Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Документ'
Лекции-концерты творческих групп преподавателей детской музыкальной школы ЗАТО Скалистый для учащихся общеобразовательных школ на тему «Чехов и музыка...полностью>>
'Автореферат'
Работа выполнена на кафедре органической и биологической химии в ФГОУ ВПО «Московская государственная академия ветеринарной медицины и биотехнологии ...полностью>>
'Документ'
заведующий кафедрой экономики, учета и финансов Института последипломного образования НУПТ заведующий экономико-правовым отделом Научно-исследователь...полностью>>
'Документ'
РАЗРАБОТАНЫ ВНИИПО МВД России (А.Я. Корольченко, Ю.Н. Шебеко, В.Л. Малкин, И.М. Смолин, В.А. Колосов, Е.В. Смирнов), нормативно-техническим отделом Г...полностью>>

Пошаговое приближение распределения стоимости покупки к но­р­мальному закону распределения

Главная > Закон
Сохрани ссылку в одной из сетей:

Задание 10.

Контроль полноты использования контейнера при снабжении арбузами

Постановка задачи

Торговое предприятие завозит арбузы из Астрахани в Москву, поль­зуясь открытым сверху контейнером размеров 6 м х 3 м х 1,5 м. 50% (по количеству штук) арбузов – крупные (средний вес 10 кг). Остальные 50% - средние (средний вес – 7 кг). Удельный вес арбуза примерно равен единице. В первом приближении форма арбуза шаровая, в более точном приближении – это сплющенный эллипсоид вращения. Рассчитать количество арбузов, поме­щающееся в контейнере при укладке слоями, где слой крупных арбузов чере­дуется со слоем средних, а в каждом слое (крупных арбузов) у арбуза, не лежащего на границе, имеется ровно 6 примыкающих к нему соседей («шес­тиугольная укладка»). Имеются данные о реально проданном количестве арбузов за предыдущие 66 привозов товара. Проверить гипотезу о том, что часть арбузов из заполненно­го контейнера сначала продавалась «налево», а остальные уже попадали в официальную отчетность. Уровень достоверности проверки гипотезы взять равным 95%.

Пояснения для преподавателей. Предложена стандартная статисти­ческая задача на проверку гипотезы методом использования распределения Стьюдента. Такого рода проверки гипотез часто осуществляются в ходе про­ведения инспекций и аудиторских проверок. Но в данном случае отражена торговая специфика (возможны хищения неучтенных товаров), а гипотеза, которую нужно подтвердить или опровергнуть, взята не с потолка, а из вполне разумных и понятных студентам соображений («регулярная» укладка арбузов в контейнер хотя и не применяется на практике, однако трудно сомневаться в объективности полученного с её помощью значения вместимости).

Ход решения

Объём сплющенного эллипсоида вращения вычисляется по формуле

V = 4/3 π r2 h (если сплющивание отсутствует, то r = h )

Ниже будет поясняться случай арбузов шаровой формы, но студенту может быть дано и задание для формы более общего вида.

Обозначим через R1 и R2 радиус арбуза в 10 кг и арбуза в 7 кг соот­вет­ственно (в сантиметрах). С помощью формулы для объёма шара легко по­лучить, что R1 = 13,37 см и R2 = 11,87 см. Если считать, что количество слоёв средних арбузов и слоёв крупных арбузов одинаково (при этом коли­чество средних арбузов в слое будет несколько больше, чем количество круп­ных арбузов в слое, и ниже мы учтём это обстоятельство), то для определения количества слоёв надо поделить высоту контейнера (150 см) на сумму 2*(R1+R2). Получаем 2,97 слоя каждого типа. Так как контейнер открыт сверху, то на­гру­женные в него арбузы могут несколько выступать выше уровня 150 см, что позволяет считать, что в контейнер можно загрузить 3 пары слоёв (а не 2,97 пары). Теперь оценим количество крупных арбузов, которое можно разместить в одном слое методом 6-угольной укладки (см. рис. 1).

На рис. 1 представлен левый нижний угол дна контейнера (вид сверху). Размер дна по горизонтали рис. 1 равен 600 см, а по вертикали – 300 см. Из-за краевых эффектов не очевидно, что 6-угольная укладка лучше, чем, скажем, квадратная. <В связи с этим можно было бы одному студенту дать случай 6-угольной укладки, а другому – квадратной.> Для 6-угольной укладки получаем, что по вертикали рис. 1 помещается 11 крупных шаров (так как 300/(2*13,37) = 11,22). Значит, во второй вертикальной полосе поместится 10 шаров. Грубая оценка общей ширины двух первых вертикальных полос равна

2*R + 1,732*R , что приближенно равно 49,90 см.

Рис. 1. Левый нижний угол укладки

Так как 600/49,90 = 12,02 , то таких двойных вертикальных полос поместится 12. (Сильному студенту можно дать дополнительное задание: изменится ли этот ответ, если учесть, что вторую «двойную вертикальную полосу» можно намного сместить влево, до соприкосновения с первой). Итого на дне контейнера размещается 21х12 = 252 крупных арбуза.

Что же касается следующего слоя, то возможны два подхода (и, соот­вет­ственно, две формулировки курсовых работ). Первый подход проще для расчетов, но создаёт неустойчивый тип укладки. В нём арбузы второго слоя (средние по размерам) как бы ставятся на верхние точки первого слоя. Тогда их будет ровно столько же, что и в первом слое (252 штуки). Реально арбузы второго слоя самоуплотнятся как по горизонталям (длина и ширина контейнера), так и по вертикали (высота контейнера). Ведь у них есть возможность заполнить углубления между арбузами первого слоя. Ниже будет взят простейший вари­ант, в котором «нормальной загрузкой контейнера» будет считатья число 252х6 (так как по высоте помещается три слоя крупных и три слоя мелких арбузов). Это число равно 1512 арбузов.

Далее необходимо сгенерировать 66 разных загрузок контейнера, действительно зафиксированных в предыдущие разы, и затем проверить гипотезу «Арбузы продавались налево». Сделаем стандартное предполо­жение: при исходной загрузке контейнера (и отсутствии хищений) реально загруженное количество арбузов отклоняется от нормативного количества (1512 арбузов) в ту или иную сторону по нормальному закону. Для оценки параметров этого закона (матожидание m и среднее квадратичное отклонение z ) применим стандартные формулы, но в них надо подставлять не все 66 имеющихся данных, а только данные, про которые точно известно, что хище­ний не было (например, некоррумпированный наблюдатель постоянно сопро­вождал контейнер от момента загрузки в Астрахани до полной реализации товара в Москве). Для выполнения курсовой примем, что таких «честных» данных имеется только 16 (а остальные 50 находятся под сомнением).

Чтобы студент полностью понял механизм осуществляемой проверки, он должен сам подготовить себе 66 исходных данных для тестирования. Сна­ча­ла опишем, как готовятся 16 «честных» исходных данных, распределенных по нужному закону. За основу возьмем датчик независимых равномерно распределенных случайных чисел СЛЧИС(), имеющийся в пакете Excel. Числа распределены на отрезке [0,1] и имеют матожидание 0,5 и дисперсию 1/12 . Если рассмотреть сумму 10-и слагаемых такого вида, их закон распре­деления будет очень похож на нормальный (см. пояснения к заданию № 1). При этом матожидание таких сумм будет равно 10*0,5 = 5 , а дисперсия будет равна 10*(1/12) , так как слагаемые независимы. Нам разумно ориентироваться на числа, у которых матожидание равно 1512, а среднее квадратичное отклонение (то есть корень из дисперсии) равно 70. (Пояснение. Величина с.к.о. зависит от аккуратности грузчиков, загружающих контейнер арбузами. Если бы они строго выполняли правила, по которым рассчитыва­ется нормативное количество арбузов, с.к.о. равнялось бы нулю).

Для преобразования полученных вышеописанным образом случай­ных чисел, распределенных почти по нормальному закону, к желаемым зна­чениям параметров (1512 и 70) сделаем следующее: вычтем из всех чисел 5 и поделим на корень из 10/12. Получим числа, распределенные по стандартно­му нормальному закону. Затем умножим числа на 70 и к каждому при­ба­вим 1512. Наконец, округлим полученные числа до целых. Таких чисел нам потре­буется 16 («честные» исходные данные).

Аналогичным образом моделируются 50 данных, в которых могли иметь место хищения арбузов. Таких хищений мы «создадим» 10, и они будут случайно разбросаны среди этих 50-и данных. Для целей выполнения курсо­вой примем, что каждый раз похищалось 200 арбузов, то есть в 10 случаях из 50 надо просто вычесть из сгенерированного случайного числа 200. Данная курсовая не ориентируется на полное изложение методологии выбо­рочных проверок (для более глубокого знакомства см. список литературы со статьями автора), но студенты должны представлять, как она проводится. Например, проверяющий выберет наугад три случая из 50-и, в которых потенциально могут иметь место хищ­ения. С достаточно высокой степенью достоверности один из выбранных случаев попадет на один из 10 случаев, в которых имелись хищения. Тогда стандартная методика проверки гипотезы о том, что матожи­дание равно 1512 (методом Стьюдента) с 95%-ой надежностью даст ответ, что гипотеза отвергается в пользу того, что матожидание менее 1512 (то есть что хищение в данном случае имело место). В тексте курсовой надо привести только сам процесс вычисления t-переменной Стьюдента и использование таблицы Стьюдента.

Для ориентировки ниже приведены 16 «честных» случайных чисел, сгенерированных вышеописанным способом:

1532 1565 1524 1426 1540 1542 1452 1456

1353 1478 1486 1495 1443 1540 1507 1486

Задание 10 следует рассматривать, скорее,. не как тему отдельной курсовой, а как идеологическую основу для целого семейства курсовых.

Задание 11.

Расчет нелинейной регрессии методом кривых Пирсона

(для тем, связанных с поведением потребителя)

Замечания для преподавателей. С точки зрения маркетинга, речь идет о поведении различных возрастных групп потребителей. С точки зрения эко­но­метрики, речь идет о методе расчета нелинейной кривой регрессии, относя­щейся к одному из семи типов кривых Пирсона, сглаживающих эксперимен­таль­ные данные. (См. Сб. задач Л.Д. Мешалкина).

Постановка задачи

В небольшом городке испытывается новая модель электробритвы с повышенной комфортностью, но со сроком службы 1 год (рекламный слоган: «Целый год – без всяких хлопот»). Все лица, купившие такую бритву в теку­щем году, разбиты на возрастные группы: от 20-2,5 до 20+2,5 лет; от 25-2,5 до 25+2,5 лет, от 30-2,5 до 30+2,5 лет, . . . , от 80-2,5 до 80+2,5 лет. Условно считается, что в первой группе все потребители имеют возраст 20 лет, во вто­рой – 25, и так далее. Количества людей в каждой группе заданы таблицей:

Возраст

20

25

30

35

40

45

50

55

60

65

70

75

80

Колич.

11

93

163

178

176

132

100

67

40

24

12

3

1

Изучение гистограммы этих данных (котороая должна быть приведе­на в курсовой) показывает, что кривая распределения отходит от оси иксов, имеет одну точку максимума и затем снова плавно подходит к оси ик­сов. По классификации Пирсона это – кривая I типа. Начало таких кривых Пирсон предложил помещать в точку, где находится максимум, а ширину об­ла­сти определения выбирать некоторым стандартизованным образом (напо­мним, что от сжатия кривой распределения вдоль оси иксов площадь под кривой не изменяется и остается равной единице).

Ход решения

В нашем примере естественная область опреде­ления простирается от 20-2,5 года до 80+2,5 года. Стандартизованная же об­ласть простирается от (–3,017) условных возрастных единиц до 12,043 услов­ных возрастных единиц (формулы, по которым в теории Пирсона находятся границы области, здесь не рассматриваются). Таким образом, вместо прежних возрастных единиц («годы»), в которых ширина области определения равня­лась 65 лет, будут использованы условные единицы, в которых ширина обла­сти определения равна 3,017 + 12,043 = 15,06. Если по оси иксов по-прежнему откладываются годы, график придется сжать в несколько раз вдоль горизон­тали. и во столько же раз растянуть вдоль вертикали. Но если вместо годов выбрать условные единицы в качестве масштаба по оси иксов, то сжатия графика по горизонтали не будет, а будет просто смещение графика так, чтобы начало отсчета иксов совпало с точкой максимума кривой. Соответ­ственно, высота максимальной точки не изменится (в нашем случае оно примерно равно 178 (потребителей)). Кривая регрессии I типа подбирается по формуле, предложенной Пирсоном:

p(x) = K (1 + x/3,017)a (1 – x/12,043)b ,

где параметры a, b подбираются методом наименьших квадратов отклонения от экспериментальных данных (параметр K, для упрощения курсовой работы, не подбирается на компьютере, а просто принимается равным 178).

У нас заданы 13 экспериментальных данных в точках 20, 25, 30, …, 80 лет. Эти точки надо пересчитать с учетом перехода от годам к условным единицам и сдвига начала координат в точку максимума. Приближенное расположение точки максимума (если судить по таблице данных) : х = 33,5 лет. Пересчет делается путем вычитания из всех иксов 33,5 лет и умножения затем на поправочный множитель 15,06/67,5. Пояснение. Исходная ширина области определения кривой p(x) равна 65 лет, но ввиду медленного спадания её на правом краю области определения можно продлить кривую до значения 85 лет. Тогда длина области определения будет равна 67,5 лет.

Прежде чем делать подбор параметров a, b , надо убедиться, что все пересчитанные по формуле (х-33,5)*15,06/67,5 значения возраста лежат на естественной области определения приведенной вышн кривой Пирсона, то есть на отрезке (-3,017 ; 12,043). Это условие должно соблюдаться в течение всего процесса подбора параметров a, b. Исходные значения были взяты такие: a = 2, b = 5. При этом сумма квадратов отклонений равна 9120. После минимизации этой суммы путем вызова оптимизатора (пункты меню в Excel: Сервис, Поиск решения) получены значения a = 1,257 , b = 4,270 . Для этих значений сумма квадратов отклонений равна 292.

Приведем исходные и сглаженные значения кривой распределения для оптимизированных значений парметров a, b:

11 93 163 178 176 132 100 67 40 24 12 3 1

0,14 96,1 161 182 170 139 102 66,9 38,5 18,8 7,23 1,9 0,23

На рис.2 эти данные представлены в виде двух гистограмм.

Рис. 2 Теоретическая (слева) и эмпирическая гистограммы

Имея явную теоретическую формулу для кривой распределения потребителей электробритв

p(x) = 178 (1 + x/3,017)1,257 (1 – x/12,043)4,270 ,

можно поставить на твердую почву решение многих макретинговых задач, например: как изменится объем покупок бритв в следующем году, если молодежь этого городка в возрасте от 17,5 и до 30 лет будет призвана на службу в армию. Задание 12 также посвящено этой тематике.

Задание 12.

Использование нелинейной кривой регрессии для расчета прибыли городской транспортной компании

Постановка задачи

Методами, изложенными в задании 11, была рассчитана кривая ин­тен­сивности использования городского транспорта жителями города К. Общее количество жителей равно 30000 человек., один билет на любой вид транспорта стоит 17 рублей за одну поездку (независимо от её длительности), один житель делает в среднем четыре поездки в день. Кривая имеет вид

p(x) = K (1 + x/3,017)1,257 (1 – x/12,043)4,270 ,

где К подбирается таким образом, чтобы суммарная площадь под кривой (на отрезке [-3,016; 12,042]) равнялась единице.

Пользователи транспорта разбиваются на возрастные группы (5, 10 лет), (10, 15 лет), …, (75, 80 лет). Стандартизованное значение х= –3,017 соответствует возрасту 5 лет, а значение х=12,043 – возрасту 80 лет.

Согласно распоряжению мэра города г-на Стручкова, со следующего года все жители города в возрасте 60 лет и выше будут пользоваться транс­портом бесплатно. Какой убыток (в пересчете на один месяц) потерпит от этого транспортная компания? Сколько процентов от дохода предыдущего года он составит? Вопрос на понимание ситуации: как Вы думаете, сможет ли компания покрыть убыток за счет сокращения количества единиц транспорта, обслуживающего население? Полностью ли она компенсирует убыток, если г-н Стручков даст компании дотацию в размере четырех поездок в день каж­до­му жителю в возрасте 60 лет и выше?

Ход решения

(Рекомендуется использовать пакет Excel). Беря исходное значение К=1, вычисляем значения p(x) на указанном отрезке с шагом 0,1. Вычисляем площадь под этой кривой методом прямоугольников (основание каждого прямоугольника равно 0,1). Всего таких прямоугольников будет (примерно) (3,016 + 12,042)/0,1 = 151. <Для сверки: эта площадь равна 6,18; см. рис. 3>

Так как площадь под кривой должна равняться единице, то необхо­димо выбрать К = 1/6,18. Так как в городе К. 30000 жителей (имеются в виду

жители в возрасте от 5 до 80 лет), а каждый житель ежедневно платит за свой проезд 4*17 рублей, то за месяц он заплатит 30*4*17 рублей, то есть месяч­

Рис. 3. К методике нахождения параметра K.

ный доход транспортной компании равен 30000*30*4*17 = 61,2 млн. руб.

Теперь необходимо рассчитать, сколько процентов площади под кривой распределения лежит правее икса, соответствующего возрасту 60 лет. Это и будет процент дохода, потерянный компанией из-за распоряжения мэра Стручкова. Так как отрезок [-3,016; 12,042] является просто как бы умень­шенной копией отрезка от 5 до 80 лет, то для расчета значения «х», соответ­ствующего возрасту 60 лет, составляем пропорцию:

(х + 3,016)/15,058 = (60 – 5)/75. Отсюда х = 8,027. Вычислим пло­щадь на отрезке [8,027 ; 12,042] тем же методом, что и выше. Получим число 0,0062 (то есть 0,62% всей площади). Это число получилось малым из-за того, что делалось неочевидное предположение: чем человек старше, тем он реже пользуется транспортом. Так как для другой (более реалистичной) кривой распределения пользователей транспорта по возрасту вычисления делаются по той же схеме, то доведём их до конца. А именно, компания потерпит убыток в 0,0062*61,2 млн. руб. = 337216 рублей.

Задание 13.

Расчет кривой спроса построением параболической и синусоидальной регрессии

Пояснения для преподавателей. Кривая спроса для неограниченно делимого товара может считаться непрерывной (и даже гладкой) функцией. Она должна быть убывающей и выпуклой вниз. Подобного рода кривых име­ется много в арсенале математики. Расчет кривой спроса обычно делается построением регрессии на основе нескольких эмпирических точек (p, q), где p - цена товара, постоянная в течение рассматриваемого периода времени, q – суммарное количество, купленное потребителями в течение данного периода. В объясняемых координатах этих точек «спрятаны» случайные погрешности. Мы будем считать, что объясняемой переменной является q. Случайные погре­шности (отвечающие условию гомоскедастичности) добавлены к базовой зависимости q = f(p) методом генерации случайных чисел на компьютере. Затем производится подгонка параболической кривой и синусоидальной кривой (на участке, кде она убывает и выпукла вниз). Качество подгонки и для той, и для другой регрессионной кривой проверяется путем расчета минимальной суммы квадратов регрессионных остатков и сравнения этих двух сумм. В качестве товара взят картофель. Чтобы не возникало лишних вопросов о поведении кривой спроса при стремлении p к нулю и к бесконечности, эта кривая рассматривается в диапазоне от 5 до 50 рублей (ориентировка на стоимость килограмма картофеля).

Постановка задачи

Задано пятнадцать точек на кривой спроса: (данные о месячной продаже картофеля в пятнадцати однотипных посёлках)

Руб. 9 11 11 13 15 19 20 20

Кг 4800 3900 3800 3500 3200 2900 2800 2800

Руб. 21 23 27 27 28 30 37

Кг 2800 2700 2600 2600 2500 2500 2400

Сделать расчет, при какой цене будет раскуплено за месяц ровно 3000 кг картофеля. Для этого рассчитать регрессию в двух вариантах:

а) вида y = a x2 + b x + c (13.1)

б) вида y = A sin(π x /30) + B cos(π x /30) + C (13.2)

Оценить, какая регрессия лучше.

Ход решения

Сначала студент представляет исходные данные графически (следу­ет обратить внимание на то, что кривизна в начале линии спроса больше, чем в конце).

Затем вычисляются коэффициенты параболической регрессии по формуле вида ЛИНЕЙН(E1:E15;F1:G15;1;1) , где в столбце E расположены значения объясняемой переменной, в столбце F – квадраты значений объяс­няющей переменной, в столбце G – просто значения объясняющей перемен­ной. Первая единица означает, что нужно учесть постоянное слагаемое, а вторая единица – что надо вывести на экран статистические показатели ре­грессии. Нажав на Enter, можно увидеть один из коэффициентов рассчи­танной компьютером регрессиии (какой именно – будет указано ниже).

Чтобы увидеть все данные по регрессии, следует выделить вправо и вниз область, достаточную для размещения всей информации (если будет выделена ячейка, в которой нет данных, то она будет помечена как Н/Д). Затем надо щелкнуть мышью на строке с формулой (формула от этого изменит свой цвет), и нажать комбинацию клавишей Ctrl+Shift+Enter. Ниже показано, что в этом случае получилось на экране:

-251,8 4,1205 6251,759 #Н/Д

33,199 0,7487 338,9115 #Н/Д

0,9303 191,9 #Н/Д #Н/Д

80,042 12 #Н/Д #Н/Д

6E+06 441924 #Н/Д #Н/Д

В первой строке представлены искомые коэффициенты регрессии. На последнем месте располагается постоянное слагаемое (если оно предусмотре­но формулой регрессии). На втором месте представлен коэффициент при ква­д­рате объясняющей переменной (обратите внимание: в исходных данных квадраты были записаны раньше, чем первые степени, а коэффициент при квадрате выдается на экран позже (так устроен пакет Excel)). Наконец, на первом месте представлен коэффициент при первой степени. Итак, первый вариант формулы для регрессии имеет вид:

y = 4,12 x2 – 252 x + 6252.

Во второй строке представлены средние квадратичные отклонения, даваемые формулами для вычисления коэффициентов регрессии (в курсовой не используются). Из оставшихся чисел обратим внимание только на три:

0,9303 (коэффициент детерминации),

12 (число степеней свободы в исходных данных); оно равно 15 – 3 (всего данных 15, но три из них как бы «потрачены» для оценки a, b, c),

441924 – остаточная сумма квадратов.

Графически исходные и регрессионные точки изображаются так (см. рис. 4). Рассмотрим теперь расчет синусоидальной кривой регрессии по тем же 15-и точкам. Хотя в формуле (13.2) имеется и синус, и косинус, итоговая кривая все же будет синусоидой, но растянутой и смещенной вдоль осей OX и OY. В описании регрессии участвует только небольшой кусок этой синусои­ды. Как и раньше, заносим столбец значений игреков, а за ним – столбцы со значениями синуса и косинуса в соответствии с формулой (13.2) (столбец иксов в данной модели не нужен). Получаем результаты:

1163 -74,964 3543,759

156,4 185,49 168,2931

0,8768 255,07 #Н/Д

42,702 12 #Н/Д

6E+06 780747 #Н/Д



Рис.4. Параболическая модель регрессии (квадратики).

Черточки – исходные данные.

Теперь уравнение регрессии имеет вид

y = -75,0 sin(π x /30) + 1163 cos(π x /30) + 3544

На рис. 5 эта кривая сравнивается с исходными точками.

Заменяя «у» на 3000 и решая полученное уравнение (квадратное или тригонометрическое), мы и получаем искомую цену «х» в каждом из двух случаев

Осталось ответить на ворос, какая из регрессий лучше. Если судить по математическим показателям, то первая лучше: у нее больше коэффициент детерминации (0,9303 > 0,8768), и у нее меньше сумма квадратов (441924 < 780747). Причиной последнего обстоятельства является то, что синусоида слева искривлена меньше, чем справа. А у исходной кривой --– наоборот, слева кривизна больше. С точки же зрения экономики они «обе хуже», так нарушают основное свойство кривой спроса: она должна монотонно убывать, а на обоих кривых регрессии просматривается точка минимума. Как же быть? Искать другие кривые регрессии! (Такой поиск вполне можно доверить студенту-отличнику. Подскажем, что исходная кривая является дробно-линейной функцией, «запылённой» случайными ошибками. Так было задума­но автором задания. Значит, и регрессию разумно искать в таком виде).

Если же всё же доводить до конца решение именно с этими регрес­сиями, то надо из двух корней квадратного уравнения (или из многих корней тригонометрического уравнения) надо отобрать только один, лежащий в экономически допустимых пределах



Рис. 5. Синусоидальная регрессия.



Скачать документ

Похожие документы:

  1. «Учебник для вузов»

    Учебник
    В. Н. Машков, доктор психологических наук, профессор, заведующий кафедрой социальной антропологии и психологии Республиканского гуманитарного института (Санкт-Петербург);
  2. Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования (1)

    Документ
    Рыночные условия предоставления услуг значительно повышают деловой риск предприятий индустрии гостеприимства и неизбежно ведут к привлечению заемного капитала.
  3. Бернстайн П. Б51 Против богов: Укрощение риска / Пер с англ (1)

    Документ
    В этом уникальном исследовании, посвященном роли риска в нашем обществе, Питер Бернстайн доказывает, что освоение методов оценки риска и контроля над ним является одной из главных особенностей нашего времени, отличающих его от более ранних эпох.
  4. Бернстайн П. Б51 Против богов: Укрощение риска / Пер с англ (2)

    Документ
    В этом уникальном исследовании, посвященном роли риска в нашем обществе, Питер Бернстайн доказывает, что освоение методов оценки риска и контроля над ним является одной из главных особенностей нашего времени, отличающих его от более ранних эпох.
  5. Руководство для профессионалов

    Руководство
    В книге представлены 18 программ тренингов разной проблематики и для разной аудитории; изложена авторская концепция каждого из тренин­гов и общая структура их построения.

Другие похожие документы..