Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Документ'
ГН, що складаються з двох чи трьох слів, пишуться з великої літери, а їх родові позначення – малої: Азовське море, Весела слобода. Але коли вони не с...полностью>>
'Программа дисциплины'
изучение курса связано с возрастающим значением прогнозов в принятии научно обоснованных, эффективных экономических решений в условиях процессов межд...полностью>>
'Программа дисциплины'
Рабочая программа дисциплины «Гражданское процессуальное право», предназначено для студентов юридического факультета (4 курс – очная форма обучения; ...полностью>>
'Бизнес-план'
Целью настоящего проекта является производство садовой клубники на территории Кишертского муниципального района. Предпринимательская деятельность нап...полностью>>

Преобразование Хевисайда. Преобразование Лапласа. Устойчивость системы. Условие усточивости. Критерий устойчивости Гурвица и Льенара-Шипара

Главная > Лекция
Сохрани ссылку в одной из сетей:

Лекция №3

Преобразование Хевисайда. Преобразование Лапласа. Устойчивость системы. Условие усточивости. Критерий устойчивости Гурвица и Льенара-Шипара. Общая постановка задачи устойчивости.

Как уже говорилось, линейные системы описываются с помощью дифференциальных уравнений. Ввиду их относительной сложности сведение их к уравнениям алгебраическим сильно упростит задачу их решения. Методика такого сведения была впервые предложена Хевисайдом . Суть её в том, чтобы заменять взятие производной умноженим на оператор p. Таким образом уравнение

аn*dnx/dtn+....a1dx/dt+aox=bmdmu/dtm+b1du/dt+bou (3.1)

примет вид

аn*pnx+....a1px+aox=bmpm*u+b1*p*u+bou (3.2)

Метод широко применяется в электротехнике.

Его недостаток - то, что не учитываются начальные условия- значение x , u и их производных при t=0.

Этого недостатка лишено более строгое математическое преобразование - преобразование Лапласа. Суть этого преобразования заключается в записи вместо х(t) некоего x(s) причём

x(s)= (3.3)

На деле преобразование проводится по таблицам.

Производные и интегралы от функций берутся так:

После решения системы производится обратное преобразование. Уравнение в операторной форме имеет вид

аn*snx+....a1sx+aox=bmsm*u+b1*s*u+bou или (аn*sn+....a1s+ao)x=(bmsm*u+b1*s*u+bo)u или

A(s)*x(s)=B(s)*u(s) (3.4) где A(s), B(s) - полиномы из степеней s.

В такой форме записи существует такое понятие, как передаточная функция W(s).

W(s)=x(s)/u(s)=B(s)/A(s).

Очень часто W(s) можно разложить на несколько множителей, среди которых типовые множители ( звенья ) такие:

Wi(s)=const -усиливающее звено.

Wi(s)=1/(Ts+1)- апериодическое звено.

Wi(s)=1/(Ts2+2Ts+1)- колебательное звено.

Wi(s)=1/s- интегрирующее звено.

Wi(s)=Ts- дифференцирующее звено.

Wi(s)=Ts+1- дифференцирующее звено 1-го порядка.

Wi(s)=Ts2+2Ts+1- - дифференцирующее звено 2-го порядка.

Как уже упоминалось, решение дифференциального уравнения делится на общее однородное и частное неоднородное.

x(t)=xоо(t)+xчн(t) . (3.4)

Если система при устремление t к бесконечности решение будет приближаться к частному неоднородному, что система устойчива. Если разница при устремлении t к бесконечности

xоо(t) не будет стремится к 0, а будет стремится к бесконечности, то система неустойчива. Если не будет стремления ни к 0 не к бесконечности, то перед нами пограничный случай.

Ясно, что неустойчивая система ведёт к непредсказуемым результатам, выходящим за рамки возможностей любой реальной системы, что приведёт или к её поломке и/или к неполучению нужного результата. Поэтому задача анализа системы на устойчивость является принципиальной при работе с системами.

Уже отмечалось, что решение дифференциального уранения первого порядка производится методом подстановки x00=et . Для уравнения n-го порядка решение будет иметь вид:

xоо1e1t+...+ Сnent (3.5)

В общем случае коэффициенты 1-n комплексные и равны

i=i+ii . Совершенно очевидно, что решения будет устойчиво только в том случае, если все i<0 , иначе система будет неустойчива ( Эспонента с положительным показателем стемится к бесконечности).

Не всегда, однако система является линейной и её так просто решить и проверить на устойчивость. В этом случае на помощь приходят теоремы Ляпунова, которые позволяют определить устойчивость только лишь линеаризованной части системы и на этом основании сделать вывод о всей системе.

1-я теорема Ляпунова. Если все корни характерестического уравнения линеаризованной системы находятся в отрицательной действительной части комплексной плоскости (т.е. i<0), то исходная нелинейная система устойчива.

2-я теорема Ляпунова. Если хотя бы один корень характеристического уравнения линеаризованной системы находятся в положительной действительной части комплексной плоскости (т.е. i>0), то исходная нелинейная система неустойчива.

Если линейная система получилось нейтральной, то по ней нельзя судить об устойчивости и надо рассматривать нелинейную систему. Такой случай называется критическим.

Также для решения систем используют запись уравнений в отклонениях от положения равновесия. Поясним:

Пусть у нас есть уравнение dyi/dt=Yi(y1,y2, ...yn) . Пусть у нас есть точка равновесия при t= со значениями y1*...yn* . Тогда записав yi=xi+yi* помещают точку равновесия в 0, решая уравнения dxi/dt=Xi(x1,x2, ...xn). Видно, что запись в такой форма не влияет на путь сходимости, а только её точку.

Одним из наиболее распространённым способом определения устойчивости системы является метод Гурвица. Пусть у нас есть уравнение, записанное в оператороной форме.

а0*sn+....an-1s+an=0 (3.6)

Тогда , если a0>0 и матрица формы

-(3.7) - Матрица Гурвица

Если все диагональные миноры этой матрицы положительны, то система усточива.Это критерий устойчивости Гурвица. Напомним:

Диагональные миноры- это миноры, включающие в себя n первых диогональных элементов, если размерность минора n*n.

Минор - матрица, полученная путём "взятие" из основной матрицы n любых строк и столбцов. (Т.е. сначало выбираем из матрицы n строк, потом в этих строках n столбцов. Получится матрица размером n*n). Под положительностью минора понимают положительность его определителя.

Определитель - для матрицы 2*2 вида =a11*a22-a21*a12 . Для матрицы 3х3 это сумма элементов 3-й стоки , умноженных на минор, не содержащий той же строки и того же столбца, что и этот элемент. Аналогично для матриц более высокого порядка.

Было доказано, что необязательно вычислять все диагональные миноры, а можно вычислить только чётные или нечётные и если они положительны, то система устойчива. Это- критерий устойчивости Льенара-Шипара.



Скачать документ

Похожие документы:

  1. Задание Структурная схема системы автоматического регулирования (сар) напряжения генератора постоянного тока (рисунок 1)

    Документ
    Примечание – точность расчетов не менее трех знаков после запятой. Все вычисления и графические построения выполняются в соответствии с теоретическими положениями, изложенными в [1-4] и конспекте лекций.
  2. Тема z-преобразование сигналов и системных функций

    Реферат
    Великим было хорошо. Записал мудрую мысль и пошел кофе пить. А тут иногда понимаешь как попугай нотную грамоту, владеешь как рыба ружьем, а делать приходится.
  3. Методические указания к выполнению лабораторных занятий для студентов технических специальностей Павлодар

    Методические указания
    Примечание – точность расчетов не менее трех знаков после запятой. Все вычисления и графические построения выполняются в соответствии с теоретическими положениями, изложенными в [1-4] и конспекте лекций.
  4. Программ Control System Toolbox и предназначен для анализа линейных стационарных систем

    Документ
    Инструмент Simulink LTI-Viewer входит в состав пакета прикладных программ Control System Toolbox и предназначен для анализа линейных стационарных систем.
  5. Глядя на мир, нельзя не удивляться

    Закон
    Цель книги — частично заполнить философский вакуум в сознании людей, возникший в последние годы, устранить или уменьшить путаницу в миропонимании, систематизировать накопленные знания последних лет.

Другие похожие документы..