Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Закон'
С 1 января 2007 года лицензирование туристской деятельности, туроператоров и туристических агентств, отменено. Теперь туристов защищает закон «Об осно...полностью>>
'Методические рекомендации'
Провести экспресс-анализ финансового состояния компании для получения общего представления о финансовом положении объекта анализа на базе форм внешне...полностью>>
'Документ'
Адаптация - от лат. «приспособляю» - это сложный процесс приспособления организма, который происходит на разных уровнях: физиологическом, социальном,...полностью>>
'Закон'
Настоящий Федеральный закон вступает в силу по истечении ста восьмидесяти дней после дня его официального опубликования (с 3 ноября 2011 г.), за искл...полностью>>

Исследовательская работа по математике: «Формирование умения выводить логические следствия из данных предпосылок при изучении темы «Треугольник» исследовательским методом.»

Главная > Исследовательская работа
Сохрани ссылку в одной из сетей:

МОУ «Кинделинская средняя общеобразовательная школа» Ташлинского района Оренбургской области

Исследовательская работа по математике:

«Формирование умения выводить логические следствия из данных предпосылок при изучении темы «Треугольник» исследовательским методом.»

Автор:

Карпушкина Галина Васильевна,

учитель математики высшей категории

МОУ «Кинделинская СОШ»

Ташлинского района Оренбургской области

2011год.

СОДЕРЖАНИЕ.

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………….3-6

ГЛАВА 1.Доказательство в геометрии……………………………................7-14

1.1 Сущность доказательств в геометрии……………………………………….7

1.2 Значение доказательств геометрии………………………………………..7-8

1.3 Основные виды теорем и их структура……………………………….....8-11

1.4 Структура геометрического доказательства, его виды……………….11-14

ГЛАВА 2. Формирование умения выводить логические следствия из данных предпосылок на примере изучения темы «Треугольник» исследовательским методом……………………………………………………………………….15-68

2.1. Организация исследовательской деятельности при обучении геометрии в основной и старшей школе………………………………………………….15-21

2.2. Учебный модуль темы «Треугольник» в средней школе……………21-27

2.3Основные цели формирования у учащихся логических исследований…………………………………………………………………27-28

2.4 Организация деятельности учащихся при выработке умений выводить логические следствия.………………………………………………………28-44

2.5.Необходимые условия понимания и умения делать логические выводы………………………………………………………………………44-49

2.6.Диагностический модуль. ………………………………………………49-68

ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………………….69

БИБЛИОГРАФИЯ………………………………………………………….70-72

ВВЕДЕНИЕ.

Традиционно считалось, что геометрия – строго логическая наука, изучение которой в первую очередь (и главным образом) развивает логическое мышление. И.Ф.Шарынин утверждал, что геометрическое мышление, формирующееся при изучении геометрии, имеет две составляющие –наглядно-образную и логическую. Учителю необходимо создавать «мотивационный фон» особенно при объяснении нового материала в частности при доказательстве математических фактов, сколь бы очевидными они не казались, ибо по словам Д.Пойа роль доказательств в школьном математическом образовании является наиболее существенной частью вклада математики в общую культуру человека. По словам Д.Гильберта, существует поразительная гармония между наглядностью, интуицией и логическим мышлением, заключающаяся в том, что общее и абстрактное, с одной стороны и непосредственно наглядное, с другой, объединяются в единый мир идей. Поэтому доказательства математических факторов должны быть, по возможности, логически строгими и опираться при этом на имеющиеся наглядно-интуитивные представления учащегося. Знакомясь с окружающими предметами и явлениями, человек обнаруживает, что между ними существуют закономерные связи и отношения. Изучая окружающую действительность, люди узнают, например, что плавание тел зависит от их удельного веса, что сгорание приводит к возникновению тепла. Такое отражение действительности называют мышлением. Мышление есть обобщенное отражение в мозге человека предметов и явлений в их закономерных связях и отношениях. Познание в процессе мышления объективных закономерностей позволяет человеку судить на основании непосредственно наблюдаемых свойств действительности о её существенных особенностях, которые не обнаруживаются в восприятии.

Таким образом, человек не только непосредственно воспринимает внешнюю сторону предметов и явлений, но и начинает обнаруживать закономерные, существенные связи, отношения между ними, т.е. мыслит.

Например, в геометрическом понятии «треугольник» отражаются общие свойства самых различных треугольников, обладающих различной величиной, различными соотношениями сторон, различными углами и т. д.

Различают три основные формы мышления: понятие, суждение и умозаключение.

Понятие - это форма мышления, в которой отражается общее и притом существенные свойства предметов и явлений. Каждый предмет, каждое явление имеют много различных свойств, признаков. Их можно разделить на две категории- существенные и несущественные. Например, каждый отдельный треугольник имеет три угла, определенные размеры – длину сторон и площадь, определенную величину углов. Но только первый признак делает фигуру треугольником, позволяет отличить ее от других фигур: прямоугольника, круга.

Суждение – это форма мышления, содержащая утверждение или отрицание какого-либо положения относительно предметов и их свойств. В суждениях отражаются связи и отношения между предметами и их свойствами и признаками.

Умозаключение - такая форма мышления, в процессе которой человек, сопоставляя и анализируя различные предпосылки, выводит из них новое заключение. Типичный пример умозаключения – доказательство геометрических теорем. Человек пользуется в основном двумя видами умозаключений – индуктивными и дедуктивными.

Индукция – это способ рассуждения от частных суждений к общему суждению, установление общих законов и правил на основании изучения отдельных фактов и явлений.

Дедукция – это способ рассуждения от общего суждения к частному суждению, познание отдельных фактов и явлений на основании знания общих законов и правил.

В своей работе я хочу проследить как в процессе доказательства формируются умения выводить логические следствия из данных предпосылок на примере темы «Треугольник», каким образом это влияет на развитие логического мышления, так как развитие логического мышления является одним из важнейших элементов воспитания в школе. В геометрии наибольшее значение для развития логического мышления имеют задачи на доказательство (теоремы). Они способствуют развитию у учащихся определенности, последовательности, обоснованности мышления. На этих задачах учитель может научить учащихся таким методам познания, как анализ, синтез. Для того, чтобы ребенок начал мыслить, перед ним необходимо поставить новую задачу, в процессе решения которой он мог бы использовать приобретенные ранее знания. Мышление человека, и в частности школьника, наиболее ярко проявляется в доказательствах, выводах, при решении задач.

На уроках учитель заставляет ребенка планомерно производить анализ каких-либо предпосылок, синтезировать отдельные элементы в единое целое, сравнивать их, делать на основании известных данных обоснованные выводы и умозаключения. Ничто так, как математика, не способствует развитию мышления, особенно логического, так как предметом ее изучения являются отвлеченные понятия и закономерности.

Из всего сказанного вытекает цель:

Теоретически обосновать и продемонстрировать эффективность применения исследовательского метода для формирования умения у учащихся выводить логические следствия из данных предпосылок при изучении темы «треугольник».

Для реализации цели работы нами было организовано исследование, объектом которого является процесс формирования правильного мышления учащихся, а предметом - процесс формирования у учащихся умения выводить логические следствия из данных предпосылок при изучении темы «Треугольник».

В процессе исследования нами обосновывалось следующая гипотеза: формирование у учащихся умения выводить логические следствия из данных предпосылок наиболее эффективно проводить при изучении темы «Треугольник» исследовательским методом.

Задачи:

- определить роль логического мышления в процессе обучения школьников;

- изучить литературу, раскрывающую основные виды теорем, их структуру;

-раскрыть сущность формирования умений вывода следствий из имеющихся предпосылок;

- проследить и раскрыть структуру геометрического доказательства;

-рассмотреть методы формирования умений учащихся проводить логические исследования при доказательстве теорем и следствий из имеющихся предпосылок;

ГЛАВА 1.Доказательство в геометрии.

    1. Сущность доказательств в геометрии

В геометрии термин «доказательство» понимают как доказательство логическое. Логическое доказательство есть мыслительный процесс обоснования данного суждения путем приведения ранее нам известных истинных суждений, из связи которых данное суждение вытекает как необходимое следствие.

Доказательство каждой геометрической теоремы преследует две цели:

  1. Оправдание истинности теоремы

  2. Выяснение места данной теоремы среди других предложений геометрии.

Итак, доказательство представляет собой систему умозаключений, при помощи которых истинность доказываемого предложения выводится из аксиом и ранее доказанных истин. А истинность дедуктивного вывода обусловлена тем, что в нем мы прилагаем некоторые общие законы к частным случаям, так как совершенно очевидно, что все то, что справедливо вообще и всегда, будет справедливо и для каждого отдельного случая.

1.2. Значение доказательств в геометрии.

Доказательство геометрического предложения имеет своей целью установление его достоверности при помощи логического вывода из уже доказанных или известных истин. Существенной особенностью геометрического доказательства в значительной степени определяющей его необходимость, является то, что при помощи доказательства устанавливаются общие свойства фигур. Если доказательство проведено правильно и опиралось на правильные исходные положения, то это дает нам безусловную уверенность в истинности доказываемого положения. Именно поэтому мы убеждены, что любая геометрическая теорема, например теорема Пифагора, справедлива для треугольников любых размеров с длиной сторон и в несколько миллиметров и в миллионы километров.

Наконец, есть еще одна, чрезвычайно важная причина, обусловливающая необходимость доказательства. Дело в том, что геометрия представляет собой не случайный набор истин, описывающих свойства фигур, а научную систему, построенную по строгим законам. В этой системе каждая теорема органически связана с совокупностью ранее установленных предложений, и эта связь раскрывается при помощи доказательства.

Пример 1.

Известная теорема о том, что сумма внутренних углов треугольника равна 180, доказывается на основании свойств параллельных прямых. Что указывает на непосредственную связь между теорией параллельных прямых и свойствами сумм внутренних углов многоугольников.

Точно так же на свойства параллельных прямых опирается вся теория подобия фигур.

Итак, подводя итоги всему изложенному о необходимости доказательства, мы можем сказать следующее:

а) в геометрии только небольшое число основных истин – аксиом – принимается без доказательства. Остальные же истины – теоремы – доказываются на основании этих аксиом путем построения ряда умозаключений.

б) в правильно построенном доказательстве опираться только на известные предпосылки или аксиомы.

в) доказательство необходимо также для обоснования сущности доказываемого предложения , т.е. применимости его ко всем частным случаям.

г) наконец, при помощи доказательств геометрические истины приводятся в стройную систему научных знаний, в которой раскрываются все внутренние связи между различными свойствами пространственных форм

1.3 Основные виды теорем и их структура.

Утверждение, справедливость которого устанавливается путем рассуждений, называют теоремой. Когда в геометрии формируется свойство какой-нибудь фигуры, то тем самым формируется теорема. Итак, теорема – это высказывание о том, что из свойства А следует свойство В (А=>В).

Рассмотрим некоторые виды теорем. Пусть дана теорема А=>В. Образуем из нее высказывания вида В=>А, А=>В.

Теоремы А=>В и В=>А называются обратными друг другу, теоремы А=>В и -А=>-В - противоположными друг другу. Теорему -В=>-А называют обратной противоположной.

Пример 2.

Пусть дана теорема: «В равнобедренном треугольнике углы при основании равны».

Обратная данной: «Если углы при основании треугольника равны ,то этот треугольник равнобедренный».

Противоположная теорема данной «Если треугольник не равнобедренный, то углы при основании не равны».

Обратная противоположной «Если в треугольнике углы при основании не равны, то этот треугольник не равнобедренный ».

В теореме различают условие и заключение. Во многих современных учебниках написано: «Условие теоремы – это то, что дано, а заключение – то, что требуется доказать». Также про заключение написано, что оно выражает факт, который в силу условия неизбежно имеет место. Ученый Адамар возвращался к этой мысли. Он считал необходимым подчеркнуть ее: «Чтобы провести это рассуждение надо, основываясь на условие теоремы и предполагая, что это условие выполнено, вывести из него факты, указанны в заключении».

В теореме о равенстве треугольников утверждается, что если треугольники имеют по три равные стороны, то они обязательно равны. Авторы учебников понимают, что условие теоремы является необходимой предпосылкой заключения. Но ученикам это остается неизвестным, многим в начале изучения геометрии, а некоторым и в дальнейшем.

Пример 3.[18]

Теорему «Равные треугольники» можно записать в другой форме «Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника , то эти треугольники равны». Для чего теорему записывают таким образом? Чтобы сразу было видно, что дано (на что нужно опираться при доказательстве), и что надо доказать.

Яснее становится постановка задачи и, следовательно, легче найти доказательство.

Но, следует помнить, что утверждения бывают истинные и ложные. Что нужно сделать, чтобы опровергнуть неверное суждение? Чтобы опровергнуть неверное утверждение, достаточно привести один противоречащий пример (контрпример) – пример, удовлетворяющий условию этого утверждения, но не удовлетворяющий его заключению. Рассмотрение контрпримеров помогает ученику понять необходимость каждого условия теоремы, облегчает запоминание. Построение контрпримеров позволяет отсекать неверные гипотезы при решении задач, помогает, когда уточняется формулировка теоремы и при поиске ее доказательства. Чтобы класс освоил построение контрпримеров, нужно на одном из уроков рассмотреть несколько контрпримеров и дать подобные задачи на дом. Затем, время от времени, после доказательства теоремы, опустив какое-то условие, предложить классу доказать, что полученное утверждение неверно.

Пример 4. [18]

Если две стороны и угол одно треугольника равны двум сторонам и углу другого треугольника такие треугольники равны. (верно ли это утверждение?) Ответ: Нет.

Контрпример: Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС с основанием АС и отметим точку Д на продолжении стороны АС . Тогда треугольники ДВС и ДВА обладают указанным свойством, но не являются равными.

Услышав сообщение учителя «Сегодня мы докажем теорему», ученик сразу спрашивает: «А зачем?» Очень трудно осваивать теорему, если считаешь, что она не нужна. Учитель не должен забывать об этом. Не только о первой, но о каждой теореме нужно сказать несколько слов о том, как возникла эта проблема, зачем нужно ее решать. Учителю – то известно ее значение, связь с другим материалом.

1.4. Структура геометрического доказательства, его виды.

Рассмотрим структуру геометрического доказательства. Логическое доказательство состоит из трех частей:

  1. Тезис – доказываемое положение

  2. Основания или аргументы – суждения, на которые опирается доказательство.

  3. Демонстрация или способ доказательства – рассуждение, выводящее из истинности принятых оснований истинность доказываемого тезиса.

Короче их можно охарактеризовать так:

  1. Тезис – что доказывается

  2. Аргументы – чем доказывается

  3. Демонстрация – как доказывается

Абсолютно необходимыми условиями возможности перехода к демонстрации являются:

  1. Ясное и четкое понимание самого тезиса и всех предшествующих ему предложений, необходимых для доказательства.

  2. Установление точного смысла тезисов, встречающихся в тезисе и аргументах.

Без предварительного выполнения этих условий переход к демонстрации

невозможен.

Сам термин «доказательство» употребляется в математике в смысле «рассуждение», устанавливающее истинность того или иного суждения, связь мыслей, приводящая к определенному выводу относительно тезиса. Иначе говоря, доказательство есть демонстрация – выведение тезиса из аргумента.

Обычно в процессе доказательства в качестве аргументов используются:

а) данные, содержащиеся в условии теоремы;

б) ранее доказанные теоремы;

в) аксиомы;

г) определения.

Аргументы используются в посылках и притом так, чтобы из каждой пары посылок необходимо следовал вывод. Выводное суждение каждого умозаключения (силлогизма) является уже аргументом по отношению к последующим силлогизмам. Выводное суждение последнего силлогизма должно содержать доказываемый тезис.

Следовательно, доказательство представляет собой систему умозаключений, логическую цепь силлогизмов, которая начинается с данных или ранее известных положений и заканчивается доказываемым тезисом. Простейшие доказательства могут состоять из одного силлогизма. В этом случае выводное суждение, являющееся доказываемым тезисом, предшествует посылкам и доказательство сводится к подбору посылок из которых следовал бы тезис.

Пример5.

Доказать, что сумма углов треугольника равна 180 градусов

Подбираем посылки:

    1. развернутый угол составляет 180 градусов .

    2. углы треугольника в сумме составляют развернутый угол.

Они и служат оправданием тезиса.

Выделяют следующие виды доказательств:

  1. Прямое доказательство.

Прямым доказательством называется доказательство, в котором аргументы непосредственно доказывают тезис. Прямые доказательства могут быть синтетическими и аналитическими.

  1. Косвенное доказательство.

Косвенным доказательством называется доказательство, в котором истинность тезиса обосновывается посредством опровержения истинности других положений.

Пусть требуется доказать, что «А» есть «В» (тезис).В случае прямого доказательства мы ищем основания , из которых вытекает данный тезис; в косвенном апагогичном доказательстве доказываем ложность суждения, противоречащего тезису, т.е. ложность суждения «А» не есть «В» (антитезис). Косвенное апагогическое доказательство называют «доказательством от косвенного» или от противного.

Пример 6.

При доказательстве теоремы «Против большего угла в треугольнике лежит большая сторона»

Большая посылка : угол С > угла В

а) либо АВ= АС;

в) либо АВ < АС ;

г) либо АВ > АС.

Приводим к нелепости две первые возможности:

Силлогизмы примут вид:

  1. Если : угол С > угла В то возможны три случая:

или АВ= АС; либо АВ < АС ; либо АВ > АС

Опираясь на ранее изученную теорию, получаем:

  1. суждение АВ= АС – ложно

суждение АВ < АС – ложно

Следовательно, суждение АВ > АС – истинно.

Посылками в решении этой задачи служат предложения:

1)У равностороннего треугольника стороны равны.

2)У равнобедренного треугольника две стороны равны.

Это и доказывает наше утверждение.

Силлогизмом – называется дедуктивное умозаключение, в котором из двух данных суждений (посылок) выводится третье суждение (заключение).

Пример 7.

Является ли равносторонний треугольник равнобедренным?

Решение: Треугольник АВС – равносторонний и поэтому ____=____=___.

Поскольку ,например, ____= _____, его можно считать равнобедренным с основанием ____. Если рассмотреть другие пары сторон, то его можно считать равнобедренным с основанием _______.

Посылками в решении этой задачи служат предложения:

1)У равностороннего треугольника стороны равны.

2)У равнобедренного треугольника две стороны равны.

Это и доказывает наше утверждение.

Правила:

  1. Термин, не распределенный в посылках, не может быть распределен в заключении.

  2. Из двух отрицательных посылок нельзя вывести никакого заключения.

  3. Если одна из посылок есть отрицательное суждение, то и заключение может быть только отрицательным.

  4. Из двух частных посылок не следует никакого заключения.

  5. Если одна из посылок частная, то и заключение может быть только частным.

Следует отметить, что доказательство может проходить в нестандартной форме, например, путем возбуждения сомнений в справедливости теоремы. Только зная эти основные моменты, мы можем более детально понять сущность самого процесса доказательства.

ГЛАВА 2. Формирование умения выводить логические следствия из данных предпосылок при изучении темы «Треугольник» исследовательским методом



Скачать документ

Похожие документы:

  1. Задачи : обеспечить прочное и сознательное овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, для продолжения образования

    Документ
    Федеральный компонент государственного стандарта начального общего образования устанавливает обязательные для изучения учебные предметы: Русский язык, Литературное чтение, Иностранный язык, Математика, Окружающий мир, Изобразительное
  2. Учебное пособие по интерпретации образов и сновидений

    Учебное пособие
    О23 Образ и бессознательное: Учебное пособие по интерпритации образов и сновидений /Пер. с итальянского - М.: ННБФ «Онтопсихология», 2 , с.448, ил. 13.
  3. Жизнь человека с самого начала складывалась так, что все, чем бы он не занимался, заставляло его наблюдать за окружающим миром и делать из этого выводы

    Документ
    Жизнь человека с самого начала складывалась так, что все, чем бы он не занимался, заставляло его наблюдать за окружающим миром и делать из этого выводы.
  4. Сборник статей представляет обзор теоретических и экспериментальных работ по интегративной психологии (2)

    Сборник статей
    Книга адресована психологам, социальным работникам, психотерапевтам, практическим психологам и специалистам в области психологической и социальной работы с населением.
  5. Реферат «развивающее обучение на уроках математики»

    Реферат
    В последние годы все больше внимания уделяется проблемам развивающего обучения. Небывалый рост объема информации требует от современного человека таких качеств, как инициативность, изобретательность, предприимчивость, способность

Другие похожие документы..