Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Документ'
Может назвать правильно 1-2 цвета. Ориентируется 4-6 геометрических формах. Подбирает, прикладывая, объёмные геометрические фигуры к соответствующим п...полностью>>
'Автореферат'
Работа выполнена на кафедре культурологии и деловых коммуникаций Федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального ...полностью>>
'Программа'
Тематические мероприятия (лекции, уроки, конкурсы чтецов, выставки, книжно-иллюстративные выставки, концерты), посвященные Дню народного единства (по ...полностью>>
'Документ'
I. Общие обязанности руководителя объекта (лица, его замещающего), начальника смены (диспетчера), всего персонала объекта при угрозе проведения терро...полностью>>

Программа дисциплины Дифференциальные уравнения Для направления 010500. 62 «Прикладная математика и информатика» Автор программы

Главная > Программа дисциплины
Сохрани ссылку в одной из сетей:

Министерство экономического развития и торговли Российской Федерации

Государственный университет –

Высшая школа экономики

Факультет бизнес-информатики

Отделение прикладной математики

Программа дисциплины

Дифференциальные уравнения

Для направления 010500.62 – «Прикладная математика и информатика»

Автор программы: д.ф.-м.н. В.А. Гордин

Рекомендовано секцией УМС Одобрена на заседании

Математические и статистические кафедры высшей математики

методы в экономике на факультете экономики

Председатель Зав . кафедрой

__________А .С .Шведов __________Ф .Т .Алескеров

“___” __________ 200_ г . “___” _____ _____ 200_ г .

Утверждена УС

______________

Ученый секретарь

_________________

“___” __________ 200_ г .

Москва

Пояснительная записка

Требования к студентам: Изучение курса «Обыкновенные дифференциальные уравнения» требует предварительные знания, по математическому анализу, алгебре и геометрии в объеме, предусмотренном программой обучения за 1 курс, а также навыков программирования. Он читается параллельно с продолжающимися курсами математического анализа и программирования – знания и навыки, получаемый там, будут использоваться в данном курсе. Содержание программы по математике за среднюю школу предполагается безусловно известным.

Аннотация.

Курс «Обыкновенные дифференциальные уравнения» включает в себя основные теоремы, аналитические методы исследования уравнений и систем, дифференциальных и разностных, основные методы численного решения начальных и краевых задач, примеры практических задач, сводящихся к качественному исследованию или численному решению дифференциальных уравнений или систем.

Данный курс должен помочь студентам воспринимать динамические модели экономики и задачи оптимизации, изучаемые по данной специальности, а в будущем – самостоятельно разрабатывать, анализировать и обсчитывать аналогичные модели и задачи такого рода.

На третьем курсе студентам предстоит, в частности, изучать задачи оптимизации (вариационное исчисление и принцип максимума Понтрягина), сводящиеся к решению обыкновенных уравнений или систем. В частности, будут рассмотрены оптимальные методы усвоения больших объемов разнородной информации с шумами. Некоторые из методов, изучаемых в курсе, будут изучаться студентами более подробно в курсах оптимизации, численных методов и уравнений в частных производных. Данный курс должен дать для этого надлежащую подготовку.

Учебные задачи курса.

Одной из основных целей курса является знакомство студентов с основными идеями и конструкциями теории обыкновенных дифференциальных и разностных уравнений и систем, их геометрическими интерпретациями и приложениями к экономическим и другим прикладным задачам, методами их составления, анализа и численного определения решений.

В результате изучения курса «Обыкновенные дифференциальные уравнения» студенты должны:

  • Знать основные свойства обыкновенных дифференциальных и разностных уравнений и систем;

  • Знать основные методы анализа и численного оценивания решений таких систем и уравнений;

  • уметь пользоваться методами обыкновенных дифференциальных уравнений для формализации и решения прикладных задач, в том числе экономических;

Ко многим разделам курса будут предлагаться геометрические иллюстрации и примеры экономического, экологического, социологического и физического содержания.

Предполагается курсовая работа, в которой нужно будет сопоставить результаты численного и аналитического решения дифференциального уравнения.

Тематический план учебной дисциплины

Название темы

Всего часов

В т.ч. лекции

В т.ч. семинары

Самост. работа

1

Простейшие дифференциальные и разностные уравнения и системы

36

8

6

22

2

Простейшие нелинейные уравнения

40

8

8

24

3

Качественная теория автономных уравнений

35

8

6

21

4

Конечно-разностные уравнения и итерационные процессы

35

8

6

21

5

Численные методы и краевые задачи

70

12

16

42

Итого

216

44

42

130

Алгоритм контроля успеваемости студентов.

Если в модуле не предусмотрена курсовая работа, то максимальный вклад домашних заданий составляет 0,3, а зачета – 0,7 от оценки за модуль.

Если предусмотрена, то, соответственно, 0,25 и 0,65, а на курсовую отводится 0,1 оценки.

Домашняя работа делается студентом в течение недели и оценивается в процентах. Если она сделана в течение второй недели, балл за нее делится пополам. После второй недели балл за сданную работу - нулевой.

Окончательный балл за год получается как среднее арифметическое отметок за год.

Таблица соответствия отметки за годовой курс и окончательного балла следующая:

Балл (x)

<0,6

Отметка

неуд

удовл

хорошо

отлично

Модуль 1. Простейшие дифференциальные и разностные уравнения и системы

  1. Простейшие дифференциальные и разностные уравнения: модель Мальтуса, дискретное и непрерывное нарастание процента, радиоактивный распад. Решение простейших уравнений.

  2. Классификация обыкновенных дифференциальных уравнений и систем: разрешимость (неразрешимость) относительно старшей производной, автономность (автономность), линейность (нелинейность) уравнений и систем. Общие свойства. Теорема существования решения задачи Коши в малом (без док.). Примеры несуществования глобального решения.

  3. Векторное поле – правая часть системы дифференциальных уравнений первого порядка.

  4. Устойчивость решения по отношению ко входным параметрам. Метрика и норма. Устойчивость решения задачи Коши по отношению к начальным данным и к правой части.

  5. Устойчивость решения систем линейных алгебраических уравнений по отношению к возмущениям правой части и матрицы. Обусловленность матрицы.

  6. Теория возмущений линейных операторов.

  7. Полиномиальная интерполяция и ее устойчивость к ошибкам. Константа Лебега. Другие виды интерполяции.

  8. Примеры уравнений неразрешенных относительно старшей производной.

  9. Ядро линейного дифференциального оператора. Общее решение однородного и неоднородного линейного диф. уравнения и системы. Примеры.

  10. Фундаментальная система решений. Определитель Вронского и решение неоднородного линейного уравнения.

  11. Сопряженная система.

  12. Уравнения с постоянными коэффициентами. Сведение уравнения высокого порядка к системе первого порядка и обратно. Характеристический многочлен. Общее решение однородного уравнения в случае простых корней характеристического многочлена. Функции от матриц.

  13. Линейная модель динамики выравнивания спроса и предложения.

  14. Линейная модель войны.

  15. Общее решение неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами в случае простых корней характеристического многочлена, когда правая часть многочлен, экспонента, синус. Динамика приспособления инерционного прибора к меняющейся реальности. Явление резонанса.

  16. Общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами в случае кратных корней характеристического многочлена.

  17. Общее решение неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами в случае кратных корней характеристического многочлена, когда в правой части экспонента или синус. Простые и резонансные случаи.

Модуль 2. Простейшие нелинейные уравнения

  1. Уравнения химической кинетики. Первый интеграл. Варианты окончания процесса в зависимости от начальных данных.

  2. Метод разделения переменных для решения уравнения и для уравнения . Примеры.

  3. Метод интегрирования автономного дифференциального уравнения второго порядка . Уравнение идеального маятника. Фазовый портрет. Колебательный и вращательный режимы.

  4. Маятник с линейным трением. Линейный и нелинейный варианты. Фазовый портрет. Анализ режимов затухания колебаний в зависимости от коэффициента трения. Отсутствие первого интеграла. Вынужденные колебания маятника.

  5. Вывод и решение уравнения трактрисы.

  6. Уравнение фон Берталанфи. Точное решение и качественное исследование. Оценка параметров модели по экспериментальным данным.

  7. Уравнение Гомпертца. Точное решение и качественное исследование. Оценка параметров модели по экспериментальным данным.

  8. Уравнение трения каната о бревно. Вывод и точное решение. Формула Эйлера.

  9. Система уравнений Лотки - Вольтерра для хищников и жертв. Модель Лотки - Вольтерра для динамики численности конкурирующих за ресурс видов. Качественное исследование. Первый интеграл. Лемма Морса. Фазовый портрет. Стационарное решение. Период малых колебаний. Устойчивость малых колебаний. Сравнение с экспериментальными данными.

  10. Логистическое уравнение. Устойчивая и неустойчивая стационарная точки. Возможные границы отлова. Жесткая и мягкая модели. Опасность оптимизации в жесткой модели. Гибкие планы отлова.

  11. Дифференциальное уравнение рекламной кампании. Постановка задачи оптимизации затрат на рекламу.

  12. Интегрирующий множитель.

Модуль 3. Качественная теория автономных уравнений

  1. Дифференциальное уравнение, зависящее от параметра. Уравнение в вариациях. Применение к методу стрельбы.

  2. Качественное исследование поведения линейной системы в окрестности стационарной точки. Устойчивость, асимптотическая устойчивость и неустойчивость.

  3. Теорема Ляпунова.

  4. Предельные циклы (выход на периодический режим). Устойчивость и неустойчивость циклов. Отображение Пуанкаре. Теорема Бендиксона. Автоколебания. Уравнения с периодическими по времени коэффициентами.

  5. Жесткий и мягкий сценарии потери устойчивости стационарной точки.

  6. Понятие «системы в общем положении». Классификация двумерных автономных систем в общем положении.

  7. Модель Лоренца. Странный аттрактор.

  8. Эргодичность динамических систем.

  9. Показатели Ляпунова.

Модуль 4. Конечно-разностные уравнения и итерационные процессы

  1. Конечно-разностные уравнения, линейные и нелинейные. Модель Фибоначчи. Различные начальные условия. Однородные и неоднородные линейные уравнения.

  2. Конечно-разностные уравнения - случай постоянных коэффициентов: характеристический многочлен с простыми или кратными корнями.

  3. Итерационные процессы. Метод Герона и метод Ньютона.

  4. Локальная сходимость метода Ньютона. Оценка скорости сходимости. Случай кратного корня.

  5. Метод Ньютона – Рафсона. Бассейны притяжения.

  6. Решение квадратного и кубического уравнений на комплексной плоскости методом Ньютона. Множества Жюлиа.

  7. Фракталы.

  8. Нелинейные конечно-разностные уравнения. Пример – схема Эйлера для логистического уравнения. Динамика Ферхюльста.

  9. Потеря устойчивости стационарного решения для динамики Ферхюльста в пользу периодического решения с периодом 2. Потеря устойчивости этого периодического решения в пользу периодического с периодом 4.

  10. Режим с переключениями на примере пружинного маятника с трением о стол. Определение числа колебаний.

Модуль 5. Численные методы и краевые задачи

  1. Решение задачи Коши для дифференциального уравнения с помощью рядов Тейлора. Примеры.

  2. Дифференциальные уравнения с сингулярными коэффициентами.

  3. Уравнение Бесселя и построения ряда Тейлора для функции Бесселя нулевого индекса.

  4. Аппроксимация Паде. Применение к решению дифференциального уравнения.

  5. Аппроксимация дифференциального оператора разностным. Порядок аппроксимации. Компактные схемы.

  6. Разностные методы решения задачи Коши для дифференциального уравнения: метод Эйлера, неявные методы, методы Рунге – Кутты. Метод Рунге – Кутты 4-го порядка (без вывода).

  7. Приведение уравнения второго порядка к самосопряженному виду. Простота спектра задачи Дирихле для уравнения второго порядка.

  8. Леммы о собственных числах и функциях: ортогональность собственных функций и ограниченность спектра снизу.

Рекомендуемая литература

Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. 1979.

Айнс Э.Л. «Обыкновенные дифференциальные уравнения». Серия: XX век. Математика и механика. Вып.10. 2005. 638с.

В.М.Алексеев, В.М.Тихомиров, С.В.Фомин «Оптимальное управление», М., Физматлит, 2005. 384с.

Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. «Наука», 1984.

Арнольд В.И. «Жесткие» и «мягкие» математические модели». МЦНМО, 2000.

Бахвалов Н.С. «Численные методы».

Беллман Р. «Введение в теорию матриц», «Наука», М., 1969.

Беллман Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. 2003. 216с.

Ю.Н.Бибиков «Курс обыкновенных дифференциальных уравнений», «Высшая школа», 1991.

Босс В. Лекции по математике: дифференциальные уравнения. Т.2. 2004. 208с.

И.Н.Бронштейн, К.А.Семендяев «Справочник по математике».

Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей. Изд.4. 2006. 376с.

В.А.Гордин «Как это посчитать?», М., МЦНМО, 2005, 280с.

Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по линейным обыкновенным дифференциальным уравнениям.1997.

Зайцев В.Ф., Полянин А.Д. Справочник по нелинейным обыкновенным дифференциальным уравнениям.1993. 464с.

М.Интрилигатор «Математические методы оптимизации и экономическая теория», М., «Айрис», 2002.

Э.Камке «Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям». Изд.6. 2003. 576с.

Коддингтон Э.А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд.2. 2007. 472с.

Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Задачи и примеры с подробными решениями. Серия "Вся высшая математика в задачах". Изд.5, испр.2005. 256с.

Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. Изд.3, испр.2004. 552с.

Пайтен Х.-О., Рихтер П.Х. «Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем», М., Мир, 1993.

Петровский И.Г. «Лекции об обыкновенных дифференциальных уравнениях», 2003. 272с

Понтрягин Л.С. Дифференциальные уравнения и их приложения. Изд.2. 2004. 208с.

Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. Изд.8. 2004. 472 с.

Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. Серия "Классический университетский учебник". Вып.6, Изд.4. 2005. 256с.

Трикоми Ф. Дифференциальные уравнения. Перевод с английского. Изд.3. 2007.

Р.П.Федоренко «Лекции по вычислительной физике», М., МФТИ, 1994.

Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. 2005. 176с.

Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. Изд.2. 2007. 240с.

Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения. Изд.6. 2006.

R.Shone “Economic Dynamics”, Cambridge Univ. Press, 1997.

Wei-Bin Zhang, DIFFERENTIAL EQUATIONS, BIFURCATIONS, AND CHAOS IN ECONOMICS, (Series on Advances in Mathematics for Applied Sciences - Vol. 68), 512pp, 2005 World Scientific Publishing Co.

/0/1/10/

/0/1/5/

@ В.А.Гордин



Скачать документ

Похожие документы:

  1. Программа дисциплины Численные методы для направления 010500. 62 «Прикладная математика и информатика»

    Программа дисциплины
    Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»Программа дисциплины Численные методы для направления 010500.62 «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра
  2. Программа дисциплины Уравнения математической физики для направления 010500. 62 «Прикладная математика и информатика»

    Программа дисциплины
    Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»Программа дисциплины Уравнения математической физики для направления 010500.62 «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра
  3. Программа дисциплины математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения. Дополнительные главы для направления 010500. 62 «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра. 2 курс Автор: д ф. м н. В. А. Гордин

    Программа дисциплины
    Подпространства линейных пространств: сумма и пересечение линейных подпространств. Формула Грассмана. Трансверсальность подпространств. Метрические пространства (МП).
  4. Программа дисциплины визуализация математических расчетов в matlab-2 для направления 010500. 62 «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра 1 модуль 2 курса

    Программа дисциплины
    Итоговый контроль: зачет (теоретический вопрос и задача, решение которой подразумевает использование компьютера с MATLAB, время зачета неопределенное).
  5. Утверждена Ученым Советом факультета экономики 20 г. Ученый секретарь [Введите И. О. Ф.] Москва, 2011 Настоящая программа (1)

    Программа
    Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»Программа дисциплины «Методы оптимизации»для направления 010500.62 «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра

Другие похожие документы..