Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Документ'
індивідуальні досягнення тих, хто навчається (ключові компетенції, знання, уміння, навики, досягнутий рівень розвитку особи і соціалізації випускникі...полностью>>
'Лекция'
В 660 и 668 году пали столицы Пэкче и Когурё и к началу 680-хх годов боле двух тртей Корейского полуострова были объединены государством Силла. Истор...полностью>>
'Документ'
Диференціація та інтеграція в науці. Методологічна єдність та різноманітність сучасної науки. Комп'ютерізація та інформаційні технології як фактор ро...полностью>>
'Документ'
Национальная фондовая ассоциация (СРО НФА) и Международная ассоциация профессиональных риск-менеджеров (PRMIA) проводят 19 сентября 2008 года в Москв...полностью>>

Пошаговое приближение распределения стоимости покупки к но­р­мальному закону распределения

Главная > Закон
Сохрани ссылку в одной из сетей:

1

Смотреть полностью

Министерство образования Российской Федерации

Российская экономическая академия

имени Г. В. Плеханова

Кафедра анализа стохастических процессов в экономике

Статистические задачи исследовательского характера

для включения в КМКР студентов 3 курса Факультета Маркетинга

Москва 2008

Статистические задачи исследовательского характера

для включения в КМКР студентов 3 курса Факультета Маркетинга

Составитель САВВАТЕЕВ Владимир Васильевич

Редактор ___________

Подписано в печать Формат 60х84 1/16.

Печать офсетная. Бумага офсетная.

Усл. печ. л. Уч.-изд. л. Тираж 200 экз.

Заказ №

Издательство Российской экономической академии имени Г.В. Плеханова.

113054, Москва, Стремянный пер., 36.

Отпечатано в типографии РЭА имени Г.В. Плеханова.

113054, Москва, ул. Зацепа 41/4.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение…………………………………………………………….. 3

Задание 1.

Пошаговое приближение распределения стоимости покупки к но­р­мальному закону распределения……………………………………. 4

Задание 2.

Рандомизация расположения ларьков на рынке, продающих то­вар по пониженным це­нам………………………………………...……… 4

Задание 3.

Формула Уилсона и страховой запас продаваемого в магазине товара…………………………………………………………………………… 5

Задание 4.

Обследование групп товаров в сети «12 месяцев»……………... 6

Задание 5.

Расчет кривой агрегированного спроса методом статистического

моделирования………………………………………………………. 7

Задание 6.

Расчет кривой спроса на конкретный товар на основе N данных, полученных из наблюдения цен на рынках г. Москвы…………………… 8

Задание 7.

Статистическое исследование феномена «отложенной реали­зации» с привлечением показа­теля NPV и учёта случайных изме­не­ний процентной ставки…………………………………………………... 9

Задание 8.

Исследование расширения области продаж……………………… 9

Задание 9.

Множественная регрессия и особенности её использования для изучения рынка офисов в Москве…………………………………………... 11

Задание 10.

Контроль полноты использования контейнера при снабже­нии арбузами…………………………………………………………………. 12

Задание 11.

Расчет нелинейной регрессии методом кривых Пирсона

(для тем, связанных с поведением потребителя)………………………….. 14

Задание 12.

Использование нелинейной кривой регрессии для расчета прибыли городской транспортной компании…………………………… 15

Задание 13.

Расчет кривой спроса построением параболической и синусоидальной регрессии…………………………………………………... 16

Задание 14.

Рекламная акция по продаже «Сникерсов». Расчет прибыли

методами ЛИФО и ФИФО…………………………………………………… 18

Задание 15.

Прогноз дохода от земельного участка за пять лет (множест­венная регрессия с двумя объясняющими переменными) ……………… 21

Задание 16.

Изучение устойчивости регрессионной прямой при засорении ис­ходных данных случайными ошибками с нарастающей дисперсией …. 25

Задание 17.

Статистические методы пополнения недостающих рыноч­ных данных………………………………………………………………………….. 27

Задание 18.

Подготовка различных вариантов задания для расчета себесто­имости женских сапог методом множественной регрессии………………30

Задание 19.

Определение степени оправданного риска при выдаче банком потребительских ссуд…………………………………………………………. 31

Задание 20.

Подбор параметров нелинейной регрессии……………………… 33

Примерная тематика КМКР по комплексу «Маркетинг, поведе­ние потребителей и эконометрика»………………………………………… 34

Предисловие

Внедрение в учебный процесс РЭА им. Г.В. Плеханова комплексных междисциплинарных курсовых работ (КМКР) поставило перед студентами и преподавателями ряд новых проблем, без успешного решения которых не удас­тся добиться кардинального улучшения уровня подготовки будущих спе­циалистов и развития у них интегрального восприятия экономики (для чего и были созданы комплексные курсовые работы).

Перед студентами, приступившими к выполнению КМКР, чуть ли не впервые встала проблема самостоятельности научного мышления. В преж­ние времена тема курсовой порою раскрывалась с помощью набора обтекае­мых, неконкретных фраз, что превращало её в некое подобие реферата (кото­рый затем очень часто скачивался из интернета). Этому способствовала по­рою и сама формулировка темы. Например, название темы «Консьюмеризм и общество» вряд ли вдохновит студента на применение в этой курсовой стати­стических методов или компьютерных технологий. Во-вторых, стало затруд­нительным писать курсовую работу в последнюю ночь перед сдачей, так как она теперь требует аккуратного сбора материала, его усвоения, теоретической обработки, компьютерных расчетов и осмысления результатов. Наконец, сту­денты начали осознавать, что общеобразовательные дисциплины, изученные и сданные на младших курсах, не следует забывать, так как без них написание КМКР будет под большим вопросом.

Комплексность курсовых создала проблемы и у преподавателей. Сле­дует признать, что ранее отдельные кафедры РЭА (экономической теории, бух­галтерского учета и аудита, статистики, информационных технологий, высшей математики и т.д.) хотя и добросовестно выполняли поставленные им задачи, но говорили на разных языках, хотя по сути дела речь шла об одних и тех же вещах. Классическим примером является понятие «маржинальной прибыли» (увеличение прибыли при увеличении количества производимого и реализуемого товара на единицу), которая с точки зрения математиков явля­ется просто производной dP/dN, где P – прибыль, N – количество произво­димого товара. Вторым примером является использование методов ЛИФО и ФИФО в бухгалтерском учете и порядок обслуживания очередей в логистике (и в компьютерных технологиях). У студентов создаётся впечатление, что методы ЛИФО и ФИФО в логистике никакого отношения не имеют к одно­имённым методам списания запасов в бухучёте. Наиболее же яркий пример пропасти между одной и другой наукой наблюдался автором в некоем ком­мерческом вузе, где ему довелось рассказывать о «вечной ренте». Студенты решили, что лектор шутит (хотя все они знают со школьных лет тот факт, что сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии является конеч­ной). Видимо, в глубине сознания у них осталась мысль: «школьные учителя могут выводить любые формулы, но мои финансы я бы по этим формулам рассчитывать не стал».

Разрушение этих корпоративных перегородок между разными кафед­рами (разными дисциплинами) в голове студента следует начинать с преодо­ления их в голове преподавателя. Преподаватель современного экономичес­кого вуза не может себе позволить оставаться узким специалистом, слабо представляющим себе, что творится на соседних кафедрах. Например, хотя и формально можно считать эконометрику одной из ветвей статистики, но по сути эконометрика гораздо теснее связана с экономическими проблемами, чем статистика в целом. Как говорится, «конечно, тигр – это всего лишь боль­шая кошка, но упрощать не следует». При этом наиболее способные студенты интуитивно чувствуют, что все разделы экономики тесно связаны между со­бой, но преподавателям трудно поддерживать в них эту уверенность, так как это требует непрерывного повышения их квалификации в экономических вопро­сах. После внедрения КМКР в РЭА этот процесс принял вполне осяза­емые формы. Защита КМКР перед комиссией, состоящей из трех специалис­тов с разных кафедр, хотя и поставила заслон перед практиковавшейся ранее зашитой курсовых «по мобильнику», но потребовала, чтобы эти три специ­алиста нашли общий язык. Иначе неизбежно появляются странные КМКР, в которых оценка по экономической части «5», а по статистической – «не аттестовано».

Попытка переложить преодоление этих трудностей на плечи студен­тов успеха не принесёт и приведёт только к попыткам их делать КМКР не самостоятельно, а с чьей-то помощью.

Автор, имея двухлетний опыт консультирования и оценивания стати­стической части КМКР на разных факультетах РЭА, пришел к выводам:

а) студенты слишком слабо представляют себе возможности статис­тики для анализа экономических процессов, чтобы самостоятельно выбрать нужный метод и правильно подобрать исходные данные.

б) преподаватели «профильных кафедр» РЭА должны формулировать темы так, чтобы в них явно было оставлено место для статистических и ком­пью­терных расчетов.

В связи с этим автор предлагает широкий спектр задач статистичес­кого характера, которые потенциально могли бы быть выбраны студентом как основа для статистической части КМКР, а затем уточнялись и обсуждались бы на консультациях как с преподавателями кафедр Статистики и Анализа стохастических процессов, так и с преподавателями «профильных кафедр» (которым вполне уместно было бы поинтересоваться содержанием задачи, которая поможет студенту раскрыть выбранную им тему КМКР).

Задание 1.

Пошаговое приближение распределения стоимости покупки к но­р­мальному закону распределения.

Замечания для преподавателей. Агент, закупающий товары на рынке (социальный работник, оптовик и т.д.) закупает большое количество разных товаров, причем и количество, и цена товара являются случайными числами. Поэтому случайной является и общая сумма денег, потраченная на закупки в данный день. Из курса ТВиМС известно, что закон распределения этой общей суммы денег близок к нормальному, если сумма содержит порядка тридцати независимых слагаемых. (Чтобы они действительно были незави­симыми, не­об­ходимо, чтобы входящие в эту сумму продукты не были ни взаимодопол­няющими, ни взаи­мозаменяющими, а нейтральными друг к другу). Возможно, явится сюрпризом, что в ситуации, рассмот­ренной в данной задаче, «норма­ль­ность» закона распределения суммы явственно проявится уже для суммы трех слагаемых, хотя законы распределения каждой из случайных величин, образу­ющих отдельные слага­емые, далеки от нормального.

Постановка задачи

Домашняя хозяйка закупает на рынке три вида продуктов, нейтра­льных друг относительно друга. (Таковыми, например, могут быть картофель, яблоки и творог). Из наблюдений за ее покупками в преды­дущие моменты известно, что стоимость картофеля обычно составляет 130 рублей (что при цене картофеля 13 руб/кг соответствует объему закупки 10 кг), стоимость яблок - 350 рублей (5 кг по цене 70 руб/кг), стои­мость творога – 300 рублей (3 кг по 100 руб/кг). Однако указанные суммы являются лишь математиче­скими ожиданиями истинных трат, а сами траты распределены равномерно на участках [120, 140], [340, 360], [280, 320] соответственно. Исследовать закон распределения случайной величины «общая стоимость всех покупок» (в частности, оценить, насколько он близок к нормальному).

Ход решения

Считая цены неизменными, студент рассчитывает диапазоны заку­па­емых количеств каждого товара. Выписывает из справочника матожидание M и дисперсию D для равномерно распределенных слу­чайных величин (с.в.). Затем, пользуясь тем, что величины независимы, вычисляет M и D для сум­мы двух и трех слагаемых. Пользуясь тем, что дисперсии слагаемых одинаковы, находим закон распределения суммы двух слагаемых с помощью рассмот­ре­ния случайных точек, равно­мерно разбросанных по квадрату (в курсовую мо­жно включить эту картину, получаемую в Excel «разбра­сыванием» 200-300 случайных точек). Для суммы трёх слагаемых получаются точки, равномерно разбро­санные по кубу с ребром 40 рублей. Квадрат надо рассекать прямыми, перпендикулярными к его диагонали. Куб же надо рассекать плоскостями, перпендикулярными к диагонали куба. В итоге для двух слагаемых получа­ется треугольный симметричный закон распределения, а для трех – закон, составленный из трех парабол, гладко переходящих одна в другую. По форме он близок к нормальному.

На консультациях, проводимых раз в неделю на кафедре АСПЭ, да­ются ответы на вопросы студента, избравшего это задание, и отслеживается ход его выполнения. (Как правило, добросовестные студенты уже после вто­рой консультации сдают статистическую часть КМКР на «отлично»).

Задание 2.

Рандомизация расположения ларьков на рынке, продающих товар по пониженным ценам.

Замечания для преподавателей. Современные розничные рынки (на­пример, Черкизовский или Тушинский) имеют очень сложную конфигурацию, в которой отыскать конкретный ларек довольно трудно. Если во всех ларьках продавать однотипный товар по одной и той же (как правило, завышенной ) цене, то часть покупателей (пенсионеры и т.п.) будут вытеснены с этого рын­ка, чо нежелательно не только с точки зрения социальной напряженности, но и даже с точки зрения потери части прибыли. В самом деле, можно было бы во всех ларьках продавать хлеб по цене 30 руб. за буханку, а в одном ларьке (затерянном в лаби­ринте рыночных строений) – по цене 10 руб. за буханку. В этом случае беднейшая часть покупателей не была бы потеряна для рынка (если, конечно, хлеб продается выше себестоимости): пенсионер, не торопясь, обошел бы весь рынок и нашел бы свой заветный дешевый ларек. А более занятый, но обеспеченный поку­патель купил бы хлеб по завышенной цене. Такое явление, как известно, называется ценовой дискри­мина­цией. Однако для ее успешного осуществления необходимо каждый день случайным обра­зом менять распо­ложение «дешевого» ларька, иначе состоятельные покупате­ли, как и пенсионеры, прямым ходом будут сле­довать к дешевому ларьку.

Постановка задачи

Рынок расположен на квадратном участке со стороной 1 км. Рынок состоит из ста ларьков с номерами от 00 до 99 (первая цифра – номер гори­зон­тального ряда ларьков, вторая – номер вертикального ряда; схема ларьков считается нарисованной на листе бумаги). Во всех ларьках, кроме одного, товар продается по 30 руб/кг, в дешевом же ларьке – по 10 руб/кг. Требуется каждый день назначать случайный номер дешевого ларька таким образом, чтобы расстояние от следующего дешевого ларька до предыдущего и пред-предыдущего было не менее 200 метров (чтобы новый дешевый ларек не оказался рядом с дешевыми ларьками двух предыдущих дней, что облегчило бы его поиск). Желательно, чтобы случайные точки (координаты дешевого ларька) покрывали площадь квадрата, на котором расположен рынок, равно­мерно, и были независимы друг от друга. Однако поставленное дополните­льное условие (о том, что новый ларек далек от старого), вообще говоря, на­ру­шает независимость. Рассматривая иксовые коотдинаты дешевых ларьков за последние 50 дней, вычислить автокорреляцию полученного таким образом временного ряда (первого и второго порядка) и оценить степень ее отличия от нуля.

Ход решения

Для расчетов используется Excel. С помощью многократного копиро­вания формулы СЛЧИС()*10 – 0,5 получаются независимые случайные чис­ла, равномерно распределенные на отрезке от –0,5 до 9,5. После их округле­ния до ближайшего целого числа получаются числа 0, 1, 2, … , 9 с одина­ковой частотой. Так можно заполнить первый и второй столбец с первого до (на­при­мер) 1000-го места. Далее сгенериро­ванные пары чисел (то есть коорди­наты очередного дешевого ларька) «замораживаются» (то есть формулы заме­няются их значениями) и проверяются на отличие новой точки от предыду­щих двух более чем на 200 метров. При этом многие точки будут забрако­ва­ны. Количество оставшихся точек должно равняться 50. Из них для нахожде­ния корреляции 1-го и 2-го порядка надо оставить только 48 последних точек, а 49-ю и 50-ю надо оставить для сдвига значений на 1 и на 2.

Задание 3.

Формула Уилсона и страховой запас продаваемого в магазине товара.

Замечания для преподавателей. Задача рекомендуется для студентов специализации «логистика». При использовании формулы Уилсона для снаб­жения магазина однотипным товаром, распродаваемым с примерно равномер­ной скоростью, из-за мелких скачков спроса может возникнуть дефицит, осло­ж­няющий работу магазина. Изучение длительности и глубины возникающего дефицита с помощью статистического моделирования позволяет высказать разумные предположения о величине страхового запаса, который следует до­ба­вить к объему запаса, рассчитанному по формуле Уилсона (и тем самым защитить магазин от перебоев в продаже).

Постановка задачи

Согласно формуле Уилсона, оптимальный объем заказа Q вычис­ляется по формуле «корень из выражения 2mg/c», где m – средняя скорость продажи товара в магазине, который делает заказы партий товара на складе; g – стоимость однократного заказа транспортного средства для перевозки зака­за, c – стоимость хранения заказа на складе (то есть в подсобном по­мещении магазина) вплоть до его полной распродажи (измеряется в единицах «руб/(штук*час)». Например, если магазин торгует женскими сапогами (по 7000 руб. за пару), и за год рас­продается 612300 пар сапог, то в среднем m = 1678 пар/сутки = 69,9 пар/час (считая, что режим торговли круглосуточный). Однако, если сред­негодовые колебания продаж (при неизменном спросе) ма­лозаметны, то в пересчете на день они уже заметны настолько, что могут при­водить к появ­лению дефи­цита при снабжении по формуле Уилсона. Тем более это справе­дливо для колеба­ний продаж в течение одного часа. Модели­ро­ва­ние колеба­ний продаж за пе­риод в 20-40 часов даст представление об ожидае­мых пере­боях в снабжении и позволит сгладить их с помощью разумно подо­бранного страхового запаса.

Ход решения

На данном ниже рисунке представлен результат моделирования в па­кете Excel случайных колебаний объема про­даж через каждые 5 минут (то есть 12 раз в час), в течение 20 часов. Всего смоделировано 240 случайных чисел, подчиняющихся рекуррентной формуле a(N) = -50*слчис(), a(N+1) = a(N) – 30*слчис() при подходящем выборе a(0). Полученные числа просумми­рованы «по нарастающей».

Сглаживаем колебания интегрального объема продаж и к полученной прямой применяем формулу Уилсона. Рост суммарного подвезенного количе­ства женских сапог имеет форму ступенчатой кривой с равными по высоте и по длине ступенями. Вычитая из этой ступенчатой фигуры сглаженную пря­мую, получаем известный из курсов логистики «пилообразный график». Если же вычитать не сглаженную, а исходную кривую, на пилообразном графике появятся беспорядочные колебания, в некоторых случаях загоняющие эту кри­вую в отрицательную область. Визуальное изучение отрицательных уча­ст­ков и позволяет сформировать предлагаемый уровень страхового запаса. Чтобы степень страховки была высокой, его можно увеличить еще на 10%. Чрезмерное завышение этого уровня приведет к омертвлению запаса, нахо­дящегося в подсобном помещении магазина.

Задание 4.

Обследование групп товаров в сети «12 месяцев».

Замечания для преподавателей и постановка задачи. Сетевые мага­зины часто выпускают списки наиболее популярных товаров с широким спектром цен и наименований. Ниже в качестве образца приведен рекламный список товаров торговой сети «12 месяцев» около м. Новые Черемушки на ноябрь 2007 года (58 наименований). Студенты могут использовать в кур­со­вых аналогичные списки других торговых точек. Слева указана цена в рублях, справа – наименование продукта. Для цен ниже 100 руб. применяется мелкая скидка («круглая цена минус 10 копеек»), создающая эффект дешевизны. Про­дукты перечислены в том же порядке, что был дан в рекламной листовке. (Ре­кламный эффект зависит от порядка подачи информации). Для статистиче­ско­го анализа товары располагаются в порядке возрастания, после чего удаляют­ся группы, резко выпадающие из общей картины.

21,90 Пирожное "Дзангл" 59,90 Соус "Кальве" чесноч.

20,90 Сок "Фруто-няня" 48,90 Майонез "Кальве" классич.

23,90 Каши "Фруто-няня" 82,90 Киккоман соус

29,90 Десерт "Бонжур" 89,90 Киккоман соус легкий

145,00 Морож. "Баскин Роббинс" 48,90 Майонез "Кальве" экстралег.

38,90 Крем "Рама" 39,90 Соки "Сантал"

145,00 Кофе "Моккона" 180,00 Вино "Коломбар Шардоне"

94,90 Шок. конф. "Гриотте" 45,90 Сок "Тонус" 1,5 л

209,00 Фондю в ассор. 44,90 Сок "Фрукт. сад" 2 л

93,90 Песоч. печенье "Круги" 509,00 Икра лососев.

133,00 Печен. "Рецепты от Эльзы" 1995,00 Икра зернистая, за 1 кг

109,00 Финики без кост. 259,00 Икра лососев. в металл. банке

505,00 Виски "Грантс Фемели Резерв" 158,00 Семга слабосол. филе

285,00 Вермут "Чинзано" 167,00 Семга подкопчен. филе

236,00 Водка "Русс. стандарт" 47,90 Икра мойвы

1975,00 Коньяк "Реми Мартен" 55,90 Икра мойвы с креветкой

105,00 Водка "Мороз и солнце" 115,00 Кофе "Якобс"Монарх 95 г

398,00 Бренди "Черный аист" 5 лет 111,00 Кофе "Чибо" 95 г

306,00 Бренди "Черный аист" 3 года 212,00 Кофе "Якобс"Монарх 190г

175,00 Вино "Каберне Саперави" 205,00 Кофе "Чибо" 190 г

450,00 Шотл. виски "Лейбл 5" 41,90 Чай "Липтон" 20 пак.

49,90 Маслины "Коррадо" гигант 162,00 Чай "Ристон"

41,90 Маслины "Коррадо" крупные 21,90 Нектары "Теди"

62,90 Мясные зразы (сыр, зелень) 25,90 Шоколад "Милка"

63,90 Мясные зразы (с грибами) 12,90 Круассаны "7 days" 65 г

85,90 Картоф. с грибами "Грибоедов" 29,90 Круассаны "7 days" 200 г

23,90 Весенн. смесь "Бондуэль" 15,90 Чипсы "Золот. картошка"

72,90 Баклажаны жареные 528,00 Чай "Тернер", крыса-чайница

51,90 Баклажаны "Верес" 242,00 Чай "Тернер", крыса-копилка



Исходная гистограмма цен содержит дорогие товары, «обрамленные» более дешевыми. Расположение по возрастанию позволяет сделать вывод о целесообразности исключить из дальнейшего анализа два товара, стоящие особняком со статистической точки зрения (1975 и 1995 руб.). Прочие товары размещаются в шесть равных по длине ценовых интервалов от 12,9 руб. до 528 руб.

Ход решения

Исходные данные заносятся в Excel в виде удобной для обработки таблицы, со ссылкой на происхождение данных. Обсуждаются особенности подачи информации потребителю (цены с «девятками на конце», порядок сле­дования, художественное оформление и т.д.). Изучается исходная гистограм­ма и гистограмма по возрастанию цен. Отбрасываются (и затем изучаются по­штучно) данные, нарушающие общую статистическую картину. В данной за­да­че представляет интерес изучение закона распределения товаров по ценам. Разобьем интервал от самой малой до самой большой цены (после отбрасы­ва­ния «поштучных данных») на 6 равных частей. Если брать больше 6 частей, некоторые подинтервалы будут слабо заполнены данными. Границы ценовых интервалов указаны ниже:

98,75

184,60

270,45

356,30

442,15

В данном примере, когда данных немного, подсчет количеств попа­да­ний в интервалы можно произвести даже вручную. Получаем 31, 12, 6, 2, 1, 4 попаданий. Гистограмма частот показывает, что распределение похоже на показательное (с неизбежными колебаниями частот на «хвосте» распреде­ления).

Подбор нужного параметра показательного распределения осущест­вляется с помощью подпрограммы «Подбор параметра» в Excel.

Задание 5.

Расчет кривой агрегированного спроса методом статистического моделирования.

Замечания для преподавателей и постановка задачи. После предва­рительного расчета склады­ваются кривые индиви­ду­ального спроса на неде­лимый товар (телевизоры, холодильники, музыкальные центры и т.д.) в коли­честве N кривых. Индивидуальные кривые являются кусочно-постоянными и отли­чаются друг от друга ценовыми порогами, при которых изменяется коли­чество покупаемых изделий. Подробности моделированиия в среде Excel сообща­ются студентам на консуль­тациях по КМКР (ниже описан общий ход расче­тов). Эта тематика углуб­ляет представления студентов о спросе на неделимые товары и о механизме превращения кусочно– посто­янной кривой спроса в практически непрерывную.

Рекомендуется для тем № 2, 4, 31 по списку, приведенному в конце основного текста.

Ход решения

Допустим, что потребителя интересует неделимый товар «телевизор как функциональное устройство» (то есть он не обращает внимание на дизайн, габариты, удобство обслуживания и т.д.). Максимальная потребность в едини­цах такого товара ограничена числом 4 (один телевизор в спальне, один – на кухне, один в машине (шутка) и один на даче). Конкретно покупаемое коли­чество единиц товара может равняться 4, 3, 2, 1 или 0 (в зависимости от его цены). Типовая кусочно-постоянная кривая спроса для отдельного потреби­те­ля изображена ниже. Переключение количества покупаемых изделий проис­ходит при ценах, которые мы обозачим a, b, c, d. Для конкретности примем

a=900, b=1600, c=2000, d=5000 рублей.

Для этих значений параметров график спроса имеет вид:



Затем необходимо построить 15-20 таких же кривых с другими пара­метрами a, b, c, d. Их можно получить с помощью датчика случайных чисел. После сложения всех этих кривых получится кривая агрегированного спроса для 15-20 потребителей. Она состоит из большого количества мелких ступе­ней, В случае 20 слагаемых максимальная высота этой кривой равна 20х4 = 80. Ниже приведен график суммы двух кривых, причем для второй a=700, b=1700, c=1980, d=4580.

Генерацию значений ступенчатой функции удобно делать с помощью формулы Excel следующего вида: Если(A1<700;4; Если(A1<1700;3; Если(A1< 1980;2; Если(A1<4580;1;0)))).

Суммирование 15-20 таких функций, записанных по столбцам, с ша­гом 50 рублей, для цен не свыше 8000 руб. за шт., позволяет построить ито-

говый график агрегированного спроса. Подробности генерации случайных значений параметров a, b, c, d сообщаются студенту на консультации (раз­ным студентам могут быть заданы разные законы распределения).

Задание 6.

Расчет кривой спроса на конкретный товар на основе N данных, полученных из наблюдения цен на рынках г. Москвы.

З
амечания для преподавателей.
После сбора исходных данных о ценах на данный товар (данных надо собрать не менее 20, но и не более 50 (чтобы не увеличивать объем расчетов)) необходимо выбрать теоретическую формулу для подгонки. Можно считать, что исходные точки, хотя и имеют разброс, в целом лежат на кривой, выражаемой дробно-линейной функцией. Коэффициенты этой кривой подбираются методом наименьших квадратов (возможности Excel позволяют использоать даже нелинейный вариант этого метода). Литература по этому вопросу и метод исследования сообщаются на консультациях. Отметим только, что для получения реалистичной модели вертикальная асимптота дробно-линейной функции должна лежать в области x < 0, кривая при x > 0 должна быть убывающей, а горизонтальная асимптота должна лежать на высоте, которая меньше нуля (или равна нулю). Однако для построения кривой спроса необходимо знать не только цены на товар, но и (что гораздо проблематичнее) общий объем покупок, который согласились сделать потенциальные потребители товара при данной цене. Общий объем покупок можно оценить, фиксируя не только цену продажи, но и покупаемое количество товара. Так как все покупки зафиксировать невозможно (да и если бы это было сделано, еще пришлось бы выяснять, принадлежит ли покупатель к этому региону, или он приезжий), то необходимо сделать репрезентативную выборку и правильно обработать ее результаты. Поэтому в данном задании считается, что точки на кривой спроса уже получены, но их надо сгладить. Со статистической точки зрения представляет интерес изменение коэффициентов дробно-линейной функции при последовательном наращивании допол­нитель­ных точек на кривой спроса. Генерацию дополнительных точек, содержащих случайные добавки, можно осуществить на компьютере, взяв за основу зара­нее известную дробно-линейную функцию, отвеча­ющую упомянутым выше условиям), и прибавляя к ней независимые случайные числа, распределенные по нормальному закону. Изобразив графически серию кривых, получаемых при добавлении всё новых и новых точек, можно увидеть характер стрем­ления этих кривых к предельной кривой.

Рекомендуется для тем № 6, 27, 29.

Постановка задачи

На рынках города Москвы в определенный день была зафиксирована усредненная цена 1 л молока 3,5%-ой жирности и определено оценочное ко­ли­чество литров закупленного продукта. Затем то же самое было проделано в несколько других дней, что позволило получить несколько точек на кривой спроса, искаженных влиянием неучтенных случайных факторов. Произвести расчет коэффициентов кривой спроса в виде дробно-линейной функции D = (ap + b) / (p + c) , где D – спрос, p – цена товара. Сначала сделать расчет параметров a, b, c по семи точкам, затем постепенно довести количество точек до 12. Изобразить получен­ные 6 кривых на одном чертеже и сделать выводы о том, стабилизируется ли кривая.

Ход решения

Методика будет изложена для случая пяти точек (p1, D1), (p2, D2), (p3, D3), (p4, D4), (p5, D5).

Из экспериментального значения спроса D1 вычитается его теорети­ческое значение (a*p1 + b) / (p1 + c) , и полученное отклонение возводится в квадрат. Сумма квадратов отклонений минимизируется с помощью встроен­ного оптимизатора Excel. Получаются подогнанные значения параметров a, b, c. Для отладки методики рассмотрим дробно –линейную функцию D = (40p + 1000) / (p + 13), выберем пять произвольных значений p и рассчитаем соответ­ствующие значения D. Затем приплюсуем к ним случайные добавки, незначи­тельно изменяющие D.

Числовая иллюстрация. Выбираем p = 17, 23, 25, 31, 50 и вычисляем точные значения D = 56,00; 53,33; 52,63; 50,91; 47,62. Графическое изображение этих точек дано ниже.

Вносим случайные возмущения в значения D и получаем новые пять значений:

56,0 53,3 52,6 50,9 47,6 .



Вызываем пункты меню Excel «Сервис», «Поиск решения», взяв такое исходное приближение для a, b, c: 41; 998; 12. Целе­вая функция вычис­ляется как сумма квадратов откло­нений эксперимен­таль­ных значений спроса от теоретических. Для исходных значений подбира­е­мых пара­метров она равна 20,88. После минимизации она равна 0,000743. Опти­ми­зированные зна­чения a, b, c рав­ны 39,98; 998; 12,96 . (Это близко к значениям 40, 1000, 13 , взятых для тестирования).

Задание 7.

Статистическое исследование феномена «отложенной реали­зации» с привлечением показа­теля NPV и учёта случайных изме­нений процентной ставки.

Замечания для преподавателей. Основная задача: приобретается пар­тия бутылок вина, которое от длительного хранения улучшает свои потреби­тельские качества. Сколько процентов товара надо продавать в том же году, сколько – через три года, сколько – через 6 лет? Для имитации изменения про­центной ставки используются датчики случайных чисел Excel.

Рекомендуется для тем № 24, 25, 29.

Постановка задачи

Оптовик закупает партию из 1000 бутылок сухого вина по исходной цене 100 руб/бут. Он имеет возможность реализовать его либо сразу (по цене 240 руб/бут.), либо через три года (по планируемой цене 320 руб/бут.), либо через 6 лет (по планируемой цене 400 руб/бут.). Допустим, принято решение сделать и то, и другое, и третье в количествах m, n и p бутылок соответст­венно (m + n + p = 1000). Если не принимать во внимание дисконтирование, то выгоднее всего взять m = n = 0, p = 1000 и получить прибыль (400 –100)* 1000 = 300 000 руб. Если ставка дисконтирования в первые три года равна i1, а в следующие три года равна i2, то показатель NPV (net present value), учиты­ваюший изменение ценности денег в зависимости от момента их получения, равен

NPV = –100*1000 + 240*m + 320*n / (1 + i1)3 + 400*p / (1 + i1)3 / (1 + i2)3 .

При больших значениях ставок дисконтирования обесценивание при­были будет настолько боль­шим, что будет выгоднее продать вино ранее, чем через 6 лет.

Осуществить статистическое моделирование значений NPV по ука­занной формуле, задавая i1 и i2 с помощью датчиков случайных чисел (слчис() + слчис())*0,3 и (слчис() + слчис())*0,2 + 0,3 . Привести примеры значений i1, i2 (полученных с помощью вышеприведенных датчиков), при которых вино следует продать ранее 6 лет (полностью или частично).

Ход решения

Генерируются 100 чисел i1 по первой формуле и 100 чисел i2 по вто­рой формуле. Среди них пытаются найти такие, при которых в случае m=n=0 и p=1000 NPV не будет максимальным. Случайные числа, полученные таким образом, имеют симметричный треугольный закон распределения. ВНИМАНИЕ! Вместо слчис() + слчис() нельзя написать просто 2* слчис() !

Задание 8.

Исследование расширения области продаж.

Замечания для преподавателей. Исследование расширения области продаж на примере задачи о торговле пивом в магазине при пивном заводе, находящимися у железнодорожной ветки: имеет ли смысл продавать пиво не только на этой станции, но и на соседних (учитывая, что цена его повысится из-за транспортных расходов), и указать, начиная с каких расстояний это пе­ре­стаёт быть выгодным. Для оценок используется линейная кривая спроса; параметры кривых спроса имеют случайный характер.

Рекомендуется для тем № 5, 20, 24.

Постановка задачи

Напомним понятие «линейная кривая спроса», известное из курса микроэкономики (см. рис. ниже).

Формула кривой спроса связывает между собой цену продажи товара p и количество товара q, которое раскупают потребители при этой цене. (Име­ют­ся в виду потребители, живущие в выбранном регионе, и имеются в виду

покупки, сделанные за данный период времени). Простейшей (линейной) формулой является

p/a + q/b = 1.

В этой формуле a означает «цену отсечки» (начиная с этой цены потребители перестают покупать данный товар), b означает «насыщающее количество» (такое количество потребитель потребил бы, если бы цена на этот товар была ничтожно малой). Отсюда можно выразить q через p (прямая кривая спроса) или p через q (обратная кривая спроса). Линейная кривая спроса удачно сочетает в себе простоту вычислений и сохранение всех экономических особенностей процесса. Например, в данной задаче произво­дитель товара считается монополистом, поэтому он будет назначать цену товара (в данной задаче – пива) такой, чтобы получить максимальную при­быль. Расчеты показывают, что в случае линейной кривой спроса для этого надо назначить цену, равную Pmax = (a + k )/2 (a – цена отсечки, k – стои­мость производства одной еди­ницы товара).

Рассмотрим производителя-монополиста, изготавливающего и реа­лизующего пиво в степной местности в 20 км от железнодорожной линии, на которой имеются равнотстоящие станции с расстоянием 5 км между ними (см. черт.).

На рисунке представлена сеть дорог, идущих из пивного завода к возможным пунктам потребления, находящимся у железнодорожной линии. Так как местность степная, то в любом направлении автотранспорт может ехать по прямой, поэтому все дороги – отрезки прямых. Для пункта потре­бления с координатами (5n, 0) (где n = 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, …) расстояние до пивного завода равно корню из 25n2 + 400. Обозначим это число K(n). Если стоимость производства одного декалитра продукта на пивном заводе составляет s, то в пункте потребления в нее будут включены и транспортные расходы по доставке продукта потребителю, поэтому для потребителя будет назначена цена продажи Pmax = (a + k )/2 , где k равно не s , а s + t K(n) , где t – тариф перевозки 1 декалитра пива на 1 км. Если эта цена превысит цену отсечки, то в данном пункте никто покупать пиво не будет. При расчетах следует считать, что во всех потенциальных пунктах потреб­ления набор пара­метров (a, b) одинаков. Поэтому и цена отсечки везде одинакова. Это рас­-

суж­дение позволяет рассчитать, в какие пункты пиво везти выгодно, а в какие – нет (из-за высоких транспортных расходов).

Далее в каждом из рассчитанных пунктов продажи вычисляется при­быль монополиста, так как из линейной кривой спроса можно определить раскупаемое количество, а значит, и выручку. От нее надо отнять издержки, равные q*( s + t K(n)). Получим прибыль в данном пункте потребления. Ее надо просуммировать по всем пунктам. Зафиксируем b, тогда суммарная при­быль будет зависеть только от выбора s, t, a. Выполняющий задание сту­дент должен сам выбрать разумные значения s, t. Затем надо осуществить стати­сти­ческое моделирование этой ситуации. Для этого генерируются сто значе­ний цены отсечки a и для каждого вычисляется прибыль с учетом того, что количество пунктов потребления может изменяться. Из-за этого прибыль может совершать скачки, хотя цена отсечки может расти (или убывать) непре­рывно.

Ход решения

Для генерации случайных значений цены отсечки можно использо­вать формулу типа 20+5*слчис(). По этой формуле получаются случайные числа, равномерно распределенные по отрезку [ 20; 25]. Для каждого из случайных чисел выяснить, в какие именно пункты выгодно везти пиво, и какова будет суммарная прибыль. Желательно построить две столбцовых диа­граммы: значения цены отсечки и соответствующие им значения прибыли.

Задание 9.

Множественная регрессия и особенности её использования для изучения рынка офисов в Москве

Замечания для преподавателей. Регрессия такого типа обычно рас­счи­тывается по 40-50 исходным данным, отвечающим ограничению «при прочих равных условиях». В качестве регрессоров для жилых квартир используются рас­стояние до бли­жай­шего метро, экология района, этажность (и этаж проживания), раздель­ность санузла, пло­щадь кухни. Данные регу­лярно публикуются риэлторскими фирмами, но проблема заключается в том, что 40-50 исходных данных слиш­ком мало, чтобы регрессоры «почув­ствовали» особенности ситуации и позво­лили тем самым найти правильные и пригодные для практики коэффициенты регрессии. В данном задании вместо истинных данных о продаже квартир создан «артефакт», пригодный только для учебного упражне­ния (количество данных, использованное для расчета, не выдерживает никакой критики и равно одиннад­цати). Вместо квартир взяты офисы, состоящие из нескольких зданий, нескольких входов, разной площади и разного срока эксплуатации (среди которых есть даже срок в 99 лет). Несмотря на такие карикатурные исходные данные, расчет регрессии хорошо защищен от нападений критиков, так как большинство статис­тических проверок она проходит успешно. Сту­дент должен оценить пригодность рассчитанной модели для практического применения (испо­льзовать, в частности, многомерный показатель R2 ).

Рекомендуется для тем № 27, 30, 18, 11.

Постановка задачи

Предположим, что застройщик оценивает стоимость группы небо­льших офисных зданий в традици­онном деловом районе.

Застройщик может использовать множественный регрессионный анализ для оценки цены офисного здания в заданном районе на основе сле­дующих переменных.

Переменная Смысл переменной

y Оценочная цена здания под офис (тыс. руб.)

x1 Общая площадь в квадратных метрах

x2 Количество офисов

x3 Количество входов

x4 Время эксплуатации здания в годах

Застройщик наугад выбирает 11 зданий из имеющихся 1500 и полу­чает следующие данные.

y

x1

x2

x3

x4

142

2310

2

2

20

144

2333

2

2

12

151

2356

3

1,5

33

150

2379

3

2

43

139

2402

2

3

53

169

2425

4

2

23

126

2448

2

1,5

99

142,9

2471

2

2

34

163

2494

3

3

23

169

2517

4

4

55

149

2540

2

3

22

149

2500

2

3

20

В этом примере предполагается, что существует линейная зависи­мость между каждой независимой переменной (x1, x2, x3 и x4) и зависимой переменной (y), то есть ценой здания под офис в данном районе.

"Пол-входа" (1/2) означает вход только для доставки корреспон­ден­ции. Двенадцатая строка данных является дополнительной и служит для про­верки устойчивости полученной регрессии.

Требуется рассчитать регрессию с четырьмя регрессорами и свобо­дным слагаемым. Сравнить.с полученнной регрессией новую, получаемую добавлением к данным еще одного здания. Применяя критерии Стьюдента и Фишера и используя коэффициент детерминвации, проверить отличие от нуля коэффициентов регрессии и ее предсказательную силу.

Ход решения

При вводе в качестве функции массива приведенная ниже формула:

ЛИНЕЙН(E2:E12;A2:D12;1;1) – возвращает следующие результаты: (Н/Д означает «нет данных»)

-0,23424

2,553211

12,52977

0,027641

52,31783

0,013268

0,530669

0,400067

0,005429

12,23736

0,996748

0,970578

#Н/Д

#Н/Д

#Н/Д

459,7537

6

#Н/Д

#Н/Д

#Н/Д

1732,393

5,652135

#Н/Д

#Н/Д

#Н/Д

Уравнение множественной регрессии y = m1*x1 + m2*x2 + m3*x3 + m4*x4 + b теперь может быть получено в таком виде:

1000y = 27,64*x1 + 12530*x2 + 2553*x3+ 234,24*x4 + 52318

Теперь застройщик может определить оценочную стоимость здания под офис в том же районе, которое имеет площадь 2500 квадратных метров, три офиса, два входа, зданию 25 лет, используя следующее уравнение:

y =( 27,64*2500 + 12530*3 + 2553*2 - 234,24*25 + 52318) / 1000 = 158 тысяч рублей.

Если сделать расчет с учетом 12-го данного, ответ примет вид

-0,23285

2,538283

12,57888

0,027107

53,43755

0,011997

0,49635

0,356476

0,00493

11,16152

0,996664

0,910132

#Н/Д

#Н/Д

#Н/Д

522,8863

7

#Н/Д

#Н/Д

#Н/Д

1732,511

5,79838

#Н/Д

#Н/Д

#Н/Д

В курсовой должно быть объяснено все, что выдает в качестве ответа компьютер. Например, сильно ли отличаются результаты расчета регрессии по 11-и данным от результатов по 12-и данным?

Задание 10.

Контроль полноты использования контейнера при снабжении арбузами

Постановка задачи

Торговое предприятие завозит арбузы из Астрахани в Москву, поль­зуясь открытым сверху контейнером размеров 6 м х 3 м х 1,5 м. 50% (по количеству штук) арбузов – крупные (средний вес 10 кг). Остальные 50% - средние (средний вес – 7 кг). Удельный вес арбуза примерно равен единице. В первом приближении форма арбуза шаровая, в более точном приближении – это сплющенный эллипсоид вращения. Рассчитать количество арбузов, поме­щающееся в контейнере при укладке слоями, где слой крупных арбузов чере­дуется со слоем средних, а в каждом слое (крупных арбузов) у арбуза, не лежащего на границе, имеется ровно 6 примыкающих к нему соседей («шес­тиугольная укладка»). Имеются данные о реально проданном количестве арбузов за предыдущие 66 привозов товара. Проверить гипотезу о том, что часть арбузов из заполненно­го контейнера сначала продавалась «налево», а остальные уже попадали в официальную отчетность. Уровень достоверности проверки гипотезы взять равным 95%.

Пояснения для преподавателей. Предложена стандартная статисти­ческая задача на проверку гипотезы методом использования распределения Стьюдента. Такого рода проверки гипотез часто осуществляются в ходе про­ведения инспекций и аудиторских проверок. Но в данном случае отражена торговая специфика (возможны хищения неучтенных товаров), а гипотеза, которую нужно подтвердить или опровергнуть, взята не с потолка, а из вполне разумных и понятных студентам соображений («регулярная» укладка арбузов в контейнер хотя и не применяется на практике, однако трудно сомневаться в объективности полученного с её помощью значения вместимости).

Ход решения

Объём сплющенного эллипсоида вращения вычисляется по формуле

V = 4/3 π r2 h (если сплющивание отсутствует, то r = h )

Ниже будет поясняться случай арбузов шаровой формы, но студенту может быть дано и задание для формы более общего вида.

Обозначим через R1 и R2 радиус арбуза в 10 кг и арбуза в 7 кг соот­вет­ственно (в сантиметрах). С помощью формулы для объёма шара легко по­лучить, что R1 = 13,37 см и R2 = 11,87 см. Если считать, что количество слоёв средних арбузов и слоёв крупных арбузов одинаково (при этом коли­чество средних арбузов в слое будет несколько больше, чем количество круп­ных арбузов в слое, и ниже мы учтём это обстоятельство), то для определения количества слоёв надо поделить высоту контейнера (150 см) на сумму 2*(R1+R2). Получаем 2,97 слоя каждого типа. Так как контейнер открыт сверху, то на­гру­женные в него арбузы могут несколько выступать выше уровня 150 см, что позволяет считать, что в контейнер можно загрузить 3 пары слоёв (а не 2,97 пары). Теперь оценим количество крупных арбузов, которое можно разместить в одном слое методом 6-угольной укладки (см. рис. 1).

На рис. 1 представлен левый нижний угол дна контейнера (вид сверху). Размер дна по горизонтали рис. 1 равен 600 см, а по вертикали – 300 см. Из-за краевых эффектов не очевидно, что 6-угольная укладка лучше, чем, скажем, квадратная. <В связи с этим можно было бы одному студенту дать случай 6-угольной укладки, а другому – квадратной.> Для 6-угольной укладки получаем, что по вертикали рис. 1 помещается 11 крупных шаров (так как 300/(2*13,37) = 11,22). Значит, во второй вертикальной полосе поместится 10 шаров. Грубая оценка общей ширины двух первых вертикальных полос равна

2*R + 1,732*R , что приближенно равно 49,90 см.

Рис. 1. Левый нижний угол укладки

Так как 600/49,90 = 12,02 , то таких двойных вертикальных полос поместится 12. (Сильному студенту можно дать дополнительное задание: изменится ли этот ответ, если учесть, что вторую «двойную вертикальную полосу» можно намного сместить влево, до соприкосновения с первой). Итого на дне контейнера размещается 21х12 = 252 крупных арбуза.

Что же касается следующего слоя, то возможны два подхода (и, соот­вет­ственно, две формулировки курсовых работ). Первый подход проще для расчетов, но создаёт неустойчивый тип укладки. В нём арбузы второго слоя (средние по размерам) как бы ставятся на верхние точки первого слоя. Тогда их будет ровно столько же, что и в первом слое (252 штуки). Реально арбузы второго слоя самоуплотнятся как по горизонталям (длина и ширина контейнера), так и по вертикали (высота контейнера). Ведь у них есть возможность заполнить углубления между арбузами первого слоя. Ниже будет взят простейший вари­ант, в котором «нормальной загрузкой контейнера» будет считатья число 252х6 (так как по высоте помещается три слоя крупных и три слоя мелких арбузов). Это число равно 1512 арбузов.

Далее необходимо сгенерировать 66 разных загрузок контейнера, действительно зафиксированных в предыдущие разы, и затем проверить гипотезу «Арбузы продавались налево». Сделаем стандартное предполо­жение: при исходной загрузке контейнера (и отсутствии хищений) реально загруженное количество арбузов отклоняется от нормативного количества (1512 арбузов) в ту или иную сторону по нормальному закону. Для оценки параметров этого закона (матожидание m и среднее квадратичное отклонение z ) применим стандартные формулы, но в них надо подставлять не все 66 имеющихся данных, а только данные, про которые точно известно, что хище­ний не было (например, некоррумпированный наблюдатель постоянно сопро­вождал контейнер от момента загрузки в Астрахани до полной реализации товара в Москве). Для выполнения курсовой примем, что таких «честных» данных имеется только 16 (а остальные 50 находятся под сомнением).

Чтобы студент полностью понял механизм осуществляемой проверки, он должен сам подготовить себе 66 исходных данных для тестирования. Сна­ча­ла опишем, как готовятся 16 «честных» исходных данных, распределенных по нужному закону. За основу возьмем датчик независимых равномерно распределенных случайных чисел СЛЧИС(), имеющийся в пакете Excel. Числа распределены на отрезке [0,1] и имеют матожидание 0,5 и дисперсию 1/12 . Если рассмотреть сумму 10-и слагаемых такого вида, их закон распре­деления будет очень похож на нормальный (см. пояснения к заданию № 1). При этом матожидание таких сумм будет равно 10*0,5 = 5 , а дисперсия будет равна 10*(1/12) , так как слагаемые независимы. Нам разумно ориентироваться на числа, у которых матожидание равно 1512, а среднее квадратичное отклонение (то есть корень из дисперсии) равно 70. (Пояснение. Величина с.к.о. зависит от аккуратности грузчиков, загружающих контейнер арбузами. Если бы они строго выполняли правила, по которым рассчитыва­ется нормативное количество арбузов, с.к.о. равнялось бы нулю).

Для преобразования полученных вышеописанным образом случай­ных чисел, распределенных почти по нормальному закону, к желаемым зна­чениям параметров (1512 и 70) сделаем следующее: вычтем из всех чисел 5 и поделим на корень из 10/12. Получим числа, распределенные по стандартно­му нормальному закону. Затем умножим числа на 70 и к каждому при­ба­вим 1512. Наконец, округлим полученные числа до целых. Таких чисел нам потре­буется 16 («честные» исходные данные).

Аналогичным образом моделируются 50 данных, в которых могли иметь место хищения арбузов. Таких хищений мы «создадим» 10, и они будут случайно разбросаны среди этих 50-и данных. Для целей выполнения курсо­вой примем, что каждый раз похищалось 200 арбузов, то есть в 10 случаях из 50 надо просто вычесть из сгенерированного случайного числа 200. Данная курсовая не ориентируется на полное изложение методологии выбо­рочных проверок (для более глубокого знакомства см. список литературы со статьями автора), но студенты должны представлять, как она проводится. Например, проверяющий выберет наугад три случая из 50-и, в которых потенциально могут иметь место хищ­ения. С достаточно высокой степенью достоверности один из выбранных случаев попадет на один из 10 случаев, в которых имелись хищения. Тогда стандартная методика проверки гипотезы о том, что матожи­дание равно 1512 (методом Стьюдента) с 95%-ой надежностью даст ответ, что гипотеза отвергается в пользу того, что матожидание менее 1512 (то есть что хищение в данном случае имело место). В тексте курсовой надо привести только сам процесс вычисления t-переменной Стьюдента и использование таблицы Стьюдента.

Для ориентировки ниже приведены 16 «честных» случайных чисел, сгенерированных вышеописанным способом:

1532 1565 1524 1426 1540 1542 1452 1456

1353 1478 1486 1495 1443 1540 1507 1486

Задание 10 следует рассматривать, скорее,. не как тему отдельной курсовой, а как идеологическую основу для целого семейства курсовых.

Задание 11.

Расчет нелинейной регрессии методом кривых Пирсона

(для тем, связанных с поведением потребителя)

Замечания для преподавателей. С точки зрения маркетинга, речь идет о поведении различных возрастных групп потребителей. С точки зрения эко­но­метрики, речь идет о методе расчета нелинейной кривой регрессии, относя­щейся к одному из семи типов кривых Пирсона, сглаживающих эксперимен­таль­ные данные. (См. Сб. задач Л.Д. Мешалкина).

Постановка задачи

В небольшом городке испытывается новая модель электробритвы с повышенной комфортностью, но со сроком службы 1 год (рекламный слоган: «Целый год – без всяких хлопот»). Все лица, купившие такую бритву в теку­щем году, разбиты на возрастные группы: от 20-2,5 до 20+2,5 лет; от 25-2,5 до 25+2,5 лет, от 30-2,5 до 30+2,5 лет, . . . , от 80-2,5 до 80+2,5 лет. Условно считается, что в первой группе все потребители имеют возраст 20 лет, во вто­рой – 25, и так далее. Количества людей в каждой группе заданы таблицей:

Возраст

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

Колич.

11

93

163

178

176

132

100

67

40

24

12

3

1

Изучение гистограммы этих данных (котороая должна быть приведе­на в курсовой) показывает, что кривая распределения отходит от оси иксов, имеет одну точку максимума и затем снова плавно подходит к оси ик­сов. По классификации Пирсона это – кривая I типа. Начало таких кривых Пирсон предложил помещать в точку, где находится максимум, а ширину об­ла­сти определения выбирать некоторым стандартизованным образом (напо­мним, что от сжатия кривой распределения вдоль оси иксов площадь под кривой не изменяется и остается равной единице).

Ход решения

В нашем примере естественная область опреде­ления простирается от 20-2,5 года до 80+2,5 года. Стандартизованная же об­ласть простирается от (–3,017) условных возрастных единиц до 12,043 услов­ных возрастных единиц (формулы, по которым в теории Пирсона находятся границы области, здесь не рассматриваются). Таким образом, вместо прежних возрастных единиц («годы»), в которых ширина области определения равня­лась 65 лет, будут использованы условные единицы, в которых ширина обла­сти определения равна 3,017 + 12,043 = 15,06. Если по оси иксов по-прежнему откладываются годы, график придется сжать в несколько раз вдоль горизон­тали. и во столько же раз растянуть вдоль вертикали. Но если вместо годов выбрать условные единицы в качестве масштаба по оси иксов, то сжатия графика по горизонтали не будет, а будет просто смещение графика так, чтобы начало отсчета иксов совпало с точкой максимума кривой. Соответ­ственно, высота максимальной точки не изменится (в нашем случае оно примерно равно 178 (потребителей)). Кривая регрессии I типа подбирается по формуле, предложенной Пирсоном:

p(x) = K (1 + x/3,017)a (1 – x/12,043)b ,

где параметры a, b подбираются методом наименьших квадратов отклонения от экспериментальных данных (параметр K, для упрощения курсовой работы, не подбирается на компьютере, а просто принимается равным 178).

У нас заданы 13 экспериментальных данных в точках 20, 25, 30, …, 80 лет. Эти точки надо пересчитать с учетом перехода от годам к условным единицам и сдвига начала координат в точку максимума. Приближенное расположение точки максимума (если судить по таблице данных) : х = 33,5 лет. Пересчет делается путем вычитания из всех иксов 33,5 лет и умножения затем на поправочный множитель 15,06/67,5. Пояснение. Исходная ширина области определения кривой p(x) равна 65 лет, но ввиду медленного спадания её на правом краю области определения можно продлить кривую до значения 85 лет. Тогда длина области определения будет равна 67,5 лет.

Прежде чем делать подбор параметров a, b , надо убедиться, что все пересчитанные по формуле (х-33,5)*15,06/67,5 значения возраста лежат на естественной области определения приведенной вышн кривой Пирсона, то есть на отрезке (-3,017 ; 12,043). Это условие должно соблюдаться в течение всего процесса подбора параметров a, b. Исходные значения были взяты такие: a = 2, b = 5. При этом сумма квадратов отклонений равна 9120. После минимизации этой суммы путем вызова оптимизатора (пункты меню в Excel: Сервис, Поиск решения) получены значения a = 1,257 , b = 4,270 . Для этих значений сумма квадратов отклонений равна 292.

Приведем исходные и сглаженные значения кривой распределения для оптимизированных значений парметров a, b:

11 93 163 178 176 132 100 67 40 24 12 3 1

0,14 96,1 161 182 170 139 102 66,9 38,5 18,8 7,23 1,9 0,23

На рис.2 эти данные представлены в виде двух гистограмм.

Рис. 2 Теоретическая (слева) и эмпирическая гистограммы

Имея явную теоретическую формулу для кривой распределения потребителей электробритв

p(x) = 178 (1 + x/3,017)1,257 (1 – x/12,043)4,270 ,

можно поставить на твердую почву решение многих макретинговых задач, например: как изменится объем покупок бритв в следующем году, если молодежь этого городка в возрасте от 17,5 и до 30 лет будет призвана на службу в армию. Задание 12 также посвящено этой тематике.

Задание 12.

Использование нелинейной кривой регрессии для расчета прибыли городской транспортной компании

Постановка задачи

Методами, изложенными в задании 11, была рассчитана кривая ин­тен­сивности использования городского транспорта жителями города К. Общее количество жителей равно 30000 человек., один билет на любой вид транспорта стоит 17 рублей за одну поездку (независимо от её длительности), один житель делает в среднем четыре поездки в день. Кривая имеет вид

p(x) = K (1 + x/3,017)1,257 (1 – x/12,043)4,270 ,

где К подбирается таким образом, чтобы суммарная площадь под кривой (на отрезке [-3,016; 12,042]) равнялась единице.

Пользователи транспорта разбиваются на возрастные группы (5, 10 лет), (10, 15 лет), …, (75, 80 лет). Стандартизованное значение х= –3,017 соответствует возрасту 5 лет, а значение х=12,043 – возрасту 80 лет.

Согласно распоряжению мэра города г-на Стручкова, со следующего года все жители города в возрасте 60 лет и выше будут пользоваться транс­портом бесплатно. Какой убыток (в пересчете на один месяц) потерпит от этого транспортная компания? Сколько процентов от дохода предыдущего года он составит? Вопрос на понимание ситуации: как Вы думаете, сможет ли компания покрыть убыток за счет сокращения количества единиц транспорта, обслуживающего население? Полностью ли она компенсирует убыток, если г-н Стручков даст компании дотацию в размере четырех поездок в день каж­до­му жителю в возрасте 60 лет и выше?

Ход решения

(Рекомендуется использовать пакет Excel). Беря исходное значение К=1, вычисляем значения p(x) на указанном отрезке с шагом 0,1. Вычисляем площадь под этой кривой методом прямоугольников (основание каждого прямоугольника равно 0,1). Всего таких прямоугольников будет (примерно) (3,016 + 12,042)/0,1 = 151. <Для сверки: эта площадь равна 6,18; см. рис. 3>

Так как площадь под кривой должна равняться единице, то необхо­димо выбрать К = 1/6,18. Так как в городе К. 30000 жителей (имеются в виду

жители в возрасте от 5 до 80 лет), а каждый житель ежедневно платит за свой проезд 4*17 рублей, то за месяц он заплатит 30*4*17 рублей, то есть месяч­

Рис. 3. К методике нахождения параметра K.

ный доход транспортной компании равен 30000*30*4*17 = 61,2 млн. руб.

Теперь необходимо рассчитать, сколько процентов площади под кривой распределения лежит правее икса, соответствующего возрасту 60 лет. Это и будет процент дохода, потерянный компанией из-за распоряжения мэра Стручкова. Так как отрезок [-3,016; 12,042] является просто как бы умень­шенной копией отрезка от 5 до 80 лет, то для расчета значения «х», соответ­ствующего возрасту 60 лет, составляем пропорцию:

(х + 3,016)/15,058 = (60 – 5)/75. Отсюда х = 8,027. Вычислим пло­щадь на отрезке [8,027 ; 12,042] тем же методом, что и выше. Получим число 0,0062 (то есть 0,62% всей площади). Это число получилось малым из-за того, что делалось неочевидное предположение: чем человек старше, тем он реже пользуется транспортом. Так как для другой (более реалистичной) кривой распределения пользователей транспорта по возрасту вычисления делаются по той же схеме, то доведём их до конца. А именно, компания потерпит убыток в 0,0062*61,2 млн. руб. = 337216 рублей.

Задание 13.

Расчет кривой спроса построением параболической и синусоидальной регрессии

Пояснения для преподавателей. Кривая спроса для неограниченно делимого товара может считаться непрерывной (и даже гладкой) функцией. Она должна быть убывающей и выпуклой вниз. Подобного рода кривых име­ется много в арсенале математики. Расчет кривой спроса обычно делается построением регрессии на основе нескольких эмпирических точек (p, q), где p - цена товара, постоянная в течение рассматриваемого периода времени, q – суммарное количество, купленное потребителями в течение данного периода. В объясняемых координатах этих точек «спрятаны» случайные погрешности. Мы будем считать, что объясняемой переменной является q. Случайные погре­шности (отвечающие условию гомоскедастичности) добавлены к базовой зависимости q = f(p) методом генерации случайных чисел на компьютере. Затем производится подгонка параболической кривой и синусоидальной кривой (на участке, кде она убывает и выпукла вниз). Качество подгонки и для той, и для другой регрессионной кривой проверяется путем расчета минимальной суммы квадратов регрессионных остатков и сравнения этих двух сумм. В качестве товара взят картофель. Чтобы не возникало лишних вопросов о поведении кривой спроса при стремлении p к нулю и к бесконечности, эта кривая рассматривается в диапазоне от 5 до 50 рублей (ориентировка на стоимость килограмма картофеля).

Постановка задачи

Задано пятнадцать точек на кривой спроса: (данные о месячной продаже картофеля в пятнадцати однотипных посёлках)

Руб. 9 11 11 13 15 19 20 20

Кг 4800 3900 3800 3500 3200 2900 2800 2800

Руб. 21 23 27 27 28 30 37

Кг 2800 2700 2600 2600 2500 2500 2400

Сделать расчет, при какой цене будет раскуплено за месяц ровно 3000 кг картофеля. Для этого рассчитать регрессию в двух вариантах:

а) вида y = a x2 + b x + c (13.1)

б) вида y = A sin(π x /30) + B cos(π x /30) + C (13.2)

Оценить, какая регрессия лучше.

Ход решения

Сначала студент представляет исходные данные графически (следу­ет обратить внимание на то, что кривизна в начале линии спроса больше, чем в конце).

Затем вычисляются коэффициенты параболической регрессии по формуле вида ЛИНЕЙН(E1:E15;F1:G15;1;1) , где в столбце E расположены значения объясняемой переменной, в столбце F – квадраты значений объяс­няющей переменной, в столбце G – просто значения объясняющей перемен­ной. Первая единица означает, что нужно учесть постоянное слагаемое, а вторая единица – что надо вывести на экран статистические показатели ре­грессии. Нажав на Enter, можно увидеть один из коэффициентов рассчи­танной компьютером регрессиии (какой именно – будет указано ниже).

Чтобы увидеть все данные по регрессии, следует выделить вправо и вниз область, достаточную для размещения всей информации (если будет выделена ячейка, в которой нет данных, то она будет помечена как Н/Д). Затем надо щелкнуть мышью на строке с формулой (формула от этого изменит свой цвет), и нажать комбинацию клавишей Ctrl+Shift+Enter. Ниже показано, что в этом случае получилось на экране:

-251,8 4,1205 6251,759 #Н/Д

33,199 0,7487 338,9115 #Н/Д

0,9303 191,9 #Н/Д #Н/Д

80,042 12 #Н/Д #Н/Д

6E+06 441924 #Н/Д #Н/Д

В первой строке представлены искомые коэффициенты регрессии. На последнем месте располагается постоянное слагаемое (если оно предусмотре­но формулой регрессии). На втором месте представлен коэффициент при ква­д­рате объясняющей переменной (обратите внимание: в исходных данных квадраты были записаны раньше, чем первые степени, а коэффициент при квадрате выдается на экран позже (так устроен пакет Excel)). Наконец, на первом месте представлен коэффициент при первой степени. Итак, первый вариант формулы для регрессии имеет вид:

y = 4,12 x2 – 252 x + 6252.

Во второй строке представлены средние квадратичные отклонения, даваемые формулами для вычисления коэффициентов регрессии (в курсовой не используются). Из оставшихся чисел обратим внимание только на три:

0,9303 (коэффициент детерминации),

12 (число степеней свободы в исходных данных); оно равно 15 – 3 (всего данных 15, но три из них как бы «потрачены» для оценки a, b, c),

441924 – остаточная сумма квадратов.

Графически исходные и регрессионные точки изображаются так (см. рис. 4). Рассмотрим теперь расчет синусоидальной кривой регрессии по тем же 15-и точкам. Хотя в формуле (13.2) имеется и синус, и косинус, итоговая кривая все же будет синусоидой, но растянутой и смещенной вдоль осей OX и OY. В описании регрессии участвует только небольшой кусок этой синусои­ды. Как и раньше, заносим столбец значений игреков, а за ним – столбцы со значениями синуса и косинуса в соответствии с формулой (13.2) (столбец иксов в данной модели не нужен). Получаем результаты:

1163 -74,964 3543,759

156,4 185,49 168,2931

0,8768 255,07 #Н/Д

42,702 12 #Н/Д

6E+06 780747 #Н/Д



Рис.4. Параболическая модель регрессии (квадратики).

Черточки – исходные данные.

Теперь уравнение регрессии имеет вид

y = -75,0 sin(π x /30) + 1163 cos(π x /30) + 3544

На рис. 5 эта кривая сравнивается с исходными точками.

Заменяя «у» на 3000 и решая полученное уравнение (квадратное или тригонометрическое), мы и получаем искомую цену «х» в каждом из двух случаев

Осталось ответить на ворос, какая из регрессий лучше. Если судить по математическим показателям, то первая лучше: у нее больше коэффициент детерминации (0,9303 > 0,8768), и у нее меньше сумма квадратов (441924 < 780747). Причиной последнего обстоятельства является то, что синусоида слева искривлена меньше, чем справа. А у исходной кривой --– наоборот, слева кривизна больше. С точки же зрения экономики они «обе хуже», так нарушают основное свойство кривой спроса: она должна монотонно убывать, а на обоих кривых регрессии просматривается точка минимума. Как же быть? Искать другие кривые регрессии! (Такой поиск вполне можно доверить студенту-отличнику. Подскажем, что исходная кривая является дробно-линейной функцией, «запылённой» случайными ошибками. Так было задума­но автором задания. Значит, и регрессию разумно искать в таком виде).

Если же всё же доводить до конца решение именно с этими регрес­сиями, то надо из двух корней квадратного уравнения (или из многих корней тригонометрического уравнения) надо отобрать только один, лежащий в экономически допустимых пределах



Рис. 5. Синусоидальная регрессия.

Задание 14.

Рекламная акция по продаже «Сникерсов». Расчет прибыли методами ЛИФО и ФИФО

Пояснения для преподавателей. В начале перестройки (в 1991 году) в конце улицы Арбат продавали «Сникерсы», чтобы приучить российских по­тре­бителей к новому виду продукции. «Сникерсы» продавались по смехотвор­но низкой цене (примерно по два рубля за штуку, в переводе на нынешние деньги). Естественно, в очереди наблюдалось несколько старушек с кошёл­ками, которые закупали продукцию по несколько десятков штук, быстро смекнув, что в Подмосковье её можно будет перепродать намного дороже. В связи с этим возникает вопрос: не сорвут ли такие старушки, заполонив всю очередь, рекламную акцию производителей «Сникерсов» ? По-видимому, разумно постепенно повышать розничную цену. От этого дальнейший рост перекупщиков в очереди сильно сократится, а оставшиеся старушки будут закупать всё меньше и меньше «Сникерсов», опасаясь, что не все их удастся распродать. Но тогда мы попадаем в классическую ситуацию, когда меняется со временем закупочная цена «сырья», то есть при исчислении прибыли необ­ходимо использовать один из разрешенных в России методов расчета стои­мости запасов. В данной курсовой выбраны методы ЛИФО и ФИФО. Кроме того, считается, что «рыночные» (не рекламные) цены реализации «Сникер­сов» изменяются случайным образом (но всё же постепенно нарастают). После формализации описанных общих соображений мы и получаем формулировку задания для курсовой.

Постановка задачи

Фирма, проводящая рекламную акцию в России по продаже «Сникер­сов» по постепенно нарастающей цене (от «рекламного» до «рыночного» уров­ня), заключила договор с российской фирмой-посредником «Не тормози, сникерсни!» о том, что посредник будет каждые две недели закупать у произ­во­ди­теля товар по следующей схеме: 16 единиц по 1 руб. за «Сникерс» (еди­ни­цей считается упаковка, содержащая 1000 шт. товара); затем 15 единиц по по 2 рубля, затем 14 единиц по 3 руб., 13 единиц по 4 руб., и так далее до 1 единицы по 16 руб. за штуку товара. Исходная рыночная цена «Сникерса» равна 5 руб/шт., но прогнозируется, что она будет нарастать (так как россия­нам понравится этот товар) примерно до 12 руб. за штуку. Таким образом, посредник, исходя из этого прогноза, сначала будет иметь крупную прибыль, а конце будет терпеть убыток. В целом, конечно, посредник надеется, что прибыль в начале с лихвой компенсирует убыток. Поставщик же заранее идет на убыток, так как акция носит рекламный характер. Тем не менее, в договоре предусмотрена уплата крупной неустойки как посредником, так и поставщи­ком, если они нарушат этот договор. (Студент должен сам сформулировать, почему в этой ситуации возможно нечестное поведение как одной, так и другой договаривающейся сторны).

Посредник принял решение в конце каждого месяца распродавать все закупленные в этом месяце упаковки, кроме одной. Тем самым на складе у посредника постепенно нарастает то, что в логистике называется «страховым запасом товара». Благодаря наличию такого запаса, состоящего из упаковок, закупленных в разное время и по разной цене, подсчет прибыли посредника в конце каждого месяца должен призводиться тем или иным методом списания запасов на себестоимость. В данной курсовой предлагается использовать ме­тоды ЛИФО и ФИФО и сравнить их между собой.

Вместо подсчета стоимости упаковок, ушедших со склада, достато­чно рассчитать стоимость запаса, оставшегося на складе (это будет проще и позволит глубже понять суть методов ЛИФО и ФИФО).

Чтобы смоделировать случайные значения рыночной цены «Сникер­са», нарастающие в среднем от 5 (в конце первого месяца) до 12 (в конце 8-го месяца) рублей, студент должен написать уравнение прямой, проходящей через точки (1, 5) и (8, 12), и в конце каждого месяца прибавить к ней случай­ное число, равномерно распределенное от (-2) до 6 рублей.

Для выполнения этой курсовой необходимо рассчитать прибыль посредника в конце каждого из восьми месяцев методами ЛИФО и ФИФО и представить результаты графически на одной и той же гистограмме.

Ход решения

Напомним суть методов ЛИФО и ФИФО (подробнее о них можно прочитать в любом серъёзном учебнике по бухучёту, например в учебнике Кондракова). Обозначим через q1, q2, q3, … количества товара, поступающие на склад в моменты времени 1, 2, 3, … . Через p1, p2, p3, … обозначим закупочные цены товара, которые имели место на рынке в моменты 1, 2, 3, … Наконец, через Q1, Q2, Q3, … обозначим количества, уходящие со склада в призводство или на продажу в моменты 1, 2, 3, … Чтобы не возникало недоразумений, будем считать, что в один и тот же момент времени не может происходить и приход, и уход товара.

На печати будем изображать значения q, p, Q обычным, курсивным и жирным шрифтом соответственно. Например:

17(4), 15, 10 (6), 7, 10 (9), 8, …

Выше рассмотрены шесть разных моментов времени (неважно, какие именно эти моменты; но важно знать, какой из них раньше, а какой позже). На обычном языке эта строка расшифровывается так: «Сначала склад был пуст. В 1-й момент на него поступило 17 шт. товара по цене 4 руб/шт. Во второй – со склада ушло 15 штук. В 3-й момент поступило еще 10 штук такого же товара, но по цене 6 руб/шт. Затем ушло 7 штук, потом пришло 10 (по 9 рублей), в 6-й момент ушло 8, и так далее.».

Таким образом, физический поток товара описан полностью. Но его сопровождает и финансовый поток (бухгалтерские проводки по оприходова­нию товара и по его списанию со склада). Если с приходом товара всё ясно (если пришло 17 физических единиц по цене 4 руб/шт, то оприходовано 68 финансовых единиц <рублей>), то с уходом товара иногда возникает недоуме­ние: по какой цене списать ушедший товар? Так, когда ушло 15 единиц товара, было ясно, что каждая из них «унесла» с собой 4 рубля (так как все единицы на складе стоили 4 рубля). На складе остались две единицы по 4 рубля. Затем поступили ещё 10 единиц по 6 рублей. А после этого со склада надо отгрузить 7 единиц, но по какой цене? Две единицы по 4 рубля, прочие по 6? Или все по 6 рублей? Или ещё как-нибудь?

Вот тут-то нам и приходят на помощь методы ЛИФО и ФИФО. Каж­дый из них позволяет внести ясность в поставленный выше вопрос. Метод ФИФО (FIFO; first input – first output) приказывает раньше списывать со скла­да тот товар, который поступил раньше. В противоположность ему, метод ЛИФО (LIFO; last input – first output) предписывает отгрузку товара «с конца» - сначала списывают со склада единицы товара, поступившие последними (пока все они не будут выбраны), затем – предпоследними, и так далее.

При поверхностном взгляде на этот вопрос в голову сразу приходит мысль, что метод ФИФО «справедливый», а ЛИФО – «несправедливый» (так как приспособлен для обслуживания нахалов, рвущихся без очереди). На самом деле это, конечно, не так. Имеются ситуации, когда нужно применять метод ЛИФО и вообще невозможно применить метод ФИФО. Например, при программировании надо возвращаться сначала в ту подпрограмму, из которой вышел позже всего, потом – в предыдущую, и так далее. Что же касается бух­галтерии (и логистики), то между учёными долго тянулся спор о законности и преимуществах этих методов, но в итоге было осознано, что оба метода логи­ески равноправны и вполне могут использоваться для целей учёта. Тем не ме­нее, финансовые результаты за данный период времени, рассчитанные этими методами, могут сильно различаться. Это вовсе не значит, что таким образом «из воздуха» непонятным образом возникают лишние деньги. Просто сумма, не добранная в этом периоде, будет дополучена в каком-то другом периоде времени.

Сначала рассмотрим метод ЛИФО. Согласно ему, надо все семь единиц товара списать по цене последнего прихода товара, то есть по 6 рублей. На складе останется 5 единиц, из них две по цене 4 руб/шт, прочие три – по 6 рублей. (Конечно, на складе все 5 штук лежат в одной куче, так как физически они ничем не отличаются. А различие в цене отразилось лишь в документах склада и бухгалтерии). На складе остались «лежать» 2*4 руб. + 3*6 руб., воплощенные в стоимости пяти единиц товара.

Теперь применим метод ФИФО. Сначала спишем самые ранние единицы товара, то есть две шт. по 4 рубля. Затем спишем ещё пять шт. по 6 руб. На складе остались, в виде стоимости товара, 5*6 руб.

Рекомендуется довести до конца эти рассуждения: как следует производить списание следующих 8 единиц товара?

Опыт преподавания методов ЛИФО и ФИФО привёл автора в убеждению, что даже способные студенты, вроде бы схватившие на лету алгоритмы ЛИФО и ФИФО (тем более, что звучат они обманчиво просто), не понимают, какие крупные подводные камни могут им встретиться на этом пути. Поэтому в качестве первой (и главной) части курсовой работы предла­гается заполнить следующую таблицу из восьми групп операций; в каждой группе имеется две операции прихода товара и одна операция ухода. Эти операции описаны выше, в постановке задачи. После каждого ухода товара надо подсчитать, сколько рублей осталось на складе согласно бухгалтерским документам (один раз – методом ЛИФО, другой – методом ФИФО). Первые две из восьми групп уже заполнены (надо только понять, почему они именно так заполнены). Остальные надо заполнить самостоятельно и обсудить результаты с преподавателем.

Рублевые остатки на складе (двумя методами) Остат.на складе

(тысяч рублей)

тыс.шт. руб/шт тыс.шт. руб/шт ФИФО ЛИФО

нач.янв. 16 1 серед.янв. 15 2

отгрузка 30 2 1

нач.фев. 14 3 серед.фев. 13 4

отгрузка 26 8 4

нач.мар. 12 5 серед.мар. 11 6

отгрузка 22 18 9

нач.апр. 10 7 серед.апр. 9 8

отгрузка 18 32 16

нач.мая 8 9 серед.мая 7 10

отгрузка 14 50 25

нач.июн. 6 11 серед.июн. 5 12

отгрузка 10 72 36

нач.июл. 4 13 серед.июл. 3 14

отгрузка 6 98 49

нач.авг. 2 15 серед.авг. 1 16

отгрузка 2 128 64

Подчёркнутые данные в группах 3-8 – это попытка некоторого студента решить данную задачу. Данные подчёркнуты потому, что это реше­ние неверное, и это легко доказать. В самом деле, после каждой от­грузки на складе оставалась одна не распроданная упаковка «Сникерсов». После 8-й отгрузки их осталось восемь, а общая их стоимость (посчитанная методом ФИФО) равна 128 тыс. рублей, то есть 8 раз по 16 тысяч. Но по цене 16 тысяч на склад поступила только одна упаковка. Значит, это число явно завышено, то есть хотя бы одно неверное число среди подчеркнутых есть. А вот с какого места начинаются ошибки, сколько их, и как их исправить – это задача для студента, выполняющего данную курсовую. Пока в этом вопросе не появится ясности, нельзя считать, что методы ЛИФО и ФИФО поняты до конца!

Во второй части курсовой работы следует 10 раз смоделировать слу­чайное нарастание рыночной цены на «Сникерсы» и каждый раз вычислить суммарную прибыль посредника (один раз - по методу ЛИФО, другой раз – по методу ФИФО). Найдя среднее арифметическое прибылей для каждого из этих методов, сделайте вывод о том, какой из методов выгоднее для посред­ника. Прибыль от перепродажи вычислять как разность между стоимостью приобретения товара и ценой его реализации в конце месяца. Для примера ниже приведены 8 цен на «Сникерсы» для одного из десяти планируемых случайных испытаний (цены даны в рублях, на конец месяца):

3,37

4,94

5,98

8,03

11,68

13,16

16,45

16,06

На методы ЛИФО, ФИФО и средней себестоимости можно подго­товить целую серию разных курсовых изложенного выше типа.

Кроме этих трех методов, в практике работы предприятия используются и другие подобные методы. Например, LOFO, HIFO, KIFO (первый из них требует списания запасов, в первую очередь, по более низкой цене покупки; второй – по более высокой, а третий, расшифровывающийся как «Konzern input – first output», в первую очередь списывает запасы, произведенные на этом концерне (предприятии)). Как говорится, «не буди LIFO, пока спит тихо…».

Задание 15.

Прогноз дохода от земельного участка за пять лет (множест­венная регрессия с двумя объясняющими переменными)

Замечания для преподавателей. Давно уже стали притчей во языцех неграмотные модели множественных регрессий для расчета ориентировочной стоимости квартиры в Москве, в которых учитываются до шести объясняю­щих переменных, каждая из которых может меняться непрерывно или явля­ется дискретной и имеет 9-22 значений (например, номер этажа, на котором находится квартира). При этом для расчета используется только 70-80 данных о последних проданных квартирах такого типа, «потому что надо отбирать данные при прочих равных условиях, а этих условий (то есть параметров квартир) можно насчитать до 25-и и более – как их все сделать равными?». В такой ситуации лучше вообще отказаться от составления регрессии, чем вво­дить в заблуждение широкие массы покупателей квартир. В то же время имеются экономические ситуации, где и данных много (100-120 точек), и картина ясна с геометрической точки зрения (например, нахождение плос­кости регрессии с учётом двух объясняющих переменных и постоянного слагаемого), поэтому построение множественной регрессии вполне уместно и приносит практическую пользу. На занятиях по эконометрике ввиду малого количества часов множественные регрессии подробно рассмотреть не удаётся, так что предлагаемая ниже курсовая послужит хорошим практичес­ким закреплением изученных в теории понятий.

Постановка задачи

Имеется квадратное поле размерами 1000 м на 1000 м, на котором урожайность картофеля зависит от двух факторов: степени увлажнения почвы и количества в ней перегноя. Вследствие особенностей расположения поля и состава его почвы фактор увлажнённости линейно нарастает при движении по одной стороне поля (ось ОХ) независимо от степени смещения по другой стороне (ось OY). Фактор количества перегноя аналогичным образом нарас­тает линейно вдоль оси OY. Поле разбито на 400 квадратных делянок со сторонами 50 м на 50 м, и в течение десяти предыдущих лет на каждой делян­ке фиксировался собранный урожай, а в центральной части делянки брались пробы почвы на влажность и на содержание перегноя. Пробы на влажность делались через месяц после посадки картофеля, а на перегной – после уборки урожая. Пробы на влажность необходимо усреднить по 10-и годам, чтобы сделать их более независимыми от погодных условий в конкретном году, а по пробам перегноя сделать вывод о скорости истощения почвы с течением времени. Данные об урожайностях на конкретной делянке также надо усред­нить по 10-и годам.

Конкретные исходные данные будут даны преподавателем после беседы со студентом. Требуется рассчитать пять множественных регрессий (с учетом постоянного слагаемого) для прогноза урожайности поля на следую­щие пять лет (с учетом постепен­ного истощения перегноя в почве). Исполь­зовать их для суммарного прогноза выручки от продажи картофеля в ближай­шие пять лет.

Ход решения

Чтобы рассчитываемая регрессия была более близкой к реальным данным, приведем некоторые сведения об урожайности картофеля и об увлажненности почвы и содержании в ней перегноя. На сайте «Китай в циф­рах имеются следующие сведения об урожайности картофеля за несколько лет (в центнерах с гектара):

Год Урожайность картофеля

1980 112.45

1985 108.02

1990 113.21

1995 133.84

2000 140.35

2005 167.62

Для сравнения даны урожайности других стран:

Австрия 319.27

Люксембург 319.11

Швеция 311.06

Канада 293.94

Для измерения влажности используется понятие «полевой влагоём­кости» (естественная способность почвы удерживать воду). Цитируем отрывок с сайта www.mygarden.ru .

«Отличная степень влажности при 75 — 100% полевой влагоемкости. О ней можно судить по тому, что почва скатывается в прочный комок, очень податлива при сдавливании, легко слипается. Если почву сдавить сильнее, к пальцам прилипнет довольно большой комочек. И совсем плохо, если почва слишком влажная, выше полевой влагоемкости, когда при сильном сжатии из комка можно выжать немного воды. Поливать при таком ее состоянии не только расточительно, но даже вредно».

Будем задавать влажность в процентах от полевой влагоёмкости, в диапазонах от 10% (недостаточное увлажнение) до 80% (отличное увлажнение).

Содержание в почве перегноя (гумуса) будем изменять в пределах от 6% (подзол) до 15% (чернозем). Чтобы отразить факт истощения почвы (в упрощённой форме), в каждом следующем году и нижнюю, и верхнюю границу будем уменьшать на 1%.

Отметим, что строить парную регрессию по приведенным выше данным урожайности в Китае хотя и можно (с точки зрения математики), но не имеет особого смысла, так как со временем почва истощается, и нельзя считать. что дисперсии регрессионных остатков постоянны. (Здесь скорее помог бы анализ временных рядов).

Хотя количество делянок равно 400, мы будем выбирать только 100 из них (выбор можно делать случайным либо регулярным образом). Множе­ственную регрессию ищем в виде (х – влага, у – перегной, z – урожайность):

z = A x + B y + C

Представим участок графически (вид сверху):

перегной

0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0

0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0

0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0

1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0

1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0

1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0

нач. отсчета влажность

На схеме представлены 400 делянок, помеченных нулями и единица­ми (единицы означают, что данные с этой делянки будут учтены в расчете регрессии). Единицы были сгенерированы по формуле

Если(СЛЧИС()<0,25;1;0)

Теоретически говоря, вероятность появления единицы в этой форму­ле равна 0,25. Однако практически единиц оказалось не 100, а только 75. Однако этого количества достаточно для грамотного построения регрес­сии (наглядно видно, что единицы равномерно покрывают поле). Влажность будем откладывать по горизонтали, содержание перегноя – по вертикали. На делянке в левом нижнем углу влажность и содержание перегноя минимальны (10% и 6%), а в правом верхнем углу – максимальны (80% и 15%). Если условно принять, что на каждой делянке замеры влажности и перегноя делаются именно в левом нижнем углу, то нарастание влажности выражается формулой В = 10 + 70*х/(1000 – 50), где х – абсцисса левого края делянки. В самом деле, для первой делянки в горизонтальном ряду х=0, а В = 10 (про­цен­тов). А для последней делянки х=950 (метров), В = 80. Аналогичным обра­зом, нарастание перегноя в почве выразится формулой П = 6 + 9*у/(1000 – 50), где у – ордината нижнего края делянки.

Теперь нам понадобятся сведения об урожайности на делянках, поме­ченных единицами. Так как реальных данных у нас нет, для объяснения мето­дики расчёта осуществим генерацию урожайности искусственным образом,



Рис.6. Поверхность урожайности картофеля, смоделированная

с учетом случайных возмущений.

считая, что она ориентировочно лежит в пределах от 170 до 310 (цен­тнеров с гектара; см. реальные данные, приведенные выше). За основу возьмем зависи­мость вида z = ((x /1000 - 0,1)^2 + (y/1000 – 0,2)^2)*100 + 100 (смещенный параболоид вра­щения), график которого привелен перед рис. 6.

Из графика видно, что нелинейность этой поверхности на данной об­ла­сти значений (х,у) слабая, так что вполне уместно будет приближённо изобразить её плоскостью (плоскость регрессии). Значения же z дают пра­вильные с экономической точки зрения значения урожайности картофеля: в точке (0,0) с неблагоприятным сочетанием объясняющих переменных уро­жай­ность невелика (около 100 цент./га), а в точке (950,950) с высокими влажностью и содержанием перегноя она высокая (примерно 340 цент./га). Кроме того, в реальной жизненной практике зависимость урожайности от влажности и количества перегноя и в самом деле будет слабо нелинейной (хотя, конечно, вовсе не обязательно эту поверхность можно представить как параболоид вращения). Осталось «запылить» эту поверхность случайными отклонениями, для чего можно прибавить в каждой точке случайное число по формуле СЛЧИС()*30. Результат прибавления представлен на рис. 6. Поверх­ность имеет характерный вид «скомканной бумаги». Теперь можно присту­пать к расчету регрессии.

Чтобы рассчитать регрессию, отражающую поведение этих данных рассматриваемых как экспериментальные данные замеров на делянках, надо обычным образом выписать таблицу из трех столбцов и 75-й строки (напо­мним, что из 400 делянок мы случайным образом выбрали 75 делянок). В первом столбце мы запишем известные значения объясняемой переменной (то есть урожайности), а во втором и третьем столбце – значения объясняющих переменных (влажность, содержание перегноя). Так как в регрессию входит и постоянное слагаемое, то можно было бы записать ещё и третий столбец (состоящий из единиц), но он будет дописан самим компьютером, если задать нужный режим расчёта.

Однако в этом месте возникает чисто техническая трудность: данные надо расположить по столбцам, а в исходный момент они будут записаны внутри матрицы. Изложим удобную компьютерную процедуру преобразо­ва­ния матрицы в столбец. Если матрица имеет размеры 20 на 20 и состоит из чисел a i j , то вектор имеет 400 компонент b k , вычисляемых по формуле (в случае считывания элементов матрицы по столбцам):

k = i + 20*(j – 1)

Для реализации такого рода формул в Excel используем короткую програм­му на языке Visual Basic:

For j = 1 To 3

For i = 1 To 2

Cells(i + (j - 1) * 2, 5) = Cells(i, j)

Next

Next

Под действием этой программы матрица 2х3, записанная в левом верхнем углу таблицы Excel , переписывается по столбцам в пятый столбец, то есть столбец Е.

Любые другие варианты переписывания матрицы по столбцам легко получить видоизменением этого текста (являющегося макросом для элект­ронной таблицы Excel). Укажем попутно, как без лишнего формализма вне­дрить макрос в Excel-таблицу:

1) запускаем режим Сервис, Макрос, Начать запись. Переход в режим записи подтверждается появлением в таблице маленького окна, в котором указана синяя кнопка (нажатие на которую приводит к остановке записи). Предварительно надо задать имя макроса и комбинацию клавишей для его вызова (например, Ctrl-h).

2) Делаем в режиме записи некоторое действие (например, закраши­ваем красным выделенную курсором ячейку) и щёлкаем мышью на кнопке останова.

3) Входим в режим Сервис, Макрос, Макросы, Изменить. На экране появляется текст макроса, только что записанного нами. Добавляем к нему (без ошибок!) указанный выше (но видоизмененный для данной ситуации) текст с двойным циклом.

4) закрываем окна отладчика Visual Basic и запускаем в появившейся после этого Excel-таблице нужный нам макрос комбинацией Ctrl-h.

Ниже показано, как был изменен текст макроса для расчета столбцов нашей регрессии (речь пока идёт о столбцах длины 400; далее они будут сокращены до длины 75). Результат записывается в столбце W начиная с 46-го места).

For j = 2 To 21

For i = 48 To 67

Cells(i - 2 + (j - 1 - 1) * 20, 23) = Cells(i, j)

Next

Next

Прежде, чем применять этот макрос, необходимо заполнить нулями таблицу 20х20, где вычислены 400 значений урожайности, на тех местах, которые не попали в выборку из 75 делянок. Для вычисления урожайности использовалась формула

((B$24/1000+0,1)^2+($A25/1000+0,2)^2)*100+100+СЛЧИС()*30

Копирование этой формулы вправо и вниз (с учётом расставленных в ней знаков доллара) и даёт 400 значений урожайности. За основу взята слабо искривленная поверхность, и её значения искажены добавлением случайных чисел в диапазоне от 0 до 30. Вместо формул введены их значения, иначе эта матрица будет изменяться с каждым шагом работы Excel.

Затем значения этой формулы копируются на свободное место Excel-таблицы. На том же листе таблицы уже записана таблица из нулей и единиц, показывающая, какие делянки попали в выборку. При копировании следует применить команду вида Если(В25=0;0;В25). Тогда значения урожайности будут даны только в выбранных 75 точках, а на остальных местах получатся нули.

По аналогичной методике получаются и два столбца (длины 400) со значениями двух объясняющих переменных. В одном из них записаны влажности В (зависят от х), в другом – содержания перегноя П (зависят от у). Формулы для них приведены выше.

Для отделения ненулевых чисел в полученных трех столбцах от нуле­вых надо выделить все три столбца вместе и отсортировать по убыванию любой из трех столбцов (вместе с ним синхронно будут сортироваться и соседние два столбца). В итоге нули окажутся в самом конце, но при этом порядок данных регрессии (75 чисел) изменится. Как известно, коэффици­енты регрессии от такого изменения не меняются.

Окончательно 75 исходных данных для расчета урожайности Z по влажности почвы X и содержания в ней перегноя Y приведены ниже в виде таблицы, имеющей четыре столбца (№ п/п, Z, X, Y) и 75 строк. Для удобства расположения на странице эта таблица разбита на три порции по 25 чисел.

1 332 65,3 15 26 227 76,3 8,37 51 181 54,2 6,5

2 323 80 14,1 27 226 72,6 8,37 52 181 17,4 11

3 315 65,3 14,5 28 225 72,6 6,47 53 179 57,9 6

4 315 61,6 14,5 29 220 61,6 9,32 54 179 24,7 12

5 301 54,2 15 30 219 50,5 10,7 55 173 28,4 9,8

6 289 68,9 13,6 31 217 54,2 10,3 56 171 46,8 6,9

7 285 65,3 13,6 32 215 61,6 10,7 57 170 35,8 9,3

8 279 68,9 12,2 33 213 72,6 7,89 58 169 46,8 7,9

9 274 39,5 15 34 210 50,5 11,2 59 168 39,5 7,9

10 267 72,6 12,2 35 210 10 13,6 60 165 54,2 7,9

11 264 57,9 13,1 36 208 13,7 13,6 61 164 24,7 11

12 261 61,6 12,6 37 208 46,8 11,2 62 161 32,1 8,4

13 260 80 8,84 38 208 43,2 10,7 63 160 21,1 10

14 256 76,3 10,7 39 203 39,5 11,2 64 157 17,4 9,3

15 254 21,1 14,5 40 197 68,9 6 65 157 10 9,8

16 251 68,9 11,7 41 194 13,7 12,2 66 152 21,1 8,4

17 246 68,9 11,2 42 193 32,1 10,7 67 151 39,5 6

18 244 50,5 13,1 43 193 35,8 10,7 68 151 46,8 6

19 244 43,2 13,6 44 193 32,1 11,7 69 150 39,5 7,4

20 243 35,8 14,1 45 193 39,5 10,3 70 150 17,4 8,4

21 241 21,1 15 46 190 57,9 7,89 71 149 32,1 8,8

22 240 80 8,37 47 189 21,1 12,2 72 134 28,4 6

23 238 65,3 10,3 48 189 28,4 12,2 73 132 28,4 6,5

24 232 10 14,1 49 188 50,5 9,79 74 118 21,1 6

25 231 32,1 14,1 50 186 10 11,2 75 116 24,7 6,5

В этой таблице значения урожайности расположены по убыванию, но конкретный порядок следования данных для расчета регрессии роли не играет.

Для расчета коэффициентов регрессии используем стандартную процедуру Excel для расчета множественной линейной регрессии:

ЛИНЕЙН(A1:A75;B1:C75;1;1)

Точки с запятой отделяют друг от друга следующие начальные данные и установки: набор объясняемых переменных; набор пар объясня­ющих перемен­ных, учесть постоянное слагаемое; рассчитать статистику регрессии. Так как массивы имеют большой объём, сделаем тестирование работы этой процедуры на малом объеме исходных данных и на известном заранее ответе. В роли теста возьмем плоскость регрессии z=7x+8y+9 и будем восстанавливать эту плоскость по следующим данным:

Z X Y

40,05 1 3

78 3 6

69 4 4

54 3 3

Первое значение Z в идеальном случае должно равняться 40, но мы его немного исказили (иначе при расчете статистике получится деление на нуль). Получен ответ для теста:

7,997449 6,983 9,0704

0,0066718 0,007 0,028

0,9999997 0,015 #Н/Д

1826560,3 1 #Н/Д

838,72665 2E-04 #Н/Д

В первой строке идут коэффициенты, близкие к числам 8, 7, 9. Отсю­да делаем два вывода: а) процедура дала верный ответ, так как с самого нача­ла мы знали, что верный ответ будет близок к числам 7, 8, 9; б) процедура ЛИНЕЙН устроена так, что коэффициенты рассчитанной регрессии выда­ются в следующем порядке: на последнем месте – свободное слагаемое, а коэффициенты при объясняющих переменных идут в обратном порядке по отношению к порядку следования столбцов исходных данных. Третье число в первом столбце дает коэффициент детерминации R2 . Его значение получи­лось столь близким к единице благодаря малому отличию тестового значения Z=40,05 от идеального значения 40. Действуя аналогичным образом для основного варианта расчета, получаем ответ:

14,148428 1,529 -6,628

0,5376008 0,071 6,7454

0,938929 12,57 #Н/Д

553,47811 72 #Н/Д

174825,75 11371 #Н/Д

#Н/Д #Н/Д #Н/Д

Пользуясь первой строкой, получаем ответ:

Z = 1,529 X + 14,15 Y – 6,63

Первые два коэффициента положительны, что соответствует эко­номической сути задачи: с ростом увлажнения и с ростом содержания пере­гноя урожайность тоже нарастает. Третий коэффициент экономического смысла не имеет и позволяет только повысить точность регрессии. Поэтому его отрицательность не является свидетельством неправильности расчета.

Количество степеней свободы равно 72, так как, найдя значения оценок трех коэффициентов регрессии, мы связали 75 исходных данных тремя линейными уравнениями. Остаточная сумма квадратов равна 11371. Этот ответ, зная коэффициенты регрессии, легко проверить. <Студентам рекомендуется включить эту проверку в текст курсовой>.

Имея уравнение регрессии, можно решить ряд практически важных экономических задач. Например, вычисляя значения регрессии на каждой из 400 делянок, можно найти прогноз общего урожая, полученного с этого поля в следующем году. Более того, можно с помощью той же регрессии сделать прогноз урожая на 2,3, 4 и 5 лет вперёд, если значения «у» сместить на нуж­ное расстояние вниз. Тем самым будет учтено постепеноое уменьшение количества перегноя в почве после снятия очередного урожая.

В курсовой работе это необходимо проделать и сложить пять полу­ченных прогнозов величины урожая картофеля. Следует также построить график найденной регрессии в виде плоской поверхности.

Задание 16.

Изучение устойчивости регрессионной прямой при засорении исходных данных случайными ошибками с нарастающей дисперсией

Для преподавателей. Расчет регрессии по классической формуле в случае гетероскедастичности ошибок является, как известно, некорректной операцией. Однако в данной курсовой речь будет идти не об использовании на практике неверно сделанного расчета, а о сравнении большого количества неверно сделанных расчетов (в достаточно большом количестве точек, а именно, в десяти) с верным решением, чтобы найти величину допущенной ошибки. Такое задание поможет понять студенту суть возникающих в этом случае трудностей и развить интуитивное восприятие регрессии.

Постановка задачи

Инновационная фирма «Авто-Водород» объявила о широких прода­жах через10 месяцев нового типа автомобилей с водородным двигателем. Пробные образцы их будут продаваться в начале каждого из 10 месяцев, оставшихся до начала массовых продаж. Специалисты фирмы считают, что при отсутствии интенсивного рекламного воздействия на покупателей количества пробных закупок нарастали бы по линейному закону, так как новые двигатели действительно лучше бензиновых. Однако в обществе имеются две противоположных тенденции лоббирования, публикующие тенденциозные материалы о новых автомобилях как в сторону преувеличения их достоинств (заголовки «Водород – путь вперёд», «Долой бензиновых чудовищ», «Конец отраве выхлопными газами» и т.д.), так и в сторону нагнетания страха перед непривычной техникой (заголовки типа «Растёт число погибших от взрыва водорода», «Трагедия в цеху фирмы «Авто-Водород»», «Пора запретить недоработанную конструкцию»). По мере при­ближения момента массового появления водородных автомобилей на рынке воздействия печатных и телевизионных материалов на поведение поку­пателей усиливаются, так как в перспективе одна группа производителей останется не у дел, а другая – получит крупные прибыли. Это воздействие носит случайный характер, так как одному покупателю попадается на глаза хвалебная статья, а другому – разгромная. Из-за этого кривая продаж носит не линейно-нарастающий характер, а скачкообразный, причем размах скачков усиливается по мере движения от 1-го месяца к десятому.

Осуществить статистическое моделирование ситуации, подготовив 30 наборов по 10 данных в каждом, показывающих купленное количество новых автомобилей в начале каждого из 10 месяцев предварительной продажи. Это количество генерируется на компьютере как сумма двух слагаемых, одно из которых линейно нарастает от 700 до 1600 покупок, а второе является случайной величиной, распределенной по нормальному закону с нулевым средним значением и со значением с.к.о., линейно нарастающим от 20 до 65 автомобилей по мере увеличения номера месяца.

По каждому из тридцати наборов по 10 чисел рассчитать прямую регрессии и все их изобразить на одном чертеже. На том же чертеже изобра­зить жирной линией линейную функцию, которая имела бы место, если бы рекламное воздействие на потребителей отсутствовало бы. Сделать вывод, можно ли было бы «угадать» эту объективную линию среди тридцати тенден­циозных реализаций.

Ход решения

Для пояснения вместо 30 наборов будут обработаны только 5. Прочее студент завершает самостоятельно.

Как обычно, запишем линейную формулу для вычисления продаж согласно объективной линии: y = 700 + 100*(n – 1), где n - номер месяца. Укажем также линейный закон нарастания с.к.о : z = 20 + 5*(n – 1).

Как уже было сделано в одной из предыдущих курсовых, для моделирования случайных чисел, распределенных по нормальному закону, возьмём сумму двенадцати слагаемых вида 2*СЛЧИС()-1. Ниже приведен образец моделирования 30-и таких чисел:

-1,71 3,76 1,63 -5,54 3,20 0,42 0,08 -1,25 -2,61 -1,99

-2,88 1,37 -0,49 2,26 3,31 -0,50 0,74 0,58 -1,46 2,55

-2,44 -1,31 -2,40 2,27 -4,77 2,34 3,05 0,22 0,64 -2,71

Каждое из 12 независимых слагаемых имеет матожидание, равное нулю, и дисперсию, равную 4*(1/12). Поэтому их сумма имеет дисперсию, равную четырём. (Проверка по несмещенной оценке дисперсии дает 4,156). Деля числа пополам, получаем выборку из стандартного распределения N(0,1). Подготовим десять таких выборок (по одной на каждый месяц про­даж). Сведём эти выборки в матрицу 30х10. Столбцы матрицы умножим на нужное значение с.к.о. (нарастающее от 20 до 65). К каждой строке матри­цы прибавим линейный тренд от 700 до 1600. Получим 30 экземпляров значений объясняющей переменной (номер месяца) для расчета прямых парной регрес­сии (с учётом постоянного слагаемого). Ниже приведены первые 5 из этих строк.

658 835 907 1022 1043 1166 1222 1404 1428 1506

721 858 890 988 1055 1209 1357 1400 1462 1547

681 802 921 1024 1103 1224 1301 1502 1432 1583

715 776 912 1014 1053 1214 1271 1456 1528 1489

702 767 937 1043 1007 1235 1263 1357 1556 1605

Расчет регрессий по этим данным даёт пять ответов:

90,85455 619,4 #Н/Д 93,77576 632,9333 #Н/Д

4,192102 26,01131 #Н/Д 3,97796 24,6826 #Н/Д

0,983253 38,07666 #Н/Д 0,985809 36,13162 #Н/Д

469,7098 8 #Н/Д 555,7254 8 #Н/Д

681000,2 11598,65 #Н/Д , 725496,1 10443,95 #Н/Д ,

99,30303 611,1333 #Н/Д 96,25455 613,4 #Н/Д

5,032022 31,22288 #Н/Д 5,358688 33,24978 #Н/Д

0,979871 45,70561 #Н/Д 0,975805 48,6727 #Н/Д

389,4394 8 #Н/Д 322,6455 8 #Н/Д

813540,1 16712,02 #Н/Д , 764357,3 18952,25 #Н/Д ,

100,8364 592,6 #Н/Д

5,563394 34,51995 #Н/Д

0,976227 50,53203 #Н/Д

328,5147 8 #Н/Д

838857,7 20427,89 #Н/Д .

Таким образом, вычислены регрессии y = 90,85 x + 619,

y = 93,77 x + 633, y = 99,30 x + 611, y = 96,25 x + 613,

y = 100,83 x + 593.

На рисунке даны пять линий регрессии. Они отличаются слабо, поэтому рекламные усилия не приводят к затемнению сути дела.



Когда будут изображены на одном чертеже все тридцать реализаций, придётся обдумать вопрос о повышении разборчивости этого чертежа (показ только центральной части, укрупнение масштаба и т.д.). Иначе трудно будет сравнивать невозмущённую прямую регрессии с возмущёнными. Эта задача решается студентом без помощи преподавателя.

Задание 17.

Статистические методы пополнения недостающих рыночных данных

Постановка задачи

Социальный работник делает недельную закупку продуктов на рынке для семьи пенсионеров. Обычно он сразу записывает количество и стоимость приобретенных продуктов, но иногда он закупает их сразу несколько, а затем вспоминает лишь общую стоимость (а объём закупок он восстанвливает по листку заказа). Работник имеет представление о том, каковы должны быть, примерно, цены на закупаемые продукты на этом рынке, но от этих данных возможны случайные отклонения, распределенные по нормальному закону. Закупленная в одном месте группа продуктов может состоять как из однотип­ных продуктов, так и совершенно разных, но продаваемых в соседних торго­вых точках. Разработать алгоритм наиболее правдоподобного восстановления

забытых денежных стоимостей.

Типовые примеры закупок, делаемых социальным работником

Траты 21.10.07 (вс)

Рублей

фарш говяжий 1 кг

132

сыр "Маасдам" 0,65 кг

115

сыр с паприкой 200 г

52

рыбн. диски-филе 1,6 кг

216

мор.окунь (две шт.)

142

чавыча 1 шт.

108

тыква кусок

20

капуста+лук

50

баклажаны + перец + помид.

90

виноград+(груши 1 кг)

95

грейпфруты 2 шт.

27

гранат 1 шт.

29

перчатки мужские

50

чеснок 3 голов.

15

скумбрия г/к 1 шт.

90

кефир 0,5 л

22

хлеб бородин. 0,5 кг

7

творог с изюмом 300 г

21

чай черн. "Ахмат"

42

котлеты из цыпл. 2 шт.

16

курага 0,5 кг

40

стир.порошок "Ариэль"

46

творог 400 г+смет.+ слив. масло

148

торт йогурт.

223

вино полусл.

160

ИТОГО рублей

1956

Анализ данных показывает, что в этом списке три раза была записана не отдельная стоимость продукта, а сумма двух-трёх стоимостей. За основу взяты реальные данные о ценах на Преображенском рынке г. Москвы. Так как закупка продуктов повторялась много раз, то можно получить статистические данные о параметрах распределения цен (они считаются распределенными понормальному закону). Ниже приведён ещё один пример.

Траты 28.10.07 (вс)

Рублей

фарш говяжий 1,1 кг + бёдрышки

197

сыр "Ренессанс" 0,7 кг

184

сыр углич. с паприкой 460 г

115

рыбн. диски-филе 6 шт.

106

мор.окунь по 115 р.

40

скумбрия г/к 1 шт.

106

смет.+сливоч. масло (170р/кг)

150

хвост сёмги большой

253

капуст.кваш. 1 кг

50

помидоры

40

масло нерафин.

50

яйца 1 кат.

34

виногр."тойфи" >1 кг

70

гранат 2 шт.

50

черн. редька

6

картофель 5х13р.

65

леденцы "Бон Пари"

19

лук

10

нутрян жир 200 г

37

кефир

28

молоко

38

сливки 10%

20

творог 5%

22

Плав.сырки "Виола"

35

Творож. сырки по 12,5 р.

37

ИТОГО рублей

1762

Следует пояснить, почему цены на пищевые продукты следует считать случайными величинами, даже если их кто-то и зафиксирует в при­казном порядке. Дело в том, что продукты могут иметь разное качество, то есть и разную потребительскую ценность. Стандартизировать продукты (как это делается, например, на биржах, торгующих зерном), очень трудно. Напри­мер, сливочное масло домашнего производства продаётся в виде цилиндриче­ских кусков, расфасованных в полиэтиленовые паветы. Куски продаются только целиком, и взвешивание производится только в момент продажи. Покупатель просто осматривает товар и выбирает кусок, который ему пригля­нулся. Если ему нужен был кусок в 300 г, по цене 170 руб/кг, и выбранный кусок ему подходит, то он не будет возражать, если его цена окажется не 51 рубль, как он ожидал, а 48, 54 или 55 рублей, так как вес его немного отличал­ся от трёхсот грамм, желаемых покупателем. Но это как раз и равносильно тому, что разные покупатели покупают масло по разной фактической цене (остающейся близкой к 170 руб/кг). То же относится к продаже арбузов, апельсинов , сырого мяса и т.п. Поскольку количество закупок велико, по типовым товарам (говяжий фарш, копчёная рыба и т.д. ) можно получить представительную выборку реальных продажных цен, тщательно замеряя в домашних условиях точный вес купленного товара и сравнивая его с тем, который желал получить покупатель. Это и позволит от объявленной продав­цом цены товара перейти к реальной цене, по которой совершилась покупка. Следует также отметить, что даже если и цена, и вес соблюдены правильно, есть ещё возможность различных вариаций за счет ка­че­ства товара, которое проверить очень затруднительно (выдержка сухого вина, крупность куриных яиц, «диетичность» яиц, мясо 1-й и 2-й категории и прочее).

Сформулируем один из возможных конкретных вариантов данной курсовой работы и на нём поясним порядок её выполнения.

Каждое воскресенье на рынке закупается набор пищевых продуктов определенного вида, количесто (вес) которых определяются заранее, а цена покупки является случайной величиной нормального типа, параметры которой (м.о. и с.к.о.) не меняются в течение рассматриваемого периода и известны заранее. (Эти случайные величины должны быть смоделированы студентом на компьютере). В нормальной ситуации социальный работник, делая покупку, тут же записывает вид товара, количество и уплаченную за него сумму. Но иногда приходится закупать несколько продуктов сразу (например, овощи), и работник помнит только общую уплаченную сумму. В плане закупок у него записано, что данного продукта надо закупить, скажем, 400 г. Но реально вместо 400 г могло получиться 435 г (небольшое отличие от запланированного). Как указано выше, можно считать, что закуплено всё-таки 400 г, но по более высокой цене. Например, допустим,что закуплены сразу 323 г мёда по 160 руб/кг (вместо заказанных 300 г), два десятка яиц по 22 рубля (вместо ориентировочной цены 20 руб/десяток), 480 г сливочного масла по 170/руб/кг (вместо желаемых 500 г) и баночка сметаны в 255 г по 130 руб/кг (вместо ориентировочных 250 граммов). Итого уплачено

0,323*160 + 2*22 + 0,48*170 + 0,255*130 = 210,43 рубля.

В расход было записано 211 рублей, а точные веса и цены товаров были забыты. Поэтому при анализе покупок придётся решать уравнение с четырьмя неизвестными 0,3*x + 2*y + 0,5*z + 0,25*u = 211, где

x – забытая цена мёда (при правильном решении задачи она должна оказаться близкой к 160)

y – цена продажи десятка яиц,

z – цена сливочного масла

u – цена 1 кг сметаны.

В обычной ситуации для решения задачи потребовалось бы ещё три уравнения. Трудно надеяться, что такие уравнения удастся составить в преде­лах одного и того же дня закупки (один и тот же продукт не закупается в раз­ных местах рынка). Однако имеется много аналогичных уравнений по итогам других дней закупки, и в них вполне может входить сливочное масло того же вида. Но в этих уравнениях может оказаться другое количество товара, а главное – набор товаров может быть другим (например, мёд, масло сливоч­ное, масло подсолнечное, рыба копчёная, фарш говяжий). Тогда придётся включить в рассмотрение другие неизвестные и другие уравнения (уравнений заведомо будет больше, так как список продуктов ограничен, а количество закупочных дней достаточно велико). Ниже будет рассмотрено только 4 неизвестных (x, y, z, u) и шесть уравнений

0,3*x + 2*y + 0,5*z + 0,25*u = 211,

0,2*x + 1*y + 0,5*z + 0,45*u = 199,

0,3*x + 0,5*z + 0,27*u = 171,

0,33*x 0,5*z = 142,

0,4*x + 3*y + 1,5*z + 0,29*u = 415,

1*x + 2*z = 502..

В первом уравнении правая часть оставлена прежней (211 рублей), а левая часть изменилась, так как вместо истинных весов продуктов теперь указаны запланированные веса.

Как известно, для решения такого рода систем уравнений (в которых количество линейных уравнений больше количества неизвестных) применяет­ся метод наименьших квадратов. С помощью его добиваются того, чтобы ле­вые части были не точно, а приближенно равны правым, причём сумма квад­ра­тов разностей левых и правых частей была бы минимальной.

Ход решения

После беседы с преподавателем выбрать нужное количество неизвестных (то есть цен, которые надо восстановить) и количество уравнений, включающих эти цены (уравнений должно быть больше, чем неизвестных). Задать матожидания всех неизвестных (то есть типовые цены на продукты в 2007/08 годах), и их с.к.о. (для ориентировки использовать приведенные выше реальные данные). Смоделировать для каждого из урав­нений числовые значения неизвестных, распределенные по нормальному закону с выбранными значениями м.о. и с.к.о. Значения моделируются тем же методом суммирования 12-и чисел, отвечающих формуле 2*СЛЧИС()-1, который изложен в изложенных ранее заданиях.

Умножая коэффициенты каждого уравнения (их надо подобрать так, чтобы матрица коэффициентов была невырожденной) на смоделированные значения неизвестных, получаем правые части уравнений.

Пример. Для рассмотренной выше системы 6 уравнений с четырьмя неизвестными правые части равны 211, 199, 171, 142, 415, 502.

Решение такой системы методом наименьших квадратов равносильно расчету множественной линейной регрессии без постоянного слагаемого. В роли объясняемого вектора выступают правые части уравнений, а в роли объясняющих векторов выступают коэффициенты при x, y, z, u.

Выполняя команду ЛИНЕЙН с нулем на предпоследнем месте, получаем ответ:

134,8627 156,4 21,802 189,6 0

2,595277 2,174 0,5989 4,341 #Н/Д

0,99998 1,052 #Н/Д #Н/Д #Н/Д

24682,88 2 #Н/Д #Н/Д #Н/Д

109363,3 2,215 #Н/Д #Н/Д #Н/Д

Из этих данных (читая первую строку справа налево) мы получаем, что цена меда получилась равной 189,6 руб. (вместо 160), цена десятка яиц 21,8 руб. (вместо 20), цена сливочного масла 156,4 руб. (вместо 170) и цена сметаны 134,9 руб. (вместо 130).

Задание 18.

Подготовка различных вариантов задания для расчета себестоимости женских сапог методом множественной регрессии

Пояснение для преподавателей. Задача о себестоимости женских сапог регулярно включалась автором в начальный курс эконометрики, читаемый в РЭА на факультетах ОЭФ, БИДА, Маркетинга, Финансовом. Основной целью этой работы было освоение техники расчета регрессии на примере задачи, имеющей ясный экономический смысл. Поэтому вариант был у всех студентов одинаковый, но с каждым из них при защите работы произ­водилась персональная беседа. В конце семестра возрастал поток студентов, которые быстро списывали у товарища текст выполненного задания и шли на собеседование, совершенно не подготовившись. (Обычно беседа заканчивалась на формуле длины вектора в трёхмерном пространстве: для её вычисления студенты предлагали найти корень кубический из суммы кубов его координат). В конце задачи прилагались пять вариантов ответа, один из которых был верным. (Все, естественно, указывали именно верный ответ).

На третий год преподавания эконометрики студентам по традиции была предложена задача о женских сапогах, но с элементом юмора: несколь­ко значений объясняемой переменной были изменены (кроме начальных и ко­неч­ных значений), причём таким образом, что теперь верным ответом стал другой из пяти вариантов. При беглом взгляде новый текст задания был очень похож на предыдущий, поэтому многие, не мудрствуя лукаво, выбирали пре­ж­ний ответ, и затем «обосновывали» его. Таким образом, как всегда, перед преподавателем возникла задача обновления своих вариантов. Идеальным было бы, чтобы у каждого студента был вариант, не совпадающий с другими. Но таких вариантов в типичном случае понадобилось бы около ста, и провер­ка их преподавателем (даже по списку готовых ответов) превратилась бы в тяжкий труд. Так как многие из теперешних студентов выберут для себя нелёгкий труд преподавателя, можно заранее приоткрыть им кое-какие секре­ты составления «несписываемых» вариантов. Основная идея тут проста: заставить студента ломиться к решению задачи через центральный вход, а самому проникнуть в суть этой задачи через незаметный чёрный ход. Например, рассмотрим такую задачу по теории вероятностей: Задумано случайное целое число N от единицы до ста включительно. Вычислено значение N(N+1)(N+2)(N+3)+1. Какова вероятность того, что корень из этого числа тоже является целым числом? Ответ: вероятность равна единице, так как из всех таких чисел корень извлекается точно. Но доказать это нелегко. Теперь можно составить любое количество вариантов, меняя пределы выбора числа N.

Приступим к постановке основной задачи данной курсо­вой работы.

Постановка задачи

Ниже приведена задача на расчет регрессии с двумя объясняющими перменными и пятью вариантами ответов (один из которых верный). Соста­вить варианты такой же задачи (и с тем же уровнем технической трудности) за счет малозаметного изменения исходных данных, причём таким образом, чтобы правильным ответом стал другой вариант (из того же списка ответов).

«ЗАДАЧА О ЖЕНСКИХ САПОГАХ»

(домаашняя работа по эконометрике)

Себестоимость женских сапог, изготавливаемых на фабрике «Рас­свет» (в рублях) зависит от курса доллара и курса евро, так как в производ­стве используются материалы и из США, и из Франции. (В данном задании для упрощения считается, что курсы этих валют изменяются независимо. Иначе это задание отно­силось бы к исследованию временных рядов). Наблю­дение за себестоимостью сапог при различных значе­ниях курса доллара и курса евро дали следующие результаты:

Себест. Курс долл. Курс евро

4111 33 27

4041 32 28

3699 28 30

4028 31 31

4089 31 33

3869 30 29

4000 31 30

3800 29 30

3742 29 28

Требуется найти оценочные значения коэффициентов линейной регрессии, выражающей себесто­имость сапог P через курс доллара D и курс евро E (представить промежуточные расчеты с пояснениями, а также оценку ошибки, даваемой формулой регрессии для девяти приведенных выше наблюдений). Регрес­сию взять без постоянного слагаемого (возможное экономическое объяснение этого: в себестоимость не входит оплата труда рабочих, так как они выполняют её в порядке благотворительности). Работа ориентирована на решение методом проекции вектора на подпространство. Варианты ответов (один из них – почти правиль­ный):

1)     P = 100,27 D + 29,71 E

2)     P = 40 D + 25 E

3)     P = 20,2 D + 28,7 E

4)     P = 90,11 D + 29,71 E

5)     P = 10,75 D + 29,01 E

Указать, к какому из вариантов ближе всего правильный ответ

Ход решения

Будет рассмотрен только случай, когда изменяются только значения объясняемой переменной, лежащие в середине списка. При этом верный ответ, который раньше почти совпадал с первым, перейдёт в верный ответ, практически равный ответу номер четыре (P = 90,11 D + 29,71 E ). Студенту даётся для самостоятельной рахзработки один-два подобных же случая.

Первый вариант «Задачи о женских сапогах» может быть решён в пакете Excel по команде ЛИНЕЙН(A1:A9;B1:C9;0;1). Результаты решения приведены ниже:

29,71271

100,2747

0

0,146703

0,142484

#Н/Д

0,999957

1,091398

#Н/Д

81507,71

7

#Н/Д

194175,7

8,338044

#Н/Д

#Н/Д

#Н/Д

#Н/Д

#Н/Д

#Н/Д

#Н/Д

Получена плоскость регрессии z = 100,27 x + 29,71 y. Отсюда видно, что правильным является первый вариант ответа. Теперь используем пункт меню Сервис, Поиск решения для подгонки значений себестоимости (распола­гающихся со второго по пятое место) таким образом, чтобы правильным ответом стал четвёртый. Чтобы добиться этого, рассмотрим следующую целевую функцию

f = (F1–90,11)^2 + (E1–29,71)^2 , где

F1 – та ячейка, в которой размещается коэффициент 100,2747 ;

E1 – та ячейка, в которой размещается коэффициент 29,71271 .

Теперь найдём минимум указанной целевой функции, разрешая компьютеру изменять ячейки, в которых хранятся значения себестоимостей

4041

3699

4028

4089

3869

При этом наложим ограничения, что каждая из этих ячеек не может быть меньше 3000. После выполнения оптимизации получаем новые значения себестоимостей:

3151

3367

3481

3704

3258

Значение целевой функции после оптимизации равно 0,0048.

Теперь с новым столбцом себестоимостей из девяти чисел (пять из которых – только что подобранные) по той же формуле делаем расчёт регрессии. Ответ

:

29,76096 90,06321 0

47,15829 45,80221 #Н/Д

0,014223 350,835 #Н/Д

0,050498 7 #Н/Д

12431,13 861596,4 #Н/Д

Получена регрессия z = 90,06 x + 29,76 y , которая весьма близко совпадает с четвёртым ответом.

Задание 19.

Определение степени оправданного риска при выдаче банком потребительских ссуд

Пояснения для преподавателей. Постановку этой задачи и некоторые исходные данные автор позаимствовал из монографии D. N. Chorafas “Sys­tems and Simulation” (New York, 1965).

Руководство коммерческого банка, желая поставить на научную ос­но­ву работу своего кредитного отдела в части обслуживания физических лиц, предложило специалистам по исследованию операций разработать «форму для оценки клиента, пришедшего за ссудой». Главная цель руководства банка – установить и формализовать для неспециалистов некоторые правила для определения степени «оправданного риска», на который банк должен идти, чтобы повысить матожидание своей прибыли.

Постановка задачи

Прибыль банка зависит от ссудного процента, числа выдаваемых ссуд и доли невозвращаемых ссуд. Ниже приведены сведения о количестве заёмщиков (в общем числе 4100), попадающих в интервалы величины займа (0,100), (100,200), … , (1400,1500):

300 700 1000 575 400 250 185 155

130 105 70 85 65 55 25

В отделе потребительского кредита банка удалось получить следу­ющие усреднённые сведения: ежегодно выдаётся 2000 ссуд размером от 0 до 300 долларов, а также 20000 ссуд размером от 300 до 1500 долларов. По ссу­дам первого типа банк взимает 10%, а второго – 6%.

90% пользователей погашают ссуду в срок, 5% - после нескольких напоминаний, 3% - только при реальной угрозе судебного преследования, 1% - погашают тогда, когда банк уже списал её в убыток, и 1% - не погашают вообще.

Для оценки качества заёмщиков клерками банка разработана следую­щая форма:



Имя заемщика

Номер заявления

Служеб. положение

Место работы

Дата подачи заяв.

Размер запрашив. суммы

Оценка факторов, влияющих на риск:

Стабильность пребывания на одной работе J___

Доход N___

Дробь доход/сумма K___

Отсутствие задолженности L___

Способность погасить ссуду B___

Отношение к погашению задолженности P___

Стабильность проживания на одном месте E___

Личные склонности/привычки S___

Занятие Q (по списку риска этих занятий) ___

Текущая предельно допустимая константа риска __

Расчетная константа риска R__

Рекомендация рассмотрителя заявки _____________

Пояснения. Факторы J, N, K, L, B, P, E, S, Q оцениваются рассмотри­телем (клерком банка) количеством баллов от 4 (превосходно) до 1 (плохо). Константа риска R является взвешенной средней этих девяти факторов, при­чем фактор B берется с весом вдвое больше остальных факторов, фактор же P – с весом втрое больше. В итоге применяется формула

R = (J + N + K + L + 2B +3 P + E + S + Q) / 12

По этой формуле константа R всегда будет лежать в пределах от 1 до 4 (чем меньше R, тем хуже заемщик).

Фактически эта формула является эмпирически подобранной упро­щен­­ной множественной регрессией. Изучение зависимости процента поте­рян­ных ссуд (по приведенным выше данным) и числа выданных ссуд (с учетом их распределения по интервалам) от константы риска R позволило построить график ожидаемого процента прибыли от выдачи ссуды данному заемщику от той же константы R (см. рис. ниже).

В связи с этим исследованием клеркам банка была дана рекоменда­ция выдавать ссуду только тем просителям, у которых (при прочих равных условиях) константа R лежит в оинтервале от 1,5 до 3.

Сгенерировать поток заявок объёмом 1000 реализаций, где случай­ным образом будут заданы упомянутые выше показатели J, N, K, L, B, P, E, S, Q (с равной вероятностью принимающие значения 1, 2, 3, 4) для каждого из 1000 заёмщиков данного года, а также просимые величины ссуд (от 0 до 1500 долларов), соответствующие приведенной выше частоте выдачи ссуд. Среди этих 1000 реализаций должно быть 10% заемщиков, которые не вернут вклад (но этот факт клерку банка останется неизвестным), причем не возвра­щать вклады могут и заемщики группы ссуд до 300 долларов, и прочие заём­щики. После расчета показателя R для каждого заемщика сделать отсечку просителей согласно неравенству 1,5 < R < 3 и затем для каждого из остав­шихся рассчитать прибыль банка (учесть, что процент прибыли иногда равен 10%, а иногда 6%). Подтверждается ли в этом случае приведенная выше кри­вая прибыли?

Ход решения

Порядок генерации значений дискретной случайной величины с заданными вероятностями этих значений описан в методическом пособии:

Савватеев В. В. Профессиональные навыки работы бухгалтера на персональном компьютере. – М.:Изд-во Рос. экон. акад., 2002.– 24 с.

Гистограмму распределения количеств заемщиков по интервалам величин вкладов удобно заменить аналитической формулой y = Ax exp(-Bx). Параметры A, B подбираются с помощью процедуры Поиск решения в пакете Excel. Подробности изложены в задании 20. Поэтому задания 19, 20 удобно делать паре студентов (один рассчитывает кривую y = Ax exp(-Bx), а другой проверяет обоснованность правила отбора заемщиков).

Задание 20.

Подбор параметров нелинейной регрессии

Постановка задачи (напоминание)

Прибыль банка зависит от ссудного процента, числа выдаваемых ссуд и доли невозвращаемых ссуд. Ниже приведены сведения о количестве заёмщиков (в общем числе 4100), попадающих в интервалы величины займа (0,100), (100,200), … , (1400,1500):

300 700 1000 575 400 250 185 155

130 105 70 85 65 55 25

Гистограмма по этим данным имеет вид (интервалы по 100 долл.):

Требуется рассчитать коэффициенты нелинейной регрессии вида y = Ax exp(-Bx). (Этот вид соответствует ходу изменения значений гистограммы).

Ход решения

Так как сумма всех частот равна 4100, а основание каждого прямоу­го­льника равно 100 долл., то общая сумма вкладов равна 410000 долл. Каж­дый прямоугольник привяжем к середине интервала. Получаются точки (50, 300), (150, 700), … , (1450, 25).

Возьмем логарифмы от обеих частей уравнения:

ln y = ln A + ln x – B x

Обозначая ln y = z, ln A = a, ln x = w, будем искать регрессию

z = k1*x + k2*w + k3.

Для этого у нас имеются 15 значений величины z (логарифм от частоты), играющей здесь роль объясняющей переменной, 15 значений середин интервалов x = 50, 150, 250, … , 1450, и логарифмы от них ( = w).

Результат обращения к функции ЛИНЕЙН:



Итак, k3 = 3,835; k2 = – 0,00333; k1 = 0,5983.

Поэтому линеаризованное уравнение имеет вид:

ln y = 3,835 + 0,5983 w – 0,00333 x ( где 3,835 удобно записать как ln 46,29). Отсюда y = 46,29* x^0,5983 * exp(–0,00333 x)

По поводу этой формулы надо сделать три замечания:

1. Найдена формула не того вида, который мы хотели найти (в ней «х» содержится в степени 0,5983, а не в первой степени). Она, тем не менее, выражает особенности поведения гистограммы (см. рис. ниже), и студент, выполняющий эту курсовую, должен сам изменить постановку задачи, чтобы в решении не возникал «порочный круг».

Треугольники на диаграмме – исходные данные

2. Процедура предварительного взятия логарифма исказила поведение кривой в окрестности точки максимума, так сумма квадратов отклонений, наименьшая для логарифмов, может не быть наименьшей для исходных значений. Поэтому рассчитанную кривую следует подогнать с помощью процедуры пакета Excel Поиск решения.

3. Видимо, надо подгонять кривую отдельно на участке (0, 300) и на участке (300, 1500). (См. задание 19). Так как это усложняет формулировку курсовой, такую подгонку мож­но предложить сделать только студенту, претендующему на отличную оценку.

В заключение приведем типовой список тем с маркетинговым содержанием, к которым и будут подбираться задания по статистике и эконометрике, изложенные выше. Темы подготовлены преподавателями кафедры Маркетинга РЭА им. Г.В. Плеханова.

Тематика

междисциплинарных курсовых работ по комплексу

«Маркетинг, поведение потребителей и эконометрика»

1. Современный потребительский рынок России и портрет российского потре­бителя (на примере товара, региона, социальной группы и т.д.)

2. Маркетинговые исследования как основа знаний компании о поведении её потребителей.

3. Использование результатов исследования потребителей для построения комплекса маркетинга компании.

4. Применение возможностей Интернета в маркетинговой деятельности ком­пании для воздействия на поведение потребителей.

5. Сегментирование рынка и его значение для изучения поведения потре­бителей (на примере отдельных сегментов).

6. Влияние особенностей маркетинговой информации в России на проведение исследований потребителей.

7. Измерения и разработка форм для сбора данных для выявления мнения по­тре­бителей о товаре.

8. Разработка оценочных критериев при определении отношения потреби­телей к компании и её товару (услуге).

9. Применение мультиатрибутивной модели отношений М. Фишбайна в изу­че­нии поведения потребителей.

10. Промышленный маркетинг и процесс принятия решения о закупке товаров и услуг компаниями и организациями.

11. Глобальные потребительские рынки: кросс-культурные различия в поведе­нии потребителей.

12. Маркетинговая направленность международной системы управления ка­чес­тва товаров и услуг, предлагаемых потребителям.

13. Факторы макросреды компании и получение социально-экономической информации о потребителях с помощью данных государственной статистики.

14. Национальные субкультуры: характеристика, особенности, значение для маркетинга.

15.Знание процессов потребления товаров (услуг) и освобождения от исполь­зованных товаров как один из факторов удержания потребителей компании.

16. Экономические, временные и познавательные ресурсы потребителей и их связь с маркетинговой стратегией компании.

17. Личность, ценности и стиль жизни – детерминанты построения программ коммуникации компании с потребителями.

18. Реакция потребителей на рекламную деятельность компании и процесс восприятия.

19. Использование когнитивного и бихевиористского подхода обучения в мар­­ке­тинговых коммуникациях.

20. Взаимосвязь между жизненным циклом семьи, поведением потребителей и комплексом маркетинга компании.

21. Российское законодательство о защите прав потребителя и реалии и этика маркетинга.

22. Типы инноваций товаров и услуг и их воздействие на поведение потре­бителей.

23. Основные подходы к теории личности и их использование в маркетин­говой деятельности компании.

24. Влияние ситуации на поведение потребителей и маркетинговую дея­тельность компании.

25. Семья, её основные функции и роль в формировании будущих потреби­телей товаров и услуг.

26. Влияние персональных продаж на процесс принятия решений о закупках в сфере B2B.

27. Изменение роли женщины как потребителя и ее воздействие на марке­тинг товаров и услуг.

28. Референтные группы и их воздействие на поведение потребителей и маркетинговую стратегию компаний.

29. Социальный статус людей и использование его концепции в маркетинге.

30. Культурные аспекты маркетинга и социализация потребителей.

Замечание. Многие из заданий, изложенных выше, носят логис­тическую направленность. Поэтому в перспективе этот спи­сок тем будет пополнен типовыми темами КМКР по логистике.

Рисунок, приведенный ниже. иллюстрирует процесс обсуждения статистической части одной из курсовых работ.

1

Смотреть полностью


Скачать документ

Похожие документы:

  1. «Учебник для вузов»

    Учебник
    В. Н. Машков, доктор психологических наук, профессор, заведующий кафедрой социальной антропологии и психологии Республиканского гуманитарного института (Санкт-Петербург);
  2. Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования (1)

    Документ
    Рыночные условия предоставления услуг значительно повышают деловой риск предприятий индустрии гостеприимства и неизбежно ведут к привлечению заемного капитала.
  3. Бернстайн П. Б51 Против богов: Укрощение риска / Пер с англ (1)

    Документ
    В этом уникальном исследовании, посвященном роли риска в нашем обществе, Питер Бернстайн доказывает, что освоение методов оценки риска и контроля над ним является одной из главных особенностей нашего времени, отличающих его от более ранних эпох.
  4. Бернстайн П. Б51 Против богов: Укрощение риска / Пер с англ (2)

    Документ
    В этом уникальном исследовании, посвященном роли риска в нашем обществе, Питер Бернстайн доказывает, что освоение методов оценки риска и контроля над ним является одной из главных особенностей нашего времени, отличающих его от более ранних эпох.
  5. Руководство для профессионалов

    Руководство
    В книге представлены 18 программ тренингов разной проблематики и для разной аудитории; изложена авторская концепция каждого из тренин­гов и общая структура их построения.

Другие похожие документы..