Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Рабочая программа'
Целью изучения конституционного права является формирование у студентов представлений о закономерности правового регулиро­вания отношений в системе ч...полностью>>
'Реферат'
Россия богата не только безграничными просторами, плодородными землями, фруктовыми садами, но и незаурядными людьми, праведниками, одарёнными чистой,...полностью>>
'Доклад'
С самого начала становления научной геологии, с середины 18 века, её главной задачей было объяснение причин движений земной коры, изменений её структ...полностью>>
'Документ'
1. Положення (стандарт) бухгалтерського обліку 7 "Основні засоби" (далі - Положення (стандарт) 7) визначає методологічні засади формування в...полностью>>

Решение задачи о пористом катализаторе на основе нейросетевого подхода а. Н. Васильев, профессор фмф спбгпу, a n. vasilyev@gmail com Д. А. Тархов

Главная > Решение
Сохрани ссылку в одной из сетей:

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ

О ПОРИСТОМ КАТАЛИЗАТОРЕ

НА ОСНОВЕ НЕЙРОСЕТЕВОГО ПОДХОДА

А.Н.Васильев, профессор ФМФ СПбГПУ, a.n.vasilyev@gmail.com

Д.А.Тархов, профессор ФМФ СПбГПУ, dtarkhov@gmail.com

Анализ баланса тепла и массы в грануле пористого катализатора при каталитической химической реакции приводит к следующей задаче [1]:

требуется найти решение нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения

удовлетворяющее краевым условиям

В работе [2] из материалов VI Международной конференции NPNJ'2006 приведены два метода численного решения дискретного аналога поставленной задачи – ее разностной аппроксимации: метод Лаэя [3] и метод дискретного продолжения по наилучшему параметру [4]. Результаты вычислений по этим оригинальным методам, к сожалению, не приводятся, но утверждается, что они совпадают с результатами, полученными методом интегральных уравнений, которые приведены в известной монографии [5].

Применим к этой нелинейной задаче развиваемый авторами нейросетевой подход к построению устойчивых приближенных моделей сложных систем (см., например, работу [6], [7] и другие публикации авторов [8-17]).

Поясним суть этого подхода на простейшей (вообще говоря, нелинейной) краевой задаче

(1)

здесь – некоторый дифференциальный оператор, т.е. алгебраическое выражение, содержащее обыкновенные или частные производные от неизвестной функции , – оператор, позволяющий задать граничные условия, – граница области .

Ищем приближённое решение задачи (1) в виде выхода искусственной нейронной сети заданной архитектуры веса которой – линейно входящие параметры и нелинейно входящие параметры – определяются в процессе поэтапного обучения сети на основе минимизации функционала ошибки вида

. (2)

Здесь – периодически перегенерируемые пробные точки в области , – пробные точки на её границе ; штрафной параметр.

В нашем случае , , в качестве базисных нейроэлементов, к примеру, могут быть выбраны гауссианы , здесь , , а для функционала ошибки используется выражение вида

В качестве метода глобальной минимизации для настройки параметров приближенного нейросетевого решения выбирался модифицированный метод многогранника [7]. С целью сравнения результатов с результатами, полученными в [5], вычисления проводились для тех же значений параметров: ,,

Уже для удалось построить приближенное нейросетевое решение задачи со среднеквадратичной ошибкой порядка (относительной ошибкой, не превосходящей 0.08%), устойчивое по отношению к возмущениям ее параметров, при этом решение представлено в аналитической форме, его значения в контрольных точках совпали с данными, приведенными в монографии [5].

Рис. 1. График нейросетевого решения задачи для

Ещё более интересной является задача построения нейронной сети, дающей решение задачи не при фиксированных значениях параметра, а значениях из некоторого интервала. При этом данный параметр надо подать на вход сети наряду с переменной . В качестве такого параметра можно было бы выбрать , так как зависимость от него наиболее интересна с точки зрения приложений. Однако более заманчиво ввести в рассмотрение все три параметра: , и .

При этом в качестве базисных функций можно было бы взять гауссианы

,

но более эффективным оказалось использование гетерогенной нейронной сети с базисными нейроэлементами вида

.

Минимизируемый функционал ошибки зададим в виде –

Вычисления проводились для следующих интервалов изменения параметров . Оптимальные значения весов приближенного нейросетевого решения подбирались на основе минимизации функционала как с помощью модифицированного метода многогранника, так и с помощью варианта метода плотного облака, который в данном случае оказался более эффективным. Приведем результаты вычислений для сети из нейроэлементов при следующих значениях параметров: размер облака , штрафной множитель , число тестовых точек . Полученное приближенное решение задачи дается нейронной сетью в аналитической форме для указанной области изменения параметров . Его значения в контрольных точках отличаются от приведенных в монографии [5] данных менее чем на 2%.

На приведенных ниже рисунках указаны графики нейросетевого решения для контрольной точки и на соответствующих сечениях:

Рис. 2. График нейросетевого решения задачидля

Рис. 3. График нейрорешения задачи ,

Рис. 4. График нейрорешения задачи ,

Рис. 5. График нейрорешения задачи ,

Наряду с этим результат нейрокомпьютинга сравнивался с решением, полученным численными методами, реализованными в ядре среды Mathematica 6, – получилось очень хорошее совпадение. Предложенная методика, существенно используя достоинства нейросетевых разложений [6], позволяет работать не только с нелинейными одномерными задачами, она может быть применена в случае кусочных коэффициентов в многомерных задачах со сложной геометрией, при решении серии задач с уточняемой постановкой, при построении регуляризаций решений некорректных задач.

Литература

1. Дмитриев С.С., Кузнецов Е.Б. Перенос тепла и массы в пористом катализаторе// Материалы VI Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях – NPNJ-2006, СПб. – М.: Вузовская книга, 2006. – С.159-160.

2. Kubicek M., Hlavacek V. Solution of nonlinear boundary value problems. Part VIII// Chem. Eng. Sci. 1974. V. 29. P.1695-1699.

3. Lahae M.E. Solution of systems of transcendental equations// Acad. R. Belg. Bull.Cl. Sci. 5. 1948. P. 805-822.

4. Кузнецов Е.Б. Наилучшая параметризация при построении кривой итерационным методом// Докл. РАН. 2004. Т. 396, № 6. С. 746-748.

5. На Ц. Вычислительные методы решения прикладных граничных задач. – М.: Мир, 1982, 296 с.

6. Васильев А.Н. Построение приближенных математических моделей распределенных систем на основе нейросетевой методологии// «Нейрокомпьютеры»: разработка, применение. – М.: Радиотехника, 2007. – №9. – С.103-116.

7. Тархов Д.А. Нейронные сети: модели и алгоритмы. Кн.18. – М.: Радиотехника, 2005. – 256 с.

8. Vasilyev A.N., Tarkhov D.A. New neural network technique to the numerical solution of mathematical physics problems. I: Simple problems// Optical Memory and Neural Networks (Information Optics), Allerton Press, Inc. –2005. – Vol. 14, No. 1. – pp. 59-72.

9. Vasilyev A.N., Tarkhov D.A. New neural network technique to the numerical solution of mathematical physics problems. II: Complicated and nonstandard problems// Optical Memory and Neural Networks (Information Optics), Allerton Press, Inc. – 2005. – Vol. 14, No. 2. – pp. 97-122.

10. Васильев А.Н., Тархов Д.А. Нейросетевые подходы к решению краевых задач в многомерных составных областях// Известия ТРТУ. – 2004. – №9. – С.80-89.

11. Васильев А.Н., Тархов Д.А. Применение искусственных нейронных сетей к моделированию многокомпонентных систем со свободной границей// Известия ТРТУ. – 2004. – №9. – С.89-100.

12. Тархов Д.А. Нейронные сети как средство математического моделирования// «Нейрокомпьютеры»: разработка, применение. – 2006. – №2. – С.3-48. 13. Васильев А.Н., Тархов Д.А. Нейросетевой подход к расчету квантовых точек// «Нейрокомпьютеры»: разработка, применение. – 2007. – №6. – С.87-95.

14. Васильев А.Н., Тархов Д.А. Расчет теплообмена в системе «сосуды–ткани» на основе нейронных сетей// «Нейрокомпьютеры»: разработка, применение. – 2006. – №7. – С.48-53.

15. Васильев А.Н. Сравнительный анализ традиционного и нейросетевого подходов к построению приближенной модели калибратора переменного давления// «Нейрокомпьютеры»: разработка, применение. – М.: Радиотехника, 2007. – №9. – С.14-23.

16. Васильев А.Н., Тархов Д.А. Эволюционные алгоритмы решения краевых задач в областях, допускающих декомпозицию (NPNJ-2006)// Математическое моделирование. – 2007. – Том 19, №12. – С.52-62.

17. Васильев А.Н., Тархов Д.А. Построение приближённых нейросетевых моделей по разнородным данным// Математическое моделирование. – 2007. – Том 19, №12. – С.43-51.



Скачать документ

Похожие документы:

  1. Содержание журнала «Известия Томского политехнического университета» 2003–2011 гг

    Документ
    Болотина И.О., Евтушенко Г.С., Солдатов А.И., Цехановский С.А. Определение местоположения источников сигналов акустической эмиссии с помощью фазированной антенной решётки
  2. Содержание журнала «Известия Томского политехнического университета» 2003–2012 гг

    Документ
    Болотина И.О., Евтушенко Г.С., Солдатов А.И., Цехановский С.А. Определение местоположения источников сигналов акустической эмиссии с помощью фазированной антенной решётки
  3. Тезисы докладов ХХ xvi самарской областной

    Тезисы
    4 апреля 2010 г. исполнилось бы 90 лет В.П. Лукачёву – ректору с 1956 по 1988 г.г. Куйбышевского ордена Трудового Красного Знамени авиационного института имени академика С.
  4. Тезисы докладов (2)

    Тезисы
    П78 Проблемы экономики и прогрессивные технологии в текстильной, легкой и полиграфической отраслях промышленности: тез. докл. Всерос. науч.-техн. конф.
  5. Программа работы школы молодых ученых (шму-16) 21 24 апреля Саратов 2011 приглашение

    Программа
    Конференция будет проходить с 21 по 23 апреля 2011 г. в Саратовском государственном техническом университете по адресу: 410054, г. Саратов, ул. Политехническая, 77.

Другие похожие документы..