Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Урок'
Иван Андреевич Крылов – великий русский баснописец. За свою жизнь Крылов написал около 200 басен. Родился в семье армейского офицера. Семья была бедно...полностью>>
'Публичный отчет'
Открытое акционерное общество «Угра» принадлежит к сельскохозяйственной отрасли. Общество осуществляет свою деятельность на территории Калужской обла...полностью>>
'Реферат'
Муниципальное общеобразовательное учреждение « Анциферовская основная общеобразовательная школа» - сельская школа, реализующая общеобразовательные пр...полностью>>
'Документ'
Зміст. Зміст зручно використовувати для швидкого переміщення по документу, що переглядається на екрані: для переходу до будь-якого заголовка документа...полностью>>

Тарасенко В. Фрактальная логика

Главная > Книга
Сохрани ссылку в одной из сетей:

Тарасенко В.

Фрактальная логика

Линия состоит из множества точек; плоскость - из бесконечного множества линий; книга - из бесконечного множества плоскостей; сверхкнига - из бесконечного множества книг. Нет, решительно не так. Не таким more geometrico должен начинаться рассказ. Сейчас любой вымысел сопровождается заверениями в его истинности, но мой рассказ и в самом деле - чистая правда.

Х.Л. Борхес Книга песка

Содержание

Глава 1 Исторические предпосылки фрактальной логики

1.1 Математические “монстры” - примеры и проблемы

1.2 Логические парадоксы – примеры и проблемы

1.3 “Монстры” и парадоксы – неслучайные совпадения.

1.4 Исторический очерк фрактальной геометрии

1.5 Принцип дополнительности фрактальной геометрии

1.6 Парадоксы как фракталы. Фрактальная логика: обратная связь как модель “монстров” и парадоксов

1.7 Парадокс лжеца: логический формализм через понятие обратной связи.

Глава 2 Логические ряды и логические фракталы

2.1 Определение логического ряда. Виды рядов.

2.2 Процедуры генерации логических рядов с помощью обратных связей. Прямая и обратная задача генерации логического ряда.

2.3 Операции с логическими рядами

2.4 Кортежи, масштабы и инварианты логических рядов. Самоподобие. Определение регулярного логического фрактала.

2.5 Формализм масштабного преобразования. Определение преобразованных логических фракталов.

2.6 Монады. Монадология.

2.7 Тезис о построении логического фрактала через два типа обратных связей

2.8 Количественные характеристики логических фракталов

Послесловие: проблемы и задачи фрактальной логики

Глава 1 Исторические предпосылки фрактальной логики

    1. Математические “монстры” - примеры и проблемы

Рассмотрим построение триадной кривой, которую впервые исследовал в 1904 году шведский математик Хельге фон Кох (рисунок 1.1.1).

Возьмем прямолинейный отрезок длины 1. Назовем его затравкой. Разобьем затравку на три равные части длиной в 1/3, отбросим среднюю часть, и заменим ее ломаной из двух звеньев длиной 1/3 таким образом, чтобы средняя часть оказалась основанием равностороннего треугольника со стороной 1/3. Мы получили ломаную, состоящую из четырех звеньев с общей длиной 4/3 – так называемое первое поколение.

Для того чтобы перейти к следующему поколению кривой Коха, надо у каждого звена аналогично отбросить и заменить среднюю часть.

Соответственно, длина второго поколения будет равна 16/9, третьего – 64/27 и так далее.

Если продолжить этот процесс до бесконечности, то в результате получится триадная кривая Коха.

Рассмотрим свойства этой кривой.

Во-первых, эта кривая не имеет длины – как мы убедились, с увеличением числа поколений ее длина стремится к бесконечности.

Во-вторых, к этой кривой невозможно построить касательную – каждая ее точка является точкой перегиба (особой точкой или сингулярностью), в которой производная не существует - эта кривая не гладкая.

Рис.1.1.1 Построение кривой Коха

Длина и гладкость – фундаментальные свойства кривых, которые изучаются как евклидовой геометрией, так и неевклидовыми геометриями типа геометрий Лобачевского или Римана. На основании этих свойств развиваются методы анализа и преобразования геометрических фигур.

К триадной кривой Коха традиционные методы геометрического анализа оказались неприменимы. Поэтому, кривая Коха оказалась чудовищем – “монстром” среди гладких обитателей традиционных геометрий.

Одним из первых, кто досконально начал изучать “монстров” был Карл Вейерштрасс. Вслед за Бернардом Больцано, опубликовавшем в 1851 году книгу "Парадоксы бесконечности", он привел пример функции, графиком которой была негладкая кривая, обратив внимание на то, что понятие “непрерывная функция” и “непрерывная функция имеющая в каждой точке производную” не являются тождественными.

18 июля 1872 года в докладе Берлинской академии наук Вейерштрасс доложил пример негладкой непрерывной функции. Данная функция задается рядом:

W(x) = аn cos (bnx),

a<1, b>1, ab>1.

График этой функции (рис. 1.1.2) самоподобен, то есть, инвариантен (неизменен) при определенных преобразованиях координат (растяжения по абциссам в b раз и в 1/a раз по ординатам). В малом масштабе дублируются детали крупного масштаба, в результате этого можно говорить, что это функция никогда не сводится на малом отрезке к линии - она непрерывна, но не имеет дифференциала и производной. Функция имеет очень сложную “пилообразную” структуру - причем на “пилы” большего масштаба до бесконечности накладываются “пилы” меньшего.

Рис 1.1.2 Функция Вейерштрасса при a=0,5 b=4 на различных масштабах: иллюстрация самоподобия1

Пример Вейерштрасса получил широкий отклик и потряс математиков. “Как интуиция может обмануть нас до такой степени?” - восклицал Пуанкаре. Бурбаки так описывает период появления “монстров”:

“...примеры кривых, не имеющих касательных, построенные Больцано и Вейерштрассом, положили начало патологическим явлениям в математике. В течение целого века мы видели столько чудовищ такого рода, что почувствовали некоторое пресыщение, и чтобы нас действительно удивить, надо было бы показать нам нагромождение самых нелепых уродств. У большинства математиков XIX в. чувство отвращения сменилось состоянием растерянности... надо было винить грубый и несовершенный характер нашей геометрической интуиции, и вполне понятно, что после этого она с полным правом была дискредитирована как средство доказательства”.

“Монстры” составили своеобразную альтернативу объектам и методам евклидовой геометрии. До конца XX века эта альтернатива носила скорее негативный, чем позитивный оттенок. “Монстры” не были другой геометрией, это были скорее “темные” и “запретные” зоны геометрического анализа в которых традиционные методы не работали.


Рис.1.1.3 Бернард Больцано

(1781 - 1848)

Чешский философ, матемтик и теолог. Считал, что актуальная бесконечность существует объективно в двух аспектах – как данное (реальное) и как нереальное, но возможное существование "в себе". Нереальная бесконечность не зависит от субъекта и создает возможность мыслить чистыми, отвлеченными понятиями.

Рис. 1.1.4 Карл Вейерштрасс

(1815 - 1897)

Немецкий математик, автор аксиомы Вейерштрасса, признака Вейерштрасса, теоремы Вейерштрасса и множества исследований в области математического анализа, теории чисел, вариационного исчисления.


1.2 Логические парадоксы – примеры и проблемы

"Из них же самих один стихотворец сказал: "Критяне всегда лжецы, злые звери, утробы ленивые". Свидетельство это справедливо".

Послание к Титу святого апостола Павла. Глава 1. Стих 12-13.

Как известно, логика оперирует с высказываниями – записанными с помощью знаков суждениями естественного или искусственного языка, которые имеют значения – сформулированные для данного высказывания логические содержания. Набор значений конечен. В случае классической двузначной логики этот набор - истина и ложь. Одно высказывание не может одновременно иметь несколько значений.

Высказывания можно формализовать – то есть записать на формальном языке и сформулировать логику высказываний – набор процедур и операций, которые преобразуют одни высказывания в другие или изменяют значения высказываний.

На этом предположении строится традиционная формальная логика, устанавливающая процедуры и операции над высказываниями.

Рассмотрим суждение естественного языка “Я лгу”. Преобразуем его в высказывание логики. Для этого проанализируем его содержание и интерпретируем логические значения.

Если мы предположим, что содержание высказывания “Я лгу” истинно, то его содержание указывает на то, что это высказывание ложно, следовательно, это высказывание является ложным, и его значение – ложь.

Если мы предположим, что содержание высказывания “Я лгу” ложно, то суждение “Я лгу” неверно. Следовательно, я говорю истину, и это высказывание является истинным. Его значение – истина.

Таким образом, одно и то же высказывание обладает двумя значениями одновременно.

Высказывание “Я лгу” – широко известный с древних времен пример семантического парадокса, иллюстрирующего противоречивость интерпретаций высказываний.

Одним из первых исследователей парадоксов был Зенон Элейский, занявший место в истории философии благодаря рассмотрению четырех парадоксов движения.

Рис.1.2.1 Зенон Элейский (430-495 до н.э.) и иллюстрация знаментитого парадокса "Ахилл и черепаха". Всего Зенонм было придумано более 40 апорий, направленных против бесконечности и движения.

В своих парадоксах Зенон пытался показать, что из определенного положения можно получить суждения, противоречащие друг другу. Следовательно, необходимо подвергнуть критике это положение.

Анализ парадоксов – любимая тема логических исследований XIX-XX веков, из которой выросло множество интересных работ по философии, основаниям математики, логическим теориям, искусственному интеллекту.

Парадоксы оказали колоссальное воздействие на литературу и беллетристику ХIХ-ХХ веков. Здесь можно упомянуть имена Л. Кэррола, Х.Л. Борхеса, Б. Касареса, Х. Кортасара, У. Эко, М. Павича.

Самой яркой работой на эту тему, на мой взгляд, является книга Дагласа Хофштадтера "Гёдель, Ешер, Бах"2. Главные герои книги – персонажи Зенона – Ахилл и Черепаха, постоянно попадают в бесконечные и парадоксальные ситуации. Между их диалогами обсуждаются проблемы логики, геометрии, биологии, нейрофизиологии, музыки и дзен-буддизма.

Кроме семантических парадоксов популярной темой исследований являлся анализ теоретико-множественных парадоксов, самым известным из которых был парадокс Рассела. Этот парадокс фиксировал противоречивость фундаментальной категории логики – категории множества.

Рис. 1.2.2 Бертран Артур Уильям Рассел (1872-1970). Портрет и шарж с формулировкой знаменитого парадокса. Рассел - автор огромного количества книг по философии, логике, основаниям математики. Нобелевскую премию получил по литературе.

Так же как и “монстры”, поражающие математиков, парадоксы поражали логиков. Они не вписывались в традиционные процедуры логического анализа и наводили на мысль о том, что в основаниях логики не всё благополучно.

1.3 “Монстры” и парадоксы – неслучайные совпадения.

Сопоставив историю исследований геометрических “монстров” и логических парадоксов, можно увидеть ряд удивительных совпадений.

Совпадения исторические.

Если начинать отсчет с мифических времен, то первым известным нам местом встречи монстров и парадоксов будет остров Крит.

"Все критяне лжецы" – сказал один критянин" – формулировка древнейшего парадокса.

Лжецы критяне, еще и потому, что якобы у них был выстроен лабиринт – топологический аналог геометрического "монстра" и дом мифического монстра Минотавра – чудовища с головой быка и туловищем человека. Минотавр живет в архитектурном «монстре». Первооткрывателем (или первостроителем) этого геометрического – архитектурного "монстра" следует признать Дедала – строителя лабиринта.

Случайно или нет совпадение места лабиринта и места рождения парадокса лжеца? Сказать сложно. Лично меня это совпадение удивляет и поражает. Когда совмещаешь эти вещи, то охватывает ощущение резонанса, соприкосновения с какой-то тайной зашифрованной в этом совпадении. Может быть, тайной рождения европейской культуры и цивилизации, европейского "линейного" мышления из "нелинейного" мифа. Я вернусь к этой теме в конце книги.

Рис 1.3.1 Минотавр – монстр с головой быка

Рис 1.3.2 Монета с острова Крит с изображением лабиринта – метафоры геометрического «монстра»

Мысленно перенесемся в другую эпоху и возьмем в качестве отправной точки 1903 год. В этом году Бертран Рассел пишет письмо Готлобу Фреге, впервые описывающее его знаменитый парадокс. Именно в этом году шведский математик Хельге фон Кох строит свои кривые и публикует их в следующем – 1904 году.

За тринадцать лет до этого Давид Гильберт в Кенигсберге исследует и обращает внимание научного сообщества на очередного “монстра” - кривую, построенную в 80 годах XIX века итальянским математиком и логиком Джузеппе Пеано. Приблизительно в это же время – в начале 90 годов, Георг Кантор исследует парадоксы в определении понятия “мощность множества”.

В 1912 году - через девять лет после 1903 года, поляк Вацлав Серпинский пополняет “монструарий” новыми фигурами - своими “салфетками” и треугольниками. На время перед первой мировой войной приходится расцвет полемики вокруг теоретико-множественных парадоксов в сообществе логиков.

В двадцатых-тридцатых годах ХХ века русский инженер адмирал А. Крылов применил функции без производных для моделирования процесса колебаний корабля: "монстры" постепенно стали приобретать физический смысл.


Рис 1.3.3 Нильс Фабиан Хельге фон Кох

Niels Fabian Helge von Koch

(1870 – 1924)

Шведский математик, работами которого иллюстрируются практически все книги по фрактальной геометрии. Возможно, что основой для этих работ послужили представления Давида Гильберта, к школе которого принадлежал фон Кох.


Рис 1.3.4 Фрагмент публикации Х. Коха "Une mйthode gйomйtrique йlйmentaire pour l'йtude de certaines questions de la thйorie des courbes planes", Acta Mathematica 30 (1906 г.),145-174

1.3.5 Давид Гильберт (1862 – 1943)

Великий немецкий математик, оставивший крупный вклад в теории инвариантов, основаниях геометрии, в логических основаниях математики. Его исследования "монстров" тесно переплетались с поисками непротиворечивых оснований геометрии.

1.3.6 Публикация Д. Гильберта (1890), анализирующая работы Пеано

1.3.7 Вацлав Францижек Серпинский (1882 - 1969)

Основные труды Вацлава Серпинского связаны с теорией множеств и ее приложением к топологии. Кроме этого, на русском языке известны работы Серпинского по теории чисел и арифметике.

1.3.8 Построение треугольника Серпинского

Рис. 1.3.9 Алексей Николаевич Крылов (1863-1945)

Всемирно известный кораблестроитель. Разработал схемы расчетов основных характеристик корабля – остойчивости и плавучести. Создал теорию килевой качки, заложил основы строительной механики, динамики и вибрации кораблей.

Совпадения биографические.

Георг Кантор – пример математика и логика, который в своем творчестве обращался как к анализу парадоксов, так и к построению и исследованию “монстров” причем на одном и том же примере. В 1883 году Кантор публикует свою работу “Ьber unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten”, в котором демонстрирует пример построения “монстра” – множества точек, называемого сейчас множеством Кантора. Это множество образовано в результате бесконечного итерационного процесса, похожего на процесс построения кривой Коха (рис. 1.3.11). Кантор последовательно отбрасывал из отрезка единичной длины сначала среднюю часть, а потом средние части всех оставшихся фрагментов. Проделав эту процедуру бесконечное число раз, великий логик рассмотрел свойства получившегося множества точек – так называемой канторовой пыли. Кантор показал, парадоксальность этого “монстра”. Мощность получившегося множества точек оказалась равной мощности множества точек на отрезке.

В этом примере встретились парадокс и “монстр” – “монстр” оказался иллюстрацией парадоксального понятия мощности множества, воплощением непонятной бесконечности. Кантор пытается понять бесконечность и строит концепцию для ее описания.

Рис.1.3.10 Георг Фердинанд Кантор (1845-1918)

По выражению Гильберта, развив теорию множеств, Кантор построил рай для математиков. Первым ввел в математику понятие актуальной бесконечности, сопоставив ей математические объекты – трансфинитные числа. Построил теорию трансфинитных чисел, связав ее с теорией множеств. Ввел понятия мощности множества и подобия множеств.

Рис. 1.3.11 Построение канторовой пыли

Рис 1.3.12 Первая страница работы Кантора “Ьber unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten” (1883)

Не случайным, с точки зрения изучения биографических совпадений, оказывается увлечение логикой Бернарда Больцано. В 1837 году Больцано пишет книгу "Попытка нового понимания логики", в которой он попытался ввести новую неформализованную "Про-Лейбницевскую" логику.

Попытки поиска оснований логики предпринимал и Джузеппе Пеано – автор кривой Пеано, исследовавший в 80-90 годах XIX века понятия числа. Пеано интересовался рекурсивными схемами – процедурами, с помощью которых можно определить понятие числа.

Работы Пеано оказали влияние на Бертрана Рассела, его взгляды периода "Принципов математики".


Рис.1.3.13 Процедура построения кривой Пеано

Рис. 1.3.14 Джузеппе Пеано

(1858-1932)

Занимался проблемами основания математики и математического анализа, ввел в оборот аксиоматику натурального ряда чисел.


Совпадения социальные.

И “монстры” и парадоксы – это контрпримеры, противоречащие существующим на данный момент парадигмам в сообществе ученых, частные случаи, разрушающие хорошо выстроенные научные представления.

Есть совпадения в отношении научного сообщества к “монстрам” и парадоксам. Удивление, испуг, растерянность, заменялись запретами на их применение и попытками создать новую теорию, свободную от “монстров” и парадоксов – описать логически корректные и непротиворечивые основания математики.

Этот процесс был проанализирован Имре Лакатосом в его книге «Доказательства и опровержения». Лакатос назвал его “monster barring” - процессом “исключения монстров” - как некоторой позитивистской программы ухода от парадоксальности при исследовании геометрических и логико-математических объектов, построенных путем бесконечных рекуррентных процедур.

Книга «Принципы математики» Б. Рассела и А. Уайтхеда с этой точки зрения предстает как попытка исключения монстров, попытка найти непротиворечивые первые принципы, основания математики, свободные от рекурсий и бесконечных кругов, заселяющих логику "монстрами". Попытка, на взгляд Лакатоса, неудачная3.

Совпадения операциональные: дискретность процедур.

Построение “монстров” и парадоксов можно представить как набор дискретных операций-алгоритмов, напоминающих рецепт. Сначала договариваются о каких-то правилах игры, а потом описываются конечные мыслительные или геометрические операции, исполнение которых приводит к тому, что появляется “монстр” или парадокс.

Совпадения самодостраивания и цикличности.

И “монстры” и парадоксы есть результат применения процедур к одному и тому же объекту и изменений этого объекта, исходя из состояния этого объекта. Парадокс – это самореферентное суждение, суждение о суждении. «Монстр» - самореферентная рекуррентная процедура.

В случае с парадоксами суждение начинает бегать по кругу – от “Высказывание истинно, значит оно ложно” к “Высказывание ложно, значит, оно истинно”. Мысль зацикливается и не может остановиться. При этом, суждение пытается обосновать себя самого – объектом анализа суждения становится само суждение, рождается новое значение, разрушающее присутствие старого значения. Это и есть “самодостраивание”: зацикливаясь, мыслительная процедура, выстраивает сама себя и рождает парадокс.

Аналогичный процесс запускается и при построении “монстров”. Фигуры Коха, Пеано или Серпинского не есть выстроенные объекты, а есть процессы самодостраивания – процессы бесконечных изменений одного и того же объекта.

“Монстр” есть выстраивание - циклический, постоянно возвращающийся процесс изменения. Если процесс итераций остановить, то “монстр” тут же превратится в обычную ломаную линию с конечным количеством особых точек.



Скачать документ

Похожие документы:

  1. Опубликовано в журнале "Компьютерра" №18-19 от 17 мая 2004 года

    Документ
    «Основное положение материализма гласит, что в мироздании не существует ничего, кроме материи и силы, и что все остальные природные явления можно объяснить,
  2. Программа и методические материалы к кандидатскому экзамену «История и философия науки»

    Программа
    Борисова Е.М. Программа и методические материалы к кандидатскому экзамену «История и философия науки» (для аспирантов и соискателей). – М.: МЭСИ, 2009.
  3. Сумський державний університет організаційно-економічний механізм формування та використання природно-рекреаційного потенціалу території

    Документ
    2.3. Методичні засади проведення та застосування комплексної економічної оцінки при використанні та розвитку природно-рекреаційного потенціалу території …
  4. 1. Аврамов К. В. Нелинейная динамика упругих систем. Т. 1 - м.: R&C Dynamics; Ижевск, 2010. 703 с

    Документ
    1. Аврамов К. В. Нелинейная динамика упругих систем. Т.1 — М.: R&C Dynamics; Ижевск, 2010. — 703 с.2. Автоматизация синтеза и обучение интеллектуальных систем автоматического управления.
  5. Федеральное агентство по образованию гоу впо «угту – упи имени первого Президента России Б. Н. Ельцина»

    Документ
    Настоящим приглашаются к участию в открытом аукционе в электронной форме (далее аукцион), полная информация о котором указана в Информационной карте аукциона, любые юридические лица независимо от организационно-правовой формы, формы

Другие похожие документы..