Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Документ'
Муниципальное общеобразовательное бюджетное учреждение средняя общеобразовательная школа с.Прибельский МР Кармаскалинский район РБ обслуживает с.Приб...полностью>>
'Конкурс'
Всероссийский конкурс имени Ф.Н. Тютрюмовой (1879-1937) проводится один раз в три года. Конкурс проводится с 1994 г., с 2011 г. конкурс приобрел стат...полностью>>
'Рассказ'
Виктор Олегович Пелевин (р. 1962) — московский прозаик, автор нескольких романов и сборников рассказов. Его писательская карьера целиком приходится н...полностью>>
'Реферат'
Конец XIX — начало XX в. в России — это время перемен, неизвестности и мрачных предзнаменований, это время разочарования и ощущения приближения гибел...полностью>>

С задачами и упражнениями

Главная > Задача
Сохрани ссылку в одной из сетей:

1

Смотреть полностью

                                                     Б И Б Л И О Т Е К А

                                             “D I O G E N

                                                    философского отделения

                                                   исн  огу  им.  И.И. Мечникова

 

 

 

 

 

 

А  в  е  н  и  р      У  ё  м  о  в

       

 

 

 

ОСНОВЫ

ПРАКТИЧЕСКОЙ

ЛОГИКИ

 

С ЗАДАЧАМИ И УПРАЖНЕНИЯМИ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Одесса  -  1997

 

ББК 84.7 я7

               У32

УДК16(075.8)

 

 

 

 

 

 

 

Допущено Министерством образования Украины

в качестве учебного пособия для студентов

высших учебных заведений

 

 

 

 

          Уёмов А.И.

У-40 Основы практической логики с задачами и упражнениями.-

Одесса: Одесский государственный университет им. И.И. Мечникова, философское отделение ИСН, 1997. – 388 с. (Библиотека “Diogen” философского отделения ИСН ОГУ им. И.И. Мечникова)

 

 

                   Новое учебное пособие крупнейшего философа, логика, методолога науки профессора А.И.Уемова предназначено для студентов, аспирантов университетов, академий, вузов и колледжей, для учащихся гимназий, лицеев и школ, а также для всех тех, кто хочет развить свой интеллект и научиться правильно мыслить.

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                             ББК 84.7 я 7

                                                                                                          У32

                                                                                            УДК16(075.8)                                                                

                                                                                        

 

                                                                                 (С) Уемов А.И., 1997.

С п о н с о р   и з д а н и я  -

 

                   Ф и л о с о ф с к о е   о т д е л е н и е

                       И С Н  Одесского государственного

                       Университета им. И. И. Мечникова

 

 

          Логика – единственная дисциплина, ставящая своей целью не сообщение некоторой суммы знаний, которую необходимо усвоить, а развитие мышления.

 

 

          Конечно, каждый из нас мыслит, но далеко не всегда правильно подобно тому, как почти все, исключая младенцев, умеют писать, но при этом делают грамматические ошибки… .

 

 

          Но грамматические ошибки значительно менее опасны, чем ошибки логические. Поэтому изучение логики не менее, а, вероятнее всего, более необходимо, чем изучение грамматики.

 

 

          Логически грамотный человек имеет большие преимущества перед другими не только в спорах и дискуссиях, но и при изучении любого предмета и вообще любой деятельности.

 

 

          И, наконец, логика – это интересно! Она дает проявиться главному в человеке – его интеллекту!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

§1. Обращение к читателю. О значении логики для развития мышления и характере предлагаемого пособия

Дорогие читатели! Вы открыли учебник по предмету не совсем обычному. До этого, наверное, вам приходилось иметь дело с разными учебниками, например, по физике. Вы не знали физики, а хотели знать, не могли решать задачи по физике, а хотели научиться. То же самое вы делали, когда хотели научиться математике, биологии, химии.

Неспециалисту нетрудно признаться в незнании физики или математики, в неумении решать физические или математические задачи. Но каждый уверен в том, что логика-то ему известна. Почему? Да потому, что каждый думает, что он-то умеет мыслить правильно, т. е. логически. И неоднократно проверял эту способность во многих спорах в семье, в школе, на улице, в трамвае. И каждый раз он превосходил своей логичностью других!

Но ведь и другие думают то же самое! Когда они спорили с вами, то чаще всего были уверены, что истина на их стороне.

Получается прямо по М. Твену, который в одном из своих произведений иронично заметил, что “каждый бежал быстрее других!” А у нас получается, что каждый мыслит логичнее других!

Где же выход? Есть ли какие-то объективные критерии логичности, правильности рассуждения? Да, есть! Они были найдены в своей основе еще древнегреческими философами. А древние греки были замечательными спорщиками! Искусство спора, полемики тогда высоко ценилось, молодые люди стремились не только к физическому, по их интеллектуальному превосходству.

Отцом логики по праву считается великий древнегреческий фи­лософ Аристотель (384-322 до н. э.). Труды Аристотеля были пос­вящены выяснению логических форм правильного мышления, хотя сам термин “логика” (греч. logos — слово, понятие, рассуждение, разум) Аристотель не использовал. Его ввели представители дру­гого философского направления — стоики.

На протяжении тысячелетий логика именно так и понималась — она была наукой о формах и законах правильного мышления. В последнее время появились и другие трактовки логики. Но мы ими заниматься не будем. Для нас важен именно тот вопрос, который мы поставили, — как научиться правильно мыслить?

Мы хотим помочь своим читателям мыслить правильно. Ко­нечно, мы не думаем, что до того, как вы изучите нашу книгу, вы не мыслили правильно. Наоборот! Мы надеемся, что ваше мышле­ние в своей основе верное, иначе бы вы не открыли эту книгу! Но ведь вы умели же читать и писать еще в начальной школе. И это не означает, что изучение грамматики родного языка не принесло вам никакой пользы. Изучив грамматику, вы научились писать и гово­рить гораздо более правильно, чем в том случае, если бы грамма­тики не изучали вовсе.

Логика в этом плане сродни грамматике. Логические правила аналогичны правилам грамматики, только правила грамматики относятся к форме изложения мыслей, а правила логики — к самим мыслям.

Очевидно, что правила мышления не менее важны, чем прави­ла изложения мыслей. Известный немецкий философ Г. В. Ф. Ге­гель (1770-1831) как-то заметил, что логика не учит мыслить, так же как физиология не учит переваривать пищу.

Нам представляется, что немецкий философ ошибался относи­тельно логики так же, как и относительно физиологии. Зная физи­ологию, вы не будете смешивать мясо с картошкой и не будете де­лать других ошибок, которые помешали бы правильно перевари­вать пищу.

Зная логику, вы не будете допускать логических ошибок, кото­рые помешали бы вам познавать истину.

— Но, позвольте, — возразите вы, — зачем изучать специально логику, когда мы изучали массу других предметов, которые также нас учили рассуждать правильно? Доказательство изучается на уро­ках геометрии, физики и других наук — всюду мы что-то доказы­вали, всюду рассуждали и, надо полагать, рассуждали правильно. Зачем еще что-то изучать сверх этого?

— Но ведь на уроках по другим предметам вы читали и, конеч­но, писали какие-то тексты — это же не делает излишним изучение грамматики! К тому же, нужно учесть, что тексты по математике, физике и другим предметам — специализированные! Геометрия требует, чтобы четко сформулировать условия задачи, чтобы было ясно, что дано и что требуется доказать. А вот когда вы будете пи­сать письмо с признанием в любви, вы не будете прибегать к этому шаблону, иначе адресат вас поймет как-то не так.

Методы рассуждения в разных науках так же специализированы.

Можно быть великим математиком и очень плохо рассуждать по проблемам политики. То же можно сказать и о физике, и даже о шахматисте, который, казалось бы, только тем и занимается, что развивает свое мышление.

Только одна наука — логика стремится познать формы мыш­ления во всей их полноте. Все то, что есть в мышлении, интересует логиков, которые исследуют это под своим углом зрения. А имен­но — в плане структуры мысли и условий, при которых эти мысли приводят вас к истине. Этим логика отличается от психологии, ко­торая занимается исследованием реального процесса мышления независимо от того, познаем мы при этом истину или нет.

Логика может решать свои задачи, лишь изучая формы мыш­ления, отвлекаясь от его конкретного содержания, являющегося предметом изучения других, конкретных, наук, таких как физика, химия, история, география, языкознание и т. д. В этом смысле ло­гика является формальной наукой. Термин “формальная логика” является плеоназмом, таким как “масляное масло”. Всякая логика формальна; если она претендует на то, чтобы не быть формальной, то она и не логика. Так, не является логикой так называемая “диа­лектическая логика” уже упомянутого немецкого философа Гегеля и его последователей.

Не случайно логика возникла в демократическом обществе, в древнегреческом городе Афины. Соседняя Спарта не внесла ни од­ной лепты в развитие этой науки. Это и не удивительно. Вся жизнь в Спарте была подчинена определенному жесткому порядку. Лишние рассуждения там были ни к чему. И в дальнейшем логика могла развиваться в условиях хотя бы относительной демократии. Отсюда понятно, почему 70 лет в Советском Союзе логика была в загоне. Цвет логической мысли — А. И. Введенский, Н. А. Лосский и др. были высланы из Советской России уже в 1922 г. Логика была изъята из среднего и высшего образования. Она преподавалась одно время в средней школе, но это преподавание было только в самом последнем классе, и на него отпускалось минимум времени, так что, если школьники и могли что-то усвоить из теории логики, то они не успевали это воплотить в практике своего мышления.

Зачем было нам мыслить? За нас мыслили вожди! А дело избирателя было перенести бюллетени с уже выбранным кем-то кандидатом в урну.

Сейчас положение совсем другое. Иногда предлагается более 40 вариантов для выбора! Тут надо поразмыслить, порассуждать. От выбора каждого зависит судьба страны! И дело, конечно, не только в выборах депутатов. Не менее важен выбор и в других сферах жизни. У нас был не только один кандидат, но и один товар в магазине, если его “выбрасывали”. Думать не надо — становись в очередь.

Сейчас ситуация другая — появились товары, нужно выбирать и здесь, тем более, если денег мало. Приходится рассуждать. Если вы не научитесь рассуждать правильно, вы проиграете в жизни! Не жалейте времени на изучение логики, в конце концов, это самая важная, самая нужная дисциплина. Зная логику, вам будет гораздо легче разобраться и в других предметах — математике, физике, биологии, медицине и др. Всюду, чем бы вы ни занимались, вы будете оперировать суждениями, образовывать понятия, делать выводы из данных посылок и что-то доказывать.

Обо всем этом будет идти речь в нашей книге.

Известный русский логик С. И. Поварнин выделил три аспекта, в которых может разрабатываться и изучаться логика. Эта наука может быть частью теории познания, решая вопросы о том, как познается мир. В таком случае мы говорим о гносеологической логике. Далее, формы мысли могут изучаться сами по себе вне связи с теорией познания или практическими приложениями. Это — теоретическая логика. И, наконец, логика нас может интересовать прежде всего в плане практических приложений с целью сделать наше мышление более логичным. Это — прикладная или практическая логика. “Пользуясь материалами, добываемыми теоретической логикой, она должна так излагать и приспособлять правила логики, чтобы их можно было легче и удобнее всего применять к практике, например, к анализу доказательств” (С. И. Поварнин. Логика. Петроград, 1916.) Сказанное нами выше свидетельствует о том, что мы хотим изложить именно практическую логику. Это определяет название нашего пособия.

Теоретический материал будет использоваться и, в известной мере, оцениваться с точки зрения возможности его практических применений и не где-нибудь в математике или технике, а в анализе нашего повседневного мышления.

Из самого понятия практической логики следует, что в нашем учебном пособии должно быть много задач и упражнений. Их должно быть так много, что предлагаемое пособие не может считаться просто учебником. В такой же мере это — задачник по логике. До сих пор существовало резкое деление учебных книг по логике на учебники — их много и задачники — их мало. В учебниках приводились некоторые задачи, в задачниках в лучшем случае было иногда немного теории. Гораздо более эффективно, на наш взгляд, объединение учебника и задачника в единое целое. Насколько это удалось — судить читателю.

Много задач и упражнений взято с согласия автора, разумеется, из книги А. И. Уемова “ Задачи и упражнения по логике” (М., Высшая школа, 1961), которая сейчас стала библиографической редкостью.

Книга разделена на разделы. Задачи — после каждого раздела. Ссылки на источники примеров и на теоретический материал, относящийся к конкретному вопросу, даны прямо в тексте, как, например, дана выше ссылка на работу С. И. Поварнина. Ссылки на источники, относящиеся к тому или иному разделу в целом, даны внизу страниц. Ссылки на учебную литературу, которую рекомендуется использовать для дальнейшего изучения логики, иногда с краткими аннотациями приводятся в конце разделов и в конце книги.

Автор хотел бы выразить глубокую благодарность декану философского факультета доц. А. В. Чайковскому, который был инициатором написания этой книги, изыскав средства для этого, и своей жене Терентьевой Людмиле, которая проделала огромную работу по оформлению мыслей автора в удобочитаемый текст. Если читателю понравится наша книга, он также должен быть благодарен этим людям, без которых предлагаемый его вниманию учебник-задачник не появился бы на свет.

 

§ 2. Категориальные основания логики

 

Прежде чем приступить непосредственно к изложению логики, необходимо остановиться на тех фундаментальных понятиях — категориях, на которых она основана. Очень важно правильно их понимать — иначе будут большие затруднения и часто путаница.

Но нам поможет то, что читатель уже овладел грамматикой родного языка, а она основана, в сущности, на тех же самых категориях, что и логика. Прежде всего, мы предполагаем, что читатель знает, что такое имя существительное. Конечно же, существительное — это часть речи, обозначающая предмет и отвечающая на вопросы: “кто?” или “что?” Школьник до того, как он приступил к изучению грамматики, мог думать, что предмет — это доска, парта, камень, автомобиль или кусок мыла. Но учитель говорит, что существительными являются не только перечисленные выше слова, но и такие, как “урок”, “утро”, “любовь”, “красота” и даже “драка”. А поскольку все они являются существительными, постольку все они обозначают предметы. Камни, доски, автомобили и всякие куски — только особый частный случай предметов. Такие предметы занимают какую-то часть пространства. Про них можно сказать — вот здесь они есть, а там их уже нет, то есть можно указать пространственную границу. Такие предметы называются телами. Это одно из фундаментальных понятий физики. В грамматике же предметом будет все то, о чем можно что-то сказать, то есть ответить на вопрос “что это?” или “кто это?” В логике — то же самое. Только ее не волнует вопрос, существенный в грамматике, — разница между “что” и “кто”, т. е. между предметами неодушевленными и одушевленными. Читатель уже смирился с тем, что, с точки зрения грамматики, он — тоже предмет, как, впрочем, и его учитель. Ничего не стоит смириться и с тем, что, с точки зрения логики, нет никакого отличия между ним и неодушевленным предметом, поскольку и про человека, и про забор можно что-то сказать. Вместо слова “предмет” могут употребляться его синонимы — “вещь”, “объект”. Значит, мы с вами — и вещи, и объекты. Чаще всего мы будем использовать “вещь”.

Что значит сказать что-то о вещи? Это значит приписать ей какие-то свойства или же установить с нею какое-то отношение. Сахар белый, учитель строгий, любовь — чувство святое, кит — млекопитающее, верблюд — корабль пустыни, гололед — вещь опасная, весна настанет, логика полезна, вещь, которую ты придумал, хороша. Во всех этих случаях мы имеем предложения, в которых некоторому предмету — подлежащему предложения приписывается свойство, выражаемое сказуемым предложения. “Ваня любит Машу”, “Ваня читает книгу”, “Коля рубит дрова”, “Земля вращается вокруг Солнца”, “Аристотель создал науку логику”, “Джомолунгма выше Монблана”. В этих примерах мы имеем другой тип предложений. В нем устанавливается некоторое отношение между вещами: отношение любви между Машей и Ваней, отношение “читает” между Ваней и книгой, отношение “рубит” между Колей и дровами и т. д.

В чем различие между приписыванием свойства и установлением отношения? Свойство свойственно вещи, и поэтому оно может быть знаком самой этой веши. Вообразите, что Вы иностранец и плохо знаете русский язык. Хотите купить сахара, а слово “сахар” забыли. Можете попросить продавца дать Вам “белого”. Конечно, могут дать и муку, но тогда скажите “иного белого”. В конце концов, получите сахар. Строгого учителя за глаза можно назвать просто строгим. Одного французского короля, который был лыс, называли просто “лысым”, другого — “благочестивым”, а третьего — “Солнцем”.

Перечисляя различные свойства вещи, мы остаемся в ее рамках. Сахар — не только белый, но и сладкий, хрупкий. Говоря это, мы продолжаем думать о сахаре, а не о чем-то другом. Чтобы перейти от сахара к другому предмету, необходимо отношение. Нужно соотнести сахар с другим предметом, например, водой. Сахар растворяется в воде. Здесь мы использовали отношение “растворяться”. Выше мы соотнесли Ваню с Машей, Ваню с книгой, Землю с Солнцем и т. д. Соотнести можно ту или иную вещь и саму с собой.

Так, Ваня может любить не только Машу, но и сам себя. Бесполезно было бы делить Ваню на части, одна из которых любит, а другая любима. Здесь только один предмет. Такие отношения — предмета самого к себе — называются рефлексивными или одноместными (от слова “место”. Вещь здесь занимает одно место). Выше были приведены примеры отношений между двумя предметами, т. е. двухместных отношений. Могут быть также трехместные отношения: Петя ловит рыбу удочкой. Николаев находится между Одессой и Херсоном. Пропорция: 12/8 = 9/6 представляет собой четырехместное отношение. Понятно, что могут быть пятиместные, шестиместные и т. д. отношения.

Нетрудно видеть, что все отношения имеют некоторое направление. Про них имеет смысл спросить, от чего и к чему оно направлено. Любовь Вани в примере, приведенном выше, направлена или на Машу, или на самого себя. Отношение Пети направлено на удочку и, через нее, на рыбу. Отношения Николаева к Одессе и Херсону имеют противоположные направления. “Черноморец” играет со “Спартаком”. Отношение здесь — от “Черноморца” к “Спартаку”. Но оно предполагает наличие отношения и в обратном направлении. Обе команды играют друг с другом. Нельзя сказать, что в этом случае направление отношений исчезло. Здесь имеют место одновременно два противоположных направления.

Но если мы скажем, что “Спартак” и “Черноморец” — это футбольные команды, то спрашивать о том, в каком направлении они футбольные команды не имеет смысла. Значит, здесь речь идет не об отношении, хотя имеется два предмета. “Футбольные команды” здесь свойства. Думая о “Спартаке” и “Черноморце”, мы, приписав им это свойство, не меняем предмет своего внимания.

Очень важно понять, что вещи, свойства и отношения не отделены друг от друга жесткими перегородками. Близкие по значению слова или даже одно и то же слово в разных контекстах, т. е. в разном окружении, может выражать и вещь, и свойство, и отношение. Выше были приведены примеры свойств, выраженных существительными, которые, как известно, обозначают вещи.

Кит — млекопитающее. “Млекопитающее” — некий предмет, если, конечно, мы что-то о нем скажем, например, определим, что млекопитающее вскармливает своих детенышей молоком. Но в нашем примере речь шла о китах. Про них мы сказали, что они — млекопитающие. Значит, вещь “млекопитающее” здесь выступает в качестве свойства.

Любовь — чувство святое. Здесь слово “любовь” обозначает предмет.

Это — любовь. В этом контексте любовь выступает в качестве свойства.

Ваня любит Машу. Здесь “любит” выступает как отношение между Ваней и Машей.

Различия грамматической формы слов, положений во фразе, ударения и т. д. служат для того, чтобы различить их логические функции — те категории, которые эти слова в том или ином контексте выражают.

Так, заменяя глагол “играет” причастием “играющий”, мы получаем из выражения отношения: “Спартак” играет с “Черноморцем” выражение свойства: “Спартак”, играющий с “Черноморцем”. Егор умный. Здесь умный — свойство. Это свойство можно разъяснить через отношение: Егор умнее других.

Разные логические системы отличаются друг от друга по типу их категориального базиса, то есть по тем категориям, которые играют основную роль для выражения логической формы мысли. Мы будем рассматривать эти системы в порядке роста сложности, начав с самой простой.

 

Задачи и упражнения

 

1. Можно ли в одном физическом теле обнаружить разные вещи?

2. Можно ли одну и ту же вещь обнаружить в разных телах?

3. Что является общим для всех рыб — жабры или свойство обладания жабрами?

4. Какие из перечисленных ниже слов обозначают свойства яблока; какие обозначают вещи? Какую роль в определении категориальной соотнесенности играет грамматическая форма слова: 1) красное; 2) червивое; 3) краснота; 4) температура; 5) круглое; 6) вкусное; 7) сладкое; 8) висящее на дереве; 9) характеризующееся краснотой; 11) плод.

5. Какое свойство приписывается человеку в выражении: “человек, характеризующимся сознанием”.

6. Может ли одно и то же свойство выражаться разными частями речи? Как бы ответил на этот вопрос Аристотель, которым пишет: “Ибо нет никакой разницы сказать: человек есть здоровым или человек здоров или же человек идет и режет, и подобным образом во всех остальных случаях” (Метафизика, Соч. т. I, с. 156).

7. Найдите слова, выражающие вещи, свойства и отношения в следующих фразах.

1) Белый корабль приближается к берегу.

2) Невежество — не аргумент. (Б. Спиноза)

3) Мы ленивы и нелюбопытны. (А. С. Пушкин)

4) Сердце красавицы склонно к измене. (Опера Верди)

5) Многознание уму не научает. (Гераклит)

6) Молчаливость — лучшее украшение женщины. (Демокрит)

8. Вникните в следующую восточную легенду. Какую концепцию соотношения между свойствами и вещами отображает эта легенда? “Однажды к Богу явился мужчина и попросил сотворить женщину. Бог взял немного лучей солнца, задумчивую грусть луны, ласковый взгляд серны, трепет лани, кротость голубки, красоту лебедя, нежность пуха, легкость воздуха, свежесть воды. А во избежание приторности прибавил непостоянство ветра, болтливость сороки, слезоточивость облаков и все ужасы грома и молнии. Все смешал. Из этой смеси получилась прекрасная женщина.”

 

Литература для дальнейшей работы

 

1. Уемов А. И. Логические ошибки. - М., Госполптнздат, 1958.

2. Середа В. Ю. Вчись миcлити логiчно. - Kиiв. Радянська школа,

1989.

3. Ивин А. А. По законам логики. - М., Молодая гвардия. 1983.

4. Ивин А. А. Искусство правильно мыслить. - М., Просвещение.

1990.

5. Уемов А. И. Вещи, свойства и отношения. — М.. Изд. AM CCP. 1963.

 

ЧАСТЬ I. ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ

 

 

 

 

ГЛАВА I. ТАБЛИЦЫ ИСТИННОСТИ

 

§ I. Операции над простыми высказываниями

Согласно известному принципу дидактики, начинать изложение любого предмета следует с самого простого. Однако, не всегда ясно, что именно является простым. Иногда получается гак, что не начинают с самого простого, а считают простым то, с чего начали.

Мы будем связывать простоту п. соответственно, сложность того или иного раздела логики с тем, какие и сколько фундаментальных категорий из рассмотренных выше (категории вещи, свойства н отношения) задействованы в этом разделе, независимо от того, когда этот раздел возник исторически.

Самым простым разделом логики в этом случае оказывается логика высказываний. Зачатки этой логики можно найти в учениях древнегреческих философов, принадлежащих к школам мегариков и стоиков. Но в развитой, современной форме логика высказываний создана лишь в XIX в. Д. Булем (между прочим, отцом известной писательницы Э. Л. Войнич).

Фактически логика высказываний опирается на одну категорию из базисной тройки категорий: вещь, свойство, отношение. Этой категорией является категория вещи, которая будет пониматься в том широком смысле этого слова, который был разъяснен выше.

Давайте начнем с вещей. Что с ними можно делать? Во многих случаях вещи можно дарить, но можно их пообещать. Рассмотрим обещание, которое может давать наш кандидат, скажем, в президенты. Пусть он обещает демократию. Как установить, выполнил ли он свое обещание? Ответ естественен — надо посмотреть, будет ли демократия. И если будет, то признаем, что претендент не нарушил обещания. Построим очень простую таблицу.

 

Табл. 1

Здесь (И) обозначает не обманул, (Л) — обманул. Теперь пусть другой кандидат, противник демократии, обещает, что ее и не будет. Тогда получим для него таблицу.

 

 

 

 

 

 

 

Табл. 2

 

Соединяя обе таблицы, получим:

 

Табл. 3

 

Теперь возьмем две вещи — демократию и благоденствие.

Пусть первый кандидат обещает нам то и другое: и демократию, и благоденствие.

Второй кандидат обещает, по крайней мере, одно: демократию или благоденствие. Здесь одно другое не исключает, предполагается, что может быть и то, и другое.

Третий кандидат обещает только одно: иди демократию, или благоденствие, считается, что одно исключает другое.

Четвертый кандидат говорит, что если будет демократия, то будет и благоденствие.

В каком случае эти обещания будут выполнены? Рассмотрим ситуацию а) когда будет и демократия (1) и благоденствие (1).

Построим следующую таблицу 4.

 

(а)                                                                                                       Табл. 4

 

Теперь истолкуем то, что у нас получилось.

Кандидат 1 обещает и демократию, и благоденствие. Выполнил ли он свое обещание или нарушил его? Очевидно, что выполнил, поскольку в ситуации (а) демократия и благоденствие имеются. В колонке для первого кандидата мы поставили И.

Второй кандидат обещал, по крайней мере, одно из двух (или демократия, или благоденствие). В ситуации (а) свое обещание он выполнил. Поставим в его колонке И.

Третий кандидат обещал или демократию, или благоденствие, только одно из двух — предполагается невозможность одновременного осуществления и демократии, и благоденствия. Следовательно, он не выполнил обещание — в его колонке поставили Л.

Четвертый кандидат обещал, что если будет демократия, то будет и благоденствие. Свое обещание он в ситуации (а) не нарушил. Поставим в его колонке И.

Рассмотрим ситуацию (б): демократия есть, а благоденствия нет.

 

 (б)                                                                                      Табл. 5

 

Первый кандидат в ситуации (б) свое обещание не выполнил. Есть только одно, а он обещал и то, и другое. Мы поставили в его колонке Л.

Второй кандидат свое обещание в ситуации (б) выполнил. Он обещал демократию или благоденствие, пусть благоденствия нет, но демократия есть. Поставили в eгo колонке И.

Третий кандидат свое обещание в ситуации (б) выполнил. Он обещал только одно — либо демократию, либо благоденствие. Поставили в его колонке И.

Четвертый кандидат в ситуации (б) свое обещание не выполнил. По его обещанию, наличие демократии является достаточным условием для наличия благоденствия. Условие выполнено, а где же заключение? Благоденствия нет. Поставили в его колонке Л.

Рассмотрим третью ситуацию (в): демократии нет — обозначим такое положение через Л, а благоденствие есть — И.

 

    (в)                                                                                          Табл. 6

 

Первый кандидат в ситуации (в) нас обманул, поскольку было обещано и то, и другое, а в наличии есть только одно. Поставили в его колонке Л.

Второй кандидат в ситуации (в) нас не обманул, поскольку он обещал хотя бы что-то одно, а оно есть в этой ситуации. Поставили в его колонке И.

Третий кандидат в ситуации (в) также нас не обманул, поскольку он обещал осуществление ровно одной ситуации; благоденствие есть, следовательно, в его колонке поставили И.

Четвертый кандидат в ситуации (в) свое обещание выполнил, поскольку благоденствие имеется. Пусть кандидат и ничего не делал для установления демократии, но ведь он и не обещал ситуацию наличия благоденствия только при наличии демократии (со своими обещаниями кандидат в противоречие не входил). Поставим в его колонке И.

Рассмотрим ситуацию (г): демократии нет, благоденствия нет.

 

(г)                                                                                                        Табл. 7

 

Первый кандидат в ситуации (г) нас обманул: ничего нет. Поставили в его колонке Л.

Второй кандидат в ситуации (г) нас обманул: ничего нет. Поставили в его колонке Л.

Третий кандидат в ситуации (г) также нас обманул: ничего нет. Поставили в его колонке Л.

Четвертый кандидат в ситуации (г) не может иметь претензий. Не выполнено условие, поскольку демократии нет. При невыполнении условия может не быть и следствия — благоденствия. Обещание свое четвертый кандидат не нарушил. Поставили в его колонке И.

Соединим все четыре таблицы вместе (табл. 8).

Теперь мы получили очень важную таблицу. Она — основа всей логики высказываний, которую мы собирались изложить. У нас пока нет самих высказываний, просто речь идет о вещах (демократии и благоденствии). Что же такое высказывание? Это такая вещь, которая характеризуется некоторым особым свойством. Это свойство обычно называется истинностью или ложностью как противоположностью истинности.

 

Табл. 8

 

Какие вещи могут быть истинными и ложными? Здесь у философов есть некоторые разногласия. Например, про такую вещь, как “восход солнца в пустыне”, можно сказать, истинна она или ложна? А про русалку?

Аристотель считал, что, например, слово “кентавр” не истинно и не ложно, а просто что-то обозначает.

Мы не будем вдаваться в сложные философские вопросы и будем исходить из несомненного, что не вызывает никаких разногласий. Всем известно из школьной грамматики о повествовательных предложениях. Например, “Кит — млекопитающее”, “Волга впадает в Каспийское море”, а “Лошади едят овес”. Все это есть некоторые вещи, ибо про них можно что-то сказать, приписав им свойство, или установить отношение этих вещей к другим. В данном случае всем им может быть приписано свойство истинности. А вот таким предметам, как “Кит — рыба”, “Волга впадает в Амазонку”, “Лошади питаются каменным углем”, присуще другое свойство, которое мы назвали ложностью.

Внимательный читатель может возразить автору: “Вы обещали использовать одну фундаментальную категорию — вещь, а используете другую категорию — свойство”.

Однако, заметьте, вещи у нас могут быть самыми разными, их неограниченное число, а свойств только два - истинность и ложность. Только эти свойства интересуют логиков: их можно назвать логическими.

Вещи, которые обладают свойствами истинности или ложности, будем называть высказываниями, а иногда, в качестве синонима, — суждениями. В языке высказывания выражаются повествовательными предложениями. Иные типы предложений выражают мысли, отличные от высказываний: побуждение или вопрос.

Над входом в академию Платона в древних Афинах висело “Да не войдет сюда всякий, не знающий геометрии!” Это, с точки зрения приведенного выше определения, не высказывание, ибо оно и не истинно, и не ложно. Здесь выражается пожелание или даже запрет. “Изучали ли Вы логику?” И это не высказывание. Здесь мы имеем дело с вопросом.

И побуждения (нормы), и вопросы могут изучаться логикой. Но в рамках нашего курса мы этого делать не будем, сосредоточиваясь на высказываниях.

Тот раздел логики, который изучает высказывания с точки зрения их истинности и ложности, называется логикой высказываний.

Логика высказываний интересуется отношениями между высказываниями, имеющими логический характер. Их мы уже знаем. Они выражены в наших таблицах, к которым мы сейчас и вернемся. Начнем с таблицы 3. Вместо “демократия” возьмем любое высказывание. Обозначим его символом а подобно тому, как в алгебре этим символом обозначается любое число. Отрицанием обещания демократии было “демократии не будет”. Выразим отрицание высказывания в общем виде с помощью символа а. Введя символы произвольного высказывания “а” и его отрицания “а” в таблицу 9, будем иметь:

 

Табл. 9

 

а           а

 

И              Л

 

Л              И

 

Эту таблицу можно рассматривать, как определение отрицания. Отрицание а будет иметь место в том случае, если, когда а будет истинно, то а будет ложно и когда а ложно, то а — истинно.

При этом мы предполагаем два фундаментальных закона мышления. Первый из них: высказывание и его отрицание вместе истинными быть не могут. Если одно истинно, второе будет ложным. Этот закон получил название закона противоречия, хотя, более точно, хотя и более длинно, это — закон запрещения противоречия. Второй закон: высказывание и его отрицание не могут быть вместе ложными. Если одно из них ложно, то другое — истинно. Истинно будет именно второе высказывание. Поскольку мы уже знаем, что истинно второе, третьего искать не нужно. Оно исключено. Поэтому этот закон мышления носит название закона исключенного третьего. К этим законам нам еще придется неоднократно возвращаться в будущем.

Теперь перейдем к обобщению таблицы 8. Там мы рассуждали о демократии и благоденствии. Вместо них будем говорить о разных высказываниях, которые обозначим символами а и b. Введем особые знаки для рассмотренных отношений. Нам понадобятся 4 знака, в соответствии с четырьмя типами обещаний.

1. Обещание “то и другое” выразим а & b.

2. Обещание “по крайней мере одно” выразим a v b.

3. Обещание “только одно” выразим a w b.

4. Обещание “если будет одно, то будет и другое” выразим а  b. Теперь немного латыни. Используем слова латинского языка. Всего четыре.

1. Конъюнкция а & b.

2. Дизъюнкция (соединительная) a v b.

3. Дизъюнкция (исключающая) a w b.

4. Импликация а  b.

Каждое из этих понятий мы определим с помощью таблицы 10. Так, про конъюнкцию мы можем сказать, что это такая связь высказываний а и b, которая будет истинной тогда и только тогда, когда оба высказывания будут истинными, и ложной во всех остальных случаях.

Дизъюнкция (соединительная) a v b будет истинной тогда и только тогда, когда истинным является хотя бы одно высказывание или же сразу оба. Если же оба высказывания а и b одновременно ложны, то и сложное высказывание (a v b) будет ложным.

Дизъюнкция (исключающая) a w b (ее называют также строгой) выражает утверждение о наличии только одной из двух ситуаций, выраженных высказыванием а или высказыванием в. Строгая дизъюнкция принимает значение “истина” только в двух случаях: 1) когда а истинно, a b — ложно, и 2) когда а ложно, a b — истинно.

Строгая дизъюнкция принимает значение “ложно”, если оба высказывания а и b одновременно ложны или одновременно истинны.

Импликация а  b — это такое сложное высказывание, которое является ложным только в том случае, когда ее антецедент (идущий перед), выраженный высказыванием а — истинен, а консеквент (идущий за), выраженный высказыванием b, ложен. Во всех остальных случаях импликация а  b является истинной. Антецедент мы будем называть также основанием импликации, а консеквент — следствием. Хотим сразу же предостеречь читателей от распространенной ошибки. Антецедент — идущий перед, понимается нами лишь в логическом смысле, так же как и консеквент. В языке же ситуация часто обратная. Мы начинаем с консеквента и переходим к антецеденту. Но в этом случае используем другой союз. Не “если — то”, а чаще всего “так — как”, “поскольку”. Почтамт закрыт, так как выключили свет. Здесь антецедентом, основанием импликации будет “выключили свет”, а консеквентом — “почтамт закрыт”.

Читатель может убедиться, что мы уже достигли больших успехов в смысле точности определений условий истинности и ложности сложных высказываний.

Союзы, соединяющие простые предложения в сложные, в естественном языке можно понимать в самых разных смыслах, и понимание одного человека часто не согласуется с пониманием другого. Отсюда возникают разногласия, споры из-за слов.

В логике высказываний логические связки (отношения) — конъюнкция, дизъюнкция (соединительная и исключающая), импликация (их еще можно назвать логическими функторами), имеют совершенно четкое, можно сказать, математическое определение.

Сказанное позволяет нам на основе таблицы 8 построить следующую таблицу 10.

Табл. 10

Мы построили таблицу для 4-х функторов. Возможны или нет другие функторы?

Можно подойти к этому вопросу чисто формально. Четыре функтора определены в зависимости от распределенности истинности и ложности в соответствующей колонке.

Возможны ли еще варианты? Читатель может сам подумать и эти варианты перечислить. Если он будет достаточно аккуратен, то у него получится еще 12 функторов.

Итоговая таблица, с помощью которой мы определим 16 логических отношений (функторов) между высказываниями, имеет следующий вид:

 

Табл. 11

 

 

Каждое из полученных нами новых отношений может быть обозначено новым знаком и термином, но мы этого в целом делать не будем, поскольку и 4-х отношений, определенных нами, вполне достаточно для наших задач.

Как мы построили таблицу? Сначала заполняли колонку 1 — все истинно: И, И, И, И. Далее допустили одну Л снизу и будем иметь еще четыре колонки, которые для удобства запишем в ряд: И И И Л (колонка 2); И И Л И (колонка 3); И Л И И (колонка 4); Л И И И (колонка 5). Теперь возьмем два значения Л. Если они берутся подряд, то будем иметь И И Л Л (колонка 6); И Л Л И (колонка 7); Л Л И И (колонка 8), а если врозь, то И Л И Л (колонка 9); Л И Л И (колонка 10); Л И И Л (колонка 11). Итого, имеем: 1+4+3+3=11 колонок. Теперь заменим везде Л на И и И на Л, будем иметь еще 11 колонок. Но среди них могут быть дубли. Будьте внимательны: Л Л Л Л (колонка 12); Л Л Л И (колонка 13); Л Л И Л (колонка 14); Л И Л Л (колонка 15); И Л Л Л (колонка 16). Дубли вычеркнем. Останется 5 новых вариантов. Следовательно, имеем 11+5=16 возможных колонок.

 

                        § 2. Операции над сложными высказываниями.

 

Допустим, что у нас есть два сложных высказывания — конъюнктивное (а & b) и дизъюнктивное (a v b). Эти сложные, или молекулярные, высказывания состоят из атомарных высказываний а и b. Молекулярными высказываниями можно оперировать так же, как и атомарными. Получим суперсложные высказывания, например, ( а & b) w (a v b), которое можно преобразовать в высказывание (d w е), если заменить, соответственно, (а & b) на d, a (a v b) на е. Мы этого делать не будем, а сразу будем вычислять истинное значение сложной формулы.

Рассмотрим это на примере формулы (а & b) w (a v b).

Как определить истинность этого сложного выражения?

Построим совместную таблицу для формул а, b, (а & b), (a v b) и (а & b) w (a v b).

 

Табл. 12

 

Совершенно аналогично мы можем определить значение истинности сколь угодно сложных выражений, включающих сколь угодно большое число компонентов. Это, в общем, нетрудно сделать в том случае, если число атомарных формул (каждая из которых содержит один символ) не превышает двух, В случае трех атомарных формул ситуация несколько усложняется. Пусть, например, нужно вычислить функцию истинности формулы (а & b) v с. В этом случае у нас уже не четыре возможных распределений истинности и ложности между элементарными компонентами, как было в случае высказываний а и в, а восемь, поскольку нужно учесть две различные возможности для высказывания с. Число возможных комбинаций для двух высказываний равно 22 = 4, для трех 23 = 8, для п элементарных высказываний 2ⁿ.

Построим таблицу истинности для формулы (а & b) v с. Здесь число комбинаций для трех переменных равно 8, поэтому в таблице для этой формулы будет 8 строк.

 

Табл. 13

a

b

c

а & b

(а & b) v с

И

И

И

И

И

И

Л

И

Л

И

Л

И

И

Л

И

Л

Л

И

Л

И

И

И

Л

И

И

И

Л

Л

Л

Л

Л

И

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

Л

 

 

§ 3. Тавтологии. Законы мышления

 

Сложные формулы, вообще говоря, могут иметь разное значение истинности и ложности в зависимости от значений истинности и ложности их элементарных компонентов. Однако, могут быть такие сложные формулы, которые получают значение истинности независимо от того, какое значение истинности и ложности принимают атомарные высказывания. Вспомним диагноз, который поставил лекарь Богомол: “...пациент жив или он умер. Если он жив, он останется жив или он не останется жив. Если он мертв — его можно или нельзя оживить” (А. Толстой. Золотой ключик или приключения Буратино).

Такого рода диагнозы и прогнозы справедливо высмеиваются, поскольку они оказываются всегда истинными. Тем не менее, всегда истинные формулы, называемые тавтологиями, играют в логике весьма существенную роль. То, что выше было названо законами мышления, выражается с помощью тавтологий.

Возьмем закон противоречия, который запрещает одновременную истинность высказывания и его отрицания. Его можно выразить в виде следующей формулы:

       ⌐ (а & а), что можно прочитать следующим образом: ложно, что а и не а.

Построим таблицу функций истинности для этого сложного высказывания.

 

Табл. 14

Итак, оказывается, что наше высказывание, выражающее закон противоречия, всегда истинно, к какому бы элементарному высказыванию а оно ни относилось. Плохо ли это?

Это хорошо и очень важно для нас. Закон противоречия выражает фундаментальное требование к нашему мышлению. Как показал еще Аристотель, мышление всегда должно соблюдать этот совершенно очевидный принцип.

Его можно было бы и не формулировать, если бы этот закон всегда соблюдался автоматически. Однако, нетрудно привести массу фактов, когда человек противоречит сам себе в зависимости от того, что является выгодным в данный момент. Вспомним, например, разговор Полония с принцем Гамлетом. Царедворец Полоний не хочет спорить с принцем и поэтому противоречит сам себе.

Гамлет: Видите вы вон то облако в форме верблюда?

Полоний: Ей-богу, вижу, и действительно, ни дать, ни взять —

верблюд.

Гамлет: По-моему, оно смахивает на хорька.

Полоний: Правильно: спинка хорьковая.

Гамлет: Или как у кита.

Полоний: Совершенно как у кита. (В. Шекспир. Гамлет, принц

Датский).

Используя закон противоречия, можно понять, что человек мыслит нелогично, т. е. неправильно.

Возьмем другой закон — закон исключенного третьего. Его можно выразить в виде формулы: (a v a)

Составим таблицу:

 

Табл. 15

 

Выражение a v а является всегда истинным, независимо от того, истинным или ложным является само высказывание а.

Лиллипутские мыслители потратили много усилий для того, чтобы решить вопрос о том, является ли попавший к ним Гулливер объектом, называемым Реюмплюмсюльплекс. Вы, конечно, не знаете, что это такое. Д. Свифт, который все это сочинил (см. его Путешествие Гулливера в Лиллипутию), тоже, наверное, не знал, что это такое. И тем не менее, он, так же, как и мы с вами, вполне можем быть уверены в том, что Гулливер был Реюмплюмсюльплексом или же он не был Реюмплюмсюльплексом.

Истина здесь — между этими двумя возможностями, 3-е исключено.

Логическая ошибка будет допущена в том случае, если будут отвергаться оба противоречащие друг другу высказывания. В таком положении может оказаться студент, отвергающий положение о том, что он не знает, что такое логика, и вместе с тем вынужденный признать ложность того, что он знает, что это такое.

Есть еще и третий закон мышления — закон тождества. Обычно его считают первым законом мышления, и это вполне справедливо. Применительно к высказываниям он говорит о том, что каждое высказывание тождественно самому себе, что оно не может быть чем-то отличным от самого себя. Это можно выразить в виде формулы: а  а. Нетрудно видеть, что мы записали тавтологию

 

Табл. 16

 

Несмотря на свою тавтологичность, закон тождества может нарушаться, когда одно высказывание подменяется другим, отличным от него, хотя, возможно, и близким по смыслу.

В пьесе Шекспира “Венецианский купец” Шейлок дает взаймы Антонио 3000 дукатов с условием в случае неуплаты долга в срок —

“назначим неустойку,

Фунт вашего прекраснейшего мяса,

Чтоб выбрать мог часть тела я любую

И мясо вырезать, где пожелаю”.

Антонио не хотел платить такую неустойку. Судья Порция выносит решение:

“Твой вексель не дает ни капли крови,

Слова точны и ясны в нем: фунт мяса.

Бери ж свой долг, бери же свой фунт мяса;

Но, вырезая, если ты прольешь

Одну хоть каплю христианской крови,

Твое добро и земли по закону

К республике отходят” (акт IV, сцена 1).

Здесь высказывание “разрешается вырезать фунт мяса” подменяется “разрешается вырезать фунт мяса без крови”. Это разные по смыслу высказывания.

Только ли указанные три закона мышления выражают тавтологию? Нет!

Тавтологий в логике высказываний много. Например, существует правило Клавия: (¬a  а)  а.

Составим таблицу:

Табл. 17

 

Уже на этом высказывании вы можете почувствовать значимость того, что та или иная формула логики представляет собой тавтологию.

Если закон противоречия, закон исключенного третьего и закон тождества представляются очевидными, то правило Клавия уже таковым не является. В логике мы имеем дело с формальной стороной высказываний, и поэтому не сразу ясно, истинно высказывание или нет.

И уже совсем непонятно, истинен или нет так называемый закон Дунса Скота, установленный известным философом-схоластом XIII-XIV в.:

а  (¬а  b)

Смысл этого положения заключается в том, что ложное высказывание имплицирует любое другое высказывание. Это кажется обескураживающим, но посмотрим на таблицу:

 

Табл. 18

 

С помощью наших таблиц мы можем давать формальные определения новых логических связок, которые могут быть найдены среди тех 16 (см. таб. 11), о которых шла речь выше. Рассмотрим одну из таких связок — эквивалентность. Эквивалентность будет иметь место у двух высказываний а и b тогда и только тогда, когда а  b и b  а. Формально можно записать так:

а ≡ b =df (а  b) & (b  а)

Запись =df означает “равно по определению” (от лат. definicio — df).

Этот знак отделяет то, что мы определяем (дефиниендум) от того, с помощью чего мы определяем (дефиниенс).

Составим таблицу для эквивалентности:

Табл. 19

Из таблицы мы видим, что эквивалентность будет иметь место между высказываниями а и b в том и только в том случае, если они оба истинны или оба ложны. Возвратимся к нашей таблице, и мы найдем введенный нами функтор там. Это — колонка № 7.

С помощью введенного понятия сформулируем еще одну очень интересную тавтологию, которая называется законом де Моргана (по имени известного шотландского логика XIX в.). Некоторые исследователи считают это законами У. Оккама (в честь средневекового схоласта, не менее известного, чем Д. Скот).

Вот эти тавтологии:

Содержательный смысл формулы Оккама — де Моргана заключается в том, что отрицание конъюнкции высказываний а и b эквивалентно дизъюнкции отрицаний каждой их них по отдельности и, соответственно, наоборот, отрицание дизъюнкции эквивалентно конъюнкции отрицаний.

Пример. Если известно, что кандидат не выполнил обещания того, что будет демократия и благоденствие, то это будет эквивалентно тому, что нет демократии или нет благоденствия.

Существует еще много очень интересных и важных тавтологий логики высказываний. Здесь мы их разбирать не будем, надеясь на то, что читатель уже понял предложенные образцы тавтологий и сумеет разобраться в упражнениях и задачах, которые его ожидают через несколько страниц.

 

 

ГЛАВА II. ПРОБЛЕМА ВЫВОДА В ЛОГИКЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

 

§ 1. Схемы Хрисиппа

 

Все, что мы делали до сих пор, еще не может называться логикой в подлинном смысле этого слова. Ведь мы только вычисляли значение истинности одного высказывания в зависимости от истинности других. А выводов никаких не делали. Логика же должна иметь дело прежде всего с выводом одних мыслей (здесь — высказываний) из других мыслей.

Однако, мы уже создали аппарат, с помощью которого нетрудно построить теорию, дающую возможность отличить правильные выводы из данных высказываний от неправильных.

Что значит правильный вывод? Это совсем не означает, что полученное высказывание истинно само по себе. Например, мы можем рассуждать так. Известно, что имеет место а  b и оказывается, что высказывание b — истинно. Значит, полагаем мы, истинным является высказывание а. Хорошо ли мы рассуждаем?

Приведем конкретный пример рассуждения, удовлетворяющего приведенной формуле. Если у человека повышенная температура, то он болен. Этот человек болен. Значит, у него повышенная температура. Проверяем. На самом деле, у него температура повышена. И мы думаем, что рассуждаем хорошо. Но так ли это? Запишем схему нашего рассуждения. Для этого отделим те мысли, из которых мы исходили, т. е. такие, истинность которых нам известна заранее, от той мысли, которую мы получаем, т. е. истинность которой определяется с помощью нашего рассуждения. Первое мы назовем посылками, а второе — выводом. Процесс же получения вывода на основе посылок будем называть умозаключением.

Представим умозаключение в виде схемы, в которой посылки будем записывать сверху черты, а вывод — под чертой. Применительно к нашему умозаключению, эта схема будет иметь вид:

Если у человека повышена температура, он болен.

Этот человек болен.______

У него повышена температура.

Мы уже знаем, что у больного человека, назовем его Петровым, на самом деле температура повышена. А могла бы она не быть повышена при том же условии, т. е. при том, что Петров болен? Для ответа на этот вопрос нужно знать, бывают ли болезни, не сопровождающиеся повышением температуры. Мы можем и не знать этого, несмотря на то, что уверены в истинности наших посылок. Значит, истинность посылок в нашем примере не гарантирует истинности вывода. А если бы мы рассуждали правильно? Тогда при условии истинности посылок вывод обязательно был бы истинным. Для того, чтобы быть уверенным в истинности вывода, нам не нужно было бы ничего знать, кроме истинности посылок.

Можно ли убедиться в ошибочности умозаключения с помощью чисто формальных методов? Да. Для этого мы воспользуемся уже хорошо известными нам таблицами истинности. Построим таблицу истинности для a, b и а  b, с помощью которой можно будет выяснить, могла ли быть такая ситуация, когда (а  b) и b были бы истинными, но а, тем не менее, — ложным.

 

Табл. 20                         

Обратим внимание на 3-ю строчку нашей таблицы. Мы видим, что здесь (а  b) истинно и b — истинно, но а, тем не менее, — ложно. Таким образом, выяснилась возможность ложного вывода при наличии истинных посылок. Это никуда не годится! Мы обнаружили ложность вывода о высокой температуре Петрова, не заглядывая ни в какие медицинские справочники, руководствуясь только таблицами истинности.

А какое умозаключение было бы правильным? Правильным было бы такое умозаключение: если у человека повышена температура, то он болен. У Петрова повышена температура. Значит, он болен.

Этому умозаключению соответствует следующая формула:

Проверим этот вывод с помощью нашей таблицы. В каком случае истинным является а и (а  b)? Только в первой строчке, и именно в этом случае будет истинным b.

Мы привели одну из форм умозаключений, которые были сформулированы еще древнегреческим философом-стоиком Хрисиппом1. Он выражал его в форме:

I. Если есть А, то есть и В

Кроме этой формы, у Хрисиппа были еще четыре типа умозаключений.

II. Если есть А, есть и В

Первая и вторая формы получили впоследствии название условно-категорических силлогизмов. Первая форма — утверждающий модус (Ponens), вторая — отрицающий модус (Tollens). Импликация (условное суждение) называется большей посылкой. Элементарные высказывания — меньшей посылкой.

III. Может быть или А, или

           

IV. Может быть или А, или В

Третья и четвертая формы называются разделительно-категорическими силлогизмами. Дизъюнкция называется большой посылкой, а элементарное высказывание в посылках — меньшей посылкой. Третья форма — утверждающе-отрицающий модус (Ропепdo-tollens), четвертая — отрицающе-утверждающий модус (Tollendo ponens).

V. А и В не могут быть вместе

В нашей символике четыре типа умозаключений Хрисиппа (I-IV) выразятся следующим образом:

Для последней формулы (V) у нас нет знака. Мы ее не проходили. Такое отношение мы не изучали, но это не беда. Мы легко можем построить таблицу для посылки, используемой Хрисиппом. И если она обнаружится в составе нашей большой таблицы (Табл. 11), то это будет означать, что мы ее уже предусмотрели.

Что значит, что а и b не могут быть вместе? Это значит, что они не могут быть вместе истинными. Если хотя бы одно утверждение — а или b ложно, то истинно, что а и b не могут быть вместе.

В таблице это отобразится так:

  Табл. 21

Наша связка новая, но она, естественно, не нова в логике. И в ней имеет свое название. Она называется штрих Шеффера и обозначается так: а/b.

Мы можем найти соответствующую связку в нашей большой таблице 11. Это колонка № 5. Нетрудно заметить, что штрих Шеффера будет эквивалентен отрицанию конъюнкции.

(а/b) ≡ ¬(a & b), т. е. левая и правая части нашего соотношения, будут принимать значение истинности и ложности одновременно. Используя штрих Шеффера, мы можем формализовать пятый тип выводов по Хрисиппу следующим образом:

           

Теперь приведем содержательные примеры на все формулы умозаключений, сформулированных Хрисиппом.

Это мы уже разобрали выше.

            Если у Петрова повышена температура, то он болен. Петров

не болен. Значит, у него температура не повышена.

Или мы будем лениться, или будем трудиться. Но мы будем

трудиться. Значит, мы не будем лениться.

Или мы будем лениться, или мы будем трудиться. Но мы не

будем лениться. Значит, будем трудиться.

Гений и злодейство несовместимы. Моцарт — гений. Значит, он не злодей.

Теперь мы должны предостеречь против похожих на верные, но ошибочных умозаключений. Выше уже говорилось об ошибках, связанных с тем, что вы делали вывод не от утверждения антецедента к утверждению консеквента, как учил Хрисипп, а, наоборот, от утверждения консеквента к утверждению антецедента.

Это очень распространенная, весьма досадная ошибка. Если читатель научится не делать хотя бы одной только этой ошибки, можно будет считать, что его труд, затраченный на изучение логики, оправдан. Тем более, если он научится не делать и той ошибки, о которой сейчас пойдет речь.

Ошибка может заключаться в следующем. Вернемся к тому самому Петрову, который, непонятно, то ли болен, то ли нет.

Хрисипп говорит, что если у Петрова повышенная температура, то он болен. Петров не болен. Значит, у него температура не повышена. Здесь отрицается консеквент (в дальнейшем мы будем называть его также следствием), а в выводе отрицается истинность антецедента (мы будем называть его также основанием). Значит, вывод делается от отрицания следствия к отрицанию основания:

Однако, в практике повседневного мышления мы часто отрицаем антецедент и на этом основании отрицаем консеквент. В данном случае оказывается, что у Петрова нет повышенной температуры, значит, он здоров.

Правы ли мы?

Таблица истинности нам поможет обнаружить ошибку. Вот что получается:

 

Табл. 22

 

Схема, по которой получается , что Петров здоров, следующая:

Напомним все умозаключение: если у Петрова повышенная температура (обозначим это высказывание — а), то он болен (высказывание — b). У Петрова нет повышенной температуры (¬а), следовательно, он не болен (¬b). По таблице истинности ищем истинность (а  b) и ¬а. Это будет 3-я строчка, в этой же строчке ¬b является ложным. Следовательно, наш вывод о том, что Петров не болен, — ложен. Читатель может возразить, что в 4-й строчке таблицы ¬b является истинным при одновременной истинности (а  b) и ¬а. Однако, это уже несущественно. При истинности посылок заключение должно быть всегда истинным, а в 3-й строчке оно уже ложное. Вывод неверен. Быть может, будет более удобен следующий способ проверки правильности умозаключения. Если посылки истинны, то заключение всегда должно быть истинным. Это означает, что всегда должна быть истинна импликация: а, & а,... & ап  b. Здесь в антецеденте — конъюнкция всех посылок, а в консеквенте — заключение. Включаем полученную импликацию в Таблицу истинности в качестве ее последней колонки. Если во всех клетках этой колонки для этой импликации получим истинность, это будет означать, что наша импликация является тавтологией, а соответствующее умозаключение — правильным.

Применительно к разбираемому умозаключению со схемой

, наша импликация будет иметь вид: [(а  b) & ¬a]  ¬b.

Антецедент [(а  b) & ¬а], консеквент ¬b. Добавим к нашей таблице колонку [(а  b) & ¬а] и колонку [(а  b) & ¬а]  ¬b, получим:

Табл. 23

Видим, что в 3-й строчке импликация оказывается ложной, вывод о том, что Петров здоров — неверен.

Проверим этим же способом, верен ли вывод: [(а  b) & ¬b]  ¬а. Снова построим таблицу:

 

Табл. 24

 

Видим, что во всех строчках последней колонки мы получили Истину. Вывод от отрицания консеквента к отрицанию антецедента верен.

Другое дело — неверный вывод от отрицания антецедента к отрицанию консеквента. Хорошо запомните: нельзя делать вывод от отрицания основания (антецедента) к отрицанию следствия (консеквента).

Какие ошибки могут быть связаны с использованием третьего типа умозаключений, приведенных Хрисиппом? Рассуждения Хрисиппа связаны с использованием исключающей дизъюнкции. Довольно часто в рассуждениях исключающая дизъюнкция подменяется неисключающей дизъюнкцией. И тогда возникает ошибка. Например, мы можем рассуждать так. Вам сообщили, что тот же Петров является доктором не то физико-математических, не то философских наук. И потом вы узнаете, что Петров — доктор физико-математических наук. Отсюда вы делаете вывод, что он не является доктором философских наук. Это неверно, ибо дизъюнкция здесь не является исключающей. Петров вполне может быть доктором физико-математических наук и доктором философских наук.

Построим таблицу, но предварительно схему Хрисиппа

выразим в виде импликации [(a w b) & а]  ¬b.

Табл. 25

Заменим исключающую дизъюнкцию на соединительную (неисключающую), которая может быть в ошибочном выводе, и проверим по таблице:

Табл. 26

Видим, что в первой строчке получается ложь, поскольку из истинности основания не следует ложность следствия. Следовательно, рассуждение по III схеме Хрисиппа с заменой исключающей дизъюнкции на соединительную приводит к ошибке.

Рассмотрим четвертый тип вывода или рассуждения, предложенный Хрисиппом:

Хрисипп и здесь предлагает исключающую дизъюнкцию. В рассуждениях по этой схеме иногда заменяют исключающую дизъюнкцию на соединительную.

Рассмотрим тот же пример. Если Петров — доктор физико-математических наук или доктор философских наук, а мы обнаружили, что Петров не является доктором физмат наук, то будем иметь полное право считать Петрова доктором философских наук. Это можно проверить по таблице.

IV.  Схема Хрисиппа или, в импликативной форме,

b [(a w b) & ¬а]  b.

 

Табл. 27

 

В чем же здесь опасность? Опасность будет заключаться в том, что дизъюнкция может оказаться неполной. Ошибка будет лишь тогда, когда окажется возможным еще какой-то не перечисленный член дизъюнкции. Например, Петров может быть еще и доктором филологических наук. Однако, эта ошибка носит не логический, а фактический характер. Логик вправе предположить, что все члены дизъюнкции перечислены.

В некоторых случаях истинность посылки дизъюнктивного характера может быть установлена на основе чисто логических соображений. Это возможно в тех случаях, когда иные, не перечисленные члены дизъюнкции, логически невозможны. В соответствии с законом исключенного третьего любое высказывание или истинно или ложно. Таким образом, дизъюнкция: “это высказывание истинное или ложное” является полной.

Рассмотрим V тип выводов, отмеченных Хрисиппом

Ошибка здесь чаще всего имеет фактический характер, когда мы предлагаем несовместимость таких суждений, которые на самом деле являются вполне совместимыми. Иногда нам кажется,

что несовместимость двух суждений определена логикой, хотя на самом деле этого нет, и в этом случае мы делаем ошибку, имеющую логический характер.

Например, утверждение, что данное животное — рыба кажется несовместимым с тем, что оно довольно длительное время может жить без воды. Но это вопрос конкретной науки, а не логики. В Австралии обнаружены рыбы, которые могут в течение засушливого периода обходиться без воды.

 

§ 2. Условные умозаключения. Дилеммы

 

Исчерпал ли Хрисипп все возможные типы выводов из различных высказываний? Конечно, нет. У Хрисиппа в выводах участвуют только два элементарных высказывания. Существует большое разнообразие различных выводов, в которых участвует более двух элементарных высказываний. И в заключении может быть получено не простое высказывание, а сложное.

Приведем пример условного умозаключения. Если Петров не подготовится к экзаменам, то может получить неудовлетворительную оценку. Если получит неудовлетворительную оценку, то может лишиться стипендии. Если Петров не подготовится к экзамену, то может лишиться стипендии.

Формально это можно выразить следующим образом:

Построим таблицу для проверки истинности этого умозаключения. Здесь три элементарных высказывания, значит, таблица должна содержать 8 рядов (см. табл. 28).

В 8-й колонке мы получили истину в каждой из 8-и строчек. Вывод верен, как это ни прискорбно. Петров может лишиться стипендии.

Конечно, в истинных высказываниях может участвовать два, три и даже очень много импликативных элементарных высказываний.

Могут быть комбинации из разных импликаций, например, такая:

 

Табл. 28

 

Проверяем это умозаключение с помощью таблицы истинности и обнаруживаем его правильность:

 

Табл. 29

 

Большое значение в рассуждениях, особенно дискуссиях, имеют так называемые дилеммы, которые связаны с использованием комбинаций условных и разделительных посылок. Простая конструктивная дилемма выражается следующей формулой:

            Проверим по таблице истинности:

Табл. 30

 

 

Мы установили, что формула в последней колонке является законом логики, т. е. тождественно-истинной формулой. Значит, вывод по схеме нашей дилеммы правомерен. В качестве примера использования дилеммы приведем очень давнюю историю. К знаменитому на всю древнюю Грецию учителю мудрости (их звали софистами) Протагору поступил в качестве ученика некий Эватл. Об оплате они договорились так. Если Эватл выиграет свой первый судебный процесс, он заплатит своему учителю. В противном случае платить не будет. После окончания учебы Эватл обратился в суд с просьбой освободить его от уплаты, рассуждая так: если суд освободит меня от платы за обучение, я платить не буду. Если не освободит, опять таки платить не буду, поскольку я не выиграл судебный процесс. Но я или выиграю судебный процесс, или не выиграю. Значит, я платить не буду. Здесь имеет место дилемма. Протагор ответил ему другой дилеммой с той же структурой, но противоположным выводом: платить будешь! Как это он сделал? Надеемся, что читатель догадается.

Простая конструктивная дилемма состоит из двух посылок. В первой утверждается, что из двух различных оснований вытекает одно и то же следствие. Во второй посылке, которая является дизъюнктивным суждением, утверждается, что одно или другое основание имеет место. В заключении утверждается следствие.

Более сложное умозаключение — сложная конструктивная дилемма. Здесь в первой посылке есть два основания, из которых вытекает соответственно два разных следствия. Вторая посылка утверждает истинность одного или другого основания. В заключении утверждается истинность одного или другого следствия.

Схема такой дилеммы:

Здесь 4 элементарных высказывания, это означает, что нам потребуется 16 рядов в таблице истинности. Это слишком сложно, чтобы привести здесь всю таблицу. Дотошный читатель в порядке тренировки вполне может убедиться в том, что в последней колонке, состоящей из конъюнкции всех посылок и вытекающих из них следствий, будут все 16 истин.

Приведем пример на такую дилемму.

В пьесе К. Гоцци “Ворон” принц Дженнаро хочет подарить своему брату королю Миллону сокола. Вещие голубки предсказывают несчастье: “В тот же миг, когда Миллону он сокола вручит, Миллона этот сокол мгновенно ослепит. А если не вручит, то будет превращен в холодный мертвый мрамор”. Однако Дженнаро может или вручить, или не вручить сокола Миллону. Значит, или сокол ослепит Миллона, или же он будет превращен в холодный мертвый мрамор.

Простая деструктивная дилемма содержит две посылки и заключение. В первой (условной) посылке содержится мысль, что из одного и того же основания вытекают два различных следствия. Во второй посылке содержится дизъюнкция отрицаний этих следствий. Заключение отрицает основание.

Схема простой деструктивной дилеммы:

c

Если бы он был здоров, то у него была бы нормальная температура. Если бы он был здоров, то у него было бы нормальное давление. Но у него нет нормальной температуры или давление повышено. Значит, он нездоров.

Сложная деструктивная дилемма состоит из двух посылок и заключения. В первой посылке,содержится два условных суждения с различными основаниями и различными следствиями. Во второй посылке содержится отрицание этих следствий в дизъюнктивной форме. Заключение в дизъюнктивной форме отрицания основания двух посылок-.

Формула сложной деструктивной дилеммы:

Надеемся, что читатель уже в состоянии подобрать пример на этот вид дилеммы самостоятельно.

 

§3. Энтимемы

 

Далеко не все элементы рассмотренных выше умозаключений в реальном процессе мышления находят явное выражение. Иногда очевидные посылки или очевидное заключение держится в уме (по гречески — эн тюмэ). Так, в приведенном выше примере сложной конструктивной дилеммы меньшая посылка и вывод вполне очевидны. Их можно было бы не приводить. Тогда мы получили бы энтимему. Кстати, у самого Гоцци, из пьесы которого был взят пример, приводится именно энтимема. Чаще всего выражается в явной форме большая посылка. Так, на камне, который встретил витязь на своем пути, было написано: “Если ты поедешь направо, то коня потеряешь, если ты поедешь налево, сам будешь убит”. Витязь видит лишь две дороги — направо и налево. И все ясно.

Энтимемы связаны не только с дилеммами. Условно-категорические, разделительно-категорические и другие типы умозаключений, которые мы рассматривали выше и которые будут еще рассмотрены, так же могут быть энтимематическими. Например: “Если не решать задачи, не овладеть логикой. А ты задачи не решаешь”. Ясно, какой вывод имеется в уме.

Однажды в присутствии Конан-Дойля зашел разговор об одном эсквайре. Когда автора замечательных детективов попросили высказать свое мнение, тот без раздумий ответил:

— Держу пари, что этот эсквайр отрицательно относится к мясным пудингам.

— Какое тонкое наблюдение, — воскликнули присутствующие, — но как вы догадались, сэр Артур?

— Только с помощью дедукции, — скромно объяснил Конан-Дойль, — на смокинге этого джентльмена нет жирных следов.

Здесь зафиксирован лишь вывод и одна из посылок. Восстанавливая другие посылки, которые Конан-Дойль держал в уме, получим: если бы эсквайр положительно относился к мясным пудингам, он ел бы их. Если бы эсквайр ел мясные пудинги, следы от них оставались бы на смокинге. На смокинге нет жирных пятен. Значит, эсквайр не ест мясных пудингов. Поскольку эсквайр не ест мясных пудингов, он отрицательно к ним относится.

Здесь вывод соответствует правилам, хотя одна из посылок сомнительна. Эсквайр мог быть очень аккуратным, или же часто менять смокинги. Мы видим значимость восстановления энтимемы до полного умозаключения. Таким образом нам легче найти ошибку.

 

§ 4. Аксиоматическое построение логики высказываний

 

Табличное построение функций истинности не является единственным способом построения логики высказываний. Существуют и другие способы обоснования истинности тех или иных высказываний. Среди них особо существенно аксиоматическое представление логики высказываний. В чем его суть?

Выбираются некоторые тавтологии логики высказываний и рассматриваются, как такие высказывания, истинность которых дана заранее. При этом не обязательно, что эти высказывания будут очевидны сами по себе. Важно, чтобы они были удобны для получения вывода. Могут быть выбраны в качестве аксиоматических различные высказывания. Число их так же может быть разным. Большее число аксиом иногда облегчает процесс получения вывода. В известной книге Д. Гильберта и В. Аккермана “Основы теоретической логики” в качестве аксиом берутся четыре формулы логики высказываний:

a) a v a  а

b) а  a v b

c)a v b  b v a

d) (а  b)  [d v a  d v b]

Обозначим А и В не отдельные высказывания, которые обозначались а и b, а целые формулы логики высказываний. Например, те, которые выше были приведены в качестве аксиомы. С помощью этих символов можно сформулировать

правила вывода:

а) Правило подстановки. Вместо А (переменного высказывания) везде, где эта буква встречается, можно подставить одну и ту же формулу исчисления высказываний.

b) Схема заключения. Из двух формул А и А  В получаем новую формулу В.

Формула считается доказуемой, если она или аксиома, или получена из аксиомы с помощью указанных правил или же из таких формул, которые уже доказаны.

Аксиоматическое построение именно логики высказываний обладает рядом серьезных преимуществ в сравнении с аксиоматическим построением других разделов логики. Легко доказать, что система аксиом логики высказываний является непротиворечивой, т. е. что с помощью этих аксиом нельзя доказать одновременно а и ¬а. Приведенные аксиомы логики высказываний являются также независимыми друг от друга, т. е. нельзя вывести хотя бы одну из них из других аксиом. И самое интересное, что система аксиом логики высказываний полна в том смысле, что присоединение к этой системе аксиом какой-либо новой аксиомы, которая не выводима из этой системы аксиом, приводит к противоречию.

Для нас наиболее существенно то, что в рамках логики высказываний можно доказать в качестве теорем любую из тех тавтологий, которые мы рассматривали выше, а также все те тавтологии, которые мы не

рассматривали.

В рамках аксиоматического построения логики высказываний имеется большая литература, к которой мы и отсылаем читателя. Для наших целей, т. е. для практического применения логики высказываний к анализу нашего мышления, сказано достаточно.

 

§ 5. Парадоксы логики высказываний

 

Все сказанное выше создает впечатление о логике высказываний как о чрезвычайно совершенной логической системе. И это действительно так, однако, наряду с достоинствами, здесь есть весьма существенные недостатки, являющиеся продолжением достоинств.

Мы определили все сложные высказывания как функции простых, точнее, истинности простых, элементарных высказываний. Это утверждение носит название тезиса экстенсиональности. Он очень удобен, ибо дает простой метод определения истинности сложных высказываний.

Однако, вполне ли этот метод соответствует нашей интуиции? Далеко не так. Яснее всего недостаточность экстенсионального подхода, т. е. подхода, основанного на тезисе экстенсиональности, видна на примере импликации. Импликация признается истинной, если истинен антецедент и истинен консеквент одновременно.

Очевидно, что это является необходимым условием того, чтобы мы признали условное выражение “Если а, то b” истинным.

Но является ли это условие достаточным? Возьмем пример, часто повторяющийся в истории логики и потому считающийся классическим: Если 2 x 2 = 4, то Нью-Йорк — большой город. Оба высказывания истинны, и мы, в соответствии с таблицей истинности, должны считать истинной и импликацию, независимо от наличия или отсутствия содержательной связи между высказываниями.

Далее, рассмотрим высказывание “Если 2 х 2 = 5, то Нью-Йорк — большой город”. Опять-таки, в соответствии с таблицей истинности для импликации, и это сложное высказывание будет истинным. Истинным будет и сложное высказывание “Если 2 х 2 = 5, то Нью-Йорк — маленький город”.

Приведенные выше высказывания иллюстрируют так называемое правило Дунса Скота, согласно которому из ложного высказывания следует все, что угодно. Это так же вызывает протест, который является вполне справедливым. А что можно сказать про истинность?

Нетрудно доказать с помощью таблицы истинности утверждение “Истинность следует из чего угодно”: а  (b  а)

 

Табл. 31

 

Обычно говорят, что дело тут в парадоксальности импликативной связки, и называется этот парадокс парадоксом импликации. Однако, и дизъюнкция связана с парадоксальностью.

Формула а  (a v b) является тавтологией. Что это означает?

Мы плывем в море, видим некоторый предмет. Что это? Кто-то предположил: “Это буек”. Но если это буек, то верно, что это буек или мина. Потом оказывается, что это не буек. Значит, это мина. Опять абсурд!

Усилия многих логиков на протяжении не одного столетия были направлены на то, чтобы исключить эти парадоксы из логики высказываний. Так, в так называемой интуиционистской логике требуется каждый раз указывать, какой именно член дизъюнкции считается истинным. Это исключает рассмотренный выше парадокс, связанный с использованием дизъюнкции.

Парадокс, связанный с импликацией, о котором шла речь выше, был назван парадоксом “материальной импликации”. Это крайне неудачный термин.

В качестве альтернативы такой импликации предлагались другие типы импликаций, уже не определяемых с помощью таких простых таблиц истинности, которыми мы пользовались выше.

Есть формальная, строгая импликация как альтернативы материальной. Однако и в логике высказываний, построенной с помощью нововведенных импликаций, были обнаружены соответствующие парадоксы.

В настоящее время получили широкое применение так называемая релевантная логика, в основе которой лежит понятие релевантной импликации (см. список литературы). Мы не имеем возможности рассматривать здесь релевантную логику. Для наших целей достаточно того, что было изложено выше. При всех недостатках, изложенная система позволяет решать главную для нас задачу: обнаруживать, по крайней мере, значительную часть логических ошибок, связанных с нарушением необходимых условий правомерности логического вывода.

 

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ I

 

§1. Конъюнктивные высказывания

 

Выясните, какие из перечисленных ниже предложений выражают конъюнктивные высказывания. В конъюнктивных высказываниях обозначьте каждое входящее в их состав простое суждение отдельной буквой и выразите структуру всего высказывания в целом в виде формулы. (Для выражения конъюнктивной связи используйте знак &. Составляющие, тесно связанные друг с другом, заключайте в скобки, например ((а1 & а2) & b).

1) В озеро Байкал впадает множество рек и речек, а вытекает из него одна Ангара.

2) Большая вина за это ложится на проектные организации и прежде всего на генерального проектировщика.

3) Знайка дорожкой бежит, незнайка на печке лежит.

4) Знание и ремесло человека красят.

5) Пахали — не пришел, сеяли — не пришел, жали — не пришел, а когда есть стали — братом назвался.

6) “— Пойдем, петушок, с нами в город Бремен и станем там уличными музыкантами. Ты будешь петь и на балалайке играть, кот будет петь и на скрипке играть, собака — петь и в барабан бить, а я буду петь и на гитаре играть”. (Сказки братьев Гримм),

7) Очень удобны гребенки и линейки из пластмассы,

8) Туннели метрополитена расходятся лучами в разных направлениях, замыкаются в кольцо, опоясывая наш город.

9) “Однажды лебедь, рак да щука везти с поклажей воз взялись” (И. А. Крылов).

10) “Ель растет перед дворцом, а под ней хрустальный дом” (А. С. Пушкин).

11) “На взгляд-то он хорош, да зелен” (И. А. Крылов).

12) “Она избалована, капризна, спит до двух часов, а ты дьячковский сын, земский врач” (А. П. Чехов, Ионыч).

13) “К северо-востоку от Таймырского полуострова, там, где море Лаптевых смыкается с Восточно-Сибирским морем, расположены острова: Котельный, Раддевский и Новая Сибирь. Вместе с большим и малым Ляховскими островами, лежащими южнее, они составляют Новосибирский архипелаг” (Узин. Загадки материков и океанов).

14) “Название груши в романских языках — испанско-итальян-ское “пера”, румынское “пара”, “перо”, французское “пуар” — не могли произойти ни от “пирум”, ни от “пирус”, а только от римского слова “пира”” (Успенский. Слово о словах).

15) Кто любит трудиться, тому без дела не сидится.

16) С горы — далеко, на гору —высоко, лучше никак.

17) Не топор кормит, а работа.

18) “Полные прилагательные могут иметь основу на твердый согласный и основу на мягкий согласный”.

19) Цирк — в 12 час. 30 мин. и в 4 часа — дневные цирковые представления, вечером — водяная феерия “Счастливого плавания”.

20) “Гамбринусу” слава! “Гамбринусу” слава! Народом любим он всегда и по праву.

Одесская марка, как встарь, хороша —

У нас с “Капитаном” светлеет душа! (Тамара Писарева)

21) Подберите из литературы или придумайте сами примеры конъюнктивныых высказываний, имеющих следующее строение: а & b, а & b & с, (а1 & а2) & (b1 & b2).

 

§ 2. Дизъюнктивные высказывания.

 

Выясните, какие из перечисленных ниже предложений выражают дизъюнктивные высказывания. В дизъюнктивных высказываниях обозначьте каждое входящее в их состав простое высказывание отдельной буквой и выразите структуру всего высказывания в целом в виде формулы. Для выражения дизъюнктивной связи используйте знак v — для слабой (соединительной) дизъюнкции, знак w — для сильной (исключающей) дизъюнкции.

1) Или прекратятся испытания атомного оружия, или будет угрожать серьезная опасность всему миру.

2) Или Яков Санников ошибся, думая, что видит землю, или Земля Санникова действительно существовала.

3) Или по проводнику не идет никакого тока, или амперметр испорчен, или, наконец, мы неправильно им пользуемся.

4) Это прилагательное будет иметь основу на твердый или на мягкий согласный звук.

5) Кандидат или доцент могут заведовать кафедрой.

6) “Долго ль мне гулять на свете то в коляске, то верхом, то в кибитке, то в карете, то в телеге, то пешком?” (А. Пушкин Дорожные жалобы).

7) “Плотность газа при нормальном давлении в несколько сот или даже тысяч раз меньше плотности жидкости, из которой данный пар образовался” (Путилов. Курс физики).

8) Хуанхе течет попеременно то в один, то в другой залив.

9) Корабль подвергался или бортовой, или килевой качке.

10) Корабль подвергался то бортовой, то килевой качке.

2. Подберите из литературы или придумайте сами примеры дизъюнктивных высказываний, имеющих формулу a v b v с и формулу a w b.

3. Какие сложные высказывания — конъюнктивные или дизъюнктивные — легче всего опровергнуть и почему?

4. Почему конъюнктивные высказывания можно разложить на совокупность простых и рассматривать каждое из них независимо от остальных, а с дизъюнктивными высказываниями этого сделать нельзя?

 

§3. Импликации.

 

1. Какие из следующих предложений выражают импликации? В импликативных высказываниях определите основание (антецедент) и следствие (консеквент). Обозначая антецедент и консеквент особыми буквами, выразите импликативные высказывания формулой а  b.

1) Если междометие произносится с особой силой, то после него ставится восклицательный знак.

2) Если вы медленно потянете полоску за свешивающийся край в направлении от стола, стакан двинется вместе с полоской.

3) Он не сможет успешно развивать логическое мышление учащихся, если сам не будет знать логику.

4) Кончил дело — гуляй смело.

5) Эти положения справедливы, если не учитывать трения.

6) Если вы знаете материал, то почему же не отвечаете?

7) “Еще б ты боле навострился, когда бы у него немножко поучился” (И. А. Крылов).

8) Назвался груздем — полезай в кузов.

9) “Would употребляется для выражения будущего действия в придаточных предложениях, когда глагол главного предложения стоит в прошедшем времени” (Практическая грамматика английского языка).

10) “Заяц, ежели его бить, спички может зажигать” (А. П. Чехов. В Москве на Трубной площади).

И) “Тут раздался легкий свист — и Дубровский умолк” (А. С. Пушкин).

12) “Ты все пела? Это дело: так поди же, попляши!” (И. А. Крылов. Стрекоза и муравей).

13) Летом не лежи в тени, чтобы зимой корова не мычала.

14) Стоит заговорить о деле — у ленивого заболит.

2. Подберите из литературы или придумайте сами несколько примеров импликаций.

3. В каких импликациях упражнения 1 основание (антецедент) соответствует причине и в каких такого соответствия нет?

4. Означает ли истинность импликации следующее:

1) истинность основания достаточна для истинности следствия?

2) истинность следствия достаточна для того, чтобы считать истинным основание?

3) истинность основания необходима для истинности следствия?

55

4) Истинность следствия необходима для истинности основания?

5. Выразите импликацию “Если две стороны и угол, заключенный между ними, одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу, заключенному между ними, другого треугольника, то можно считать треугольники равными”, с помощью термина “достаточно”.

6. Выразите с помощью термина “достаточно” импликации упражнения 1.

7. Выразите импликации упражнения 1 с помощью термина “необходимо”.

8. Придайте следующим мыслям, выраженным с помощью слов “достаточно” и “необходимо”, форму импликации.

1) Для того, чтобы выиграть шахматную партию, достаточно поставить противнику мат.

2) Для того, чтобы выиграть шахматную партию, необходимо поставить мат.

3) Для того, чтоб считать данную фигуру ромбом, необходимо, чтобы ее диагонали были взаимно перпендикулярны. 

4) Для того, чтобы овладеть логикой, необходимо уметь решать логические задачи.

 

§ 4. Эквивалентные высказывания.

 

1. Выразите следующие пары импликаций в виде эквивалентных высказываний.

1) Если треугольник прямоугольный, то квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон. Если треугольник не прямоугольный, то квадрат одной стороны треугольника не равен сумме квадратов двух других сторон.

2) Если существительное стоит в именительном падеже, то оно отвечает на вопросы “кто?” “что?”

Если существительное не стоит в именительном падеже, то оно не отвечает на вопросы “кто?” “что?”

2. Какие из приведенных ниже высказываний являются эквивалентными выражениями? Разложите эквивалентные высказывания на пары импликаций.

1) Если студент занимается систематически в течение всех лет обучения в вузе, и только в этом случае, он сможет по-настоящему овладеть своей специальностью.

2) Человек может отправиться в космическое путешествие только в том случае, если у него хорошее здоровье.

3) К экзаменам студенты допускаются только в том случае, если они сдадут зачет.

4) Я пойду в кино только на интересную картину.

5) Гласные произносятся четко и ясно лишь тогда, когда они

находятся под ударением.

3. Выразите следующие мысли в виде эквивалентных высказываний.

1) Для того, чтобы ромб был квадратом, необходимо и достаточно, чтобы все углы его были прямыми.

2) Для того, чтоб простое предложение было распространенным, необходимо и достаточно, чтобы в нем, кроме подлежащего и сказуемого, были еще второстепенные члены предложения.

 

§ 5. Общий случай сложных высказываний.

 

1. Выделите простые высказывания, входящие в состав следующих сложных, и напишите структурную формулу сложных высказываний.

1) Эх, если б печь да на коня, а я б — на ней, — добрый казак вышел бы.

2) Если частицы “ни” и “не” отделены от последующего местоимения предлогом, то они пишутся раздельно.

3) Частица “не” пишется с существительным слитно: а) если без частицы “не” существительное не употребляется;

б) Если прибавлением частицы “не” образуется новое слово, которое можно заменить другим, близким по значению словом.

4) Приставки на “з” пишутся то с буквой “з”, то с буквой “с”.

5) “Беда, коль пироги начнет печи сапожник, а сапоги тачать — пирожник” (И. А. Крылов).

6) Если вы быстро дернете полоску за край, полоска легко выдернется из-под стакана, причем стакан останется на том же месте, а вода — в стакане.

7) Если однородные члены предложения стоят между подлежащим и сказуемым, причем этим однородным членам предшествует обобщающее слово, то перед однородными членами ставится двоеточие, а после них — тире.

2. Выразите структуру ответа Вольтера в следующем анекдоте про этого философа.

Однажды зимою Вольтер был в гостях у знакомого поэта, который, приняв его в нетопленной комнате, долго и нудно читал свои стихи.

— Ну, как они вам понравились? — спросил он, наконец, у философа.

— Милый друг, — ответил Вольтер, улыбаясь, — если бы в ваших стихах было побольше огня, а в огне было побольше ваших стихов, мы, несомненно, хорошо бы согрелись...

3. Подберите сложные высказывания, удовлетворяющие следующим схемам:

(а & b)  с; а  (b & с); (а & b) v с; а & (b v с); (a v b)  с; а  (с v d);

(а & b)  (с & d).

4. Найдите сложные высказывания. В сложных высказываниях выделите все составляющие и выразите структуру высказывания формулой.

1) Все поле было убрано за три дня.

2) В творительном падеже прилагательных единственного числа мужского и среднего рода пишется “-ым” и “-им”, а в предложном падеже пишется “-ом”, “-ем”.

3) “Ох, лето красное! Любил бы я тебя, когда б не зной, да пыль, да комары, да мухи” (А. С. Пушкин. Дорожные жалобы).

4) В отрицательных и неопределенных местоимениях под ударением пишется частица “не”, если же ударение падает не на частицу, то пишется “ни”.

5) “Всякое тело продолжает удерживаться в своем состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменить это состояние” (Учебник физики).

6) “Если русское страдательное причастие настоящего времени выражает действие, совершающееся в настоящий момент (момент речи) или в настоящий период времени, то оно переводится на английский язык посредством Present Participle Passive” (Практическая грамматика английского языка).

7) “Когда Рама и Лакшман были в жилище Вишвамитры, раджа Джанака, который правил страной, называвшейся Митхила, прислал к Вишвамитре гонца с приглашением на свадьбу своей дочери Ситы” (Прем Чанд. Сказание о Раме).

8) “Если остановить коробку на какой-нибудь глубине и повертывать ее, то во время этого вращения на одной определенной глубине показание манометра останется неизменным независимо от того, будет ли перепонка расположена горизонтально, наклонно, вертикально, обращена вниз или вверх” (И. И. Соколов. Курс физики).

9) “Летучий остров поднялся на соответствующую высоту, так что его край пришелся как раз надо мной, затем с нижней галереи была спущена цепь с прикрепленным к ней сиденьем, на которое я сел и при помощи блоков был поднят наверх” (Д. Свифт. Путешествие в Лапуту).

10) “Этого человека вы увидите там завтра и всегда, до тех пор, пока в кассе останется хоть одно су, а в труппе будет Розита” (Ж. Валлес. Бакалавр-циркач).

11) “Кто знатен и силен, да не умен, так худо, ежели и с добрым сердцем он” (И. А. Крылов. Слон на воеводстве).

12) У существительных мужского и среднего рода в предложном падеже в неударном положении пишется “и”, если ему предшествует тоже “и”.

13) Поднесите кольцо к продукту. Если оно идет на вас — еда “ваша”, если раскачивается вправо-влево, лучше избегать этой еды.

 

§ 6. Отрицание сложных высказываний

 

1. Какие высказывания являются отрицаниями следующих конъюнктивных высказываний?

1) Это слово не является ни существительным, ни местоимением.

2) Это существительное — мужского рода, множественного числа и стоит в именительном падеже.

3) Истинно сущее бытие не может ни возникать, ни исчезать

(Парменид).

2. Какие высказывания являются отрицанием следующих дизъюн­ктивных высказываний?

1) Эта фигура ромб или прямоугольник.

2) Или сбруя не красна, или подковы не серебряны, или стреме­на не злачены.

3. Используя закон де Моргана, возразите Мари из следующе­го анекдота:

“Две приятельницы разговаривают:

— Мари сказала, что дядя подарил ей ожерелье из настояще­го жемчуга.

— Не верю. Или дядя ненастоящий, или жемчуг фальшивый”.

4. Правильно ли произведены следующие отрицания? Исправьте допущенные ошибки.

1) Жизнь может существовать на Марсе или на Венере. — Жизнь может существовать и на Марсе, и на Венере.

2) Или на тело не действует сила, или оно движется с ускорени­ем. — На тело действует сила, и оно не движется с ускорением.

3) Колумб открыл Америку, а Магеллан первым совершил кру­госветное путешествие. — Или Колумб не открыл Америки, или Магеллан не совершил первое кругосветное путешест­вие.

4) Данный сборник является пособием для обучения орфогра­фии французского языка и предназначен для учащихся сред­ней школы. — Данный сборник не является пособием для обучения орфографии французского языка. Во всяком слу­чае, он не предназначен для учащихся средней школы.

5) Сослагательное наклонение в английском языке выражает предполагаемое или желательное действие. — Сослагатель­ное наклонение в английском языке выражает не только пред­полагаемое или желательное действие.

5. Напишите общую формулу отрицания импликации а  b.

6. Какие высказывания являются отрицаниями следующих импли­каций?

1) Если просыпать соль, то произойдет несчастье.

2) Много будешь знать — скоро состаришься.

7. Ниже приведены высказывания, соответствующие ряду импли­каций упражнения 1 §3. Какие из них являются формальными отрицаниями этих импликаций и какие отрицаниями не явля­ются? (номера примеров соответствуют номерам примеров уп­ражнения 1 (§3. Импликации)).

1) После междометия поставлен восклицательный знак, а оно не произносилось с особой силой.

2) Мы медленно тянули полоску за свешивающийся край в на­правлении от стола, а стакан не двигался вместе с полоской.

3) Он знает логику, а логическое мышление учащихся развивать

не может.

4)3айца били, а спички он зажигать не может.

8. Означает ли ложность импликации следующее:

1) истинность основания недостаточна для истинности следст­вия;

2) истинность следствия недостаточна для того, чтобы считать истинным основание;

3) истинность основания не необходима для истинности след­ствия;

4) истинность следствия не необходима для истинности осно­вания.

9. Основываясь на ранее известных соотношениях, вывести фор­мулу отрицания эквивалентных высказываний.

10. Какие из следующих высказываний являются формальными от­рицаниями эквивалентного высказывания “Если студент зани­мается систематически в течение всех лет обучения в вузе и толь­ко в этом случае он сможет по-настоящему овладеть своей спе­циальностью”?

1) Студент систематически занимался в течение всех лет обуче­ния в вузе, а своей специальностью как следует не овладел.

2) Студент овладел по-настоящему своей специальностью, хотя и не занимался систематически в течение всех лет обучения в вузе.

3) Студент, систематически занимающийся в течение всех лет обучения в вузе, не всегда может овладеть своей специальностью. С другой стороны, другой студент, который систематически не занимался в течение всех лет обучения, может своей специальностью овладеть.

4) Верно или то, что студент, систематически занимающийся в течение всех лет обучения в вузе, не всегда по-настоящему овладевает своей специальностью, или то, что студент, по-настоящему овладевающий своей специальностью, не всегда занимается систематически в течение всех лет обучения в вузе.

11. Пусть а необходимо и достаточно для b. Какое из следующих высказываний будет простым отрицанием этого высказывания?

1) а необходимо, но не достаточно для b;

2) а достаточно, но не необходимо для b;

3) а достаточно и не необходимо для b;

4) или а не достаточно, или а не необходимо для b.

12.Опираясь на ранее известные формулы Де Моргана, составьте формулы для следующих отрицаний:

1) ¬[(а v Ь) & с];            2) ¬(¬а v ¬b);

3) ¬[(а & b) v с];            4) ¬[(а & b)  с];

5) ¬[а  (b & с)];          6) ¬[(a v b)  (с v d)];

7) ¬[(а ≡ b) v с].

 

§ 7. Тавтологии

 

1. Будут ли тавтологиями следующие выражения?

Для ответа составьте таблицы истинности.  

l) a & b  a; 2) a v b  a; 3) a v b ≡ b v a;

4) (а  b) & (а  b); 5) (а  b) v (b  a);

6) (а  ¬а)  ¬а; 7) а ≡ ¬ (¬а);

8) (a  b)  [(b  с)  (а  с)];

9) (¬а  ¬b)  (b  а).

2. Выясните с помощью таблиц истинности тавтологичность высказываний, позволяющих ответить на вопрос: “Эквивалентны ли следующие формулы ?”

1)  а  b и a v ¬b; 2) а  (b  с) и (а  b)  с;

3)  (а & b)  с и а & (b v с); 4) (a v b)  ¬с и a v b v с;

5)      (a v b) & с и (a v с) & (b v с); 6) а  b и ¬a v b.

 

§ 8. Выводы из конъюнктивных высказываний

 

1 . Приведите пример умозаключения, имеющего следующую структуру:

2. Является ли в следующих примерах заключение логическим следствием из посылок?

1) Москва, Киев, Минск, Кишинев — столицы независимых государств.

Тбилиси, Ереван, Баку — столицы независимых государств. Москва, Минск, Рига, Таллинн, Вильнюс, Ереван, Баку, Тбилиси, Кишинев, Киев являются столицами независимых государств.

2) Иванов, Семенова, Никитина и Романова сдали зачет по логике.

Николаева, Петрова и Виолентов не сдали зачета по логике. Семенова, Иванов, Никитина и Романова, в отличие от Николаевой, Петровой и Виолентова, сдали зачет по логике.

3) Иванов, Семенова, Никитина и Романова сдали зачет по логике.

Николаева, Петрова и Виолентов не сдали зачета по логике. Иванов, Семенова, Никитина и Романова, в отличие от Николаевой, сдали зачет по логике.

3. Правильно ли сделан следующий вывод? Иванов сдал экзамен по истории и по логике. Иванов сдал экзамен по литературе. Иванов сдал экзамен по истории, логике и литературе.

 

§ 9. Выводы из дизъюнктивных высказываний.

 

1. Являются ли правомерными выводы из дизъюнктивных высказываний по схеме:

Для ответа воспользуйтесь таблицами истинности, проверив справедливость формулы:

[(a v ¬а) & (с v ¬с)]  (a v ¬a v с v ¬c).

2. Являются ли заключения логическими следствиями посылок?

1) Высказывания “Не все то золото, что блестит” является или общим, или частным.

Высказывание “Не все то золото, что блестит” является или утвердительным, или отрицательным. Высказывание “Не все то золото, что блестит” является или общим, или частным, или утвердительным, или отрицательным.

2) Высказывание “Не все то золото, что блестит” является или общим, или частным.

Высказывание “Не все то золото, что блестит” выражено или простым, или сложным предложением. Высказывание “Не все то золото, что блестит” является или общим, или частным, или выражено простым, или выражено сложным предложением.

3) Это прилагательное образовано или с помощью суффикса, или с помощью приставки.

Это прилагательное образовано или с помощью приставки, или с помощью суффикса, или с помощью сложения основ. Это прилагательное образовано или с помощью суффикса, или с помощью сложения основ.

3. Составьте логические формулы приведенных в предыдущем уп­ражнении выводов из дизъюнктивных посылок.

4. Выясните, в каких случаях в посылках примеров упражнения 2 союз “или” понимается в соединительном, а в каких — в исключающе-разделительном смысле. Зависит ли правомерность рас­сматриваемых выводов из дизъюнктивных высказываний от того, в каком смысле в посылках употребляется союз “или”? Сформулируйте соответствующее правило.

5. Приведите примеры выводов из дизъюнктивных высказываний, построенных по схемам:

6. Являются ли правомерными выводы по следующей схеме ?

7. Правомерны ли следующие выводы:

1) Данное суждение является или общим, или частным.

Общее суждение может быть или общеутвердительным, или общеотрицательным.

Частное суждение может быть или частноутвердительным, или частноотрицательным. Данное суждение является или общеутвердительным, или общеотрицательным, или частно утвердительным, или частноотрицательным.

2) Произнесенное слово может иметь основу на согласный или гласный звук.

Согласный звук может быть твердым или мягким согласным звуком. Произнесенное слово может иметь основу на глас­ный или мягкий, или твердый согласный звук.

 

§ 10. Разделительно-категорические силлогизмы

 

1. Приведите примеры разделительно-категорических силлогизмов, выражаемых формулами:

2 . Выразите в виде формул строение следующих умозаключений и определите их состоятельность.

1) Или Яков Санников ошибся, думая, что видит землю, или Земля Санникова действительно существовала. Яков Санников не ошибался, думая, что видит землю. Сле­довательно, Земля Санникова действительно существовала.

2) Или по проводнику не идет никакого тока, или амперметр испорчен, или мы неправильно им пользуемся. По проводнику идет ток и амперметр не испорчен. Значит, мы неправильно пользуемся амперметром.

3) Или по проводнику не идет никакого тока, или амперметр испорчен, или мы неправильно им пользуемся. По проводнику идет ток. Значит, или амперметр испорчен, или мы неправильно им пользуемся.

4) Это прилагательное имеет основу или на твердый, или на мягкий согласный звук.

Но в данном случае основа не оканчивается на твердый соглас­ный звук. Значит, она оканчивается на мягкий согласный звук.

5) Составная часть суждения может быть субъектом или пре­дикатом или связкой.

Эта составная часть суждения не является субъектом. Следо­вательно, она является предикатом.

6) Государство может быть или монархическим, или демокра­тическим, или олигархическим.

При первобытнообщинном строе не было ни монархического, ни олигархического государства. Следовательно, при первобыт­нообщинном строе было демократическое государство.

7) S есть или а и b, или а и ¬b, или ¬а и ¬b, или ¬a и b.

S не есть ни а и b, ни а и ¬b, ни ¬a и  ¬b. Следовательно, S есть ¬а и b.

3. Сформулируйте формальное достаточное условие полноты пе­речисления всех возможностей в большей посылке.

4. Выразите в виде формул строение следующих умозаключений и определите их состоятельность.

1) Это прилагательное имеет основу или на твердый, или на мягкий согласный звук.

В данном случае основа оканчивается на твердый согласный звук. Следовательно, это прилагательное не имеет основы на мягкий согласный.

2) Или Яков Санников ошибался, думая, что видит землю, или Земля Санникова действительно существовала. Яков Санников ошибался, думая, что видит землю. Следова­тельно, никакой Земли Санникова не было.

3) Или по проводнику не идет никакого тока, или амперметр испорчен, или мы неправильно им пользуемся. Установлено, что или амперметр испорчен, или мы неправиль­но им пользуемся. Следовательно, по проводнику идет ток.

4) a w b w с

5) (a v b) w (a v ¬b) w (¬a v ¬b)

5. Правомерны ли следующие выводы?

1) То или иное слово можно выделить, напечатав его курсивом или подчеркнув. Это слово напечатано курсивом. Следова­тельно, оно не подчеркнуто.

2) Человек может петь либо первым голосом, либо вторым. Он не поет первым. Значит, он поет вторым.

3) Студент нашего института может учиться или на историко-филологическом, или на физико-математическом, или на ге­ографическом факультете, или на факультете иностранных языков.

Петров учится на факультете иностранных языков. Сле­довательно, он не учится ни на историко-филологическом, ни на физико-математическом, ни на географическом факуль­тете.

4) Всякий водоем может быть либо пресным, либо соленым. Но данный водоем не может быть соленым. Следовательно, он пресный.

5) Заведующий кафедрой может быть профессором, доктором наук, доцентом или кандидатом наук. Этот заведующий кафедрой — доцент или кандидат наук. Следовательно, он не доктор и не профессор.

6) (а  b) v (b  а)

7) (а  b) v (b  а)

6. “Гений и злодейство — две вещи несовместимые”, — говорит А. С. Пушкин в “Моцарте и Сальери”.

Это можно выразить в виде суждения: “Человек может быть либо гением, либо злодеем, но не тем и другим вместе”. Какие из следующих выводов из этого положения сделаны пра­вильно, какие неправильно и почему?

1) Моцарт — гений.

Следовательно, Моцарт — не злодей.

2) Сальери — не гений.

Следовательно, Сальери — злодей.

3) Моцарт — не злодей.

Следовательно, Моцарт — гений.

4) Сальери — злодей.

Следовательно, Сальери — не гений.

Сформулируйте умозаключения, с помощью которых можно было бы определить значение неизвестного слова х по заданно­му контексту. Выясните, является ли вывод необходимым след­ствием из посылок.

1) Существует 4 стороны света: север, юг, восток и х.

2) Целые числа могут быть четными или х.

3) Слово “студень” не относится к х, следовательно, это сло­во — или мужского, или женского рода.

 

§ 11. Условно-категорические силлогизмы

 

Составьте формулы следующих умозаключений и определите их состоятельность.

1) Если междометие произносится с особой силой, то после него ставится восклицательный знак. Междометие было произнесено с особой силой. Следовательно, после него должен быть поставлен воскли­цательный знак.

2) Если прямая касается окружности, то радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен к ней. Прямая не касается окружности.

Следовательно, радиус окружности не перпендикулярен к этой прямой.

3) Если прямая перпендикулярна к радиусу в конце его, лежа­щем на окружности, то она касается этой окружности. Прямая перпендикулярна к радиусу в конце его, лежащем на окружности. Следовательно, она касается этой окружности.

4) Произведение не может считаться художественным, если оно не правдиво. Прочитанное мной произведение правдиво. Следовательно, оно художественно.

2. Составьте формулы следующих умозаключений и определите их состоятельность. Выясните, чем примеры этого упражнения от­личаются от примеров предыдущего.

1) Произведение не может считаться художественным, если оно не правдиво. Это произведение художественно. Следователь­но, оно правдиво.

2) Произведение не может считаться художественным, если оно не правдиво. Это произведение не художественное. Следова­тельно, это произведение не является правдивым.

3) Курить — здоровью вредить. Он не вредит своему здоровью. Следовательно, он не курит.

3. Следует ли из нижеприведенных высказываний апостола Павла то, что неверующие не спасутся?

“Ибо, если устами твоими будешь исповедывать Иисуса Госпо­дом и сердцем твоим веровать, что Бог воскресил Его из мерт­вых, то спасешься” (Поел, к Римлянам 10:9).

4. Правильно ли сделаны следующие выводы?

1) Если крайний термин не распределен в посылках, то он не должен быть распределен в заключении. Крайний термин распределен в посылке. Следовательно, он должен быть распределен в заключении.

2) N не будет чемпионом, если он не выиграет эту партию. N выиграл эту партию. Следовательно, N будет чемпионом.

3) Если два числа равны друг другу, то их квадраты также рав­ны. Квадраты этих двух чисел равны друг другу. Следова­тельно, заданные числа одинаковы.

4) Если верна пословица “Курить — здоровью вредить”, то мне нужно срочно бросить курить. Но некоторые курят без вреда здоровью. Следовательно, нет никакой необходимости бро­сать курить.

5) “Ты говоришь, мы должны считать себя счастливыми, что мы не знаем этого лживого, отвратительного мира с его лжи­выми, отвратительными людьми. Очевидно, я одна из несчас­тных, ибо я-то знаю этот лживый, отвратительный мир с его лживыми и отвратительными людьми” (Шолом Алейхем. Мой первый роман).

6) (a v b)  (с & d)        7) (a v b)  (с & d) с & d

                                        

8) а & b  c

9) (a  b)  c

10) (a  b)  (c & d)

           

5. Проанализируйте следующий отрывок. Выделите в нем услов­но-категорическое умозаключение и определите его состоятель­ность.

“На этот раз она нашла на столе небольшую бутылку, к гор­лышку которой была привязана бумажная этикетка с надписью “Выпей меня”, великолепно отпечатанной большими буквами. Хорошо сказать — “Выпей меня”, но умная маленькая Алиса совсем не хотела делать это слишком поспешно. — Нет, я посмотрю сначала, — сказала она, — написано там “яд” или нет, так как она часто читала веселенькие рассказы о детях, которые сгорели или были съедены дикими зверями, и о других неприятных вещах, случавшихся с детьми, потому что они забывали простые правила, которым их учили друзья: как, например, что раскаленная кочерга обожжет вас, если вы буде­те держать ее слишком долго, что, если вы обрежете палец но­жом очень глубоко, из него обыкновенно идет кровь, и Алиса никогда не забывала, что, если вы слишком много пьете из бу­тылки, на которой написано “яд”, то это почти наверное рас­строит вам желудок рано или поздно.

Однако, на этой бутылке не было написано “яд”, поэтому Али­са отважилась и попробовала ее содержимое, и, найдя его очень приятным, она быстро покончила с ним” (Л. Кэррол. Алиса в стране чудес).

6. Какие выводы из данных условных посылок будут правомерными?

1) Если он не знает физику, то не сможет решить эту техничес­кую задачу.

А. Он решил эту техническую задачу. Следовательно, он знает физику.

В. Он знает физику. Следовательно, он решит эту задачу.

С. Он не знает физики. Следовательно, он не решит этой тех­нической задачи.

D. Он не решил технической задачи. Следовательно, он не

знает физики.

2) Если N сдаст экзамен, то придет в парк.

А. N не сдал экзамен. Следовательно, он в парк не придет.

В. N пришел в парк. Следовательно, он сдал экзамен.

7. Изменится ли правомерность сделанных в предыдущем упраж­нении выводов, если условные суждения будут изменены следу­ющим образом:

1) Если он решит эту техническую задачу, то это будет гово­рить о том, что он знает физику.

2) Если N не придет в парк, то это будет означать, что он не

сдал экзамен.

8. Сформулируйте условные высказывания, из которых вытекают следующие выводы.

1) Квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадра­тов двух других сторон. Следовательно, этот треугольник пря­моугольный.

2) На тело не действует никакой силы. Следовательно, ускоре­ние этого тела равно нулю.

3) ¬а v b, следовательно, с  d.

9. Какая логическая ошибка послужила основанием следующего анекдота?

“ — Почему вы непрерывно щелкаете пальцами?

— Чтоб отогнать крокодилов.

— Но ведь в радиусе двух тысяч километров нет никаких кроко­дилов!

— Ну вот теперь вы видите, какое это прекрасное средство!”

10. Выявите логическую ошибку, являющуюся основанием приве­денного ниже софизма.

“Можно ли доказать”, что 5=1? Оказывается, можно. Вот логический софизм, стремящийся доказать, что всякое ма­тематическое действие можно свести... на что угодно.

Итак, 5=1.

Доказательство:

Вычитаем из каждой части по три: 5 — 3 = 1 — 3.

Получаем: 2 = – 2.

Возводим обе части в квадрат: 2 • 2 = (—2) • (—2).

И получаем: 4 = 4.”

 

 

 

 

§ 12. Выводы из суждений эквивалентности.

 

Напомним, что выводы из суждений эквивалентности а ≡ b будут правомерными во всех случаях, когда будет правомерным или вывод из высказывания а  b, или вывод из высказывания b  а.

1   Правильно ли сделаны следующие выводы:

1) Я пойду в кино только на интересную картину. Эта картина интересная. Следовательно, я на нее пойду.

2) Число делится на 9 только тогда, когда оно делится на 3. Это число не делится на 9. Следовательно, оно не делится на 3.

3) Лунное затмение наступает тогда и только тогда, когда на Луну падает тень Земли. В настоящий момент на Луну пада­ет тень Земли. Следовательно, происходит лунное затмение.

2. Какие из следующих выводов являются следствиями приведен­ной большей посылки ?

Человек может отправиться в космическое путешествие только в том случае, если у него хорошее здоровье. А. У Петрова плохое здоровье. Следовательно, он не может от­правиться в космическое путешествие.

В. У Семенова хорошее здоровье. Следовательно, он может от­правиться в космическое путешествие.

3. Если величина равна нулю в одной системе координат, то она равна нулю и во всякой другой системе. Следует ли отсюда, что она не будет равна нулю во всех остальных системах в том слу­чае, если окажется, что она не равна нулю в одной системе?

4. Проанализируйте следующий отрывок. Сформулируйте умозак­лючение, к которому прибегли послы султана и выясните, поче­му оно несостоятельно.

“В султанстве Сулейманском, как само название показывает, правил султан Сулейман. Была у того султана единственная дочь, по имени Зубейда. И вдруг эта принцесса Зубейда ни с того, ни с сего начала чахнуть, хиреть и болеть... При дворе султана и во всей стране Сулейманской воцарилась

великая скорбь.

В это время заявился туда коммивояжер из Яблонце, некий пан

Люстиг, и говорит: “Надо бы к ней вызвать доктора, от нас — так сказать, из Европы, потому что у нас медицина более пере­довая. У вас тут одни знахари, колдуны и волшебники, а вот у нас, голубчики, есть настоящие ученые доктора.” Когда об этом узнал Сулейман, он спросил его:

— Пан Люстиг, как у вас узнают настоящего ученого доктора?

— Очень просто, — сказал пан Люстиг. — Узнают его по тому, что у нас перед фамилией две буквы: “д-р”. Например, д-р Манн, д-р Пелнор и тому подобное. А если у него нет “д-р”, то значит, он не ученый доктор.

— А! — сказал султан... и отправил в Европу послов за ученым доктором...

Шли они, шли и встретили дядьку с пилой и топором на плечах. “Доброго здоровьичка”, — поздоровался с ними дядька. “Бог помочь, — сказали послы. — Кто вы, дяденька, будете?” “Я, — сказал им дядька, — спасибо вам на добром слове, буду не кто иной, как дровосек”. Бусурмане навострили уши и говорят:

“Ваше вашество, тогда дело другое! Если вы изволите быть д-р Овосеком, то мы вас должны пригласить, чтобы вы моменталь­но, обязательно и немедленно, престо, виваче и удирато пошли с нами в Сулейманскую землю””. (К Чапек. Большая доктор­ская сказка)

 

§ 13. Смешанные выводы. Дилеммы

 

1. Ниже приведен ряд умозаключений и составлены их структур­ные формулы. С помощью элементарных преобразований эти умозаключения приведены к одной из рассмотренных выше форм и определена их состоятельность. Проверьте, правильно ли проведен этот логический анализ.

1) Нельзя жить приятно, не живя разумно, нравственно и спра­ведливо, и, наоборот, нельзя жить разумно, нравственно и справедливо, не живя приятно.

Этот человек живет разумно, нравственно и справедливо. Сле­довательно, он живет приятно.

 а — Человек живет приятно.

b — Человек живет разумно.

с — Человек живет нравственно.

d — Человек живет справедливо.

Вывод построен по следующей формуле:

¬ [а & ¬ (b & с & d)] & ¬ [(b & с & d) & ¬а]

Преобразуем большую посылку:

¬ [а & ¬ (b & с & d)] & ¬ [(b & с & d) & ¬а]  =

= [¬a v (b & с & d)] & ¬ (b & с & d) v a] =

= [a  (b & с & d)] & [(b & с & d)  a].

Отсюда путем непосредственного вывода из конъюнктивных высказываний следует, что:

(b & с & d)  а. Соединяя этот вывод с данной меньшей посылкой, получаем условное умозаключение:

(b & с & d)  а

Вывод правомерен, так как построен от утверждения осно­вания к утверждению следствия.

2) Если я брошусь из окна, то получу ушибы, если же я пойду по лестнице, то сгорю. Но я должен или броситься из окна, или пойти по лестнице. Следовательно, я или ушибусь, или

сгорю.

а — Я брошусь из окна,

b — Я получу ушибы,

с — Я пойду по лестнице,

d — Я сгорю.

Умозаключение имеет форму:

(а  b) & (с  d) a v с

Это схема сложной конструктивной дилеммы. Вывод право­мерен (к сожалению).

3) Если я брошусь из окна, то получу ушибы, если же я пойду по лестнице, то сгорю. Но я не хочу ни сгорать, ни получать ушибы. Следовательно, я не должен ни идти по лестнице, ни бросаться из окна.

Обозначения те же, что и в предыдущем примере. Схема вы­вода будет иметь вид:

(а  b) & (с  d)

Это разновидность сложной деструктивной дилеммы. Вывод правомерен.

2. Постройте умозаключение, которое позволило бы решить сле­дующую задачу.

Три человека были приговорены к смерти. На них были надеты колпаки. Каждый мог видеть только те колпаки, которые были надеты на других. Известно, что эти три колпака были взяты из пяти колпаков, среди которых были 3 черных и 2 белых. Тому, кто догадается, какой колпак на нем, было обещано помилова­ние. Через некоторое время один из приговоренных определил, какой колпак надет на него с помощью умозаключения.

3. Составьте логическую схему сложного высказывания, имеюще­го место в тексте (подчеркнуто):

1) “Сон этот может означать только одно из двух, — рассужда­ла сама с собой Маргарита Николаевна, — если он мертв и поманил меня, то это значит, что он приходил за мною, и я скоро умру. Это очень хорошо, потому что мучениям тогда настанет конец. Или он жив, тогда сон может означать одно, что он напоминает мне о себе! Он хочет сказать, что мы еще увидимся. Да, мы увидимся очень скоро”. (М. Булгаков. Мастер и Маргарита)

2) “— Мессир! Я вновь обращаюсь к логике, — заговорил кот, прижимая лапы к груди, — если игрок объявляет шах коро­лю, а короля между тем уже и в помине нет на доске, шах признается недействительным.” (М. Булгаков. Мастер и Маргарита)

 

§ 14. Энтимемы

 

1. Восстановите пропущенные посылки в приведенных ниже умо­заключениях и определите их состоятельность.

1) “0” не является положительным числом, следовательно, “0” — отрицательное число.

2) При такой высокой температуре вещества не могут находить­ся ни в твердом, ни в жидком виде. Следовательно, при та­кой высокой температуре они находятся в газообразном со­стоянии.

3) “Не можем мы идти против народа сего, ибо он сильнее нас” (Библия, Числа, гл. 13, 32).

4) На улице стало теплее, значит, выпал снег.

2. Проанализируйте приведенные ниже отрывки. Выделите содер­жащиеся в них энтимемы. Восстановите энтимемы до полных условно-категорических силлогизмов и определите их состоя­тельность.

1) “Мама учила меня, чтобы я бросил одного из вас в воду, и так как ты говоришь, что тебе хочется в воду, ясно, что тебе не хочется в воду. Так прыгай же в мутную воду реки Ама­зонки. Живо!” (Р. Киплинг. Откуда взялись броненосцы).

2) “Однажды поздно вечером Ходжа при свете луны поднимал ведро из колодца, и увидел он, что в колодец упал месяц. Что­бы вытащить месяц, он привязал к веревке крюк и спустил вниз. Случайно крючок зацепился за камень, и когда он силь­но тянул веревку, крючок сорвался, а Ходжа упал на спину. Он взглянул наверх и увидел, что месяц на небе. “Ну, слава Богу, помучился я немало, но зато месяц теперь вернулся на свое место””. (Анекдоты о Ходже Насреддине).

3. Два американца путешествовали по Испании. Однажды они при­шли в ресторан позавтракать. Но официант не знал английского. Они хотели молока и чтобы официант понял, что они хотят, на­рисовали на салфетке корову. Официант улыбнулся, хлопнул аме­риканцев по плечу и принес два билета на бой быков. Выясните то умозаключение, с помощью которого официант по­лучил вывод.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ДЛЯ УГЛУБЛЕННОГО ИЗУЧЕНИЯ К ЧАСТИ I

 

1. Гжегорчик А. Популярная логика. — М.: Наука, 1979. — 112с. Начните с этой небольшой книжки по логике высказываний. Она написана известным польским ученым. В ней популярно изло­жены основные идеи логики высказываний для людей, не явля­ющихся специалистами ни в логике, ни в математике.

2.  Швец М. М. Азбука математичноi логики. — Киiв: Радянська школа, 1965. — 148с.

Автор — ученый Одесского университета. В книге популярно излагается логика высказываний, доступна для самостоятель­ного изучения старшеклассниками и всеми, имеющими матема­тическую подготовку в объеме 8-9 классов средней школы.

3. Калужнин Л. А. Что такое математическая логика. — М.: На­ука, 1964.— 149с.

Популярное и корректное изложение математической логики. Начните с I и II глав, посвященных логике высказываний. Чте­ние не требует знания математики большего, чем школьный курс.

4. Зегет В. Элементарная логика. — М.: Высшая школа, 1985. — 255 с. Пер. с немецкого, 8-е переработанное издание. Книга состоит из 4-х глав: “Логика, мышление, язык”, “Логика высказываний”. “Логика предикатов”, “Основные понятия те­ории определения и теории редуктивных умозаключений”. Книга предназначена для студентов философского факультета и всех тех, кто заинтересован в углубленном изучении логики.

5. Бочаров В. А., Маркин В. И. Основы логики. — М.: Космополис, 1994.— 263с. Книга написана авторами, которые в течение ряда лет читали лекции по логике в МГУ. Этот учебник предназначен для сту­дентов гуманитарных и естественных факультетов и всех тех, кто желает изучать логику самостоятельно.

6. Гетманова А. Д. — М.: Владос, 1994. — 295 с.

Второе издание. Книга написана доктором философских наук, преподавателем логики в Московском государственном педаго­гическом университете. Книга ориентирована на программу пре­подавания логики в вузах, школах, гимназиях, лицеях и коллед­жах.

7. Костюк В. Н. Логика. — Киев-Одесса: Вища школа, 1975. — 110с. В книге автор рассматривает актуальные проблемы логики вы­сказываний (гл. I, II). Книга рекомендована студентам гумани­тарных и естественных факультетов. Главы снабжены упражне­ниями.

8. Войшвилло Е. К. Философско-методологические аспекты реле­вантной логики. М., МГУ 1988. Хорошо показаны причины возникновения релевантной логики. Первая часть книги не тре­бует особой подготовки.

 

 

 

ЧАСТЬ II. АТРИБУТИВНАЯ ЛОГИКА

 

 

ГЛАВА I. СУЖДЕНИЕ И ПОНЯТИЕ

 

 

§ 1 Структура суждений и их деление но качеству

 

Выше, в I части нашего учебника, все простые высказывания рассматривались как единое целое, они не расчленялись на элемен­ты. Из этого обстоятельства вытекает то, что мы не можем полу­чить все следствия из рассматриваемых посылок. Например, с по­мощью логики высказываний не видно, как из высказываний “Все люди смертны” и “Сократ — человек” сделать вывод о том, что Сократ тоже смертен. Для того, чтобы расширить возможности нашего логического аппарата, необходимо структурировать все вы­сказывания, т. е. выделить их составные компоненты.

Это приводит нас к необходимости использовать в качестве пе­ременных не только то, что выражается категорией вещи, но и при­влечь какую-либо иную категорию, по крайней мере, одну из тех, которые были отмечены выше.

Развитие традиционной, аристотелевской, логики связано с ис­пользованием пары категорий — вещи и свойства. Свойство по латыни: приданное — атрибут (attribut), следовательно, та логика, которая основывается на категории свойства, может быть названа атрибутивной логикой.

“Татьяна — красива”. Это отдельное высказывание, но оно может быть разбито на два компонента или две части. Первая часть — это Татьяна, и этот объект можно определить как вещь (попросим Татьяну на это не обижаться). О Татьяне говорят, что она кра­сива. Что такое “красива” с точки зрения категорий вещи, свойст­ва и отношения? “Красива” — это атрибут Татьяны, ее свойство. Таким образом, мы представили высказывание “Татьяна красива” как вещь, которой присуще некоторое свойство.

Высказывание не обязательно утверждает наличие свойства у вещи, иногда мы отрицаем присутствие какого-то свойства. На­пример, может быть и такое высказывание “Татьяна не знает логи­ки”, хотя бы это было и огорчительно.

Для того, чтобы не смешивать высказывания, расчлененные на вещи и свойства, с теми, которые нами не расчленялись, будем на­зывать первые чаще всего иным словом — суждением. Это разли­чие между высказыванием и суждением чисто условное, так что мы будем довольно часто употреблять оба термина как синонимы.

Назовем ту вещь, о которой что-то говорится в суждении, субъ­ектом суждения. Субъект суждения вполне соответствует тому, что в школьной грамматике называется подлежащим. Сказуемому в школьной грамматике будет соответствовать предикат суждения. Обратим внимание на то, что, если в логике высказываний мы рас­сматривали всего одно свойство высказываний — быть истинным или ложным, т. е. использовали это свойство в качестве логичес­кой константы, то здесь вещи и свойства могут быть самыми раз­ными, они обозначаются переменными. “Татьяна — красива”, “Ку­пание в море полезно для здоровья”, “Сократ — умен” и т. д. И субъект, и предикат суждений могут быть самыми разными. В этом принципиальное отличие наиболее простого раздела логики — ло­гики высказываний, которая опирается лишь на категорию вещи, от той логики, которой мы сейчас занимаемся, в которой равноп­равными являются категории вещи и свойства.

В русском и украинском языках обычно не принято выражать отношение между субъектом и предикатом с помощью особого сло­ва — связки. Но в английском языке — это обязательно. Англича­нин не скажет, что “Татьяна красивая”, а “Татьяна есть красивая”. Для английского языка не будет правильным “Татьяна не знает логику”, а верным будет “Татьяна не есть знающая логику”.

Такой же точки зрения придерживались древние римляне, ко­торые, как известно, говорили на латинском языке. И мы в логике будем следовать именно их примеру, используя связку есть или не есть, соотносящую субъект и предикат суждения.

В соответствии с тем, какая связка имеется в виду, все суждения можно разделить на два класса: один класс — суждения с утверди­тельной связкой “есть” и другой — суждения с отрицательной связ­кой “не есть”. Обозначая термином S — субъект, а термином Р — предикат суждения, получим два типа суждений:

S есть Р — утвердительные суждения;

S не есть Р — отрицательные суждения.

Это деление суждений было названо делением по качеству: име­ется в виду, что связка определяет качество суждения.

Есть еще деление суждений по количеству, но о нем будет идти речь ниже.

Отметим, что наше деление чисто формальное. Различие отри­цательных или утвердительных суждений определяется исключи­тельно используемой связкой, поэтому мы будем считать суждение с утвердительной связкой утвердительным и в том случае, если пре­дикат, который приписывается субъекту суждения, будет иметь от­рицательный характер.

Например, если вы что-то говорили о незнающих логику и ут­верждали, что “Татьяна не знает логику”, то здесь будем иметь дело не с отрицательным, а с утвердительным суждением “Татьяна есть незнающая логику”.

Здесь есть некоторая трудность, которая преодолеется, когда выработается навык определения качества суждений, в чем помо­гут задачи и упражнения, приведенные ниже.

Схемы утвердительных и отрицательных суждений имеют чис­то логический характер. Использование этих схем не означает, что мы должны переделывать наш язык в соответствии с латинским или английским языками.

Мы можем, естественно, употреблять выражения, свойственные нашему языку, не используя связки, но в тех случаях, когда утвер­ждения нашего языка будут подвергаться логическому анализу, их нужно будет привести к соответствующей логической форме, т. е. использовать связки.

Выявление структуры суждения, т. е. определение его субъекта, предиката и связки, не всегда столь простая задача, как это было в приведенных выше примерах. Не всегда логически субъект пред­шествует в языке предикату. Для правильного определения субъ­екта и предиката зачастую необходимо учитывать контекст, в част­ности, тот вопрос, на который отвечает данное суждение. Так, вне контекста выражение “Мать любит дочь” оставляет нас в неяснос­ти, кто же кого любит. Но если есть вопрос — кого любит мать ?, то субъектом будет мать, а предикатом “любит дочь”. Если же спро­сим, кого любит дочь, то субъектом будет дочь, а предикатом “лю­бит мать”. Обратим внимание, что ударение всегда падает на пре­дикат. Так что по ударению можно определить предикат суждения независимо от его места в выражающем суждение предложении.

 

§ 2. Понятие, его объем и содержание

 

Пройдемся по коридорам учебного корпуса Одесского универ­ситета. Навстречу нам Петров, он явно весел. Идем дальше, встре­чаем Иванова, и он весел. Читатели уже догадались, что следую­щий Сидоров — тоже весел. Дальше нам встретились Иваненко, Петренко, Сидоренко — и они веселы.

— В чем дело? — подумали мы.

Чтобы понять причину их веселья, нам нужно объединить всех встреченных нами людей. И что же оказалось? Оказалось совсем не то, о чем подумал читатель. Все эти люди являлись студентами нашей группы, только что сдавшими экзамен по логике.

Вместо того, чтобы перечислять каждого из этих студентов по отдельности, мы могли бы сказать одну фразу: “Студенты нашей группы, сдавшие экзамен по логике, веселы”. Здесь мы прибегли к логической операции, которая называется обобщением. В резуль­тате этой операции исчезли конкретные люди, на каждого из кото­рых можно было бы посмотреть, и возникло нечто иное, новая вещь, которую уже нельзя ни увидеть, ни услышать — это понятие.

В понятии, как это видно из процесса его образования, требу­ется различать две стороны. Первая — это те конкретные вещи, которые мы обобщаем. Иванов, Петров, Сидоров и т. д. — эти вещи образуют некоторое множество, которое мы будем называть объ­емом понятия.

Далеко не всякое множество будет представлять собой объем понятия. Возьмем, например Иванова, √-1, историю древнего мира и звезду Бетельгейзе. Это множество, составленное из четырех эле­ментов, но это не есть объем понятия, поскольку мы не знаем, ка­ким образом эти 4 элемента можно объединить в одно целое. Про Петрова, Иванова и т. д. мы знаем, как это можно сделать. Мы выделили признак или свойство, которое им всем присуще. Этим свойством как раз и будет то, что они — студенты, они учатся в нашей группе и они, надо полагать, успешно сдали экзамен по ло­гике.

Набор тех свойств, который позволил нам объединить в одно целое множество вещей, называется содержанием понятия.

Само же понятие в таком случае мы можем определить как не­кое единство объема и содержания, т. е. множество предметов, со­отнесенных с множеством свойств, описывающих эти предметы.

Множество предметов, составляющих объем понятия, существу­ет реально в самой действительности. Существует ли в самой действительности и понятие в целом? Этот вопрос породил многочис­ленные дискуссии, особенно острые в период средневековья. Древ­негреческий философ Платон и его средневековые последователи, называемые реалистами, утверждали, что понятия, которые Платон называл идеями, а в средние века называли универсалиями (от лат. universalis — общий, всеобщий), существуют в самой действитель­ности. Противники реалистов — номиналисты (от лат. nomina — названия, имена) полагали, что в действительности существуют толь­ко отдельные предметы, а универсалии — не что иное, как имена.

Мы не будем вдаваться в эту дискуссию, но отметим, что, с на­шей точки зрения, как это часто бывает, истина находится где-то посредине.

Понятие — форма нашего мышления. Именно мы выделяем те признаки, по которым образовали понятие “студенты нашей груп­пы, сдавшие экзамен по логике”, однако, это выделение возможно потому, что этим свойством, которое мы выделили, обладают ре­ально существующие предметы.

Термин “свойство” и “признак” мы будем использовать как си­нонимы, но чаще всего будем употреблять “признак” в том случае, когда речь будет идти о свойствах, отображаемых в нашем соз­нании.

Объем и содержание понятия могут находиться в различных от­ношениях друг к другу. Это дает нам возможность классифициро­вать, выделять разные типы понятий, подобно тому, как мы выде­ляли разные типы суждений.

 

§3. Виды понятий

 

В основу классификации понятий можно положить классифи­кацию сущностей, которую предложил Аристотель в своем извест­ном трактате “Категории”. Аристотель выделяет два типа сущнос­тей. Один тип — это индивидуумы (лат. individuum — неделимое), отдельные предметы. В нашем примере это Иванов, Петров, Сидо­ров, далее к индивидуумам можно отнести Солнце, Одессу, Темзу, Карпаты и т. д.

Сущности такого типа Аристотель назвал первыми сущностя­ми. Характерной чертой первых сущностей является то, что они выступают только в роли субъекта, они никак не могут сказывать­ся о чем-либо, т. е. быть предикатами.

Однако, уточняя Аристотеля, можно допустить, что первые сущ­ности могут высказываться о самих себе. Это имеет место в тавтологи­ях, например, “Одесса есть Одесса”, “Иванов есть Иванов”. В при­веденных примерах первые сущности обозначаются именами со­бственными. Однако, их можно определить, не прибегая к именам собственным, с помощью описания-дескрипции (лат. describere — описывать). Например, вместо “Луна” можно сказать “естественный спутник Земли”. Это описание выделяет единичный предмет — Луну. Вместо Одессы — “самый большой порт на Черном море”. Эта дес­крипция Одессы имеет преимущества перед именем собственным. Оказывается, Одесса есть не только в Украине, но и в США и даже не одна. “Самый большой порт на Черном море” один — Одесса. Конечно, здесь нужно иметь в виду определенный отрезок времени. Но этих тонкостей мы сейчас касаться не будем.

Понятия, объем которых составляют первые сущности, назо­вем единичными или индивидуальными. Отметим, что содержание таких понятий очень богато. Вряд ли может кто-либо перечислить все признаки, которые характеризуют тот или иной индивидуаль­ный предмет.

Вторая сущность, по Аристотелю, может быть и субъектом и предикатом, поскольку она может приписываться другому. Так, мы с вами образовали вторую сущность “студент, сдавший экзамен по логике”. Эта сущность может быть приписана Иванову, Петрову и т. д.

Соответственно, второй сущностью будут и “карась”, и “верб­люд”, и “голова верблюда” и т. д. Понятия, выражающие вторую сущность, можно назвать общими в противоположность индиви­дуальным понятиям.

Характерной чертой общих понятий является то, что здесь ос­новная роль принадлежит содержанию понятия. Оно предполага­ется в качестве исходного. Что же касается объема понятия, то пос­леднее определяется на основе содержания понятия. И здесь возни­кает немало трудностей. Что входит в объем понятия “человек”? Существующие сейчас люди или также и те, которые давно умер­ли, как Сократ? А как быть с будущими людьми?

Считается, что все это входит в объем понятия “человек”, пос­кольку и Сократ, и будущий покоритель Марса обладали или бу­дут обладать признаками, входящими в содержание понятия “че­ловек”.

Наконец, мы отметим такие понятия, которые, строго говоря, не имеют никакого объема. Аристотель, наряду с сущностями, вы­деляет и другие виды существования. Сущности существуют сами по себе, но есть и такие вещи, которые не могут существовать ина­че, чем в качестве чего-то, находящегося в другом. Например, по Аристотелю, определенное умение читать и писать. Оно находится в душе человека, хотя и не является частью этой души.

Это — свойства. В качестве свойств они выступают в предика­тах суждений, но приписываются они непосредственно субъекту. Так, в приведенных выше примерах красота приписывается Тать­яне, так же как и умение читать и писать. Само же умение читать и писать, так же как и красота, не являются ни первой, ни второй сущностью. Такие понятия мы назовем атрибутивными, обычно они носят название абстрактных понятий в противоположность конкретным понятиям.

Абстрактные понятия легко превращаются в конкретные. Так, мы можем назвать Татьяну не просто красивой, а красивой девушкой, или красавицей. Объем понятия “красива” не определен, а “кра­савиц” можно пересчитать, иногда даже по пальцам. То же самое можно сказать и о свойстве умения читать и писать. В качестве ат­рибутивного, абстрактного понятия оно объема не имеет. Однако, понятие человека, умеющего читать и писать, имеет объем, кото­рый можно определить.

Переход от атрибутивного понятия к конкретному может быть назван субстантивацией (лат. substantia — сущность, основа чего-л.).

Всегда ли в результате субстантивации получаются реально су­ществующие вещи? Далеко не всегда. Древние греки объединили признаки лошади и человека в понятии кентавр (гр. Kentauros — получеловек-полулошадь). Отдельно существующие предметы, обладающие признаками лошади, — это лошади. Отдельно сущес­твующие создания, обладающие признаками человека, — это люди. Но объединению признаков человека и лошади в действительнос­ти ничего не соответствует. В таком случае говорят, что объемы понятия кентавр и других, подобных ему, образуют пустой класс.

Здесь можно провести аналогию с понятием нуля в математике. Нуль считается числом, хотя и весьма странным. Однако, исполь­зование этого странного числа весьма удобно. Без него арифмети­ка была бы неизмеримо более сложной.

Так же и в логике. Во многом упрощается изложение логики с использованием пустых классов, точнее, с допущением того, что объем того или иного понятия может оказаться пустым классом. Например, мы можем рассуждать о снежном человеке вполне пос­ледовательно, несмотря на то, что существование снежного чело­века не вполне доказано. Возможно, что снежного человека не су­ществует. И тем не менее, это не мешает нам мыслить о нем. Отелло, рассказывая Дездемоне о своих приключениях, сообщил ей, в частности, о том, что есть такие люди, у которых плечи выше голо­вы. В отличие от Дездемоны, мы не станем доверять Отелло, хотя у нас нет полного доказательства, что такие люди не существуют. В допущении существования таких людей нет никакого логического противоречия.

Объем понятия “люди, у которых плечи выше головы”, скорее всего является пустым. Но эта пустота носит фактический харак­тер. Есть пустота — логическая. Такая пустота объема понятия будет иметь место, если в содержание понятия будут входить при­знаки, отрицающие друг друга. Например, такие признаки входят в понятие “круглый квадрат”. Если экспедиции, связанные с поис­ками снежного человека или даже людей, у которых плечи выше головы, имели бы какой-то смысл, то совершенно бесполезно ра­зыскивать круглые квадраты. Их быть не может, как и всего того, что внутренне противоречиво.

Несмотря на ту пользу, которую мы извлекаем из использова­ния понятий с пустыми объемами, традиционная логика, которой мы в основном ограничиваемся в нашей книге, не использовала этого понятия. Иными словами, в ней всегда предполагалось, что понятия, о которых идет речь, имеют не пустой объем. Это очень важное онтологическое (от греч. ontos — сущее) допущение тради­ционной, аристотелевской, логики, которое следует иметь в виду при рассмотрении дальнейших вопросов.

 

§ 4. Отношения между понятиями по объему и содержанию

 

Рассмотрим вопрос о соотношении между понятиями по их объ­ему и содержанию на примере общих понятий. Индивидуальные и абстрактные понятия рассматривать не будем.

Так, поскольку объем понятия представляет собой некоторое множество предметов, то соотношение понятий по объему пред­ставляется как отношение между множествами. Рассмотрим тот случай, когда объем одного понятия является частью объема дру­гого понятия. В таком случае первое из этих понятий, меньшее по объему, является видом, а второе, большее по объему, понятие яв­ляется родом. В качестве примера можно взять отношение по объ­ему между понятиями “человек” и “животное”. “Человек” — видо­вое понятие по отношению к родовому понятию “животное”. Кро­ме человека в объем понятия “животное” входят собаки, кошки, тигры, змеи, караси и т. д.

Отношение по объему между понятиями выражаются с по­мощью кругов Эйлера, названных так в честь знаменитого мате­матика Л. Эйлера (1707 — 1783), использовавшего этот способ на­глядного изображения отношений между объемами понятий. Од­нако, этот способ обозначения отношений по объему между понятиями был известен и ранее — еще в VI веке. Круг наглядно изо­бражает объем понятия, больший круг изображает большее по объ­ему понятие, меньший — меньшее. Группа предметов, являющаяся видом данного класса предметов, изображается в виде меньшего круга, помещенного внутри большего круга.

Вернемся к нашему примеру. Понятие “человек” — видовое. “Животное” — родовое понятие. Вид изображается меньшим кру­гом, находящимся внутри большего, соответствующего роду.

Родо-видовые отношения между понятиями по объему называ­ются отношениями подчинения.

В каком же отношении находится содержание родовых и видо­вых понятий?

Какое понятие богаче по содержанию, т. е. обладает более боль­шим числом признаков — человек или животное? Конечно же, че­ловек. Он, кроме того, что является животным, обладает массой свойств, которые другим животным не присущи. Так, он может читать, писать, изучать логику и т.д.

Отношения между содержаниями понятий так же можно выра­зить с помощью кругов Эйлера, но для того, чтобы не смешивать отношения понятий по объему и отношения понятий по содержа­нию, будем выражать отношения по содержанию прямоугольни­ками. Так, то обстоятельство, что видовое понятие “человек” бо­гаче по содержанию, чем родовое понятие “животное”, можно вы­разить следующим образом:

 

 

В частном случае объемы двух понятий могут совпасть. Так, например, объем понятия “равносторонний прямоугольник” и объ­ем понятия “прямоугольный ромб” совпадают друг с другом. И то и другое — квадраты. В таком случае отношение между понятиями по объему будет изображаться в виде двух совпадающих между собой кругов.

 

 

Такие понятия — тождественны друг другу по объему.

            В каком же отношении будут находиться их содержания? Этот вопрос не совсем простой. Для несведущих в геометрии (а такие люди в академии Платона не допускались к занятиям по филосо­фии) оба понятия разные по своему содержанию. Геометр же легко докажет тождественность содержания этих понятий.

Однако, возьмем другой пример. Что значит “высочайшие вер­шины мира”? Это означает, что эти горы выше всех остальных гор во всем мире. Выше, например, Эльбруса, Монблана, Говерлы и Жеваховой горы. Что значит “высочайшие вершины Гималаев”? Отвечая на этот вопрос, мы можем не думать ни о Монблане, ни о Говерле и, тем более, о Жеваховой горе, но только о вершинах Ги­малаев, среди которых данные признаются высочайшими.

Содержание двух понятий “Высочайшие вершины мира” и “Вы­сочайшие вершины Гималаев” явно различно. Признаки высочай­ших гор Гималаев включаются в содержание понятий “высочай­шие вершины мира”, не исчерпывая последнего. Однако, если срав­нить объемы этих двух понятий, то они оказываются тождествен­ными друг другу. Мы видим, что тождественность объемов этих понятий не гарантирует тождественности их содержаний. Отноше­ния между содержаниями сравниваемых понятий на основе сказан­ного выше могут быть выражены следующей схемой:

 

 

Мы видим, что понятия, тождественные по объему, могут не со­впадать по своему содержанию. Возможно ли обратное? Нам пред­ставляется, что да. Возьмем известную детскую песенку-страшилку

“Десять негритят пошли купаться в море.

Десять негритят резвились на просторе.

Один из них утоп. Ему купили гроб.

И вот вам результат — девять негритят”.

Что произошло в логическом плане? Изменилось ли содержа­ние понятия: “Негритята, пошедшие купаться в море”? Очевидно, что нет, поскольку число негритят в это содержание не входит. А объем менялся вплоть до того, что не осталось ни одного негритен­ка. Получается, что объем понятия меняется при сохранении его содержания.

Следующий тип отношений понятий по объему это отношение частичного совпадения. Возьмем два понятия: “студент” и “вело­сипедист”.

Некоторые студенты — велосипедисты, некоторые — нет. Как и некоторые велосипедисты являются студентами, некоторые — нет. Это отношение понятий по объему изображается двумя пересека­ющимися кругами Эйлера:       

 

 

            Возьмем другой пример. Два понятия “Большие реки” и “Реки Европы”. Здесь также отношение по объему между понятиями бу­дет отношением частичного совпадения. Есть в Европе большие реки — Волга, Дунай, Днепр, и есть много малых. Большие реки не только в Европе.

В каком же отношении будут находиться содержания пересека­ющихся понятий? Они так же будут находиться в отношении час­тичного совпадения. Понятие “Большие реки” имеет признаки, общие с содержанием понятия “Реки Европы”. Кроме этого, поня­тие “Реки Европы” имеет тот признак, что они в Европе. “Боль­шие реки” имеет тот признак, что они — большие. Быть больше — это совсем не то, что находиться в Европе.

Поэтому отношение между содержаниями рассмотренных по­нятий может быть выражено следующей схемой:

 

 

Читатель легко может поместить в приведенную схему студен­тов и велосипедистов.

Теперь возьмем понятия, исключающие друг друга, например, карасей и щук. Читатель, даже если он не рыбак, не будет оспари­вать тот факт, что ни один карась — не щука, и ни одна щука не является карасем. (Известный средневековый монах Горанфло на­рек карасем жареного поросенка, чтобы съесть его во время поста, но мы такие вещи не рассматриваем. Монах согрешил не только против религии, но и против логики).

Что касается соотношения этих понятий по объему, то здесь все понятно, и читатель сам может привести большое количество примеров на отношение несовместимости понятий по объему. Иног­да в логике несовместимые друг с другом понятия по объему назы­ваются диспаратными. Но будут ли несовместимыми друг с дру­гом так же и содержания этих понятий? Нет! Нетрудно видеть, что содержания понятий “щука” и “карась” совместимы друг с другом. И “щука”, и “карась” обладают общим комплексом свойств, объ­единенным в понятии “рыба”. Поэтому, для изображения отноше­ния по содержанию несовместимых по объему понятий будем иметь такую же схему, как и для отношения частичной совместимости по­нятий:

 

 

Может ли быть такой случай, когда содержания несовмести­мых понятий не будут иметь абсолютно ничего общего? Мы исхо­дим из того, что этот случай невозможен хотя бы потому, что все то, о чем мы говорим, будет некоторыми вещами.

Особым случаем несовместимости понятий будет отношение противоречия или дополнения. Если мы поймали какую-то рыбу и она не оказалась щукой, то это не означает, что мы поймали ка­рася. Возможна масса других вариантов. Но иногда бывает так, что мы сможем иметь дело лишь с двумя вариантами. Это бывает тогда, когда одно из двух понятий определяется на основе просто­го отрицания другого понятия. Например, “щука” и “не щука”. Мы можем поймать щуку или не щуку. Ничего третьего мы поймать не сможем, даже если будем отличными рыбаками.

Другой пример.

“Белый цвет” — “Небелый цвет”.

“Человек” — “нечеловек”.

Такие понятия, представляющие частный случай несовмести­мости, называются противоречащими или дополняющими друг друга. Какое же отношение будет между противоречащими друг другу понятиями по содержанию? Содержания этих понятий раз­личны по одному признаку. В одном из них нет того признака, ко­торый есть в другом. Значит, имеются признаки, входящие в со­держание обоих понятий, и есть такие, которые входят в содержа­ние только одного понятия. Как ни странно, получаются те самые отношения, которые имеют место между просто несовместимыми понятиями. Во всяком случае, это будет тогда, когда мы будем сле­довать нормам натурального языка.

Аристотель приводит такой пример. Возьмем понятия: “зрячий” и “незрячий”. Чисто формально мы можем к “незрячим” отнести и камень, получим “Камень незрячий”. Аристотель протестует про­тив этого, поскольку незрячим мы не можем считать то, что по при­роде не может быть зрячим. Можем считать незрячим животное или человека, но не камень. Соответственно, “белый” и “небе­лый” — это разные цвета. “Щука” и “не щука” — это должны быть рыбы.

Таким образом, в случае несовместимости понятий, в частнос­ти, противоречащих друг другу понятий, мы будем иметь дело с отношением не между двумя, а между тремя понятиями. Третье понятие представляет собой “предметную область”, в рамках ко­торой первые два понятия соотносятся друг с другом. В нашем слу­чае это “рыбы”. В том случае, когда между сопоставляемыми по­нятиями не усматривается ничего общего, предполагается “универсальная предметная область” — понятие “вещи”. Когда предметная область С имеет содержание, близкое к содержанию сопос­тавляемых понятий А и В, говорят о том, что А и В соподчинены С. Уточняя отношения по объему между понятиями “щука” и “ка­рась”, мы получаем следующую схему, которая включает третье понятие — родовое для щуки и карася.

 

                                                     

                                                   Рис.1

Выражая отношение между содержанием этих двух понятий, мы будем иметь общую дважды заштрихованную область:

 

                                         

                                                   Рис.2

Легко понять, что отношение между тремя понятиями не ис­черпываются рассмотренным случаем. Например, может быть та­кое отношение по объему между тремя понятиями:

                                                     

 

Рис. 3

или отношение по содержанию:

 

         

 

Рис. 4

Много других примеров будет дано в упражнениях. Понятно, что мы можем рассматривать отношения между четырьмя, пятью, шестью и вообще сколь угодно большим числом разных понятий.

 

§ 5. Закон обратного отношения

между объемом и содержанием понятий

 

Выше говорилось о том, что, если объем видового понятия вклю­чается в объем родового понятия, то для содержания этих понятий отношение будет обратным: содержание родового понятия вклю­чается в содержание понятия вида. Это дало возможность сформу­лировать в рамках традиционной логики закон обратного отно­шения между содержанием и объемом понятия: чем больше объем понятия, тем беднее его содержание и чем меньше объем понятия, тем богаче его содержание. В приведенном выше примере соотно­шения трех понятий самое богатое содержание у меньшего по объ­ему понятия, самым бедным по содержанию понятием является са­мое большое по объему понятие.

Это окажется верным даже в том случае, когда мы не знаем, ка­кое это понятие, поскольку речь идет об общелогическом законе.

Вокруг закона обратного отношения объема и содержания по­нятия имеет место длительная дискуссия. Приводилось много при­меров якобы опровергающих этот закон. Например, спрашивали, какое понятие более богато по содержанию: “знающие все инос­транные языки” или “знающие все живые иностранные языки”. Казалось бы, что второе понятие богаче по содержанию и шире по объему. Парадокс исчезает, если мы будем перечислять языки и тогда оказывается, что содержание понятия “знающие все иностран­ные языки” будет более богатым, чем понятие “знающие все жи­вые иностранные языки”.

Однако, некоторая неточность в законе обратного отношения между объемом и содержанием понятия все же есть. И она связана с тем, что понятия, тождественные по объему, могут быть различ­ны по содержанию и наоборот. Поэтому сужение содержания мо­жет не приводить к соответствующему расширению объема поня­тия и наоборот (обогащение содержания понятия не обязательно приведет соответственно к уменьшению объема понятия).

Отклонения от закона определяются тем, что признаки, входя­щие в содержание понятия, могут быть связаны друг с другом.

 

§ 6. Индивидуальные и абстрактные понятия

 

Используя закон обратного отношения объема и содержания понятия, будем сужать объем понятия “человек”. Получим: “совре­менный человек”, “взрослый современный человек”, “взрослый современный человек, живущий в Лондоне” и, в конце концов, по­лучили принцессу Диану. Переходя от одного понятия к другому, мы постоянно увеличивали содержание этих понятий. О принцессе Диане мы могли сказать нечто гораздо больше, чем о человеке вообще. Как обозначить объем понятия “Принцесса Диана”? Это индивидуальное понятие. Дальше его сужать нельзя, по крайней мере, в рамках традиционной логики. Поэтому придется его обоз­начить точкой, и содержание индивидуального понятия — боль­шим прямоугольником, который бы не поместился на нашей странице.

Некоторые читатели могут возразить: — А почему нельзя су­зить объем понятия “принцесса Диана”? Например, можно гово­рить о прекрасных глазах принцессы Дианы или о ее белоснежной коже? Или о ее голове. Читатель должен обратить особое внима­ние на такой вариант сужения понятия, поскольку здесь скрывает­ся логическая ошибка. Она заключается в том, что голова прин­цессы Дианы есть часть принцессы Дианы, но никоим образом не вид. Поэтому ужасной логической ошибкой была бы такая схема:

 

 

На самом деле, понятие “Человек” и понятие “Голова челове­ка” являются несовместимыми. Если не считать, конечно, фантас­тического случая, описанного А. С. Пушкиным в известной поэме “Руслан и Людмила”, когда человек и его голова совпадали друг с другом. Вообще говоря, ни один человек не является головой человека и ни одна голова человека не является человеком. Поэтому отношение по объему между этими понятиями будет иметь такой вид:

 

   

 

А как же быть с чисто атрибутивными, т. е. абстрактными по­нятиями, о которых мы говорили, что они никакого объема не име­ют? Если мы не рассматриваем объемы этих понятий, то не будем его никак изображать. Ограничимся отношением по содержанию, которое имеет место. Скажем, содержание понятия “умеют читать” (А) входит в содержание понятия “умеют хорошо читать” (В). Вто­рое понятие входит в содержание третьего понятия “умеют хоро­шо читать по-английски” (С).

Все это можно изобразить на схеме:

 

Обратим внимание читателя на легкость субстантивации атри­бутивных понятий, с помощью которой мы получили объемы по­нятий. Процедура субстантивации может быть произведена раз­ными способами. Все сказанное мы могли бы отнести к людям. Если будем мыслить о человеке, который умеет читать, хорошо читать и хорошо читать по-английски, тогда у нас будет и содержание и объем понятия. Но можем поступить и иначе, рассматривать не “умеет читать” а “умение читать” как особый предмет, тогда уме­ние читать будет выступать в качестве родового понятия, умение хорошо читать — в качестве видового понятия, а умение хорошо читать по-английски — видом этого вида.

Из сказанного ясно, что понятия рода и вида являются относи­тельными. Род по отношению к одному понятию является видом по отношению к другому.

 

§ 7. Определение понятий и приемы его заменяющие

 

Выше мы рассмотрели такие понятия, содержание которых ка­жется достаточно определенным. Мы знаем, что такое “студенты нашей группы”, “высочайшие вершины Гималаев”, “Реки Евро­пы” и даже что такое карась. Однако, такая ясность иногда оказы­вается обманчивой даже применительно к самым употребительным понятиям.

Всем известно, что такое “человек” на том уровне, который обычно требуется. Мы идем по улице и видим человека, который четко отличается от собаки. Садимся в трамвай и там встречаемся с человеком, зачастую в очень большом количестве. Однако такое представление о признаках понятия “человека” достаточно лишь в обычных простых ситуациях.

Более сложная ситуация описана французским писателем С. Веркором. Убито некоторое существо, очень похожее no-видимости на человека. Мера наказания за убийство определяется тем, является это существо человеком или нет. С. Веркор показал невероятную сложность решения, казалось бы, простой задачи: убитые — люди или животные?

Можно привести массу примеров взаимного непонимания из-за неясности содержания понятий.

Необходимо уточнить содержание понятий. Как это сделать? Казалось бы, что эта процедура проста: перечислить все признаки, входящие в содержание понятия. Иногда это легко сделать. К та­кому перечислению часто прибегают юристы с целью уточнения понятий, например понятия преступления.

Однако, этот метод обладает большим неудобством. Зачастую приходится сталкиваться с тем, что мы не в состоянии перечис­лить все признаки. Да и вхождение тех или иных признаков или их отсутствие в содержании понятий не всегда ясно. В таком слу­чае мы можем прибегнуть к помощи других понятий, содержание которых нам уже известно или, по крайней мере, предполагается известным.

Вспомним, что мы знаем об отношениях между родом и ви­дом. Все признаки содержания родового понятия включаются в содержание видового понятия. Значит, если мы включим интере­сующее нас понятие в какое-нибудь родовое понятие, то тем са­мым в значительной мере выясним содержание интересующего нас понятия. Это понятие обладает всем комплексом признаков, вхо­дящих в родовое понятие. Желательно при этом взять наиболее богатое по содержанию понятие, т. е. ближе всего по объему к ин­тересующему нас понятию. Такое родовое понятие будет называть­ся ближайшим родом (лат. genus proximum). Нам остается лишь добавить тот признак, которым будет отличаться наше понятие от ближайшего рода. Такой признак будет называться отличитель­ным признаком или видовым отличием (лат. differentia specifica). Процедура выяснения содержания понятия с помощью ближай­шего рода или видового отличия будет называться определением через ближайший род и видовое отличие (лат. defmitio per genus proximum et differentiam specificam). Этот прием определения по­нятия был известен еще древнегреческому философу Платону (427 — 347 до н. э.).

Ближайший род плюс видовое отличие называются определяющим (лат. definiens) понятием. То понятие, содержание которого мы хотим оп­ределить, называется определяемым (лат. definiendum).

Таким образом, структура определения в целом может быть вы­ражена следующей схемой:

Определяемое = ближайший род + видовое отличие.

Вместо символа = часто употребляется =df, чтобы не смеши­вать это с равенствами другого типа. Значок =df означает: “равно по определению”. Индекс df (лат. defmitio) — определение. По ла­тыни эта схема будет записываться следующим образом:

Definiendum =Jf genus proximum + differentia specifica.

Преимущества латинских терминов и схем в том, что вы их мо­жете встретить и понять в любой книге с логическим содержанием независимо от того, на каком языке она написана.

Рассмотрим пример определения. Допустим, нам встречается в тек­сте выражение “логика отношений”. Содержание этого понятия нам неясно. Значит, оно будет нашим definiendum-ом, т. е. тем, что следу­ет определить. Находим в логическом словаре “Дефорт” под редак­цией А. А. Ивина (М., “Мысль”, 1994) следующее определение: “ло­гика отношений — раздел логики, посвященный изучению отноше­ний между объектами” (стр. 115). Здесь есть определяемое и есть оп­ределяющее. Последнее расчленяется на ближайший род и видовое отличие. Ближайший род — “раздел логики”. Это нам понятно, пос­кольку знаем, что такое логика и что такое “раздел” (не спутаем с разделом Черноморского флота). Видовое отличие — “посвященный изучению отношений между объектами” нам также понятно, поскольку мы знаем, что такое отношение и что такое объект.

В качестве другого примера приведем определение дружбы, данное Цицероном: “Дружба есть не что иное, как единодушие во всех делах, божественных и человеческих, укрепляемое приязнью и любовью, и ничего лучшего, кроме, может быть, мудрости, боги людям не дали” (Цицерон. Избранные сочинения. Из-во “Худ. лит-pa”, М., 1975, с. 392). Здесь определяемое — “дружба”, ближайший род — “единодушие во всех делах, божественных и человеческих”, видовое отличие — “ук­репляемое приязнью и любовью”.

Рассмотренный тип определения, где четко сформулированы “ближайший род и видовое отличие”, являются некоторым идеа­лом. На практике не все элементы определения могут быть выра­жены в явной форме. Тогда мы используем неявные определения.

В современной науке распространены особые типы определе­ний, из которых мы отметим два: 1) аксиоматическое определение и 2) определение через абстракцию. Эвклид определял точку как то, что не имеет частей. Линия — это то, что имеет длину, но не имеет ширины. Эти определения отвергаются в современной мате­матике и заменяются заданием аксиом, которым удовлетворяет и точка, и прямая. Такой тип определения был предложен известным математиком Д. Гильбертом (1862 — 1943).

Что такое число 5? Это понятие может быть определено разны­ми способами, в том числе и таким. Берутся конкретные объекты, скажем, пальцы на руке или ноге и сопоставляются с множеством других предметов так, чтобы каждому пальцу соответствовал оп­ределенный элемент этого множества и наоборот (например, если это множество овец, которых туземец считает). Такие множества называются равномощными. И далее говорится, что число 5 — это свойство всех множеств, равномощных множеству пальцев на руке или ноге. Это определение через абстракцию.

Формально можно свести аксиоматическое определение, опре­деление через абстракцию и другие такого рода определения к оп­ределению через род и видовое отличие. Однако, род здесь бывает далеко не ближайшим и выражается он самыми общими свойства­ми типа “то”, поэтому, строго говоря, это не будет определением через ближайший род и видовое понятие.

Особый характер имеет определение, получившее название эк­спликации (лат. explicatio — разъяснение, развертывание). К этим определениям прибегают в тех случаях, когда нужно заменить сло­во с неясным, смутным значением, взятым из повседневного языка, строгим научным термином. Например, возьмем понятие “ин­формация”. Оно широко применялось в нашем мышлении задолго до появления теории информации. Но никто не мог точно опреде­лить, какая информация больше, а какая меньше. В рамках теории информации такое определение дается с помощью понятия количес­тва информации, выраженного посредством точных математических понятий — вероятности и логарифма. Таким образом, мы можем ска­зать, что понятие количества информации эксплицировано в рам­ках теории информации.

Другой пример. О логике вы слышали задолго до того, как откры­ли учебник по логике. Однако, представление о логике было смут­ным. Наука логики эксплицирует смутное понятие “логика” с по­мощью достаточно строго определенных понятий, тех, которые вы сейчас изучаете.

Иногда невозможно, да и не нужно давать строгое определение понятия. В таком случае оно заменяется определенными приема­ми, которые заменяют определение. К этим приемам относится но­минальное определение, указание (остенсивное определение), опи­сание, характеристика, сравнение.

Номинальное определение — это выяснение значения самого слова. Чаще всего связано с раскрытием его этимологии (гр. etymologia — учение об основном значении слова). Например, атом (гр. atomos — неделимый) означает неделимый. Реставрация — восстановление того, что было и т. д.

Когда европейцы встретились с туземным населением, они не могли прибегать к словесным определениям, поскольку туземцы не знали их языка. Однако, они могли заменить определения, на­пример, понятия “лодка”, указанием на этот предмет. Наоборот, указывая на какой-либо предмет, европейцы ожидали, что тузем­цы скажут, как этот предмет называется на их языке. Такое опре­деление носит название остенсивного (от лат. ostentus — показы­вание). Остенсивные определения имеют широкое распростране­ние, но иногда приводят к недоразумениям. Капитан Кук указал на странное животное, стоявшее на двух мощных ногах и имев­шее на животе сумку. Туземец ему ответил: “Я тебя не понимаю!” На их языке это звучало: “Кенгуру”. И до сих пор мы так называ­ем это животное, хотя на туземном языке оно называется совер­шенно по-другому.

Мы можем вместо определения использовать описание пред­мета, выделив какие-то его свойства. Если мы при этом выделяем самые существенные черты, описывая человека, то описание пре­вращается в характеристику. Любой читатель получал в своей жиз­ни какую-то характеристику, будем надеяться, что положительную. Характеристика может быть представлена как определение для до­стижения юмористического эффекта. Известно шуточное опреде­ление диссертации как такого произведения, которое пишет один, а читают двое. Имеются в виду официальные оппоненты. Здесь используется характеристика диссертации как малочитаемого про­изведения.

Наконец, вместо определения мы можем сравнить один предмет с другим. Так, в приведенной выше цитате из Цицерона, во фразе, иду­щей вслед за определением, дружба сравнивается с мудростью. Вер­блюда сравнивают с кораблем, говоря, что верблюд — корабль пусты­ни. Так возникает метафора.

Различение определения и тех приемов, которые его заменяют, необходимо для того, чтобы не предъявлять к этим приемам таких требований, которые разумно предъявлять к определениям.

 

§ 8. Правила определения понятий

 

Существует мнение, особенно широко распространенное среди математиков, согласно которому определения произвольны. Каж­дый может давать любое определение, какое хочет. Важно лишь, в соответствии с законом тождества, придерживаться однажды дан­ного определения. С этой точки зрения, нельзя различать “правиль­ные” и “неправильные” определения.

Такая позиция имеет известный смысл в том случае, если речь идет о творческих определениях, с помощью которых вводятся но­вые понятия. Например, если мы определяем понятие интеграла, никому до сих пор не известное, то можем не считаться с тем, что кто-то другой так же использует слово “интеграл”, но определяет это понятие иначе. Оба определения могут быть правильными и нам не стоит спорить по поводу того, чье определение правильнее. Иная ситуация будет иметь место тогда, когда определяется такое понятие, с которым мы давно уже сталкивались, но не достаточно хорошо знали его содержание. Практически все мы представляем себе, что такое мебель и, желая ее купить, идем именно в мебель­ный магазин, а не в гастроном. И мы вправе заставить любого че­ловека, желающего определять мебель, считаться с этим нашим представлением. Поэтому, если кто-то определит мебель как сорт колбасы, он не будет понят, и такое определение должно быть за­браковано как неправильное.

Можно забраковать не только обычное, но и творческое опре­деление в том случае, если не будет соблюдаться ряд правил:

1. Определение должно быть ясным, в нем не допускаются двус­мысленности и метафоры. Например, нельзя определить верблюда как “корабль пустыни”, несмотря на всю красочность этого обра­за, хорошо выражающего характер использования верблюда в хо­зяйстве.

2. Определяющее должно быть более известным, чем определя­емое. Иначе возникнет ошибка, называемая определением неизвес­тного через еще более неизвестное (Ignotum per ignotius). Напри­мер, если бы мы определили понятие как интеллигибельную сущ­ность, то это вряд ли поможет вам понять, что такое понятие. К сожалению, определения такого типа довольно часто встречаются в научной литературе.

Следует отметить, что приведенные правила имеют психологи­ческий характер. Ясность и известность тесно связаны с особен­ностями личности. То, что ясно для одного, может не быть ясным для другого. Соответственно, разным людям может быть извест­ным разное. Тем не менее, эти правила имеют смысл, если иметь в виду определенную аудиторию, на которую рассчитано определе­ние.

3. Следующее правило может быть названо теоретико-множес­твенным, поскольку оно требует определенного отношения между множествами, представляющими объемы определяемого и опреде­ляющего понятия.

Это — правило соразмерности: объем определяющего понятия должен быть в точности равен объему определяемого, т. е. опреде­ляющее и определяемое должны быть тождественными по объему понятиями. Например, определяя понятие квадрата как равносто­роннего прямоугольника, мы соблюдаем это правило. Любой квад­рат является равносторонним прямоугольником, и любой равнос­торонний прямоугольник является квадратом.

Вспомним закон тождества, который мы рассматривали выше в связи с высказываниями. Нетрудно догадаться, что логическим основанием правила соразмерности определения понятий является именно этот закон, поскольку он запрещает в процессе осуществле­ния логических операций подмену одной мысли другими.

Ошибки, связанные с нарушением правила соразмерности, чаще всего бывают двух типов: 1) объем определяющего больше объема определяемого, т. е. между ними устанавливается такое отношение:

 

 

Такая ошибка была бы в том случае, если бы мы определили квадрат как равносторонний четырехугольник. Хотя каждый квад­рат является равносторонним четырехугольником, но не каждый равносторонний четырехугольник является квадратом. Примером может быть ромб, который является равносторонним четырехуголь­ником, но не обязательно квадратом. Определение слишком широ­кое.

2) Объем определяющего меньше объема определяемого, т. е. между ними устанавливается такое отношение:

 

 

Такая ошибка имела бы место в том случае, если бы мы определили квадрат как такой прямоугольник, все стороны которого равны 1. Это, очевидно, слишком узкое определение.

Ошибки в определении могут быть связаны и с любым другим отношением между определяющем и определяемым, отличным от отношения тождества между ними. Так, если мы определим бочку как сосуд для хранения жидкостей, то получим определение, в ко­тором определяющее и определяемое находятся в отношении час­тичного совпадения. Определяющее и определяемое могут быть и несовместимыми друг с другом понятиями, например, в следую­щем определении: “Кит — самая большая рыба”.

4. Предыдущее правило относится к объемам определяющего и определяемого. А как быть с содержаниями? Гарантирует ли тож­дество объемов тождество содержаний? Выше мы уже видели, что такой гарантии нет. Разное содержание возможно при тождествен­ных объемах и наоборот. Будут ли правильными определения, в которых соблюдается приведенное выше правило соразмерности, а содержания определяемого и определяющего различны? Можно ли определить “областные центры Юга Украины” как “Крупней­шие города Юга Украины, не считая городов Крыма”? Если мы не знаем, что такое равноугольный треугольник, поможет ли нам его определение как равностороннего треугольника? Геометр может вывести из содержания одного понятия содержание другого, но нужно ли такие выводы присоединять к определению?

Отрицательный ответ на поставленные вопросы, казалось бы, требует дополнения правила тождества объемов определяемого и определяющего правилом их тождества по содержанию. Посколь­ку не все понятия имеют объем, второе правило оказалось бы бо­лее фундаментальным. Однако, все дело в том, что мы прибегаем к определению чаще всего именно в том случае, когда не знаем со­держания определяемого понятия. Как мы можем тогда судить о тождестве этого содержания содержанию определяющего понятия? Конечно, аналогичный вопрос имеет смысл и применительно к объ­емам, но все же в большинстве случаев мы практически знаем объ­ем, не умея перечислить признаки, входящие в содержание соот­ветствующего понятия. Заходя в чужую квартиру (разумеется, по приглашению), мы можем достаточно уверенно указать пальцем на мебель, не умея определить, что же это такое.

Не будем предполагать, что нам полностью известно содержание определяемого понятия. Но все же что-то всегда известно. Ина­че нам было бы непонятно, что же надо определить. Содержание определяющего должно быть согласовано с теми признаками, с по­мощью которых выделяется нечто в качестве определяющего. Оно должно представлять собой уточнение этих признаков. Опре­деляя квадрат как равносторонний прямоугольник, мы уточняем признаки определяемого. Но определяя равносторонний прямо­угольник как прямоугольный ромб, мы не уточняем признаки рав­ностороннего прямоугольника. Мы здесь просто заменяем один набор признаков другим, хотя и соответствующим тем же самым предметам.

Отметим, что для творческих определений, в рамках которых определяющее не уточняет содержание понятия, а задает его, из­ложенное, равно как и предыдущее правило — соразмерности, до­лжны быть переосмыслены. Здесь речь идет о том объеме и тех выделяющих его признаках, которые есть в голове творца. Но что­бы донести свои мысли до других, творец должен соблюдать изло­женные правила.

5. Определение не должно делать круга. Определяющее часто само требует определения, и это вполне нормально. Но, давая дру­гое определение определяющему понятию, мы не должны исполь­зовать определяемое понятие. В противном случае возникает “по­рочный круг” (лат. circulus vitiosus). Что такое солнце? Солнце — это звезда, которая светит днем. Правильно ли это определение? Казалось бы, так. Однако, что такое день? Это время между восхо­дом и заходом Солнца. Таким образом, наше определение связано с “порочным кругом”.

Следует отметить, во избежание часто встречающейся ошибки, что круг в определении не следует смешивать с повторением того или иного слова, которое может иметь независимое определение. Например, мы не можем иначе определить винтовую лестницу, как лестницу, изготовленную в виде винта. И здесь нет большой беды, потому что понятие “винт” может быть определено независимо от “винтовой лестницы”.

Переходя в процессе определения через “род и видовое отли­чие” ко все более широким определениям, мы, в конце концов, приходим к таким, для которых более общего понятия не находится, например, “вещь”, “свойство”, “отношение”. В таком случае мы либо их оставляем без определения или же определяем друг через друга. Поскольку круг здесь неизбежен, он не является “порочным”.

6. Изложенное выше правило, в сущности, имеет теоретико-сис­темный характер. Оно определяет тип системы определений. Эта система не должна быть замкнутой.

Нам представляются существенными еще два теоретико-систем­ных условия правильности определений. Для того, чтобы было ясно одно из этих условий, рассмотрим такой пример. Пусть нам требу­ется определить понятие “преступник”. Не будучи очень грамот­ными в юриспруденции, мы можем попытаться определить это по­нятие следующим образом: “Преступник — это такой человек, ко­торый или что-то украл, или кого-то изнасиловал, или подделал документы, или дал взятку, или принял взятку, или незаконно пе­решел границу и...” Так будем продолжать до тех пор, пока не пе­речислим все виды преступлений, т. е. сделаем определение сораз­мерным. Все другие перечисленные выше правила так же будут со­блюдены. И все-таки такое определение будет плохим определени­ем. В нем чего-то недостает. Недостает целостности. Отвергая по­добные определения, мы, таким образом, исходим из требования, согласно которому определяющее должно быть целостным.

7. Аналогичное правило относится к другой системной харак­теристике — к сложности. Возьмем такое определение системы: “Система как объект человеческого познания и практического ос­воения есть реальная многоуровневая совокупность (иерархичес­кая организация) компонентов любой природы (состав и структу­ра), представляющая собой внутренне противоречивое единство и способность к самостоятельному динамическому функционирова­нию (самодвижению) и целесообразному поведению в рамках не­которой метасистемы (среды)”.

Чем плохо приведенное определение? Для того, чтобы ответить на этот вопрос, закройте глаза и попробуйте его воспроизвести. У Вас этого не получится. Почему? Потому, что определение оказа­лось слишком сложным. Отвергая это и подобные определения, Вы тем самым формулируете правило, согласно которому определе­ние должно быть достаточно простым.

В учебниках традиционной логики обычно приводится требо­вание, согласно которому определение не должно быть отрицатель­ным. Нам представляется, что это требование в качестве самостоя­тельного правила определений неправомерно, (см. А. Уемов. Про­блемы отрицательных определений. Логико-грамматические очер­ки. — М., Высшая школа, 1961). Отрицательных определений сле­дует избегать лишь постольку, поскольку в них нарушены другие правила определения. Так, например, определение “Пауки это не насекомые” плохо не потому, что оно отрицательно, а потому, что оно несоразмерно. Кроме того, оно не целостно. Распутывая содер­жание того, что означает “не насекомое”, мы получили бы дизъ­юнкцию, подобную той, которая у нас имела место выше при по­пытке определения понятия “преступник”.

 

§ 9. Деление понятий и его правила

 

Если определение имеет задачу раскрыть содержание понятия, то деление служит цели раскрытия его объема. В определении по­нятий происходит обращение к более широкому, а именно, родо­вому понятию. В делении, наоборот, происходит выделение в рам­ках данного понятия его видов — членов деления. Таким образом, деление можно определить как раскрытие объема данного — дели­мого понятия через перечисление его видов по тому или иному ос­нованию.

Например, объем понятия “студент” может быть раскрыт пу­тем перечисления его видов в зависимости от времени обучения: первокурсники, второкурсники и т. д. до шестикурсников. Можно раскрыть объем понятия “студент” по другому основанию, скажем, по месту обучения: институт, университет, семинария, академия и т. д. или же по полу.

Задача деления заключается в том, чтобы показать все виды, ко­торые совместно составляют объем данного понятия. К логической операции деления понятий мы прибегаем очень часто в рассужде­ниях. Определяя какое-либо понятие, т. е. раскрывая его содержа­ние посредством перечисления его существенных признаков, нам зачастую необходимо выяснить и объем данного понятия.

Какие же существуют правила деления понятий? Командующий испанским флотом, так называемой “Непобедимой Армадой”, герцог Медина-Сидония написал своему королю Филиппу II пись­мо, к которому приложил “Реляцию о кораблях, моряках и солда­тах, адмиралах, полковниках, боцманах, артиллеристах, лекарях, судьях, священниках и прочих персонах, вышедших из порта Ла-Корунья сего июля месяца 23 дня” (Р. Стенюи. Сокровища непобедимой Армады. М., “Мысль”, 1979, с. 45). Нетрудно видеть, что, если бы герцог был достаточно добросовестным, то о многих сво­их подчиненных он должен был бы писать дважды. Например, об одном и том же человеке, назовем его Хуан, он должен бы напи­сать как о моряке и как о боцмане. А как быть с капитанами кораб­лей, они ведь не адмиралы и не боцманы? Пришлось бы их отнес­ти к простым морякам или прочим персонам. Но тогда они навер­няка имели бы право обидеться.

Первое правило деления аналогично правилу соразмерности оп­ределения понятий: объем делимого понятия и объем совокупнос­ти всех членов деления должны совпадать друг с другом. Мы бы нарушили это правило, если бы при перечислении видов студен­тов не включили по незнанию или умышленно, скажем, шестикурсников. Сумма видов делимого понятия должна быть в точности рав­на его объему. Логическим основанием указанного правила деле­ния, так же как и рассмотренного выше правила соразмерности оп­ределений, является закон тождества.

Второе правило деления: члены деления должны исключать друг друга, т. е. быть несовместимыми понятиями. Это значит, что чле­ны деления не должны совпадать или пересекаться друг с другом, т. е. вещи, входящие в объем какого-либо одного из видовых поня­тий, не должны при этом находиться в других видах. Легче всего это правило можно понять на примерах. Рассмотрим такое деление понятия: книги делятся на полезные, интересные и в твердой об­ложке. Очевидно, что это деление неправильно, так как члены де­ления не исключают друг друга. Интересные книги могут быть пол­езными, и все книги могут быть в твердой обложке. Именно это правило не учел герцог Медина-Сидония. Нарушение первого пра­вила приводит к тому, что видов разделенного понятия может быть либо больше, либо меньше того количества видов, которое в точ­ности должно быть равно делимому родовому понятию. Если допущена такая ошибка в процессе деления, то какой-то предмет или вещь в процессе деления оказывается неучтенным. Нарушение второго пра­вила деления понятий приводит к тому, что один и тот же предмет бу­дет учитываться дважды, и более того.

Каким же образом добиться выполнения второго правила? Это нетрудно сделать, если выполнять следующее третье правило де­ления: деление должно производиться по одному основанию. Объ­ем одного и того же понятия может быть разделен на виды различ­ным образом. Например, студентов мы можем разделить на успе­вающих и неуспевающих, на живущих в общежитии или не живу­щих в общежитии, или на студентов-юристов, студентов-истори­ков и т. д. по факультетам. Условием правильного деления являет­ся то, чтобы в каждом случае деление проводилось только по одно­му основанию. Нельзя, не закончив деления по одному основанию, продолжать деление этого понятия по другому основанию. Меди­на-Сидония смешал в одну кучу самые разные основания деления, поэтому у него члены деления не исключали друг друга.

И, наконец, четвертое правило деления: деление должно быть непрерывным. Это значит, что в качестве членов деления должны быть взяты виды по своему объему меньше всего отличающиеся от объема делимого понятия. Это правило говорит о том, что при разделении родового понятия не следует делать скачков. Необхо­димо переходить к ближайшему по объему видовому понятию. Так, было бы неправильно делить понятие “студент” на студентов 1-го курса, студентов 2-го, 3-го, 4-го, 5-го курсов и студентов, проучив­шихся 5 лет и 1 месяц, 5 лет и 2 месяца и т. д. Если нас специально интересуют студенты 6-го курса, проучившиеся 5 лет и один ме­сяц и т. д., то мы должны объем понятия “шестикурсник” делить по количеству месяцев обучения на 6-м курсе. В этом случае мы получаем сложное деление, когда этой логической операции под­вергаются те понятия, которые были членами деления на первом этапе. При этом второе деление может быть проведено по иному основанию. В этом случае ошибки в делении понятия не будет. Так, мы можем всех людей разделить по половому признаку на мужчин и женщин, а затем каждый из членов деления разделить по иному основанию, например, по возрасту, на детей и взрослых. Однако, в таком простом случае было бы излишним педантизмом требование соблюдения правила непрерывности деления, если мы скажем, что люди делятся на мужчин, женщин и детей. Такое деление мож­но рассматривать как своего рода энтимему. В уме мы наше правило непрерывности деления соблюдаем.

Правильно делить понятия — это далеко не простая задача. Не всегда соблюдаются правила деления, в этом случае необходимо ясно представлять себе тот признак, по которому родовое понятие мы разделяем на видовые понятия и при этом исчерпывающим об­разом. Не всегда нарушение правил деления понятий очевидно, в этом читатель может убедиться, разобрав приведенные ниже уп­ражнения и задачи. Однако, существует такой вид деления, кото­рый обеспечивает автоматическое соблюдение всех правил деле­ния, за исключением, пожалуй, последнего. Это дихотомия (греч. dicha и tome - сечение на две части) — деление надвое. Дихото­мическим называют деление на два противоречащих друг другу понятия. Например, понятие А мы можем разделить на два поня­тия В и Не-В. В недихотомическом делении, разобранном выше, выделение видовых понятий из делимого родового понятия прово­дилось по изменению признака в некотором отношении (например, быть студентом 1-го, 2-го, 3-го и т. д. курсов). В дихотомическом делении нет основания деления по изменению признака, а есть ос­нование деления просто по наличию или отсутствию какого-либо признака. Например, всех людей мы можем разделить на мужчин и не мужчин, студентов — на первокурсников и не первокурсни­ков. Числа можно разделить на четные и нечетные.

В дихотомическом делении есть полная гарантия требования соразмерности деления: объем делимого родового понятия в точ­ности равен сумме объемов членов деления. Например, возьмем понятие “человек” и делим его дихотомически по наличию или отсутствию признака “быть одесситом”. Люди делятся на одесси­тов и не одесситов. К группе не одесситов отнесены будут и киев­ляне, и лондонцы, и жители Сан-Франциско, т. е. все люди, не обладающие признаком “быть одесситом”. Деление соразмерное, ничего не упущено. Дихотомическое деление упрощает процесс логического разделения понятий. Читатель может догадаться, по­чему это происходит. Здесь действует уже известный нам закон исключенного третьего. Любой человек может быть или одесситом, или не одесситом, любой студент может быть либо первокур­сником, либо не первокурсником, число может быть простым или не простым. Третьего не дано.

Конечно, можно указать на возможность промежуточных случаев. Так, студент второго курса может иметь “хвосты” в смысле несданных зачетов или экзаменов, хотя формально числиться на 2-м курсе. И в этих случаях можно отнести члены дихотомического деления в один из двух дополняющих друг друга классов, что, конечно, будет извест­ным огрублением действительности.

Далее, очевидно, что в случае дихотомии соблюдается правило единства основания. В дихотомии вообще может быть только одно основание. Если мы разделили всех людей на одесситов и не одес­ситов, то обеспечили автоматическое соблюдение первых трех пра­вил деления, однако правило непрерывности деления будет нару­шено, ибо слишком неравные части получены в результате деле­ния. Однако, и такое деление в некоторых случаях имеет право на существование.

 

§ 10. Деление и расчленение

 

Выше уже обращалось внимание на принципиальное отличие выделения вида в объеме понятия от выделения части из целого. Надеемся, что читатель уже не спутает головы людей с видом лю­дей. Не следует смешивать виды с частями в процессе деления. Деревья делятся на хвойные и лиственные. Это — деление. Дерево делится на корни, ствол, крону. Это — не деление. Корни, ствол, крона не являются видами родового понятия “дерево”. Здесь мы имеем дело с расчленением.

Некоторые правила расчленения аналогичны соответствую­щим правилам деления. Так, правило расчленения таково, что со­вокупность частей должна быть равна целому. Расчленение до­лжно производиться по одному основанию и, наконец, части до­лжны исключать друг друга. Расчленение так же должно быть не­прерывным.

Сказанное имеет большое значение при составлении различ­ного рода планов сочинений, в частности, планов курсовых, дип­ломных работ и диссертаций. Составление плана не является в общем случае делением понятия, хотя и такое возможно. Иногда это расчленение. Правила расчленения, аналогичные правилам деления, должны соблюдаться. Примеры и упражнения на соблю­дение правил деления и расчленения будут даны ниже.

 

§ 11. Классификация

Если мы имеем дело с достаточно сложным делением, в кото­ром по разным основаниям выделяются члены деления 1-го уров­ня, которые дальше делятся на члены деления 2-го уровня, деля­щиеся на члены деления 3-го уровня и т. д., то у нас будет не про­сто деление, а классификация. Разработка классификаций тех или иных понятий — вещь, как правило, весьма трудная, и авторы их заслуживают нашего признания за серьезный вклад в науку. При­мером может служить биологическая классификация, разработан­ная шведским естествоиспытателем К. Линнеем. Второй пример — это классификация химических элементов, данная Д. И. Менделе­евым, в которой химические элементы располагались в зависимости от их атомного веса. Это позволило Д. И. Менделееву обнаружить закономерности в свойствах химических элементов, создать пери­одическую систему элементов и предсказать свойства еще не от­крытых новых химических элементов.

Правила деления в классификации такие же, как и правила де­ления понятий, но они действуют лишь на одном уровне. При пе­реходе ко второму уровню основание деления может меняться, на третьем уровне будет использовано третье основание и т. д. В до­полнение к известным нам правилам деления в классификации тре­буется, чтобы все правила деления были соблюдены на каждом из классификационных уровней. Основания деления в классифика­ции, предназначенной для многократного использования, как, на­пример, классификация живых организмов или химических эле­ментов, должны быть существенными. Однако, надо иметь в виду, что существенный в каком-то отношении признак может оказаться несущественным в другом отношении. При делении понятия “кни­ги” несущественным являются размеры книг, однако для целей рас­положения книг в библиотеке или для транспортировки этот при­знак может оказаться существенным.

Деление людей на эгоистов и альтруистов, умных и глупых и т. д., разумеется, существенно. Но, представьте, что было бы, если бы изби­рательные бюллетени выдавали бы избирателям в соответствии с этой классификацией! В этом случае гораздо более удобна классификация по фамилиям, по признаку начальной буквы в фамилии, которая, ко­нечно, не является сколько бы то ни было существенной характеристи­кой человека.

Различение классификации и просто деления понятия не всегда достаточно определенно. Иногда деление понятия называется клас­сификацией, и в этом не будет большой ошибки.

 

§ 12. Деление суждений по количеству

 

Выше мы уже говорили о делении суждений по качеству. Сказан­ное о понятии дает нам возможность сформулировать другое основа­ние деления, с помощью которого мы будем различать суждения по их количеству.

Так, возьмем утвердительное суждение, выраженное форму­лой S есть Р. Будем предполагать вначале, что S представляет собой некоторое общее понятие, например, “студенты”. Это по­нятие имеет определенное содержание и определенный объем. Поставим вопрос о том, относится ли предикат суждения Р ко всему объему понятия “студенты” или же к части объема этого понятия? Когда мы говорим, что студенты — учащиеся, то оче­видно, что предикат “учащиеся” приписывается всем студентам. Все студенты — учащиеся.

Теперь рассмотрим предикат “способны решать логические за­дачи”. Верно ли то, что все студенты способны решать логические задачи? Исходя из содержания понятия “студент”, мы не можем ответить на этот вопрос. Приступим к наблюдениям. Дадим логи­ческие задачи одному, другому, третьему и т. д. студенту. Отметим с удовлетворением, что все они оказались способными решать ло­гические задачи. Значит, мы можем сказать, что некоторые студен­ты способны решать логические задачи на основе наших наблю­дений.

Означает ли это, что мы предполагаем, что некоторые студен­ты не способны решать логические задачи? Отнюдь нет! Для того, чтобы быть уверенными в последнем, мы должны обнаружить та­кого студента, который не может решать логических задач. Для этого нам надо было бы проверить сотню, тысячу или даже милли­он студентов. Это очень трудная задача. Но эту задачу нужно было бы обязательно решать лишь в том случае, если бы слово “некото­рые” понималось в смысле “только некоторые”. В повседневной жизни слово “некоторые” часто именно так и понимается. И это оправдано, когда у нас небольшое количество предметов, входя­щих в объем интересующего нас понятия.

Логика оперирует понятиями, в объем которых входит, возмож­но, бесконечно большое число предметов. Поэтому слово “некото­рые” здесь разумно понимать в ином смысле: “некоторые, а, может быть, и все”. Если мы будем понимать “некоторые” именно так, то нам достаточно ознакомиться с двумя, тремя студентами для того, чтобы сформулировать выражение: “некоторые студенты способ­ны решать логические задачи”.

Изложенное деление суждений является делением по количес­тву на общие и частные. Слово “все” синонимично словам “каж­дый”, “любой”, которые являются признаками общих суждений и называются кванторными словами или кванторами (лат. quan­tum — сколько). Это общие кванторы. Слово “некоторый” — час­тный квантор. В соответствии с тем, какой квантор имеется в суж­дении, они делятся на общие и частные. Деление на общие и час­тные суждения мы рассмотрели на примере утвердительных суж­дений. Но все сказанное выше относится и к отрицательным суж­дениям. Например, суждение может быть общим и отрицатель­ным или общеотрицательным. Например, такое суждение: “Ни один студент не был на Луне”. Соответственно, частноотрицательным суждением будет: “Некоторые студенты не были на Луне”. Если читатель будет протестовать против такого суждения, ссы­лаясь на то, что еще ни один студент не летал на Луну и поэтому верно только первое, а не второе суждение, то это будет означать, что читатель не понял смысл слова “некоторые”. “Некоторые сту­денты не были на Луне” не исключает того, что ни один из них не был на Луне.

Итак, соединяя деление суждений по качеству и количеству, мы получим 4 типа суждений:

Общеутвердительные                 Общеотрицательные

Все S есть Р.                                Ни одно S не есть Р.

 

 

Частноутвердительные              Частноотрицательные

Некоторые S есть Р.                   Некоторые S не есть Р.

 

В логике, начиная со средних веков, приняты условные обозна­чения каждого из этих типов суждений. Утвердительные суждения обозначаются начальными гласными буквами от лат. слова affirmo — утверждаю. Общеутвердительные суждения обозначают буквой А или же формулой SaP. Частноутвердительные суждения обозначаются буквой I — второй гласной того же слова или фор­мулой SiP.

Отрицательные суждения обозначаются гласными буквами от латинского слова nego — отрицаю. Общеотрицательное сужде­ние — буквой Е или формулой SeP, частноотрицательное сужде­ние — буквой О или формулой SoP.

Каждое из указанных суждений выражает некоторое отноше­ние понятий по объему, которое может быть выражено графичес­кой схемой. Однако, один и тот же тип суждения может соответ­ствовать разным графическим схемам. На это следует обратить особое внимание. А. Общеутвердительное суждение будет изображаться следующими схемами:

 

I.                    Частноутвердительное суждение:

 

Не исключены схемы   и при понимании “некоторых” как “может быть и все”.

Е. Общеотрицательное суждение:

О. Частноотрицательное суждение:

Очень важным является умение выбрать из этих схем наисла­бейший случай. Когда нам дано такое суждение, например, типа А: “Все S есть Р”, то мы можем предположить возможность того, что имеет место не только схема подчинения  , но и схема тождества .

Выберем наислабейший случай: ничего не зная, кроме этого суж­дения, мы должны будем исходить только из схемы подчинения. Как бы там ни было, но если “Все S есть Р”, то, по крайней мере, соотношение понятий S и Р по объему таково, что S включается в Р. Однако, это не будет противоречить тому, что объем понятия S совпадает с объемом понятия Р. Но для утверждения тождества объ­емом терминов S и Р мы должны будем знать не только, что “Все S есть Р”, но и что “Все Р есть S”.

Для частноутвердительного суждения I при определении соот­ношения по объему между S и Р существенно наличие дополнитель­ной информации. Мы предполагаем наислабейшую схему частичного пересечения S и Р: .

Она означает, что существуют такие вещи, которые одновре­менно являются S и Р.

Для общеотрицательных суждений Е есть два варианта разли­чимых формально по отсутствию или наличию дихотомии.

Частноотрицательные суждения О по самой своей форме гово­рят о том, что некоторые, а, может быть, и все S исключаются из Р, т. е. сама форма суждения дает нам право так же быть уверенным только в первой схеме: , т. е. в том, что существуют такие вещи, которые являются S, но не являются Р.

Мы рассмотрели отношения по объему между S и Р общих и час­тных суждений. Как же быть с единичными суждениями? Нетрудно заметить, что схема единичного суждения будет совершенно анало­гична схеме общих суждений, поскольку субъект S этого суждения единичен, мы не можем говорить о какой-то части этого субъекта. Суждения, в которых предикат Р является абстрактным понятием и, следовательно, не имеет объема, мы здесь не рассматриваем, поскольку в этом случае отношение по объему неопределенно.

 

§ 13. Распределенпость терминов в суждении

 

Сказанное выше дает нам возможность определить одно очень важ­ное для дальнейшего изложения логическое понятие. Это понятие распределенности терминов в суждениях.

Мы видим, что в общих суждениях его субъект S целиком либо включается, либо исключается из объема понятия, являющегося предикатом суждения. Вместо того, чтобы говорить, что “субъект (S) целиком включается, либо целиком исключается из объема по­нятия, являющегося предикатом (Р) суждения”, мы будем говорить, что “термин (S) распределен”. Итак, следует запомнить, S распре­делен в общих суждениях, т. е. в суждениях типа А и Е. Сюда же относятся и единичные суждения с субъектом S, который никак не может быть нераспределенным.

Что можно сказать о распределенности предиката? Для того, чтобы решить вопрос о распределенности предиката, мы должны выяснить для утвердительных суждений, совпадает ли субъект S со всем объемом предиката Р, а для отрицательных суждений — ис­ключается ли субъект S из всего объема предиката Р.

Мы уже говорили о том, что предикат в общеутвердительных суждениях может быть по своему объему больше объема субъекта суждения. Значит, субъект совпадает не со всем объемом предика­та и, следовательно, предикат Р в общеутвердительных суждениях не распределен. Понятно, что, переходя от общего суждения к час­тному, т. е. делая распределенный субъект суждения нераспреде­ленным, мы не затрагиваем предиката. Значит, в частноутвердительном суждении мы имеем нераспределенный субъект и предикат.

Иначе обстоит дело в отрицательных суждениях. “Ни один кит не рыба”. Здесь мы исключаем китов не из какой-то части рыб, а из рыб вообще, из всех рыб. Значит, у нас предикат оказывается рас­пределенным. Если в отрицательном суждении мы заменяем кван-торное слово “ни один” на “некоторые”, то понятно, что при этом изменение будет касаться только субъекта суждения. Предикат как был распределен, так и останется распределенным.

“Некоторые обитатели нашего моря — никакие не рыбы”. Этих обитателей мы исключаем полностью из класса рыб, так же как мы исключаем полностью и китов. Все сказанное выше резюмиру­ется в трех положениях, которые относятся к тем немногим, кото­рые следуют запомнить: 1) субъект распределен в общих суждени­ях; 2) предикат распределен в отрицательных суждениях; 3) еди­ничные суждения имеют такую же распределенность терминов, как и общие.

 

 

 

ГЛАВА II. НЕПОСРЕДСТВЕННЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ

 

Изложенный выше материал о понятиях и суждениях дает воз­можность рассмотреть проблему, которая, как уже отмечалось, яв­ляется главной в логике. Это проблема умозаключений, получения нового знания на основании уже имеющегося. Примеры умозак­лючений мы рассматривали подробно в I разделе. В нем те мысли, которые являются посылками или выводом, рассматривались как единое целое. Теперь мы имеем возможность осуществить их рас­членение на логические компоненты и извлечь те следствия, кото­рые было невозможно получить в рамках логического аппарата первого раздела.

 

§ 1. Выводы из понятий

 

Обычно считается, что как вывод, так и его посылки должны представлять собой суждения. Однако, это не так. Целый класс суж­дений, которые называются аналитическими, вытекают из содер­жания того или иного понятия. Значит, посылкой является здесь понятие.

Знаменитый немецкий философ И. Кант (1724-1804) пишет: “... мне незачем выходить за пределы понятия, которые я сочетаю со словом тело, чтобы признать, что протяжение связано с ним, мне нужно только расчленить это понятие, т. е. осознать всегда мыс­лимое в нем многообразие, чтобы найти в нем этот предикат. Сле­довательно, это — аналитическое суждение” (И. Кант. Соч. в шес­ти томах, т. 3. М., Мысль, 1964, с. 112). Таким образом, если какой-то признак входит в содержание исходного понятия, то на этом основании мы можем сделать вывод об истинности общеутверди­тельного суждения. “Все S есть Р”. Здесь предикат суждения Р со­держит признаки, входящие в содержание понятия субъекта суж­дения S.

Рассмотрим другой вариант выводов из понятий. Пусть пре­дикат Р содержит признак, противоречащий какому-нибудь при­знаку из тех, которые входят в содержание понятия субъекта S. В таком случае мы можем сделать вывод об истинности общеотри­цательного суждения: “Ни одно S не есть Р”. Так, в содержание понятия “кит” входит признак “выкармливает детенышей моло­ком”. Этот признак противоречит тем, которые входят в содержа­ние понятия “рыба”. Отсюда мы получаем вывод: “Ни один кит не есть рыба”.

Пусть в содержание некоторого понятия входят все признаки как понятия субъекта S, так и понятия предиката Р. Тогда будет истинным частноутвердительное суждение: “Некоторые S есть Р”. Например, понятие “квадрат” включает в себя признаки и прямоу­гольника, и ромба. Значит, исходя только из понятия “квадрат”, мы можем получить истинное суждение “некоторые прямоуголь­ники — ромбы”.

Разумеется, во всех приведенных выше примерах предполага­лось, что исходное понятие, в известном смысле, истинно, т. е. его объем не пуст. Ошибка в выводе будет связана с тем, что мы будем исходить из такого понятия, в объем которого не входит ни один предмет. Так, исходя из понятия “русалка”, мы могли бы получить ложный вывод “Некоторые девушки — рыбы”, а исходя из поня­тия “круглый квадрат” — то, что некоторые квадраты круглы.

 

§ 2. Превращение

 

Превращение представляет собой умозаключение, в котором происходит изменение логической связки суждения. Эта операция будет правомерна в том случае, если наряду с изменением логи­ческой связки будет соответствующим образом изменен предикат. Он должен быть заменен на понятие, противоречащее исходному предикату. Например, “Все люди смертны”. Это общеутвердительное суждение. В определенном контексте нам может потребоваться заменить его на отрицательное суждение. Известно, что богами могут быть только бессмертные существа. Могут ли люди быть богами? Давая отрицательный ответ на этот вопрос, более естественно сослаться не на то суждение, о котором речь шла выше, а на истинность того, что “ни один человек не является бессмертным”. В чем разница между двумя суждениями “Все люди смертны” и “Ни один человек не является бессмертным”? По содержанию это одна и та же мысль. Однако, форма суждений различна. Первое суждение — общеутвердительное, второе — общеотрицательное. Различие суждений по форме может быть очень существенным в процессе вывода. Второе суждение является логическим следствием первого потому, что, изменяя связку “есть” на “не является”, мы вместе с тем изменяем и предикат “смертный” на противоречащее ему понятие “бессмертный”.

Аналогичным образом мы можем изменить отрицательную связку на утвердительную. Например, имеем суждение “Некоторые студенты не сдали зачета по логике”. Это частноотрицательное суждение с отрицательной связкой и предикатом “сдавшие зачет по логике”. Но преподаватель, которому приходится принимать зачет повторно, интересуется не теми, кто сдал зачет, а теми, кто не сдал зачет. Он получит списки “не сдавших зачет”. “Не” относится к предикату, связка утвердительная: “Некоторые студенты являются теми, кто не сдал зачет по логике”.

Возможные типы превращений можно выразить с помощью следующих четырех схем:

Превращение может быть применено к любому типу суждений, без каких-либо ограничений. В том числе, превращение может быть использовано и тогда, когда предикатом является абстрактное понятие. Например, из того, что верно суждение “Снег есть белый”, можно сделать вывод: “Снег не есть не белый”.

То же самое можно сказать и о другом типе умозаключения, которое осуществляется с помощью известной в логике схемы “логического квадрата”.

 

§ 3. Логический квадрат

 

“Логический квадрат” представляет собой наглядную схему взаимного отношения суждений четырех типов А, Е, I, О. Строится логический квадрат так: левый верхний угол обозначается буквой А (общеутвердительное суждение) или SaP; правый верхний угол обозначается буквой Е (общеотрицательное суждение) или SeP; нижний левый угол обозначается буквой I (частноутвердительное суждение) или SiP; нижний правый угол обозначается буквой О (частноотрицательное суждение) или SoP.

Каждая линия, соединяющая выделенные типы суждений, представляет определенное отношение между двумя типами суждений. Византийский логик XI в. Михаил Пселл, предложивший “логический квадрат”, обратил внимание на то, что, зная истинность или ложность одного суждения в схеме “логического квадрата”, можно сделать вывод об истинности или ложности другого суждения.

В самом деле, мы уже знаем закон противоречия, который был использован нами в логике высказываний: противоречащие друг другу высказывания не могут быть вместе истинными. Если я высказываю общеутвердительное суждение SaP “Все студенты хорошо подготовились к зачету”, то, утверждая истинность общеутвердительного суждения, тем самым отрицаю истинность частноотрицательного суждения SoP “Некоторые студенты не подготовились к зачету”. И, наоборот, утверждая истинность частноотрицательного суждения, я отрицаю истинность общеутвердительного суждения.

То же будем иметь, если я буду утверждать истинность общеотрицательного суждения SeP. Тем самым я не признаю истинность частноутвердительного суждения SiP “Некоторые студенты подготовились к зачету по логике”.

Итак, противоречащими друг другу суждениями будут пары суждений А и О и Е и I. Они, в соответствии с законом противоречия, не могут быть одновременно истинными. И, тем более, не могут быть одновременно истинными контрарные (противоположные) суждения А и Е (А: “Все студенты подготовились к зачету” и Е: “Ни один студент не подготовился к зачету”).

Все сказанное нами дает возможность сделать следующий вывод об истинности суждений:

если истинно А, то ложно О и ложно Е;

если истинно Е, то ложно I и ложно А;

если истинно I, то ложно Е;

если истинно О, то ложно А.

Теперь попробуем рассуждать от ложности. Здесь мы должны воспользоваться законом исключенного третьего. Этот закон запрещает одновременную ложность противоречащих друг другу суждений.

Отсюда мы должны сделать следующий вывод:

если ложно А, то истинно О;

если ложно О, то истинно А;

если ложно Е, то истинно I;

если ложно I, то истинно Е.

К этим выводам можно добавить вывод, полученный косвенно: например, пусть А истинно. Что можно сказать об истинности I? Нетрудно доказать с помощью наших законов мышления, что истинность общего суждения будет обозначать истинность частного суждения.

Если истинно А, то на основании закона противоречия будет ложным Е. Но если ложно Е, то на основании закона исключенного третьего будет истинно I. Значит, если истинно А, то истинно I. Аналогично можно доказать, что истинность Е обуславливает истинность О.

В самом деле, если Е истинно, то, на основании закона противоречия, А ложно. Если А ложно, то на основании закона исключенного третьего, О истинно. Значит, если истинно Е, то истинно О.

Отсюда следует общий вывод: если общее суждение А или Е истинно, то будет истинным и подчиненное им частное суждение, соответственно, I и О. Здесь следует еще раз напомнить читателю, что термин “некоторые” в логике суждений используется не в смысле “некоторые, но не все”, а в смысле “некоторые, может быть, и все”.

Далее, рассмотрим те высказывания, которые могут быть получены из ложности частных суждений. Допустим, I — ложно. Тогда, на основании закона исключенного третьего, Е истинно. На основании закона противоречия в этом случае А ложно. Применяя закон исключенного третьего к противоречащему суждению, получим, что О истинно.

Значит, мы получили вывод о том, что ложность частного суждения 1 обуславливает ложность общего А и истинность субконтрарного суждения О.

Соответственно, если ложно О, значит, истинно А и ложно Е, и истинно I.

Значит, ложность частного суждения О обуславливает ложность общего суждения Е и истинность субконтрарного суждения 1.

Из этого следует, соответственно, два вывода:

1) ложность частного суждения обуславливает ложность общего суждения;

2) ложность частного суждения обуславливает истинность субконтрарного частного суждения.

Мы рассмотрели все выводы, которые можно получить по схеме “логического квадрата”. Однако, важно так же иметь в виду те выводы, которые нельзя получить.

Нельзя получить вывод от ложности общего к ложности частного суждения.

Нельзя получить вывод от истинности частного суждения к истинности общего суждения.

И, наконец, нельзя перейти от ложности общего к истинности контрарного (противоположного) суждения, т. е. нельзя распространять закон исключенного третьего на контрарную противоположность.

Если ложно А, то отсюда никак не следует истинность Е, так же, как из ложности Е не следует истинность А.

Известен с древних времен так называемый парадокс Эпименида, который был критянином. И он сказал: “Все критяне лгуны”. Поскольку он критянин, то, оказывается, что и он лгун. Значит, критянин говорит правду. Следовательно, он — лжец, поскольку его утверждение, что “Все критяне лгуны” — ложно. А раз оно ложно, то значит, критяне говорят правду. И он, как критянин, говорит правду. Значит, что “все критяне — лгуны” — истинно.

Одно и то же суждение и истинно, и ложно, и это противоречит нашим законам мышления.

Зная изложенные выше правила, относящиеся к законам мышления, нам легко разобраться в этом парадоксе. Пусть утверждение “Все критяне лгуны” — ложно. Это общеутвердительное суждение А. Однако, в соответствии с законом исключенного третьего, из ложности А никоим образом не следует, что критяне говорят правду, т. е. истинность Е (Ни один критянин не лгун). Может быть, какие-то критяне не лгуны, и тогда парадокс исчезает.

Отметим, что столь простое исчезновение парадокса лжеца возможно лишь в том случае, когда он дан в приведенной выше форме (парадокс Эпименида). Значительно более сложной является ситуация парадокса Эвбулида: “То, что я сейчас вам говорю, — ложь”! Однако, есть попытки решения парадокса и в этом случае.

 

§ 4. Обращение

 

Во всех предыдущих примерах умозаключений не налагалось никаких ограничений на предикат суждения. Теперь мы рассмотрим такой вывод, в котором требуется, чтобы предикат суждения был конкретным понятием. Исключается тот случай, когда этот предикат — атрибутивное абстрактное понятие, обозначающее не класс предметов, а лишь свойство предметов, обозначенных субъектом. Если в нашем суждении предикат является абстрактным, то его нужно превратить в конкретное понятие, т. е. зафиксировать не только содержание, но и его объем. Выше уже говорилось, каким образом это можно сделать. Возьмем пример: “Некоторые премьер-министры — умны”. Умный — понятие абстрактное, но его можно сделать конкретным: “умные люди”. Получим: “Некоторые премьер-министры являются умными людьми”. Превратив абстрактное понятие в конкретное, мы можем поставить вопрос о том, что будет, если поменять местами субъект и предикат суждения?

Обращение и есть такое преобразование суждения, в котором субъект и предикат меняются местами. Так, в результате обращения приведенного выше суждения “Некоторые премьер-министры являются умными людьми” получим “Некоторые умные люди являются премьер-министрами”. Другой пример: суждение “некоторые щуки жили более 200 лет” в результате обращения преобразуется в суждение “некоторые существа, жившие 200 лет, являются щуками”, “S есть Р” изменяется в “Р есть S”.

Существует очень простое правило обращения суждений, являющееся следствием закона тождества: термины, не распределенные в посылках, не должны быть распределены в выводе. Отсюда, если у нас предикат суждения не распределен, как это имеет место в общеутвердительных суждениях А, то он должен оставаться нераспределенным в выводе. Для этого необходимо вывод сделать частным суждением.

Обратим суждение А “все кошки есть животные”, используя правило обращения. Переместим субъект обращения на место предиката и получим суждение: “все животные есть кошки”, но это неверно, так как в класс животных входят и птицы, и рыбы, и люди. Мы нарушили правило обращения. В общеутвердительном суждении А субъект распределен, предикат не распределен. Поменяв местами термины суждения в процессе обращения, мы нарушили правило сохранения распределенности. Предикат обращаемого суждения А стал субъектом и, следовательно, распределенным. Поэтому суждение А “все кошки есть животные” обращается в суждение I “некоторые животные являются кошками”.

Если в общеутвердительном суждении А субъект и предикат являются понятиями равнозначащими, т. е. имеют одинаковый объем, то суждение после обращения сохраняет свое количество, т. е. обращается в общеутвердительное. Например, суждение А “ромб есть параллелограмм, в котором все стороны равны” обращается в суждение с тем же количеством: “параллелограмм, в котором все стороны равны, есть ромб”.

Обратим внимание читателя на то, что такое обращение общеутвердительного суждения возможно лишь в очень редких случаях, дающих основание утверждать распределенность предиката, например, когда нам известно, как в вышеприведенном примере, что общеутвердительное суждение является соразмерным определением.

Если мы не уверены в этом, следует суждение типа А обращать с ограничением. Ошибки не было бы в случае вывода “некоторые параллелограммы, у которых все стороны равны, являются ромбами”. Никакой геометр к нам не сможет придраться, поскольку слово “некоторые” мы используем в смысле “некоторые, а, может быть, и все”.

Обращение без изменения количества суждения называют простым или чистым обращением. Суждение типа Е всегда обращается чисто. Здесь оба термина распределены, значит, их можем менять местами, не опасаясь сделать ошибки. Например, суждение “ни один кит не рыба” чисто обращается в суждение с тем же количеством: “ни одна рыба — не кит”. Аналогично чисто обращается частноутвердительное суждение I. Здесь оба термина не распределены, поэтому их можно менять местами, не опасаясь сделать ошибку. Например, суждение “некоторые кошки трехцветные животные” чисто обращается в суждение “некоторые трехцветные животные — кошки”,

Возьмем суждение О: “некоторые люди не президенты”. Если обращать это суждение, т. е. менять местами его термины, то получим: “некоторые президенты не люди”. Частноотрицательное суждение вообще не обращается потому, что в обращенном суждении предикат должен быть распределен, тогда как в обращаемом суждении субъект нераспределен.

Схемы обращения суждений:

4) Частноотрицательное суждение О не обращается.

§ 5. Противопоставление предикату (контрапозиция)

 

Элементарные преобразования суждений, о которых шла речь выше, можно комбинировать друг с другом. Так, можно сначала сделать превращение, а потом — обращение. Это непосредственное умозаключение называется противопоставлением предикату или контрапозицией. В выводе субъектом является понятие, противоречащее предикату, а предикатом является субъект исходного суждения. Связка меняется на противоположную.

Возьмем суждение “Луна сделана из зеленого сыра”. В результате превращения получим: “Луна не есть то, что не сделано из зеленого сыра”. Теперь обратим полученное единично-отрицательное суждение: “Ничто, не сделанное из зеленого сыра, не является Луной”. Этот пример покажется искусственным, однако, ниже, в разделе, посвященном гипотезе, мы увидим, что с его анализом связываются очень важные теоретико-познавательные выводы. Очень часто к контрапозиции прибегают при доказательстве геометрических теорем. Например. “Все квадраты — ромбы”. Осуществляя контрапозицию, мы получим: “Ни одна фигура, не являющаяся ромбом, не будет квадратом”. Общеутвердительное суждение суждение А посредством контрапозиции преобразуется в общеотрицательное Е.

Возьмем общеотрицательное суждение: “Ни один взяточник не есть честный человек”. Это суждение превращается в суждение “Все взяточники есть нечестные люди” (А). Это суждение, в свою очередь при обращении дает: “Некоторые нечестные люди есть взяточники” (I). Иная ситуация будет иметь место, если мы возьмем частноутвердительное суждение I: “Некоторые депутаты Верховного Совета инициативны”. Превращаем это суждение: “Некоторые депутаты Верховного Совета не являются неинициативными” (О). Суждение этого типа не обращается. Значит, контрапозиция частноутвердительного суждения неправомерна.

Схемы контрапозиций будут иметь следующий вид:

4) Суждение I не допускает противопоставления предикату.

 

§ 6. Выводы через ограничение

 

Выводами через ограничение третьим понятием или просто выводами через ограничение называются выводы, при которых субъект и предикат посылки ограничиваются путем прибавления одного и того же признака по схеме:

  S есть Р

aS есть аР

Например, суждение (А): “Все кошки — хищники”. Добавим к субъекту и предикату этого суждения признак “домашний”, получим суждение (А): “Все домашние кошки — домашние хищники”.

Аристотель приводит такой пример: закон есть некий порядок. Значит, хороший закон есть хороший порядок (Политика, книга VII, гл. IV). И это не единственный пример такого рода выводов, встречающихся у Аристотеля. Однако, у него нет логической теории выводов через ограничение.

Некоторые логики выводы через ограничения в целом рассматривали как неправомерные. Например, в учебнике шотландского логика У. Минто (1845 — 1893), весьма популярного в начале этого века, эти выводы критикуются на том основании, что не всегда выводы, полученные с помощью умозаключений через прибавление признаков, являются состоятельными. У. Минто приводит пример: “Черепаха — животное”; отсюда: “быстрая черепаха — быстрое животное”.

Это, конечно, не так. Однако, если все черепахи — животные, то все морские черепахи — морские животные. Почему в одном случае вывод правомерен, а в другом случае — нет? Мы видели, что и в других типах умозаключений, например, при обращении вывод иногда правилен, а иногда нет. Логики устанавливают условия, при выполнении которых умозаключение является правильным. Такие же условия могут быть установлены и применительно к выводам через ограничения. В качестве такого правила для общеутвердительных суждений (А) может быть сформулировано следующее: ограничивающий признак не может иметь никаких количественных градаций, т. е. этот признак должен быть точечным свойством. Этим свойством предмет может или обладать, или не обладать, но не может обладать в какой-то степени. Так, в наших примерах “хищник”, “домашний”, “морской” представляют собой именно точечные свойства. Свойство “быстрый” — не точечное, а линейное. Такие свойства не должны выступать в качестве ограничивающих признаков.

Мы рассмотрели суждения общеутвердительные (А), в которых субъект распределен, предикат нераспределен. Если мы имеем, скажем, определение, в котором и субъект, и предикат тождественны по объему, или же общеотрицательное суждение, когда так же субъект и предикат распределены, то выводы через ограничения будут всегда правомерны, независимо от характера ограничивающего признака. Например, квадраты являются равносторонними прямоугольниками. Значит, большие квадраты являются большими равносторонними прямоугольниками. Ни одна черепаха не есть антилопа, следовательно, ни одна быстрая черепаха не является быстрой антилопой. Итак, мы пришли к формулировке правила: выводы через ограничения будут правомерны в том случае, когда субъект и предикат распределены.

ГЛАВА III. КАТЕГОРИЧЕСКИЙ СИЛЛОГИЗМ

 

 

§ 1. Категорический силлогизм и его структура

 

Выше мы рассматривали выводы, сделанные из одной посылки. Однако чаще всего одной посылки для получения нужного нам вывода бывает мало. Требуется еще хотя бы одна посылка.

Теорию выводов из двух посылок разработал Аристотель в книге, названной “Аналитики”. Такие выводы он назвал силлогизмом (по древнегречески силлогизм — умозаключение). Термин “силлогизм” сейчас применяется не только к выводам, изученным Аристотелем. Поэтому применительно к последним обычно применяется термин “категорический силлогизм”. Но мы ради сокращения будем в этом смысле иногда говорить просто о силлогизмах.

В качестве примеров приведем следующие умозаключения.

Все млекопитающие дышат легкими;

дельфин — млекопитающее

дельфин дышит легкими

или:

имена собственные пишут с большой буквы;

“Крым” — имя собственное  

“Крым” пишется с большой буквы

В чем специфика этих силлогизмов? С помощью какого преобразования посылок получается здесь вывод?

Мы уже знаем, что каждое суждение можно представить как отношение объемов понятий, входящих в суждение. Это в равной степени относится и к посылкам и к заключению. В заключении устанавливается определенное отношение между объемами понятий. Но на каком основании? На основании того отношения, которое дается в посылках. В посылке “все млекопитающие дышат легкими” класс млекопитающих включается в класс дышащих легкими; в другой посылке класс дельфинов включается в класс млекопитающих. Поэтому в заключении мы можем класс дельфинов включить в класс существ, дышащих легкими.

 

 

В результате умозаключения понятие “млекопитающие” выпадает. Нас интересует в данном случае отношение дельфинов и существ, дышащих легкими; поэтому на основании посылок мы прямо выводим в заключении интересующее нас отношение “дельфины дышат легкими”.

 

Аналогичный процесс рассуждения имеет место и во всех других случаях умозаключений, называемых категорическими силлогизмами. Таким образом, всякий категорический силлогизм есть такое умозаключение, в котором определяется отношение объемов двух понятий на основании тех отношений между понятиями, которые даны в посылках.

Понятия, между которыми устанавливаются отношения в посылках и в заключении силлогизма, называются терминами силлогизма. Понятия, которые входят в заключение, называются крайними терминами: субъект заключения — меньший крайний термин S, предикат заключения — большой крайний термин Р.

В нашем примере меньшим термином будет дельфин, большим — “существа, дышащие легкими”.

Оба эти термина есть в посылках; они связываются в заключении на основании того, что о них утверждается в посылках. Но в посылках есть еще понятие “млекопитающее”, которого нет в заключении. Это понятие связывает в посылках крайние термины. В каждую посылку входит один из крайних терминов, и это третье понятие, которое называется средним термином, обозначается буквой М — первой буквой латинского слова “medius” — “средний”. Посылка, в которую входит меньший термин S, t. e. субъект заключения, называется меньшей посылкой, а та, в которую входит больший термин Р, т. е. предикат заключения, называется большей посылкой. Отметим, что меньший термин обозначается буквой S, а больший — буквой Р и не только в заключении, но и в посылках, несмотря на то, что там S может не быть субъектом, а Р может не быть предикатом.

Одно из суждений, входящий в состав силлогизма, может быть опущено. Например:

1) дельфин дышит легкими, так как дельфин — млекопитающее (опущена большая посылка);

2) Марс светит отраженным светом, так как все планеты светят отраженным светом (опущена меньшая посылка);

3) все имена собственные пишутся с большой буквы, а слово “Витя” — имя собственное (опущено заключение).

Такого рода сокращенный силлогизм называется энтимемой. Этот термин уже использовался выше.

Очень важно уметь восстанавливать энтимему до полного силлогизма. Примеры такого восстановления читатель найдет в задачах и упражнениях к этой главе.

 

§ 2. Общие правила категорического силлогизма

 

Как убедиться в том, что силлогизм построен правильно? Для этого нужно удостовериться в том, что выполняются некоторые условия, называемые общими правилами силлогизма. В качестве первого правила часто приводится требование, согласно которому в силлогизме должно быть три суждения. Однако, это требование непосредственно вытекает из определения силлогизма. Чтобы убедиться в том, что интересующее нас умозаключение является силлогизмом, мы уже должны знать, что в нем 3 суждения.

Следующее правило: в силлогизме должно быть три и только три термина. Это правило так же является следствием определения силлогизма, но это менее очевидно. Поэтому имеет смысл формулировка этого требования как отдельного правила. Будем считать его первым правилом. Подчеркнем, что это правило непосредственно связано с законом тождества, который запрещает отождествлять нетождественные друг другу вещи.

Рассмотрим пример. Студентка тщательно конспектировала лекцию, в том числе записывала те мысли, которые лектор приводил как абсурдные. И была удивлена, что лектор на зачете был недоволен, когда она их излагала. “Вы же сами это говорили!” — возмущалась она. Можно сказать, что в голове студентки сформировался следующий силлогизм:

Все положения нашего лектора истинны.

Это положение взято из лекции;

Это положение истинно.

Нетрудно понять, в чем заключается ошибка. Здесь нарушается закон тождества. Понятие “положение лектора” приравнивается к понятию “мысль, взятая из лекции”. Между тем, эти понятия совсем не тождественны. В лекции могут приводиться мысли и мнения, не только правильные, с точки зрения лектора, но и неправильные, с целью их критики.

Если не нарушать закон тождества, тогда в правильном категорическом силлогизме должны связываться три термина: два крайних — больший и меньший — и один средний термин. В данном случае это правило не соблюдается, так как в результате нарушения закона тождества вместо трех терминов оказалось четыре: “это положение” — субъект заключения, т. е. меньший термин; “истинные мысли” — предикат заключения, т. е. больший термин; “положения лектора” — субъект большой посылки — и “мысль, взятая из лекции” — предикат 2-й посылки. Если бы эти понятия были тождественны, тогда терминов было бы три, правило не было бы нарушено. Но “положение лектора” — другое понятие, чем “мысль, взятая из лекции”, поэтому вместе с большим и меньшим здесь оказывается четыре термина.

Такая ошибка очень распространена. Она носит название учетверения терминов. Ее, как и всякую другую ошибку, не трудно заметить в том случае, когда в выводе получается явная нелепость, например:

летучие мыши летают;

“Летучая мышь” — оперетта;

некоторые оперетты летают.

или:

все птицы имеют перья;

ощипанные птицы — птицы;

ощипанные птицы имеют перья.

Но, даже понимая абсурдность вывода, далеко не каждый сможет

показать, в чем его ошибочность.

Часто ошибка “учетверение терминов” бывает связана со смешением отношений вида к роду и части к целому, особенно если заключение оказывается истинным.

Например:

грамматика имеет практическое значение;

морфология — часть грамматики;_____

Морфология имеет практическое значение.

На первый взгляд, это умозаключение может показаться вполне правильным. Но и здесь в среднем термине смешались два разных понятия: “грамматика” и “часть грамматики”. Если вид обладает свойствами рода, то часть далеко не всегда обладает свойствами целого. Понятие “грамматика английского языка” имеет все признаки понятия “грамматика”, но “часть грамматики” — отнюдь не все. Поэтому нельзя делать вывод о практической пользе морфологии на том основании, что она часть грамматики и грамматика имеет практическое значение. Такой вывод будет логически неправильным. Иной, может быть, скажет: “Тем хуже для вывода, а я знаю, что морфология, как и грамматика в целом, имеет практическое значение”. Но будет “хуже” не только для вывода, а и для человека, если, например, ему дадут деньги на обед, исходя из следующих соображений: “На х денежных единиц можно хорошо пообедать. Данные деньги — часть х. На них можно хорошо пообедать”.

Иногда раздваивается не средний термин, а один из крайних. Например, видя волка, который что-то ест, кто-либо может сделать такой вывод:

волки едят овец;

это животное — волк;

это животное ест овцу.

Выражение “ест овцу” обозначает совершенно разные понятия в посылке и заключении. В первом случае оно имеет смысл “ест вообще, в принципе”, во втором — “ест в данный момент”. Ошибка произошла вследствие смешения мысли с ее выражением в языке.

Однако, логические ошибки могут быть и тогда, когда никакого учетверения нет и в умозаключение входят три термина. Возьмем, например, такое рассуждение:

все планеты вращаются вокруг Солнца;

Земля вращается вокруг Солнца;

Земля — планета.

В этом умозаключении три термина: больший — “планеты”, меньший — “Земля” и средний — “то, что вращается вокруг Солнца”. Каждый из этих терминов употребляется только в одном смысле. И тем не менее, это умозаключение неправильно, средний термин не связывает посылки. Почему? Давайте сравним этот силлогизм с другим, правильным:

все планеты вращаются вокруг Солнца;

Земля — планета;_________

Земля вращается вокруг Солнца.

Посмотрим на распределенность терминов в том и другом силлогизме.

Средний термин второго силлогизма “планета” распределен в большей посылке и не распределен в меньшей. Средний термин первого силлогизма “то, что вращается вокруг Солнца” не распределен ни в большей, ни в меньшей посылке. Мы знаем, что вывод может быть правильным лишь в том случае, когда в заключении говорится о тех же самых предметах, о которых идет речь в посылках. Это условие соблюдается, если средний термин в одной из посылок распределен: если о всех планетах говорится, что они вращаются вокруг Солнца, то, естественно, о любой планете можно с уверенностью сказать, что она вращается вокруг Солнца. Совсем иначе обстоит дело в том случае, когда средний термин в посылках не распределен. Если в данном случае говорится не о всем объеме понятия “то, что вращается вокруг Солнца”, то мы не можем утверждать, что “все то, что вращается вокруг Солнца”, — планеты. Следовательно, если относительно чего-то нам известно, что оно вращается вокруг Солнца, то мы еще не знаем, является ли оно планетой или каким-нибудь другим телом, вращающимся вокруг Солнца. Поэтому вывод “Земля — планета” будет логически неправилен, хотя он случайно и оказался истинным.

Таким образом, мы можем сформулировать второе правило, выполнение которого необходимо для правильного вывода в категорическом силлогизме: средний термин должен быть распределен хотя бы в одной из посылок.

В вышеприведенном примере вывод оказался истинным, несмотря на нераспределенность среднего термина. Это получилось совершенно случайно. В других случаях из истинных посылок вывод получится ложный, если средний термин в этих посылках не распределен, например:

 

все рыбы размножаются икрой;

лягушки размножаются икрой;

лягушки — рыбы.

 

Средний термин “размножаются икрой” не распределен ни в большей, ни в меньшей посылке, так как не все размножающиеся икрой — рыбы и не все размножающиеся икрой — лягушки.

Довольно часто приходится встречаться с тем, что человека относят к определенной группе, например, к тому или иному философскому направлению на основе сходства отдельных высказываний этого человека с высказываниями представителей данного философского направления.

Следует отметить, что нераспределенность среднего термина наблюдается не только в том случае, когда он является предикатом в обеих посылках. Средний термин может быть не распределен и тогда, когда он является субъектом одной из посылок, например:

 

многие металлы тонут в воде;

натрий — металл;

натрий тонет в воде.

 

Средний термин здесь “металл”. В большей посылке он не распределен как субъект частного суждения, а в меньшей — как предикат утвердительного.

Теперь мы можем разобрать и ту логическую ошибку, которую сделал один поступающий в вуз. Из какого положения можно вывести, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 будет прямоугольным? Если мы будем выводить это из теоремы Пифагора, то получим такой силлогизм:

 

во всяком прямоугольном треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон;

в данном треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон;

этот треугольник прямоугольный.

 

Такой силлогизм неправилен. Вывод “этот треугольник прямоугольный” из данных посылок не следует, так как здесь не распределен средний термин. Обращать суждение, являющееся большей посылкой, нельзя, так как из общеутвердительного суждения при обращении получится частноутвердительное, и средний термин опять не будет распределен ни в одной из посылок:

 

некоторые треугольники, у которых квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, являются прямоугольными;

в данном треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон;

данный треугольник прямоугольный.

 

Средний термин был бы распределен, если бы большей посылкой было суждение “всякий треугольник, в котором сумма квадратов двух сторон равна квадрату третьей, является прямоугольным”. Мы можем взять это суждение в качестве посылки для нашего силлогизма, так как существует теорема, обратная теореме Пифагора, и она выражается именно в виде этого суждения.

Итак:

 

всякий треугольник, в котором квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, прямоугольный;

в данном треугольнике квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон;

этот треугольник прямоугольный.

 

Средний термин здесь распределен в большей посылке, как субъект общеутвердительного суждения. Заключение “этот треугольник прямоугольный” в данном случае будет вытекать из посылок. Но выводить его непосредственно из теоремы Пифагора, как это сделал поступающий в вуз, нельзя — в этом случае не соблюдается правило распределенности терминов, вследствие чего умозаключение становится логически ошибочным.

Теперь рассмотрим такой силлогизм:

 

все рыбы дышат жабрами;

кит — не рыба;

кит не дышит жабрами.

 

Правилен ли вывод в этом силлогизме? С точки зрения известных нам двух правил, здесь как-будто все в порядке: в силлогизме три термина, средний термин “рыба” в большей посылке распределен; и посылки и заключение — суждения истинные. И тем не менее, этот вывод содержит логическую ошибку. В этом нетрудно убедиться, сравнив его со следующим силлогизмом:

 

помидоры съедобны;

огурцы — не помидоры;

следовательно, огурцы не съедобны.

 

Обе посылки здесь истинны, но вывод явно ложен; следовательно, силлогизм неправилен.

При разборе обращений подчеркивалось, что если термин не распределен в посылке, то он не должен быть распределен и в заключении. Это требование распространяется и на силлогизм. Оно вполне понятно, поскольку естественно вытекает из необходимости соблюдать закон тождества. Нельзя в рассуждении дедуктивного типа говорить в заключении о большем круге предметов, чем тот, который нам дан в посылках. Субъекты заключения наших силлогизмов “кит” и “огурцы” распределены в посылках и в заключении. Но большие термины — предикаты “дышащие жабрами” и “съедобные” в большей посылке не распределены, так как понятие “рыбы” охватывают лишь часть объема понятия “дышащие жабрами”, так же как “помидоры” — лишь часть “съедобных”. В заключении же больший термин отрицается, следовательно, он распределен. Таким образом, оказывается нарушенным сформулированное нами правило силлогизма, касающееся распределенности терминов заключения. Оно будет третьим правилом силлогизма.

В посылках силлогизмов, которые мы разобрали, не был распределен больший термин как предикат утвердительного суждения. Но он может быть не распределен и как субъект частного. Если при этом он окажется распределенным в заключении, тогда здесь будет такая же логическая ошибка, как в только что разобранных силлогизмах, например:

 

многие планеты имеют атмосферу;

Церера не имеет атмосферы;

Церера — не планета.

 

Могут быть и другие случаи в силлогизме:

 

все рыбы дышат жабрами;

все рыбы живут в воде;

все, живущие в воде, дышат жабрами.

 

Субъект заключения в посылках не распределен, как предикат утвердительного, а в заключении — распределен как субъект общеутвердительного суждения.

Мы рассмотрели основные логические ошибки, встречающиеся в категорических силлогизмах, и основные правила, при помощи которых их можно избежать. Существует еще 4 правила, но они более просты и очевидны и нарушаются сравнительно редко. Поэтому перечислим их без обоснования:

1) из двух отрицательных посылок нельзя сделать никакого вывода;

2) если одна из посылок отрицательна, то вывод должен быть отрицательный.

Правила об отрицательных посылках требуют все же некоторых пояснений. Вы знаете об операции превращения, с помощью которой легко сделать отрицательное суждение утвердительным, перенеся отрицание со связки на предикат. Казалось бы, используя эту операцию мы всегда можем добиться выполнения приведенных правил, откуда следует, что сами правила излишни. Однако, это не так. Выяснить вопрос о том, является ли посылка утвердительной или отрицательной нельзя, не зная заключения, с помощью которого определяется меньший и больший термины.

Рассмотрим такой пример: “Береза не тонет в воде. Береза не металл. Значит, некоторые не металлы не тонут в воде”. Вывод совершенно правильный, хотя как будто бы в силлогизме обе посылки отрицательные. Но обратим внимание на меньший термин. Это “не металлы”. Меньшая посылка не исключает, а, наоборот, включает средний термин в объем меньшего. Значит, отрицание в суждении “Береза не металл” относится не к связке, а к предикату. Если у нас будет иное, т. е. “Береза не есть металл”, тогда следует сделать превращение, и все станет на свои места.

На самом деле у нас были бы отрицательные посылки, при наличии положительного меньшего термина: “Береза не тонет в воде. Береза не металл. Значит, некоторые металлы тонут в воде”. Вот здесь вывод был бы неправомерен.

Другие правила этой группы таковы:

3) из двух частных посылок нельзя сделать никакого вывода;

4) если одна из посылок частная, то и вывод должен быть частным.

Два последних правила являются простым следствием правил о распределенности терминов и правил об отрицательных посылках.

Нарушение перечисленных правил можно обнаружить довольно быстро:

 

1. Ни один волк — не травоядное;

это животное — не волк;

Это животное — травоядное.

 

Вывод этот неправилен, так как он сделан из отрицательных посылок.

 

2. Ни один волк — не травоядное;

это животное — волк;____

это животное — травоядное.

 

Здесь вывод ошибочен потому, что одна посылка отрицательная, а вывод утвердительный.

 

3. Многие студенты нашей группы хорошо учатся;

многие студенты нашей группы — спортсмены;

некоторые спортсмены хорошо учатся.

 

Вывод сделан из частных посылок, что запрещается третьим правилом. Вполне возможно, что как раз не студенты, которые хорошо учатся, — не спортсмены.

 

4. Все студенты — учащиеся;

многие из обитателей этого дома — студенты;

все обитатели этого дома — учащиеся.

 

Общий вывод сделан из частной посылки — нарушение четвертого правила.

 

§ 3. Фигуры категорического силлогизма и их правила

 

Читатель может быть разочарован тем, что общих правил силлогизма оказалось слишком много. Практика показывает, что установление выполнения или, наоборот, — нарушения правил распределенности терминов для многих студентов достаточно трудно. В отличие от них правила, относящиеся к посылкам, очень просты, и их легко применять. Вот было бы хорошо, если бы все правила силлогизма были такими!

И это можно сделать. Но предварительно нам следует убедиться в том, что мы имеем дело с силлогизмом, в котором три суждения и три термина. Среди терминов — S — меньший термин, Р— больший термин и М — средний термин. Обратим внимание на расположение терминов силлогизма друг по отношению к другу. В том примере, с которого мы начали анализ нашего категорического силлогизма,

 

Все млекопитающие дышат легкими;

Дельфин — млекопитающее;

Дельфин дышит легкими.

 

средний термин занимает место субъекта в большей посылке и место предиката в меньшей посылке. Большая посылка записана на первом месте, но это совсем не обязательно. Если мы поменяем порядок посылок, ничего не изменится. Во всяком случае, будет грубейшей ошибкой, если мы будем считать посылку большей только потому, что она записана на первом месте. Здесь нужно смотреть, содержат ли эти посылки больший термин, т. е. предикат заключения. Однако, для того, чтобы было легче различать фигуры силлогизма, принято большую посылку записывать на первом месте. Тогда, соединив термины отрезками, мы получим:

Силлогизм с таким расположением терминов, т. е. такой, в котором средний термин является субъектом большей посылки и предикатом меньшей, относится к силлогизмам 1-й фигуры. Если при этом все посылки и заключения являются общеутвердительными суждениями, как в нашем случае, то мы получим вариант — модус 1-й фигуры, который могли бы так и обозначить: ААА.

Но, представьте, как было бы неловко произносить три буквы А подряд! И к тому же вас могли бы неправильно понять! Поэтому в логике принято предварять гласные буквы согласными и обозначать указанный модус силлогизма специально придуманным словом — Barbara. Здесь гласные буквы обозначают количество и качество суждений в силлогизме, а согласные так же имеют некоторое значение, анализ которого мы здесь приводить не будем.

Что можно сказать о том, какими должны быть посылки в 1-й фигуре на основе общих правил силлогизма? Для ответа на этот вопрос необходимо вспомнить, что субъект распределен в общих суждениях, а предикат — в отрицательных суждениях. Теперь представьте, что меньшая посылка в силлогизме 1-й фигуры — отрицательное суждение. Если одна посылка отрицательная, то, в соответствии с общим правилом силлогизма, должно быть отрицательным и заключение. В отрицательном суждении предикат распределен, значит, он должен быть распределен и в посылке. Выходит, что большая посылка так же должна быть отрицательной. Поэтому, если меньшая посылка отрицательная, то и большая должна быть отрицательной. А из двух отрицательных посылок не следует никакого вывода. Отсюда правило: в силлогизме 1-й фигуры меньшая посылка должна быть утвердительным суждением. Отсюда следует и второе правило: большая посылка должна быть общей.

В самом деле, если меньшая посылка — утвердительная, то ее предикат, являющийся средним термином, нераспределен. Поскольку средний термин должен быть распределен хотя бы в одной из посылок, он должен быть распределен в качестве субъекта в большей посылке. Таким образом, мы обосновали наше правило.

И теперь мы можем пользоваться правилами, относящимися только к количеству и качеству посылок. Используем эти, полученные нами, правила для проверки правомерности уже разобранных выше примеров:

 

Все рыбы дышат жабрами;

Кит — не рыба;

Кит не дышит жабрами.

 

Нетрудно убедиться, что здесь 1-я фигура силлогизма. Но меньшая посылка оказалась отрицательной. Значит, силлогизм неправильный. Мы убедились в этом гораздо быстрее, чем ранее, когда использовали общие правила силлогизма.

Другой пример:

 

Критяне — лжецы;

Эпименид — критянин;

Эпименид — лжец.

 

Средний термин и здесь является субъектом большей и предикатом меньшей посылки. Значит, имеем 1-ю фигуру силлогизма. Меньшая посылка является утвердительной. Будет ли большая посылка общей? Все ли критяне лжецы или только некоторые? Посылка дает лишь общую характеристику критян, которая не означает, что все они обязательно лжецы. Быть может, есть какие-то исключения? Поэтому мы можем полагать, что лишь некоторые, а может быть, и все, критяне — лгуны. Значит, большая посылка оказалась частной, вывод неправомерен. Если же Эпименид бы утверждал, что все критяне всегда лжецы, тогда большая посылка оказалась бы общей, а вывод о том, что Эпименид — лжец, правомерен.

Какие же еще фигуры силлогизма могут быть, кроме 1-й фигуры? Читатель сам может догадаться, если он рассмотрит все возможные комбинации. Наряду с той фигурой, о которой мы уже говорили, может быть случай, когда средний термин будет предикатом в обеих посылках или субъектом в обеих посылках. Это будет 2-я фигура и, соответственно, 3-я фигура силлогизма, или же если средний термин будет предикатом в большей и субъектом в меньшей посылке, то получим 4-ю фигуру силлогизма  Схематически это может выразиться так:

 

 

Правила II фигуры совершенно очевидны. Средний термин должен быть распределен хотя бы в одной из посылок, а распределен он в отрицательной посылке, следовательно, хотя бы одна из посылок II фигуры должна быть отрицательной. Но наличие отрицательной посылки приводит к тому, что вывод, в соответствии с общим правилом, должен быть отрицательным. Вспомним наш силлогизм:

 

Все рыбы размножаются икрой;

Лягушки размножаются икрой;

Лягушки — рыбы.

 

Здесь отсутствует отрицательная посылка. На этом основании отбрасываем вывод как неверный.

Другое правило говорит о том, что во II фигуре большая посылка (так же, как и в I фигуре) должна быть общей. В самом деле, поскольку вывод отрицателен, больший термин в заключении распределен, значит, он должен быть распределен и в большей посылке. Отсюда эта посылка должна быть общей.

 

Металлы тонут в воде;

Натрий не тонет в воде;

Верно ли, что натрий — не металл? Здесь имеем средний термин в предикатах обеих посылок, значит, это силлогизм II фигуры. Большая посылка должна быть общей. Общая ли она в данном случае, т. е. все ли металлы тонут в воде, т. е. будет ли большая посылка общей или частной? Лишь некоторые металлы тонут в воде. Значит, большая посылка частная, и вывод неправомерен.

В III фигуре меньшая посылка должна быть утвердительной, а заключение частным. Нам не хочется лишить читателя удовольствия самим доказать эти правила, исходя из общих правил силлогизма, подобно тому как мы делали выше. Советуем начать с правила, согласно которому меньшая посылка должна быть утвердительной. Применим эти правила к рассмотренным выше примерам.

 

Все рыбы дышат жабрами.

Все рыбы живут в воде.

Все, живущие в воде, дышат жабрами.

 

 

Силлогизм III фигуры. Вывод неправомерен, т. к. заключение общее.

 

Все рыбы дышат жабрами.

Некоторые рыбы не живут в нашем море.

Следовательно, некоторые, живущие в нашем море, не дышат жабрами.

 

Это тоже силлогизм III фигуры.

Вывод неправилен, поскольку меньшая посылка оказалась отрицательной.

Конечно, вы, возможно, не знаете наше море, не знаете, живут ли там дельфины или не живут. Заключение, быть может, само по себе верно, но оно не вытекает из данных посылок.

Интересно отметить, что Аристотель рассматривал только три фигуры силлогизма. IV-ю фигуру силлогизма предложил его ученик Теофраст. Она обычно считается неестественной, не соответствующей нормальному ходу мысли. И это действительно так, если придерживаться того порядка, который обычно применяется в формальной логике — большая посылка, меньшая посылка, заключение. Однако, изменим порядок посылок: поставим на первом месте меньшую посылку, потом заключение и лишь в конце большую посылку. Мы можем убедиться, что в таком случае IV фигура силлогизма получается довольно естественной.

Рассмотрим пример.

 

Ни один параллелограмм не треугольник, поэтому ни один треугольник не квадрат, так как все квадраты параллелограммы.

Нам представляется, что такое рассуждение не выглядит искусственным. Но рассмотрим это рассуждение с точки зрения взаимного расположения терминов. Заключение здесь, очевидно, в середине рассуждения “поэтому ни один треугольник не квадрат”. Субъект заключения, т. е. меньший термин “треугольник”, предикат заключения, т. е. больший термин — “квадрат”, средний термин — “параллелограмм”. Средний термин в большей посылке “все квадраты параллелограммы” занимает место предиката, а в меньшей посылке “ни один параллелограмм не треугольник” занимает место субъекта. Значит, мы получили IV фигуру. Конечно, при той последовательности суждений, удобной для анализа силлогизма I фигуры, рассуждение выглядело бы менее естественно: все квадраты параллелограммы, ни один параллелограмм не треугольник, значит, ни один треугольник — не квадрат.

Правила IV фигуры имеют характер условных суждений: если большая посылка утвердительная, то меньшая должна быть общей. И это понятно почему. Если большая посылка является утвердительной, то это означает нераспределенность среднего термина в большей посылке, поэтому он должен быть распределен в меньшей, значит меньшая посылка должна быть общей.

При наличии отрицательной посылки заключение было бы отрицательным, что означает распределенность большего термина в заключении. Отсюда он должен быть распределен и в большей посылке, которая должна быть общей.

 

 

 

 

§ 4. Энтимемы

 

В энтимеме пропущены либо одна из посылок, либо заключение. Но это не беда. Ведь в оставшихся двух суждениях у нас будут все три термина, которые есть в силлогизме. Так, например, если в “уме” пойдет большая посылка, то у нас будет заключение, т. е. суждение, содержащее меньший и больший термины. Средний термин мы определим по оставшейся посылке как такой, который не будет ни меньшим, ни большим. Отсюда мы восстанавливаем большую посылку, соединяя средний термин с большим термином, т. е. предикатом заключения.

Причем мы должны это сделать таким образом, чтобы восстановленный силлогизм был, если это возможно, правильным. Например: “Сократ смертен, так как он человек”. Союз “так как” показывает нам, где посылка, а где заключение. Посылка идет после слова “так как”. По заключению мы определяем его субъект, т. е. меньший термин — “Сократ” и его предикат, т. е. больший термин “смертен”. В посылке находим средний термин — “человек”. Значит, нужно соединить “человека” и “смертность”. Сделав это, мы получим большую посылку “Все люди смертны”. Таким образом, мы восстановили энтимему до полного силлогизма.

Другой вариант: “Все люди смертны, значит, Сократ смертен”. Здесь пропущена меньшая посылка, очевидное суждение “Сократ — человек”.

Третий вариант: “Все люди смертны, а Сократ — человек”. Пропущено вполне очевидное заключение, которое мы получим, соединив друг с другом крайние термины, имеющие место в посылках, т. е. “Сократа” и “смертен”. Аналогичный метод мы можем использовать и применительно к другим фигурам силлогизма. Примеры этого будут даны в задачах и упражнениях.

 

§ 5. Сложные предикаты в силлогизме. Полисиллогизмы и сориты

 

Предикаты суждений, входящих в силлогизм, могут быть сколь угодно сложными, состоять из многих понятий. Например, государство может быть монархическим, олигархическим или демократическим. Средневековая Венецианская республика была государством. Отсюда вывод: средневековая Венецианская республика могла быть или олигархическим, или монархическим, или демократическим государством. Этот вывод получен по схеме категорического силлогизма. Сложный предикат не вносит здесь ничего принципиально нового. Однако, такой вывод нам может понадобиться в качестве предварительного вывода перед тем, как мы используем методы, разрабатываемые в логике высказываний. Так, полученный нами вывод может быть разложен на три высказывания:

1. Венецианская республика была монархическим государством.

2. Венецианская республика была демократическим государством.

3. Венецианская республика была олигархическим государством.

 

И здесь мы можем оперировать дизъюнкцией этих высказываний. Таким образом, мы имеем соединение разных форм умозаключений друг с другом, т. е. сложное дедуктивное умозаключение.

Не обязательно, чтобы компоненты такого сложного умозаключения имели разное логическое строение. Мы можем соединять друг с другом обычные силлогизмы. Таким образом, получим сложный категорический силлогизм. Например: “Все киты — млекопитающие. Все дельфины — киты. Все дельфины — млекопитающие”.

Далее: “Все дельфины — млекопитающие. Все млекопитающие кормят детенышей молоком. Все дельфины кормят детенышей молоком”. Мы получили силлогизм, в котором заключение первого силлогизма является посылкой второго. Такой силлогизм называется сложным или полисиллогизмом. Чаще всего какие-то из суждений полисиллогизма опускают, чтобы не было повторов, как в нашем случае. Тогда мы получаем сокращенный силлогизм, называемый соритом. Так, сократив приведенное выше рассуждение, мы можем получить:

 

Все млекопитающие выкармливают своих детенышей молоком.

Все киты млекопитающие.

Все дельфины — киты

Значит, все дельфины выкармливают своих детенышей молоком.

Мы получили сорит. Существуют разные разновидности соритов. Вы с ними познакомитесь в процессе выполнения упражнений.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

 

 

 

 

ГЛ. I. СУЖДЕНИЕ И ПОНЯТИЕ

 

 

§ 1. Структура суждений и их деление по качеству

 

1. В каких из следующих ниже предложений выражены суждения, в каких — иные формы мысли?

1) Чужими руками крапиву не дергай.

2) Всякий Еремей дело разумей.

3) Семь раз примерь, один раз отрежь.

4) Пословица недаром молвится.

5) Что за уха! Да как жирна!

6) Поклон от Марии сыну моему Григорию.

7) О нем что-то говорят.

8) Да не войдет сюда никто, не знающий геометрии!

2. Определите субъект, предикат и связку в суждениях, выраженных следующими предложениями:

1) Земля является планетой.

2) Лисица — хищное животное.

3) Он не стал чемпионом.

4) Облако превратилось в белую тучу, которая тяжело поднималась, росла и постепенно облегала небо.

5) Жил, был старик со старухой.

6) Уже более трех часов прошло с тех пор, как я присоединился к мальчикам (И. Тургенев).

7) Мне хочется пойти в кино.

8) Солнце не вращается вокруг Земли.

9) Изречение “Все течет, все изменяется” приписывается Гераклиту.

3. Дайте логический анализ суждения, выраженного предложением: “Петров дежурный” в зависимости от ответа на вопрос:

а) Кто сегодня дежурный?

б) Почему Петров в классе?

4. Как будут меняться субъект и предикат суждений, выраженных предложением “Работа студентов нашего института в школе получила хорошую оценку”, в зависимости от вопросов, на которые отвечает это предложение?

1) Как была оценена работа студентов нашего института в школе?

2) Как в школе была оценена работа студентов нашего института?

3) Где работа студентов нашего института получила хорошую оценку?

4) Чья работа получила в школе хорошую оценку?

5. Какие существенно различные понимания и почему допускают следующие предложения?

1) Это он поет в “Веселых ребятах”.

2) Гипотез не сочиняю (И. Ньютон).

6. В повести А. П. Чехова “Драма на охоте” умирающая героиня Ольга произнесла фразу: “И ты... ты... убил”. Что может здесь быть логическим субъектом и предикатом? Какую возможность желает устранить следователь, когда он вслед за словами Ольги говорит: “Кулика? После того, как я добил подстреленного кулика, вы поморщились и удалились от компании...”

7. Найдите субъект и предикат последнего высказывания в следующем анекдоте:

— Все, я развожусь с Розой, она мне изменила, — говорит Мендель, — она вчера сказала, что ночевала у своей сестры...

— Ну и что?

—    Она обманула, у ее сестры ночевал я.

 

§ 2. Понятие, его объем и содержание

 

1.      Укажите, какие из признаков следующих предметов входят и какие не входят в содержание соответствующих понятий.

1) Комнаты, в которой Вы сейчас находитесь, в содержание понятия “комната”.

2) Города, в котором Вы сейчас живете, в содержание понятия “город”.

3) Вашего костюма в содержание понятия “костюм”.

4) Вашего костюма в содержание понятия “одежда”.

 

2. Все ли указанные ниже признаки входят в содержание следующих понятий?

1) “Остров” — суша, окруженная водой, находится в море.

2) “Синоним” — слово русского языка, часто употребляется.

 

3. Содержание каких понятий образует следующие признаки?

1) Является человеком, учится.

2) Является водоемом, со всех сторон окружен сушей, имеет сравнительно большие размеры.

 

4. Изменится ли содержание приведенных ниже понятий в следующих случаях?

1) Содержание понятия “Луна” после высадки на нее космонавтов.

2) Содержание понятия “атом”, если будут открывать новые свойства атомов.

3) Содержание понятия “студент нашей группы”, если студенты нашей группы будут лучше учиться.

4) Содержание понятия “мальчик Петя”, когда он вырастет.

 

5. В объемы каких понятий можно включить следующие группы предметов? Исчерпывается ли отмеченными предметами весь объем соответствующих понятий?

1) . , : ! ?

2) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

3) Меркурий, Венера, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун, Плутон.

 

6. Назовите несколько понятий, в объемы которых можно включить следующие предметы.

1) . ! ?

2) 2, 4, 6.

3) “б”, “в”, “г”.

4) столы и стулья той комнаты, в которой Вы сейчас находитесь или недавно находились.

 

7. Изменится ли объем приведенных ниже понятий в следующих случаях?

1) Объем понятия “атом” после открытия новых разновидностей атомов.

2) Объем понятия “первокурсник” после того, как нынешние первокурсники перейдут на второй курс.

3) Объемы понятия “чемпион мира по шахматам” после очередной смены чемпионов.

 

8. Выражают ли следующие слова и словосочетания одни и те же понятия?

1) Педагог. Преподаватель. Учитель.

2) Глаз. Око. Орган зрения.

3) Глаз. “Глаз”.

4) Людоед. Каннибал. Антропофаг.

5) Жадный. Скряга. Корыстолюбивый.

6) Бесплатный проезд. Безбилетный проезд.

 

9. Найдите в следующем тексте слова, обозначающие одно и то же понятие.

“Тут брезент развернулся, из-под него вылезла толстая бабка, подбоченилась и напустилась на юного Мерзавио:

— Ах ты, антихрист, ах ты, бандит, безбожник, безобразник, башибузук, ворюга, взломщик, висельник, ах ты, грешник, головорез, грубиян, ах ты, грабитель, дармоед, ежовая голова, еретик, живоглот, ах ты, злодей, зверь, ах ты, Ирод, изверг, идол, ах ты, Каин, кровопиец, каторжный, ах ты, лентяй, лодырь, людоед, как ты смеешь нападать на честных и почтенных людей?

— Простите, мадам, — растерянно пролепетал Мерзавио, — я не имел представления о том, что в карете есть дама...

— Оно сразу видно, что есть, — продолжала торговка, — и еще какая дама!., ах ты, Махамет, мракобес, негодник, нехристь, нахал, оболтус, озорник, преступник, паршивец, плут!..

— Тысячу извинений, мадам, если я вас напугал! — умолял Мерзавио в ужасном смущении. —Трешарма, мадам, сильвупле, заверяю вас в своем искреннейшем сожалении, что, что...

– Убирайся отсюда, безобразник, — кричала достойная дама, — пока я тебе не сказала, что ты — поганец, пустопляс, пропащий человек, разбойник и Ринальдо, татарин, турок, тиран и уголовник!...” (К. Чапек. Разбойничья сказка).

 

10.Выясните, какие понятия выражаются следующими словами?

1)      Пионер. 2) Кружок. 3) Совет.

 4) Закон. 5) Ранняя весна. 6) Логика.

 

11. Как можно понять следующие фразы? Замените слова-омонимы другими словами или словосочетаниями, чтобы ликвидировать двусмысленность.

1) Операция прошла успешно.

2) Она получила новый наряд.

3) Он никогда не видел ласки.

4) Нравится ли вам ваш посол?

 

 

§ 3. Виды понятий

 

1. Определите, какие из перечисленных ниже понятий являются общими (конкретными), а какие — атрибутивными (абстрактными):

I) квадрат; 2) растение; 3) революция; 4) ученость; 5) твердость; 6) слово; 7) мысль; 8) победа; 9) социализм; 10) капитализм;

11) скорость; 12) предмет; 13) свойство; 14) отношение.

 

2. Образуйте абстрактные понятия на основе конкретных понятий предыдущего упражнения.

 

3. Определите, какие из перечисленных ниже понятий общие, какие единичные, какие имеют пустой объем.

1) Глагол прошедшего времени.

2) Точка пересечения диагоналей квадрата.

3) Вечный двигатель.

4) Самое большое озеро мира.

5) Самое большое озеро в Евразии.

 

4. С помощью ограничения превратите общие понятия предыдущего упражнения в единичные.

 

5. С помощью обобщения превратите единичные понятия упражнения 3 в общие.

 

6. Какие из следующих суждений можно рассматривать как единичные и почему?

1) Студенты нашей группы подготовили вечер самодеятельности.

2) Студенты нашего университета очень умные.

3) Дни ожидания тянулись очень долго.

4) Ураганы приносят большой вред судоходству.

 

§ 4. Отношения между понятиями

по их объему и содержанию

 

1. Найдите понятия родовые по отношению к данным:

1) Четное число.

2) Знак препинания.

3) Чемпион.

4) Понятие.

5) Континент.

 

2. Найдите понятия видовые по отношению к данным.

1) Стакан.

2) Столица.

3) Неделя.

 

3. Найдите понятия, тождественные по объему с данными.

1) Равносторонний треугольник.

2) Прямоугольный ромб.

3) Высочайшая вершина Гималаев.

 

4. Найдите понятия, объем которых частично совпадает с объемом данного понятия.

1) Студент.

2) Корабль.

3) Металлы.

4) Реки Украины.

5) Реки Америки.

6) Белка.

7) Революция.

8) Штиль.

9) Понятие.

 

5. Какие из следующих отношений между понятиями являются отношениями рода и вида, а какие выражают отношения части и целого?

1) Школа. Средняя школа.

2) Школа. Выпускной класс школы.

3) День. Сутки.

4) Китай. Азия.

5) Часть Китая. Часть Азии.

6) Корень слова. Основа слова.

7) Корень слова. Часть слова.

8) Весна. Ранняя весна.

 

6. Правильно ли произведено обобщение понятий?

1) Метель — сильный ветер, буря, ураган.

2) Метель — сильный ветер, явление природы, явление.

3) Центр города, город, населенный пункт.

 

7. Правильно ли произведено ограничение понятий:

1) Утро, раннее утро, утренняя заря.

2) Залп — выстрел — одиночный выстрел.

3) Учащиеся — класс, 10-й класс.

 

8   Известно, что обобщающее слово, обозначающее понятие родовое по отношению к понятиям, выраженным членами перечисления, отделяется от них двоеточием, если обобщающее слово стоит перед перечислением, и тире, если оно стоит после перечисления. Проставьте недостающие знаки препинания в следующих примерах:

1) В лесу росли лиственные деревья осины, березы, ивы.

2) В технических вузах изучаются точные науки физика, математика, сопротивление материалов и т. д.

3) Математика, физика, логика точные науки.

 

9. В чем заключается ошибка студента, который считает понятие “море” и “озеро” частично совпадающими на том основании, что у них часть признаков общая?

 

10.В каком отношении по объему находятся следующие пары понятий? Изобразите эти отношения графическими схемами.

1) Вассал. Сюзерен.

2) Подлежащее. Существительное.

3) Утро. Вечер.

4) Море. Океан.

5) Металл. Вещество, обладающее всеми признаками металла.

6) Знающий все романские языки. Знающий все живые романские языки.

7) Ужин. Понятие об ужине.

8) Герой. Литературный герой.

 

11. Определите отношения по объему между следующими понятиями и выразите эти отношения графически.

1) Ромб. Квадрат. Прямоугольник.

2) Движение. Быстрое движение. Вращение.

3) Год. Високосный год. Месяц. Неделя.

4) Отец. Сын. Брат.

 

12. Проверьте, соответствуют ли нижеприведенные схемы отношениям между данными понятиями. Отметьте ошибки, если они есть:

1) А — Вулкан. В — Гора Кавказа. С — Действующий вулкан. Д — Гора Камчатки. Е — Гора Японии.

 

 

 

2) А — Кит, В — Млекопитающее, С — Рыба, Д — Голова кита.

 

 

3) А — Европа, В — Англия, С — Франция, Д — Украина, Е — Турция.

 

 

13. Найдите понятия, которые находились бы в таком же отношении друг к другу по объему, как понятия упражнения 11.

 

14.Заштрихуйте общую часть объема двух понятий А и В и назовите ее произведением А • В. Заштрихуйте объемы обоих понятий А и В и назовите получившееся суммой А + В. Заштрихуйте объем универсальной предметной области, лежащей вне А, и назовите его дополнением, обозначив А. Соответственно для В получите  ‫ В.

Найдите произведения и суммы следующих понятий и заштрихуйте их:

1) Прямоугольники, ромбы.

2) Слова. Красивые слова.

3) Правильные действия. Неправильные действия.

4) Береза. Дерево. Дрова.

 

15. Заштрихуйте объем понятия, являющегося результатом следующих действий над понятиями А, В, С, находящихся в отношении пересечения:               

 

1) А + В + С     2) А • В • В     3) (А + В) • С_

4) (А • В) + С     5) А + (В • С) 6) (А + В) •  ‫С

 

16.Рассмотрев различные случаи взаимоотношения между понятиями по объему, выясните, всегда ли будет верно:

1) А•В = В•А

2) А+В = В+А

 

 

17.Замените понятия А и В высказываниями а и b. Вместо произведения А • В возьмите конъюнкцию а&b. Вместо суммы_А + В возьмите дизъюнкцию AvB, а вместо дополнений  ‫ А и  ‫ В соответственно отрицания  ‫ а, ‫ b. Знак = истолкуйте как эквивалентность. Превратятся ли соотношения предыдущего упражнения в тавтологии? Если да, то что это за тавтологии?

18. Интерпретируйте на отношениях между понятиями следующие тавтологии:

1) a v  ‫ а 2) ‫ (а &  ‫ а)   3) ( ‫ a v а) & (a v  ‫ a)

 Что в универсальной предметной области будет соответствовать тавтологичности высказываний?

 

§ 5. Определения понятий и приемы их заменяющие.

 Правила определения

 

1. Проанализируйте следующие определения, выделите определяемое и определяющее понятия. В определяющем понятии найдите ряд и видовое отличие.

1) Определением называется второстепенный член предложения, который обозначает признак предмета и отвечает на вопрос: какой? чей? который?

2) Предложение, в котором, кроме подлежащего и сказуемого, имеются еще второстепенные члены, называется простым распространенным предложением.

157

3) Трение скольжения наблюдается в тех случаях, когда при движении одно тело скользит по другому.

4) Импликация это такое отношение между двумя высказываниями, которое будет ложным только в том случае, когда первое высказывание будет истинным, а второе ложным.

5) Орт — единичный вектор эвклидова пространства, т. е. вектор, длина которого равна единице.

6) Когда же линии, содержащие угол, прямые, то угол называется прямолинейным (Эвклид).

2. Проанализируйте следующие высказывания. Выясните, выражают ли они определения, или же какой-то из приемов, заменяющих определение. В первом случае проанализируйте определение, а во втором — укажите, какой именно прием используется.

1) Треугольник — одна из простейших геометрических фигур.

2) Гималаи — высочайшие горы мира.

3) Музыкальный инструмент это, например, скрипка.

4) Среда — третий день недели.

5) Год — время, в течение которого Земля делает полный оборот вокруг Солнца.

6) При сочинительной связи слова связываются как равноправные, равноценные.

7) 41 — натуральное число, следующее за 40.

8) Демократия — власть народа.

9) Абракадабра — таинственное слово, перешедшее от древних евреев и греков (В. Даль).

10) Абалмаш — обманщик, плут, обироха (В. Даль).

11) Абалыря — то же, что абалмаш (Там же).

12) Пианино — музыкальный инструмент вроде рояля, только меньших размеров.

13) Психический — относящийся к психике (словарь иностранных слов).

14) Суждение — это, по сути дела, то же, что и высказывание.

15) Лук — многолетнее травянистое растение. Культивируется повсеместно (Популярная медицинская энциклопедия).

16) Раствор Люголя — раствор йода в водном растворе йодистого калия (Популярная медицинская энциклопедия).

17) Справедливость — право слабейшего (Жубер).

158

18) Вобла — рыба семейства карповых, длина до 35 см, вес до 800 грамм. В сушеном виде, по мнению знатоков, лучшая закуска под пиво! (Энциклопедия “Одессика”).

3. Сопоставьте характеристику, данную себе В. Высоцким при заполнении учетной карточки, и партийную характеристику, выданную маршалу Коневу. В чем общая черта того и другого и в чем различие?

В. Высоцкий: “Рост — 170 см, вес — 70 кг, цвет волос — русый, цвет глаз — зеленый. Инструмент — гитара, рояль. Танец — да. Пение — да. Ставка в месяц — 150 руб., ставка за съемочный день — 40 руб.”.

“Конев Иван Степанович, член ВКП(б) с августа 1918 г. п/б № 0270900 по соц. происхождению из крестьян-бедняков, по соц. положению — крестьянин. Русский. В других партиях не состоял. В антипартийных группировках и оппозициях не участвовал. За время пребывания в партии к партответственности не привлекался. В РККА с 1918 г. В должности командира 2-й Бел. Стр. Див. с марта 1937 г. За время пребывания в парторганизации Управления дивизии отклонений от генеральной линии партии не было. Идеологически устойчив. В практической работе генеральную линию партии проводил правильно”.

4. Проанализируйте отрывок из какого-либо толкового словаря. Выясните, в каких случаях авторы прибегают к определению понятий, и в каких — к приемам, заменяющим определение.

5. Выясните, прибегает ли Том Сойер в приведенном ниже отрывке к определению или к приемам, заменяющим определение? Какие логические дефекты в его рассуждении помешали объяснить Джиму, что такое метафора?

— Масса Том, что такое метафора?

— Метафора ...э...ну... это...э...э... метафора это уподобление. Он заметил, что это объяснение не годится и попробовал другое.

— Если я скажу, что птицы одного пера летают вместе, то это будет метафорический способ выражения...

— Нет, не летают, масса Том. Нет, сэр, не летают. Найдите-ка других таких похожих по перу птиц, как сойка и ореховка, но если будете ждать, когда они прилетят вместе, то...

— О, да отвяжись ты. Самая простая вещь не пройдет сквозь твой толстый череп. Будет, не лезь ко мне больше (М. Твен. Том Сойер за границей).

6. Правильны ли следующие определения? В неправильных определениях укажите ошибку. Определите отношение по объему между определяемым и определяющим понятием.

1) Бочка — сосуд для хранения жидкостей и сыпучих тел.

2) Зима — самое холодное время года.

3) Колбасный сыр — это сыр, сделанный в форме колбасы.

4) Лед — замерзшая вода.

5) Длина отрезка — расстояние между двумя его точками.

6) Физик — специалист в области физики.

7) Буква — это письменный знак, который служит для обозначения отдельного звука.

8) Сложение — это математическое действие, в результате которого получается сумма чисел.

9) Правильное мышление — это мышление, согласующееся с логикой.

7. Укажите, если они есть, недостатки следующих определений:

1) Локомотивом называется или паровоз, или тепловоз, или электровоз, или что-то подобное, что будет изобретено впоследствии.

2) Эгоист — это такой человек, у которого каменное сердце.

3) Абалыря — то же, что абалмаш.

4) Электрические изоляторы — устройства из фарфора, пластических масс и других диэлектриков для изоляции и механического крепления электрических проводов и кабелей, для ввода проводов в здание, а также для изоляции частей электрической установки, находящихся под разным напряжением (Словарь иностранных слов).

5) Раб — человек, не имеющий свободы.

6) Пустой класс — это такой класс, в который не входит ни одного предмета.

7) Демократ — сторонник демократии.

8) Физика это наука, которую изучают физики.

9) Минимум — наименьшая величина из данных (Малый энциклопедический словарь).

10) Маркиз — дворянский титул, средний между графским и герцогским.

11) Профан — человек, несведущий в какой-нибудь области (Словарь иностранных слов).

12) Предпоследний — это первый из двоих.

13) Регенерат — продукт, получаемый в результате регенерации.

14) Дегенерат — человек с признаками физической или психической дегенерации.

15) Индепенденты — демократическое крыло революционного лагеря в английской революции.

8. Дайте определения следующим понятиям. Если определение окажется неправильным, то найдите ошибку.

1)      Озеро. 2) Море. 3) Отличник 4) Школьник. 5) Лето.

6) Логика. 7) Мышление. 8) Понятие. 9) Определение.

9. Проанализируйте следующие вопросы. Какие понятия необходимо определить для того, чтобы успешно на них ответить?

1) Есть ли листья у хвойных деревьев?

2) Ученик, не сдав контрольную работу преподавателю в конце урока, принес ее на перемене в учительскую и положил на окно. Сдал он работу или нет?

3) На каком расстоянии от Земли кончается земное притяжение?

4) Охотник увидел на дереве белку и захотел подойти к ней сзади. Однако белка все время поворачивалась к нему передом до тех пор, пока охотник не вернулся на прежнее место. Обошел ли охотник белку?

 

 

 

§ 6. Деление и его правила

 

1. В каких из приведенных ниже примеров имеет место деление понятий и в каких — иные логические операции?

1) Полк делится на батальоны.

2) Треугольники делятся на разносторонние и равнобедренные.

3) Украина делится на левобережную и правобережную.

4) Города Украины находятся или в левобережной или в правобережной части Украины.

5) Весна бывает ранняя и поздняя.

6) Члены предложения бывают главные и второстепенные

7) История человечества делится на древнюю, среднюю, новую и новейшую.

8) Всего было 11 крестовых походов.

9) Описать сущность понимания значит указать, что понимается, кто понимает, и как отличить понятное от непонятного.

10) Корабли делятся на морские, озерные и речные.

11) Слова делятся на синонимы, омонимы и антонимы.

12) Часы делятся на ручные, карманные, настольные, стенные и уличные.

2. В чем нелогичность следующих объявлений?

1) В магазине продаются молочные и продовольственные товары.

2) Для работы в городах Ив-е и К-ме требуются мужчины в возрасте от 20 до 35 лет и главный механик.

3) Берегите растения: деревья, кусты, цветы, газоны. Они — ваши друзья.

4) Дети до 16 лет и подростки всех возрастов на вечерние картины не допускаются.

5) Пассажирам воспрещается находиться в залах и на террасах с резко пахнущими предметами, огнеопасными, взрывчатыми и ядовитыми веществами, а также предметами, которые могут причинить повреждения помещениям вокзала, дебаркадера или ущерб пассажирам.

3. Имеет ли место деление понятий в следующих случаях?

1) Составление меню в столовой.

2) Составление железнодорожного расписания.

3) Составление предметного указателя к книге.

4. По какому основанию произведены следующие деления?

1) Локомотивы делятся на паровозы, тепловозы и электровозы.

2) Существительные делятся на существительные мужского, женского и среднего рода.

3) Понятия делятся на единичные, общие и нулевые.

4) Понятия делятся на абстрактные и конкретные.

5. Найдите члены деления.

1) Слова различаются по частям речи.

2) Живые существа разделяются на две большие группы по способу питания.

3) Вещество может находиться в трех различных агрегатных состояниях.

6. Ниже приведены члены деления. Определите делимые понятия и основания деления.

1) Хищники, травоядные, всеядные.

2) Революционеры, консерваторы, реакционеры.

3) Монархии, олигархии, демократии.

4) Села, деревни, хутора.

7. Могут ли группы предметов, выделенные по разным основаниям, совпасть друг с другом?

8. Совпадают ли по своему объему члены деления в следующих примерах (эквивалентны ли деления)?

1) Театральные билеты делятся на дорогие и дешевые. Театральные билеты делятся на хорошие и плохие.

2) Реки делятся на глубокие и мелкие. Реки делятся на судоходные и несудоходные.

9. Соразмерны ли следующие деления?

1) Корабли делятся на грузовые и пассажирские.

2) Леса делятся на лиственные, хвойные и смешанные.

3) Насекомые делятся на полезных, вредных и пауков.

10.По одному ли основанию произведены следующие деления?

1) Люди делятся на мужчин, женщин и детей.

2) Блюда делятся на первые, вторые и порционные.

3) Люди делятся на взрослых и детей.

4) Взрослые делятся на мужчин и женщин.

11 Правильны ли следующие деления? Если нет, то какие правила нарушены?

1) Геометрические фигуры делятся на остроугольные треугольники, прямоугольные и тупоугольные.

2) Морские течения делятся на теплые и холодные.

3) Химические соединения делятся на кислоты и основания.

4) Города делятся на индустриальные и курортные.

5) Тракторы делятся на гусеничные и колесные.

6) Треугольники делятся на разносторонние, равнобедренные – и равносторонние.

7) Треугольники делятся на разносторонние и равносторонние.

8) Климат — морской, континентальный и умеренный.

9) Спорт делится на умственный и физический.

10) Книги делятся на научно-технические, художественные, научно-фантастические, детские, приключенческие романы, критические.

11) Вещества делятся на проводники и непроводники.

 

§ 7. Качество и количество простых суждений

 

1. Определите качество следующих суждений:

1) Стрелки, не сделавшие ни одного промаха, были зачислены в снайперы.

2) Работа, в которой нет новых идей, не достойна премии.

3) “В это увлекательное путешествие Г и 3 отправляются не одни” (из газет).

4) Мы попали не туда, куда думали.

5) Я смотрел эту картину не сегодня.

6) Некоторые студенты не сдали зачеты.

7) “Не казнь страшна. Страшна твоя немилость”.

8) Это белье долго не сохнет.

9) Это белье скоро не сохнет.

10) “Воюют не числом”.

11) “Ничто человеческое мне не чуждо”.

12) Кит не рыба.

2. Проанализируйте следующие отрывки и определите качество суждений. Зависит ли качество суждений от контекста?

1) “Не имеющие аттестата зрелости не могут быть приняты в институт. Иванов не имеет аттестата зрелости”.

2) “Имеет ли Иванов аттестат зрелости? Иванов не имеет аттестата зрелости”.

3. Определите количество следующих суждений.

1) Одесса — морской порт.

2) Все понятия отражают существенные признаки предметов.

3) Всякое определение выражено в форме суждения.

4) Большинство из нас хорошо учится.

5) Половина учеников нашего класса хорошо учится.

6) Видимая половина Луны более богата морями, чем невидимая.

7) Цыгане шумною толпой по Бессарабии кочуют.

8) Лошади бежали дружно.

9) Ветер между тем час от часу становился сильнее.

10) Древние греки внесли большой вклад в развитие философии.

11)Три девицы под окном пряли поздно вечерком.

12) Моря и океаны составляют 3/4 земной поверхности.

4. Определите количество суждений в упражнении 1.

5. Определите количество и качество следующих суждений. Приведите суждения к одной из 4-х форм: A, I, E или О.

1) Имена собственные пишутся с большой буквы.

2) Многие качественные прилагательные бывают полными и краткими.

3) Слова могут быть разделены на слоги.

4) В слове столько слогов, сколько в нем гласных звуков.

5) Не все слова имеют ударение.

6) Некоторые современники динозавров не вымерли до сих пор.

7) Не все современники динозавров вымерли.

8) Паук не насекомое.

9) Не все металлы тонут в воде.

10) Никто его не понял.

11) Не все то золото, что блестит.

12) Один в поле не воин.

6. Определите распределенность терминов в примерах предыдущего упражнения и выразите отношения между терминами с помощью круговых схем.

7. Эквивалентны ли по своей логической форме следующие суждения? Определите распределенность терминов.

1)      а. Не все студенты сдали зачеты.

Некоторые студенты сдали зачеты.

2) а. Не все студенты сдали зачет.

    b. Некоторые студенты не сдали зачет,

    с. Многие студенты не сдали зачет.

3) а. Все пауки не насекомые.

    b. Никто из пауков не есть насекомое.

4) а. Некоторые грибы ядовиты.

    b. Многие грибы ядовиты,

    с. Есть такие грибы, которые ядовиты.

8. Даны понятия с указанием их распределенности. Составьте из них суждения и выразите отношение между терминами графически. Какой должна быть связка в этих суждениях и почему?

1)      Существительные немецкого языка (S-pacnp.).

      Слова, пишущиеся с большой буквы (Р не распр.).

2) Ученые (S не распр.) молодые (Р не распр.).

3) Домашние животные (S не распр.). Травоядные (Р распр.).

4) Философы милетской школы (S-pacnp.). Материалисты (Р не распр.).

5) Глокая куздра (S-pacnp.), бокруша (Р не распр.).

6)      Бокренки (S не распр.), бокр (Р распр.).

 

ГЛАВА II. НЕПОСРЕДСТВЕННЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ

 

§ 1. Выводы из понятий

 

1. Какие выводы можно сделать из следующих понятий:

1)      Хрустальная ваза. 2) Студент-отличник. 3) Броненосец (корабль).

4) Прямоугольник. 5) Отец. 6) Дедушка. 7) Неправильная дробь.

8) Окружность. 9) Высочайшая вершина мира.

2. Средневековый философ Аксельм Кентерберийский (1033 — 1105) доказывал существование Бога следующим образом: “Под “Богом” мы понимаем наибольший, какой только возможен, объект мысли. Но если объект мысли не существует, то он меньше другого, точно такого же действительно существующего объекта мысли. Поэтому наибольший из всех объектов мысли должен существовать, ибо иначе был бы возможен другой, еще больший объект мысли. Поэтому Бог существует”, (см. Б. Рассел. История Западной философии).

Не является ли приведенное рассуждение выводом из понятия наисовершеннейшего (наибольшего) существа? Не нарушены ли в этом рассуждении условия правомерности выводов из понятий?

 

§ 2. Превращения

 

1. Измените качество суждений так, чтобы новое суждение являлось логическим следствием данного.

1) Луна относится к таким небесным телам, на которых нет атмосферы.

2) Все металлы проводят электричество.

3) Ваше утверждение не является правильным.

4) Некоторые моряки не умеют плавать.

5) Во всяком отрицательном суждении предикат распределен.

6) Никакое понятие в языке не выражается в форме предложения.

7) Не всякому слуху нужно верить.

2. Правильно ли произведено превращение?

1)      Я ехал на пароходе.

      Я ехал не на пароходе.

2)  Это превращение правильное.

     Это превращение не относится к неправильным.

           3)  Вы не совсем правы.

     Вы совсем не правы.

4)      Я не читаю газету.

      Я читаю не газету.

5)      Я могу полететь на Луну.

      Я могу не полететь на Луну.

6)      Всякое конъюнктивное суждение можно разложить на совокупность 

      простых.

    Ни одно конъюнктивное суждение не относится к таким суждениям, 

    которые нельзя было бы разложить на совокупность простых.

 

7) Никто из зимовщиков не простудился.

    Все зимовщики были здоровы.

8) Ни одно существительное не изменяется по временам.

    Все существительные относятся к словам, которые по временам не  

    изменяются.

9) Я могу поступить в университет.

    Я не могу не поступить в университет.

3. Произведите превращение правильно в тех примерах упражнения 2, где оно было сделано неправильно.

4. Являются ли суждения в приведенных ниже примерах логическими следствиями первого суждения?

Ни одно слово, не стоящее под логическим ударением, не может выражать предиката.

а. Все слова, стоящие под ударением, могут не выражать логического  

    предиката.

b. Все слова, не стоящие под ударением, могут не выражать логического

    предиката.

с. Все слова, стоящие не под ударением, могут не выражать логического

    предиката.

d. Все слова, стоящие под ударением, могут выражать не логический предикат.

е.  Все слова, стоящие под ударением, выражают логический предикат.

 

§ 3. Выводы по схеме логического квадрата

 

1.      Сделайте с помощью закона противоречия выводы из истинности  

      следующих суждений.

1) Все союзы — служебные слова.

2) Все междометия выражают эмоции,

3) Некоторые суждения не обращаются.

4) Каждое суждение можно превратить.

5) Некоторые понятия выражаются словосочетаниями.

6) Некоторые предложения состоят из одного слова.

7) Ни одно частноотрицательное суждение не обращается.

2. Правильно ли сделаны следующие выводы?

1) Ложно, что нейтрино имеет массу покоя. Следовательно, истинно, что нейтрино не имеет массу покоя.

2) Ложно, что слово “студень” мужского рода. Следовательно, это слово женского рода.

3) Ложно, что перед этим существительным английского языка нужно ставить определенный артикль. Следовательно, перед этим словом нужно ставить неопределенный артикль.

4) Ложно, что ни одна рыба не может жить некоторое время без воды. Следовательно, в Австралии есть такие рыбы, которые некоторое время могут жить без воды.

5) Ложно, что все выводы через ограничение являются неправомерными. Следовательно, некоторые выводы через ограничение правомерны.

6) Ложно, что некоторые элементарные частицы лишены массы. Следовательно, все элементарные частицы обладают массой.

7) Ложно, что ни один физик не был философом. Следовательно, некоторые физики были философами.

8) Ложно, что ни один физик не был философом. Значит, можно быть одновременно физиком и философом.

9) Ложно, что ни один физик не был философом. Значит, физики — философы.

10) Ложно, что все моря имеют пресную воду. Значит, ни одно море не имеет пресной воды.

11) Ложно, что все существительные изменяются по временам. Значит, существительные по временам не изменяются.

3. Какие из перечисленных суждений будут истинными, если ложно первое из них?

1)      Каждое слово выражает понятие.

      а. Ни одно слово не выражает понятия.

      b. Не каждое слово выражает понятие.

      с. Каждое слово не выражает понятие.

      d. Некоторые слова не выражают понятия.

2)      Ни один глагол не пишется вместе с частицей “не”.

      а. Все глаголы пишутся с частицей “не” отдельно.

      b. Некоторые глаголы пишутся с частицей “не” слитно.

      с. Все глаголы имеют слитное написание с частицей “не”.

      d. Глаголы с частицей “не” пишутся отдельно.

4. Какие из следующих суждений будут истинными, если ложно последовательно первое, второе и т. д. до конца суждение?

1) а. N. учится на отлично.

    b. N. учится на хорошо и отлично.

   с. N. — посредственный ученик.

   d. У N. бывают всякие отметки.

   е. N. — не отличник.

3)      а. Все экзамены сданы

      b. Ни один экзамен не сдан.

      с. Некоторые экзамены сданы.

5. Исходя из законов противоречия и исключенного третьего, докажите, что из истинности общих суждений следует истинность соответствующих им частных суждений.

6. Докажите, исходя из законов исключенного третьего и противоречия, что из ложности частных суждений следует ложность соответствующих общих суждений.

7. Докажите, что из ложности суждения типа SiP следует истинность SoP и, наоборот, из ложности SoP — истинность SiP.

8. Сделайте все возможные выводы по схеме логического квадрата из истинности следующих суждений:

1)      Некоторые львы живут в зоопарках.

2) Все принцессы красивы.

3) Все бегемоты коварны.

4) Некоторые разбойники не благородны.

5) Некоторые принцессы красивы.

6) Ни одна женщина не летала на Луну.

7) Некоторые улицы Одессы переименованы.

9. Предположите, что все суждения предыдущего упражнения ложны. Какие выводы в таком случае можно сделать по схеме логического квадрата?

 

 

§ 4. Обращение

 

1. В следующих примерах приведите суждение к форме, удобной для обращения, сделав ясным объем понятий, являющихся субъектом и предикатом. Образец:

“Весной зайцы меняют шкуру” — “Зайцы есть животные, меняющие весной шкуру”.

1) Зайцы пели “А нам все равно!”

2) Зайцы косили трын-траву.

3) Волк сказал: “Ну, заяц, погоди!”

2. Используя результаты предыдущего упражнения, обратите полученные суждения.

3. Обратите суждения:

1) Равносторонним треугольником называется треугольник, у которого все стороны равны.

2) Зайцами называются такие животные, которые косят трын-траву.

4. Уточнив, если это необходимо, субъект и предикат, по примеру упражнения 

    1 обратите следующие суждения, придерживаясь правил обращения.

1) Некоторые студенты — спортсмены.

2) Некоторые студенты увлекаются спортом.

3) Некоторые драмы написаны стихами.

4) Некоторые млекопитающие могут летать.

5) Всякое условное суждение является сложным.

6) В общеотрицательных суждениях предикат распределен.

7) В равносторонних треугольниках все углы равны.

8) Все равносторонние треугольники являются равноугольными треугольниками.

9) Некоторые люди пишут неграмотно.

10) Не все люди пишут грамотно.

11) Ни один градиент не является скаляром.

12) Все градиенты — векторы.

13) Всякая группа есть алгебра.

14) Ни один субъективный идеалист не является материалистом.

5. В каких из приведенных ниже примеров существуют формальные основания для простого обращения — без ограничения?

1) Самым глубоким озером мира является Байкал.

2) А. С. Пушкин был убит на дуэли в 1837 г.

3) А. С. Пушкин был убит на дуэли Дантесом.

4) А. С. Пушкин был убит в 1837 г. на дуэли с Дантесом.

5) Логика — наука о мышлении.

6) Логика есть наука об условиях правильного мышления.

7) Равносторонний треугольник является равноугольным.

8) Всякий прямоугольный ромб является равносторонним прямоугольником.

9) Квадратом называется всякий равносторонний прямоугольник.

6. Будет ли логической ошибкой обращение с ограничением там, где возможно обращение без ограничения?

7. Является ли переход от первого ко второму суждению в приведенных ниже примерах обращением суждений? Если это обращение, то правильно ли оно сделано?

1) Диагонали квадрата, пересекаясь, делятся пополам. Диагонали, пересекаясь, делятся пополам в квадрате.

2) Он — малый не дурак. Он — дурак не малый.

8. Является ли второе в приведенных ниже парах суждений логическим следствием первого?

1) Все повествовательные предложения выражают суждения. Некоторые из предложений, выражающих суждения, являются повествовательными.

2) Ни одно существительное не изменяется по временам.

Ни одно слово, изменяющееся по временам, не является существительным.

3) Ни одно понятие не может быть без содержания.

Ни одна мысль, лишенная содержания, не является понятием.

4). Некоторые суждения не являются определениями. Некоторые определения не являются суждениями.

5) Квадрат — один из видов прямоугольника.

Одним из видов прямоугольника является квадрат.

6) Акула — наиболее опасный морской хищник.

Наиболее опасным морским хищником является акула.

7) Не все металлы — твердые тела. Не все твердые тела — металлы.

9. Правильно ли произведено обращение суждений?

1) Некоторые суждения содержат утверждение.

Некоторые мысли, содержащие утверждение, — суждения.

2) Некоторые слова являются существительными. Некоторые существительные являются словами.

3) Молекулы состоят из атомов.

То, что состоит из атомов, является молекулой.

4) Некоторые понятия являются предикатами суждений. Все предикаты суждений являются понятиями.

5) Некоторые существа, живущие в воде, — рыбы. Некоторые рыбы живут в воде.

6) Некоторые геометрические фигуры — треугольники. Некоторые треугольники — геометрические фигуры.

7) Все млекопитающие живут на суше.

Некоторые животные, живущие на суше, — млекопитающие.

8) Все учащиеся — студенты. Все студенты — учащиеся.

9) Не все учащиеся — студенты. Все студенты — учащиеся.

10. Известно, что следующие суждения истинны:

“Диагональ делит параллелограмм на две равновеликие части”. “Не все предложения выражают суждения”. “Логика изучает формы мышления”. “Некоторые химики были композиторами”. “Диагонали ромба взаимно перпендикулярны”.

Следует ли отсюда истинность суждений:

1) “Линия, делящая параллелограмм на две равновеликие части, является его диагональю”.

2) “Некоторые из средств выражения суждений не являются предложениями”.

3) “Наука, изучающая формы мышления, является логикой”.

4) “Иногда композиторы бывают одновременно химиками”.

5) “Четырехугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны, является ромбом”.

 

§ 5. Противопоставление предикату (контрапозиция)

 

1. Производя последовательно превращение и обращение, получите контрапозицию следующих суждений, если это соответствует правилам.

1) Все ангелы бесплотны.

2) Некоторые птицы не летают.

3) Некоторые птицы летают.

4) Все правильные силлогизмы имеют три термина.

5) В нашем море водится кефаль.

2. Является ли второе суждение следствием первого?

1) Иванушка-дурачок поймал жар-птицу.

Тот человек, который не поймал жар-птицы, не есть Иванушка-дурачок.

2)      Душем называется приспособление, под которым моются.

Ни одно приспособление, под которым не моются, не есть душ.

3) Некоторые люди — волшебники. Некоторые не волшебники не есть люди.

4) Не все люди грамотны. Не все неграмотные — люди.

5) Некоторые студенты были в музее. Некоторые люди, которые не были в музее, — студенты.

3. Какие из следующих суждений являются следствиями суждения “Не все то золото, что блестит”?

1) Не всякое золото блестит.

2) Не всякое блестящее — золото.

3) Есть такое золото, которое не блестит.

4) Некоторое золото блестит.

5) Некоторые блестящие вещи — золотые.

6) Некоторые блестящие вещи — не золотые.

7) Некоторые незолотые вещи блестят.

8) Некоторые не блестящие вещи — золотые.

9) Все золотые вещи блестят.

10) Некоторые незолотые вещи являются блестящими.

11) Существуют такие незолотые вещи, которые блестят.

 

§ 6. Выводы через ограничение

 

1. Являются ли следующие преобразования суждений выводами через ограничения?

1) Спутники Земли есть тела, вращающиеся вокруг Земли. Искусственные спутники Земли — искусственные тела, вращающиеся вокруг Земли.

2) Субъект суждения является термином.

Распределенный субъект суждения — распределенный термин.

3) Существительные являются знаменательными словами. Существительные мужского рода являются знаменательными словами мужского рода.

4) Электрон — элементарная частица.

Быстрый электрон — быстрая элементарная частица.

2. Какие выводы через ограничение в предыдущем параграфе не правомерны и почему?

3. Является ли второе из приведенных ниже пар суждений следствием первого?

1) Треугольник — геометрическая фигура.

Прямоугольный треугольник — прямоугольная геометрическая фигура.

2) Все кошки — хищники.

Все домашние кошки — домашние хищники.

3) Самолет — средство сообщения.

Быстрый самолет — быстрое средство сообщения.

4) Все шахматисты—'спортсмены.

Все сильные шахматисты — сильные спортсмены.

5) Все глаголы — слова.

Все длинные глаголы — длинные слова.

6) Местоимения — слова.

Длинные местоимения — длинные слова.

7) Собака — друг человека.

Умная собака — умный друг человека.

8) Прямоугольником называется всякий четырехугольник, у которого все углы прямые.

Большой прямоугольник — это большой четырехугольник, у которого все углы прямые.

9) Летучая мышь — не птица.

Быстрая летучая мышь не есть быстрая птица.

10) Вопрос не является суждением.

Неправильный вопрос не является неправильным суждением.

11) Некоторые суждения не обращаются.

Некоторые истинные суждения не обращаются в истинные суждения.

12) Некоторые студенты нашей группы — спортсмены.

Некоторые хорошие студенты нашей группы — хорошие спортсмены.

 

 

ГЛАВА III. КАТЕГОРИЧЕСКИЙ СИЛЛОГИЗМ

 

§ 1. Структура категорического силлогизма

 

I. Определите отношения по объему терминов двух первых суждений, выразив их графически. Можно ли на основании этих отношений определить соотношение между терминами третьего суждения?

1)      Названия всех планет — имена собственные.

      Все имена собственные пишутся с большой буквы.

      Названия всех планет пишутся с большой буквы.

2) Все квадраты — ромбы.

    Все квадраты — прямоугольники.

    Некоторые прямоугольники — ромбы.

3) Ни один вектор не является векторным пространством.

     Всякая матрица — вектор.

     Ни одна матрица не является векторным пространством.

4) Слово “борьба” — существительное.

    Слово “борьба” обозначает действие.

    Некоторые существительные обозначают действие.

5) Всякое непосредственное умозаключение имеет одну посылку.

    Силлогизм не относится к умозаключениям, имеющим одну посылку.        

    Силлогизм не является непосредственным умозаключением.

2. Определите заключение и посылки в следующих силлогизмах. Сформулируйте основания, по которым вы это делаете.

1) Береза поглощает углекислоту, так как береза — растение, а все растения поглощают углекислоту.

2) Все натуральные числа вещественны, так как они рациональны, а все рациональные числа вещественны.

3) Все рациональные числа вещественны; следовательно, все натуральные числа вещественны, так как они рациональны.

4) Некоторые существительные существительные обозначают действие, так как слово “борьба” обозначает действие, а это слово — существительное.

5) Все моря соединяются с другими морями; поэтому Каспийское море — не море, так как оно не соединяется с другими морями.

6) Некоторые существительные обозначают действие. Слово “борьба” обозначает действие. Поэтому оно — существительное.

7) Каспийское море — не море. Каспийское море не соединяется с другими морями. Следовательно, все моря соединяются с другими морями.

8) Существительные не изменяются по временам. Прилагательные не являются существительными. Поэтому они не изменяются по временам.

9) Частноотрицательные суждения не обращаются. Поэтому общеотрицательные суждения обращаются, так как они не являются частноотрицательными.

3. Определите меньший, больший и средний термин, а также большую и меньшую посылку во всех примерах предыдущего упражнения.

 

§ 2. Общие правила силлогизма

 

1. Соблюдены ли правила о количестве терминов в следующих примерах?

1) Все углы треугольника равны в сумме 180°. Данные углы являются углами треугольника. Следовательно, они равны в сумме 180°.

2) Бегемоты живут в воде.

Гиппопотамы живут в Африке.

Значит, некоторые африканские животные живут в воде.

3) Одесская область — часть Украины, а Украина — член Организации Объединенных Наций. Следовательно, Одесская область — член ООН.

2. Нарушаются ли правила распределенности терминов в примерах упражнения 2 предыдущего параграфа?

3. Соблюдаются ли общие правила силлогизма в следующих примерах:

1) Некоторые кошки ласковы.

Некоторые кошки живут у нас во дворе.

Следовательно, некоторые кошки, живущие у нас во дворе,

ласковы.

2) Все акулы — хищники.

В нашем море есть рыбы, которые не являются акулами. Значит, в нашем море есть рыбы, которые не являются хищниками.

3) Некоторые разбойники благородны, а все благородные люди заслуживают уважения. Следовательно, разбойники заслуживают уважения.

4) Пауки не есть насекомые. Значит, мы не есть пауки, так как и мы не насекомые.

5) Пауки не есть насекомые и мы не есть насекомые. Значит, мы — пауки.

6) Никто из нас не курит.

Никто из нас не депутат Верховной Рады. Значит, некоторые из некурящих не являются депутатами Верховной Рады.

7) Ни одна корова не ест мясо. Некоторые коровы не бодаются. Значит, существуют такие животные, которые не едят мясо и не бодаются.

      8) Ни один материалист не является объективным идеалистом. Ни один  

      материалист не является субъективным идеалистом. Значит, существуют      

      такие философы, которые не являются ни субъективными идеалистами, 

      ни объективными идеалистами.

 4. Правильно ли построены следующие силлогизмы? Выясните допущенные ошибки.

1) Идеалистические теории противоречат фактам, а эта теория — не идеалистическая, поэтому она фактам не противоречит.

2) Все рыбы дышат жабрами, кашалот не дышит жабрами. Следовательно, кашалот — не рыба.

3) Конечно, ни один снайпер не может иметь плохое зрение, но N — не снайпер, поэтому он, может быть, имеет плохое зрение.

4) Многие из нас хорошие спортсмены. Многие из нас в то же время хорошо учатся. Следовательно, можно одновременно быть хорошим спортсменом и хорошо учиться.

5) Ни одна птица не имеет зубов. Летучая мышь имеет зубы. Следовательно, летучая мышь — не птица.

6) Русские изобрели радио. Попов — русский. Попов изобрел радио.

7) Некоторые змеи не ядовиты. Все удавы — змеи. Следовательно, ни один удав не ядовит.

8) Земля — планета, так как все планеты вращаются вокруг Солнца, а Земля вращается вокруг Солнца.

9) Логика изучает формы и законы правильного мышления. Теория понятия — часть логики. Следовательно, теория понятия изучает формы и законы правильного мышления.

10) Слово “velocity” переводится на русский язык “скорость”. “Rapidity” — не “velocity”. Следовательно, “rapidity” не переводится на русский словом “скорость”.

11) Всякий правильный силлогизм имеет 3 термина. В данном рассуждении нет 3-х терминов. Следовательно, оно является неправильным.

12) а. Теленок имеет только одну голову. Существо, находящееся в Рыбинском музее, имеет две головы. Следовательно, это не теленок.

b. Всякое существо, порожденное коровой, является теленком. Существо, находящееся в Рыбинском музее, порождено коровой. Следовательно, это существо — теленок.

13) Существительных на “-мя” всего десять. Эти слова являются существительными на “-мя”. Следовательно, этих слов всего десять.

5. Возьмите несколько правильных и несколько неправильных силлогизмов из предыдущего упражнения и изобразите с помощью кругов Эйлера соотношения между их терминами. Покажите, почему в одних случаях вывод вытекает, а в других — не вытекает из данных посылок.

6. Приведите пример правильного и пример неправильного силлогизма. Квалифицируйте допущенную ошибку. Покажите с помощью кругов Эйлера, почему вывод не вытекает из посылок.

7. Почему в теории силлогизма не делается различия между общими и единичными суждениями?

 

§ З. Фигуры силлогизма и их специальные правила

1. Определите фигуры следующих силлогизмов. В первой фигуре отметьте модус Barbara.

1) Некоторые коммутативные кольца являются телами, а всякое коммутативное кольцо — кольцо. Следовательно, некоторые тела являются кольцами.

2) Некоторые тела не являются коммутативными кольцами. Всякое тело — кольцо. Значит, некоторые кольца не являются коммутативными.

3) Поток заряженных частиц отклоняется в магнитном поле. Поэтому у-лучи не представляют собой потока заряженных частиц, так как они в магнитном поле не отклоняются.

4) Некоторые ромбы — квадраты, так как все квадраты — прямоугольники, а некоторые прямоугольники являются ромбами.

2.      Являются ли приведенные ниже умозаключения примерами силлогизмов 1-й фигуры, и если да, то соблюдаются ли ее правила?

1) Ни одна планета не светит собственным светом, но многие

тела солнечной системы — не планеты, поэтому некоторые тела солнечной системы светят собственным светом.

2) Ни один человек, не изучавший логики, не знает ее. Соловьев изучал логику, следовательно, он ее знает.

3) Правильные силлогизмы с истинными посылками дают истинный вывод. Этот силлогизм дал неистинный вывод, поэтому этот силлогизм неправилен.

4) Мышление — психический процесс.

Психические процессы имеют место и у животных. Следовательно, мышление имеет место и у животных.

5) Некоторые хищники не приносят вреда человеку, так как ни одно домашнее животное не приносит вреда человеку, а некоторые из них являются хищниками.

6) Ни один из не имеющих среднего образования не может поступить в вуз. Петров не имеет среднего образования и поэтому не может поступить в вуз.

3. Приведите пример правильного и неправильного силлогизма первой фигуры.

4. Относятся ли приведенные ниже силлогизмы ко второй фигуре, и если да, то соблюдаются ли ее правила?

1) Ограниченные последовательности имеют предел. Данная последовательность имеет предел. Следовательно, данная последовательность ограниченна.

2) Почти все существительные русского языка изменяются по падежам, но это слово не изменяется по падежам. Следовательно, оно не является существительным русского языка.

3) Все предметы, имеющие форму шара, отбрасывают круглую тень, этот предмет отбрасывает круглую тень. Следовательно, он имеет форму шара.

4) Все рыбы дышат жабрами. Акула дышит жабрами. Следовательно, акула — рыба.

5. Приведите пример правильного и неправильного силлогизма второй фигуры.

6. Относятся ли приведенные ниже силлогизмы к третьей фигуре и соблюдаются ли ее правила?

1) Натрий — металл, но натрий не тонет в воде, значит, некоторые вещества, тонущие в воде, — не металлы.

2) Натрий — металл, но натрий не тонет в воде, значит, некоторые металлы не тонут в воде.

3) Все прилагательные обозначают признак предмета. Многие прилагательные оканчиваются на “-ый”. Следовательно, некоторые слова, обозначающие признак предмета, оканчиваются на “-ый”.

4) Все квадраты — ромбы, и все квадраты — прямоугольники, значит, некоторые ромбы — прямоугольники.

5) Нейтрон не имеет электрического заряда Нейтрон — элементарная частица

Некоторые частицы, имеющие электрический заряд, являются элементарными.

6) Нейтрон — элементарная частица, но вместе с тем нейтрон не имеет электрического заряда. Отсюда вытекает, что некоторые элементарные частицы не имеют электрического заряда.

7. Приведите пример правильного и пример неправильного силлогизма третьей фигуры.

8. Являются ли приведенные ниже силлогизмы силлогизмами четвертой фигуры? Выполняются ли правила этой фигуры?

1) Все тюлени — ластоногие.

Ни одно ластоногое не есть рыба. Ни одна рыба не есть тюлень.

2) Петров — вот фамилия победителя соревнований. Петров — студент нашей группы. Следовательно, в нашей группе учится победитель соревнований.

3) Некоторые прилагательные пишутся с большой буквы, так как некоторые слова, пишущиеся с большой буквы, являются прозвищами, а некоторые прозвища являются прилагательными.

9. Приведите пример правильного и пример неправильного силлогизма четвертой фигуры.

10. Какие из суждений, записанных ниже черты, являются следствием посылок, записанных выше ее?

1) Некоторые существительные мужского рода обозначают взрослых людей

Ни одно существительное, обозначающее взрослого человека, не является существительным среднего рода .

А. Некоторые слова среднего рода не являются словами мужского рода.

В. Ни одно существительное мужского рода не является существительным среднего рода.

С. Ни одно существительное среднего рода не обозначает человека.

2) Не все хвойные деревья остаются зелеными на зиму.

Некоторые деревья нашего леса остаются зелеными на зиму.

 А. Некоторые деревья нашего леса — хвойные.

 В. Все деревья, остающиеся зелеными на зиму, растут в нашем лесу.

 С. Некоторые деревья нашего леса не остаются зелеными на зиму.

11 .Можно ли подобрать в приведенных примерах такие пары суждений, чтобы суждения, записанные под чертой, являлись их логическими следствиями?

1) Некоторые прямоугольники — квадраты.

Некоторые прямоугольники не квадраты.

Все квадраты — прямоугольники.

Некоторые квадраты — ромбы.

Некоторые ромбы — квадраты.

Все квадраты — ромбы.____________

      Некоторые ромбы — прямоугольники.

2) Ни одно крестьянское восстание в Европе не закончилось победой восставших.

Некоторые крестьянские восстания в Европе были длительными.

Некоторые крестьянские восстания в Китае приводили к смене династий.

Восстание Пугачева было крестьянским восстанием в Европе.

Восстание краснобровых было крестьянским восстанием в Китае.

А. Восстание Пугачева не закончилось победой восставших.

В. Некоторые длительные крестьянские восстания в Европе не закончились победой восставших.

С. Некоторые крестьянские восстания, не закончившиеся победой восставших, приводили к смене династий.

D. Восстание краснобровых не закончилось победой восставших.

Е. Восстание краснобровых окончилось сменой династий.

12. Об известном китайском софисте Гунсунь Луне рассказывают следующую историю. Гунсунь Лун верхом на белой лошади подъехал к пограничной страже. Начальник стражи сказал, что проходить стражу могут люди, а лошадей проводить не разрешается. Гунсунь Лун нашел выход из положения с помощью рассуждения, которое можно свести к следующему силлогизму:

 Лошадь может быть рыжей.

Белая лошадь не может быть рыжей.

Следовательно, белая лошадь не есть лошадь.

Начальник стражи, удивленный таким рассуждением, пропустил Гунсунь Луна с его лошадью (Ян Юн-го. История древнекитайской идеологии).

Вскройте логическую ошибку в софизме Гунсунь Луна.

 

§ 4. Суждения со сложными предикатами

 в категорическом силлогизме

 

1. Какие из приведенных ниже силлогизмов удовлетворяют, а какие не удовлетворяют общим правилам силлогизма?

1) Все квадраты — необходимо прямоугольники. То, что мы нарисовали на доске — квадраты. Значит, то, что мы нарисовали на доске, — необходимо прямоугольники.

2) То, что мы нарисовали на доске, необходимо квадраты. А квадраты — необходимо прямоугольники. Значит, то, что мы нарисовали на доске — необходимо прямоугольники.

3) Все квадраты — необходимо прямоугольники. То, что мы нарисовали на доске, возможно, квадраты. Значит, то, что мы нарисовали на доске, возможно, необходимо является прямоугольником.

2. Можно ли рассматривать следующие умозаключения как категорические силлогизмы? Если да, то приведите их к обычной форме категорического силлогизма, проанализируйте структуру и определите их состоятельность.

1)      Если параллелограмм имеет взаимно перпендикулярные диагонали, то он является ромбом.

      Четырехугольник ABCD — параллелограмм.

      Следовательно, если четырехугольник ABCD имеет взаимно   

      перпендикулярные диагонали, то он является ромбом.

2)      Трапеция может быть равнобочной или неравнобочной. 

      Параллелограмм ABCD не может быть неравнобочным. 

      Следовательно, параллелограмм ABCD — не трапеция.

3) Я сдам экзамен на “хорошо” или “отлично”.

    Я не сдал экзамен ни на “хорошо”, ни на “отлично”.

    Следовательно, я — это не я.

 

§ 5. Энтимемы

 

1. Превратите следующие силлогизмы в энтимемы, опуская большую, меньшую посылку и заключение.

1) Все учителя — педагоги. Он учитель. Следовательно, он — педагог.

2) Все учителя — педагоги. Он педагог. Следовательно, он — учитель.

3) Все учителя — педагоги. Он не педагог, значит, он не учитель.

4) Все учителя — педагоги. Значит, он не педагог, так как он не учитель.

2. Превратите в энтимемы силлогизмы из упражнения 4 § 2.

3. Выражают ли следующие предложения энтимемы?

1) Тут раздался легкий свист — и Дубровский умолк.

2) Рикки-Тикки лежал, не разжимая зубов, и глаза у него были закрыты, так как он считал себя мертвым.

3) Он был глубоко опечален, так как накануне был праздник, и весь народ собрался в трактире.

4) Поскольку сопротивление было бесполезно, гарнизон крепости сдался.

5) Не зная правил логики, он долго не мог понять, в чем же здесь заключается ошибка.

6) Ввиду того, что войска Кутузова преградили путь на юг, армии Наполеона пришлось отступать по смоленской дороге.

7) Он не решит эту задачу, так как не знает математики.

8) Это суждение, поскольку оно является частноотрицательным, не обращается.

4. Определите термины силлогизма по следующим энтимемам. Те термины, которые встречаются в данных суждениях только по одному разу, свяжите новым суждением. Сколькими способами можно установить эту связь?

1) Это слово — существительное, так как отвечает на вопрос что?

2) Во всех треугольниках сумма углов равна 180°, следовательно, и в прямоугольном треугольнике сумма углов равна 180°

3) Частноутвердительные суждения не обращаются, а это суждение — частноотрицательное.

5. Восстановите энтимемы, полученные вами при выполнении упражнения 1, так, чтобы получились другие силлогизмы, чем те, которые даны в упражнении 1.

6. Сравните силлогизмы упражнения 1 и те, которые были получены вами при выполнении предыдущего упражнения. Определите состоятельность тех и других. Какие фактические ошибки силлогизмов упражнения 5 соответствуют логическим ошибкам упражнения 1?

7. Восстановите следующие энтимемы до полных силлогизмов, стремясь к тому, чтобы восстанавливаемые суждения были истинными. Проверьте состоятельность полученных умозаключений.

1) Конференция была хорошо организована. Следовательно, она прошла успешно.

2) Конференция прошла успешно, следовательно, она была хорошо организована'

3) Этот силлогизм не имеет трех терминов, и поэтому он неправильный.

4) Данный силлогизм имеет три термина и поэтому он правилен.

5) Все львы — хищники; следовательно, морские львы — тоже хищники.

6) Все планеты вращаются вокруг Солнца; следовательно, Земля — планета.

7) Натрий не тонет в воде; следовательно, не все металлы тонут в воде.

8) Каспийское море имеет соленую воду, так как все моря имеют соленую воду.

9) Ни одно существительное не изменяется по временам, следовательно, ни одно причастие не является существительным.

10) Наблюдаемое нами небесное тело движется под большим углом к плоскости эклиптики. Это означает, что оно не является планетой солнечной системы.

11) Эта комната — светлая, так как имеет несколько окон.

12) Меркурий не имеет атмосферы; значит, не все планеты имеют атмосферу.

8. Проанализируйте следующие отрывки. Приведите рассуждения, встречающиеся в них, в форме энтимемы. Восстановите энтимемы до полных силлогизмов и проверьте их логическую состоятельность.

1) “Если вы, ребята, думаете, что водяных не бывает, то я 'вам скажу, что бывают, и еще какие!

Вот, например, хоть бы и у нас, когда мы еще только на свет родились, жил уже один водяной в реке Упе, под плотиной, а другой в Гавловицах — знаете, там, возле деревянного моста. А еще один проживал в радечском ручье. Он-то как раз однажды пришел к моему папаше — доктору вырвать зуб и за это ему принес корзинку серебристых и розовых форелей, переложенных крапивой, чтобы они были все время свежими. Сразу увидели, что это водяной: пока он сидел на зубоврачебном кресле, там натекла лужица. А еще один был у дедушкиной мельницы, в Тронове; он под водой, у плотины держал шестнадцать лошадей, потому-то инженеры и говорили, что в этом месте в реке шестнадцать лошадиных сил” (К. Чапек. Сказка про водяных).

2) “Увидев красавицу Мандорари, Хануман сначала подумал. не сама ли Сита перед ним. Но тут же он спросил себя, возможно ли, чтобы Сита, украшенная драгоценностями, могла наслаждаться сладчайшим сном здесь, на этом благоуханном ложе? Нет, это невозможно. Это не могла быть Сита” (Прем Чанд. Сказание о Раме).

3) “— Сними свою шляпу! — приказал король шляпочнику.

— Это не моя шляпа, — ответил шляпочник.

— Краденая! — воскликнул король, обращаясь к присяжным, которые немедленно отметили на досках этот факт.

— Я держу ее для продажи, — добавил шляпочник в виде объяснения, —я совсем не имею собственной. Яшляпочник” (Л. Кэррол. Алиса в стране чудес).

4) “Вода, например, не горит. А хотите знать почему? Да потому же, почему не горит зола.

Вода сама получилась от горения” (М. Ильин. Сто тысяч почему).

5) “Митрофан. И теперь как шальной хожу. Ночь всю такая

дрянь в глаза лезла.

Г-жа Простакова. Какая же дрянь, Митрофанушка?

Митрофан. Да то ты, матушка, то батюшка” (Д. Фонвизин.

Недоросль).

9. “Как и все члены королевских семейств Европы, Симеон II свободно говорит по-английски” (из газет).

Какова логическая структура выраженной здесь мысли? Если это энтимема — восстановите ее до полного силлогизма. Определите его фигуру и модус. Если это не энтимема, то что это такое?

 

§ 6. Сложные силлогизмы и сориты

 

1. Известно, что данное слово отвечает на вопрос, что делает предмет. Составьте полисиллогизм, с помощью которого можно было бы определить, как (т. е. вместе или отдельно) пишется это слово с частицей “не”.

2. Проанализируйте следующие полисиллогизмы и выясните их состоятельность.

1)      Все планеты вращаются вокруг Солнца.

      Земля вращается вокруг Солнца.

      Следовательно, Земля является планетой.

      Все планеты шарообразны.

      Земля — планета.

     Следовательно, Земля шарообразна.

     Все шарообразные тела отбрасывают круглую тень.

     Земля шарообразна.

    Следовательно, Земля отбрасывает круглую тень.

2)      Все слова, обозначающие предмет, являются существительными. Слово “жюри” обозначает предмет.

      Значит, слово “жюри” — существительное.

     Слово “жюри” не изменяется по падежам.

     Слово “жюри” — существительное.

     Следовательно, некоторые существительные не изменяются по 

     падежам.

     Некоторые существительные — иностранного происхождения. 

     Некоторые существительные не изменяются по падежам. 

     Следовательно, некоторые существительные иностранного 

     происхождения не изменяются по падежам.

3. Может ли заключение полисиллогизма быть общим, если какая-либо из посылок в просиллогизмах (предшествующих силлогизмах) окажется частной?

4. Может ли заключение полисиллогизма быть утвердительным, если какая-либо посылка в просиллогизмах окажется отрицательной?

5. Каким будет заключение полисиллогизма, если в просиллогизмах встречается частноотрицательная посылка?

 

6.

1)      Все шарообразные тела отбрасывают круглую тень.

      Все планеты шарообразны. Земля — планета.  

      Земля отбрасывает круглую тень.

2) Земля — планета.

    Все планеты шарообразны.

    Все шарообразные тела отбрасывают круглую тень.

    Земля отбрасывает круглую тень.

Если приведенные умозаключения — сориты, то является ли пропущенное заключение просиллогизма меньшей или же большей посылкой эписиллогизма (последующего силлогизма)? В первом случае сорит был бы аристотелевским, во втором — гоклениевским (Р. Гоклений (ок. 1547 —1628) — немецкий логик).

7. Превратите следующие сориты, определив их тип, в развернутые полисиллогизмы.

1) Все квадраты — прямоугольники.

    Все прямоугольники — параллелограммы.

    Все параллелограммы — трапеции.

    Значит, все квадраты — трапеции.

2) Все параллелограммы — трапеции.

    Все прямоугольники — параллелограммы.

    Все квадраты — прямоугольники.

    Все квадраты — трапеции.

8. Проанализируйте следующий сорит и определите, состоятелен ли он.

1)      Всякий сорит является сложным сокращенным силлогизмом.

      Всякий сложный сокращенный силлогизм является сложным  

      силлогизмом.

      Всякий сложный силлогизм является силлогизмом.

      В силлогизме есть три термина.

     Следовательно, во всяком сорите есть три термина.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ ДАЛbНЕЙШЕГО ИЗУЧЕНИЯ

ПО ТЕМЕ “АТРИБУТИВНАЯ ЛОГИКА”

 

Аристотель. Первая аналитика. Книга первая. Гл. I-VII. Соч., Т. I, M., 1978, с. 119-135.

Дошедшее до наших дней оригинальное изложение силлогистики, являющееся основным источником для исследования в этой области на протяжении тысячелетий. Изложение очень концентрированное, поскольку представляет собой конспект лекций, которые Аристотель читал в Ликее. Однако, понимание текста не требует никаких предварительных познаний и потому доступно всем. В указанном издании текст снабжен подробными примечаниями, которые помогают понять все неясные места.

В. Ф. Асмус. Логика. Изд. полит, литературы, М., 1947. — 387 с. До сих пор один из лучших учебников по традиционной атрибутивной логике. Отличается полнотой изложения и точностью формулировок. ”

Д. П. Горский. Логика. М., Учпедгиз, 1963. — 292 с. Первый из учебников, в котором используются элементы математической логики.

К. П. Руденко. Логiка. Киiв, 1976. — 303 с. Наиболее полное изложение логики на украинском языке. Элементы математической логики широко используются при рассмотрении проблем традиционной логики.

А. Д. Гетманова. Учебник по логике. М., Владос, 1994. — 303 с. Исправленный и дополненный вариант ранее изданного учебника логики. В книгу включена новая глава, раскрывающая этапы развития логики как науки и основные направления современной символической логики.

Ю. В. Ивлев. Логика. М., 1994. — 350 с. Переработка ранее изданного “Курса лекций по логике”. Характеризуется органическим единством материала традиционной и символической логики.

Е. К. Войшвилло. Понятие как форма мышления. М., 1989. Наиболее полное в логической литературе изложение современной теории понятия. Для того, чтобы вполне овладеть материалом книги, требуется знание логики предикатов.

П. В. Таванец. Вопросы теории суждения. М., 1955. Систематическое изложение теории суждений. Особенное внимание уделено соотношению суждения и предложения и классификации суждений. В книге содержится также теория непосредственных умозаключений.

Д. П. Горский. Определение. М., 1974. Всестороннее исследование проблемы определения в современной логике. Особое внимание уделено видам определений. Понимание книги требует знакомства с математической логикой.

Корнел Попа. Теория определения. Перевод с румынского. М., 1976. Содержит исторический очерк развития теории определения. Особое внимание уделено остенсивным и операциональным определениям.

Ю. А. Воронин. Теория классифицирования и ее приложения. Новосибирск, 1985. Рассмотрена общая теория классификации и ее приложения в спорте, геологоразведке и медицине.

С. С. Розова. Классификационная проблема в современной науке. Новосибирск, 1986. Основное внимание уделяется типологии и гносеологическим проблемам классификации.

Я. Лукасевич. Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики. М., 1959. Классический труд, в котором, в отличие от Д. Гильберта и других представителей математической логики, аристотелевская силлогистика рассматривается как особая аксиоматическая система, которая сохраняет свое значение вплоть до настоящего времени.

А. Л. Субботин. Теория силлогистики в современной формальной логике. М., 1965. Книга развивает идейные установки Я. Лукасевича. Предполагает знакомство с некоторыми разделами математики и математической логики.

Я. П. Хилькевич. Проблема расширения традиционной силлогистики. Минск, 1981. Знание математического аппарата не предполагается.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЧАСТb III. РЕЛЯЦИОННАЯ ЛОГИКА

 

 

 

ГЛАВА I. ЛОГИКА ОТНОШЕНИЙ

 

 

§ L Изменение категориального базиса логики

 

Есть в Шотландии гора Бен-Невис. Это самая высокая гора во всей Великобритании. Однако, она ниже Монблана. А сам Монблан, как выяснилось, ниже Эвереста. Спрашивается, в каком отношении находится Бен-Невис к Эвересту? Нужны ли для ответа на этот вопрос какие-либо дополнительные измерения? Конечно, нет, ибо, как полагали некоторые шотландские логики середины XIX в., ответ необходимо следует из данных посылок:

Бен-Невис ниже Монблана

Монблан ниже Эвереста

Бен-Невис ниже Эвереста.

Вряд ли у кого из наших читателей возникнет сомнение в правомерности полученного вывода. Однако, рассматриваемое в качестве силлогизма, это умозаключение содержит ошибку — учет-верение терминов. В самом деле, здесь есть меньший термин — субъект заключения “Бен Невис”, больший термин — предикат заключения — “Гора, которая ниже Эвереста”. А вот среднего нет, ибо есть не один, а два термина: в меньшей посылке “Гора, которая ниже Монблана”, а в большей — сам Монблан. Не может быть Монблан ниже Монблана и гора, которая ниже Монблана, — самим Монбланом!

Возможны два выхода из создавшегося положения. Один — не считать вывод правомерным как содержащий грубую логическую ошибку. Второй — не считать аристотелевские силлогизмы единственно возможной формой умозаключения на основе категорических посылок.

Шотландский логик де Морган и его последователи пошли по второму пути. Они отказались от структуры силлогизма. Но для этого им нужно было по-иному рассмотреть структуру суждения. Вместо расчленения суждения на субъект, предикат и связку было предложено в структуре суждения выделить соотносящиеся предметы и отношение между ними. Предметы были обозначены малыми латинскими буквами а и b. Отношение — большой латинской буквой R — первой в слове relatio (отношение). Таким образом, вместо схемы суждения S — Р получилась схема aRb. Здесь а и b — любые предметы и, соответственно, R — любое, а не только какое-то, специально логическое, отношение, a, b и R — переменные, а не константы. Например, указанную структуру имеют суждения: Днепр впадает в Черное море, Одесса южнее Киева, Ромео любит Джульетту, Дантес застрелил Пушкина на дуэли и т. д.

Таким образом, происходит категориальная метаморфоза. Вместо пары категории: вещьсвойство, как это было в атрибутивной логике, выдвигается иная пара: вещьотношение. Поэтому естественно, что новая логика получила название логики отношений.

Многие известные логики разделяли идеи логики отношений. В Англии это был Г. Спенсер, К. Рид, А. Сэджвик, во Франции — Лашелье, Ш. Серрюс1, в Германии — Кассирер, Вильденбандт, Риккерт, в России — Н. Грот2 и С. Поварнин3. В СССР сторонником логики отношений был В. Ф. Асмус4.

Логика отношений рассматривалась как новый этап развития логики, по отношению к которому аристотелевская логика становилась всего лишь частным случаем, не всегда существенным. Субъект суждения в схеме S есть Р становился частным случаем одного из соотносящихся предметов — а, предикат — частным случаем другого соотносящегося предмета — b, а связка “есть” или “не есть” — всего лишь частным случаем отношения R, имеющим место тогда, когда а и b представляют собой объемы понятий S и Р.

То, что традиционная логика ограничивается лишь этим типом отношений, приводит к тому, что большая часть типов умозаключений, используемых в повседневном мышлении, остается вне сферы, доступной ее анализу. Де Морган ссылается на простейший пример. Традиционная логика ничего не может сказать о правомерности следующего умозаключения: “Конь — животное. Значит, голова коня это голова животного”.

На место изучения логических свойств двух связок логика отношений ставит изучение логических свойств бесконечного многообразия различных отношений между вещами.

 

§ 2. Свойства отношений и схемы вывода

 

Среди свойств отношений были выделены четыре типа. Один тип объединяет свойства рефлексивности, нерефлексивности и антирефлексивности. Отношение будет рефлексивным в том случае, если каждый предмет будет иметь это отношение к самому себе. Например, для всех вещей таким будет отношение тождества. Для прямых линий — отношение параллельности, для людей — отношение “ровесник”.

Если же предмет может находиться в каком-то отношении сам к себе, а может и не находиться, то такое отношение будет нерефлексивным. Например, “любить”. Некоторые люди любят сами себя, и таких — большинство, а некоторые не любят. Антирефлексивные отношения не могут иметь место у вещи самой к себе. Например, никто не может быть больше себя, быть отцом себе, женой, дедушкой и т. д.

_______________

 1 Ш. Серрюс. Опыт исследования значения логики. М., 1948.

2 Н. Грот. К вопросу о реформе логики. Лейпциг, 1882.

' С. Поварнин. Лотка отношений. Пг. 1917, Логика. Петроград, 1916.

4 В. Ф. Асмус. Логика. М. ОГИЗ, 1947.

 

К другому типу свойств относится симметричность, несимметричность и антисимметричность. Симметричные отношения, имея место между предметами а и b, имеют место также и между b и а. Например, “похож”, “соучастник”, “брат или сестра” и т. д. Несимметричные отношения иногда имеют место лишь в одну сторону, например, “любит”. Антисимметричные отношения всегда имеют место лишь в одну сторону, например, “больше”, “отец”, “начальник”.

Третий тип свойств — это транзитивность, нетранзитивность, антитранзитивность. Транзитивные отношения, имея место, с одной стороны, между предметами а и b, а с другой — между b и с, будут иметь место также между а и с. Например, “больше”, “умнее”, “тяжелее” и т. д. Для нетранзитивных отношений это не обязательно. Например, “любить”, “ненавидеть”. Отношения антитранзитивные не могут удовлетворять приведенному выше соотношению. Например, “отец”, “дедушка”.

Свойства, относящиеся к рассмотренным трем типам, можно различным образом комбинировать друг с другом. Такие комбинации, в свою очередь, являются основанием для выражения особых типов отношений. Так, отношения типа равенства это такие отношения, которые являются одновременно рефлексивными, симметричными и транзитивными, например, “ровесник”. Отношения типа порядка — это отношения одновременно антирефлексивные, антисимметричные и транзитивные, например, “старше”.

К четвертой группе отнесены такие свойства отношений, как функциональность, нефункциональность и антифункциональность. Функциональные отношения сопоставляют объектам а только один объект b. Так, детей у отца может быть много, но у каждого из них только один отец. Поэтому отношение “отец” является функциональным. Соответственно, “сын” будет нефункциональным. Если отношение является функциональным в обоих направлениях — как от а к b, так и от b к а, то такое отношение является взаимнооднозначным. Таким в моногамном обществе является отношение “муж”, поскольку жена имеет только одного мужа и, наоборот, муж имеет только одну жену. В первобытном же обществе это отношение не было функциональным.

В качестве антифункционального отношения можно привести “читать разные книги”. Если человек читает только одну книгу, то это будет функциональное отношение. Если допускаются разные книги для чтения, то отношение чтения становится нефункциональным, если же книги обязательно разные — отношение становится антифункциональным.

Знание логических свойств отношений является основанием для построения соответствующих умозаключений. Первый и второй классы свойств дают основания для непосредственных умозаключений. Так, если известно, что отношение R является рефлексивным, то будет правомерным следующее умозаключение:

 

                                                                                                                                      (I)

 

Линия а параллельна линии b. Значит, а параллельна сама себе. Если R — антирефлексивное отношение, правомерным будет иной вывод:

                                                                                                                                 (II)

 

а больше b, значит а не может быть больше самого себя.

Симметричность отношения определяет правомерность умозаключения по схеме:

                                                                                                                                     (III)

а брат или сестра b. Значит, b брат или сестра а. Соответственно, антисимметричность означала бы:

 

                                                                                                                              (IV)

а умнее b, значит неверно, что b умнее а.

Естественно, что более интересны выводы не из одной, а двух посылок. Это возможно на основе знаний о транзитивности или антитранзитивности отношений:

 

                                                                                                                     (V)

Примером такого умозаключения может быть тот, с которого мы начали настоящий раздел, а именно, — вывод о том, что Бэн-Невис ниже Эвереста.

Вывод на основе антитранзитивности имеет вид:

 

                                                                                                                   (VI)

Например, а — отец b, b — отец с. Значит, а никак не может быть отцом с. Однако, далеко не всегда ясно, является ли то или иное отношение антитранзитивным или же просто нетранзитивным. В последнем случае вывод невозможен, как, например, в следующем рассуждении: а любит b, b любит с, значит, неверно, что а любит с. Все трое могут любить друг друга.

На основе функциональности отношения R возможен вывод о тождестве, которое мы будем выражать символом ≡ .

                                             

                                                                                                                        (VII)

Интересный пример такого рода вывода дается в одном из произведений английского писателя Теккерея: “Один старый аббат, беседуя в кругу интимных друзей, случайно сказал: священнику приходится испытывать странные вещи; вот, сударыня, первый исповедовавшийся у меня был убийца. — При этих словах знатнейший дворянин окрестности входит в комнату. — А, аббат, вы здесь; вы знаете, господа, я был первым исповедовавшимся у аббата, и, ручаюсь, моя исповедь поразила его!” (Цит. по статье Д. П. Горского).

В качестве посылок вывода здесь используются следующие суждения: “Аббат первым исповедовал убийцу”, “Аббат первым исповедовал только что зашедшего в комнату”. Формально — a R b, a R с. Поскольку отношение “первым исповедовал” является функциональным, т. к. первым исповедовать можно лишь одного человека, из этих посылок следует вывод b ≡ с, т. е. то, что в комнату зашел убийца.

Свойства отношений можно определить лишь изучая ту или иную предметную область, из которой эти отношения выделяются. Так, например, на основе исследования причинной зависимости строятся “причинные умозаключения”1. Под причинной зависимостью понимается зависимость двух видов: 1) существование явления А необходимо сопровождается существованием явления Б; 2) какая-нибудь перемена необходимо сопровождается другой переменой.

Явление может вызываться разными причинными комплексами. В наиболее полном и общем виде причинное умозаключение имеет такую общую посылку: В случае, если есть налицо какой-либо причинный комплекс явления Б (и только в этом случае), есть и это явление Б.

Эта посылка делает возможным четыре фигуры причинного умозаключения. 1) Один из полных причинных комплексов налицо. Значит, Б существует; 2) нет ни одного полного причинного комплекса явления Б. Значит, Б нет; 3) явление Б есть; значит, есть и какой-либо причинный комплекс его; 4) явления Б нет; значит, нет ни одного полного причинного комплекса (с. 171).

 

§ 3. Критика логики отношений

 

Приведенный выше пример показывает, что логика отношений в своих практических применениях сближается с конкретными теориями, здесь — с теорией причинности, и в значительной мере утрачивает формальный характер. Это обстоятельство стало одной из причин многочисленных дискуссий вокруг логики отношений. Некоторые, как, например, М. С. Строговоч (Логика, М., Госполитиздат, 1949, с. 267-274) отрицали существование особых, несиллогических умозаключений, стремясь их свести к традиционным формам вывода. Приемы такого сведения большей частью выглядели довольно искусственно, и мы на них не останавливаемся.

Особенно резко логику отношений критиковал Е. К. Войшвил-ло (Об одной логической концепции. Вопросы философии, 1957, № 6). Возражая против многих его аргументов (А. И. Уемов. Вещи, свойства и отношения. М., 1963, с. 154-162), нельзя не признать наличие в этой логике весьма существенного дефекта. Правомерность умозаключений обосновывается свойствами отношений. Однако, свойства отношений в большинстве случаев определяются через правомерность соответствующих умозаключений. Таким образом, возникает ситуация порочного круга. Утрачивая формальный характер, логика отношений перестает быть логикой.

________________________

1 С. И. Поварнин. Логика. Общее учение о доказательстве. Петроград, 1916, с. 162-172.

ГЛАВА II. ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ

 

§ 1. Основные понятия логики предикатов

 

Выше мы видели, что логика отношений нуждалась в формализации. Эта формализация была осуществлена математическими методами в рамках логики предикатов (Г. Фреге, Б. Рассел, А. Уайтхед, Д. Гильберт, П. Бернайс и т. д.). Математические методы были связаны прежде всего с использованием понятий теории множеств, на базе которых даются определения свойств и отношений. Понятие множества основоположником теории множеств Георгом Кантором определялось следующим образом: “Под “множеством” мы понимаем соединение в некое целое М определенных хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться “элементами” множества М)” (Труды по теории множеств. М., Наука, 1985, с. 173). Обратим внимание на то, что приведенное определение опирается на понятие “вещь” двояким способом. С одной стороны, вещь = предмет = объект выступает в качестве элементов множества, с другой — вещью-“целым” является и само множество. Существенно также использование фундаментального отношения различия, которое должно иметь место для любых элементов множества.

Приведенное определение множества не всегда рассматривается как исходное в современной теории множеств. Чаще всего оно связывается с “наивной” теорией множеств, в рамках которой возникают досадные парадоксы. Для устранения этих парадоксов построены различные аксиоматические теории множеств. В них множество обычно не определяется, а рассматривается как исходное, примитивное (в этом слове здесь нет ничего обидного) понятие, которое ясно само по себе.

На основе понятия множества дается определение другого важнейшего в математике понятия функции. “Элемент множества Еупроизвольной природы называется функцией элемента х, определенной на множестве произвольной природы, если каждому элементу х из множества EX соответствует единственный элемент у  принадлежащий Еу ” (Толковый словарь математических терминов. М., Просвещение, 1965).

Используя понятие функционального отношения, о котором шла речь выше, мы могли бы сказать, что понятие функции совпадает с понятием функционального отношения, определенного для каждого элемента из множества Ex. Через понятие функции определяется понятие предиката как особого рода функции. Эта функция имеет всего два значения. Одно значение — “истина”, другое значение — “ложь”. Аргументами же могут быть или отдельные предметы из множества Ех или же двойки, тройки, четверки, пятерки и, вообще, — n-ки предметов. Возьмем в качестве х излюбленный предмет рассуждений английских логиков середины XIX века — “герцог Веллингтон”. Несмотря на то, что герцог Веллингтон в ту пору еще не умер, ему приписывалось свойство “смертен”. Это свойство сопоставляло герцога с одним и только с одним элементом из множества {истина, ложь}. Очевидно, что этим элементом была “истина”, поскольку истинно, что “Герцог Веллингтон смертен”. Свойством же “великий поэт” герцог Веллингтон не обладал. Значит, это свойство сопоставляет герцогу другой элемент из множества {истина, ложь}. “Одесса — столица Аргентины” — здесь Одессе сопоставляется ложь, “Одесса — морской порт” — сопоставляется истина. Понятно, что число такого рода примеров можно увеличить до бесконечности, что, однако, мы делать не будем. Если предикат сопоставляет истине или лжи всего один предмет, считается, что предикат выражает свойство, если же два или больше предмета, то предикат выражает отношение. Так, отношение будет выражать предикат “победил” во фразе “Герцог Веллингтон победил Наполеона”. Этот предикат сопоставляет паре {Веллингтон, Наполеон} истину. Предикат же “является сыном” сопоставляет этой паре ложь. В рассмотренных примерах имеет место отношение между двумя предметами, называемое двухместным отношением. Если мы вовлечем в него еще один предмет, то получим трехместное отношение: “Веллингтон победил Наполеона в битве при Ватерлоо”. Здесь предикат сопоставляет трем предметам значение истины. Понятно, что число мест отношения таким образом можно увеличивать до бесконечности.

Изложенное понимание термина “предикат” отличается от того, которым мы пользовались выше, когда он обозначал некоторое понятие, соотнесенное с понятием, являющимся субъектом категорического суждения. Однако, в обоих случаях для обозначения предиката используется один и тот же символ — Р, который часто называют предикатором.

В отличие от логики отношений, в которой формула aRb предусматривает возможность рассмотрения лишь двухместных отношений, логика предикатов оперирует формулами, выражающими отношения любого числа мест: Р(х1, х2, ..., хn). Здесь Р — предикат, х1, х2, ..., хn — отдельные предметы, которым приписывается предикат. Поскольку предметов много, Р — отношение. Но в формуле Р(х1) предикат Р является свойством.

Если Р обозначает какой-то единичный, конкретный предикат, то Р называется предикатной константой. Если же Р — это какие-то предикаты, которых может быть много, то Р — предикатная переменная. Соответственно, х1, ..., хп как обозначения отдельных предметов — это предметные (индивидные) константы. Но предикат может приписываться в качестве свойства или соотносить друг с другом в качестве отношения не отдельные предметы, а множества, классы предметов. В таком случае мы будем иметь дело с предметными индивидными переменными. Обычно для их обозначения берут малые буквы последней части латинского алфавита. Например, Р(х, у, z, u).

В таком случае, естественно, возникает вопрос — относится ли предмет Р ко всем элементам соответствующих классов или же не ко всем, то есть тот же вопрос, который мы рассматривали в традиционной теории суждения. Там он решался с помощью кванторных слов “все” и “некоторые”. Они взяты из естественного языка. В логике предикатов кванторы выражаются с помощью специальных символов. Общий квантор, соответствующий слову все, выражается с помощью перевернутой буквы А. Формула xP(x) означает, что Р имеет место для всех х. Частный квантор, называемый также квантором существования, обозначается повернутой вокруг своей оси буквой Е (от латинского existentia — существование). Формула хР(х) означает, что Р имеет место для некоторых х, т. е. что существуют такие х, для которых имеет место Р(х). Общее с традиционной логикой в том, что хР(х) не исключает истинности xP(x).

Существенные отличия от традиционной логики возникают в том случае, когда у нас не одна, а две или много индивидных переменных х. Здесь нам потребуется для одного и того же суждения одновременно два или множество кванторов. Возьмем суждение: “О каждом кто-то позаботится”. Обозначив отношение “позаботится” символом (предикатной константой) R, получим следующую формулу логики предикатов, выражающую смысл приведенного суждения: x у R(x, у).

Поменяем местами кванторы. Получим у x R(x, у). Эта формула имеет уже другой смысл. Есть кто-то, кто позаботится обо всех. Здесь очевидно преимущество формализма логики предикатов над формализмом традиционной логики, в рамках которой рассмотренное различие оказывается невыразимым.

Возьмем выражение с тремя переменными. У всех чисел есть числа большие и меньшие их. Это высказывание будет выражаться с помощью трех кванторов: x у z R(x, у, z). Здесь мы связали кванторами все три переменные. Но могли бы этого не делать. Выражение x у R(x, у, z) так же считается правильно построенной формулой логики предикатов, несмотря на то, что кванторами связаны только две из трех переменных. Переменную, не связанную квантором, называют свободной. В приведенной выше формуле х, у являются связанными переменными, z — свободная переменная.

 

§ 2. Правильно построенные формулы логики предикатов

 

Из сказанного выше видно, какие формулы считаются правильно построенными (ППФ) в логике предикатов. Это, прежде всего, формулы типа Р(х1, х2, .., хп), где Р — предикат, а х1, х2, .., хп — индивидные константы. Далее — формулы с кванторами, например, x у R(x, у, z), в которых кванторы — x и у могут связывать индивидные переменные или же только часть их.

Следующий способ образования ППФ логики предикатов — соединение его правильно построенных формул уже известными нам связками логики высказываний.

Так можно соединить все рассмотренные выше ППФ связкой конъюнкции. Тогда получим:

 

Р(х1, х2,.., хп) & x Р(х) & у Р(х) & x у R(x, у) & у y R(x, у)

& x у z R(x, у, z) & x у R(x, у, z).

 

Является ли полученная таким образом формула правильно построенной формулой логики предикатов? Ответ зависит от того, нет ли у нас переменных, которые свободны внутри одной подформулы и связаны внутри другой. Такая переменная есть. Это z. В последней подформуле она свободна, а в предпоследней связана квантором существования. Но это не беда. Переменные можно переименовывать. Z можно одновременно переименовать во всех местах, где она встречается свободно (а она встречается лишь в одном месте), заменив ее другой буквой, скажем, на и, которая нигде не связана.

После этого мы, не вникая в смысл того, что получилось, можем быть уверены в том, что получилась ППФ логики предикатов.

Мы могли бы заменить каждый из компонентов его отрицанием, например, вместо x Р(х) вставить в формулу ¬x P(x). И формула останется правильно построенной. Можно использовать дизъюнкцию, импликацию и все другие связки. Мы не выйдем за рамки правильно построенных формул. Другой вопрос — оценка этих формул с точки зрения истинности и ложности. Формула, полученная выше, является выполнимой. То есть можно так подобрать предикаты, индивидные константы и переменные, чтобы она оказалась истинной. Но, добавив, наряду с x Р(х) формулу ¬х Р(х), мы получили бы противоречие и формула в целом оказалась бы ложной. Нас интересуют прежде всего такие формулы, которые были бы всегда истинными. Их можно получить с помощью тавтологий логики высказываний.

Если взять, например, закон исключенного третьего: a v ¬а, то, подставляя вместо а любую формулу логики предикатов, мы получим общезначимую формулу или тавтологию логики предикатов. Общезначимость будет означать, что она будет верной всюду, в любой предметной области, независимо от входящих в ее состав предикатов. Так, будет тавтологией

x у z R(x, у, z) v ¬x у z R(x, y, z).

 

§ 3. Аксиоматика и тавтологии логики предикатов

 

Сказанное говорит о возможности аксиоматического построения логики предикатов на базе аксиоматического построения логики высказываний. Для этого Д. Гильберт и В. Аккерман предлагают взять те же четыре аксиомы, которые выше были даны для логики высказываний:

К этим четырем аксиомам добавляются еще две специфические для логики предикатов аксиомы, в состав которых входят кванторы, связанные и свободные переменные. Эти аксиомы были сформулированы коллегой Д. Гильберта П. Бернайсом.

Рассмотрим последние аксиомы более подробно. Основная трудность в их понимании связана с трактовкой свободной переменной.

Выше мы ввели понятие свободной переменной с помощью отрицательного определения. Это такая переменная, которая не связана каким-либо квантором. Во многих учебных пособиях этим и ограничиваются. Выше, когда речь шла об определениях, отмечалось, что отрицательные определения могут быть вполне правомерными. Однако в данном случае оно оставляет нас в неведении, чем же все-таки является свободная переменная, какие выражения естественного языка ей соответствуют. Существует большой разнобой в трактовке положительного смысла понятия свободной переменной.

Д. Гильберт и В. Аккерман, интерпретируя выражение свободной переменной F(y) в первой аксиоме Бернайса, понимают F(y) как любое у. Во второй же аксиоме F(y) понимается иначе. Это — “какое-нибудь у” (Основы теоретической логики, с. 97). Автор весьма популярного современного учебника В. Зегет интерпретирует значение свободных переменных в аксиомах Бернайса иначе. Для него в первой аксиоме это “определенный индивид”, а во второй — “некоторый индивид” (Элементарная логика. М., Высшая школа, 1985, с. 148).

Известный американский математический логик С. К. Клини различает две разных интерпретации свободных переменных. При одной из них — интерпретации всеобщности F(y) обозначает то же, что и связанная переменная y F(y). Другая интерпретация условная. Мы договариваемся о тех значениях, которые должна иметь F(y) (С. К. Клини. Введение в метаматематику. М., Издательство иностранной литературы, 1957, с. 137). С Клини солидаризируется А. С. Есенин-Вольпин (сын известного поэта и сам поэт) в статье “Предикатов исчисление” (Философская энциклопедия, том 4, М., 1967). Статью пришлось подписать только инициалами А. С., так как он был в своей стране персона нон грата из-за своих демократических убеждений. Сейчас живет в США.

Нам кажется, что читатель уже достаточно подготовлен для того, чтобы понять мнение другого выдающегося американского математического логика Б. Россера, который писал: “В математике переменная — смутная, плохо определенная сущность, которая варьируется в какой-то области и которая обозначается буквой х. В символической логике, где мы не заботимся о смысле, переменная как таковая исчезает, и мы оставляем лишь букву х, теперь уже ничего не обозначающую. Это имеет то преимущество, что освобождает нас от необходимости объяснения трудного понятия переменной” (J. В. Rosser. Logic for Mathematicians. Ithaca 1953, p. 87).

Далее говорится о том, что есть переменные и есть просто выражение незнания. Следуя математическому обычаю, то и другое называют переменными, хотя в некоторых случаях мы имеем дело с переменными, а в других — с незнанием. Те случаи, когда имеет место выражение незнания, называются свободными переменными, а те, которые служат в качестве переменных, — “связанными” переменными. Различие между свободными и связанными переменными базируется исключительно на форме утверждений, а не на их смысле (Там же, с. 88).

Ниже мы вернемся к вопросу о свободных переменных в рамках другой логической системы — языка тернарного описания. А пока поверим Россеру и будем рассматривать использование свободных переменных как легальное выражение нашего незнания. Это незнание может уменьшаться в зависимости от тех формул, в которые свободная переменная входит. Иными словами, смысл свободных переменных варьируется в зависимости от контекста. Это не всегда учитывается, чем и объясняется разнообразие трактовок свободных переменных, имеющих место в литературе.

Возьмем формулу со свободной переменной вне контекста Б(х). Интерпретируем х как множество жаб, а Б — существа, от которых бывают бородавки. Мы использовали свободную переменную именно потому, что нам неизвестно, от каких жаб бывают бородавки — от всех ли или от некоторых. Б(х) — это вообще не высказывание, а лишь функция высказывания или высказывательная форма. Функция высказывания превратится в высказывание в двух случаях: 1) если мы найдем такую жабу, от которой бывают бородавки, и подставим константу, ее обозначающую, вместо переменной х. Получим Б (х,); 2) если мы ее свяжем квантором, т. е. получим x Б(х) или х Б(х).

Часто говорят, что именно свободные переменные являются подлинными переменными, связанные же переменные фиктивны (В. Н. Костюк. Логика. Киев — Одесса, Вища школа, 1975, с. 45).

Свободная переменная ограничивается в своей свободе, как только она попадает в контекст, более или менее сильный в данном отношении. Очень сильным является контекст аксиом Бернайса.

Д. Гильберт и В. Аккерман формулируют следующее правило вывода для логики предикатов — 1. Пусть мы вывели импликацию, в которой консеквент содержит свободную переменную х, в то время как в антецеденте переменная х не встречается. Тогда получаем в качестве новой выведенной формулы импликацию с прежним антецедентом и консеквентом, в котором переменная х связана квантором всеобщности.

Первая аксиома Бернайса как раз и представляет собой импликацию, о которой идет речь в правиле 1. Ее контекст превращает свободную переменную в связанную квантором всеобщности.

Другое правило — 2 — говорит о том, что если получена импликация, в антецеденте которой есть свободная переменная х, которой нет в консеквенте, то будет верна импликация с прежним консеквентом и антецедентом, в котором х связана квантором существования. Таким образом, свободная переменная превращается в связанную.

Формула, в которой есть свободные переменные, в логике предикатов называются открытыми в противоположность замкнутым, в которых нет свободных переменных. Иногда говорят, что только замкнутые формулы выражают высказывания. Это не точно. Открытые формулы не выражают высказываний, если свободная переменная является единственной. В других случаях открытые формулы могут выражать высказывания. Так, являются высказываниями аксиомы Бернайса, которые содержат свободные переменные и, значит, согласно определению, являются открытыми.

Приведем без доказательства (они даны в работе Д. Гильберта и В. Аккермана) ряд тождественно истинных формул (тавтологий) логики предикатов, наиболее интересных в плане практического использования.

Существенно, что импликация в обратную сторону тавтологии не образует.

На основе приведенных тавтологий можно сформулировать следующие схемы вывода:

Примеры на применение этих схем вывода будут даны ниже в задачах и упражнениях. Следует отметить, что доказательства этих и большого количества других, не приведенных здесь тавтологий, требует творческого подхода. В отличие от логики высказываний, в логике предикатов нет единого формального метода, с помощью которого можно было бы выяснить, является ли то или иное высказывание тавтологией или нет. Тем не менее, разработаны методы, которые позволяют во многих случаях привести формулы логики предикатов к такому виду, который допускает применение к ним методов логики высказываний. Это прежде всего метод аналитических таблиц. Эти таблицы довольно громоздки, и мы их не рассматриваем, отсылая читателя к литературе, в которой логика предикатов рассматривается более подробно (В. Н. Костюк. Логика. Киев — Одесса, Вища школа, 1975; В. Зегет. Элементарная логика. М., Высшая школа, 1985; В. А. Бочаров, В. И. Маркин. Основы логики. М., Космополис, 1994).

 

§ 4. Логика предикатов и классическая силлогистика

 

Несмотря на то, что в теоретическом плане логика предикатов представляет несомненный интерес и в некоторых разделах математики сфера ее приложений достаточно широка, мы не можем говорить о том, что она значительно расширила возможность логического анализа нашего повседневного мышления. Здесь заслуга логики предикатов, главным образом, в том, что в ее рамках были разработаны способы формального обоснования тех выводов, которые в традиционной логике принимались, исходя прежде всего из содержательных соображений. При этом оказалось, что не все силлогизмы, правомерные в аристотелевской логике, допускают такое формальное обоснование. Например, аристотелевский силлогизм III фигуры с общеутвердительными посылками и частноутвердительным заключением (такой модус называется Darapti — словом, гласные которого указывают на характер посылок и заключения). Выше, в предыдущем разделе, мы рассматривали такие силлогизмы, как: все киты — млекопитающие, все киты живут в воде, значит, некоторые млекопитающие живут в воде. Правила III фигуры здесь соблюдены: меньшая посылка утвердительна, вывод частный. Нам и в голову не приходило, что тут что-то не так. Аналогичная ситуация имеет место с другими силлогизмами, в которых делается частный вывод из общих посылок. Они не имеют формального обоснования в рамках логики предикатов. Что это значит? Часто изложенную ситуацию истолковывают так: “некоторые умозаключения, которые по правилам традиционной логики считаются правильными, на самом деле (подч. мной А. У.) оказываются не таковыми” (В. Зегет. Элементарная логика. М., Высшая школа. 1985, с. 165). Это — недоразумение. На самом деле отсутствие формального обоснования выводов от общих суждений к частным выявляет дефект не традиционной логики, а логики предикатов, в символике которой общие суждения не находят адекватного отображения.

Что беспокоит логику предикатов в приведенном выше силлогизме про китов? Возможность их отсутствия. Быть может, их вовсе нет, как кентавров или русалок. Быть может, китов выдумали суеверные китобои? В таком случае посылки сохранят истинность. Все киты останутся млекопитающими и живущими в воде, а вот вывод: “Некоторые млекопитающие живут в воде” будет явно ложным. Значит, силлогизм Darapti никуда не годится. Возможно, читатель будет удивлен. Но это лишь потому, что он еще не знает, что в логике предикатов общеутвердительное суждение выражается не формулой “Все S есть Р”, а формулой x [S(x)  Р(х)]. Первая формула предполагает в аристотелевской логике непустоту объема субъекта S. Киты должны существовать прежде, чем плавать по морям и океанам. Иначе в аристотелевской логике суждение “киты живут в воде” не будет считаться истинным, равно как и обращение этого суждения “некоторые животные, живущие в воде, есть киты”.

В логике предикатов пустота S не препятствие для истинности. Напротив, это — благоприятный фактор. В самом деле, если S пусто, то S(x) ложно, а при ложности антецедента импликация S(x)  Р(х) всегда истинна! Этого нельзя сказать о формуле (x)[S(x) & Р(х)], которая выражает частноутвердительное суждение. Если не будет S, то формула оказывается ложной. Отсюда и абсурдный результат: при отсутствии китов все они все же будут продолжать жить в воде и быть млекопитающими, а вывод о существовании неких млекопитающих, живущих в воде, окажется ложным. Здесь проявляется парадокс импликации, перешедший в логику предикатов из логики высказываний, о котором мы уже говорили выше.

Сведения категорического суждения к импликации не являются единственно возможным путем формализации этого суждения в логике предикатов. Иной путь — использование дизъюнкции (Д. Гильберт и В. Аккерман. основы теоретической логики. М., Гос. изд. иностранной литературы, 1947, гл. II, § 3). Однако и эта формализация не является адекватной. И в ее рамках нельзя доказать неправомерность тех или иных форм силлогизмов (см. А. И. Уемов. Пустые классы и аристотелева логика // Логические исследования. М., Изд. А. СССР, 1959, с. 178-188).

Рассмотрим другую сторону вопроса. Мы видели, что логика предикатов не опровергает схем традиционной логики. Но может ли она доказывать то, что не может быть доказано средствами традиционной логики? Если речь идет о логике предикатов как о формализации логики отношений, то ответ на этот вопрос, несомненно, положителен. Однако, преимущества одноместного исчисления предикатов, где логика предикатов выступает как разновидность атрибутивной логики, в значительной мере кажущиеся. Так, В. Зегет, которого мы уже цитировали, утверждает, что выяснить правомерность следующего умозаключения невозможно средствами традиционной логики. Для этого необходимо использовать логику предикатов.

“Ни один материалист не является объективным идеалистом.

Ни один субъективный идеалист не является материалистом.

Существуют философы, которые не являются ни субъективными, ни объективными идеалистами”. (В. Зегет. Там же, с. 162)

Выше, в разделе о категорическом силлогизме, этот пример уже был предложен для логического анализа, и мы надеемся, что читатель с ним справился. Логика предикатов для этого не потребовалась.

 

§ 5. Недостатки логики предикатов как средства анализа повседневного мышления

 

Сказанное выше свидетельствует о том, что логика предикатов в сфере атрибутивной логики дает для анализа повседневного мышления достаточно мало. В сфере реляционной логики, т. е. как многоместное исчисление предикатов, — гораздо больше. Но здесь ее формулы, доказательства даже элементарных вещей становятся чрезмерно громоздкими, зачастую непосильными для не-математика, желающего усовершенствовать свое мышление. Сфера технических приложений логики предикатов, особенно в математике и кибернетике, все возрастает. Однако все больше она отрывается от анализа повседневного мышления.

Дело доходит до того, что некоторые, даже выдающиеся, представители математической логики (например, А. А. Марков) заявили, что эта логика никакого отношения к изучению мышления не имеет. Это, конечно, преувеличение. Вместе с тем, верно то, что применение логики предикатов к анализу мышления сталкивается с большими трудностями.

Эти трудности связаны с тем, что у логики предикатов есть, по крайней мере, две ахиллесовы пяты. Одна — это преобладание теоретико-множественного подхода. Этот подход имел место уже у Аристотеля, когда он различал “присущность всем” и “присущность некоторым”. В средние века значимость теоретико-множественного подхода возросла в связи с рассмотрением отношений между понятиями по объему. Однако, наряду с трактовкой суждений как отношений субъекта и предиката по объему, в традиционной логике существовала, прежде всего у Д. С. Милля и его последователей, и такая — атрибутивистская точка зрения, согласно которой суждение — это отношение между предметом и его свойством.

В логике предикатов принимается так называемый тезис экстенсиональности. Этот тезис означает отождествление свойства с множеством предметов, обладающих этим свойством и отождествление отношений с множеством двоек, троек и вообще n-ок предметов, между которыми эти отношения существуют. Таким образом, отношения между свойствами и отношениями сводятся к отношениям между множествами. Это очень удобно, поскольку отношения между множествами хорошо изучены в одном из наиболее развитых разделов современной математики — теории множеств, первый вариант которой был создан известным немецким математиком Георгом Кантором. Строгость теории множеств (несмотря на парадоксы, от которых очень трудно избавиться) послужила причиной стремления дать теоретико-множественное обоснование всего гигантского здания современной математики, а также математической логики. Сведение свойств и отношений к множествам означает категориальную редукцию, т. е. сведение одних базисных категорий к другим. Такое сведение чуждо практике повседневного мышления, которая опирается на всю триаду: вещь, свойство, отношение.

Мысля о свойствах, мы не отождествляем их с классами предметов. Если классы тождественны, то это не означает, что тождественны соответствующие им свойства. Так, по объему высочайшие горы Гималаев и высочайшие горы мира совпадают. Но, как было показано выше, по содержанию — это разные понятия. Кентавр и русалка соответствуют одному и тому же — пустому множеству, не содержащему в себе никаких предметов. Однако каждый согласится с тем, что быть кентавром и русалкой — это разные вещи.

Что касается отношений, то здесь неприменимость принципа экстенсиональности к реальному процессу мышления еще более очевидна. Отношение любви никак нельзя отождествлять с парами любящих друг друга предметов.

Другая ахиллесова пята логики предикатов связана с тем, что она базируется на логике высказываний с ее парадоксами. Мы уже видели, к чему это приводит при анализе соотношения логики предикатов и аристотелевской силлогистики.

Все сказанное говорит о необходимости поисков новых путей развития логического формализма, имеющих практическое значение для анализа повседневного мышления и определения условий его правильности.

 

 

 

ГЛАВА III.   ЯЗЫК ТЕРНАРНОГО ОПИСАНИЯ

 

 

§ 1. Категориальные основы языка тернарного описания

 

Автор берет на себя смелость предложить вниманию читателя фрагмент разработанного им логического формализма, который был назван “языком тернарного описания” (ЯТО), поскольку опирается в равной мере на всю тройку фундаментальных логических категорий: “вещь”, “свойство”, “отношение”. Именно благодаря этому, как нам представляется, он способен более адекватно отобразить проявляющиеся в натуральном языке особенности нашего мышления, чем это делают формализмы, исходящие из более узкой категориальной базы.

Равноправность всех категорий означает отказ от принципа экстенсиональности, который сводит одни категории из нашей тройки к другим. В этом плане мы идем столь далеко, что вообще отказываемся от использования понятий класса для выражения логических отношений. Значит, наши понятия не будут иметь объема. И поэтому, строго говоря, у нас не будет понятий. Вместо понятий будут использоваться только вещи, свойства и отношения. Любая мысль будет представлена как некоторое отношение между вещью и свойством, вещью и отношением, или же одновременно между вещью, свойством и отношением.

Это может показаться очень странным, особенно для тех, кто хорошо овладел техникой выявления объемных отношений между понятиями с помощью кругов Эйлера. Однако, выше было отмечено, что уже в рамках традиционной, аристотелевской логики Д. С. Милль протестовал против того, чтобы свойствам всегда соответствовали классы предметов.

“Вершина Чимборасо бела” означает просто наличие свойства “бела” у вершины Чимборасо, а не включение этой вершины в класс белых предметов, в который, наряду со снегом, входит остров Уайт, некоторые разновидности нижнего белья и зубы красавицы. Каждый согласится с тем, что обо всех этих предметах мы не думаем и не должны думать для того, чтобы лучше понять приведенную выше мысль о вершине Чимборасо.

“Сократ — человек”. Здесь как будто бы предполагается именно класс —люди. Однако, как уже говорилось выше, определить границы этого класса чрезвычайно трудно. Для этого нужно иметь данные не только о ныне живущих людях, но и о тех, кто когда-то жил и кто будет жить. Не зная всего этого, мы все же можем говорить о Сократе как о неком человеке, понимая под “человеком” не класс всех людей, а некий набор свойств, который можно рассматривать как отдельное свойство.

Сказанное о свойствах верно и применительно к отношениям. Ромео любит Джульету. Любит — здесь конкретное отношение, а вовсе не множество пар.

Но как быть в тех случаях, когда в качестве классов представляются не свойства и отношения, а сами вещи, являющиеся субъектами соответствующих суждений, например, “Все люди смертны” или же “Тигры крупнее кошек”? Использование классов в этих случаях не означало бы сведение свойств и отношений к вещам. Тем не менее, и здесь без классов можно обойтись. Существенно то, что многие без этого обходятся. По мнению известного исследователя детского интеллекта Жана Пиаже, дети до 11-12 лет не владеют понятиями, и поэтому их мышление может быть названо дологическим (Ж. Пиаже. Избранные психологические труды. М., Просвещение, 1969). Главнейшей проблемой образования классов, которую детям очень трудно решить, является согласование объема и содержания. Они путаются, главным образом, в использовании слов “Все” и “Некоторые” (Ж. Пиаже, Б. Инельдер. Генезис элементарных логических структур. М., Изд. иностранной литературы, 1963, гл. III). Вместе с тем, к указанному возрасту дети овладевают богатством родного языка и колоссальным количеством иной информации. Невозможно отрицать у них высокий уровень развития интеллекта. Некоторые исследователи интеллекта считают даже, что его максимальный уровень достигается именно к 11-12 годам. И все это на дологической стадии?!

По-видимому, все дело в том, что интеллект имеет не один путь развития. Понятийное мышление — лишь одна из возможностей, значимость которой нам не хотелось бы принизить, хотя бы потому, чтобы избежать вполне справедливого возмущения читателей, затративших немалые усилия на овладение силлогистикой и логикой предикатов. Но, согласитесь, очень интересно исследовать и другие возможности.

            Основное преимущество использования понятия класса (множества) в логике связано с тем, что нам трудно мыслить одновременно о многих предметах. Лучше всего — об одном. И здесь нам бросают приманку. Класс — это один предмет. Особенно ясно это видно, когда его изобразят в виде круга Эйлера. В силлогизме всего три таких предмета. Их легко обозреть, чем и объясняется популярность графических схем в учебниках логики, в том числе и в нашем. Однако, приманка отравлена. Восприятие класса как единого предмета наводит нас на грубейшие ошибки в мышлении. Возьмем класс — “Все моря и океаны”. Будем рассматривать это как один предмет и принимаем свойство — “занимать 3/4 земной поверхности”. А далее получается так: “Черное море есть море. Значит, оно занимает 3/4 земной поверхности”. Хорошо, что мы знаем, что это не так. А если бы не знали и полагались на вывод? Какой флот потребовался бы, чтобы охранять такое море! Знающий логик скажет: у вас — учетверение терминов. В большей посылке “Все моря и океаны” понимаются в собирательном смысле, как единое целое, а нужно, чтобы это понятие мыслилось в разделительном смысле, т. е. речь должна идти о всех морях и океанах по отдельности. Но в таком случае пропадает все преимущество использования класса как единого предмета. Мы обязаны думать и о Карибском, и о Японском, и о Баренцевом, и о Беринговом море, и о море Лаптевых! Хуже всего то, что мы в посылке должны думать и о Черном море! А ведь сведения о солености Черного моря должны быть получены в результате вывода! Таким образом, избегая одной логической ошибки — учетверения термина, мы делаем другую — предвосхищение основания (по латыни — petitio principii), за которую в свое время силлогизмы подвергались резкой критике со стороны Д. С. Милля.

Сказанное относится не только к традиционной логике, но также и к логике предикатов. Изменение обозначений с “Все S” на “x S(x)” не меняет сути дела. Однако, в логике предикатов появляется существенно новый символ. Наряду со связанной переменной x S(x) там появляется свободная переменная S(x).

С этим понятием ассоциируется явный момент ущербности. Наличие свободной переменной, по мнению многих, уничтожает высказывание, превращая его в высказывательную форму, которая и не истина, и не ложь. Свободные переменные свидетельствуют о нашем незнании. От них стараются освободиться, связывая кванторами.

Но возможен диаметрально противоположный подход, при котором свободная переменная в одном из значений этого термина становится фундаментальным понятием, на базе которого могут определиться другие, производные понятия.

В традиционной логике существовало следующее техническое правило: если вы не знаете, в каком смысле употреблено слово “все” — в собирательном или разделительном, замените его на “любой” или “всякий”. Если смысл сохранится, значит, он — разделительный (В. Ф. Асмус. Логика. М., 1947, с. 114). Рассмотрим приведенный выше пример. “Все моря и океаны имеют соленую воду”. Заменяем “Все” на “любой”: “Любые моря и океаны имеют соленую воду” — правильно. Значит, смысл разделительный. Но если мы проведем такую замену в выражении “Все моря и океаны занимают 3/4 земной поверхности”, то результат получится абсурдным.

Но что такое “любой”? Это одно из значений, которое, как видно из приведенных в предыдущей главе цитат, придается понятию свободной переменной. Его преимущество осталось, однако, незамеченным. А оно — то же самое, что и преимущество использования класса. Класс — это один предмет, но и любой — также один предмет. Однако, это такой предмет, который может иметь разные значения. Иными словами, мы можем отождествлять его с разными предметами. В опере “Князь Игорь” хан Кончак предлагает князю Игорю любую пленницу. Это одна вещь, так же как и весь гарем -— одна вещь, что находит свое выражение в грамматической форме слова. В обоих случаях мы имеем единственное, а не множественное число.

В отличие от С. К Клини (см. выше), мы бы сказали, что здесь свободная переменная имеет интерпретацию произвольности, а не всеобщности. Свободную переменную никак нельзя отождествлять с переменной, связанной квантором всеобщности. Хан Кончак решительно возражал бы С. К. Клини, если бы имел возможность прочитать его книгу. Ведь он не хотел отдать князю всех своих пленниц, а только одну, хотя и любую.

Одна из идей ЯТО заключается в том, чтобы взять в качестве базисного понятия именно понятие произвольного предмета. Это — свободная переменная. Что касается связанных переменных, то без них вообще можно обойтись, радикально упростив таким образом логическую систему. Переменные нам нужны, главным образом, для подстановок. А подстановки в логике предикатов делаются именно в свободные переменные. Традиционная логика рекомендует проверять смысл слова “все” с помощью “любой”. Так не лучше ли сделать государственный переворот и возвести на престол “любой”, отстранив от власти “все” !?

А как быть с частным квантором? Можно ли и его устранить? Чтобы выяснить это, зададим читателю вопрос из малознакомой ему области. Что вы можете сказать о римских императорах? Наверное, ответы будут примерно такие: Любой римский император имел рабов. Какой-то римский император преследовал христиан. Какой-то римский император поджег Рим. Какой-то римский император был последним.

Теперь постарайтесь не вспоминать, что говорилось о структуре суждения во второй части нашего пособия, и ответьте, о ком шла речь в каждом из записанных выше суждений? По-видимому, вы ответите так, что в первом суждении речь шла о любом римском императоре, а в остальных — о каких-то римских императорах. Если вы именно так ответите, то это будет означать, что вы забыли, что, с точки зрения теории, развитой во второй части, субъект будет во всех случаях один и тот же “Римские императоры”. С единым субъектом связываются различные кванторные слова “Все” или “Некоторые”, которые определяют тип суждений “Все S есть Р” или “Некоторые S есть Р”. Автор знает по своему педагогическому опыту, насколько трудно заставить студентов выделять субъект так, чтобы в него не попадало кванторное слово. Не скрывается ли что-то за этим? Быть может, студенты именно так и мыслят, и правы они, а не преподаватель? ЯТО решительно переходит на сторону студентов. В одном случае речь шла о произвольном римском императоре, в остальных — о неопределенном римском императоре. Обозначим произвольный объект буквой А, не ставя ее с ног на голову, а неопределенный объект — малой буквой а. Кстати, в английском языке показатель неопределенности — артикль выражается именно такой буквой. Использование “неопределенного объекта” имеет то же преимущество, что и использование произвольного объекта. Наше внимание не распыляется на многие объекты. Мы мыслим не о многих, а об одном предмете, хотя и о неопределенном. Если же окажется, что такой предмет не один, это не беда. Христиан преследовал не один император. Но это не отменяет того, что некоторый римский император преследовал христиан.

Мы видим, что произвольный объект — это не квантор. То же самое можно сказать о неопределенном объекте. Мы говорим не о том, что какой-то объект существует, мы говорим непосредственно об этом неопределенном объекте. И у нас нет необходимости в использовании понятия класса! Не нужны и круги Эйлера.

Как же так? — может возразить читатель. Выражение “произвольный римский император” или же “некоторый римский император” все же предполагает класс “римских императоров”! Такой “классовый подход” действительно возможен. И он реализуется как в традиционной силлогистике, так и в логике предикатов! Однако, как выше уже было показано, он приводит к насилию над мыслью, заставляя образовывать искусственные классы типа “белых предметов”. Естественнее считать “белый” не классом, а свойством. И все остальные классы — так же свойствами. Чем плохое свойство “быть римским императором”? Если в логике предикатов стремятся сводить свойства и отношения к классам, то в ЯТО мы будем сводить классы к свойствам и отношениям. Поскольку “вещь, свойство, отношение” является базисной тройкой категории, это кажется совершенно естественным.

Теперь, как быть с отдельными предметами — не только “некоторыми римскими императорами”, но со всякими Неронами, Калигулами, Диоклетианами и т. д., различными конкретными свойствами, конкретными отношениями? Это поразительно, но можно мыслить и без них. Такая возможность предполагается в любом формализме. Мы уже обращали внимание читателя на то, что если у нас есть суждение типа “Все S есть М” и “Все М есть Р”, то можно смело сделать вывод “Все S есть Р”. Если есть а  b и есть а, то есть и b. Все это верно, несмотря на то, что мы не знаем конкретного характера S, М, Р, а и b.

Разумеется, никто не будет обмениваться мыслями с помощью такого рода схем. Но это, главным образом, потому, что степень детальности выражения мысли в силлогистике и в логике предикатов ограничена. Субъект и предикат суждения сами по себе могут быть очень сложными мыслями — у нас был случай в этом убедиться, но они берутся лишь как целое — их структура остается невыявленной. В ЯТО — ситуация иная. Здесь любой элемент мысли может быть в свою очередь структурирован. Далее мы увидим, как это может быть сделано.

Отметим возможность развития мысли на уровне неопределенностей, если эти неопределенности мы будем как-то уточнять. Выше шла речь о каком-то римском императоре, который преследовал христиан, и каком-то римском императоре, который поджег Рим. Можно спросить — не один ли это и тот же римский император? Мы можем не знать, какой это именно римский император, но знать, что он один и тот же. Эту новую для нас мысль можно выразить с помощью показателя тождества, в качестве которого выбрана греческая буква ι (йота), стоящая перед символами отождествляемых предметов: ιa, ιa. Если же выяснится, что это разные императоры, можно воспользоваться для выражения этой информации символом ' (штрих), который будет записываться после символа объекта, перед которым есть буква ι. Тогда для обозначения разных неопределенных объектов будем иметь: ιa, ιa'. Символ ι, с помощью которого выражается тождество, назовем Йота-оператором. Не следует думать, что нужно много знать, прежде чем можно будет начать устанавливать логические связи между уже известными вещами. Скорее наоборот — нужно начинать с выявления логических отношений, для того чтобы лучше знать.

Иными словами, нам не нужно иметь большой набор различных конкретных вещей, свойств и отношений, называемых константами, в противоположность переменным, для того, чтобы применять ЯТО. Но одна такая константа нелогического (по ученому — экстралогического) характера нам все же понадобится. Обозначим ее первой буквой слова, обозначающего английский определенный артикль — t. Значение символа t должно быть задано в самом начале наших рассуждений. Например, t может определить предметную область — римских императоров.

В рамках нашего рассуждения t — константа. Она сохраняет свое значение в ходе всего рассуждения. Но это — одно и то же значение t выбирается нами. И мы в разных случаях можем выбирать разные значения t. В этом смысле вне контекста рассуждения t является переменной.

Однако, у нас будут константы не только экстралогического, но и логического характера, которые будут рассматриваться как таковые и вне области конкретного рассуждения. Эти константы определяют типы правильно построенных формул.

 

§ 3. Типы правильно построенных формул ЯТО

 

Типы правильно построенных формул (ППФ) фиксируют соотношения между категориями нашей тройки: “Вещь”, “Свойство”, “Отношение”.

I (A) A           III (A*) A

II А (А)          IV А (*А)

Первая из этих формул выражает тот факт, что вещь имеет свойство. Под вещью имеется в виду произвольная вещь — А. Обозначение вещи находится в круглых скобках. Справа от круглых скобок располагается символ, обозначающий свойство. Это — также произвольное свойство.

Первая формула означает буквально то, что произвольный предмет обладает произвольным свойством. Это, конечно, не так. Но нас сейчас не волнует истинность формул. Об этом разговор будет идти дальше. Сейчас же мы рассматриваем вопрос о структуре наших формул.

Важно, что формула I обладает правильной структурой, равно как и все те формулы, который могут быть получены из 1 путем подстановки вместо А других формул нашего аппарата. Таким образом, наряду с I будут правильно построенными формулы (А)а — произвольный предмет обладает каким-то свойством, (A)t — произвольный предмет обладает определенным свойством t, (a)a — некоторый предмет обладает некоторым свойством и т. д.

Формула II означает, что вещь (символ вещи в круглых скобках) имеет отношение (его символ — слева от круглых скобок). Свойство и отношение отличаются друг от друга не по числу мест предиката, как принято считать в логике предикатов, а по тем основаниям, о которых говорилось во введении к этой книге. Отметим также, что если в логике предикатов отношение всегда мыслится существующим между вещами, то мы предполагали более общий случай. Отношение может быть также в вещах и к вещам. Так же, как и для первой формулы, верно, что правильно построенными формулами будут результаты всех подстановок в формулу, например а(А) — произвольный предмет имеет некоторое отношение, а(а) — некоторый предмет имеет некоторое отношение и т. д.

Формулы I и II могут быть названы прямыми. Здесь имеет место отношение, направленное от вещи к свойству и, соответственно, отношению. Другие две формулы — инверсные. В них выражено отношение свойств и отношений к вещам.

Если бы у нас были одни определенные предметы, свойства и отношения, то изменение направления отношений между ними было бы несущественным. Если этому предмету присуще это свойство, то, понятно, что это свойство присуще этому предмету. Однако, совсем не то же самое сказать, что некоторый предмет обладает произвольным свойством или же что произвольное свойство присуще некоторому предмету. Поэтому наряду с формулами 1 и II рассматриваются формулы типа III и IV.

(А*)А будет означать, что произвольное свойство (справа от скобки со звездочкой) присуще произвольному предмету (в скобках). Делая подстановки, получим: (а*)А (произвольное свойство присуще некоторому предмету), (t*)A (произвольное свойство присуще определенному предмету), (А*)а (некоторое свойство присуще произвольному предмету) и т. д.

Соответственно, формула А(*А) будет истолковываться как “произвольное отношение (слева от скобки со звездочкой) имеет место к (в или между) произвольному объекту (в скобках)”. В качестве частных случаев получим: A(*t) — произвольное отношение имеет место к определенному объекту, а(*А) — некоторое отношение имеет место к произвольному объекту и т. д.

Следующий, пятый тип правильно построенных формул ЯТО, — это замыкания предыдущих:

V  [А]

Термин “замыкание” здесь понимается в ином смысле, чем в логике предикатов. Это не связывание свободных переменных кванторами, поскольку кванторов у нас нет, а превращение суждений, выражаемых формулами типа I-IV, в некоторое подобие понятий. В языке это проявляется заменой предложений на соответствующие словосочетания. Так, например, (А)А — “произвольный предмет имеет произвольное свойство” в результате замыкания, выраженного с помощью квадратных скобок: [(А)А], превращается в словосочетание: “произвольный предмет, имеющий произвольное свойство”. [(t*)a] будет означать “некоторое свойство, имеющееся у предмета t” и т. д. Формулы типа I-IV могут быть названы открытыми или пропозициональными (от латинского слова propositio — предложение). Формулы типа [А], соответственно, могут быть замкнутыми или концептуальными (от латинского conceptio — соединение, система).

Смысл, выражаемый концептуальными формулами, несколько похож на понятия. Во всяком случае, здесь есть некоторое содержание, хотя в большинстве случаев неопределенное. Однако, объема, соответствующего этому содержанию, нет, за исключением того случая, когда это содержание вполне определено, т. е. в случае формул [t], [(t)t], [(t*)t], [t(t)], [t(*t)], [([(t)t])t] и т. д. Поэтому, в строгом смысле этого слова, замкнутые формулы ЯТО не выражают понятий, хотя они могут рассматриваться как некоторые модели, выражающие структуру понягий.

Очень существенен вопрос о том, могут ли замкнутые формулы так же, как и открытые, характеризоваться с точки зрения истинности и ложности. Мы полагаем, в отличие от многих других логиков, что да. Ведь в обоих случаях они соотносятся с действительностью. Когда герой известной сказки “по щучьему велению, по моему хотению” приказывает ведрам, чтобы они сами отправлялись за водой, то этот приказ, как и все приказы и пожелания в мире, соотносят сказанное не с действительностью, а именно с хотением. Но если мы скажем: “Ведра идут за водой” или “Ведра, идущие за водой”, то здесь предполагается, уже независимо от хотения, соотнесение с действительностью. Сказанное может соответствовать или не соответствовать этой действительности, т. е. быть истинным или ложным. Дополнительные аргументы в пользу такой точки зрения можно найти в статье автора “Выводы из понятий” (Логико-грамматические очерки. М., Высшая школа, 1961).

В соответствии с четырьмя типами открытых формул мы имеем четыре типа замкнутых, которые мы можем получить, делая подстановки открытых формул в [А]. Тогда получим:

[(А)А], [А(А)], [(А*)А], [А(*А)]

Здесь мы подставили в [А] сложные формулы типа 1-IV. То же самое можно делать и применительно к самим формулам I-1V. Вообще, любую правильно построенную формулу можно подставить вместо А в любую правильно построенную формулу. В результате мы не всегда будем получать истинные формулы, но всегда правильно построенные. Например, подставляя вместо первого А в формулу (А)А формулу (А*)А, получим ((А*)А)А, что будет означать, что суждение: “Любое свойство присуще произвольному предмету” будет обладать произвольным свойством. Подставляя (А)A в само себя во втором вхождении, получим (А)(А)А: любой предмет обладает свойством, выражаемым формулой (А)А.

Понятно, что, поступая таким образом, мы можем получать сколь угодно длинные формулы, выражающие самое разное содержание. При этом может получиться так, что одна и та же формула, как, например, (А)а(А), допускает двоякое истолкование: и как “А обладает свойством а(А)”, и как “А имеет отношение а(А)”. Если нам это не нравится (что вовсе не обязательно), мы можем исключить одну из возможностей, помещая нашу подстановку в особый тип скобок, скажем, фигурные. Они имеют чисто вспомогательный характер и выражают только то, что имеет место формула, подставляемая в другую формулу. Пусть у нас есть (А)А. Берем формулу а(А) в фигурные скобки прежде, чем подставить ее в (А)А. Тогда получим: (А){а(А)}. Тогда будем иметь только одно истолкование. Подставляя {а(А)} вместо первого выражения А в формулу (А)А, получим для многих непривычное: ({(А)А})А. Здесь фигурные скобки внутри круглых. Ну и что? Из формы скобок не вытекает порядок, в котором мы их должны рассматривать.

Теперь возникает вопрос — как быть со списками правильно построенных формул? Построение ЯТО становится гораздо проще, если мы примем следующее соглашение: список правильно построенных формуя сам является правильно построенной формулой. Таким образом, мы получим новый, шестой тип ППФ:

VI   А, А

Подчеркнем, что наличие списка не означает признание какого-либо отношения между объектами, выражаемыми компонентами этого списка. Это понятно, ведь список мы получаем, лишь перечисляя формулы в произвольном порядке. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство, список, полученный таким образом, назовем также свободным списком.

Если же мы объекты, отображаемые компонентами списка, как-то соотносим друг с другом, то такой список назовем связным. Связный список будем отличать от свободного тем, что вместо запятой используем точку: А•А. Это не новый тип ППФ, поскольку связный список имеет строгое, формальное определение, которое мы здесь, однако, не приводим.

Итак, у нас будет шесть типов правильно построенных формул, если не считать элементарные формулы, состоящие всего из одного символа: A, a, t. Дотошный читатель может возразить: выше использовались элементарные формулы, перед которыми ставился показатель тождества — йота-оператор, например, ιA, ιA. Поскольку вместо А можно ставить все, что угодно, можно говорить о том, что правильно построенными будут также формулы {ιA, ι[(A)a]}, {ι{(a)A}, {ιA, ιa}} и т. д. Являются ли формулы с йота-операторами особым типом формул? Ответ на этот вопрос зависит от того, сможем ли мы определить эти выражения формально — через другие типы ППФ. Такое определение дается на основе определения понятия тождества, данного Аристотелем и затем — Фомой Аквинским: Две вещи тождественны друг другу, если любое свойство одной является свойством другой вещи. Поэтому формулы с йота-операторами являются особым случаем других типов формул.

Однако, нам не будет хватать одного йота-оператора, если будет необходимо сделать несколько разных отождествлений. Возьмем формулу А, А, А, А, А. Допустим, что один и тот же предмет обозначается первым и третьим вхождением А, второе и пятое вхождение также обозначают один и тот же предмет. В таком случае мы можем использовать два йота-оператора: один — одинарный, а второй — двойной. Вместо двойного йота-оператора мы можем использовать одинарный с каким-то отличием — крестиком, нуликом или своим портретом. Только потому, что это труднее, мы будем прибегать к удвоению буквы. Таким образом, мы на основе вышеприведенной получим следующую формулу: ιA, ιιА, ιA, A, ιιA. Понятно, что число йота-операторов таким образом можно увеличивать до бесконечности.

Формулы, снабженные одним и тем же йота-оператором, обозначают предметы, тождественные другу другу. Однако, нам придется иметь дело с утверждением о том, что какие-то предметы тождественны другим. Во втором случае речь идет обязательно об открытой, пропозициональной формуле, в которой эта тождественность утверждается, а не просто предполагается.

Возьмем для выражения такого тождества, назовем его открытым в противоположность замкнутому, иную букву — английскую j (джей). Например, формула jA, ja будет означать, что в качестве произвольного объекта берется такой объект, который будет тождественным некоторому объекту. В этом случае существенно направление отождествления. Это может показаться странным, поскольку тождество — симметричное отношение. Однако, несмотря на эту симметрию, которую никто не будет отрицать, направление отождествления может быть очень важным. Возьмем пример. Есть мнение, что уровень студенческих дипломных работ сравнялся с уровнем кандидатских диссертаций. Хорошо это или плохо? Да, если уровень дипломных работ отождествляется с уровнем кандидатских диссертаций. И нет, если, наоборот, уровень диссертации отождествляется с уровнем дипломных работ.

Для того, чтобы отобразить направление отождествления, перевернем букву j перед символом того объекта, который отождествляется, сохранив ее нормальное положение перед символом того объекта, с которым происходит отождествление. Таким образом, ♪Aja будет обозначать, что произвольный объект отождествляется с некоторым объектом. Запятую перед символом можно в этом случае убрать, поскольку отождествление связывает объекты. Будем считать ♪Aja синонимом ♪A • ja .

 

 

§ 3. Импликации в ЯТО

 

Логика высказываний и логика предикатов основаны на использовании одного типа импликации. Есть попытки заменить таблично определяемую импликацию импликациями другого типа. Однако, насколько нам известно, никто не предлагает одновременное использование импликаций разного характера.

Именно это имеет место в рамках ЯТО, где определены и одновременно используются 4 типа импликаций.

Один из них определяется через ранее введенные типы ППФ следующим образом:

               

Здесь =df обозначает “равно по определению”. Знак  лучше всего передается словом “является”. Если мы говорим, что тигр является млекопитающим, то это все равно, что мы отождествляем тигра с каким-то объектом, имеющим свойством “млекопитающее”.

Таким образом, мы интерпретируем в естественном языке формулу ЯТО. Эта интерпретация уже не является формулой ЯТО. Это выражение естественного языка, но структура этого выражения полностью соответствует интерпретируемой формуле ЯТО.

Импликация, приведенная выше, может быть названа атрибутивной, поскольку ее консеквент выражает некоторое свойство — атрибут, присущий антецеденту. В общем и целом эта импликация соответствует категорическому суждению традиционной логики. В отличие от импликации логики высказываний, в качестве антецедента и консеквента здесь могут выступать не только пропозициональные — открытые формулы, но и те, которые выше были названы концептуальными или замкнутыми.

Другой вид импликации – реляционная импликация. Здесь антецедент отождествляется с каким-то объектом, который имеет консеквент в качестве отношения. В качестве символа такой импликации возьмем знак >. Будем иметь:

   {(ιA > ιιА} =df {♪ιAj[ιιА(a)]}

Например, местность будет реляционно имплитировать отношения, выраженные картой этой местности, если местность будет тождественна некоторому предмету, имеющему отношения, выраженные картой.

Третья разновидность импликации получила название мереологической, от слова “мереология”, предложенного известным польским логиком С. Лесневским для обозначения теории, изучающей всевозможные типы включения одних вещей в другие: видов в роды, частей в целое, элементов в множество и т. д. Обозначив такой тип импликации символом , дадим ей следующее определение:

Например, Одесса включает Молдаванку. Это означает, что Одесса тождественна Молдаванке вместе с чем-то еще.

Обобщая приведенные выше три типа импликации, мы получим четвертый тип — “нейтральную импликацию” А  А. Ее можно определить как такое отношение, которое обладает свойствами, общими для атрибутивной, реляционной и мереологической импликаций. Формально это выглядит так:

Мы видели, что определения каждого из исходных трех типов импликаций основывается не на соотношениях между истинностными значениями антецедента и консеквента, а на различных формах их связи по содержанию. Это же свойство переходит на “нейтральную” импликацию. Таким образом, не возникают парадоксы импликации, которые делают логику высказываний и базирующуюся на логике высказываний логику предикатов не вполне адекватными средствами логического анализа реального процесса мышления.

 

§ 4. Правила и схемы вывода

 

Рассмотрим те схемы выводов, которые обосновываются в рамках языка тернарного описания. Оставим в стороне те умозаключения, которые совпадают с известными в традиционной логике. Рассмотрение этих умозаключений интересно, но лишь в плане теоретической логики. В практическом же плане более важны те умозаключения, которые не рассматриваются традиционной логикой.

Однако, прежде, чем привести схемы выводов в ЯТО, нам необходимо сформулировать три правила пользования этими схемами:

I. Правило принятия (Modus Ponens).

Если нам дана или же получена в процессе вывода любого типа импликация и известно, что антецедент этой импликации истинен, то истинным будет и консеквент.

II. Правило отвергания (Modus Tollens).

Если нам дана или получена в процессе вывода любого типа импликация и известно, что консеквенг этой импликации ложен, то ложным будет и антецедент.

Нетрудно видеть, что эти правила соответствуют уже известным нашему читателю правилам логики высказываний. Однако, имеют место два существенных отличия. В логике высказываний используется один тип импликации. У нас — четыре типа. И, что особенно важно, в логике высказываний антецедентом и консеквентом импликаций могут быть лишь высказывания (суждения). У нас же импликации сопоставляют не только открытые – пропозициональные, но также замкнутые — концептуальные формулы. И они должны оцениваться как истинные или ложные, о чем уже говорилось выше.

Изложенные правила требуют некоторых уточнений. Однако, если мы ограничимся приведенными ниже формулами ЯТО, эти уточнения нам не потребуются. Рассмотрим третье правило.

III. Правило подстановки.

Здесь нужно различать следующие случаи:

a) В формуле имеется два или несколько вхождений символа произвольного объекта А с одним и тем же йота-оператором. В таком случае вместо А одновременно во все вхождения может быть подставлена любая формула ЯТО или выражение естественного языка. При этом йота-оператор должен быть сохранен (в том случае, если в состав подставляемой формулы входит А) или снят одновременно во всех вхождениях;

b) Если не связанное йота-оператором А не входит в замкнутую формулу, то вместо А может быть подставлена любая формула ЯТО или же выражение естественного языка.

с) Если не связанное йота-оператором А входит в состав замкнутой подформулы, то подстановка возможна лишь на место вещи в прямых формулах и на место свойства или отношения в инверсных формулах. Так, допускается подстановка любой формулы вместо А в подформулах [(А)а], [а(А)], [(а*)А], [А(*а)] и не допускается в [(а)А], [А(а)], [(А*)а], [а(*А)].

У читателя может возникнуть недоумение — выше допускалась полная свобода подстановок в А. Теперь же вводятся ограничения. Это так. Но выше мы рассматривали вопрос о том, какие формулы будут правильно построенными. Сейчас же проблема совсем в другом. А именно — в выяснении тех следствий, которые будут истинными при условии истинности посылок.

Связь между посылками и выводом у нас, как и выше, будет фиксироваться в виде соответствующих схем умозаключений.

Начнем с той схемы умозаключений, которая обобщает выводы, анализ которых лежал в основе логики отношений. Она связана с транзитивностью мереологической импликации. Будем иметь следующую схему таких выводов:

Воспользуемся сформулированным выше правилом подстановки. Пусть ιA — Одесса, ιιА — Молдаванка, ιιιА — Мясоедовская улица. Одесса включает Модаванку, Молдаванка включает Мясоедовскую улицу. Значит, Одесса включает в себя Мясоедовскую улицу.

Мереологическая импликация играет здесь ту же роль, которую атрибутивная импликация играет в категорическом силлогизме. Интересно отметить, что вывод на основании отношений включения рассматривается как более очевидный, чем вывод на основании атрибутивных соотношений. Иначе было бы нелепо прибегать к кругам Эйлера для разъяснения отношений между терминами категорического силлогизма! Вместе с тем оказывается, что умозаключение, построенное на мереологических импликациях, неправомерно с точки зрения теории силлогизма, поскольку в нем четыре термина! Трактовка этого вывода в ЯТО восстанавливает тернарную структуру вывода, поскольку включение здесь представляет собой не составную часть термина, а связку.

Логический характер этой связки определяется тем, что она является инвариантом многих отношений конкретного характера, таких, как “выше”, “старше”, “сильнее”, “теплее”, “разумнее” и т. д. Во всех этих случаях имеется в виду интенсивность некоторого свойства в антецеденте, которая больше интенсивности этого же свойства в консеквенте. Но “быть больше” это означает “включать в себя”, то есть здесь предполагается мереологическая импликация.

В зависимости от того, оправдано ли это предположение или нет, вывод может быть правомерным или ошибочным.

Возьмем такой пример. Город Альфинск лежит восточнее города Бетинска, а город Бетинск восточнее города Хамминска. В каком отношении находится Альфинск по отношению к Хамминску? Кажется очевидным, что Альфинск восточнее Хамминска. Но лежит ли в основе этого вывода транзитивность мереологической импликации? Нет такого свойства, как “восточность”, интенсивность которого была бы больше у одного города, чем у другого. Поэтому здесь нет мереологической импликации. И вывод на самом деле не вытекает из посылок. Поскольку земля круглая, Альфинск может оказаться не восточнее, а западнее Хамминска.

Мы рассмотрели подстановки вместо йотированных вхождений символа произвольного объекта А выражений естественного языка. В результате мы получили не формулу ЯТО, а выражение естественного языка. Но мы могли бы получить и формулу, если вместо А подставили формулы ЯТО. Так, вместо ιA подставим [(t)a], вместо и ιιА подставим t, а вместо ιιιА подставим а. Тогда получим вывод: [(t)a] а. Эту формулу можно интерпретировать так: заранее выбранный нами объект t, обладающий каким-то свойством, что-то в себя включает. Это, конечно, значительно более тривиально, чем вывод, сделанный выше: Одесса включает Мясоедовскую улицу, из чего можно заключить, что Мясоедовская улица находится в Одессе.

Однако, человек, впервые узнавший об этом спустя какое-то время, будет помнить лишь формулу: Одесса что-то в себя включает, конечно, если он интерпретирует t как Одессу.

Имея в виду прикладной характер предлагаемого пособия, в дальнейшем мы будем делать подстановки не формул, а выражений естественного языка.

Отметим, что возможны различные разновидности выводов из двух мереологических импликаций, подобные разновидностям выводов из двух атрибутивных импликаций, т. е. фигурам и модусам категорического силлогизма. Не имея возможности рассмотреть эти разновидности в нашем пособии, приведем одну важную схему, относящуюся к выводам из одной посылки, т. е. к непосредственным умозаключениям.

В качестве примера можно привести умозаключение, рассмотренное известным русским логиком М. И. Карийским (1840 — 1917), “Мы знаем, например, области, из которых состояли бывшие папские владения, знаем также области, входившие в состав государств Неаполитанского и Сардинского. Когда мы узнаем затем, что образовавшееся Итальянское королевство составилось из государств Неаполитанского, Сардинского и части бывших папских владений, мы без малейшего колебания переносим на Итальянское королевство взятые в совокупности области, входившие в состав государств, из которых оно образовалось” (Классификация выводов // Избранные труды русских логиков XIX века. М., 1956, с. 100).

Здесь в качестве ιA выступают папские владения, ιιA — то, что входит в папские владения. Свободное — без йота-оператора А в заключении входит в состав открытой формулы. Наше правило дает нам право на подстановку вместо А чего угодно. М. И. Карийский подставляет в А целых два королевства — Неаполитанское и Сардинское, которые, объединившись (в этом объединении, кстати, не последнюю роль играл Д. Гарибальди), образовали Королевство Итальянское.

Учитывая авторитет М. И. Карийского в анализе подобного типа умозаключений от частей к целому, назовем схему II схемой Карийского.

Следующий тип выводов связан с использованием реляционной импликации. Его схема такова:

               

Пусть у нас есть числа: {12, 9, 8, 6}. Эти числа реляционно имплицируют пропорцию: 12/9 = 8/6. Полученная пропорция реляционно имплицирует следующее соотношение между ее членами: 12 /8 = 9/6. В выводе получаем: {12, 9, 8, 6} > {12/8 = 9/6}.

Возможны ли ошибки при применении нашей схемы? Несомненно, и эти ошибки вполне аналогичны тем, которые возникают при применении схем категорического силлогизма. Наиболее опасно учетверение терминов, когда консеквент первой импликации не совпадает с антецедентом второй. Например, структуру города мы можем отождествить с той структурой, которую имеет план города. В последней же могут иметь место заведомые искажения. Выводы, полученные таким образом, могут привести к серьезной ошибке.

Если мы заменим реляционную импликацию в схеме III или ме-реологичгскую в схеме I на нейтральную, то получим вывод, по своему характеру близкий к чисто условному силлогизму, который уже был рассмотрен выше в разделе о логике высказываний.

Интересны выводы из двух посылок, представляющих разные но своему характеру импликации. Рассмотрим комбинации атрибутивной и мерeологической импликаций. Одна из них не выводит нас за рамки традиционной логики. Эти выводы по схеме:

Нетрудно заметить, что таким образом мы получили силлогизм I фигуры, в котором в качестве большого термина (предиката заключения) выступает понятие: “то, что включает в себя ιιιА”. Например, Киты есть млекопитающие. Млекопитающие имеют (включают в себя) молочные железы. Значит, киты имеют молочные железы.

Иная ситуация возникнет в том случае, если мы поменяем местами атрибутивную и мереологическую импликации. Тогда получим схему:

Этот вывод является совершенно незаконным с точки зрения классической силлогистики, поскольку в нем целых пять терминов: ιA, ιιA, ιιιA, ιιA, ιιιA. Однако, сомневаться в нем невозможно. В рамках ЯТО он вполне правомерен. Возьмем пример. Подставим вместо iA — Солнечную систему, вместо иА — Землю, a viiA — планета, на которой живут разумные существа. Получим:

Солнечная система включает Землю, Земля является планетой, на которой живут разумные существа. Значит, Солнечная система включает планету, на которой живут разумные существа.

Достойно ли разумных существ сомневаться в полученном выводе?

Правомерность вывода сохранится, если мереологическую импликацию заменить на реляционную. Тогда будем иметь:

Пусть ιA — Ромео + Джульетта, ιιА — любовь, ιιιА — чувство святое. Тогда получим: Ромео + Джульетта реляционно имплицируют любовь. Любовь есть чувство святое. Значит, Ромео + Джульетта реляционно имплицируют святое чувство. Вывод правомерный, хотя содержит пять терминов. Терминов будет три, если рассматривать все знаки импликаций как связки.

В тех случаях, когда у нас нет более точной информации о характере связки, повторяющейся в посылке и выводе, т. е. о том, выражает ли она атрибутивную, мереологическую или же реляционную импликацию, мы можем воспользоваться нейтральной импликацией. Таким образом, на основе схем IV-VI мы получим схемы:

Последняя схема может быть получена как из схемы V, так и из схемы VI. Поясним разницу между схемами VII и VIII. Первая из них вполне согласуется с классической силлогистикой. Ее можно рассматривать как схему категорического силлогизма I фигуры, если в качестве большего термина взять “нейтрально имплицирует ιιιА”. Меньшим термином будет ιA, а средним — ιιА. В силлогизме всего три термина и он вполне правомерен. Иная ситуация со схемой VIII. Здесь оказывается пять терминов: ιA, ιιA, ιιιA,  ιιA,  ιιιA. Но и эта схема определяет вполне правомерное умозаключение:

Если наступает зима, то становится холодно.

Становится холодно, это значит, что температура опускается

ниже нуля.______________________________

Если наступает зима, то температура опускается ниже нуля.

Правомерность выводов по схемам VI1-V1II связана с тем, что они получены путем одновременного ослабления посылки и заключения схем IV-VI. Если бы мы ослабили только посылку, заменив, скажем, в схеме IV атрибутивную импликацию на нейтральную, вывод мог бы оказаться неправомерным. Например:

Поясним, почему отношение между сыном и отцом выражено с помощью нейтральной импликации. Согласно определению нейтральной импликации, это такое отношение, которое обладает произвольным свойством, присущим всем другим видам импликаций: атрибутивной, реляционной, мереологической. Но эти виды импликации во всем отличны друг от друга, кроме условной связи между антецедентом и консеквентом. Если есть (истинен) антецедент, то есть (истинен) консеквент. Значит, отношение, обладающее этим свойством, будет нейтральной импликацией. Но верно, что если есть сын, то есть и отец. Следовательно, между сыном и отцом будет иметь место отношение нейтральной импликации.

Закончим рассмотрение схем выводов, правомерных в рамках ЯТО, некоторыми непосредственными умозаключениями, т. е. выводами из одной посылки. Такие выводы возможны прежде всего из атрибутивной импликации. Один тип таких выводов был рассмотрен выше, в рамках традиционной логики. Это — ограничение третьим понятием. Схема этого вывода в рамках ЯТО выглядит следующим образом:

Преимущество такой формализации этого умозаключения заключается в том, что в ней находит отображение основное требование к ограничивающему признаку: он должен иметь точечный характер. Одинаковость йота-операторов перед признаками, ограничивающими субъект и предикат исходного суждения, говорит о том, что эти признаки должны быть тождественными друг другу. Если же мы возьмем признак “быстрая”, который в одном случае приписывается черепахе, а в другом – животному, то это будут разные “быстрости”. Быстрость черепахи =/= быстрости животного. Иное дело, если мы возьмем точечное свойство, скажем, “движущаяся со скоростью 1 метр в час”. Тогда вывод будет совершенно правильным: “Черепаха, движущаяся со скоростью 1 метр в час, есть животное, движущееся со скоростью 1 метр в час”.

Аналогичным образом могут быть сформулированы и другие выводы из атрибутивной импликации.

Возьмем в качестве ιA — тигра, в качестве ιιА – животного, а ιιιА пусть будет “цвет”. Тогда на основе приведенной схемы получим: Тигр — животное. Следовательно, цвет тигра — это цвет животного. Здесь также имеет место ограничение. Однако, это не ограничение двух понятий третьим, а ограничение третьего поня тия (здесь — цвет) двумя другими.

Заменяя свойство на отношение, мы получим схемы, аналогичные схемам IX, X.

Пусть ιA будет крейсером, ιιA — военным кораблем, a ιιιA — вдали от берега. Из того, что крейсер является военным кораблем, однозначно следует, что “крейсер вдали от берега есть военный корабль вдали от берега”. Заметим, что в этом случае, в отличие от разобранных выше примеров ограничения третьим понятием, у нас нет ограничения понятий. Речь здесь идет не о понятии, а об отдельном предмете.

Изменив с помощью скобки со звездочкой направление отношения к предмету, мы получим следующую схему:

Эта схема формализует рассмотренный выше пример умозаключений, который шотландский логик де Морган рассматривал как невыразимый в рамках традиционной логики: Конь — животное, следовательно, Голова коня есть голова животного.

Правомерность выводов рассмотренного типа существенно зависит от того, является ли исходная импликация атрибутивной. Приведем примеры, показывающие, что вывод, согласно приведенным схемам, становится неправомерным, если в качестве посылки берется мереологическая импликация: Дерево имеет корни. Это не значит, что зеленое дерево имеет зеленые корни. Это не значит также, что плодоношение дерева включает в себя плодоношение корней. Соответственно, плоды дерева не включают в свой состав плоды корней.

Вместе с тем, есть такая схема, которая правомерна и для атрибутивного, и для мереологического типа импликации. Это схема реистического (от слова res — вещь) ограничения. Для атрибутивной импликации будем иметь:

Для мереологической импликации: iA:puA

Возьмем атрибутивную импликацию: Конь есть животное. Значит, конь с седлом есть животное с седлом или же — конь с чем-то есть животное с чем-то.

Мереологическая импликация: Дерево включает в себя корни. Значит, дерево с землей включает корни с землей. Соответственно, для неопределенностной интерпретации ιιιА — дерево с чем-то включает корни с чем-то. Однако для реляционной импликации аналогичная схема была бы в общем случае неправомерна. Добавление чего-то к антецеденту может разрушить то отношение, которое имплицируется антецедентом. В рассказе Ильфа и Петрова “Как сочиняли Робинзона” редактор потребовал от авторов, принесших рукопись “Красный Робинзон”, добавления к красному Робинзону и Пятнице еще и профсоюзной организации. Юмор в том, что в таком случае антецедент {Робинзон, Пятница} уже не имплицирует то отношение, которое задано литературным прототипом — известным романом Даниэля Дефо.

Поскольку для одного из видов импликации схема, аналогичная схемам XIII-XIV, неправомерна, она неправомерна и для их обобщения нейтральной импликации, свойства которой являются общими для всех видов импликаций.

Выше рассмотрены лишь некоторые умозаключения, формализуемые в рамках ЯТО. На самом деле их гораздо больше. Мы ограничились лишь самыми элементарными из них.

 

 

 

 

 

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ЧАСТИ III

 

 

 

 

ГЛ. I. ЛОГИКА ОТНОШЕНИЙ

 

 

 

1. Дайте характеристику следующих отношений с точки зрения их рефлексивности, симметричности и транзитивности: 1) ниже; 2) потерял; 3) борется с; 4) нашел; 5) передал; 6) мрачнее; 7) правнук.

2. Какие из примеров предыдущего упражнения относятся к функциональным отношениям?

3. Какие из следующих отношений являются функциональными? “больше”, “больше или меньше”, “намного больше”, “в 5 раз больше”, “в 5 раз меньше или в 5 раз больше”, “племянница”, “внучатая племянница”, “тетя”, “дядя”.

4. Подберите примеры на различные типы отношений по их рефлексивности, симметричности и транзитивности.

5. Подберите примеры отношений, которые имели бы те же самые характеристики отношений, что и примеры из задания 1.

6. Вера светлее Тани, но темнее Вали. Какая из девочек самая светлая? Обоснуйте свой вывод с помощью схем логики отношений.

7. Не является ли рефлексивность следствием симметричности и транзитивности?

8. Вытекает ли второе суждение из первого?

1) Угол ABC равен углу АСВ. Угол АСВ равен углу ABC.

2)  Олег княжил раньше Владимира. Владимир царствовал после Олега.

3) Ромео любит Джульетту. Джульетта любит Ромео.

4) Онегин — друг Ленского. Ленский — друг Онегина.

5) Иван — брат Петра. Петр — брат Ивана.

6) Иван — брат Елены. Елена — брат Ивана.

7) Иван Михайлович — отец Пети. Петя — сын Ивана Михайловича.

8) Иван Михайлович — отец Жени. Женя — сын Ивана Михайловича.

9) Луна притягивается к Земле. Земля притягивается к Луне.

10) А больше или равно В. В больше или равно А.

11) Суждения выражаются в предложениях. Предложения выражают суждения.

9. В чем нелогичность поступков эмира в следующем анекдоте о Ходже Насрэддине?

“Эмир увидел во сне, что у него выпали зубы. Он вызвал к себе толкователя снов. “Не могу скрыть истины, — сказал тот, — ваши дети и все ваши родственники умрут раньше вас!” За такое мрачное предсказание эмир приказал казнить толкователя. После казни эмир встретился с эфенди: “Не можешь ли ты хоть объяснить мне подлинное значение моего странного сновидения?” — “Могу, долговечный государь! — ответил эфенди. — Хороший сон! Вы проживете на этом свете дольше своих детей и родственников!” Успокоенный эмир щедро вознаградил эфенди” (Анекдоты о Ходже Насрэддине).

10. В чем нелогичность поступка самого Ходжи Насрэддина? “Однажды Ходжа надел черные одежды и вышел на улицу. Какие-то невежи спросили у него: “Ходжа, что с тобой, ты весь в черном?” А Ходжа отвечал: “Умер отец моего сына, и я ношу по нем траур”” (Анекдоты о Ходже Насрэддине).

11. Подвергните критике следующую цитату из одного популярного журнала: “Если из двух суждений выводится третье, получается опосредствованное умозаключение, или силлогизм. В силлогизме различают большую и малую посылки и заключение: “Диван находится в комнате” — большая посылка. “Кот сидит на диване” — малая посылка. Следовательно, “кот находится в комнате” — заключение”.

12. Определите те свойства отношений, на основе которых сделаны следующие умозаключения. Правомерны ли они?

1) а  b; b  с; следовательно, а  с;

2) а =/= b; b =/= с, следовательно, а =/= с;

2)      А обыгрывает в шахматы В; В обыгрывает С, С обыгрывает Д,

значит, А обыгрывает Д.

4) А современник В; В современник С, значит, А современник Г.

5)      Динозавры — современники рыбы “коэлякантус”. Рыба “коэлякантус” — наша современница, значит, динозавры – наши современники.

ГЛ. II. ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ

 

 

1. Проанализируйте следующие тексты, Выделите в них предметные константы, предметные переменные и предикаты. Отметьте число мест предикатов.

1) Нам не хватает глубины —

Все так поверхностно и зыбко. (Е. Покрачинская).

2) Авиация бомбит Бамут.

3) Президент Ельцин несет ответственность за войну в Чечне.

4) Душа влюбленного живет в чужом теле. (Катон).

                  5) Но старость — это Рим,

    который,

    Взамен турусов и колес,

    Не читки требует с актера,

    А полной гибели всерьез.

   (Б. Пастернак).

6) Свои собственные способности мы рассматриваем как бы через увеличительные стекла, а способности других — как бы через уменьшительные. (Ламетри).

7) Самые знаменитые одесские градоначальники — Ришелье, Ланжерон, де Волан — были французами.

8) Не так давно по Центральному телевидению мать известного американского киноактера Сильвестра Сталоне сообщила, что их семья, оказывается, тоже родом из Одессы.

9) Он, действительно, с самого детства был сильнее всех.

2.  Выделите из предыдущего упражнения свободные и связанные переменные. Для поспедмих укажите, каким квантором они связаны.

3. Выразите следующие мысли в символике логики предикатов.

1) Если ваш супруг не пьет, не курит, не ругается и не просит есть, значит он спит.

2) Если вы раньше намеченного вернулись из командировки, а жена ждет вас дома, значит, это не ваша жена.

3) Если мужчина поднял на женщину руку, значит, он дирижер. Примеры 1)-3) — из “Всемирных одесских новостей”.

4) У нас в семье все такие тихие, мирные.

5) “В жене пороки или исправь, или терпи: исправишь — жена •твоя будет лучше, а стерпишь — лучше будешь сам/>. (Хрестоматия по ранней римской литературе. М., Высшая школа. 1989, с. 149).

6) Что мне лучше: взять девицу в жены или вдовушку? - Если свежа – девицу (там же, с. 77).

4. Исходя из того, что все люди смертны, докажите смертность всех одесситов, опираясь на первую аксиому Бернайса. правило у| и правило логики высказываний Modus Ponens.

5.  Исходя из того, что одесситы — народ предприимчивый, докажите, что существуют такие одесситы, которые предприимчивы.

6. Какой вывод можно сделать по схеме I из того утверждения, что для любого человека верно, что если он будет упорно заниматься, то овладеет логикой.

7. Сделайте вывод по схеме II из суждения: “Для любого тигра и любого кота верно, что тигр победит кота”.

8. Для всякого числа верно, что, если оно делится на 9, то делится и на 3. Следует ли отсюда, что существование чисел, которые делятся на 9, влечет за собой существование чисел, которые делятся на 3?

9. Пусть для всякого человека найдется такой, который его любит. Следует ли отсюда, что найдется такой человек, который любит всех?

10.Существует человек, который любит всех. Следует ли отсюда, что для каждого найдется человек, который его любит?

 

 

ГЛАВА III. ЯЗЫК ТЕРНАРНОГО ОПИСАНИЯ

 

1. Выясните, каким типом формул ЯТО выражается логическая структура. Отметьте, где вещь, свойство и отношение.

1) Завтра в Белоруссии второй тур повторных выборов в Верховный Совет в 119 избирательных округах. (Из газет).

2) ... Интересный пьяница доставлен в медвытрезвитель при Киевском РОВД. Зовут его Николай Иванович, он 1937 года рождения, житель г. Беляевки. (Из газет)

3) “А нам все равно” (Из популярной песни)

4) “Рая пишет письмо самой себе круглым и внятным почерком Самуила Маршака” (Б. Херсонский. Семейный архив).

5) В Одессе — 9, в Москве — 4. Стало быть, там теплее. — Прогноз погоды.

6) “Опасения, что нас скупят на корню иностранцы, сильно преувеличены” (из газет).

7) Нас притесняли.

8) Сегодня — Юрьев день, день Георгия Победоносца, день Егория осеннего, холодного.

9) К коррупционным деяниям относятся:

— незаконное получение материальных благ, услуг, льгот или других преимуществ, в т. ч. принятие или получение предметов (услуг) путем их приобретения по цене (тарифу), которая является существенно ниже их фактической (действительной) стоимости (Виктор Лисевич, адвокат).

10) Вечный источник света.

11) Хитрость мирового разума.

12) Одесские станкостроительные предприятия.

13) Сумма двух чисел.

14) Роберт Бернс в переводах С. Маршака.

15) Сватовство Дункана Грея (Р. Бэрнс).

16) Агроном — специалист по земледелию. Алкоголь — спирт, который имеется в вине, водке и т. д.

17) Физическая диссертация о различии смешанных тел, состоящем в сцеплении корпускул, которую для упражнения написал Михаиле Ломоносов, студент математики и философии, в 1739 году в марте.

2. Определите, в каких примерах предыдущего упражнения сделанный Вами логический анализ является исчерпывающим, т. е. где выделенные компоненты не требуют дальнейшего анализа.

3. Там, где анализ примеров предыдущего упражнения не является исчерпывающим, сделайте его более детальным, определив там, где это возможно, тип выделенных выше подформул.

4. Определите, в каких примерах предыдущего упражнения сделанный Вами логический анализ является исчерпывающим, т. е. где выделенные компоненты не требуют дальнейшего анализа.

5. Сделайте исчерпывающим логический анализ примеров 2), 4), 6), 16). Там, где это необходимо, используйте йота-операторы для выявления тождественных друг другу объектов. Интерпретируйте полученные формулы на соответствующих текстах, подставляя имена вещей, свойств и отношений на соответствующие места в формулах.

6. Вернитесь к упражнению 1. Дайте другие примеры, удовлетворяющие тем же структурным формулам, которые вы выявили, выполняя это упражнение.

7. Вернитесь к упражнению 3. Дайте другие примеры, удовлетворяющие тем же структурным формулам, которые вы выявили, выполняя это упражнение.

8. Дайте полный логический анализ следующих текстов с интерпретацией полученных формул. Формулы можно строить поэтапно, не отрываясь от интерпретации.

1) Ананд — необыкновенно тактичный, интеллигентный, хорошо воспитанный молодой человек. Ему 25 лет. (из газет).

2) Мне жаль жильцов

    навозной кучи,

   Что не похожи на людей.

    И все один другого “круче”,

  “Блатней”, “прикольней”

   и “клевей”.

  (Аня Яблонская).

9. Сэр Олег Филимонов рассказал следующий анекдот:

“Встретились как-то на улице два психа. Один кричит: “Я — Наполеон! Я — Наполеон!” Другой: “Я — Жириновский! Я — Жириновский!” Первого увезли в психбольницу, а второго отпустили. Потому что оказалось, что он действительно Жириновский...”

Ниже дана его формализация без использования нота-операторов. Сделайте необходимые отождествления с помощью йота-операторов, а затем интерпретируйте полученную формулу на материале анекдота (можно это сделать и в обратном порядке).

 А(АА), А(А{{(А)А}, {(А)А}}), А (А{{(А)А}, {(А)А}}), (А)А, {(А)А  (А)А}

10. Дайте формальные определения атрибутивной, реляционной, мереологической и нейтральной импликаций.

11. Всякое ли категорическое суждение можно истолковать как атрибутивную импликацию?

12. В чем разница между суждениями: “на флагах есть белые, красные и синие цвета” и “Флаги — белые, красные и синие”?

13. В клетках следующей таблицы отметьте те импликации, которые могут существовать между одними и теми же объектами:

 

 

 

 

А

 

Р

 

М

 

Н

 

Атрибутивная

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Реляционная

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Мереологическая

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Нейтральная

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14. Выразите примеры из приведенного ниже текста Аристотеля с помощью разного типа импликаций.

“Из существующего одно говорится о каком-нибудь подлежащем, но не находится ни в каком подлежащем, например, человек; о подлежащем — отдельном человеке говорится как о человеке, но человек не находится ни в каком подлежащем; другое находится в подлежащем, но не говорится ни о каком подлежащем (я называю находящемся в подлежащем то, что, не будучи частью, не может существовать отдельно от того, в чем оно находится), например, определенное умение читать и писать находится в подлежащем — в душе, но ни о каком подлежащем не говорится как об определенном умении читать и писать. И определенное белое находится в подлежащем — в теле (ибо всякий цвет — в теле), но ни о каком подлежащем не говорится как об определенном белом” (Категории, глава II).

15. О какой импликации идет речь в следующем тексте Аристотеля: “Далее, когда принимают если есть человек, то необходимо есть и живое существо, и если есть живое существо, то необходимо есть и сущность. (Следовательно), если есть человек, то необходимо есть и сущность” (Первая аналитика, книга I, гл. 32).

16. Правильно ли получен вывод с помощью правила подстановки:

1) Любой знающий логику будет иметь преимущество над любым, логику не знающим. Следовательно, любой знающий логику будет иметь преимущество перед профессором Сидоровым, который логику не знает.

2) Средневековый схоласт Дунс Скот установил, что из любого ложного высказывания следует любое высказывание. Значит, Дунс Скот установил, что из высказывания “Луна сделана из зеленого сыра” следует, что Сидорова выберут в президенты.

3) Золотая рыбка обещала выполнить любое желание старика. Значит, она обещала выполнить и последнее желание, которое, однако, не выполнила.

4) Лампа, способная выполнить любое желание ее владельца, дороже золота. Значит, лампа, способная удовлетворить желание владельца хорошо пообедать, дороже золота.

5) Какими бы свойствами ни обладал наследный принц, он будет царствовать. Значит, сумасшедший наследный принц будет царствовать.

17. Правильно ли сделан вывод по схемам I-II?

1) Кошка сильнее мышки. Мышка сильнее слона. Значит, кошка сильнее слона.

2) Кошка сильнее мышки. Значит, кошка вместе с собакой тем более сильнее мышки.

3) Год включает зиму. Значит, год вместе с весной тем более включает зиму.

4) События, которые должны произойти завтра в Белоруссии, включают 

    в себя выборы в Верховный Совет в 119 избирательных округах.

    Значит, события, которые должны произойти в Белоруссии завтра и

   послезавтра, включают в себя выборы в Верховный Совет в 119

   избирательных округах.

18. Проанализируйте следующий текст из книги Б. Рассела. В каком отношении находится мысль, выраженная Б. Расселом к схеме III?

“Я считаю процесс, идущий от диктора к слушателю в радиовещании, одной причинной линией; здесь начало и конец сходны по качеству, как и по структуре, но промежуточные звенья — звуковые волны, электромагнитные волны и физиологические процессы — имеют сходство только в структуре друг с другом и с начальным и конечным звеньями последовательности. Существование таких более или менее самих себя определяющих причинных процессов ни в коей степени не представляет собой логической необходимости, но является, как я думаю, одним из основных постулатов науки” (Человеческое познание. М.. Изд. иностр. лит., 1957, с. 492).

19. А. Минчин спрашивал Иосифа Бродского:

“Неизвестный Рейн, он вам как? Я слышал, что он был вашим

учителем?”

И Бродский ответил: “Ну, учителем он моим никогда не был.

Но мы с ним довольно близко общались, что могло повлиять”.

(Интервью с Иосифом Бродским).

Как вы объясните появление “Но” в ответе И. Бродского?

20. Приведите свои примеры на применение схем I-III.

21. Правильны ли следующие выводы?

1) В воде много примесей. Примеси часто бывают вредными. Значит, в воде много вредных веществ.

2) У собаки есть хвост. Хвост — бесполезный орган. Значит, у собаки есть бесполезный орган.

3) В городе много собак. Английский бульдог — собака. Значит, в городе много английских бульдогов.

22. Проанализируйте следующее рассуждение Аристотеля с точки зрения использования схемы VI. “Власть же отца над детьми может быть уподоблена власти царя: родитель властвует над детьми в силу своей любви к ним и вследствие того, что он старше их, а такой вид власти и есть именно царская власть” (Политика, Книга I, V-1).

23. Правильно ли сделаны выводы:

1) Курить — здоровью вредить. Нанесение вреда здоровью должно караться законом. Значит, курение должно караться законом.

2) Если разделять точку зрения Галилея, то это значит считать Землю не центром Вселенной и не неподвижною. Но “считать Землю не центром Вселенной и не неподвижною есть мнение нелепое, философски ложное и противное духу веры”. Поэтому если согласиться с Галилеем, то это будет означать согласие с мнением нелепым, философски ложным и противным духу веры.

3) Снег это вода. Значит, мокрый снег это мокрая вода.

4) Корова — животное. Значит, морская корова это морское животное.

5) Звездное небо над нами. Значит, красота звездного неба это красота того, что над нами.

6) Одесса это Украина. Значит, герб Одессы это герб Украины.

7) Семья — ячейка общества. Значит, дружная семья это дружная ячейка общества.

8) Англия — европейская страна. Значит, Англия с колониями есть европейская страна с колониями.

9) Кот — животное. Значит, кот в сапогах это животное в сапогах.

10) Булочка с изюмом содержит изюм.

Булочка с изюмом в упаковке содержит изюм в упаковке.

11) а = b. Значит, а + с = b + с.

12) а = b. Значит, а • с = b • с.

 

 

 

ЛИТЕРАТУРА ДЛЯ ДАЛbНЕЙШЕГО ИЗУЧЕНИЯ

ПО ТЕМЕ “РЕЛЯЦИОННАЯ ЛОГИКА”

 

С. И. Поварнин, Логика отношений. Пг. 1915. Хорошее изложение развития идей логики отношений.

С. И. Поварнин. Логика. 1916. — 206 с. Изложение варианта логики отношений, разработанного автором. Для понимания достаточно материала настоящего пособия.

Р. 3. Джиджян. Расширенная силлогистика. Ереван, Изд. ЕУ, 1977. — 207 с. Содержит два раздела, посвященные логике отношений.

Шарль Серрюс. Опыт исследования значения логики. М., 1948. — 227 с. Перевод с французского. Исследованы философские вопросы, связанные с противопоставлением аристотелевской логики и логики отношений. Содержит вступительную статью и комментарии проф. В. Ф. Асмуса. Для понимания книги требуется достаточно серьезная философская подготовка.

В. Зегет. Элементарная логика. М., Высшая школа, 1985. —- 256 с. Перевод с немецкого. Рекомендуется как книга, в которой, наряду с традиционной логикой, достаточно популярно изложена логика предикатов.

В. А. Бочаров, В. И. Маркин. Основы логики. М., Космополис, 1994. -272 с. Как и в книге В. Зегета, изложение математической логики предшествует изложению логики традиционной. Большое внимание уделено логике предикатов (Гл. III. IV), в том числе тем вопросам, которые опущены в нашем пособии.

А. И. Уемов. Системный подход и общая теория систем. М., Мысль, 1978. — 272 с. Элементы языка тернарного описания изложены в связи с задачами построения общей теории систем.

А. И. Уемов. Основы формального аппарата параметрической общей теории систем // Системные исследования. Ежегодник 1984, М., Наука, 1984, с. 152-180. Дается систематическое изложение языка тернарного описания как логической системы. Изложение концентрированное и потому не всегда легко для понимания. Однако, никаких дополнительных сведений, кроме тех, которые изложены в этом пособии, для понимании статьи не требуется. Обозначения несколько отличаются от тех, которые даны в нашем пособии.

ЧАСТb IV. ИНДУКТИВНАЯ ЛОГИКА

 

 

 

ГЛАВА I. СУЩНОСТb И ВИДЫ ИНДУКЦИИ ЧЕРЕЗ ПЕРЕЧИСЛЕНИЕ

 

 

§ 1. Дедукция и индукция

 

До сих пор, в трех предыдущих частях учебника, мы рассматривали дедуктивные (от латинского deductio — выведение) умозаключения, т. е. такие, правомерность которых определяется исключительно их логической структурой. Эта структура находит свое выражение в соответствующей логической схеме или формуле. Задача дедуктивной логики заключается прежде всего в отделении правильных структур мысли от неправильных. Если логическая схема выражает правильную структуру, то, подставляя в эту схему в качестве посылок истинные мысли, мы получаем в качестве заключения так же истинные мысли.

Однако, зная, что при соблюдении правил построения дедуктивного умозаключения истинные посылки приводят к истинным результатам, естественно поставить вопрос: “Как убедиться в истинности посылок?” Эти посылки могут быть получены с помощью дедуктивных умозаключений из других посылок. А как получены другие посылки? В итоге мы приходим к таким положениям, которые дедуктивно ни из каких иных положений не выводятся. Из каких посылок можно вывести, например, такие заключения: “Все тела движутся”, “Все тела притягиваются друг к другу” и т. д.? Здесь нужно опираться на факты, приводя примеры движущихся, тяготеющих друг к другу тел. К фактам приходится прибегать и тогда, когда дедуктивный вывод в принципе возможен, но его правильность труднее обосновать, чем истинность заключения. Например, пусть нам надо доказать свое алиби, обосновав положение о том, что в тот день, когда было совершено преступление, мы не выходили из дома. Если признать истинным суждение о том, что мы всю неделю не выходили из дома, то отсюда дедуктивно следовало бы, что и во вторник на этой неделе мы не выходили из дома. Однако более общее суждение обосновать труднее. Поэтому достаточно сослаться на факты, относящиеся лишь ко вторнику: нам звонили утром, заходили днем, видели в окно вечером и т. д.

Ссылка на факты обычно считается убедительной, но часто приводит к неверным результатам. Любители детективных сюжетов знают, что на первый взгляд бесспорное, казалось бы, обоснованное фактами алиби может быть ложным: преступник успевает совершить преступление за тот маленький промежуток времени, когда за ним никто не наблюдает. Или другой пример: мы видим много движущихся тел, но еще большее количество мы не видим, а значит, не можем их наблюдать. Правомерно ли в таком случае утверждение: “Все тела движутся”? В этих и подобных случаях, хотя все известные факты — достоверны, ошибочный вывод не исключен, потому что мы выходим за пределы объектов, сведения о которых содержатся в посылках.

Умозаключения, вывод в которых выходит за рамки объектов, о которых идет речь в посылках, называются индуктивными, или просто индукцией (от латинского inductio — наведение).

С точки зрения строгой логической теории дедуктивного вывода, большая часть индуктивных умозаключений являются неправильными, поскольку в них не гарантируется достоверность получаемого результата. Однако, существует большая разница не только между истинными и ложными суждениями, но и между суждениями более вероятными и менее вероятными. Например, возьмем два суждения: “Завтра на улице будет тепло” или “Завтра на улице будет холодно”. Оба они проблематичны. Кто знает, какая завтра будет погода? Но, если сейчас зима, то одно из них — “Завтра на улице будет холодно” — более вероятно, хотя нет никакой гарантии, что не наступит оттепель. Поэтому выяснение условий повышения вероятности вывода имеет не меньшее практическое значение, чем формулирование правил, при выполнении которых эти выводы будут безусловно достоверными.

Сопоставим друг с другом два простых умозаключения:

 

Все люди смертны                         Сократ смертен

Сократ — человек                          Герцог Веллингтон смертен

Сократ смертен.                              Все люди смертны.

 

Первое — хорошо знакомое дедуктивное умозаключение — категорический силлогизм 1-й фигуры, второе — индукция.

В обоих случаях есть посылки и заключение. Но, в отличие от дедукции, в индуктивном умозаключении вывод относится к гораздо большему кругу объектов, чем те, о которых говорится в посылках. В обоих случаях предполагаются некоторые правила, которые, однако, не входят в число посылок. Правила силлогизма мы знаем. Они здесь выполнены. Поэтому силлогизм правилен. Будучи уверенными в посылках, мы можем быть уверенными в заключении. Правил соответствующего индуктивного умозаключения мы пока не знаем. О них будет идти речь ниже. Но они будут представлять собой лишь условия повышения вероятности вывода при наличии истинности посылок. Не исключено, что в каких-то частных случаях нам удастся найти такие правила, при выполнении которых вероятность вывода будет равна 1, как и в дедукции. Но при этом умозаключение останется индуктивным, если в выводе мы выйдем за рамки предметов, известных по посылкам.

Индуктивные умозаключения далеко не всегда встречаются в чистом виде. В ряде случаев они комбинируются с дедукцией. И тогда могут возникнуть гибриды, соединяющие в себе положительные признаки обоих родителей — новизну результата индукции и достоверность дедукции. Об этом у нас также будет идти речь ниже.

 

 

 

 

§ 2. Неполная индукция через перечисления и ее правила

 

Пример неполной индукции был только что рассмотрен выше — это вывод от смертности Сократа и Веллингтона к смертности людей вообще. Здесь имеет место перечисление и каждый согласится с тем, что перечисление неполное.

Уточняя посылки, мы могли бы сказать, что Сократ, обладающий свойствами человека, смертен и Веллингтон, обладающий свойствами человека, смертен. Используя знакомую нам символику ЯТО, запишем: ([(a) ιa]) ιιa, ([(a) ιa]) ιιa. Здесь ιa интерпретируется как человек, ιιа — смертен. Что касается просто а, то оно в одном случае обозначает Сократа, в другом — Веллингтона, но могло бы обозначать и обоих вместе, а также сколь угодно большое количество людей. Имея это в виду, запишем схему вывода по неполной индукции через перечисление:

([(a) ιa]) ιιa           (1)

([(A) ιa]) ιιa   

Напомним, что А — символ произвольного объекта.

Сформулируем правила неполной индукции через перечисление.

1. Каждый без подсказки поймет, в чем недостаток индуктивного умозаключения, рассмотренного выше. Сократа и Веллингтона слишком мало для того, чтобы на основе их смертности делать вывод о смертности людей вообще! А сколько надо? Тысячу, миллион, миллиард? Никто не скажет. Однако, выглядит вполне разумным требование, чтобы число случаев, зарегистрированных в посылках, было возможно большим.

Однако, не следует преувеличивать значимость этого требования. Существует рассказ о мореплавателе, который говорил королю Сиама невероятные глупости о своей стране, и король всему верил. Но когда мореплаватель впервые сказал правду, что зимой вода у них становится твердой и по ней можно ходить и ездить, король обвинил его во лжи. Дело в том, что король исходил из своих наблюдений, наблюдений своих поданных и жителей соседних стран. Поскольку никто из них не видел, чтобы вода становилась твердой, они не могли поверить мореплавателю. Мы видим, что причина заблуждения заключается не в недостаточном количестве фактов, а в том, что все они носят однотипный характер. Таким образом, нарушено второе, более существенное, чем первое, условие правдоподобия индуктивного вывода:

2. Факты, на основе которых делается вывод, должны быть как можно более разнообразными. Падение яблока на землю и движение Луны вокруг Земли настолько разнородные явления, что до Ньютона никому не приходило в голову их объединить для получения вывода: “Все тела притягиваются друг к другу”. Именно разнородность этих фактов обеспечивала высокую степень достоверности полученного вывода. Творческое мышление, приводящее к решению трудных задач, часто связано именно с умением обеспечить разнообразие фактов, выйти за рамки привычного стереотипа.

3. Рассматриваемые факты должны быть типичными, существенными для родового понятия, являющегося субъектом заключения. Например, желая доказать, что вода в море соленая, нельзя пробовать ее в Рижском заливе и в Черном море около Одессы весной, потому что эти водоемы — не типичные, а особенные моря. Балтийское море — бывшее пресноводное озеро, а весной вода в Одесском заливе опресняется за счет паводка рек, таких как Днепр и Дунай.

Необходимо отметить, что между третьим и вторым условиями существует некоторое противоречие. Нужно исходить из компромисса между обоими требованиями: стараться брать разнообразные примеры, среди которых были бы типичные.

4. Предыдущие правила предполагали вывод заданным, и поэтому они относились только к посылкам. Но можно подойти к проблеме увеличения вероятности вывода и с другой стороны — предположить заранее данными посылки и выяснять, какой вывод из этих посылок будет более вероятным. Применительно к субъекту заключения можно сформулировать такое правило: объем понятия, являющегося субъектом заключения, должен быть минимальным.

Рассмотрим приведенный выше пример со смертностью Сократа и Веллингтона. Если бы вывод был не “Все люди смертны”, а “Все европейцы смертны”, он был бы более вероятным. Еще более вероятным был бы вывод “Все знаменитые европейцы смертны”. Сужая субъект заключения, мы должны следить за тем, чтобы в его объем попадали все объекты, являющиеся субъектами посылок. Так, вывод “Все знаменитые европейские философы смертны” сделал бы недействительным аргумент “Веллингтон смертен” и вывод “Все знаменитые европейские полководцы смертны”, соответственно, — аргумент “Сократ смертен”.

5. Правило, относящееся к предикату заключения, имеет противоположный характер. Объем понятия, являющегося предикатом заключения, должен быть возможно большим, а содержание, соответственно, наиболее бедным.

Ясно, что чем меньше объем предиката, тем меньше вероятность того, что субъект окажется целиком внутри него и, наоборот, чем больше предикат, тем больше эта вероятность. Ситуация похожа на стрельбу по мишени. Вероятность попадания в большую мишень больше, чем вероятность попадания в меньшую.

Возьмем в нашем примере не свойство смертности, а, скажем, талантливости. Сократ — талантлив, Веллингтон талантлив, значит, все люди талантливы. Вывод здесь будет гораздо менее вероятным, чем “Все люди смертны”, поскольку по объему “смертные” значительно больше, а по содержанию беднее, чем “талантливые люди”.

Существуют и другие правила, относящиеся к заключению неполной индукции через перечисление, но мы на них останавливаться не будем.

 

 

§ 3. Достоверная индукция

 

Посмотрим, что произойдет, если мы получим возможность совершенствовать неполную индукцию путем все более полного соблюдения изложенных выше правил. Например, сузим субъект заключения до “Дни этой недели”, а частных случаев будем брать все больше, например, “в понедельник шел дождь”, далее, во вторник и так вплоть до воскресенья. Окажется, что все дни недели мы перебрали. Нетрудно перебрать всех студентов какой-то группы, всех членов семьи и т. д. В таких случаях индукция становится полной, а вероятность вывода становится равной 1. Полную индукцию можно определить как такое умозаключение, в котором общее заключение о некотором классе предметов делается на основании изучения всех предметов этого класса. Так как в полной индукции мы не выходим за рамки того, что было дано в посылках, ее иногда вообще не считают индуктивным умозаключением. Более правильно было бы сказать, что полная индукция является своеобразной комбинацией индуктивного умозаключения с дедукцией из посылки, в которой утверждается, что исчерпаны все частные случаи. Но и здесь мы не застрахованы от ошибки в том случае, если некоторые представители интересующего нас класса просто неизвестны. Например, раньше астрономы делали ошибочный вывод, что все планеты и спутники движутся в одном направлении, потому что ученым еще не были известны спутники самых отдаленных от солнца планет, которые движутся в другом направлении.

Другой случай достоверной индукции — математическая индукция. Она известна всем, кто изучал математику в средней школе. Это — метод доказательства математических утверждений, основанный на принципе: утверждение А(х), зависящее от натурального числа х, считается доказанным, если доказано А(1) и для любого натурального п из предположения, что верно А(п) выведено, что верно также А(п+1).

Здесь мы также имеем комбинацию индуктивного вывода — от частного случая А(п) с дедукцией, с помощью которой осуществляется переход от А(п) к А(п+1).

Следующий тип достоверной индукции можно пояснить на примере истории, которая, как говорят, случилась с И. Ньютоном. У него было две кошки — большая и маленькая. Для того, чтобы они имели возможность выходить из комнаты, он сделал в двери два отверстия, одно — для маленькой кошки и другое — для большой. Каждый, не столь сосредоточенный на науке, как И. Ньютон, поймет его ошибку: если большая кошка пролезает через какое-то отверстие, то маленькая кошка сделает это тем более. Таким образом, из одного только факта, что данная кошка пролезла через отверстие, можно сделать вывод о том, что и все кошки меньшего размера пролезут. Соответственно из того факта, что данная кошка не может пролезть, следует, что ни одна, большая чем данная кошка так же не сможет пролезть. Аргумент такого рода восходит к известному нам стоику Хризиппу. Он получил название a fortiori (а форциори, что означает на латинском языке “тем более”).

Существует еще один случай, когда вывод от отдельных фактов к общему суждению будет вполне правомерным. Он связан с такими ситуациями, когда частное суждение оказывается невозможным, и выбор делается между двумя общими суждениями. Так, открыв представителя какого-либо нового биологического вида, естественно заинтересоваться тем, не является ли он хищником. Выяснив, что эта особь — хищник, можно быть уверенным в том, что и все другие особи этого же вида — хищники. Соответственно и наоборот, если эта особь — травоядное, то и все остальные будут травоядными. Совершенно исключен случай, когда некоторые особи данного вида — хищники, а другие — травоядные. Если бы такое было обнаружено, они просто перестали бы относиться к одному и тому же виду.

ГЛАВА II. ИНДУКТИВНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ПРИЧИННЫХ СВЯЗЕН

 

 

§ 1. Понятие причины. Дедуктивные и индуктивные методы исследования причинных связей

 

Особое место занимает применение индукции при изучении причинных связей между явлениями. Под причиной явления В понимается явление А, наличие которого обязательно вызывает явление В. Явление А называется в том случае действием причины. Иными словами, А является достаточным условием для наступления действия В.

Термин “действие” нужно отличать от одного из основных понятий логики — “следствие”. Действие, как и порождающая его причина, существует в самой природе. Следствие, равно как и основание, из которого оно вытекает, это наши мысли. Основание может соответствовать причине, следствие — действию, но это не обязательно. Так, дождь является реальной причиной того, что крыши домов мокрые. Логические основание и следствие будут как раз обратными, так как, выглянув в окно и увидев мокрые крыши домов (логическое основание), мы выводим из него логическое следствие: “Шел дождь”.

Тем не менее, очень часто, особенно в философской литературе, слово “следствие” понимается в смысле “действия”, что надо иметь в виду, чтобы не возникло недоразумений.

Соотношение между причиной и действием может изучаться в рамках дедукции. Выше это было показано на примере логики отношений. Там утверждения о наличии причинных связей рассматривались в качестве предпосылок. Но откуда берутся эти предпосылки? Дедуктивная логика ответить на этот вопрос не может.

            “Органон” Аристотеля — книга, в которой объединены все его логические работы, здесь оказывается бессильным.

Поэтому, когда задача исследования причинных связей в связи с развитием естественных наук выступила на первый план, знаменитый английский философ Френсис Бэкон (1561 — 1626) пишет “Новый органон”. В этой книге разработаны методы нахождения причин. Однако, они достаточно громоздки. Значительно более простые и четкие формулировки даны английским логиком Джоном Стюартом Миллем (1806 — 1873).

 

 

§ 2. Методы исследования причинных связей

 

Первый из методов исследования причинных связей, сформулированных Д. С. Миллем, это — метод единственного сходства. Д. С. Милль определяет его следующим образом: “Если два или более случая подлежащего исследованию явления имеют общим лишь одно обстоятельство, то это обстоятельство, в котором только и согласуются все эти случаи, есть причина (или следствие) данного явления” (Система логики, М., 1899, с. 313).

Применение метода сходства состоит из трех последовательных этапов: 1) определяются все случаи, где имеется явление а, причину которого мы ишем; 2) анализируются все отдельные случаи проявления а, выделяются все связанные с ним обстоятельства; 3) отыскивается общее для всех этих случаев обстоятельство, которое будет причиной интересующего нас явления а. Необходимо отметить, что общее обстоятельство должно быть единственным. Если будут общими два обстоятельства (скажем, А и В), будет не ясно, какое именно из них будет причиной явления а. Поэтому этот метод является не просто методом сходства, а методом единственного сходства.

Приведем пример, анализ которого не только поможет читателю постичь логику, но и применить ее, найдя средство, которое, быть может, избавит его от болезни. В наше время становится очень распространенными, трудно поддающимися лечению, аллергические заболевания. Будем надеяться, что читателя они не постигнут, но если постигнут, то, зафиксировав случаи проявления аллергической реакции (а), пусть он проанализирует обстоятельства, связанные с ней (вспомнит, что ел, какие принимал лекарства, какие деревья растут возле и т. д.). Никто этого вместо него не сможет сделать. Обозначим каждое из обстоятельств заглавными латинскими буквами. Выразим результаты нашего исследования схематически. Допустим, что в нашем случае они выглядят так:

 

А В С D — а

В К А Е — а

С D В Т — а

D В Е А — а

    В  а

Единственным общим обстоятельством во всех рассмотренных случаях будет В (например, выпитое молоко). Другие обстоятельства, кроме В, не могут быть причиной а, так как а есть и в том случае, когда этих обстоятельств нет. Всегда же, когда есть В, есть и а, независимо от всех прочих обстоятельств. Следовательно, обстоятельство В будет причиной явления а, что мы выразим схемой В  а.

Можно ли записать общую логическую схему вывода по методу единственного сходства подобную тем, которые мы записывали выше? Такую схему мы только что записали, анализируя обстоятельства, приведшие к аллергии. Однако, в качестве общей схемы она не годится. В самом деле, почему рассмотрены только 4 случая и выделены только 4 обстоятельства? Можно, конечно, приписать и т. д. или поставить точки. Но тогда будет неясно, что входит в состав “и т. д.”. Этих трудностей можно избежать, используя формулы ЯТО. В таком случае схема вывода по методу единственного сходства будет иметь вид:

             .             A ιа ιιа          .

             {ιa  ιιа} v {ιιa  ιa}             (II)

Здесь мы использовали знак дизъюнкции v, который, хотя и не входит в число первичных символов ЯТО, но может быть через них определен. Причинная связь выражается нейтральной импликацией, смысл которой соответствует тому определению причинной связи, которое мы дали выше. Произвольный объект – А выражает любые, произвольные обстоятельства сопутствующие ιa и ιιа. Применяя метод единственного сходства, мы обычно легко определяем, какой из компонентов дизъюнкции в выводе верен, т. e. направлено ли причинное отношение от ιa к ιιа или же от ιιа к ιa. Так, в рассмотренном примере ясно, что употребление молока является причиной аллергии, а не наоборот, аллергия   — причина употребления молока.

Вывод по схеме II будет более вероятным, если будет соблюдаться правило: Число случаев, в которых обнаруживается исследуемое явление, должно быть как можно большим, а сами они максимально разнообразными.

Приведем пример, в котором это правило соблюдаемся в большой мере. Речь идет о поиске причины ряда непонятных явлений, когда два предмета неожиданно притягиваются друг к другу.

Два корабля идут параллельным курсом. Расстояние между ними уменьшается. Вдруг один из них поворачивается и врезается в борт другого. На судебном процессе капитан категорически отрицает вину кого-либо из членов команды. Выходит, что корабль повернулся сам собой. Возможно ли это?

Одна из самых страшных катастроф на море — гибель английского гигантского лайнера “Титаник” при столкновении с айсбергом. В последний момент “Титаник”, как известно, удалось повернуть, и он пошел параллельно айсбергу. Но все же он столкнулся с ледяной горой, которая порвала борт корабля.

Возьмем другие факты, казалось бы, не имеющие отношения к рассмотренному. Течение реки высасывает воду из болота, соединенною с этой рекой.

Ураган сбрасывает крышу, даже если ока совершенно плоская и не создает препятствий движению воздуха. Вентилятор в вагоне состоит из двух труб. Во время хода поезда в расположенной над крышей трубе создается ток воздуха, который “отсасывает” воздух из вагона. И, наконец, возьмем обыкновенный пульверизатор для разбрызгивания одеколона. Здесь также две трубки. Они расположены под углом друг к другу. В одной трубке с помощью груши или дутья создается ток воздуха. Тогда по второй трубке, опущенной во флакон, поднимается одеколон и разбрызгивается.

Во всех этих случаях, несмотря на их разнообразие, имеется общее обстоятельство – поток жидкости или газа. Движущая жидкость или газ оказывают на стенки сосуда, в котором происходит движение, меньшее давление, чем покоящаяся (эффект Бернулли). Поскольку движение относительно, то все равно – считать корабли стоящими, а воду между ними движущейся или наоборот. Поэтому показания капитана корабля заслуживает доверия. “Титаник” мог повернуться в сторону айсберга под действием той же причины. И мы бы не советовали читателю этой книги стоять близко от быстро идущего поезда. То же самое общее обстоятельство, о котором идет речь, может Вас бросить в сторону поезда.

Метод единственного различия. Вернемся к исследованию аллергии. Полученный результат: молоко является ее причиной, следует проверить. Для этого нужно исключить из питания молоко, а все остальные обстоятельства оставить неизменными. И если аллергические явления исчезнут, то их причиной было молоко.

Здесь, для проверки вывода, полученного по методу сходства. мы использовали другой метод — метод единственного различия. Д. С. Милль определяет этот метод следующим образом: “Если случай, в котором исследуемое явление наступает, и случай, в котором оно не наступает, сходны во всех обстоятельствах, кроме одного, встречающегося лишь в первом случае, то же обстоятельство, в котором одном только и разнятся эти два случая, есть следствие, или причина, или необходимая часть причины явления” (Система логики, с. 314).

Сказанное может быть выражено следующей формулой ЯТО:

 

              {ιA ιιa ιιιa} {ιA ιιa' ιιιa'}             .          (III)

                {ιιιа  ııa) v {ιιа  ιιιа} v {ιιa а  ιιιа}

 

Здесь ιιιа — исследуемое явление, ιιιа' — его отсутствие, ιιа –различающее обстоятельство, ιιа' — его отсутствие, ιA – любое прочее обстоятельство, тождественное в обоих случаях. Символ а в третьем компоненте вывода означает, что ιιa — лишь часть причины. К ней нужно что-то, т. е. а, добавить, чтобы получить причину.

Говоря о правилах применения метода различия, полезно их сравнить с соответствующими правилами метода сходства. При применении метода сходства требуется анализировать возможно больше отдельных случаев. При применении же метода различия достаточно знать лишь два случая, и увеличение количества случаев не увеличивает степени вероятности. При методе сходства вывод получается более вероятным тогда, когда рассматриваются случаи, максимально отличные друг от друга. В методе различия вывод будет максимально вероятным, когда рассматриваемые случаи максимально похожи друг на друга.

В целом вывод, полученный по методу различия, обычно более вероятен, чем вывод, полученный по методу сходства, т. к. легче найти два похожие друг на друга события, отличающиеся друг от друга одним лишь обстоятельством, чем два или несколько событий, отличающиеся всеми обстоятельствами, кроме одного. Метод различия практически чаще применяется в сравнении с методом сходства не только потому, что увеличивает степень вероятности вывода, но и потому, что он более удобен. В методе сходства нужно анализировать большое количество случаев, а в методе различия — только два случая. Метод различия имеет большое применение не только как метод наблюдения, но и как метод эксперимента. Мы можем искусственно удалить то или иное обстоятельство ιιа и смотреть, исчезает ли ιιιа, или останется. Возьмем в качестве примера сельскохозяйственный эксперимент. Рассматриваются два поля, расположенные друг рядом с другом, т. е. в одинаковых природных условиях, в одном и том же элементе рельефа, под влиянием одного и того же микроклимата, на одних и тех же почвах. В течение ряда лет при одном и том же севообороте, там одинаков режим внесения удобрений и сельскохозяйственной обработки. Но при этом первое поле — орошаемое, а второе – богарное (неорошаемое). В результате эксперимента мы наблюдаем, что осолонцеванию подвержено только орошаемое поле. Вывод: причиной осолонцевания является орошение.

В рассмотренном примере случай, в котором явление осолонцевания наступает (первое поле), и случай, в котором оно не наступает (второе поле), имеют общими все обстоятельства, за исключением орошения. И поскольку орошение имеет место лишь на первом поле и именно орошением первое и второе поля разнятся между собой, то орошение и есть причина или необходимая часть причины изучаемого явления осолонцевания почв. (В. В. Люмкис. Методы индуктивного исследования при изучении почв. Аспирантский реферат по философии. Одесса, 1993).

Метод сопутствующих изменений. Рассмотрим такой пример. В физике существует закон инерции, согласно которому все тела стремятся сохранить состояние покоя или равномерно-прямолинейного движения. Первая часть понятна, но относительно второй части могут возникнуть сомнения. Чтобы телега сохраняла состояние равномерного движения, необходимо, чтобы ее тащила лошадь. Говорят, что все дело в силах трения, они-то и являются причиной отклонения от равномерного движения. А как это проверить? Естественно, попытаться взять два случая, в одном из которых трение присутствует, в другом — отсутствует. Но можем ли мы найти такой случай, когда бы трение отсутствовало совершенно? Нет. Следовательно, метод единственного различия здесь неприменим. И тем не менее, мы можем отыскать интересующую нас причину при помощи другого индуктивного метода — метода сопутствующих изменений. Применяя этот метод, мы будем изменять трение — делать его меньшим или большим. Если при этом таким же образом будет меняться отклонение от закона инерции, мы сделаем вывод о том, что причина этого отклонения действительно связана с трением.

Д. С. Милль дает следующую формулировку метода сопутствующих изменений: “Всякое явление, изменяющееся определенным образом всякий раз, когда некоторым особенным образом изменяется другое явление, есть либо причина, либо следствие этого явления, либо соединено с ним какою-либо причинною связью” (Система логики, с. 322).

Этому можно сопоставить формулу:

.                 ιa(*ιιa) • ιa(*ιιιа)                     .

{ιιa  ιιιa} v {ιιιа  ιιа} v {a  {ιιa, ιιιа}}

Здесь ιa — отношение, которое реализуется как на явлении ιιа, так и на ιιιа. В третьем компоненте заключения а — некоторая причина, общая для ιιа и ιιιа.

Одним из наиболее интересных примеров применения метода сопутствующих изменений в науке является открытие причины полярных сияний. Долгое время причина этих необыкновенно красивых небесных явлений оставалась совершенно неясной. Потом ученые стали подсчитывать частоту появления их. В один год полярных сияний бывает больше, в другие годы — меньше. Метеорологи составили график полярных сияний.

Совершенно в другой области науки – в астрономии изучалось другое не менее интересное явление — солнечные пятна, представляющие собой области на поверхности солнца с пониженной температурой. Солнечные пятна также появляются нерегулярно. Частота их появления меняется в разные отрезки времени. Ученые-астрономы составили график зависимости частоты появления солнечных пятен от времени. Каково же было удивление ученых, когда узнали, что графики двух совершенно различных явлений, относящихся одно к земной атмосфере, другое к поверхности солнца, оказались одинаковыми. Изменение частоты появления солнечных пятен соответствует изменению частоты полярных сияний. По-видимому, одно из них является причиной другого, солнечные пятна — причиной полярных сияний. Вывод здесь сделан по методу сопутствующих изменений. Аналогичный пример: киевские ученые обнаружили на основании материала, собранного по г. Киеву с 1963 по 1968 гг., что частота заболеваний инфарктом миокарда увеличивается соответственно изменениям в напряженности магнитного поля Земли. Следовательно, возмущения в магнитном поле Земли влияют на, казалось бы, не связанные с ними процессы в организме человека. Открытие указанной зависимости позволило заблаговременно провести соответствующие профилактические мероприятия (“Природа”, 1970, № 9, с. 108).

Сделанные выводы правомерны, по крайней мере, при одном условии. Оно аналогично тому, которое требуется соблюдать при применении метода различия. Применение метода различия дает достаточно вероятные выводы, когда остальные обстоятельства будут одинаковы. Это относится и к методу сопутствующих изменений. Здесь тоже вывод будет правомерным, когда все остальные обстоятельства. кроме двух, изменяющихся одинаковым образом, остаются неизмененными. Чтобы установить, что это действительно так, необходимо проанализировать полностью все обстоятельства. Это в большинстве случаев не удается сделать. Всегда остается возможность того, что не только данное, но и еще какое-то другое неизвестное нам обстоятельство тоже меняется, и именно оно может оказаться причиной изменения исследуемых явлений.

Выполнение изложенного требования должно исключить третью возможность, о которой говорит Милль в своем определении метода: “либо соединено с ним причинной связью”. Милль придает наличию этой возможности особое значение: “Последняя оговорка прибавлена потому, что, когда два явления сопровождают друг друга в своих изменениях, то отсюда вовсе еще не следует, чтобы одно из них было причиною, а другое следствием. То же самое может (и в действительности должно) произойти и в том случае, если мы предположим, что оба эти явления представляют два различных следствия одной причины” (с. 322).

К сожалению, с этим предостережением Милля далеко не всегда считаются. Отсюда могут проистекать заблуждения, жертвой которых мог бы стать и наш читатель.

Приведем пример. Некто Н. Сорокин из Караганды задает вопрос: “Мне приходится подрабатывать, поэтому копится хронический недосып. Вредно ли это для здоровья?” Еженедельник “Аргументы и факты” отвечает: “Во всем хороша мера. Исследование, проведенное группой американских психологов из Калифорнийского университета под руководством доктора Даниэля Кринке, свидетельствует о том, что “лишний” сон не только вреден, но и просто... опасен. Согласно собранным учеными данным, люди, которые любят всласть поспать, умирают раньше, чем те, которые спят 7-8 часов в сутки. Ну а как же с “недосыпом”? Оказывается, сон менее 4 часов в день губителен для организма. Вот статистика, полученная на основе обследования более миллиона американцев: продолжительность жизни тех, кто спит нормально, и тех, кто недосыпает, соотносится как два к одному.

Что весьма показательно, большинство самоубийц в США – люди, которые либо недосыпали, либо спали свыше 8 часов в день. Ученые сделали вывод, что “ненормально” короткий или длинный сон подрывает психику.” (№ 21, декабрь 1995 г.)

Вполне возможно, что как недосып, так и пересып определяется третьим фактором, который и является губительным. Быть может, для каждого есть свое, оптимальное время сна. И если Н. Сорокин послушается совета и будет спать всего лишь 5-6 часов, его хронический недосып будет расти, и он погубит свое здоровье. А все почему? Потому, что не только он, но и некоторые журналисты, и некоторые медики не знают логики!

Требование тождественности всех прочих обстоятельств может быть отображено в схеме метода, и тогда мы могли бы не учитывать в выводе наличие третьего фактора, изменение которого является подлинной причиной сопутствующих изменений двух факторов. В таком случае вместо формулы (IV) мы имели бы следующую схему вывода:

 

ιιιιA•{ιa(*ιιa)}, ιιιιA•{ιa(*ιιιa)}

    {ιιa  ιιιa} v {ιιιa  ιιa}                   (V)

 

Если посылки вывода выполняются, то обычно не составляет трудности определения, какой компонент дизъюнкции в заключении имеет место. Так, очевидно, что пятна на Солнце влияют на полярные сияния, а не наоборот, магнитное поле Земли влияет на инфаркты в Киеве, а не наоборот, несмотря на то, что мы не можем определить, что чему предшествует. Таким образом, применение методов индуктивного определения причинной связи вполне совместимо с тезисом, согласно которому причина и действие одновременны.

Сказанным выше не исчерпываются все условия повышения вероятности вывода при использовании метода сопутствующих изменений. Отметим одно важное условие теоретико-системного характера: Вывод будет тем более вероятным, чем более сложными по своему характеру являются сопутствующие изменения.

Рассмотрим пример, приведенный Б. Расселом. “Иногда, особенно на заходе солнца или когда вы стоите с друзьями у края глубокой и узкой долины и ваша тень появляется на склоне горы, стоящей напротив, вам бывает трудно решить, какому человеку принадлежит данная тень, но если вы махнете своими руками и увидите, что и тень повторяет ваши движения, то вы решите, что тень принадлежит вам; это значит, что вы допускаете определенную причинную связь между вами и тенью” (Человеческое познание. М., 1957, с. 497).

Совершенно очевидно, что если вы один раз махнете руками, то гарантии, что это ваша тень не будет — кто-то другой так же мог махнуть руками. Но чем более сложными будут ваши движения, которые повторяются тенью, тем более надежным окажется вывод о том, что есть причинная связь между вашими движениями и движениями тени.

Четвертый метод, сформулированный Д. С. Миллем, — метод остатков имеет, по существу, дедуктивный характер. Ммлль определяет его так: “Если из явления вычесть ту его часть, которая, как известно из предыдущих индукций, есть следствие некоторых определенных предыдущих, то остаток данного явления должен быть следствием остальных предыдущих” (Система логики, с. 319). Можно сказать короче: остаток причины есть причина остатка действия.

Рассмотрим простой пример. По реке движется пароход. Машина парохода сообщает ему скорость, допустим, 20 км в час. Реальная же скорость парохода оказывается 26 км в час. В чем дело? В чем причина явления? В данном случае явление, которое мы исследуем, это превышение скорости корабля над той, которая обусловлена работой машины. Обозначим это превышение символом ιιιιa. Скорость, обусловленная работой машины, — ιιιа. Работа машины пусть будет ιa. Кроме машины, на скорость движения парохода влияет течение — ιιа. Имеем следующую схему вывода:

 

ιa ιιa  ιιιa ιιιιa

       ιa ιιa           .              (VI)

     ιιa  ιιιιa

 

При помощи применения этого метода так же, как и путем применения других индуктивных методов, были сделаны крупные открытия в науке. Классическим примером такого открытия, вошедшим чуть ли не во все учебники логики, является открытие ученым Леверье планеты Нептуна по отклонениям в движении другой планеты — Урана. Планета Уран в своем движении отклонялась от той орбиты, по которой она должна была следовать, согласно законам Кеплера. Это отклонение могло вызываться действием известных планет, прежде всего, Сатурна, Юпитера и, в меньшей мере, остальных, и действием неизвестной планеты. Обозначим действие известных планет символом ιa, действие неизвестной планеты — ιιa. Установлено было, что ιa является причиной части действия, тогда действие неизвестной планеты ιιа, т. е. остаток причины, является причиной остатка действия, т. е. остаточного отклонения планеты Уран от нормальной орбиты. Таким образом, по этим данным и было установлено точное местоположение неизвестной планеты, которая была названа Нептуном. Астроном Галле нашел Нептун именно в том месте, которое было вычислено теоретически. Совершенно аналогично была открыта планета Плутон.

Условия правомерности применения метода остатков заключаются, прежде всего, в том, чтобы были выявлены действительно все обстоятельства, могущие оказать влияние на интересующее нас явление. В противном случае причина может оказаться среди неизвестных нам обстоятельств. Поскольку всегда остается возможность того, что не все явления нами учтены, вывод по методу остатков также является лишь вероятным.

В разобранном выше примере оставалась вероятность того, что отклонение Урана вызывается еще какой-то неизвестной нам причиной. Отклонение в движении Меркурия от нормальной орбиты также пытались объяснить влиянием неизвестной планеты, которую назвали Вулканом, но существование Вулкана не подтвердилось. Здесь осталось неучтенным одно обстоятельство, оказавшееся чрезвычайно важным для развития современной физики.

Другая ошибка связана с тем, что причина остатка действия отождествляется с причиной действия в целом. Вспомним старинную русскую сказку о репке. Дедка, бабка, внучка, жучка, кошка, мышка сообща вытянули репку. Но дедка не вытащил репку, так же как и бабка, внучка, Жучка и кошка, до тех пор, пока в работу не включилась мышка. Она и приписала себе все заслуги по вытягиванию репки.

Мы разобрали 4 основных метода индуктивного исследования причинных связей. Каждый из этих методов представляет собой ценное средство познания, но вместе с тем не обеспечивает полной достоверности вывода. Поэтому, чтобы добиться большей вероятности вывода, чтобы приблизить его к достоверности, необходимо строго соблюдать те правила, которые были выявлены выше при изложении каждого из методов. Кроме того, для повышения вероятности вывода полезно применять не каждый метод в отдельности, а комбинировать разные методы. Например, получать вывод при помощи метода сопутствующих изменений и проверять его методом единственного различия или комбинировать методы сходства и различия. Соединение этих двух методов Д. С. Милль рассматривает как особый метод, “соединенный метод сходства и различия”.

Интересный пример применения этого метода представляет собой исследование, проведенное академиком В. II. Филатовым. Известно было, что ряд окулистов — Фукс, Мажито, Шимановский, Савельев, Комарович — пытались делать пересадки роговицы глаз, взятых у трупов. За исключением одного случая, у Мажито, стойкого успеха не было. Все эти случаи объединяло одно общее обстоятельство: глаза, из которых брались роговицы для пересадки, были самыми свежими. Лишь в одном случае, у Мажито, глаз был использован для пересадки роговицы через 8 дней. И именно тогда был получен успех. В 1931 году Филатов сделал первую пересадку трупной роговицы. Несколько тысяч пересадок, сделанных впоследствии им или ею учениками, показали, что успех связан с пересадкой именно не самой свежей роговицы. Дальнейшие исследования, связанные с пересадкой роговицы, привели к открытию биогенных стимуляторов — веществ, стимулирующих жизнедеятельность (В. П. Филатов. Мои пути в науке. Одесса, 1955, стр. 23-26).

 

§ 3. Ошибки в определении причинных связей

 

Изложенные выше методы индуктивного исследования причинных связей между явлениями были разработаны лишь в середине XIX века. Но неверно было бы думать, что до этого причинные связи никто не определял. Без нахождения причин тех или иных событий невозможна сознательная жизнь. Как же искались причины? В науке обычно использовались те или иные приемы, предвосхищавшие методы Милля. Не исключено применение таблиц, разработанных Ф. Бэконом, или их аналогов.

А в сфере обыденного сознания доминировали те же способы, на которых исповедовалось убеждение о наличии причинных связей еще, быть может, в период первобытно-общинного строя. Наиболее распространено использование временного соотношения между причиной и действием.

Существует две основных точки зрения по этому вопросу. Согласно одной из них, причина одновременна производимому ею действию. Согласно другой, причина предшествует действию. Отсюда, любое явление одновременное данному могло рассматриваться как его причина или же, соответственно, причиной могло считаться любое явление, предшествующее данному. В первом случае причина определялась соответственно формуле “Cum hoc ergo propter hoc” (вместе с этим, значит, по причине этого). Во втором — соответственно формуле “Post hoc, ergo propter hoc” (после этого, значит, по причине этого). Чаще всего применялась вторая формула, отображающая господствующие представления о соотношении причины и действия. Например, идя на охоту, первобытный человек чертил на земле изображение животного, которое он хотел убить, и протыкал его копьем. Если охота была успешной, он был убежден, что причиной этого был совершенный им обряд. А если успеха не было? Тогда он, наверное, думал, что рисунок был плохим, и рисовал животное еще раз.

Понятно, что уже в древности возник скепсис по отношению к такого рода выводам. Об этом пишет известный римский оратор, политический деятель и философ Цицерон. Некий Диагор попросился на корабль. Его, по-видимому, не сразу, а после уговоров взяли и что же? Началась сильная буря. Перепуганные пассажиры легко определили причину бури по приведенной выше формуле. Беда приключилась после, а значит, вследствие того, как они согласились взять Диагора на корабль. Диагор же весьма остроумно опровергнул их вывод. Он, показав им на множество других кораблей, терпящих то же бедствие, спросил, неужели они считают, что и в тех кораблях везут по Диагору?

В другой раз друг Диагора обратил его внимание на то, как много в храме табличек с изображениями и надписями, из которых следует, что они были пожертвованы людьми, обещавшими богам их пожертвовать, вследствие чего они и спаслись во время бури. “Так-то оно так, — ответил Диагор, — только здесь нет изображений тех, которые также обещали пожертвования, но буря их потопила”. (Трактат “О природе богов”. XXXVII).

Понятно, почему выводы согласно приведенным выше схемам в настоящее время рассматриваются как логические ошибки. Для того, чтобы их избежать, следует руководствоваться противоположными формулами: “Cum hoc non est propter hoc” (Вместе с этим не значит по причине этого) и “Post hoc non est propter hoc” (после этого не значит по причине этого).

ГЛАВА III. ВЫВОДЫ ПО АНАЛОГИИ

 

 

§ 1. Определение и основные формы выводов по аналогии

 

Как мы видели, индуктивное умозаключение выводит нас за рамки данного в посылках. Однако сказанное в заключении включает в себя все сказанное в посылках. Другая форма недедуктивного вывода — выводы по аналогии представляют собой перенос информации с одного предмета (модели) на другой (прототип). Наряду с термином “прототип” употребляются также термины “образец”, “оригинал” и т. д. Модель в процессе познания выступает как некоторый заменитель своего прототипа, по той или иной причине более удобный для непосредственного исследования. Например, несмотря на все успехи в освоении космоса, Землю нам легче исследовать, чем, скажем, Марс. Мы можем с уверенностью сказать, что Земля обитаема. Зная же, что на Земле есть жизнь, мы можем сделать вывод о том, что жизнь есть и на Марсе. Земля здесь — модель, Марс — прототип.

На каком же основании сделан этот вывод? В качестве такого основания мы можем указать на то, что Земля и Марс обладают рядом общих свойств: то и другое — планеты, они имеют атмосферу, имеют смену дня и ночи, времен года и т. д. Эта информация может быть выражена в качестве посылки. Схема рассмотренного вывода будет иметь следующий вид:

 

{(ιa, ιιа*)a}, {(ιa) ιιιa}

        (ιιа) ιιιа                          (VII)

 

Здесь ιa — модель, т. е. Земля, ιιа — прототип, здесь — Марс. Большая посылка — (ιa, ιιa*)a означает, что одно и то же свойство присуще и модели и прототипу. Эта формула означает то же самое, что означало бы (ιa*)ιιιιa, (ιιa*)ιιιιa , где aιιιιa — свойство, которое присуще и ιa и ιιа.

Аналогия такого типа впервые была исследована Аристотелем, который называл ее парадейгмой (примером) (см. Первая аналитика, книга II, гл. 24). Мы будем использовать термин: “Аналогия типа парадейгмы”.

Долгое время выводы по аналогии типа парадейгмы в логике рассматривались как единственная форма умозаключений по аналогии, что в значительной мере объяснялось непререкаемым авторитетом логических работ Аристотеля. Однако, у самого Аристотеля в его естественнонаучных работах термин “аналогия” применялся к совершенно иного типа отношениям между мыслями.

Анализ выводов от модели к прототипу, которые использовались естествоиспытателями и математиками на протяжении более чем двух тысячелетий, позволили выявить более 50 форм выводов по аналогии, которые столь же существенно отличаются друг oт друга, как и от выводов по аналогии типа парадейгмы (Л. И. Уемов. Аналогия в практике научного исследования. М., Наука, 1970). Очевидно, что на самом деле различных форм выводов по аналогии еще больше. Поэтому споры о правомерности выводов по аналогии и их практической значимости, имевшие место в логике и методологии науки, лишены смысла до тех пор, пока не выяснено, о каких именно формах выводов по аналогии идет речь.

Не рассматривая вопрос о многообразии всех форм выводов по аналогии, выделим некоторые из них, имеющие наибольшее значение в современной науке и технике.

Когда мы изучали силлогизмы, то пользовались кругами Эйлера, на которых воспроизводили отношение, имеющее место между терминами силлогизма. Таким образом, создавалась модель, исследуя которую мы находили отношение следования (или его отсутствие), которое затем переносилось на прототип. Здесь мы имеем аналогию, но совсем иного типа, чем нарадейгма. Сущность этой аналогии можно выразить с помощью следующей формулы ЯТО:

 

{a(*ιa, ιιа)}, {ιιιа(ιa)}

     ιιιa(ιιa)                                     (VIII)

 

Эта формула вполне аналогична формуле парадейгмы. Отличия в том, что ту роль, которую в парадейгме играют свойства, здесь играют отношения. Звездочка здесь, как и в случае парадейгмы, означает, что исходное отношение (свойство) является тем, на основе которого подбирается модель. Переносимое же отношение (свойство) обнаруживается в модели. Поэтому во второй скобке звездочка не нужна.

Если парадейгма является атрибутивной аналогией, то рассмотренный сейчас тип выводов — это реляционная аналогия (в предыдущих работах автора использовался неудачный громоздкий термин “эмпирическая аналогия отношений”). Реляционная аналогия в определенном выше смысле сыграла особенно большую роль в развитии техники. Уже древние инженеры использовали модели. На моделях испытываются гидростанции и корабли. Пренебрежение моделями может дорого стоить. Один из наиболее ярких по своему трагизму примеров — история с английским военным кораблем “Кэптен”. Инженер Рид, исследуя модели, сделал вывод о том, что “Кэптен” будет плохо держаться на воде и может затонуть во время игюрма. Адмирапы ему не поверили. “Кэптен” погиб и с ним погибло 533 моряка. В Лондоне установлена мемориальная доска с “вечным порицанием невежественному упрямству лордов Адмиралтейства”.

Не менее важный таи аналогии — это изоморфизм. В отличие от рассмотренной выше реляционной аналогии, изоморфизм не предполагает заранее заданного отношения, которое устанавливается в прототипе и модели по отдельности. Определение такого отношения является не предпосылкой, а результатом осуществления аналогии типа изоморфизма. Предпосылкой здесь является отношение, которое реализуется в модели и прототипе вместе взятых.

Схема аналогии через изоморфизм будет поэтому иметь весьма простой вид:

 

                     (IX)                                      

 

Напомним, что точка, в отличие от запятой, обозначает связный список. Отношение в посылке нашей схемы приписывается модели и прототипу вместе взятым. Заключение же говорит о том, что модель и прототип но отдельности имеют одно и то же отношение. Отношение [a(*ιаιιa)], сопоставляющее модель ιa и прототип на, носит название коррелятора.

Наиболее простой вид аналогии типа изоморфизма — всем известная числовая пропорция, которая по-гречески так и называется — аналогия, т. е. тождество отношений. Уже пифагорейцы использовали числовую аналогию 8/6 = 12/9. У Платона числа были заменены объектами, которые определены качественно: царь/подданные – отец/дети. Остановимся на аристотелевском примере: легкие/воздух – жабры/вода. Модель здесь — {легкие, воздух}, прототип — {жабры, вода}. В заключении отождествляется отношение, имеющее место в модели, с тем, которое есть в прототипе. Это заключение и выражено приведенной выше пропорцией. Предпосылка же здесь не выражена. Она держится “в уме”. В случае числовой пропорции предпосылкой, т. е. коррелятором, является другая пропорция, соединяющая модель (8, 6) с прототипом (12, 9). Это 8/12 = 6/9. Аристотель же соединяет модель с прототипом следующим образом: “Я разумею под аналогом следующее: одним присуще легкое, другим оно не присуще; но то, что для других нечто иное, взамен него” (О частях животных, книга 1, 5). Таким образом, устанавливается коррелятор, т. е. некоторое соответствие: “легкое — жабры, воздух — вода”. Если таких соответствий больше, чем два, и, соответственно, в прототипе отождествляются не двухместные, а многоместные отношения, пропорция превращается в изоморфизм. Но числовые различия не имеют логического значения. Поэтому пропорцию можно считать простым примером изоморфизма.

Последний тип выводов по аналогии, на котором мы имеем возможность остановиться, это вывод на основе аналогии следствий. Суть такой аналогии очень простая. Два следствия имеют общее основание. Поэтому мы можем сказанное об одном следствии распространить на другое. Формально это выражается так:

 

{a {ιa, ιιa}}, (ιa) ιιιа            (X)

         (ιιa) ιιιa

 

Сущность этого вида аналогии выражается пословицей “Сказав А, говори Б”. Признав одно следствие из некоторого основания, нужно признавать и другое. Это весьма убедительно объяснял Абу Нувас своему соседу. А история была такая.

“Однажды, когда осел Абу-Нуваса захотел пить и не из чего было дать ему воды, Абу-Нувас отправился к соседу попросить горшок. Взяв горшок, он вернулся домой и напоил осла. Горшок оставался у Абу-Нуваса три дня. А на четвертый день он положил в него маленький горшок и отнес к соседу. Сосед взял горшок, заглянул внутрь, увидев маленький горшок, воскликнул:

— Это не мой!

— Но я не вор, я не хочу брать чужого, — ответил Абу-Нувас, — твой горшок родил у меня, и это его ребенок.

Сосед очень обрадовался...

Когда на третий день Абу-Нувас снова пришел за горшком, сосед дал ему его, но Абу-Нувас не вернул горшка. Тогда сосед пришел к нему сам:

— Горшок твой умер, — сказал Абу-Нувас.

— Как, разве горшок может умереть? — воскликнул сосед.

— А разве может он рожать? — спросил Абу-Нувас.

— Да, — ответил сосед.

— Так вот, все, что рождается, — умирает, — сказал Абу-Нувас. Сосед спросил у ученых людей, и они подтвердили это. Так горшок и остался у Абу-Нуваса”.

(“70 сказок народов мира”).

Метод Абу-Нуваса широко используют математики, когда они делают вывод от истинности одного следствия некой теоремы к истинности другого. По мнению известного знатока этих вопросов Д. Пойа, именно такова типичная схема выводов по аналогии (Математика и правдоподобные рассуждения. М., 1957, с. 247).

Отметим, что для математиков важнее всего истинность следствия. Поэтому в качестве ша берется именно истинность. Но это не обязательно. Переноситься с одного следствия к другому может также ложность, практическая значимость и другие характеристики.

 

§ 2. Условия правомерности различных форм

выводов по аналогии

 

Рассмотрим вопрос о правилах выводов по аналогии. Поскольку строение разных форм выводов по аналогии различно, не имеет смысла говорить о правилах выводов по аналогии вообще. Речь может идти лишь о правилах отдельных форм выводов по аналогии. Начнем с аналогии типа парадейгмы.

Условия повышения вероятности этого типа выводов могут быть Получены на основе уже известных нам способов повышения вероятности выводов по неполной индукции через перечисление. Для этого мы должны будем использовать ту концепцию категорий вещи, свойства и отношения, которая была изложена в начале этой книги.

Согласно этой концепции, вещь — это не обязательно выделенный в пространстве и времени кусок материи. Вещь — это все то, что имеет свойства и находится в отношении. И сами свойства выступают в качестве вещей, если о них, в свою очередь, что-то говорится. О свойствах “быть планетой”, “иметь атмосферу”, “иметь смену времен года” и т. д. мы говорим как о том, что присуще и Земле, и Марсу, т. е. как о вещах. Делая вывод о том, что “все свойства, присущие Земле, присущи и Марсу”, мы осуществляем вывод, который может быть охарактеризован как неполная индукция через перечисление. Конечно, можно сказать, чю этот вывод заведомо ложен. Например, на Земле есть Одесса, а на Марсе ее наверняка нет. Однако, мы говорим не о достоверности общего вывода, а лишь о его вероятности. И эту вероятность требуется повысить. Мы это можем сделать, трансформируя правила неполной индукции в соответствующие правила вывода по аналогии типа парадейгмы.

1. Из первого правила индукции, согласно которому исследованных предметов должно быть как можно больше, получаем соответствующее правило аналогии: должно быть установлено как можно больше свойств, общих прототипу и модели. Это правило очень простое и не нуждается в пояснениях.

2. Из второго правила индукции вытекает второе правило аналогии: необходимо, чтобы признаки, общность которых сравниваемым предметам дана в посылках, максимально отличались друг от друга, были возможно более разнообразными. Например, применительно к аналогии Земли и Марса это должны быть не только геометрические или кинематические, но и физические, химические и т. д. свойства.

3. Третье правило индукции трансформируется в следующее правило аналогии. Необходимо, чтобы признаки, общность которых сравниваемым предметам установлена в посылках, были возможно более типичными представителями свойств этих предметов. Это означает, что они должны быть как можно теснее связанными с другими свойствами прототипа и модели. Например, наклон оси вращения планеты тесно связан с другими ее свойствами — он является причиной смен времен года, которая, в свою очередь, вызывает много других явлений.

4. Согласно четвертому правилу аналогии типа парадейгмы, необходимо, чтобы признаки, общность которых модели и прототипу известна, и признаки, переносимые с модели на прототип, были как можно более однотипными. Это вытекает из четвертого условия повышения вероятности индуктивного вывода. В самом деле, чем больше отличаются друг от друга признаки, о которых идет речь, тем шире по своему объему должно быть охватывающее их понятие. Это значит, что индуктивное обобщение, необходимое в выводе по аналогии, должно распространяться на больший круг объектов, что снижает вероятность вывода.

5. Из пятого условия повышения вероятности индуктивного вывода, согласно которому предикат заключения должен быть, в противоположность его субъекту, не узким, а широким, т. е. более бедным по содержанию, вытекает пятое правило вывода по аналогии: переносимое свойство должно распространяться на возможно больший круг предметов. Иными словами, оно не должно быть специфичным для того или иного предмета. В этом случае становится более вероятным то, что произвольно выбранный предмет будет обладать данным свойством. Вывод, таким образом, для того, чтобы быть более вероятным, должен заключать в себе меньшую информацию. Разумеется, при этом снижается познавательная ценность вывода.

Нарушение именно последних двух правил является причиной низкой вероятности вывода от наличия жизни на Земле к наличию жизни на Марсе. Одинаковыми оказываются свойства механические, химические, физические, а переносим мы с Земли на Марс свойство биологическое — нарушаем четвертое правило. С другой стороны, это свойство — наличие жизни, специфично — оно присуще крайне узкому кругу предметов — нарушается пятое правило. Вывод был бы гораздо более вероятным, если бы с Земли на Марс переносилось более распространенное свойство, например — неровная поверхность. Разумеется, в таком случае вывод по аналогии имел бы и меньшую информационную ценность.

К приведенным выше следует прибавить еще одно правило, не являющееся следствием соответствующих правил индукции. Оно специфично именно для аналогии. Дело в том, что общие свойства модели и прототипа могут иметь разные количественные градации. Так, содержание кислорода в атмосфере Марса менее 0,1 % такового в земной атмосфере. Мало это или много? Смотря для чего. Поэтому такие свойства, как “малое количество кислорода”, “большая скорость вращения”, “большие размеры” и т. д., являющиеся линейными, не должны использоваться для характеристики сравнения предметов.

Отсюда — правило: сопоставляемые друг с другом свойства сравниваемых предметов должны быть точечными.

Рассмотрим условия правомерности другого типа выводов по аналогии, которая выше была названа реляционной. Поскольку именно этот тип выводов по аналогии оказался наиболее значимым в техническом моделировании, условия его правомерности давно привлекали внимание инженеров, применявших эти выводы. Была создана специальная теория — теория подобия, в рамках которой были определены условия правомерности переноса информации, полученной при исследовании модели, на прототип. Эти условия предполагают, что модель и прототип описываются особого рода уравнениями — дифференциальными уравнениями. При выполнении этих условий вывод по аналогии рассматриваемого типа становится не просто более вероятным – он делается достоверным.

Можно установить некоторые условия достоверности таких выводов и в том случае, когда у нас нет дифференциальных уравнений, описывающих сравниваемые системы. Совершенно очевидно, что вывод о том, что если два отношения сосуществуют в модели, то они будут сосуществовать и в прототипе, будет вполне достоверным в том случае, если это сосуществование целиком определяется характером этих отношений самих по себе и не зависит от того, на каких именно объектах эти отношения реализованы.

Можем ли мы знать об этом? В некоторых случаях можем. Если одно отношение является логическим следствием другого, то это означает, что связь между отношениями имеет место совершенно независимо от тех объектов, которые являются носителями этих отношений. Этот тезис, как мы уже знаем, является наиболее фундаментальной предпосылкой логики гак формальной науки.

Использование модели связано с тем, что в ней связь между отношениями может быть гораздо более ясной, более отчетливой, чем в прототипе. Рассмотрим пример: “Все люди смертны. Ангелы не люди, значит, ангелы не смертны”.

Мы не знаем, смертны ли ангелы на самом деле. И не этот вопрос нас сейчас интересует. Нас волнует другое — вытекает ли следствие из посылок? Самим нам нетрудно это определить с помощью правил силлогизма. Здесь первая фигура. Меньшая посылка но правилу должна быть утвердительной, а она — отрицательна. Но, представьте себе, есть такие люди, которые не знают правил силлогизма. Как им объяснить, что умозаключение неправильно? Нет в этом случае лучшего средства, чем реляционная аналогия.

Наш силлогизм — это прототип аналогии. Построим модель, то есть подберем умозаключение с точно таким же строением, как прототип, но такое, чтобы отношение “не следует” между его посылками и заключением было возможно более очевидным. Например, можно подобрать такой силлогизм: “Все помидоры — овощи. Огурцы не помидоры, значит, огурцы не овощи”. Вывод здесь явно не вытекает из посылок. Этот результат переносим на прототип. И здесь вывод не вытекает из посылок. Наш результат не только вероятен. Он вполне достоверен, поскольку и модель, и прототип имеют одно и то же логическое строение.

К сказанному выше добавим еще два условия, выполнение которых повышает вероятность вывода, хотя и делает его менее ценным: отношение, общность которого модели и прототипу является основанием вывода, должно быть возможно более богатым по своему содержанию, отношение, переносимое с модели на прототип должно быть, наоборот, бедным по своему содержанию. Вероятность истинности заключения будет тем больше, чем сильнее основание и слабее следствие. Нетрудно заметить, что эти правила аналогичны рассмотренным выше четвертому и пятому правилу вывода по аналогии типа нарадейгмы.

Перейдем к рассмотрению вопроса об условиях правомерности выводов по аналогии типа изоморфизма.

Для того, чтобы сформулировать эти условия, представим модель и прототип, т. е. ιa и ιιа как некоторые множества элементов, между которыми устанавливаются соответствующие множества отношений. Важнейшим условием правомерности отождествления отношений в модели и прототипе является условие однозначности соответствия, согласно которому коррелятор, т. е. то отношение, которое охватывает модель и прототип вместе взятые, сопоставляет каждому элементу прототипа один и только один элемент модели и, наоборот, каждому элементу модели — один и только один элемент прототипа. Кроме того, отношения между соответствующими элементами модели и прототипа должны взаимно-однозначно соответствовать друг другу.

Наличия такого рода соответствия вполне достаточно для решения многих задач, особенно в сфере математики, где не ставится целью определение условий тождества отношений, поскольку аксиомы математической теории определяют систему объектов, изучаемую этой теорией всегда только “с точностью до изоморфизма”. Однако вне пределов математики нас чаще всего интересует установление именно тождества отношений, для чего приведенное условие не является достаточным. Рассмотрим такой пример. Пусть на автостоянке стоит дюжина автомобилей. Определим расстояния между ними и пойдем домой. Здесь возьмем дюжину детских кубиков и разбросаем их в беспорядке по полу. Определим расстояния между кубиками. Легко установить взаимно-однозначное соответствие между элементами множества автомобилей и элементами множества кубиков. Далее, отношения между элементами одной системы здесь будут соответствовать отношениям между соответствующими элементами другой.

Тем не менее, отношения между автомобилями и кубиками не тождественны друг другу. Нам даже не хочется считать множество кубиков моделью множества автомобилей. Слишком уж легко такая модель построена! Совершенно очевидно, что для того, чтобы отношения в модели и прототипе были тождественными, необходимо усиление сформулированного выше условия. К нему нужно что-то добавить, а именно требование, согласно которому тождественным отношениям прототипа должны соответствовать тождественные отношения модели и наоборот.

Иными словами, если какие-либо отношения, определенные на различных подмножествах прототипа, тождественны друг другу, то отношения, определенные на соответствующих подмножествах модели, также должны быть тождественны друг другу и наоборот.

Например, пусть расстояние между второй и третьей машиной на нашей автостоянке равно расстоянию между пятой и двенадцатой. Тогда расстояние, конечно же, совсем другое, между вторым и третьим кубиком должно быть равно расстоянию между пятым и двенадцатым кубиком. Допустим, что все автомобили расположены на разных расстояниях друг от друга. Но и тогда есть тождественные отношения — скажем, треть расстояния от третьей до четвертой машины равно пятой части расстояния между шестой и восьмой. Здесь мы исходим из того, что, если расстояние между предметами представляет собой отношение между ними, то часть этого расстояния так же — отношение.

Расположить кубики так, чтобы это расположение удовлетворяло сформулированному выше условию, – отнюдь не простая задача. Но если мы ее решим, то получим адекватную модель отношений на автостоянке. Отношения в такой модели можно переносить на прототип.

Наше правило, однако, имеет границы применимости. Модель и прототип могут иметь всего одно, причем неразложимое отношение. Тогда требование соответствия тождественных отношений в модели тождественным отношениям в прототипе утрачивает свой смысл. Тем не менее, когда разложение отношений возможно, наше правило применимо и для простейшего изоморфизма — пропорции. В рассмотренной выше пропорции сравниваются 9/6 (модель) с 12/8 (прототип). Здесь есть взаимно-однозначное соответствие элементов 9-12 и 6-8. Отношение в модели можно представить как сумму трех отношений: 3/6 + 3/6 + 3/6. В прототипе будем иметь 4/8 + 4/8 +4/8.

Мы видим, что тождественным отношениям модели соответствуют тождественные друг другу отношения прототипа. Эго дает нам основание утверждать тождественность отношений модели и прототипа, что выражается в пропорции 9/6 = l2/8.

Не следует считать сформулированное выше правило единственным условием достижения правомерности выводов по аналогии типа изоморфизма. Существуют и другие правила, выполнение которых делает эти выводы достоверными или хотя бы более вероятными. Но их рассмотрение не входит в нашу задачу

Последний тип выводов по аналогии, который мы рассматриваем, это аналогия следствий. Важное условие правомерности аналогии такого типа было установлено погибшей в гитлеровском концлагере польским логиком Яниной Линденбаум-Хосьяссон. Оно формулируется в виде следующего правила: вероятность вывода об одном следствии не должна уменьшаться после осуществления другого следствия в предположении, что общее основание является ложным.

Для того, чтобы это правило стало более понятным, приведем такой анекдот. В старой, еще царской армии два офицера, назовем их Голицыным и Оболенским, заспорили: чей денщик больше хлеба съест. И вот, устроили соревнование. Денщик Голицына съел 10 булок, а денщик Оболенского всего лишь 6. Оболенский был крайне удивлен. Он только что тренировал своего денщика, который в это утро съел 20 булок и вот теперь — такой конфуз! Но удивляться было нечему — ведь он нарушил приведенное выше условие Линденбаум-Хосьяссон. Основанием является предположение о крайне большом аппетите денщика. Из этого основания выводятся два следствия — много съест за завтраком, много съест во время соревнований. Но если отвлечься от основания, предположив его ложным, то ясно, что реализация одного из следствий снизит вероятность реализации другого. Поэтому надежды Оболенского на победу были логически не обоснованы.

Иное дело — Абу-Нувас. Там с правилом аналогии следствий все было в порядке. Тот факт, что котел родил, никак не мог помешать этому котлу умереть. Мало того, аналогия Абу-Нуваса вполне достоверна, поскольку только живое существо способно родить. Значит, в этом случае аналогия следствий превращается в дедуктивное умозаключение.

 

 

 

ГЛАВА IV. ВЫВОДЫ ОТ УТВЕРЖДЕНИЯ СЛЕДСТВИЯ. ОБОСНОВАНИЕ ГИПОТЕЗ

 

Выше, когда мы рассматривали дедуктивные умозаключения, то категорически запрещали вывод от утверждения следствия к утверждению основания. Такой вывод рассматривался как грубая логическая ошибка. И мы были совершенно правы. Это действительно логическая ошибка, поскольку истинность основания не вытекает из истинности следствия.

Однако не менее грубой логической ошибкой являются и выводы, получаемые с помощью неполной индукции через перечисление. Но мы во многих случаях вынуждены их применять, стараясь компенсировать качественные дефекты умозаключения количеством фактов и применением метода их отбора. То же самое можно сказать и о выводе от утверждения следствия.

Выдвигая ту или иную гипотезу (от греч. hypothesis — основание, предположение), мы можем применять самые различные умозаключения для ее обоснования. В зависимости от типа гипотезы, это может быть и дедуктивное умозаключение, и индукция, и аналогия. Но часто ничего не остается, как нахождение следствий из гипотезы и их проверка. Например, кому-то пришло в голову, что Наполеон не умер своей смертью на острове Святой Елены, а его отравили англичане. Это гипотеза. Ее нельзя вывести дедуктивно из злокозненности англичан. Конечно, англичане, как и немцы, и русские, и другие народы Европы, имели основания не любить Наполеона, но отсюда еще не следует, что они его отравили. Но вот в волосах Наполеона был обнаружен мышьяк. Наличие мышьяка в волосах можно рассматривать как следствие того, что Наполеона отравили мышьяком. И этот факт многими рассматривался как доказательство гипотезы. И все же вывод по схеме условно-категорического силлогизма: “Если Наполеона отравили мышьяком, в его волосах должны быть следы мышьяка. В его волосах есть следы мышьяка. Значит, его отравили” неправомерен, несмотря на всю его убедительность. Эта неправомерность связана с тем, что следствие может найти иное объяснение, не предполагающее истинность гипотезы. Так и случилось. Оказалось, что он жил в комнате, оклеенной обоями, а обои в те времена клеили клеем, содержащим мышьяк.

Ну, а если проверить не одно, а массу, огромное количество следствий, докажет ли это гипотезу? Долгое время казалось, что это действительно так. Но уже в наше время был обнаружен так называемый парадокс подтверждения, о котором мы сейчас расскажем.

Выдвинем совершенно абсурдную гипотезу, например, “Луна сделана из зеленого сыра”. Получим из нее следствие с помощью операции противопоставления предикату (контрапозиции), которую мы разбирали выше, в соответствующем месте, т. е. в разделе о непосредственных умозаключениях. Это следствие имеет вид: “Ничто не сделанное из зеленого сыра не есть Луна”. Правильно ли это? Проверим фактами. Берем оперный театр. Он не сделан из зеленого сыра и не есть Луна. Берем Крым. Он не сделан из зеленого сыра и не есть Луна. Берем логику. Она не сделана из зеленого сыра и не есть Луна. Понятно, что список этих фактов можно продолжать до бесконечности. И все они — следствия нашей гипотезы. Почему же, несмотря на целый монблан фактов, читатель не верит в нашу гипотезу? А если не верит, то что же нам делать с гипотезами?

Надежда все же появится, если мы сведем проблему обоснования гипотезы к проблеме правомерности индуктивного вывода через перечисление. Для этого поставим вопрос: может ли какое-либо утверждение быть ложным, если все следствия этого утверждения являются истинными? Отрицательный ответ на этот вопрос представляется очевидным. Хотя мы получили монблан истинных следствий из заведомо ложного положения, легко вообразить себе и ложные следствия. Например, если бы Луна была сделана из зеленого сыра, космонавт Армстронг мог бы привезти образец этого сыра на Землю. Но он не привез его.

Как можно убедиться в том, что все следствия данного положения истинны? Здесь мы имеем типично индуктивную задачу и можем использовать те правила повышения вероятности вывода по неполной индукции, которые были разобраны выше.

Первое правило — число исследованных объектов должно быть как можно большим. В данном случае речь идет о числе следствий. Мы видели, что это правило само по себе мало что значит. Вспомним короля Сиама, которым имел в своем распоряжении очень много фактов, свидетельствующих о том, что вода зимой не становится твердой. Вся беда в том, что все эти факты однотипны. Они взяты из опыта тропических стран. Наши факты, подтверждающие гипотезу о Луне как зеленом сыре, так же оказались однотипными. Все они имеют одно и то же логическое строение. Нам нужны разнообразные не только в материальном, но и в логическом плане следствия, т. е. необходимо выполнение второго правила индукции. И, наконец, следствия должны быть характерными именно для данной гипотезы. Лучше всего было бы получить такое следствие: попробовали —вкусно! Тогда мы посрамили бы любою скептика, сомневающегося в нашей гипотезе.

ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ К ЧАСТИ IV

 

§1. Полная и неполная индукция

 

1. Определите, какие из следующих выводов имеют индуктивный характер и какие являются частным случаем дедукции:

1) Острые углы имеют вершину. Прямые углы имеют вершину. Тупые углы имеют вершину. Следовательно, все углы имеют вершину.

2) В нашем лесу растут ель, пихта, береза, сосна, осина, дуб. Следовательно, наш лес — смешанный.

3) Солнце, Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун, Плутон имеют шарообразную форму. Значит, все тела солнечной системы имеют шарообразную форму.

4) Днепр – большая река. Днепр впадает в Черное море. Значит, некоторые большие реки впадают в Черное море.

5) В состав белого цвета входят красный, желтый, зеленый, синий, фиолетовый и другие цвета.

Следовательно, все цвета спектра, сливаясь вместе, образуют белый цвет.

2. Определите, являются ли следующие индуктивные умозаключения полной индукцией?

1) Первая фигура силлогизма имеет специальные правила. Вторая фигура силлогизма имеет специальные правила. Третья фигура силлогизма имеет специальные правила. Четвертая фигура силлогизма имеет специальные правила.

Следовательно, все фигуры силлогизма имеют специальные правила.

2) Именительный падеж выражает грамматические отношения между словами.

Родительный “ — ”.

Дательный “—”.

Винительным “—”.

Творительный “—”.

Предложный “—”.

Следовательно, все падежи выражают грамматические отношения между словами.

3) Большая посылка общая. Меньшая посылка утвердительная. Следовательно, все специальные правила первой фигуры категорического силлогизма соблюдены.

4) В данном категорическом силлогизме три термина и три суждения. Средний термин распределен в большой посылке. Больший термин распределен в большой посылке.

Одна из посылок силлогизма утвердительная, другая — отрицательная. Одна из посылок — общая. Вывод силлогизма— част неотрицательный. Следовательно, в данном умозаключении соблюдены все общие правила категорического силлогизма.

3. В каких случаях требуются и в каких не требуются дополнительные сведения фактического характера, отсутствующие в самой постановке задачи, для того, чтобы определить полноту индукции?

1) х не знает отца семьи у. х не знает матери семьи у. х не знает единственного сына и единственную дочь семьи у. Следовательно, х не знает ни одного члена семьи у.

2) Твердые тела подчинены определенным закономерностям. Жидкие тела подчинены определенным закономерностям. Газообразные тела также имеют свои законы. Следовательно, поведение всех тел закономерно.

3) Суждение “Киев — столица Украины” истинно. Суждение “Земля вращается вокруг Солнца” — истинно. Суждение “Не все то золото, что блестит” истинно. Суждение “Частноот-рицательные суждения не обращаются” истинно. Суждение “Вводные слова выделяются запятыми” истинно. Следовательно, все заключенные в кавычки суждения этого примера истинны.

4) Средние по массе элементарные частицы — мезоны обладают свойством Р. Частицы тяжелее мезонов обладают свойством Р, и то же можно сказать о частицах, масса которых меньше массы мезонов.

Следовательно, все элементарные частицы обладают свойством Р.

4.  В каких из приведенных ниже примеров вывод необходим и почему?

1) Я не могу поднять пудовую гирю. Значит, тем более не могу поднять два пуда.

2) Я не могу сдать этот экзамен на хорошо. Значит, тем более не могу сдать его на отлично.

3) 100 страниц он не прочитает за день. Значит, тем более не прочитает 200.

4) Число 5 не материально, а идеально. Значит, все числа идеальны.

5) Если некоторое натуральное число идеально, то и следующее за ним идеально. Но число 1 идеально, значит, все натуральные числа идеальны.

6) Этот силлогизм относится к третьей фигуре. Здесь меньшая посылка утвердительна, а заключение частное. Значит, в этом силлогизме все правила силлогизма соблюдены.

 

 

§ 2. Условия повышения вероятности вывода

 по неполной индукции

 

1. В каком из приведенных примеров вывод вероятнее и почему?

1) а. Железо, медь, цинк, свинец, золото, алюминий электропроводны. 

    Следовательно, все металлы электропроводны.

b. Железо, серебро, олово, медь, алюминий, цинк, никель, свинец, литий 

   электропроводны. Следовательно, все металлы электропроводны.

2) а. Деление может быть правильным или неправильным. Определение 

может быть правильным или неправильным. То же можно сказать о превращении, обращении, выводах через ограничение, категорических силлогизмах, условно-категорических умозаключениях, разделительных и разделительно-категорических умозаключениях и умозаключениях индуктивного типа.

Следовательно, все логические формы могут характеризоваться как правильные и неправильные.

 b. Определение и деление могут быть правильными или неправильными. То же можно сказать о непосредственных умозаключениях, категорических силлогизмах, условных, разделительных и смешанных: условно-категорических, разделительно-категорических умозаключениях, а также умозаключениях индуктивного типа.

Следовательно, все логические формы могут быть охарактеризованы как правильные и неправильные.

3) а. Все жители Африки хотят счастья.

Все жители Северной и Южной Америки хотят счастья. Население Австралии хочет счастья. То же можно сказать и об исследователях Антарктиды. Следовательно, все люди на Земле хотят счастья.

b. Все жители Азии, все люди, населяющие Европу, хотят счастья. Следовательно, все люди на Земле хотят счастья.

4) а. Щука, лещ, салака, сом, налим, окунь, плотва, карась, язь, сельдь

    дышат жабрами. Следовательно, все рыбы дышат жабрами.

    b. Щука, хамса, луна-рыба, акула, окунь, белуга, тунец, камбала, 

    летучие рыбы дышат жабрами. Следовательно, все рыбы дышат 

    жабрами.

5) а. Слова “несешь”, “спешишь”, “стоишь”, “идешь”, “ползешь”,

    “двигаешь”, “работаешь” пишутся на конце с мягким знаком. Все это 

    глаголы современного русского языка второго лица единственного

    числа. Значит, в современном русском языке в окончании второго

    лица единственного числа после “ш” пишется мягкий знак.

b. Глаголы второго лица единственного числа “куришь”, “пляшешь”, “думаешь”, “найдешь”, “дойдешь”, “учишь”, “поешь” пишутся на конце с мягким знаком. Следовательно, в современном русском языке глаголы второго лица единственного числа, оканчивающиеся на “ш”, пишутся с мягким знаком.

2. Применяя все правила, относящиеся к посылкам индукции, определить, “удачно ли подобраны” примеры для иллюстрации следующих положений:

1) Вершины высоких гор всегда покрыты снегом. В качестве примеров указываются вершины: Эверест (8882 м), Аконкагуа (7040 м), Пик Победы (7439 м), Гауризанкар (7115 м).

2) Творчество великих композиторов было связано с народной музыкой. В качестве примеров можно указать на творчество Глинки, Мусоргского, Римского-Корсакова, Чайковского.

3.  В каком из следующих примеров вывод более вероятен и почему?

1) а. Азовское и Саргассово море имеют соленую воду. Следовательно, все

    моря имеют соленую воду.

    b. Японское и Северное море имеют соленую воду. Следовательно, все моря 

    имеют соленую воду.

2) а. Киев и Ялта имеют сады. Следовательно, во всех городах Украины есть

    сады.

    b. Луцк и Бердичев имеют сады. Значит, во всех городах Украины есть сады.

4. Данные за какие числа имеют большее значение для проверки утверждения: 

    “Все лето в Одессе стояла хорошая погода”?

а.   I июня и 30 августа, или:

b.      10 июля и 15 июня, или:

c.       20 июня и 10 июля.

5. Подвергните критике, где это представляется вам необходимым, приведенные ниже экзаменационные билеты по логике.

1) Объем и содержание понятий.

    Обобщение понятий.

    Распределенность терминов в категорическом суждении.

2) Что такое логическая форма?

    Что такое суждение?

    Что такое умозаключение?

3) Правила определения понятий.

    Правила обращения суждений.

    Общие правила силлогизма.

4) Основные этапы процесса познания.

   Логические формы как отражение действительности.

   Что такое умозаключение?

6. Какие выводы из данных примеров являются более правомерными и почему?

    Все правила категорических силлогизмов имеют практическое значение. 

    Все правила условно-категорических умозаключений имеют 

    практическое значение.

    Все правила разделительно-категорических силлогизмов имеют практическое  

    значение. Следовательно:

    А. Все правила умозаключений имеют практическое значение.

    В. Все правила дедуктивных опосредованных умозаключений имеют 

    практическое значение.

    С. Все правила дедуктивных умозаключений имеют практическое значение.

7. Сделайте наиболее вероятный вывод из следующих данных:

1) На Венере, Земле, Марсе возможна жизнь.

2) Дельфины, тюлени, моржи, киты не являются рыбами.

3) Береза, дуб, тополь, осина, клен, липа теряют листья на зиму.

4) Железо, медь, цинк, свинец, олово расширяются при нагревании.

8. Какой вывод из данных посылок наиболее вероятен и почему?

1) Лондон — большой город. Москва — большой город, Париж – большой город, Вашингтон – большой город, Рим — большой город, Токио — большой город, Пекин — большой город, Киев — большой город, Прага — большой город.

Следовательно:

А. Все столицы независимых государств — большие города.

В. Все столицы независимых государств – значительные города.

С. Все столицы независимых государств — значительные населенные пункты.

2) Слова: “окно”, “долото”, “клеймо”, “дерево”, “чучело”, “правило” оканчиваются на “о”.

Следовательно:

А. Все слова среднего рода в русском языке оканчиваются на гласную.

В. Все слова среднего рода в русском языке оканчиваются на “о”.

С. Все слова среднего рода в русском языке оканчиваются на “о” или “е”.

 

 

§ 3. Методы индуктивного исследования причинных связей

 

1.Сделайте вывод по методу сходства из записанных в символической форме посылок:

2. В каком из примеров предыдущего упражнения вывод более вероятный и почему?

3. Определите, в каких примерах вывод более, в каких — менее вероятен. Расположите умозаключения каждого примера в последовательность — по степени вероятности вывода.

4. Проанализируйте следующие примеры. Обозначьте каждое из обстоятельств, сопутствующих появлению явления, причина которого отыскивается, отдельной буквой. Сделайте вывод и составьте общую схему умозаключения.

I) В столовой отравилось пять человек. Установлено, что один из них ел студень, щи, биточки, кофе, второй — борщ, биточки, камбалу, компот; третий — студень, борщ, биточки, четвертый — щи, биточки, кисель, пятый — биточки, компот, кофе, мороженое.

В чем причина отравления?

2) Серная кислота имеет химическую формулу - H24, сернистая – H2SO3, азотная – HNO3, уксусная – СН3СООН, соляная  - HCl, муравьиная - НСООН,  пропионовая – СН3СН2СООН. 

В чем причина кислотных свойств веществ?

5. Исследуйте различные случаи, в которых имеет место указанное ниже явление, и с помощью метода сходства дайте ответ на поставленные ниже вопросы, чтобы вывод был как можно более вероятным.

1) Почему реки периодически разливаются?

2) Почему в устьях рек образуются мели и острова?

3) Почему в зоне тундры все деревья карликовые?

4) Чем объяснить возникновение радужных оттенков на поверхности воды, загрязненной нефтью, на оконных стеклах и в мыльных пузырях?

5) Почему корни растении растут вниз?

6. Сделайте вывод по методу различия из записанных в символической форме посылок.

 

7. Определите, в каких примерах вывод более, в каких — менее вероятен.

8. Проанализируйте следующий пример. Обозначьте каждое из обстоятельств, сопутствующих явлению, причина которого отыскивается, отдельной буквой. Сделайте вывод и составьте общую схему умозаключения.

В столовой отравился один человек. Установлено, что он ел селедку, щи, котлеты, компот. Среди других посетителей столовой нашелся человек, который ел селедку, щи, жареную рыбу, компот и не отравился. Что явилось причиной отравления?

9. Какой метод исследования причинной связи используется в следующих случаях?

1) Листья растения, выросшего в подвале, не имели зеленой окраски. Листья того же растения, выросшего в обычных условиях, — зеленые. В подвале не было света. В обычных условиях растение растет на солнечном свету. Следовательно, солнечный свет является причиной возникновения зеленого цвета растений.

2) Климат Японии субтропический. В лежащем почти на тех же широтах недалеко от Японии Приморье климат гораздо более суров. У берегов Японии проходит теплое течение. У берегов Приморья нет теплого течения. Следовательно, причина различия в климате Приморья и Японии — во влиянии морских течений.

10.Определите, правильно ли применен метод различия, если нет, то в чем сущность ошибки?

1) Ребенок лежал месяц в больнице и не прибавил в весе. Как только его выписали, он быстро прибавил в весе на целый килограмм. Следовательно, дома лучше, чем в больнице.

2) В так называемой “собачьей пещере” около Неаполя от скопившихся в пещере ядовитых газов собаки гибнут, а люди нет. Следовательно, в организме человека есть противоядие, нейтрализующее действие этих газов.

3) Одну мышь много кормили, а при тех же других условиях другую держали впроголодь. Первая мышь погибла гораздо раньше второй. Следовательно, причина ранней смерти — переедание.

11.Почему академик И. П. Павлов проводил эксперименты над собаками в так называемых “башнях молчания” — помещениях, изолированных or внешней среды?

12.Один химик определял, зависит ли растяжимость металла от наличия на нем окалины. Чтобы выяснить эту зависимость, нужно было удалить окалину. Но это не удавалось сделать: всегда оставался хотя бы тонкий слой окисла. В результате химик потратил зря очень много времени и энергии. Что бы вы могли ему посоветовать?

13.Какой метод применен для получения выводов в следующих случаях:

1) Газ, помещенный в термически закрытый сосуд, нагревается. При этом увеличивается давление газа. Значит, причиной увеличения давления газа является повышение температуры.

2) В опытах Кауфмана (1901 г.) было показано, что изменение скорости электронов (v) соответствует изменению отношения заряда электрона (е) к его массе (m). Была составлена следующая таблица:

Но заряд электрона е меняться не может. Поэтому был сделан вывод о том, что изменение скорости электрона вызывает изменение его массы (см. Э. В. Шпольский, Атомная физика, т. 1).

14.Выделите комплексы обстоятельств, одинаковость которых существенна для того, чтобы вывод по методу сопутствующих изменений был правомерным.

1) Чем выше поднимаешься в горы, тем труднее становится дышать. С увеличением высоты местности над уровнем океана воздух становится все более разреженным. Следовательно, причина затруднения дыхания при подъеме в горы заключается в разреженности горного воздуха.

2) Еще в древности было замечено, что периодичность морских приливов и изменение их высоты соответствует изменениям в положении Луны. Наибольшие приливы происходят в дни новолуний и полнолуний, наименьшие — в дни квадратур (когда направления от Земли к Луне и Солнцу образуют прямой угол). Отсюда был сделан вывод о том, что морские приливы вызываются действием Луны.

15. Правильно ли в следующих случаях применен метод сопутствующих изменений?

1) Мы нагреваем стальной брусок (не меняя прочих обстоятельств). Чем больше нагревается брусок, тем длиннее он становится. Следовательно, нагревание — причина увеличения бруска.

2) Петров стал учиться все хуже и хуже. Вместе с тем его все чаще стали видеть на катке. Следовательно, причиной плохой учебы Петрова является увлечение катанием на коньках.

3) Состояние больного ребенка ухудшилось. Вместе с тем поднялась температура, несмотря на то, что ребенка хорошо укутали. Следовательно, причиной повышения температуры является ухудшение состояния ребенка.

16.В поликлиниках и аптеках можно видеть графики: на одном из них показан рост числа инфекционных заболеваний, а на другом — увеличение числа мух летом. Оба графика соответствуют друг другу. Сделайте отсюда вывод. При каком условии вывод, сделанный вами, будет правомерным?

17.Каково логическое основание юмора в следующих шутках:

1) Врач прописал плотнику лекарство. Плотник выздоровел. Потом заболел сапожник. Врач прописал ему то же лекарство. Сапожник умер. Врач сделал вывод: от этого лекарства плотники выздоравливают, а сапожники умирают.

2) Блохе сказали: прыгай! И она прыгнула. Потом оторвали ей лапки и опять сказали: прыгай! Блоха не прыгнула. Был сделан вывод: блоха слышит ногами.

18.Какой вывод следует по методу остатков из данных, записанных в общей, символической форме?

19.Правомерен ли, а если не правомерен, то почему, следующий вывод по методу остатков?

1) В пруд было выпущено 1000 мальков карпа. В том же году было выловлено 290 штук. На следующий год выловлено 452 карпа и несколько щук. Следовательно, остальных 358 карпов съели щуки.

20. Проанализируйте следующий пример. Выделите посылки и вывод. Определите, какие методы индуктивного исследования или какие комбинации этих методов применены. Выясните, соблюдение каких условий требуется для того, чтобы вывод был правомерным.  “В 1929 году ученые и, прежде всего, профессор Флеминг обратили внимание на следующее явление, происшедшее однажды в чашке с культурой стафилококков. Стафилококки относятся к тем микробам, которые вызывают появление нарывов, фурункулов и многих более серьезных, а порой и смертельно опасных нагноений.

Культура в чашке, о которой идет речь, была обычной стафилококковой культурой.

И вот однажды оказалось, что культура в одном месте немного испорчена. На ней виднелось какое-то зеленое пятно. Это было пятно плесени, какая бывает на сырой стене, на залежалом или отсыревшем хлебе.

Стафилококковую культуру, как испорченную, надо было просто выбросить.

Но в ней обнаружилась одна странная особенность. Стафилококковая культура была испорчена необыкновенным способом: под пятном плесени осталось очень немного стафилококков. Плесень лежала почти непосредственно на поверхности самой питательной среды.

В сущности, между плесенью и питательной средой находилась как бы тень тех пышных колоний стафилококков, которые здесь ранее прекрасно разрослись.

Исчезновение стафилококков под пятном и вокруг него привлекло внимание ученых.

Странное расположение зеленого пятна, испортившего культуру, требовало объяснения. Можно было подумать, что плесень в том месте, где она выросла, уничтожила почти без остатка часть стафилококковой культуры... ... Началась проверка возникшего предположения. Для этого брали кусочки той же самой зеленой плесени и пересаживали их в другие чашки со стафилококковой культурой. Затем наблюдали, что произойдет дальше. И вот на новых местах плесень быстро разрасталась. А колонии стафилококков под нею редели и быстро исчезали.

Догадка оправдалась. Больше не оставалось сомнений: плесень убивала стафилококков” (Л. С. Фридланд. По дорогам науки). 21.Вскройте ошибки, если они имеются, в следующих индуктивных выводах:

1) Когда пилят дрова, то пила и дерево нагреваются. Нагревание тем больше, чем быстрее пилят. Когда прекращают пилить, нагревание прекращается. Следовательно, причиной нагревания является трение пилы о дерево.

2) На грядке, расположенной по склону горы, были посеяны огурцы. В нижней части грядки — обыкновенные, а в верхней — сибирские. Земля в обеих частях грядки одинакова. Удобрение было одинаковое. Обработка земли и уход за посевом одинаковы. Там, где были посеяны сибирские семена, растения оказались значительно более высокого роста, чем там, где грядка была засеяна обычными семенами. Отсюда был сделан вывод, что причина большего роста растений в верхней части грядки заключается в том, что она была засеяна сибирскими семенами.

3) Испарение капли будет увеличиваться, если ее нагреть. Следовательно, нагревание — причина испарения капли.

4) Испарение будет замедляться вместе с уменьшением объема капли. Значит, уменьшение объема капли — причина замедления испарения.

5) Голодный человек зашел в булочную. Он съел батон и не наелся. Тогда он съел калач и не наелся. После этого съел крендель и наелся. Мне надо было бы сразу начать с кренделя, — решил он.

22.Какую ошибку обнаруживает Готспер в рассуждении Глендаура: “Глендаур: При появлении моем на свет Пылало небо и земля дрожала.

Готспер: Это событие произошло бы и в том случае, если бы у вашей матери окотилась кошка, а вас не было бы и в помине.” (В. Шекспир. Король Генрих IV, часть 1, акт 3).

23. Какой вывод предполагается в следующем рассуждении и правомерен ли он?

“Начиная с 1943 года, священники стали выезжать на фронт для исполнения священных обрядов и таинств. Наши войска окроплялись святой водой, солдаты исповедовались и причащались. Возобновились крестные ходы. И, как вы знаете, именно в 1943 году наступил коренной перелом в Великой Отечественной войне в пользу Советского Союза” (А. Михайлевский, писатель. Мужской монастырь. Одесский вестник. 28.03. 96).

24. Дана задача: построить из 6 спичек 4 треугольника. Были сделаны попытки решить эту задачу следующим образом:

     

 

Все они, как видите, оказались неудачными. Проанализировав каждую из этих попыток, с помощью одного из методов индуктивного исследования определите причину этих неудач.

25. Используя соединенный метод сходства и различия, сделайте вывод из следующих фактов: а) экономическое развитие Восточной Германии резко отставало от экономического развития Западной Германии; в) экономическое развитие Северной Кореи резко отстает от экономического развития Южной Кореи; с) экономическое развитие Континентального Китая значительно отстает от экономического развития Тайваня.

26.Назовите ту ошибку, которую сделал мосье Контаки.

“Веселые времена подкрались незаметно. Сначала никто не обратил внимания на объявление в “Одесской почте” — “Приблудились два поросенка, через две недели считаю своими”, а ровно через две недели, 28 июля 1914 г. в тихом городишке Сараево гимназист Гаврило Принцип убил австрийского эрцгерцога Фердинанда и началась первая мировая война. Мосье Контаки (содержатель ресторана на 16-й станции) первым установил причинно-следственную связь между событиями “приблудные поросята — убийство эрцгерцога” и объявил “на весь Фонтан” (В. Нетребский. Большой Фонтан. Юг. 6.4.96).

 

 

§ 4. Выводы по аналогии

 

1. Определите, какие из следующих пословиц основаны на аналогии? I) Кто изучает прошлое, знает настоящее.

2) Зажат между двумя бревнами.

3) Как цветок, цветет и, как цветок, отлетает.

4) Тесно, что и сверло некуда вставить.

5) Это нужно, как змее ноги.

6) Перейти — все равно, что не дойти.

7) Из одной норы лисицы.

8) Бабочка, летящая на огонь.

9) Не вопросы губят, а ответы.

2. Выясните, в каких примерах имеет место умозаключение по аналогии. Определите модель и прототип, а также тип этих аналогий, т. е. являются ли они парадейгмой, реляционной аналогией, изоморфизмом или же аналогией следствий. Какая информация переносится с модели на прототип?

1) “Вот посмотри: всякий раз, когда солнечный свет проникает

В наши жилища и мрак прорезает своими лучами,

 Множество маленьких тел в пустоте, ты увидишь, мелькая

Мечутся взад и вперед в лучистом сиянии света;

Будто бы в вечной борьбе они бьются в сраженьях и в битвах,

В схватке бросаются вдруг по отрядам, не зная покоя,

Или сходясь, или врозь беспрерывно опять разлетаясь.

Можешь из этого ты уяснить себе, как неустанно

Первоначала вещей в пустоте необъятной мятутся.

Так о великих вещах помогают составить понятье

Мелкие вещи, пути намечая для их постиженья”.

(Лукреций Кар. О природе вещей).

2) “Увлекающийся практикой без науки — словно кормчий, ступающий на корабль без руля или компаса; он никогда не уверен, куда плывет” (Леонардо да Винчи. Избр. произв., т. I).

3) “Законы теплопроводности в однородных средах кажутся, на первый взгляд, как нельзя более отличными от законов притяжений. Величины, которые мы встречаем в этих новых явлениях, суть температура, поток тепла, теплопроводность. Слово “сила” чуждо этой области науки. Несмотря на это, мы находим, что математические законы стационарного движения тепла в однородных средах тождественны по форме с законами притяжений, будучи обратно пропорциональными квадрату расстояния. Заменяя центр притяжения источником тепла, ускоряющее действие притяжения — тепловым потоком, потенциал - температурой, мы преобразуем решение задач о притяжении в решение соответствующих задач по теплопроводности” (Д. К. Максвелл. О фарадеевых силовых линиях).

4) “После того, что приведено во всех предшествующих лекциях, едва ли можно оспаривать, что самые общие основы высшей нервной деятельности, приуроченной к большим полушариям, одни и те же как у высших животных, так и у людей, а потому и элементарные явления этой деятельности должны быть одинаковыми у тех и у других как в норме, так и в патологических случаях” (И. П. Павлов. Лекции о работе больших полушарий головного мозга).

3. Какого рода аналогии привели к возникновению следующих гипотез?

1) “Известно, что еще задолго до путешествий Дежнева и Беринга на венецианских картах изображался пролив между Азией и Америкой. Откуда венецианские картографы об этом узнали? Над этим вопросом долгое время думали многие историки и географы. Было написано немало книг, в которых высказывались самые разнообразные предположения. Убедительнее всего об этом писал известный советский ученый Лев Семенович Берг. Как известно, в начале XVI столетия Магеллан совершил свое первое кругосветное плавание и открыл пролив, соединяющий Атлантический океан с Тихим. Это было важное открытие, подтверждающее шарообразность Земли.

После этого некоторые мореплаватели и ученые стали высказывать предположение, что, если на юге американского материка есть пролив, подобный ему, пролив должен быть и на севере. Их доводы напоминали гипотезу древних греков и римлян о большой суше в Южном полушарии, которая должна уравновешивать огромные материковые массы Северного полушария” (С. В. Узин. Загадки материков и океанов).

2) Англичанин заходит в бар, садится за столик, но не спешит сделать заказ. Бармен подходит к нему и спрашивает: — Что бы вы хотели выпить?

— Ничего! Я один раз попробовал спиртное — мне не понравилось. Вежливый бармен предлагает ему сигару.

— Спасибо, я не курю, — говорит англичанин. — Попробовал, но мне это не доставило удовольствия.

— Может, вы присоединитесь к играющим в карты джентльменам за соседним столиком? — не сдается бармен.

— Нет уж, увольте. Я не играю в карты. Однажды попробовал, но игра меня не увлекла. И вообще, если бы не обстоятельства, я бы не пошел в бар. Но мы договорились встретиться здесь с сыном.

— Если я хоть что-то понимаю в жизни, это — ваш единственный ребенок? — с уверенностью предположил бармен. (Плейбой).

4. Вернитесь к части II, гл. I, § 4, упр. 17-18, в которых сопоставляются действия над понятиями и отношения между высказываниями. Имеет ли здесь место аналогия? И если да, то какого типа?

 

 

§ 5. Правила выводов по аналогии

 

I. Сравните два умозаключения. Определите тип выводов по аналогии. Используя правила этого типа, выясните, в каком случае вывод будет более вероятным.

1) а. Семенов и Николаев оба родились в деревне. Тот и другой — русские. Тот и другой имеют обе ноги и обе руки. Оба любили игрушки, когда были маленькими. Оба бегали, играли в мяч, катались на санках. Оба с 8 лет пошли в школу. Семенов обладает признаком Р. Следовательно, Николаев тоже обладает этим признаком.

b. Семенов и Николаев родились в сельской местности в одном районе. Тот и другой удмурты. Оба хорошо играют в футбол и волейбол. В детстве любили механические заводные игрушки и подвижные игры. Окончили школу в 18 лет. Семенов обладает признаком Р. Следовательно, Николаев — тоже.

2) а. Два умозаключения имеют следующие черты: в обоих есть общеутвердительные суждения, в обоих есть распределенный предикат. В оба входят три суждения. Одно обладает признаком Р. Следовательно, и другое — тоже.

b. Два умовключения имеют следующие общие черты. Оба не являются непосредственными умозаключениями. В обоих умозаключениях есть суждения с распределенным предикатом. Одно умозаключение обладает признаком Р. Следовательно, и другое — тоже.

2. Определите тип выводов по аналогии в следующих примерах и подвергните их критическому анализу.

1) Существует легенда о том, что, когда однажды в древнем Риме взбунтовались плебеи, сенатор Менений Агриппа умиротворял их следующим образом. “Каждый из вас знает, — говорил он, — что в организме человека существуют разные части, причем каждая из этих частей выполняет свою определенную роль: ноги переносят человека с одного места на другое, голова думает, руки работают. Государство — это тоже организм, в котором каждая часть предназначена для выполнения своей определенной роли: патриции —это мозг государства, плебеи — это его руки. Что было бы с человеческим организмом, если бы отдельные его части взбунтовались и отказались выполнять предназначенную для них роль? Если бы руки человека отказались работать, голова — думать, тогда человек был бы обречен на гибель. То же самое случится и с государством, если его граждане будут отказываться выполнять то, что является их естественной обязанностью”.

2) “И. Кеплер писал о том, что Земля, подобно человеку, имеет внутреннюю теплоту, в этом убеждает нас вулканическая деятельность. Соответственно сосудам живого тела на земле имеются реки. Существует еще целый ряд соответствий. Но человек одушевлен. Следовательно, по мнению И. Кеплера, Земля тоже имеет душу” (Ф. Розенбергер. История физики, ч. II).

3) Дано, что ускорения, которые испытывают два тела, и их массы одинаковы. Известно, что равнодействующая всех сил, действующих на одно тело, равна F1. Следовательно, равнодействующая всех сил, действующих на другое тело, тоже равна F1.

4) “... Восп