следующую методику. Последовательно изменять величину каждого объемного показателя на k%, временной характеристики на t% и нормативной величины — на d% и затем для дальнейшей работы отобрать только те переменные, изменение которых влияет на эффективность более, чем предусмотрено некоторым принятым пороговым уровнем.

На рис. 6.13 - 6.18 даны графики, характеризующие зависимость чистого приведенного дохода N от одного фактора: изме-

Рис. 6.13

Рис. 6.14

нения годового объема производства Q, годовых размеров эксплуатационных затрат Z, цены единицы продукции z, темпа прироста цены tz, общего срока создания предприятия n, уровня ставки приведения i при условии, что все остальные переменные модели зафиксированы на базисном уровне. При определенных размерах ключевых параметров финансовая эффективность проекта может оказаться отрицательной.

Рис. 6.15

Рис. 6.16

Обратимся к рис. 6.15. Если ожидается, что цена единицы продукции будет находиться в пределах от а до b, а все остальные переменные имеют базовые значения, то величина чистого приведенного дохода находится в интервале от А до B.

Рис. 6.17

Рис. 6.18

Рис. 6.19

В анализе отзывчивости можно применить и диаграмму, на которой совмещаются все частные графики (spider diagram) (см. рис. 6.19). На оси абсцисс этого графика показано изменение переменной относительно ее базового значения. Такая диаграмма дает возможность сравнить и ранжировать отзывчивость показателя эффективности на одинаковые сдвиги в значениях разных ключевых переменных. Наибольшее отрицательное влияние оказывает параметр B, положительное — С. Опыт показал, что, как правило, наиболее значимыми в этом отношении являются временные параметры.

Выбор наиболее "отзывчивой" переменной позволяет там, где это возможно, сконцентрировать усилия на изменении значений переменных в нужном направлении и тем самым повысить эффективность проекта в целом.

§ 6.9. Математическое приложение

а. Доказательство формулы (6.11)

Приравняем современную стоимость непрерывной ренты с постоянным темпом прироста платежей сумме капитальных вложений.

;

отсюда .

Окончательно имеем .

б. Взаимозависимость параметров J и пОК (формула (6.19)). По определению, см. (5.2) и (5.3),

и K = Ran;J , откуда ;

.

Решим это равенство относительно пОК:

.

ГЛАВА 7 ЛИЗИНГ: РАСЧЕТ ПЛАТЕЖЕЙ

Не составляет большого труда сделать что-то,

если только ты знаешь, как это делается;

проблема в том, как объяснить твой метод.

Р. Киплинг

...Никогда ничего не просите!

Никогда и ничего, и в особенности

у тех, кто сильнее вас.

Сами предложат и сами все дадут.

М. Булгаков

§ 7.1. Финансовый и оперативный лизинг

Приобретение дорогостоящего имущества производственного назначения (транспортные средства, производственное оборудование, компьютеры и т. д.) часто осуществляется с привлечением коммерческого или банковского кредита, обычно погашаемого в рассрочку. Получение оборудования для расширения и (или) модернизации производства возможно и в порядке аренды. Аренда оборудования известна по крайней мере со средневековья (например, аренда судовых якорей в Венеции в XI в.). Очевидно, что аренда оборудования практиковалась и раньше. Понятно, что с тех пор формы и методы аренды развивались и усложнялись, отвечая текущим требованиям практики. По всей вероятности, первой зарегистрированной лизинговой компанией была "Birmingham Wagon Company" (1855). Областью ее деятельности была сдача в аренду железнодорожных вагонов для перевозки угля и других сыпучих грузов. В памяти людей старшего возраста, вероятно, еще не стерлось название "ленд-лиз", означавшее в годы второй мировой войны поставки "взаймы и в аренду" из США некоторых видов военной техники, транспортных средств и другого оборудования.

В последние десятилетия в промышленно развитых странах заняли заметное место специальные виды арендных отношений33. Развитию соответствующих операций первоначально мешала неопределенность в хозяйственном и налоговом законодательстве. Юридическое закрепление статуса арендных отношений имущества производственного назначения устранило это препятствие. В настоящее время распространенность аренды оборудования можно рассматривать как свидетельство зрелости производственной инфраструктуры в стране34. Именно за этими видами аренды в России закрепился термин лизинг (англ. leasingсдача в аренду), где он применяется в более узких смыслах: для обозначения особого вида предпринимательской деятельности, заключающегося в инвестировании собственных или привлеченных финансовых средств путем приобретения производственного имущества для последующей сдачи его в аренду или как специальный вид аренды имущества производственного назначения (для краткости любые виды арендуемого имущества будем называть оборудованием).

Практика лизинга и соответственно законы, регулирующие эту деятельность, существенно различаются по странам. По-видимому, наиболее детально законы разработаны в США35.

В связи с тем что в России еще нет достаточного опыта проведения лизинговых операций, содержание данной главы в основном базируется на западной практике. Причем наибольшее внимание обращено на методику расчетов лизинговых платежей: основополагающие принципы, технику их выполнения и содержание получаемых показателей.

Различают два основных вида лизинга — финансовый и оперативный. В настоящей работе обсуждаются проблемы, связанные только с финансовым лизингом.

Финансовый, или капитальный, лизинг (finance, capital lease). Этот вид аренды предусматривает полное возмещение всех расходов лизингодателя, арендодателя (lessor) на приобретение имущества и его передачу для производственного использования лизингополучателю, арендатору (lessee). He допускается досрочное прекращение договора, в противном случае возмещаются все потери лизингодателя. Обычно не предусматривается обслуживание оборудования (поставка запчастей, наладка и ремонт) со стороны лизингодателя. Арендатор получает оборудование для его производственного использования на срок договора. В конце этого срока в зависимости от условий контракта имущество возвращается лизингодателю или арендатор может выкупить его по остаточной стоимости.

Правила, принятые в ряде стран, предусматривают некоторые требования к условиям лизинговых операций. Наиболее важными представляются следующие два правила, принятые в США:

• обязательное минимальное собственное участие лизингодателя в финансировании сделки (на уровне не ниже 20%);

• максимальный срок лизинга, согласно которому этот срок должен быть меньше полезного срока жизни оборудования (economic life) не менее чем на 20% или 1 год.

Итак, финансовый лизинг для лизингодателя является финансовой операцией (инвестицией собственных или привлеченных средств), приносящей некоторую прибыль и реализуемой посредством приобретения имущества производственного назначения и последующей его сдачи в аренду.

Оперативный лизинг (operating lease). Сюда относят все виды аренды, которые не являются финансовым лизингом. Оперативный лизинг характеризуется небольшими сроками, что предполагает возможность неоднократной сдачи оборудования в аренду. Право собственности не переходит к арендатору.

Обычно аренду можно прекратить в любой момент по желанию арендатора. Часто договор оперативного лизинга предусматривает ремонт и обслуживание оборудования силами арендодателя.

Различие между финансовым и оперативным лизингом на практике не столь очевидно, как это может показаться на первый взгляд, и в значительной мере зависит от принятых в стране законов. Для того чтобы отличить первый вид лизинга от второго, за рубежом применяется система критериев (тестов). К ним, в частности, относятся:

а) критерий права собственности — право собственности на оборудование остается за лизингодателем, предусматривается опцион на его выкуп в конце срока;

б) критерий срока — срок лизинга составляет большую часть общего полезного срока жизни оборудования;

в) критерий стоимости — суммарная величина лизинговых платежей (в виде современной их стоимости) должна быть близкой к стоимости оборудования (в США — 90%).

Очевидно, что в России в современных экономических условиях критерии должны быть конкретизированы исходя из опыта работы в соответствующих отраслях.

Возвратный лизинг (sale and leaseback) является частным случаем финансового лизинга. Он предполагает продажу оборудования собственником и получение его обратно у нового владельца в порядке финансового лизинга. Таким образом, в обмен на отказ от права собственности бывший владелец оборудования получает средства для финансирования других своих нужд. Кроме того, арендатор имеет возможность сократить налоговые выплаты, связанные со стоимостью арендованного имущества. В США возвратный лизинг допускается в течение трех месяцев с момента ввода оборудования в эксплуатацию.

Лизинговый контракт (соглашение о лизинге) связывает как минимум две стороны. Лизингодатель передает право владения и использования оборудования (но не право собственности в целом) на фиксированный в контракте срок лизингополучателю в обмен на оговоренные арендные или лизинговые платежи. Лизингодатель приобретает оборудование (обычно у его изготовителя) в соответствии с требованиями арендатора по согласованной с ним цене за собственные средства (прямой лизинг, direct lease) или за счет привлеченных средств (leveraged lease). Лизингодатель может являться и изготовителем оборудования.

Лизинг как предпринимательская деятельность осуществляется специальными компаниями, банками или их дочерними компаниями (именно банки стали пионерами в этом виде деятельности), страховыми компаниями, а в некоторых странах даже пенсионными фондами. Для последних это один из путей среднесрочного инвестирования резервов. Лизинговая компания при подготовке контракта должна проверить финансовую состоятельность будущего арендатора36, а также надежность поставщика имущества.

При реализации крупномасштабного лизинга для аккумулирования необходимых средств прибегают к созданию консорциума лизингодателей.

Упрощенная схема отношений сторон в прямой лизинговой операции представлена на рис. 7.1. Если для финансирования и (или) страхования привлекается банк или страховая компания, то схема, естественно, усложняется.

Рис. 7.1

Чем же привлекает лизинговая операция и какие выгоды получают участвующие в ней стороны?

Для лизингополучателя основные преимущества лизинга заключаются в следующем:

• лизинг является дополнительным источником средне- и долгосрочного финансирования производственной деятельности, особенно если лизингополучатель имеет ограниченные возможности для получения долгосрочного кредита;

• средние и особенно длительные сроки договора служат средством страхования от инфляции;

• лизинг обеспечивает существенно большую гибкость при формулировании условий погашения задолженности, чем при непосредственном получении кредита для приобретения имущества;

• лизинг позволяет привлекать профессионалов для выбора и закупки оборудования, доставки его арендатору, оформления многочисленных документов при импортировании имущества.

Нельзя не упомянуть и об использовании арендатором различных налоговых льгот, связанных с лизингом, что практикуется во многих странах. Одной из них является включение лизинговых платежей в себестоимость продукции, тем самым уменьшается налогооблагаемая сумма прибыли. Что же касается России, то, как известно, налоговая система здесь, мягко говоря, "не пришла в себя", в связи с чем далее налоги рассматриваться не будут.

Некоторые преимущества для арендатора связаны и со спецификой учета полученных в аренду средств производства, поскольку, согласно распространенной практике, их стоимость не отражается в балансе как долг предприятия. Последнее не ухудшает соотношение собственных и заемных средств.

Для лизингодателя лизинг является одним из видов деятельности, приносящей предпринимательскую прибыль. Лизинг предполагает привлечение заемных средств для их инвестирования в оборудование или использование для этого собственных денег лизингодателя. Данный вид деятельности расширяет рамки услуг, предоставляемых клиентам финансовыми институтами.

Лизингодатель в своей деятельности может использовать преимущества международного разделения труда, т. е. закупить оборудование в одной стране, а сдать его в аренду в другой. Тем самым для арендатора упрощается доступ к современным сложным видам техники и технологии. Организация и осуществление международного лизинга, естественно, более сложная операция, так как приходится учитывать специфику таможенных и налоговых платежей в двух странах.

В свою очередь, производитель оборудования с помощью лизинга обеспечивает себе надежный сбыт своей продукции с быстрым получением денег.

Существует ряд факторов, мешающих становлению лизинговой деятельности в России. Отметим лишь некоторые из них:

• высокие проценты за кредит на современном денежно-кредитном рынке (правда, они постепенно снижаются) заметно повышают размеры лизинговых платежей;

• влияние инфляционных ожиданий заставляет сокращать сроки погашения задолженности по лизингу;

• имеется узкий круг потенциальных клиентов с устойчивой платежеспособностью; для предприятий, не относящихся к этой категории, необходима федеральная программа поддержки участия в лизинговых проектах (проблема государственных гарантий).

Нельзя не упомянуть и об отсутствии развернутой правовой базы для реализации лизинговых проектов. Не способствуют развитию лизинга отсутствие систематизированной подготовки кадров для этой сложной сферы деятельности, а также низкий уровень разработанности методической базы.

§ 7.2. Схемы погашения задолженности по лизинговому контракту

Количественный анализ лизинговой операции обычно предназначен, по крайней мере теоретически, для решения двух задач. Для арендатора важно определиться: покупать или арендовать производственное имущество (если, разумеется, он по своим финансовым возможностям может ставить этот вопрос). Для лизингодателя необходимо определить размер лизинговых платежей и финансовую эффективность сделки.

Назначение лизинговых платежей состоит в полном покрытии издержек лизингодателя, связанных с выполнением условий арендного контракта, включая оплату расходов по закупке оборудования, кредитованию и страхованию, а также обеспечение лизингодателю некоторой прибыли и комиссионных. Последние покрывают расходы по подготовке контракта и посреднической деятельности.

Погашение задолженности по лизинговым контрактам может осуществляться на основе различных схем (способов оплаты). Лизингополучатель и лизингодатель выбирают и согласовывают наиболее удобный для них по срокам и размерам платежей способ, определяют вид периодических выплат.

Задолженность по лизингу погашается следующими видами платежей:

• авансовый платеж;

• периодические лизинговые платежи;

• выкупная сумма.

Основными здесь являются периодические выплаты. Отметим лишь несколько признаков, по которым они различаются:

• по размеру платежей — постоянные и переменные (например, изменяющиеся во времени с постоянным темпом прироста или выплачиваемые в сроки и суммах, предусматриваемых согласованным графиком);

• по применяемой процентной ставке — с постоянной или переменной ставкой, а по их виду — сложная, а иногда (при очень коротких сроках) и простая ставка;

• по моменту производства платежей — в начале или конце периодов (пренумерандо и постнумерандо); платежи постнумерандо применяются реже, чем пренумерандо;

• по периодичности выплат (обычно лизинг предусматривает ежемесячные платежи, редко ежеквартальные или полугодовые).

Как правило, финансовый лизинг является средне- или долгосрочной операцией. Однако в российской практике встречаются и краткосрочные, например на 2 года.

Приведенная краткая классификация охватывает большинство из возможных способов погашения задолженности, вместе с тем на практике могут иметь место и другие согласованные участвующими сторонами варианты, например платежи с удвоенным или утроенным первым взносом, с ускоренными каким-либо способом выплатами и т. д.

Для того чтобы сущность финансового лизинга и влияние его условий на размеры платежей были более понятны, приведем простой иллюстративный пример с последовательным усложнением условий лизинга. Стоимость оборудования и срок лизинга во всех вариантах одинаковые. В вариантах 1-3 предусматривается полное погашение стоимости оборудования. Методы расчета приведенных ниже показателей обсуждаются в следующих параграфах и иллюстрируются в примере 1 § 7.3.

Вариант 1. Стоимость оборудования — 1000, срок аренды — 36 месяцев, платежи — по 39,23 в конце месяца.

Сумма платежей за весь срок аренды составит 1412,38. Таким образом, общая сумма прибыли лизингодателя за три года равна 412,38 или 2% в месяц (24% номинальных в год) от инвестированных средств. Если платежи указанного размера будут вноситься в начале каждого месяца, то это принесет 2,13% в месяц.

Вариант 2. Предусматривается удвоенный взнос в первом периоде и освобождение от взноса в последнем. При условии, что инвестиции должны принести 2% в месяц, получим:

первый взнос — 76,98;

платежи — по 38,49 в конце месяца.

Вариант 3. Согласно контракту в начале срока лизинга производится авансовый платеж в сумме 100. Инвестиции приносят 2% в месяц.

Аванс — 100;

платежи — по 35,31 в конце месяца.

Вариант 4. Арендатор имеет право выкупить имущество в конце срока по цене 200. Как и выше, предусматривается доходность 2% в месяц.

Платежи — по 35,39 в конце месяца;

выкупная цена — 200.

Вариант 5. Аванс и право выкупа.

Аванс — 100;

платежи — по 31,46 в конце месяца;

выкупная цена — 200.

Выше размер платежа определялся принятым уровнем доходности инвестиций (2% в месяц) при всех прочих заданных в контракте условиях. Однако можно изменить постановку задачи и решить обратную задачу — определить уровень доходности (финансовой эффективности) лизинговой операции по заданным размерам всех видов платежей. Соответствующие методики см. в § 7.6.

Из приведенных примеров становится очевидным, что определение размеров периодических лизинговых платежей является основной задачей при подготовке контракта операции. Для ее решения используют два пути. Первый, общепринятый на Западе, заключается в определении по условиям лизинга величины периодических платежей в целом, далее она распределяется на процентные платежи и суммы погашения основного долга. По второй схеме рассчитываются размеры процентных платежей и суммы погашения долга (амортизация задолженности), затем определяется общая сумма лизингового платежа. Для сокращения записи назовем первый путь как метод А, второй — как метод Б. Различие между указанными методами не в существе, а в последовательности расчетных операций.

Система основных схем выплат периодических лизинговых платежей представлена на рис. 7.2.

Регулярные платежи — лизинговые платежи, производимые через равные интервалы времени (ежемесячно, поквартально и т. д.) в конце или в начале периодов. Регулярные платежи могут быть постоянными во времени или систематически изменяться. В качестве последнего указан только вариант погашения задолженности с постоянным темпом изменения (с увеличением или сокращением) платежей.

Нерегулярные платежи — лизинговые платежи, производимые по согласованному с лизингодателем графику сумм платежей и их сроков. Соответственно по схеме А задается график лизинговых платежей, а по схеме Б — график платежей, погашающих сумму основного долга. Дополнительные пояснения к каждому способу оплаты приводятся ниже, при описании конкретных методик и примеров расчета.

Рис. 7.2

§ 7.3. Методы расчета регулярных лизинговых платежей

Для всех схем расчета исходным требованием является равенство современной стоимости потока лизинговых платежей затратам на приобретение оборудования, т. е. предусматривается финансовая эквивалентность обязательств обеих сторон контракта. В общем виде требование финансовой эквивалентности обязательств можно записать в виде следующего равенства:

K = PV(Rj), (7.1)

где Kстоимость имущества для лизингодателя (с учетом таможенных сборов, страховых расходов и т. д.) без платы за кредит;

PVоператор определения современной стоимости;

rj платежи по лизингу.

Формула (7.1) далее конкретизируется с учетом условий лизинга. В обсуждаемых методиках предполагается, что как при формировании потока платежей, так и при определении стоимости оборудования в них учитываются все налоговые выплаты.

Регулярные платежи (метод А)

Постоянные платежи (сложные проценты). В преобладающем числе случаев поток лизинговых платежей представляет собой постоянную ренту. Соответственно методы расчетов периодических лизинговых платежей базируются на теории постоянных финансовых рент (см. гл. 1).

Для записи формул примем следующие обозначения:

Rразмер постоянного платежа;

п — срок лизинга в месяцах, кварталах, годах (общее число платежей); как правило, в лизинговом контракте предусматривается число выплат платежей, равное количеству начислений процентов;

i — процентная ставка за период (норма доходности); если указана годовая номинальная ставка j, то в формулах вместо i используется величина j/m, где т — количество начислений процентов в году;

s — доля остаточной стоимости в первоначальной стоимости оборудования;

аn;i — коэффициент приведения постоянной ренты постнумерандо (см. формулу (1.7)).

Если платежи погашают всю стоимость имущества, то, развернув формулу (7.1), получим при выплатах постнумерандо

K = Ran;i ,

откуда

(7.2)

Для упрощения расчетов размеров платежей во многих случаях можно применять коэффициенты рассрочки платежей, определяющие долю стоимости оборудования, погашаемую при каждой выплате. Обозначим этот коэффициент через а:

R = Ka. (7.3)

Коэффициент рассрочки для постоянных рент постнумерандо37 при условии, что применяются сложные проценты, равен а = 1/an;i , т. е.

(7.4)

Коэффициент рассрочки для выплат пренумерандо составит38:

а = (1/an;i)v. (7.5)

Значения коэффициентов рассрочки при равных платежах пренумерандо для некоторых сроков лизинга (измеряемых в месяцах и годах), уровней процентных ставок (от 10 до 60% за период) и долей остаточной стоимости (от 0 до 20% в общей стоимости оборудования) приведены в Приложении (см. Таблицы коэффициентов рассрочки). Кроме того, там же помещены таблицы коэффициентов рассрочки для платежей постнумерандо, но только при полном покрытии задолженности.

Пусть теперь первый платеж будет в k раз больше остальных (удвоен или утроен), причем соответственно сокращается число остальных платежей. Тогда условие финансовой эквивалентности обязательств удовлетворяется следующими равенствами:

для выплат постнумерандо

K = (k - 1)Rv + Ran-k+1;i

и для платежей пренумерандо

K = (k - 1)R + Ran-k+1;i (1+ i).

На основе этих равенств легко найти необходимые значения лизинговых платежей, а именно

, (7.6)

. (7.7)

Теперь примем во внимание выплату аванса. Для лизинговых платежей постнумерандо и пренумерандо соответственно получим

K = A + Ran;i , K = A + Ran;i (1+ i),

откуда

R = (K - A)a, (7.8)

где коэффициент рассрочки а определяется по (7.4) и (7.5).

Если лизинговый контракт предусматривает выкуп имущества по остаточной стоимости, доля которой в стоимости имущества равна s, то получим следующее уравнение эквивалентности обязательств:

K(1 - svn) = Ran;i .

Аналогично для выплат пренумерандо находим

K(1 - svn) = Ran;i(1+ i).

Лизинговые платежи возмещают здесь стоимость оборудования за вычетом дисконтированной остаточной стоимости. Для расчета суммы платежа применяется формула

R = K(1 - svn)a, (7.9)

где vn — дисконтный множитель по ставке i.

Закончим обсуждение метода расчета суммы платежа вариантом, в котором одновременно учитываются авансовый платеж и выкуп имущества. В этом случае для последовательностей платежей постнумерандо и пренумерандо имеем

K(1 - svn) = А + Ran;i ; K(1 - svn) = A + Ran;i (1 + i).

Соответственно получим

R = [K(1 - svn) - A] x a. (7.10)

ПРИМЕР 1

В § 7.2 приведены различные варианты условий лизинга. Рассчитаем для них значения лизинговых платежей, используя приведенные выше формулы.

Общие исходные данные: K = 1000, п = 36 месяцам, i = 2% в месяц.

Вариант 1. Находим по (7.4) коэффициент рассрочки (платежи в конце периодов) и затем размер ежемесячного платежа:

а = = 0,039233, R = 1000 x 0,03923 = 39,23,

Если платежи вносятся в начале каждого месяца, то, согласно (7.5):

а = 0,039233 х 1,02-1 = 0,038464 и R = 38,46.

Вариант 2. Удвоенный взнос в первом месяце (k = 2). Для взносов в конце периодов получим по (7.6):

R = = 38,49 и первый взнос 2R = 76,98.

Вариант 3. А = 100. На основе (7.8) находим R = 900 x 0,03923 = 35,31.

Вариант 4. s = 0,2. Таким образом, Ks = 1000 x 0,2 = 200 и согласно (7.9) получим

R = 1000(1 - 0,2 х 1,02-36) х 0,03923 = 35,39 .

Вариант 5. А = 100, s = 0,2. По формуле (7.10) находим R = [1000 х (1 - 0,2 х 1,02-36) - 100] х 0,03923 = 31,46.

Постоянные платежи (простые проценты). Обсуждая методы расчета лизинговых платежей, нельзя хотя бы кратко не остановиться на возможности применения в расчетах простых процентов. Такая практика существует. Согласно этому методу проценты за лизинг начисляются на первоначальную стоимость оборудования сразу за весь срок лизинга. Ограничимся наиболее простым видом лизинга (см. вариант 1 в § 7.2). Погашению здесь подлежит сумма с начисленными вперед процентами, а именно

K(1 + Ng),

где N — срок лизинга в годах;

gгодовая процентная ставка, так называемая "единая", или "ровная", ставка39 (flat rate).

Размер лизингового платежа в этом случае составит:

, (7.11)

где п — количество периодов погашения.

Дробь в этом выражении представляет собой коэффициент рассрочки. Метод, как видим, весьма прост. Однако при его применении необходимо четко представлять себе особенность применяемой процентной ставки. Проценты здесь начисляются не на действительную сумму долга, которая последовательно сокращается во времени, а на первоначальную. Таким образом, арендатор оплачивает кредитную услугу, которую он и не получил. В результате этого цена кредита или действительная процентная ставка (true rate), измеренная в виде ставки сложных процентов, заметно выше ставки, примененной в расчете. Для быстрой оценки соотношения упомянутых ставок можно воспользоваться приближенной формулой (обе ставки измерены в % годовых):

i 2g - 1. (7.12)

ПРИМЕР 2

Стоимость имущества равна 1000, срок погашения — 36 месяцев, простая процентная ставка — 12% годовых.

Размер лизингового платежа

.

Действительная доходность составит i 2 x 12 - 1 = 23%.

Точное соотношение упомянутых ставок, полученное при условии, что предусматриваются платежи постнумерандо, находим на основе равенства

.

Решим его относительно g:

. (7.13)

При ежемесячных выплатах n/N =12. Использовав это соотношение, получим вместо (7.13)

.

ПРИМЕР 3

Используем данные примера 1 (вариант 1). Исходные данные: N = 3, п = 36, i = 2% в месяц (или 24% в год).

По (7.13) находим

.

Таким образом, рассчитанная простая ставка приведет к такому же финансовому результату, что и сложная номинальная ставка g = 24%, примененная согласно формуле (7.2).

Деление суммы платежа по лизингу на сумму погашения долга и выплату процентов. Принцип такого деления сводится к следующему: сумма, идущая на погашение основного долга, находится как остаток после выплаты из суммы лизингового платежа процентов на сумму оставшейся задолженности. Начнем с лизинговых платежей постнумерандо. Последовательно остаток задолженности на конец года определяется как

Dt =Dt -1 - dt , (7.14)

где dt — сумма погашения основного долга в периоде t, a D0 = K.

dt = R - Dt -1 x i, t = 1,..., n. (7.15)

Альтернативная формула

dt = Rvn-(t-1).

В первом периоде

d1= R - Ki .

Перейдем к платежам пренумерандо. По определению, d1 = R. Остаток задолженности на конец первого года D1 = K - R.

Для второго периода получим:

d2 = R - Ki,

а для остальных

dt = R - Dt -1 i ; (7.16)

Dt = Dt -1- dt .

ПРИМЕР 4

K = 100, п = 5 лет, i = 10% годовых, платежи в конце периодов, полное погашение стоимости оборудования, соответственно s = 0. По формуле (7.2) получим

R = 100 х = 100 x 0,2638 = 26,38.

Табличное значение коэффициента рассрочки равно 0,263797 (см. табл. 6 (1Б) Приложения).

Если контракт предусматривает платежи в начале каждого года, то

R = 100 х = 100 x 0,23982 = 23,982.

График погашения задолженности в конце каждого года приведен ниже.

t

Остаток долга на конец периода

%

Погашение долга

Лизинговые платежи

1

100,000

10,000

16,380

26,38

2

83,620

8,362

18,018

26,38

3

65,602

6,560

19,820

26,38

4

45,782

4,578

21,802

26,38

5

23,980

2,398

23,980

26,38

Как видим, суммы, предназначенные для погашения основного долга, увеличиваются, в то время как процентные платежи сокращаются.

Если в условиях данного примера (платежи пренумерандо) предусматривается остаточная стоимость в размере 10% от первоначальной стоимости оборудования (s = 0,1), то размер лизингового платежа (выплаты постнумерандо) составит:

R = 100 х (1 - 0,1 х 1,1-5) х 0,2638 = 24,742.

В табл. 6 (3Б) Приложения находим коэффициент рассрочки а = 0, 24742.

t

Остаток долга на конец периода

%

Погашение долга

Лизинговые платежи

1

100,000

10,000

14,742

24,742

2

85,258

8,526

16,215

24,742

3

69,043

6,904

17,837

24,742

4

51,205

5,121

19,621

24,742

5

31,584

3,158

21,584

24,742

Проверка: остаточная стоимость 31,584 - 21,584 = 10,000, как и было предусмотрено в условиях.

Изменим еще одно условие. Пусть теперь платежи производятся в конце каждого месяца. Тогда

R = 100 х = 2,1247.

Годовая сумма выплат сокращается до 25,50.

Платежи с постоянным темпом изменения. Условия погашения задолженности по лизингу могут предусматривать изменение платежей с постоянным темпом прироста k в каждом периоде. Иначе говоря, задается ускоренное, а иногда и замедленное погашение долга. Соответствующие платежи представляют собой ренту с постоянным относительным приростом (см. гл. 1). Размеры платежей рассчитываются следующим образом:

Rt = R1(1 + k)t; t = 0,..., n - l. (7.17)

Темп прироста может быть положительной или отрицательной величиной. При k > 0 происходит ускорение погашения задолженности, при k < 0 сокращение размеров платежей с каждым шагом во времени.

Размер первого платежа при условии полного погашения долга определяется как

R1 = Kb,

где bкоэффициент рассрочки для принятого порядка погашения долга.

Коэффициент приведения такого рода ренты — см. (1.17). На основе этого коэффициента получим

. (7.18)

Суммы погашения задолженности и величины остатка долга определяются последовательно по формулам (7.14) и (7.15).

ПРИМЕР 5

K = 100, п = 5, i = 10% годовых, ежегодный прирост платежей на 15%, k = 0,15.

Коэффициент рассрочки находится по формуле (7.18):

На момент окончания первого года получим:

R1 = 100 х 0,20089 = 20,089; D1 x i = 100 х 0,1 = 10,0; d1= 20,089 -10,0 = 10,089.

Далее последовательно находим Rt , Dt , dt . Причем Rt = 20,089 x 1,15t -1.

t

Остаток долга на конец периода

%

Погашение долга

Лизинговые платежи

1

100,000

10,000

10,089

20,089

2

89,911

8,991

14,111

23,102

3

75,800

7,580

18,987

26,567

4

56,813

5,681

24,872

30,553

5

31,941

3,194

31,941

35,135

Если предусматривается систематическое сокращение размеров платежей, например k = -15%, то R1 = 34,507.

Rt = 34,507 х (1 - 0,15)t -1.

Регулярные постоянные платежи (метод Б)

Напомним, что согласно этой схеме величина периодических лизинговых платежей определяется как сумма погашения основного долга (амортизация стоимости оборудования) и выплат процентов. Размер амортизации может быть определен с помощью различных методов (см. гл. 2 "Модели износа оборудования"). Далее рассматривается только линейная модель амортизации, поскольку этот метод является преобладающим в отечественной практике. Согласно этой модели сумма амортизационного отчисления d определяется "бухгалтерским" способом по соответствующим нормативам или иным путем. Так или иначе, но расчет выполняется по схеме погашения задолженности равными долями (суммами)40. При погашении всей первоначальной стоимости

при частичном возмещении стоимости

.

Платежи по лизингу в конце периода t находятся как

Rt = Dt - 1 x i + d, (7.19)

где Rt размер лизингового платежа в периоде t.

Остаток долга на конец периода находится последовательно:

Dt = Dt - 1 - d (7.20)

или

.

ПРИМЕР 6

K = 100, n = 5, i = 10%. Платежи производятся в конце каждого года, основной долг погашается полностью равными суммами.

t

Остаток долга на конец периода

%

Погашение долга

Лизинговые платежи

1

100

10

20

30

2

80

8

20

28

3

60

6

20

26

4

40

4

20

24

5

20

2

20

22

Особенность результатов, получаемых по методу Б, состоит в том, что они уменьшаются с каждым шагом во времени (см. пример 6), что может оказаться малопривлекательным для лизингополучателя. Вместе с тем метод Б при любых схемах начисления амортизации позволяет применять переменные процентные ставки.

Сравнение регулярных лизинговых платежей для разных схем погашения задолженности

Для того чтобы продемонстрировать влияние выбора условий лизинга на распределение лизинговых платежей во времени, сопоставим платежи, рассчитанные для четырех вариантов условий. В табл. 7.1 приводятся размеры платежей постнумерандо для следующих вариантов:

1 — постоянные платежи (пример 1);

2 — платежи с постоянным темпом прироста 15% (пример 5);

3 — платежи с постоянным отрицательным темпом прироста -15%;

4 — платежи с постоянной суммой погашения основного долга, метод Б (пример 6).

Предусматривается полное погашение стоимости арендованного имущества. Соответственно во всех вариантах современная стоимость поступлений лизинговых платежей равна 100.

Таблица 7.1

t

Варианты

1

2

3

4

1

26,380

20,089

34,507

30

2

26,380

23,102

29,331

28

3

26,380

26,567

24,932

26

4

26,380

30,553

21,195

24

5

26,380

35,135

18,013

22

Итого

131,900

135,446

127,977

130

Равномерную нагрузку на лизингополучателя обеспечивает только вариант 1 по схеме А.

§ 7.4. Нерегулярные платежи

Рассмотрим методику расчета, когда размеры и сроки лизинговых платежей (схема А) или суммы погашения основного долга (схема Б) задаются в виде графика, согласованного обеими сторонами лизингового контракта.

Схема A. Сбалансированность выплат и задолженности достигается при определении размера последней выплаты. Исходное равенство при полном погашении стоимости объема лизинга будет иметь вид

,

где Rt , пtсумма и срок t - го платежа;

Rk , nkсумма и срок последнего платежа.

Таким образом:

.

Деление суммы платежа на проценты за кредит и суммы, погашающие основной долг, производится последовательно по формуле

dt = Rt - Dt - 1 x i.

ПРИМЕР 7

K = 100, п = 5, i = 10%, s = 0. В таблице задан график четырех лизинговых платежей. Необходимо определить размер последнего взноса и составить график погашения задолженности и выплат процентов.

Сумма четырех дисконтированных платежей равна

.

Размер последнего платежа: R5 = (100 - 96,242)/v5 = 6,054.

t

Срок

Лизинговые платежи

Остаток долга на конец периода

%

Погашение долга

1

0,5

50

100,000

4,881

45,119

2

1,0

40

54,881

2,019

37,321

3

2,0

10

17,560

1,756

8,224

4

2,5

5

9,316

0,455

4,545

5

5,0

6,054

4,771

1,283

4,771

Итого

111,054

11,054

100

Схема Б. Задается график погашения основного долга. Сбалансированность здесь элементарна: dt = K. Проценты за кредит последовательно начисляются на остаток задолженности.

ПРИМЕР 8

K = 100, п = 5, i = 10%, s = 0, платежи в конце года, задан график погашения задолженности.

t

Погашение долга

Остаток долга на конец года

%

Лизинговые платежи

1

10

100

10

20

2

30

90

9

39

3

30

60

6

36

4

20

30

3

23

5

10

10

1

11

Итого

100

29

129

Как видим, различие в принятых схемах заключается в способе задания графика погашения (в схеме А задается график лизинговых платежей, в схеме Б — график погашения задолженности) и последовательности выполнения расчетов.

§ 7.5. Факторы, влияющие на размеры лизинговых платежей

Поскольку при заданной цене имущества размер лизингового платежа зависит от величины коэффициента рассрочки, в котором "сконцентрированы" все основные условия лизинга, то имеет смысл остановиться на факторах, определяющих его размер.

Очевидно, что с увеличением срока лизинга коэффициент рассрочки уменьшается. В пределе при получим a = i (рис. 7.3).

Как показано на рис. 7.3 влияние срока лизинга заметно сказывается в начале шкалы. Это иллюстрируется следующими данными, подсчитанными для i = 5% и платежей постнумерандо:

n

4

8

16

20

a

0,28201

0,15472

0,09227

0,08024

0,05

При заданных размерах процентной ставки и срока лизинга увеличение доли остаточной стоимости линейно уменьшает величину коэффициента рассрочки.

Что касается процентной ставки, то, очевидно, чем она выше, тем больше коэффициент рассрочки, причем при i = 0 имеем a = 1/n (см. рис. 7.4). Влияние ставки усиливается вместе с ростом размера ставки. Так, для n = 12 находим

i

0

5

10

15

а

0,08333

0,11283

0,14676

0,18448

ПРИМЕР 9

Если в примере 1:

• сократить срок лизинга с 5 до 3 лет (на 40%), то а = 0,40211 и R = 40,211 (т. е. произойдет увеличение платежа на 52%);

• увеличить процентную ставку вдвое (с 10 до 20%), то а = 0,33438 и R = 33,438, т. е. имеет место увеличение на 26, 8%.

Рис. 7.3

Рис. 7.4

Выше процентная ставка i использовалась как некий "технический" параметр для дисконтирования платежей и начисления процентов. Если все параметры операции, кроме лизингового платежа, заданы в контракте, то управляющим параметром при расчете размера лизинговых платежей является уровень процентной ставки. В то же время если в контракте заданы размеры лизинговых платежей, то i характеризует общую доходность инвестиций в лизинговую операцию. Пусть теперь имущество приобретено за счет привлеченных средств, причем за кредит выплачиваются проценты по ставке r, тогда доходность от предпринимательской деятельности лизингодателя, или финансовая эффективность лизинга р, составит: p = i - r.

ГЛАВА 8 ИНТЕРВАЛЬНОЕ ЭКСПЕРТНОЕ ПРОГНОЗИРОВАНИЕ

Случайность — запасной фонд Господа Бога.

Всемогущий прибегает к нему лишь в тех

важных случаях, особенно теперь,

когда люди стали так проницательны,

что предвидят грядущее, наблюдая природу

и постигая ее закономерности.

А. Дюма

Если Вы когда-нибудь угадали,

никогда не позволяйте забыть это.

Из правил прогнозиста

§ 8.1. Основные элементы методики

Для количественного анализа инвестиций в производство необходим достаточно большой объем информации. Часть ее обеспечивается технико-экономическими расчетами и накопленной производственной статистикой. Однако многие данные, особенно при разработке крупных проектов, можно получить лишь экспертным путем. Существование значительных диапазонов для реально возможных будущих состояний объекта прогноза требует разработки не точечных, а интервальных экспертных прогнозов и наделения последних субъективными вероятностями их реализации (осуществления). Чем больше эта вероятность, тем шире интервал прогноза при всех прочих равных условиях. Кратко методика сводится к "извлечению" из эксперта некоторых суждений и их преобразованию в более узкие интервалы прогноза, чем это первоначально было задано экспертом для некоторых крайних ситуаций.

Определение интервала для прогнозируемой величины и его увязывание с вероятностью реализации можно во многих случаях сделать вполне выполнимой задачей, если воспользоваться предлагаемой ниже методикой41. Данная методика отличается прагматичностью: она проста в реализации и не требует от эксперта глубоких знаний в области теории вероятностей и математической статистики. Достаточно быть знакомым с основными параметрами статистических распределений (средней, модой, дисперсией). Однако за простоту, как правило, надо платить. Плата заключается в нестрогом применении положений математической статистики. Последнее, впрочем, оправдывается и тем, что сами исходные данные обычно не являются результатами статистических наблюдений.

Согласно данной методике в задачу эксперта входят:

• определение реально возможного диапазона значений прогнозируемой величины;

• выбор вида распределения вероятностей реализации в пределах этого диапазона;

• выбор уровня надежности прогноза (вероятности его реализации).

Кроме того, при прогнозировании сумм или произведения показателей эксперт должен вынести суждение о наличии (или отсутствии) значительной зависимости слагаемых или сомножителей (да, нет). Это суждение выносится исходя из содержания рассматриваемых показателей, накопленного опыта или, в лучшем случае, основывается на результатах предварительного регрессионного или корреляционного анализа статистических данных.

Кратко охарактеризуем перечисленные этапы.

Реально возможный диапазон (РВД) — полный интервал реально возможных значений, в котором с практически 100%-й вероятностью (наверняка) окажется, по мнению эксперта, соответствующая характеристика. Эксперт для этого определяет экстремальные значения показателя (нижнюю и верхнюю границу) исходя из крайних сценариев развития исследуемого объекта. Пример: ожидается, что при наихудшей конъюнктуре для продавца цена продукции не может быть меньше А, при наилучшей — не более Б, или темп роста производства в некотором временном интервале не опустится ниже а% и не превысит b%.

Ожидаемый вид распределения вероятностей для прогнозируемой величины в пределах установленного РВД. Эксперт должен вынести самое общее суждение о виде распределения, выбрав один из четырех вариантов. Предлагаются следующие виды распределений: а) нормальное; б) треугольное; в) трапециевидное; г) равномерное. Для упрощения полагаем, что распределения б) и в) являются симметричными. (Можно было бы рассмотреть и несимметричные варианты этих распределений, однако вряд ли эксперт сможет более или менее удовлетворительно определить необходимые для этого параметры.) Заметим, что распределения б) и в) не встречаются в "классической" статистике.

Рис. 8.1

(а) Нормальное распределение N. Ожидается, что варианты значений прогнозируемого параметра сосредоточены около среднего значения. Значения параметра, существенно отличающиеся от среднего, т. е. находящиеся в "хвостах" распределения, имеют малую вероятность осуществления.

(б) Треугольное распределение Т. Этот вид распределения можно рассматривать как некоторый суррогат нормального в тех случаях, когда известно только, что распределение симметрично и имеет одну моду, причем следует ожидать, что вероятность реализации более или менее равномерно растет по мере приближения к моде.

(в) Трапециевидное распределение Тр. Предполагается, что в пределах РВД существует интервал значений с наибольшей вероятностью реализации (НВР). Например, предполагается, что в диапазоне от 10 до 30% наиболее вероятны процентные ставки в пределах 15-25%.

(г) Равномерное распределение P. По мнению эксперта, все варианты прогнозируемого показателя имеют одинаковую вероятность реализации, что равносильно отсутствию каких-либо дополнительных экспертных суждений о характере явления.

По-видимому, наибольшую информацию эксперт должен иметь для того, чтобы утверждать, что распределение близко к нормальному42, и, наоборот, при полном отсутствии такой информации логично остановиться на равномерном распределении. Распределения Т и Тр занимают промежуточные места. Графическая иллюстрация перечисленных распределений приведена на рис. 8.1, на котором буквенные символы обозначают:

a, bграницы РВД;

М — модальное значение переменной;

M1 , M2 — границы НВР.

При использовании указанных распределений, кроме нормального, полагаем, что площадь под кривой распределения равна 1, или 100%. С небольшой натяжкой сказанное можно отнести и к нормальному распределению.

Третьим необходимым элементом методики является доверительная вероятность (ДВ), которая характеризует уровень вероятности реализации прогноза. Например, допустим, что интервальная оценка цены продукции в рамках прогноза считается надежной, если ДВ принята на уровне 0,9. Таким образом, в 9 случаях (шансах) из 10 (иными словами, с 90%-й вероятностью) можно утверждать, что прогноз окажется оправданным. Чем больше величина ДВ, тем ближе интервальный прогноз к РВД.

§ 8.2. Методы определения интервальных прогнозов

После установления РВД и выбора вида распределения и уровня ДВ расчет границ интервального прогноза становится чисто технической задачей. Ее решение заключается в отсечении "лишних" концов РВД соответственно принятой доверительной вероятности. Иначе говоря, находят величины

А = а + х; B =b - x ,

где xвеличина, зависящая от вида распределения и вероятности неудачи (неосуществления прогноза); очевидно, что упомянутая вероятность равна 1 - ДВ. Площади под кривой распределения, отсекаемые от "хвостов", равны половине этой вероятности (см. рис. 8.2) для треугольного распределения:

. (8.1)

Значения этой вероятности для некоторых уровней ДВ приведены в табл. 8.1.

Рис. 8.2

Таблица 8.1

ДВ, %

60

70

75

80

90

a

0,2

0,15

0,125

0,1

0,05

Из сказанного следует, что задача определения интервального прогноза сводится к расчету размера x. Методики разработаны для следующих ситуаций:

А. Объект прогнозирования — отдельная количественная характеристика. Эксперт указывает РВД, вид распределения, а для распределения Тр и интервал наиболее вероятных значений прогнозируемого показателя.

Б. Прогноз суммы показателей, . Например, сумма объемов выпуска нескольких видов продукции. Для каждого слагаемого указывается РВД и вид распределения. ДВ назначается только для итоговой суммы.

В. Прогноз произведения двух показателей, Y = vw. Например, произведение "нормативного" и объемного показателей. Эксперт указывает РВД, вид распределения и ДВ для каждого сомножителя.

На первый взгляд представляется, что обсуждаемую методику легко распространить на прогноз суммы произведений. Формально это несложно выполнить. Однако, как показали расчеты, степень "сжатия" прогнозного интервала в этих условиях весьма мала, так что применение данной методики не имеет смысла.

Покажем технику применения перечисленных методик для каждого из указанных распределений вероятностей.

МЕТОДИКА А. Расчет интервального прогноза отдельной характеристики

Распределение N.

Известно, что площадь под кривой нормального распределения в пределах примерно равна 99%. Отсюда

,

где М — средняя,

— стандартное (среднее квадратическое) отклонение.

Пусть z — нормированное отклонение от средней43, зависящее от выбранной доверительной вероятности. Тогда нормированное значение искомой величины x составит:

, (8.2)

где

u = 3 - z. (8.3)

Вероятности невыполнения прогноза в каждом "хвосте" нормального распределения составят:

. (8.4)

Заметим, что для нормального распределения ДВ = F(z).

В табл. 8.2 44 приводятся значения z, и, в зависимости от уровня ДВ.

Таблица 8.2

ДВ(%)

68

75

80

85

90

95

Z

1

1,15

1,28

1,44

1,65

1,96

U

2

1,85

1,72

1,54

1,35

1,04

0,16

0,125

0,1

0,075

0,05

0,025

Необходимое для расчета по формуле (8.2) значение находим следующим образом:

. (8.5)

Распределение Т.

Искомая величина находится как функция от L и :

. (8.6)

Распределение Тр.

Здесь возможны два варианта. Если , то

, (8.7)

где l = М2 - М1 .

Если же , то

, (8.8)

Распределение Р.

. (8.9)

ПРИМЕР 1

Ожидается, что РВД (допустим, речь идет о годовом размере добычи минерального сырья) оценивается экспертом в объеме 1,2 — 1,8 млн. т. Определим интервальный прогноз для всех перечисленных выше видов распределений при условии, что ДВ = 80%. Для принятого уровня доверительной вероятности = 0,1.

Распределение N. L = 1,8 - 1,2 = 0,6; = 0,6/6 = 0,1; u = 1,72 (см. табл. 8.2). По формуле (8.2) получим

x = 1,72 x 0,1 = 0,172.

Таким образом, прогнозный интервал имеет пределы:

А = 1,2 + 0,172 = 1,37; B = 1,8 - 0,172 = 1,63.

Распределение Т. По формуле (8.6) находим

x = 0,6 х =0,134 ,

откуда

A = 1,2 + 0,134 1,33; B = 1,8 - 0,134 1,67.

Распределение Тр. Пусть интервал наиболее вероятных значений находится в пределах 1,35-1,65, l = 0,3. Поскольку

,

применяется формула (8.7):

;

А = 1,2 + 0,12 = 1,32; В = 1,8 - 0,12 = 1,68.

Распределение Р.

x = 0,1 х 0,6 = 0,06;

А = 1,2 + 0,06 = 1,26; В = 1,8 - 0,06 = 1,74 .

Как видим, распределения N, Т и Тр дали примерно одинаковые интервалы для прогноза, а распределение Р — более "размытый" вариант.

МЕТОДИКА Б. Прогноз суммы показателей

Рассматриваются два варианта постановки задачи, когда слагаемые — это независимые величины и когда они зависимы друг от друга45.

Независимые слагаемые. Прогнозируемый показатель представляет собой сумму некоторых однородных величин. Слагаемые — независимые или слабо зависимые между собой показатели. Определение прогнозного интервала предполагает выполнение следующих последовательных шагов:

• установление РВД и определение видов распределений (напомним, что все они симметричные);

• расчет средних значений этих распределений и дисперсий;

• расчет общей средней (суммы частных средних) и дисперсии суммы;

• оценка границ интервального прогноза.

Формулы для расчета средних и дисперсий приведены в табл. 8.3 46.

Таблица 8.3

Распределение

Средняя

Дисперсия

N

a + L/2

(L/6)2

Т

a + L/2

L2/24

Тр

а + L/2

(L2 + l2)/24

Р

a + L/2

L2/12

Во всех приведенных в таблице формулах L = b - a .

Расчет суммы средних и дисперсии суммы производится следующим образом:

• сумма частных средних

; (8.10)

• дисперсия суммы

, (8.11)

где Мj, Dj — средние значения и дисперсии частных распределений;

• стандартная ошибка

. (8.12)

Интервал прогноза определяется как

, (8.13)

где z (нормированное отклонение) находится по табл. 8.2 или табл. 5 Приложения в зависимости от принятой ДВ.

ПРИМЕР 2

Эксперты установили следующие РВД и виды распределений для четырех слагаемых (в целях иллюстрации метода приняты различные виды распределений):

Слагаемое

а

b

L

Распределение

1

10

12

2

Т; М = 11

2

50

55

5

Тр; НВР = 52 - 53

3

8

13

5

Р

4

20

24

4

Т; М = 22

Сумма

88

104

Полученные по этим данным значения частных средних и дисперсий приведены в следующей таблице.

Слагаемое

Средняя

Дисперсия

1

11

22/24 = 0,177

2

52,5

(52 + 12)/24 = 1,08

3

10,5

52/12 = 2,08

4

22

42/24 = 0,677

Сумма

96

4,01

Пусть доверительная вероятность равна 75%, F(z) = 0,75. По табл. 8.2 находим z = 1,15; в свою очередь, получим = 2 .

Нижняя и верхняя границы прогнозного интервала равны:

A = 96 - 1,15 x 2 = 93,7; B = 96 + 1,15 x 2 = 98,3.

Как видим, интервал прогноза заметно уже, чем суммы граничных значений РВД слагаемых (88 — 104), но вероятность "попадания" в него также меньше (не 100, а 75%).

Сильная зависимость между слагаемыми. Теоретически обоснованное решение проблемы требует в этой ситуации измерения коэффициентов корреляции между попарно взятыми случайными переменными (в нашем случае — слагаемыми). Поскольку следует ожидать в основном положительной корреляции, то дисперсия увеличивается. Следовательно, увеличивается и интервал прогноза. Например, если в примере 2 полагать, что коэффициенты корреляции у всех пар слагаемых одинаковы и равны, допустим, 0,9 (сильная положительная корреляция), то стандартная ошибка увеличится почти в 2 раза и составит 3,91 вместо 2. Искомый интервал в этом случае равен 91,5—100,5. Однако в такого рода задачах вряд ли практически возможен расчет коэффициентов корреляции (хотя бы в связи с отсутствием необходимой информации), поэтому целесообразно поступить иным образом, избежав тем самым расчет упомянутых коэффициентов.

Для решения задачи определим граничные значения прогнозных интервалов для каждого слагаемого, применив методику А. Обозначим эти величины как Aj и Bj. Искомые граничные значения для суммы составят:

.

Слагаемые этих сумм рассчитаем с учетом того, что вероятности реализации прогноза для каждого слагаемого должны быть больше доверительной вероятности для суммы в целом. ДВ для суммы составит

.

Для отдельного слагаемого ДВ определяется как

. (8.14)

ПРИМЕР 3

Используем данные примера 2 и найдем интервальный прогноз для суммы теперь уже зависимых слагаемых при условии, что коэффициенты корреляции неизвестны. Примем, что ДВ для суммы равна 75%. Соответственно для отдельного слагаемого

ДВj = = 0,93 . По формуле (8.1) находим = 0,035. Результаты расчетов величин x, vj и wj представлены в следующей таблице.

Слагаемое

Распределение

а

b

L(I)

Формула

x

Aj

Bj

1

Т

10

12

2

(8.6)

0,26

10,26

11,74

2

Тр

50

55

5(1)

(8.8)

1,01

51,01

53,99

3

Р

8

13

5

(8.9)

0,18

8,18

12,82

4

Т

20

24

4

(8.6)

0,53

20,53

23,47

Сумма

88

104

89,98

102,02

МЕТОДИКА В. Прогноз произведения двух параметров

Иногда прогнозируемый показатель представляет собой произведение двух величин Y = VW , где одна величина — качественная характеристика (производительность труда, фондоотдача и т. п.), вторая — объемная величина (количество отработанного времени, размер фондов и пр.). Показатель Y прогнозируется не непосредственно, а на основе прогнозов сомножителей. Если рассматривать сомножители как независимые величины (а в большинстве случаев это правомерно), то методика сводится к следующему.

1. Для каждого сомножителя находится интервальный прогноз: V1, V2; W1,W2. При этом доверительная вероятность принимается на уровне P. Причем

.

Иначе говоря, прогноз сомножителей должен быть сделан с большей доверительной вероятностью, чем прогноз итогового показателя (см. табл. 8.4; в ней же приводятся соответствующие значения ).

Таблица 8.4

ДВ(%)

60

70

75

80

90

95

р (%)

77,5

83,7

86,6

89,4

94,9

97,5

0,112

0,082

0,067

0,053

0,026

0,013

2. Рассчитываются граничные значения прогнозного интервала как произведения V1W1, V2W2. С вероятностью ДВ можно утверждать, что реальное значение Y будет находиться в указанных пределах.

Можно применить и иной подход, взяв за базу средние распределений. Тогда последовательно находим: средние и дисперсии каждого распределения, произведение средних и дисперсию произведения. Последняя рассчитывается следующим образом47:

, (8.15)

где Dj и Mj дисперсия и средняя.

ПРИМЕР 4

Прогнозируется произведение двух случайных переменных, РВД которых показаны ниже в таблице. Доверительная вероятность принята на уровне 80%. Таким образом, Р = 100 = 89,4% . По табл. 8.4 находим = 0,053.

Применим первый из рассмотренных выше подходов. По формулам (8.6) и (8.9) определим значения х и границы прогнозных интервалов для каждого сомножителя.

Распределение

а

b

L

x

А

B

V

T

3

5

2

0,33

3,33

4,67

W

P

10

14

4

0,21

10,21

13,79

Y

34,00

64,40

Как видим, прогнозный интервал 34 — 64,4 довольно широк. Однако он уже, чем произведение граничных значений РВД (30 — 70).

Для применения второго метода рассчитаем средние и дисперсии.

Средняя

Дисперсия

V

4

0,167

W

12

1,333

Y

48

7,56

Для принятого уровня доверительной вероятности z = 1,28 (см. табл. 8.2). Границы прогнозного интервала составят:

А = 48 -1,28 x 7,56 = 38,32; B = 48 + 1,28 x 7,56 = 57,68.

Второй метод дает более узкий прогнозный интервал.

§ 8.3. Математическое приложение

Доказательство формулы (8.14)

Исходим из известного в математической статистике соотношения

Dx=E(x)2 - [E(x)]2, (1)

где Dxдисперсия случайной переменной x;

Е(х)математическое ожидание переменной x.

В силу (1) можно записать:

Dy = E(vw)2 - [E(vw)]2. (2)

Известно, что

E(vw) = E(v)E(w); E(vw)2 = E(v)2 E(w)2.

В свою очередь,

E(v)2 = Dv + [E(v)]2; E(w)2 = Dw + [E(w)]2.

Перепишем (2), использовав полученные выражения, и заменим математические ожидания переменных на соответствующие средние (Mv; Mw), после чего имеем:

.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Коэффициенты наращения дискретных рент

Таблица 1

Число пер-в n

Ставка процентов, %

1

2

3

4

5

6

1

1,0000000

1,0000000

1,0000000

1,0000000

1,0000000

1,0000000

2

2,0100000

2,0200000

2,0300000

2,0400000

2,0500000

2,0600000

3

3,0301000

3,0604000

3,0909000

3,1216000

3,1525000

3,1836000

4

4,0604010

4,1216080

4,1836270

4,2464640

4,3101250

4,3746160

5

5,1010050

5,2040402

5,3091358

5,4163226

5,5256313

5,6370930

6

6,1520151

6,3081210

6,4684099

6,6329755

6,8019128

6,9753185

7

7,2135352

7,4342834

7,6624622

7,8982945

8,1420085

8,3938376

8

8,2856706

8,5829691

8,8923360

9,2142263

9,5491089

9,8974679

9

9,3685273

9,7546284

10,1591061

10,5827953

11,0265643

11,4913160

10

10,4622125

10,9497210

11,4638793

12,0061071

12,5778925

13,1807949

11

11,5668347

12,1687154

12,8077957

13,4863514

14,2067872

14,9716426

12

12,6825030

13,4120897

14,1920296

15,0258055

15,9171265

16,8699412

13

13,8093280

14,6803315

15,6177904

16,6268377

17,7129828

18,8821377

14

14,9474213

15,9739382

17,0863242

18,2919112

19,5986320

21,0150659

15

16,0968955

17,2934169

18,5989139

20,0235876

21,5785636

23,2759699

16

17,2578645

18,6392853

20,1568813

21,8245311

23,6574918

25,6725281

17

18,4304431

20,0120710

21,7615877

23,6975124

25,8403664

28,2128798

18

19,6147476

21,4123124

23,4144354

25,6454129

28,1323847

30,9056525

19

20,8108950

22,8405586

25,1168684

27,6712294

30,5390039

33,7599917

20

22,0190040

24,2973698

26,8703745

29,7780786

33,0659541

36,7855912

21

23,2391940

25,7833172

28,6764857

31,9692017

35,7192518

39,9927267

22

24,4715860

27,2989835

30,5367803

34,2479698

38,5052144

43,3922903

23

25,7163018

28,8449632

32,4528837

36,6178886

41,4304751

46,9958277

24

26,9734649

30,4218625

34,4264702

39,0826041

44,5019989

50,8155774

25

28,2431995

32,0302997

36,4592643

41,6459083

47,7270988

54,8645120

26

29,5256315

33,6709057

38,5530423

44,3117446

51,1134538

59,1563827

27

30,8208878

35,3443238

40,7096335

47,0842144

54,6691264

63,7057657

28

32,1290967

37,0512103

42,9309225

49,9675830

58,4025828

68,5281116

29

33,4503877

38,7922345

45,2188502

52,9662863

62,3227119

73,6397983

30

34,7848915

40,5680792

47,5754157

56,0849378

66,4388475

79,0581862

31

36,1327404

42,3794408

50,0026782

59,3283353

70,7607899

84,8016774

32

37,4940679

44,2270296

52,5027585

62,7014687

75,2988294

90,8897780

33

38,8690085

46,1115702

55,0778413

66,2095274

80,0637708

97,3431647

34

40,2576986

48,0338016

57,7301765

69,8579085

85,0669594

104,1837546

35

41,6602756

49,9944776

60,4620818

73,6522249

90,3203074

111,4347799

36

43,0768784

51,9943672

63,2759443

77,5983138

95,8363227

119,1208667

37

44,5076471

54,0342545

66,1742226

81,7022464

101,6281389

127,2681187

38

45,9527236

56,1149396

69,1594493

85,9703363

107,7095458

135,9042058

39

47,4122509

58,2372384

72,2342328

90,4091497

114,0950231

145,0584581

40

48,8863734

60,4019832

75,4012597

95,0255157

120,7997742

154,7619656

41

50,3752371

62,6100228

78,6632975

99,8265363

127,8397630

165,0476836

42

51,8789895

64,8622233

82,0231965

104,8195978

135,2317511

175,9505446

43

53,3977794

67,1594678

85,4838923

110,0123817

142,9933387

187,5075772

44

54,9317572

69,5026571

89,0484091

115,4128770

151,1430056

199,7580319

45

56,4810747

71,8927103

92,7198614

121,0293920

159,7001559

212,7435138

Продолжение табл. 1

Число пер-в n

Ставка процентов, %

1

2

3

4

5

6

46

58,0458855

74,3305645

96,5014572

126,8705677

168,6851637

226,5081246

47

59,6263443

76,8171758

100,3965009

132,9453904

178,1194218

241,0986121

48

61,2226078

79,3535193

104,4083960

139,2632060

188,0253929

256,5645288

49

62,8348338

81,9405897

108,5406479

145,8337343

198,4266626

272,9584006

50

64,4631822

84,5794015

112,7968673

152,6670837

209,3479957

290,3359046

Продолжение табл. 1

Число пер-в n

Ставка процентов, %

7

8

9

10

11

12

1

1,0000000

1,0000000

1,0000000

1,0000000

1,0000000

1,0000000

2

2,0700000

2,0800000

2,0900000

2,1000000

2,1100000

2,1200000

3

3,2149000

3,2464000

3,2781000

3,3100000

3,3421000

3,3744000

4

4,4399430

4,5061120

4,5731290

4,6410000

4,7097310

4,7793280

5

5,7507390

5,8666010

5,9847106

6,1051000

6,2278014

6,3528474

6

7,1532907

7,3359290

7,5233346

7,7156100

7,9128596

8,1151890

7

8,6540211

8,9228034

9,2004347

9,4871710

9,7832741

10,0890117

8

10,2598026

10,6366276

11,0284738

11,4358881

11,8594343

12,2996931

9

11,9779887

12,4875578

13,0210364

13,5794769

14,1639720

14,7756563

10

13,8164480

14,4865625

15,1929297

15,9374246

16,7220090

17,5487351

11

15,7835993

16,6454875

17,5602934

18,5311671

19,5614300

20,6545833

12

17,8884513

18,9771265

20,1407198

21,3842838

22,7131872

24,1331333

13

20,1406429

21,4952966

22,9533846

24,5227121

26,2116378

28,0291093

14

22,5504879

24,2149203

26,0191892

27,9749834

30,0949180

32,3926024

15

25,1290220

27,1521139

29,3609162

31,7724817

34,4053590

37,2797147

16

27,8880536

30,3242830

33,0033987

35,9497299

39,1899485

42,7532804

17

30,8402173

33,7502257

36,9737046

40,5447028

44,5008428

48,8836741

18

33,9990325

37,4502437

41,3013380

45,5991731

50,3959355

55,7497150

19

37,3789648

41,4462632

46,0184584

51,1590904

56,9394884

63,4396808

Продолжение табл. 1

Число пер-в n

Ставка процентов, %

7

8

9

10

11

12

20

40,9954923

45,7619643

51,1601196

57,2749995

64,2028321

72,0524424

21

44,8651768

50,4229214

56,7645304

64,0024994

72,2651437

81,6987355

22

49,0057392

55,4567552

62,8733381

71,4027494

81,2143095

92,5025838

23

53,4361409

60,8932956

69,5319386

79,5430243

91,1478835

104,6028939

24

58,1766708

66,7647592

76,7898131

88,4973268

102,1741507

118,1552411

25

63,2490377

73,1059400

84,7008962

98,3470594

114,4133073

133,3338701

26

68,6764704

79,9544151

93,3239769

109,1817654

127,9987711

150,3339345

27

74,4838233

87,3507684

102,7231348

121,0999419

143,0786359

169,3740066

28

80,6976909

95,3388298

112,9682169

134,2099361

159,8172859

190,6988874

29

87,3465293

103,9659362

124,1353565

148,6309297

178,3971873

214,5827539

30

94,4607863

113,2832111

136,3075385

164,4940227

199,0208779

241,3326843

31

102,0730414

123,3458680

149,5752170

181,9434250

221,9131745

271,2926065

32

110,2181543

134,2135374

164,0369865

201,1377675

247,3236237

304,8477192

33

118,9334251

145,9506204

179,8003153

222,2515442

275,5292223

342,4294455

34

128,2587648

158,6266701

196,9823437

245,4766986

306,8374368

384,5209790

35

138,2368784

172,3168037

215,7107547

271,0243685

341,5895548

431,6634965

36

148,9134598

187,1021480

236,1247226

299,1268053

380,1644058

484,4631161

37

160,3374020

203,0703198

258,3759476

330,0394859

422,9824905

543,5986900

38

172,5610202

220,3159454

282,6297829

364,0434344

470,5105644

609,8305328

39

185,6402916

238,9412210

309,0664633

401,4477779

523,2667265

684,0101967

40

199,6351120

259,0565187

337,8824450

442,5925557

581,8260664

767,0914203

41

214,6095698

280,7810402

369,2918651

487,8518112

646,8269337

860,1423908

42

230,6322397

304,2435234

403,5281330

537,6369924

718,9778964

964,3594777

43

247,7764965

329,5830053

440,8456649

592,4006916

799,0654650

1081,082615

44

266,1208513

356,9496457

481,5217748

652,6407608

887,9626662

1211,812529

45

285,7493108

386,5056174

525,8587345

718,9048369

986,6385595

1358,230032

46

306,7517626

418,4260668

574,1860206

791,7953205

1096,168801

1522,217636

47

329,2243860

452,9001521

626,8627625

871,9748526

1217,747369

1705,883752

48

353,2700930

490,1321643

684,2804111

960,1723378

1352,699580

1911,589803

49

378,9989995

530,3427374

746,8656481

1057,189572

1502,496533

2141,980579

50

406,5289295

573,7701564

815,0835564

1163,908529

1668,771152

2400,018249

Продолжение табл. 1

Число пер-в n

Ставка процентов, %

13

14

15

18

20

25

1

1,0000000

1,0000000

1,0000000

1,0000000

1,0000000

1,0000000

2

2,130000.0

2,1400000

2,1500000

2,1800000

2,2000000

2,2500000

3

3,4069000

3,4396000

3,4725000

3,5724000

3,6400000

3,8125000

4

4,8497970

4,9211440

4,9933750

5,2154320

5,3680000

5,7656250

5

6,4802706

6,6101042

6,7423813

7,1542098

7,4416000

8,2070313

6

8,3227058

8,5355187

8,7537384

9,4419675

9,9299200

11,2587891

7

10,4046575

10,7304914

11,0667992

12,1415217

12,9159040

15,0734863

8

12,7572630

13,2327602

13,7268191

15,3269956

16,4990848

19,8418579

9

15,4157072

16,0853466

16,7858419

19,0858548

20,7989018

25,8023224

10

18,4197492

19,3372951

20,3037182

23,5213086

25,9586821

33,2529030

И

21,8143165

23,0445164

24,3492760

28,7551442

32,1504185

42,5661287

12

25,6501777

27,2707487

29,0016674

34,9310701

39,5805022

54,2076609

13

29,9847008

32,0886535

34,3519175

42,2186628

48,4966027

68,7595761

14

34,8827119

37,5810650

40,5047051

50,8180221

59,1959232

86,9494702

15

40,4174644

43,8424141

47,5804109

60,9652660

72,0351079

109,6868377

16

46,6717348

50,9803521

55,7174725

72,9390139

87,4421294

138,1085472

17

53,7390603

59,1176014

65,0750934

87,0680364

105,9305553

173,6356839

18

61,7251382

68,3940656

75,8363574

103,7402830

128,1166664

218,0446049

19

70,7494062

78,9692348

88,2118110

123,4135339

154,7399997

273,5557562

20

80,9468290

91,0249277

102,4435826

146,6279700

186,6879996

342,9446952

21

92,4699167

104,7684175

118,8101200

174,0210046

225,0255995

429,6808690

22

105,4910059

120,4359960

137,6316380

206,3447855

271,0307195

538,1010862

23

120,2048367

138,2970354

159,2763837

244,4868468

326,2368633

673,6263578

24

136,8314654

158,6586204

184,1678413

289,4944793

392,4842360

843,0329473

25

155,6195559

181,8708272

212,7930175

342,6034855

471,9810832

1054,791184

26

176,8500982

208,3327430

245,7119701

405,2721129

567,3772999

1319,488980

27

200,8406110

238,4993271

283,5687656

479,2210933

681,8527598

1650,361225

28

227,9498904

272,8892329

327,1040804

566,4808901

819,2233118

2063,951531

29

258,5833762

312,0937255

377,1696925

669,4474503

984,0679742

2580,939414

30

293,1992151

356,7868470

434,7451464

790,9479913

1181,881569

3227,174268

Продолжение табл. 1

Число пер-в n

Ставка процентов, %

13

14

15

18

20

25

31

332,3151130

407,7370056

500,9569183

934,3186298

1419,257883

4034,967835

32

376,5160777

465,8201864

577,1004561

1103,495983

1704,109459

5044,709793

33

426,4631678

532,0350125

664,6655245

1303,125260

2045,931351

6306,887242

34

482,9033796

607,5199142

765,3653532

1538,687807

2456,117621

7884,609052

35

546,6808190

693,5727022

881,1701561

1816,651612

2948,341146

9856,761315

36

618,7493254

791,6728805

1014,345680

2144,648902

3539,009375

12321,95164

37

700,1867377

903,5070838

1167,497532

2531,685705

4247,811250

15403,43956

38

792,2110137

1030,998076

1343,622161

2988,389132

5098,373500

19255,29944

39

896,1984454

1176,337806

1546,165485

3527,299175

6119,048200

24070,12430

40

1013,704243

1342,025099

1779,090308

4163,213027

7343,857840

30088,65538

41

1146,485795

1530,908613

2046,953854

4913,591372

8813,629408

37611,81923

42

1296,528948

1746,235819

2354,996933

5799,037819

10577,35529

47015,77403

43

1466,077712

1991,708833

2709,246473

6843,864626

12693,82635

58770,71754

44

1657,667814

2271,548070

3116,633443

8076,760259

15233,59162

73464,39693

45

1874,164630

2590,564800

3585,128460

9531,577105

18281,30994

91831,49616

46

2118,806032

2954,243872

4123,897729

11248,26098

21938,57193

114790,3702

47

2395,250816

3368,838014

4743,482388

13273,94796

26327,28631

143488,9627

48

2707,633422

3841,475336

5456,004746

15664,25859

31593,74358

179362,2034

49

3060,625767

4380,281883

6275,405458

18484,82514

37913,49229

224203,7543

50

3459,507117

4994,521346

7217,716277

21813,09367

45497,19075

280255,6929

Коэффициенты приведения дискретных рент

Таблица 2

Число пер-в n

Ставка процентов, %

1

2

3

4

5

6

1

0,9900990

0,9803922

0,9708738

0,9615385

0,9523810

0,9433962

2

1,9703951

1,9415609

1,9134697

1,8860947

1,8594104

1,8333927

3

2,9409852

2,8838833

2,8286114

2,7750910

2,7232480

2,6730119

4

3,9019656

3,8077287

3,7170984

3,6298952

3,5459505

3,4651056

5

4,8534312

4,7134595

4,5797072

4,4518223

4,3294767

4,2123638

6

5,7954765

5,6014309

5,4171914

5,2421369

5,0756921

4,9173243

7

6,7281945

6,4719911

6,2302830

6,0020547

5,7863734

5,5823814

8

7,6516778

7,3254814

7,0196922

6,7327449

6,4632128

6,2097938

9

8,5660176

8,1622367

7,7861089

7,4353316

7,1078217

6,8016923

10

9,4713045

8,9825850

8,5302028

8,1108958

7,7217349

7,3600871

11

10,3676282

9,7868480

9,2526241

8,7604767

8,3064142

7,8868746

12

11,2550775

10,5753412

9,9540040

9,3850738

8,8632516

8,3838439

13

12,1337401

11,3483737

10,6349553

9,9856478

9,3935730

8,8526830

14

13,0037030

12,1062488

11,2960731

10,5631229

9,8986409

9,2949839

15

13,8650525

12,8492635

11,9379351

11,1183874

10,3796580

9,7122490

16

14,7178738

13,5777093

12,5611020

11,6522956

10,8377696

10,1058953

17

15,5622513

14,2918719

13,1661185

12,1656689

11,2740662

10,4772597

18

16,3982686

14,9920313

13,7535131

12,6592970

11,6895869

10,8276035

19

17,2260085

15,6784620

14,3237991

13,1339394

12,0853209

11,1581165

20

18,0455530

16,3514333

14,8774749

13,5903263

12,4622103

11,4699212

21

18,8569831

17,0112092

15,4150241

14,0291599

12,8211527

11,7640766

22

19,6603793

17,6580482

15,9369166

14,4511153

13,1630026

12,0415817

23

20,4558211

18,2922041

16,4436084

14,8568417

13,4885739

12,3033790

24

21,2433873

18,9139256

16,9355421

15,2469631

13,7986418

12,5503575

25

22,0231557

19,5234565

17,4131477

15,6220799

14,0939446

12,7833562

26

22,7952037

20,1210358

17,8768424

15,9827692

14,3751853

13,0031662

Продолжение табл. 2

Число пер-в n

Ставка процентов, %

1

2

3

4

5

6

27

23,5596076

20,7068978

18,3270315

16,3295857

14,6430336

13,2105341

28

24,3164432

21,2812724

18,7641082

16,6630632

14,8981273

13,4061643

29

25,0657853

21,8443847

19,1884546

16,9837146

15,1410736

13,5907210

30

25,8077082

22,3964556

19,6004413

17,2920333

15,3724510

13,7648312

31

26,5422854

22,9377015

20,0004285

17,5884936

15,5928105

13,9290860

32

27,2695895

23,4683348

20,3887655

17,8735515

15,8026767

14,0840434

33

27,9896925

23,9885636

20,7657918

18,1476457

16,0025492

14,2302296

34

28,7026659

24,4985917

21,1318367

18,4111978

16,1929040

14,3681411

35

29,4085801

24,9986193

21,4872201

18,6646132

16,3741943

14,4982464

36

30,1075050

25,4888425

21,8322525

18,9082820

16,5468517

14,6209871

37

30,7995099

25,9694534

22,1672354

19,1425788

16,7112873

14,7367803

38

31,4846633

26,4406406

22,4924616

19,3678642

16,8678927

14,8460192

39

32,1630330

26,9025888

22,8082151

19,5844848

17,0170407

14,9490747

40

32,8346861

27,3554792

23,1147720

19,7927739

17,1590864

15,0462969

41

33,4996892

27,7994895

23,4124000

19,9930518

17,2943680

15,1380159

42

34,1581081

28,2347936

23,7013592

20,1856267

17,4232076

15,2245433

43

34,8100081

28,6615623

23,9819021

20,3707949

17,5459120

15,3061729

44

35,4554535

29,0799631

24,2542739

20,5488413

17,6627733

15,3831820

45

36,0945084

29,4901599

24,5187125

20,7200397

17,7740698

15,4558321

46

36,7272361

29,8923136

24,7754491

20,8846536

17,8800665

15,5243699

47

37,3536991

30,2865820

25,0247078

21,0429361

17,9810157

15,5890282

48

37,9739595

30,6731196

25,2667066

21,1951309

18,0771578

15,6500266

49

38,5880787

31,0520780

25,5016569

21,3414720

18,1687217

15,7075723

50

39,1961175

31,4236059

25,7297640

21,4821846

18,2559255

15,7618606

Продолжение табл. 2

Число пер-в n

Ставка процентов, %

7

8

9

10

11

12

1

0,9345794

0,9259259

0,9174312

0,9090909

0,9009009

0,8928571

2

1,8080182

1,7832647

1,7591112

1,7355372

1,7125233

1,6900510

3

2,6243160

2,5770970

2,5312947

2,4868520

2,4437147

2,4018313

4

3,3872113

3,3121268

3,2397199

3,1698654

3,1024457

3,0373493

5

4,1001974

3,9927100

3,8896513

3,7907868

3,6958970

3,6047762

6

4,7665397

4,6228797

4,4859186

4,3552607

4,2305379

4,1114073

7

5,3892894

5,2063701

5,0329528

4,8684188

4,7121963

4,5637565

8

5,9712985

5,7466389

5,5348191

5,3349262

5,1461228

4,9676398

9

6,5152322

6,2468879

5,9952469

5,7590238

5,5370475

5,3282498

10

7,0235815

6,7100814

6,4176577

6,1445671

5,8892320

5,6502230

11

7,4986743

7,1389643

6,8051906

6,4950610

6,2065153

5,9376991

12

7,9426863

7,5360780

7,1607253

6,8136918

6,4923561

6,1943742

13

8,3576507

7,9037759

7,4869039

7,1033562

6,7498704

6,4235484

14

8,7454680

8,2442370

7,7861504

7,3666875

6,9818652

6,6281682

15

9,1079140

8,5594787

8,0606884

7,6060795

7,1908696

6,8108645

16

9,4466486

8,8513692

8,3125582

7,8237086

7,3791618

6,9739862

17

9,7632230

9,1216381

8,5436314

8,0215533

7,5487944

7,1196305

18

10,0590869

9,3718871

8,7556251

8,2014121

7,7016166

7,2496701

19

10,3355952

9,6035992

8,9501148

8,3649201

7,8392942

7,3657769

20

10,5940142

9,8181474

9,1285457

8,5135637

7,9633281

7,4694436

21

10,8355273

10,0168032

9,2922437

8,6486943

8,0750704

7,5620032

22

11,0612405

10,2007437

9,4424254

8,7715403

8,1757391

7,6446457

23

11,2721874

10,3710589

9,5802068

8,8832184

8,2664316

7,7184337

24

11,4693340

10,5287583

9,7066118

8,9847440

8,3481366

7,7843158

25

11,6535832

10,6747762

9,8225796

9,0770400

8,4217447

7,8431391

26

11,8257787

10,8099780

9,9289721

9,1609455

8,4880583

7,8956599

27

11,9867090

10,9351648

10,0265799

9,2372232

8,5478002

7,9425535

28

12,1371113

11,0510785

10,1161284

9,3065665

8,6016218

7,9844228

29

12,2776741

11,1584060

10,1982829

9,3696059

8,6501098

8,0218060

30

12,4090412

11,2577833

10,2736540

9,4269145

8,6937926

8,0551840

31

12,5318142

11,3497994

10,3428019

9,4790132

8,7331465

8,0849857

Продолжение табл. 2

Число пер-в n

Ставка процентов, %

7

8

9

10

11

12

32

12,6465553

11,4349994

10,4062403

9,5263756

8,7686004

8,1115944

33

12,7537900

11,5138884

10,4644406

9,5694324

8,8005409

8,1353521

34

12,8540094

11,5869337

10,5178354

9,6085749

8,8293161

8,1565644

35

12,9476723

11,6545682

10,5668215

9,6441590

8,8552398

8,1755039

36

13,0352078

11,7171928

10,6117628

9,6765082

8,8785944

8,1924142

37

13,1170166

11,7751785

10,6529934

9,7059165

8,8996346

8,2075127

38

13,1934735

11,8288690

10,6908196

9,7326514

8,9185897

8,2209935

39

13,2649285

11,8785824

10,7255226

9,7569558

8,9356664

8,2330299

40

13,3317088

11,9246133

10,7573602

9,7790507

8,9510508

8,2437767

41

13,3941204

11,9672346

10,7865690

9,7991370

8,9649106

8,2533720

42

13,4524490

12,0066987

10,8133660

9,8173973

8,9773970

8,2619393

43

13,5069617

12,0432395

10,8379505

9,8339975

8,9886459

8,2695887

44

13,5579081

12,0770736

10,8605050

9,8490887

8,9987801

8,2764185

45

13,6055216

12,1084015

10,8811973

9,8628079

9,0079100

8,2825165

46

13,6500202

12,1374088

10,9001810

9,8752799

9,0161351

8,2879611

47

13,6916076

12,1642674

10,9175972

9,8866181

9,0235452

8,2928225

48

13,7304744

12,1891365

10,9335755

9,8969255

9,0302209

8,2971629

49

13,7667985

12,2121634

10,9482344

9,9062959

9,0362350

8,3010383

50

13,8007463

12,2334846

10,9616829

9,9148145

9,0416532

8,3044985

Продолжение табл. 2

Число пер-в n

Ставка процентов, %

13

14

15

18

20

25

1

0,8849558

0,8771930

0,8695652

0,8474576

0,8333333

0,8000000

2

1,6681024

1,6466605

1,6257089

1,5656421

1,5277778

1,4400000

3

2,3611526

2,3216320

2,2832251

2,1742729

2,1064815

1,9520000

4

2,9744713

2,9137123

2,8549784

2,6900618

2,5887346

2,3616000

5

3,5172313

3,4330810

3,3521551

3,1271710

2,9906121

2,6892800

Продолжение табл. 2

Число пер-в n

Ставка процентов, %

13

14

15

18

20

25

6

3,9975498

3,8886675

3,7844827

3,4976026

3,3255101

2,9514240

7

4,4226104

4,2883048

4,1604197

3,8115276

3,6045918

3,1611392

8

4,7987703

4,6388639

4,4873215

4,0775658

3,8371598

3,3289114

9

5,1316551

4,9463718

4,7715839

4,3030218

4,0309665

3,4631291

10

5,4262435

5,2161156

5,0187686

4,4940863

4,1924721

3,5705033

11

5,6869411

5,4527330

5,2337118

4,6560053

4,3270601

3,6564026

12

5,9176470

5,6602921

5,4206190

4,7932249

4,4392167

3,7251221

13

6,1218115

5,8423615

5,5831470

4,9095126

4,5326806

3,7800977

14

6,3024881

6,0020715

5,7244756

5,0080615

4,6105672

3,8240781

15

6,4623788

6,1421680

5,8473701

5,0915776

4,6754726

3,8592625

16

6,6038751

6,2650596

5,9542349

5,1623539

4,7295605

3,8874100

17

6,7290930

6,3728593

6,0471608

5,2223338

4,7746338

3,9099280

18

6,8399053

6,4674205

6,1279659

5,2731642

4,8121948

3,9279424

19

6,9379693

6,5503688

6,1982312

5,3162409

4,8434957

3,9423539

20

7,0247516

6,6231306

6,2593315

5,3527465

4,8695797

3,9538831

21

7,1015501

6,6869566

6,3124622

5,3836835

4,8913164

3,9631065

22

7,1695133

6,7429444

6,3586627

5,4099012

4,9094304

3,9704852

23

7,2296578

6,7920565

6,3988372

5,4321197

4,9245253

3,9763882

24

7,2828830

6,8351373

6,4337714

5,4509489

4,9371044

3,9811105

25

7,3299850

6,8729274

6,4641491

5,4669058

4,9475870

3,9848884

26

7,3716681

6,9060767

6,4905644

5,4804287

4,9563225

3,9879107

27

7,4085559

6,9351550

6,5135343

5,4918887

4,9636021

3,9903286

28

7,4411999

6,9606623

6,5335081

5,5016006

4,9696684

3,9922629

29

7,4700884

6,9830371

6,5508766

5,5098310

4,9747237

3,9938103

30

7,4956534

7,0026641

6,5659796

5,5168060

4,9789364

3,9950482

31

7,5182774

7,0198808

6,5791127

5,5227169

4,9824470

3,9960386

32

7,5382986

7,0349832

6,5905328

5,5277262

4,9853725

3,9968309

33

7,5560164

7,0482308

6,6004633

5,5319713

4,9878104

3,9974647

34

7,5716960

7,0598516

6,6090985

5,5355689

4,9898420

3,9979718

35

7,5855716

7,0700453

6,6166074

5,5386177

4,9915350

3,9983774

36

7,5978510

7,0789871

6,6231369

5,5412015

4,9929458

3,9987019

Продолжение табл. 2

Число пер-в n

Ставка процентов, %

13

14

15

18

20

25

37

7,6087177

7,0868308

6,6288147

5,5433911

4,9941215

3,9989615

38

7,6183343

7,0937112

6,6337519

5,5452467

4,9951013

3,9991692

39

7,6268445

7,0997467

6,6380451

5,5468192

4,9959177

3,9993354

40

7,6343756

7,1050409

6,6417784

5,5481519

4,9965981

3,9994683

41

7,6410404

7,1096850

6,6450247

5,5492813

4,9971651

3,9995746

42

7,6469384

7,1137588

6,6478475

5,5502384

4,9976376

3,9996597

43

7,6521579

7,1173323

6,6503022

5,5510495

4,9980313

3,9997278

44

7,6567769

7,1204669

6,6524367

5,5517368

4,9983594

3,9997822

45

7,6608645

7,1232166

6,6542928

5,5523193

4,9986329

3,9998258

46

7,6644819

7,1256286

6,6559068

5,5528130

4,9988607

3,9998606

47

7,6676831

7,1277444

6,6573102

5,5532314

4,9990506

3,9998885

48

7,6705160

7,1296003

6,6585306

5,5535859

4,9992088

3,9999108

49

7,6730230

7,1312284

6,6595919

5,5538864

4,9993407

3,9999286

50

7,6752416

7,1326565

6,6605147

5,5541410

4,9994506

3,9999429

Таблица 3 Коэффициенты наращения непрерывных рент (*стр. 235, проверить по первоисточнику)

Число пер-в n

Сила роста, %

1

2

3

4

5

6

1

1,0050167

1,0100670

1,0151511

1,0202694

1,0254219

1,0306091

2

2,0201340

2,0405387

2,0612182

2,0821767

2,1034184

2,1249475

3

3,0454534

3,0918273

3,1391428

3,1874213

3,2366849

3,2869561

4

4,0810774

4,1643534

4,2498951

4,3377718

4,4280552

4,5208192

5

5,1271096

5,2585459

5,3944748

5,5350690

5,6805283*

5,8309801

6

6,1836547

6,3748426

6,5739121

6,7812288

6,9971762

7,2221569

7

7,2508181

7,5136899

7,7892687

8,0782453

8,3813510

8,6993593

8

8,3287068

8,6755435

9,0416383

9,4281941

9,8364940

10,2679067

9

9,4174284

9,8608682

10,3321484

10,8332354

11,3662437

11,9334477

10

10,5170918

11,0701379

11,6619603

12,2956174

12,9744254

13,7019800

11

11,6278070

12,3038365

13,0322709

13,8176805

14,6650604

15,5798722

12

12,7496852

13,5624575

14,4443138

15,4018601

16,4423760

17,5738868

13

13,8828383

14,8465043

15,8993598

17,0506912

18,3108166

19,6912044

14

15,0273799

16,1564906

17,3987185

18,7668125

20,2750541

21,9394496

15

16,1834243

17,4929404

18,9437395

20,5529700

22,3400003

24,3267185

16

17,3510871

18,8563882

20,5358134

22,4120220

24,5108186

26,8616079

17

18,5304851

20,2473795

22,1763732

24,3469433

26,7929370

29,5532461

18

19,7217363

21,6664707

23,8668954

26,3608303

29,1920622

32,4113259

19

20,9249598

23,1142295

25,6089017

28,4569055

31,7141932

35,4461394

20

22,1402758

24,5912349

27,4039600

30,6385232

34,3656366

38,6686154

21

23,3678060

26,0980778

29,2536860

32,9091744

37,1530224

42,0903581

22

24,6076731

27,6353609

31,1597445

35,2724927

40,0833205

45,7236896

23

25,8600010

29,2036992

33,1238511

37,7322597

43,1638582

49,5816938

24

27,1249150

30,8037201

35,1477737

40,2924118

46,4023385

53,6782636

25

28,4025417

32,4360635

37,2333339

42,9570457

49,8068591

58,0281512

26

29,6930087

34,1013825

39,3824088

45,7304254

53,3859334

62,6470208

27

30,9964451

35,8003431

41,5969329

48,6169888

57,1485106

67,5515053

28

32,3129812

37,5336250

43,8788992

51,6213551

61,1039993

72,7592662

29

33,6427488

39,3019215

46,2303618

54,7483319

65,2622903

78,2890570

30

34,9858808

41,1059400

48,6534370

58,0029231

69,6337814

84,1607911

31

36,3425114

42,9464021

51,1503059

61,3903366

74,2294037

90,3956129

32

37,7127764

44,8240440

53,7232158

64,9159931

79,0606485

97,0159745

33

39,0968128

46,7396167

56,3744824

68,5855344

84,1395965

104,045716

34

40,4947591

48,6938866

59,1064921

72,4048325

89,4789478

111,510153

35

41,9067549

50,6876354

61,9217039

76,3799992

95,0920535

119,436165

36

43,3329415

52,7216605

64,8226517

80,5173954

100,992949

127,852294

37

44,7734615

54,7967757

67,8119465

84,8236420

107,196390

136,788848

38

46,2284589

56,9138110

70,8922788

89,3056299

113,717889

146,278007

39

47,6980794

59,0736133

74,0664213

93,9705311

120,573752

156,353943

40

49,1824698

61,2770464

77,3372308

98,8258106

127,781122

167,052940

41

50,6817785

63,5249919

80,7076512

103,879238

135,358022

178,413526

42

52,1961556

65,8183488

84,1807162

109,138899

143,323398

190,476611

43

53,7257524

68,1580347

87,7595519

114,613212

151,697168

203,285636

44

55,2707219

70,5449853

91,4473792

120,310935

160,500270

216,886727

45

56,8312185

72,9801556

95,2475177

126,241187

169,754717

231,328862

46

58,4073985

75,4645195

99,1633876

132,413457

179,483649

246,664049

47

59,9994193

77,9990709

103,198513

138,837622

189,711394

262,947511

48

61,6074402

80,5848237

107,356527

145,523962

200,463528

280,237886

49

63,2316220

83,2228121

111,641171

152,483177

211,766934

298,597439

50

64,8721271

85,9140914

116,056302

159,726402

223,649879

318,092282

Продолжение табл. 3

Число пер-в n

Сила роста, %

7

8

9

10

11

12

1

1,0358312

1,0410883

1,0463809

1,0517092

1,0570734

1,0624738

2

2,1467686

2,1688859

2,1913040

2,2140276

2,2370612

2,2604096

3

3,3382580

3,3906144

3,4440495

3,4985881

3,5542557

3,6110785

4

4,6161402

4,7140971

4,8147713

4,9182470

5,0246111

5,1339534

5

5,9866793

6,1478087

6,3145798

6,4872127

6,6659365

6,8509900

6

7,4565937

7,7009300

7,9556318

8,2211880

8,4981121

8,7869434

7

9,0330889

9,3834063

9,7512287

10,1375271

10,5433296

10,9697248

8

10,7238929

11,2060110

11,7159246

12,2554093

12,8263610

13,4308039

9

12,5372940

13,1804151

13,8656443

14,5960311

15,3748588

16,2056629

10

14,4821815

15,3192616

16,2178123

17,1828183

18,2196911

19,3343077

11

16,5680893

17,6362463

18,7914941

20,0416602

21,3953150

22,8618448

12

18,8052425

20,1462059

21,6075506

23,2011692

24,9401943

26,8391318

13

21,2046076

22,8652127

24,6888071

26,6929667

28,8972654

31,3235104

14

23,7779463

25,8106775

28,0602387

30,5519997

33,3144570

36,3796331

15

26,5378731

29,0014615

31,7491726

34,8168907

38,2452712

42,0803955

16

29,4979172

32,4579966

35,7855091

39,5303242

43,7494309

48,5079872

17

32,6725887

36,2024163

40,2019647

44,7394739

49,8936036

55,7550767

18

36,0774498

40,2586977

45,0343369

50,4964746

56,7522090

63,9261472

19

39,7291913

44,6528149

50,3217942

56,8589444

64,4083197

73,1390034

20

43,6457138

49,4129053

56,1071940

63,8905610

72,9546682

83,5264698

21

47,8462163

54,5694496

62,4374298

71,6616991

82,4947696

95,2383055

22

52,3512896

60,1554674

69,3638109

80,2501350

93,1441756

108,4433634

23

57,1830175

66,2067283

76,9424791

89,7418245

105,0318740

123,3320246

24

62,3650853

72,7619809

85,2348629

100,2317638

118,3018510

140,1189432

25

67,9228954

79,8632012

94,3081760

111,8249396

133,1148353

159,0461410

26

73,8836921

87,5558614

104,2359618

124,6373804

149,6502449

180,3864970

27

80,2766954

95,8892207

115,0986898

138,7973172

168,1083600

204,4476812

28

87,1332438

104,9166411

126,9844074

154,4464677

188,7127491

231,5765907

29

94,4869480

114,6959288

139,9894539

171,7414537

211,7129768

262,1643506

30

102,3738559

125,2897048

154,2192414

190,8553692

237,3876266

296,6519537

31

110,8326292

136,7658052

169,7891089

211,9795128

266,0476751

335,5366176

32

119,9047327

149,1977164

186,8252576

235,3253020

298,0402588

379,3789537

33

129,6346379

162,6650451

205,4657733

261,1263892

333,7528783

428,811050

34

140,0700409

177,2540281

225,8617462

289,6410005

373,6180924

484,545582

35

151,2620960

193,0580846

248,1784953

321,1545196

418,1187567

547,386092

36

163,2656666

210,1784147

272,5969083

355,9823444

467,793872

618,238569

37

176,1395943

228,7246469

299,3149078

394,4730436

523,245114

698,124514

38

189,9469871

248,8155404

328,5490558

437,0118449

585,144120

788,195665

39

204,7555289

270,5797455

360,5363087

484,0244911

654,240623

889,750605

40

220,6378110

294,1566275

395,5359383

535,9815003

731,371533

1004,253479

41

237,6716886

319,6971587

433,8316329

593,402876

817,471077

1133,355110

42

255,9406616

347,3648860

475,7337971

656,863310

913,582110

1278,916792

43

275,5342846

377,3369771

521,5820676

726,997937

1020,868749

1443,037130

44

296,5486057

409,8053558

571,7480661

804,508687

1140,630470

1628,082295

45

19,0866369

444,9779305

626,6384116

890,171313

1274,317854

1836,720135

46

343,2588597

483,0799259

686,6980161

984,843156

1423,550148

2071,958643

47

369,1837665

524,3553247

752,413691

1089,471725

1590,134886

2337,189321

48

396,9884411

569,0684305

824,318092

1205,104175

1776,089776

2636,236074

49

426,8091821

617,5055597

902,994039

1332,897797

1983,667141

2973,410348

50

458,7921708

669,9768754

989,079237

1474,131591

2215,381202

3353,573279

Продолжение табл. 3

Число пер-в n

Сила роста, %

13

14

15

18

20

25

1

1,0679106

1,0733843

1,0788950

1,0956520

1,1070138

1,1361017

2

2,2840776

2,3080701

2,3323921

2,4073856

2,4591235

2,5948851

3

3,6690830

3,7282968

3,7887479

3,9778159

4,1105940

4,4680001

4

5,2463665

5,3619464

5,4807920

5,8579623

6,1277046

6,8731273

5

7,0426218

7,2410908

7,4466668

8,1089062

8,5914091

9,9613718

6

9,0882482

9,4026213

9,7306874

10,8037753

11,6005846

13,9267563

7

11,4178656

11,8889732

12,3843408

14,0301194

15,2759998

19,0184107

8

14,0709001

14,7489586

15,4674462

17,8927545

19,7651621

25,5562244

9

17,0922511

18,0387249

19,0495035

22,5171684

25,2482373

33,9509433

10

20,5330513

21,8228569

23,2112605

28,0535970

31,9452805

44,7299758

11

24,4515322

26,1756448

28,0465322

34,6819055

40,1250675

58,5705275

12

28,9140096

31,1825427

33,6643164

42,6174314

50,1158819

76,3421477

13

33,9960054

36,9418461

40,1912505

52,1179809

62,3186902

99,1613597

14

39,7835265

43,5666219

47,7744661

63,4922037

77,2232339

128,4618078

15

46,3745199

51,1869279

56,5849056

77,1096207

95,4276846

166,0843280

16

53,8805301

59,9523663

66,8211759

93,4126288

117,6626510

214,3926001

17

62,4285876

70,0350205

78,7140252

112,9308731

144,8205002

276,4216494

18

72,1633582

81,6328333

92,5315448

136,2984542

177,9911722

356,0685252

19

83,2495912

94,9734936

108,5852123

164,2745279

218,5059225

458,3371381

20

95,8749080

110,3189055

127,2369128

197,7679691

267,9907502

589,6526364

21

110,2529771

127,9703308

148,9070972

237,8668985

328,4316552

758,2650738

22

126,6271303

148,2743028

174,0842595

285,8740331

402,2543433

974,7677291

23

145,2744807

171,6294299

203,3359487

343,3490081

492,4215782

1252,762641

24

166,5106126

198,4942206

237,3215630

412,1590461

602,5520876

1609,715174

25

190,6949224

229,3960854

276,8072133

494,5396183

737,0657955

2068,051299

26

218,2367009

264,9416909

322,6829940

593,1670698

901,3612094

2656,566532

27

249,6020599

305,8288695

375,9830470

711,2455673

1102,032081

3412,235050

28

285,3218210

352,8603198

437,9088736

852,6111946

1347,132037

4382,532634

29

326,0004987

406,9593648

509,8564195

1021,856578

1646,497800

5628,419393

30

372,3265316

469,1880789

593,4475420

1224,480090

2012,143967

7228,169658

31

425,0839327

540,7681381

690,5665705

1467,064477

2458,745205

9282,289658

32

485,1655585

623,1048048

803,4027835

1757,490716

3004,225189

11919,83195

33

553,5882192

717,8145152

934,4997595

2105,194053

3670,475946

15306,50329

34

631,5098874

826,7566136

1086,812715

2521,470525

4484,236458

19655,07536

35

720,2492947

952,0698549

1263,775123

3019,843945

5478,165792

25238,75243

36

821,3082505

1096,214393

1469,376108

3616,505257

6692,153822

32408,33571

37

936,3970578

1262,020079

1708,250373

4330,838540

8174,922150

41614,26287

38

1067,463458

1452,742014

1985,782673

5186,050748

9985,979476

53434,90732

39

1216,725595

1672,124460

2308,229203

6209,925654

12198,00989

68612,91524

40

1386,709553

1924,474339

2682,858623

7435,726469

14899,78994

88101,86318

41

1580,292109

2214,745793

3118,115912

8903,276488

18199,75154

113126,1677

42

1800,749418

2548,637441

3623,812734

10660,25285

22230,33374

145258,0107

43

2051,812459

2932,704255

4211,348619

12763,73546

27153,29796

186516,1138

44

2337,730177

3374,486249

4893,967928

15282,06137

33166,22003

239492,5669

45

2663,341388

3882,656501

5687,058417

18297,04486

40510,41964

307515,6791

46

3034,156678

4467,191427

6608,498104

21906,63546

49480,64529

394859,0840

47

3456,451655

5139,566637

7679,058285

26228,09999

60436,90365

507010,2360

48

3937,373161

5912,982225

8922,871763

31401,83236

73818,90783

651015,1657

49

4485,060222

6802,621911

10367,97685

37595,91458

90163,72464

835921,1555

50

5108,781793

7825,951132

12046,94943

45011,57738

110127,3290

1073345,146

Коэффициенты приведения непрерывных рент

Таблица 4

Число пер-в n

Сила роста, %

1

2

4

5

6

7

1

0,9950166

0,9900663

0,9802640

0,9754115

0,9705911

0,9658026

2

1,9801327

1,9605280

1,9220913

1,9032516

1,8846594

1,8663109

3

2,9554466

2,9117733

2,8269891

2,7858405

2,7454965

2,7059393

4

3,9210561

3,8441827

3,6964053

3,6253849

3,5562023

3,4888037

5

4,8770575

4,7581291

4,5317312

4,4239843

4,3196963

4,2187416

6

5,8235466

5,6539782

5,3343035

5,1836356

5,0387279

4,8993311

7

6,7606180

6,5320882

6,1054065

5,9062382

5,7158863

5,5339087

8

7,6883654

7,3928106

6,8462741

6,5935991

6,3536101

6,1255848

9

8,6068815

8,2364894

7,5580918

7,2474370

6,9541958

6,6772600

10

9,5162582

9,0634623

8,2419988

7,8693868

7,5198061

7,1916385

11

10,4165865

9,8740601

8,8990895

8,4610038

8,0524778

7,6712419

12

11,3079563

10,6686069

9,5304152

9,0237673

8,5541291

8,1184211

13

12,1904569

11,4474207

10,1369863

9,5590845

9,0265665

8,5353682

14

13,0641765

12,2108129

10,7197734

10,0682939

9,4714913

8,9241272

15

13,9292024

12,9590890

11,2797091

10,5526689

9,8905057

9,2866036

16

14,7856211

13,6925481

11,8176894

11,0134207

10,2851186

9,6245744

17

15,6335183

14,4114839

12,3345752

11,4517014

10,6567510

9,9396962

18

16,4729789

15,1161837

12,8311936

11,8686068

11,0067412

10,2335139

19

17,3040866

15,8069295

13,3083393

12,2651795

11,3363496

10,5074677

20

18,1269247

16,4839977

13,7667759

12,6424112

11,6467631

10,7629005

21

18,9415754

17,1476590

14,2072369

13,0012450

11,9390996

11,0010645

22

19,7481202

17,7981789

14,6304272

13,3425783

12,2144116

11,2231271

23

20,5466397

18,4358177

15,0370240

13,6672646

12,4736908

11,4301769

24

21,3372139

19,0608304

15,4276779

13,9761158

12,7178707

11,6232289

25

22,1199217

19,6734670

15,8030140

14,2699041

12,9478307

11,8032294

26

22,8948414

20,2739726

16,1636330

14,5493641

13,1643988

11,9710607

Продолжение табл. 4

Число пер-в n

Сила роста, %

1

2

4

5

6

7

27

23,6620506

20,8625874

16,5101119

14,8151948

13,3683550

12,1275456

28

24,4216259

21,4395468

16,8430051

15,0680607

13,5604337