Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Программа дисциплины'
Роль научного знания в сфере функционирования и развития средств массовой информации детерминирована бурным развитием массово-информационной деятельн...полностью>>
'Диплом'
Дипломная работа выполнена на тему: «Ресторанный комплекс при клубе знаменитых людей: ресторан высшего класса на 140 мест, бар на 28 мест, арт-кафе н...полностью>>
'Рабочая учебная программа'
Составитель: Михалкина Н.И., кандидат биологических наук, доцент Рабочая учебная программа (силлабус) составлена на основании Типовой программы МОН Р...полностью>>
'Документ'
Говоря о какой-либо эпохе, мы ощущаем себя в состоянии обозначить ее всего лишь одним словом так, чтобы оно выражало вся суть описываемого времени. М...полностью>>

Линейные д. У. Го порядка. Линейный диф-ый оператор

Главная > Документ
Сохрани ссылку в одной из сетей:

§ 3. ЛИНЕЙНЫЕ Д.У. -ГО ПОРЯДКА.

ЛИНЕЙНЫЙ Диф-ый ОПЕРАТОР.

ОПР.1 .ЛИНЕЙНЫМ Д.У. -ГО ПОРЯДКА НАЗЫВАЕТСЯ УРАВНЕНИЕ ВИДА

(1)

ВСЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И САМА ФУНК-ИЯ ВХОДЯТ В УРАВНЕНИЕ В ПЕРВЫХ СТЕПЕНЯХ. -ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ.

ЕСЛИ , ТО УРавненИЕ НАЗЫВАЕТ­СЯ ОДНОРОДНЫМ.

(1)-НЕОДНОРОДНОЕ Линейное Д.У. -ГО ПОРЯДКА.

ЗАПИШЕМ ЛИНЕЙНОЕ ОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ

(2)

И ВВЕДЕМ ОБОЗНАЧЕНИЕ

(3)

И НАЗОВЕМ - ЛИНЕЙНЫМ ДИФ-ЫМ ОПЕРАТОРОМ, ДЕЙСТВУЮЩИМ НА ФУНКЦИЮ .

С ПОМОЩЬЮ ОПЕРАТОРА Линейное Д.У. (1) ЗАПИШЕМ В ВИДЕ - ЛИНЕЙНОЕ НЕОДНОРОДНОЕ Д.УРАВНЕНИЕ - ГО ПОРЯДКА.

А (2) ЗАПИШЕТСЯ В ВИДЕ

(2/)

ЛИНЕЙНЫЙ Д. ОПЕРАТОР КАЖДОЙ Ф-ИИ СТАВИТ В СООТВЕТСТВИЕ НЕКОТОРУЮ ДРУГУЮ ФУНКЦИЮ.

НАПОМНИМ СЛЕДУЮщЕЕ ПОНЯТИЕ.

ГОВОРЯТ, ЧТО НА МНОЖЕСТВЕ ЗАДАН ОПЕРАТОР СО ЗНАЧЕНИЯ­МИ В МНОЖЕСТВЕ , ЕСЛИ КАЖДОМУ ЭЛЕМЕНТУ ПО НЕКОТОРОМУ ЗАКОНУ ПОСТАВЛЕН В СООТВЕТСТВИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ЭЛЕМЕНТ . МНОЖЕСТВО НАЗЫВАЮТ ОБЛАСТЬЮ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОПЕРАТОРА .

ПУСТЬ- ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО. ОПЕРАТОР , ЗАДАННЫЙ НА НАЗЫВАЕТСЯ ЛИНЕЙНЫМ, ЕСЛИ ОН АДДИТИВЕН И ОДНОРОДЕН, Т.Е.

1) ,

2) ЧИСЛО.

пример.

.

Свойства решений однородного ур-ния

ТЕОРЕМА 1. ЕСЛИ РЕШЕНИЯ (2),

ТО - ТАКЖЕ БУДЕТ РЕШЕНИЕМ (2).

ДОК-ВО: ЗАМЕТИМ, ЧТО

.

тогда

ТЕОРЕМА 2. ЕСЛИ РЕШЕНИЕ (2), ТО

, ГДЕ - также БУДЕТ РЕШЕНИЕМ.

ДОК-ВО: ЗАМЕТИМ, ЧТО

Тогда

ЭТИ ДВА СВОЙСТВА И ЕСТЬ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ СВОЙСТВА ЛИНЕЙНОСТИ.

В ИТОГЕ, ЕСЛИ РЕШЕНИЯ (2), ТО

ТАКЖЕ БУДЕТ РЕШЕНИЕМ (2):

.

теорема 3. если л.о.д.у.

С ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ КОЭФФИЦИ­ЕНТАМИ

ИМЕЕТ КОМПЛЕКСНОЕ РЕШЕНИЕ

,

ТО ДЕЙСТВИТЕЛЬНАЯ ЧАСТЬ ЭТОГО РЕШЕНИЯ И ЕГО МНИМАЯ ЧАСТЬ В ОТДЕЛЬНОСТИ ЯВЛЯЮТСЯ РЕШЕНИЯМИ ТОГО ЖЕ ОДНОРОДНО­ГО УРАВНЕНИЯ.

док-во:

ТЕОРЕМА 4. ЕСЛИ Л.Д.У. ИМЕЕТ РЕШЕНИЕМ КОМПЛЕКСНУЮ ФункцИЮ , ТО КОМПЛЕКСНО-СОПРЯЖЕННАЯ ФункцИЯ ТОЖЕ РЕШЕНИЕ .

Т.Е. ЕСЛИ РЕШЕНИЕ, ТО АВТОМАТИЧЕСКИ ЗНАЕМ ЕЩЕ ОДНО РЕШЕНИЕ ИЛИ ДВА ВЕЩЕСТВЕННЫХ РЕШЕНИЯ И .

§ 4. ЛИНЕЙНО ЗАВИСИМЫЕ И ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ

ОПР. 1. БУДЕМ ГОВОРИТЬ, ЧТО Ф-ИИ

ЛИНЕЙНО ЗАВИСИМЫ НА ИНТЕРВАЛЕ

, ЕСЛИ СУЩЕСТВУЮТ ПОСТОЯННЫЕ - ТАКИЕ, ЧТО НА ЭТОМ ИНТЕРВАЛЕ ВЫПОЛНЯЕТСЯ ТОЖДЕСТВО ПО

, (*)

ПРИЧЕМ ХОТЯБЫ ОДНО ИЗ ЧИСЕЛ ОТЛиЧНО ОТ НУЛЯ.

НАПРИМЕР, ЕСЛИ , ТО

Т.Е. ОДНА ФУНКЦИЯ ВЫРАЖАЕТСЯ ЧЕРЕЗ ДРУГИЕ.

ОПР.2. ЕСЛИ ТОЖДЕСТВО (*) ВЫПОЛ­НЯЕТСЯ НА ЛИШЬ кОГДА ВСЕ , ТОГДА СОВОКУПНОСТЬ Ф-ИЙ

НАЗЫВАЕТСЯ ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСиМОЙ НА .

ДЛЯ ДВУХ Ф-ИЙ ЛИН. ЗАВИСИМОСТЬ ОЗНАЧАЕТ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТЬ

.

В ОБЩЕМ СЛУЧАЕ СОВОКУПНОСТЬ Ф-ИЙ ИССЛЕДУЕТСЯ НА ЛИНЕЙНУЮ ЗАВИСИМОСТЬ С ПОМОЩЬЮ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ВРОНСКОГО.

( Ю. ВРОНСКИЙ - 1778-1853 -ПОЛЬСКИЙ МАТЕМАТИК И ФИЛОСОФ)

ОПР.З. ПУСТЬ ИМЕЕМ СИСТЕМУ Ф-ИЙ

ОПРЕДЕЛЕННЫХ НА ИНТЕРВАЛЕ ПОСТРОИМ МАТРИЦУ

ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ЭТОЙ МАТРИЦЫ НАЗЫВАЕТСЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕМ ВРОНСКОГО ДЛЯ .

ТЕОРЕМА 1 .(НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ ЛИНЕЙНОЙ ЗАВИСИМОСТИ Ф-ИЙ)

ЕСЛИ Ф-ИИ , ИМЕЮЩИЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ДО ПОЯДКА - ВКЛЮЧИТЕЛЬНО, ЛИНЕЙНО ЗАВИСИМЫ НА ИНТЕРВАЛЕ , ТО НА ЭТОМ ИНТЕРВАЛЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЬ ВРОНСКОГО

СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ , ТОЖДЕСТВЕННО РАВЕН НУЛЮ:

НА .

ДОК-ВО:

примеры. 1. дана система функций: 1,x,x2,…,xn-1.

доказать, что функции линейно-независимы.

2. дана система функций: 1, sin2x, cos2x

доказать, что функции линейно-зависимы.

3. дана система функций: 1, ex, e2x,…,e(n-1)x.

доказать, что функции линейно-независимы.

§ 5. структура общего решения ЛИНЕЙНОго однородного диф-го уравнения -го порядка.

пусть дано л.о.д.у. . (1)

ОПР.1. совокупность линейно-независимых частных решений уравнения (1) называется фундаментальной системой решений этого уравнения.

Теорема 1. общее решение уравнения (1) –есть линейная комбинация линейно-независимых частных решений этого уравнения: (2) , где произвольные постоянные.

Д-во:



Скачать документ

Похожие документы:

  1. Юрия Алексеевича Митропольского указатель

    Библиографический указатель
    В книге освещены основные этапы жизни, научной и общественной деятельности известного ученого в области математической физики, теории нелинейных колебаний и теории дифференциальных уравнений академика Нацио­наль­ной академии наук
  2. Текст взят с психологического сайта (46)

    Справочник
    Первое систематизированное справочное краткое научное руководство по эко­логии человека, включающее в себя около 2 тыс. терминов и определений по всему объему вопросов, связанных с особенностями экосистем «человек—приро­да», «человек—производство».
  3. Н. А. Агаджаняна издательская фирма «крук»

    Справочник
    Первое систематизированное справочное краткое научное руководство по эко­логии человека, включающее в себя около 2 тыс. терминов и определений по всему объему вопросов, связанных с особенностями экосистем «человек—приро­да», «человек—производство».
  4. Составление и общая редакция игумена андроника (а с. Трубачева), П. В. Флоренского, М. С

    Документ
    Два имени — подобно двум кризисам в жизни от­дельного человека — разграничивают возрасты европей­ской мысли. Платон и Кант — вот эти два водо­раздела, отделяющие неведомое, теряющееся в космого-ниях седой древности начало философии
  5. Вопрос №1. "Понятие системы. Примеры системы. Свойства сложных систем"

    Документ
    Под сложной динамической системой следует понимать развивающиеся во времени и в пространстве целостные объекты, состоящие из большого числа элементов и связей и обладающие свойствами, которые отсутствуют у элементов и связей, их образующих.

Другие похожие документы..