И линейное программирование

Индивидуальное домашнее задание

по дисциплине

ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА

И ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Формирование исходных данных к задачам

Условия задач, входящих в контрольную работу, одинаковы для всех студентов, однако числовые данные задач зависят от номера зачетной книжки студента, выполняющего работу.

Для того, чтобы получить свои личные данные, необходимо взять две последние цифры номера своей зачетной книжки (А- предпоследняя цифра, В- последняя) и выбрать из таблицы 1 параметр m, а из таблицы 2 параметр k. Эти два числа m и k нужно подставить в условия задач контрольной работы.

Таблица 1(выбор параметра m)

Таблица 2(выбор параметра k)

1. Задача межотраслевого баланса

Три отрасли промышленности № 1, № 2 и № 3 являются производителями и в то же время потребителями некоторой продукции. Их взаимосвязи определяет матрица А коэффициентов прямых затрат

,

В которой число а_ij, стоящее на пересечении i-ой строки и j-ого столбца равно , где х_ij- поток средств из i-ой отрасли в j-ю, а х_j-валовой объем продукции j-й отрасли (все объемы продукции выражаются в единицах стоимости).

Задан вектор объемов конечной продукции.

1. Составить уравнения межотраслевого баланса.

2. Решить систему уравнений межотраслевого баланса, то есть найти объемы валовой продукции каждой отрасли х₁, х₂, х₃, обеспечивающие потребности всех отраслей и изготовление конечной продукции У. (Расчеты рекомендуется производить с точностью до трех знаков после запятой).

3. Составить матрицу Х потоков средств производства х_ij.

4. Определить чистую продукцию каждой отрасли .

5. Результаты расчетов оформить в виде таблицы межотраслевого баланса:

2. Задача оптимального производства продукции

Предприятие планирует выпуск двух видов продукции № 1 и

№ 2, на производство которых расходуется три вида сырья А, В и С. Потребность на каждую единицу j-ого вида продукции i-го вида сырья, запас соответствующего вида сырья и прибыль от реализации единицы j-ого вида продукции заданы таблицей:

2.1. Для производства двух видов продукции № 1 и № 2 с планом х₁ и х₂ единиц составить целевую функцию прибыли Z и соответствующую систему ограничений по запасам сырья, предполагая, что требуется изготовить в сумме не менее k единиц обоих видов продукции.

2.2. В условиях задачи 2.1. составить оптимальный план () производства продукции, обеспечивающий максимальную прибыль . Определить остатки каждого вида сырья. (Задачу решить симплекс-методом).

2.3. Построить по полученной системе ограничений многоугольник допустимых решений и найти оптимальный план производства геометрическим путем. Определить соответствующую прибыль .

3. Транспортная задача

На трех складах А₁, А₂ и А₃ хранится a₁=100, а₂=200 и а₃=60+10k единиц одного и того же груза. Этот груз требуется доставить трем потребителям B₁, B₂ и B₃, заказы которых составляют b₁=190, b₂=120 и b₃=10m единиц груза соответственно. Стоимости перевозок с_ij единицы груза с i-го склада j-му потребителю указаны в правых верхних углах соответствующих клеток транспортной таблицы:

3.1. Сравнивая суммарный запас и суммарную потребность в грузе, установить, является ли модель транспортной задачи, заданная этой таблицей, открытой или закрытой. Если модель является открытой, то ее необходимо закрыть, добавив фиктивный склад А₄^’ с запасом а₄^’=b-a в случае или фиктивного потребителя В₄^’ с потребностью b₄^’=a-b в случае а>b и положив соответствующие им тарифы перевозок нулевыми.

3.2. Составить первоначальный план перевозок. (Рекомендуется воспользоваться методом наименьшей стоимости.)

3.3. Проверить, является ли первоначальный план оптимальным в смысле суммарной стоимости перевозок, и если это не так, то составить оптимальный план

,

Обеспечивающий минимальную стоимость перевозок . Найти эту стоимость.