Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Документ'
В условиях современных социальных изменений утверждаются качественно новые принципы организации жизни и деятельности людей, меняются иерархии норм и ц...полностью>>
'Реферат'
В этом сборнике опубликованы статьи студентов Исторического факультета кафедры истории Древнего мира, Средних веков и методологии истории. Материалам...полностью>>
'Автореферат'
Актуальность исследования. Распад СССР обусловил ломку прежней конфигурации международных отношений в Черноморском регионе, выстраивание принципиальн...полностью>>
'Реферат'
Кусково было великолепным поместьем, родовой вотчиной графов Шереметевых. Этот уголок восемнадцатого века я полюбил с детства и часто посещал. Тихо ш...полностью>>

«математические пакеты mathcad и mathematica в решении прикладных химических задач»

Главная > Реферат
Сохрани ссылку в одной из сетей:

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Выпускная работа по
«Основам информационных технологий»

Магистрант кафедры

высокомолекулярных соединений

Фролов Александр Николаевич

Руководители:

к.х.н.. Костюк С.В.,

ассистент Шешко С.М.

Минск – 2009 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

РЕФЕРАТ НА ТЕМУ «МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПАКЕТЫ Mathcad И Mathematica В РЕШЕНИИ ПРИКЛАДНЫХ ХИМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ» 5

1. ЗАРОЖДЕНИЕ И РАЗВИТИЕ СИСТЕМ СИМВОЛЬНОЙ 7

2. ВВЕДЕНИЕ В ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ 9

2.1. Решение дифференциальных уравнений 9

2.2. Гармонический анализ и ряд Фурье 11

3. РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ХИМИЧЕСКИХ ЗАДАЧИС ПОМОЩЬЮ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПАКЕТОВ MATHCAD И MATHEMATICA 13

3.1. Простые расчеты в Mathcad и Mathematica 13

3.2. Решение функциональных уравнений и построение графиков 16

3.3. Решение трансцендентных уравнений 18

3.4. Решение системы уравнений 19

3.5. Дифференциальные уравнения 21

3.6. Быстрое преобразование Фурье 25

ИНТЕРНЕТ РЕСУРСЫ В ПРЕДМЕТНОЙ ОБЛАСТИ ИССЛЕДОВАНИЯ 30

ВОПРОСЫ К ТЕСТАМ ПО ИТ 32

ДЕЙСТВУЮЩИЙ ЛИЧНЫЙ САЙТ В WWW 33

ГРАФ НАУЧНЫХ ИНТЕРЕСОВ 34

ПРЕЗЕНТАЦИЯ МАГИСТЕРСКОЙ РАБОТЫ 35

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ К ВЫПУСКНОЙ РАБОТЕ 38

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ К ВЫПУСКНОЙ РАБОТЕ

Maple V – программный пакет, система компьютерной алгебры;

Mathcad – программа для выполнения и документирования инженерных и научных расчётов;

Mathematica – система компьютерной алгебры;

ЭВМ – электронная вычислительная машина.

РЕФЕРАТ НА ТЕМУ «МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПАКЕТЫ Mathcad И Mathematica В РЕШЕНИИ ПРИКЛАДНЫХ ХИМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ»

ВВЕДЕНИЕ

Современная наука, к какой бы области знаний она не относилась, больше не может развиваться как обособленная дисциплина. Химия – не исключение. Практически любой процесс моделирования явления реального мира происходит циклически. На первом шаге исследователь занимается построением адекватной модели нашей реальности. Затем наступает момент исследования, который подразделяется на несколько этапов. Одним из таких этапов является проведение различных химических экспериментов, что в свою очередь приводит к накоплению большого объема получаемой информации, которая требует постоянной обработки. На основании полученных данных возможна корректировка модели и дальнейшее ее исследование.

На каждом этапе подобного анализа, исследователь вынужден прибегать к помощи других наук и технологий. Так, при построении изучаемой модели, мы должны учитывать законы физики. При исследовании и анализе данных, важную роль играет математический аппарат вычислений. Сегодня, когда объемы получаемой исследователями информации растет даже не по линейному закону, а скорее экспоненциально, важность инструментов обработки получаемой информации трудно недооценить. Поэтому при исследование и анализе данных химических экспериментов очень полезным оказывается использование различных систем символьной математики.

Различные математические пакеты уже давно не редкость для исследователя любой области знаний. Обладая такими возможностями как:

- Работа с символьными комплексными вычислениями

- Загрузка, анализ и визуализация данных.

- Решения дифференциальных уравнений

- Численное моделирование и имитация, построение систем управления, начиная от простейших и заканчивая столкновениями галактик, финансовыми убытками, сложными биологическими системами, химическими реакциями, изучением влияния на окружающую среду.

- Создание профессиональных, интерактивных, технических отчетов и документов.

- Иллюстрирование научных концепций для учащихся, начиная от школы и заканчивая аспирантурой, системы символьной математики упорно завоевывают позиции в рядах ученых, как мощный и удобный инструмент исследования [].

1. ЗАРОЖДЕНИЕ И РАЗВИТИЕ СИСТЕМ СИМВОЛЬНОЙ

МАТЕМАТИКИ

Эру создания компьютерной символьной математики принято отсчитывать с начала 60-х годов. Именно тогда в вычислительной технике возникла новая ветвь компьютерной математики, не совсем точно, но зато броско названная компьютерной алгеброй. Речь шла о возможности создания компьютерных систем, способных осуществлять типовые алгебраические преобразования: подстановки в выражениях, упрощение выражений, операции со степенными многочленами (полиномами), решение линейных и нелинейных уравнений и их систем, вычисление их корней и т.д. При этом предполагалась возможность получения аналитических (символьных) результатов везде, где это только возможно.

К сожалению, книги по этому направлению были способны лишь отпугнуть обычного читателя и пользователя компьютера от изучения возможностей компьютерной алгебры в силу перенасыщенности их узкоспециальным теоретическим материалом и весьма специфического языка описания [].

Большинство же пользователей заинтересовано в том, чтобы правильно выполнить конкретные аналитические преобразования, вычислить в символьном виде производную или первообразную заданной функции, провести аппроксимацию и т. д., а вовсе не в детальном и сложном математическом и логическом описании того, как это делается компьютером (или, точнее, его программистом).

Поняв это, многие западные фирмы приступили к созданию компьютерных систем символьной математики, ориентированных на широкие круги пользователей, не являющихся профессионалами в компьютерной алгебре. Учитывая невероятно большую сложность автоматизации решения задач в аналитическом виде (число математических преобразований и соотношений весьма велико, и некоторые из них неоднозначны в истолковании), первые подобные системы удалось создать лишь для больших ЭВМ. Но затем появились и системы, доступные для мини-ЭВМ.

Среди разработчиков математических систем долгое время бытовало мнение о вторичной роли пользовательского интерфейса и главенствующем значении математических возможностей таких систем. В результате в прошлом пользовательский интерфейс многих математических систем отличался ущербной простотой и архаичностью.

С переводом таких систем на ПК с графическими операционными системами класса Windows с таким подходом пришлось решительно кончать. Более того, превосходная цветная графика высокого разрешения современных ПК, о которой пользователи ЭВМ класса ЕС не могли и мечтать, резко повысила не только роль графического представления данных вычислений, но и привела к слиянию пользовательского интерфейса математических систем с интерфейсом современных графических операционных систем.

Система Maple V— патриарх в семействе систем символьной математики. И поныне это весьма привлекательная система для химика-аналитика и научного работника. Даже в среде MS-DOS Maple V имеет неплохой интерфейс и превосходно организованную обширную базу данных помощи. Полнота ядра системы, хранящего более 2700 математических функций и правил их преобразования, вполне заслуживает восторга и большого уважения. Весьма привлекательное свойство этой системы — подробная встроенная помощь и множество примеров ко всем встроенным в нее функциям и прикладным пакетам. Эти примеры легко скопировать в окно редактирования системы и тут же решить.

Достойна восхищения и математическая графика системы Maple, в частности возможность изображения пересекающихся трехмерных фигур с функциональной окраской. Новейшие системы Maple V для Windows по возможностям графики стоят на одном уровне с системами Mathematica 3/4. Считается, что они несколько превосходят системы Mathematica в части символьных преобразований, но такое превосходство на сегодня уже является весьма спорным.

К сожалению, фирма Waterloo Maple, Inc. (Канада) - разработчик системы Maple V — больше блистала математической проработкой своего проекта, чем уровнем его коммерческой реализации. В силу этого система Maple V была доступна в основном узкому кругу профессионалов. Сейчас эта фирма работает совместно с более преуспевающей в коммерции и проработке пользовательского интерфейса математических систем фирмой MathSoft, Inc. — создательницей весьма популярных и массовых систем для численных расчетов Mathcad, ставших международным стандартом для технических вычислений. Пока, однако, математические возможности этих систем в области компьютерной алгебры намного уступают системам Maple V, Mathematica 2 и даже малютке Derive (не говоря уже о реализациях Mathematica 3 и 4) [Error: Reference source not found, Error: Reference source not found].

Появление новых версий Mathematica 3 и 4 вновь резко поднимает планку оценки качества систем компьютерной алгебры. Наступает новый этап интеграции математических систем как друг с другом, так и с современными текстовыми и табличными процессорами, такими как Word 2000/2003 и Excel 2000/2003 из офисных пакетов Microsoft Office 2000/2003.

2. ВВЕДЕНИЕ В ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

В данной главе представлена необходимая информация об основных численных методах, реализуемых на компьютере, которые будут использоваться в работе. Формулы приводятся для общего ознакомления, без вывода, акцент делается на понимание сущности метода.

2.1. Решение дифференциальных уравнений

Химику часто приходится иметь дело с процессами, параметры которых непрерывно меняются в зависимости от некоторой переменной. Эти явления обычно подчиняются законам, которые формулируются в виде дифференциальных уравнений y'(x) = f(x,y).

Одной из основных математических задач, которые приходится решать для таких уравнений, является задача Коши (или начальная задача). Эта задача возникает тогда, когда начальное состояние системы в точке x0 считается известным (y(x0)=y0) и требуется определить ее поведение при x ≠ x0.

В тех случаях когда невозможно найти аналитическое выражение y(x) (часто так и происходит), применяют численные методы. В основе их построения лежит тот или иной способ замены дифференциального уравнения y'(x) = f(x, y) его дискретным аналогом.

Простейшим и исторически первым численным методом решения задачи Коши является метод Эйлера. В его основе лежит идея графического построения решения дифференциального уравнения. Этот метод дает одновременно и способ нахождения искомой функции в численной (табличной) форме.

Идея метода заключается в том, что промежуток [a, b] разбивается на конечное число n интервалов длиной h точками x1, x2,… xn , и площадь под кривой производной представляется в виде суммы площадей прямоугольников Таким образом, на малом промежутке h изменения независимой переменной xi <x<xi+h = xi+1 вместо интегральной кривой дифференциального уравнения y(x) берется касательная к ней

В результате неизвестная интегральная кривая заменяется приближенной к ней ломаной линией (ломаной Эйлера), для которой угловой коэффициент n-го звена равен f(xn,yn).

Метод Эйлера обладает невысокой точностью, имея лишь первый порядок аппроксимации: с изменением h ошибка вычислений также меняется пропорционально h. К тому же погрешность каждого нового шага, вообще говоря, систематически возрастает. Наиболее приемлемым для практики методом оценки точности является в данном случае метод двойного счета - с шагом h и шагом h/2. Совпадение полученных двумя способами результатов дает естественные основания считать их верными.

Гораздо более точным является метод Рунге-Кутты. Формулы для наиболее популярного алгоритма четвертого порядка имеют вид:

где коэффициенты k вычисляются как:

Для повышения точности расчета иногда применяется метод Рунге-Кутты с переменным шагом. В этом случае интервал разбивается на участки разной длины: там, где решение меняется слабо, шаги выбираются редкими, а в областях его сильных изменений - частыми. Это очень просто осуществить, так как алгоритм Рунге-Кутты является одношаговым и подразумевает простой пересчет при любом значении шага hi искомого y(xi+hi) через y(xi). В результате применения адаптированного алгоритма для достижения одинаковой точности может потребоваться существенно меньшее число шагов, чем для стандартного метода Рунге-Кутты с фиксированным шагом.

Несмотря на кажущуюся универсальность, метод Рунге-Кутты «не работает» в случае так называемых жестких дифференциальных уравнений и соответствующих систем. Будьте осторожны в выборе метода, когда решаете, например, уравнение вида y'(x)=-25y + cos(x) + 25sin(x), y(0) = 1, или анализируете кинети­ческую схему с сильно различающимися константами скорости, типичную для автокатализа. Если вместо красивых кинетических кривых метод Рунге-Кутты выдает не­понятные осцилляции, знайте: Вы столкнулись со случаем жесткой системы. Для решения требуется применение совсем иных алгоритмов, например неявных методов типа метода Булирша-Штера.

Основной идеей метода является вычисление состояния системы в точке x+h как результата двух шагов длины h/2, четырех шагов длины h/4, восьми шагов длины h/8 и так далее с последующей экс­траполяцией результатов. Метод строит рациональную интерполирующую функцию, которая в точке h/2 проходит через состояние системы после двух таких шагов, в точке h/4 проходит через состояние системы после четырех таких шагов, и т. д., а затем вычисляет значение этой функции в точке h = 0, проводя экстраполяцию. Таким образом, проводится один шаг метода, после чего принимается решение, следует ли изменять шаг, а если да, то в какую сторону. При этом используется оценка погрешности, которую мы получаем в качестве дополнительного результата при рациональной экстраполяции [].

2.2. Гармонический анализ и ряд Фурье

Теорема Фурье гласит, что любую зависящую от времени функцию можно представить в виде суммы синусов и косинусов с соответствующими весами (амплитудами). Таким образом, из общего «хора» сигналов преобразование Фурье выделяет отдельные «голоса», определяет их частоту и амплитуду. Математически можно сказать, что любая периодическая зависимость при определенных (и справедливых для любых реальных сигналов) допущениях может быть представлена бесконечным рядом Фурье. В тригонометрической форме он имеет вид:

где ak и bk - косинусные и синусные коэффициенты Фурье. Они вычисляются по формулам:

В этих выражениях k-номер гармоники, f1 – частота первой гармоники, T= 1/f1 – период колебаний.

Непериодические сигналы также могут иметь ряды Фурье. Но вместо дискретного спектра (из отдельных гармоник с номерами k=1,2,3,...) они имеют сплошной спектр [].

Применение преобразования Фурье произвело настоящий переворот в спектроскопии. Стало возможным регистрировать и обрабатывать ЯМР-, ИК- и УФ-спектры за несколько секунд или даже до-лей секунд, обеспечивая быстрый перевод первичного сигнала к привычному виду (Рис. 1). Конструкция приборов упростилась, а круг возможностей спектральных инструментов зачастую определяется вычислительной мощностью компьютера [].

Рис. 1 - Сигнал спада свободной индукции (а) и полученный из него спектр ЯМР (б)

Смысл преобразования Фурье заключается в представлении функции в виде суммы периодических функций (синусоид). Основное применение преобразования Фурье в химии - перевод функции от времени в функцию от частоты:

Для численных расчетов был разработан быстрый и эффективный метод быстрого преобразования Фурье (БФП, в англоязычной литературе FFT - Fast Fourier Transform,), включенный во все серьезные математические программы. Смысл БФП заключается в разбиении массива точек на два подмассива и проведении преобразования Фурье над каждым в отдельности. Единственным ограничением БПФ является то, что длина набора данных должна быть равна целой степени двойки (т. е. можно обработать 512 точек, но не 511 или 513) [Error: Reference source not found, Error: Reference source not found].

3. РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ХИМИЧЕСКИХ ЗАДАЧИС ПОМОЩЬЮ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПАКЕТОВ MATHCAD И MATHEMATICA

Система Mathcad уже довольно длительное время является бесспорным лидером среди математического ПО с WYSIWYG (what you see is what you get) интерфейсом, максимально приближающим внешний вид документов к традиционным расчетам «на бумаге». Язык ввода формул прост и понятен интуитивно. К одному из главных отличий и достоинств пакета Mathematica следует отнести возможности получать решения сложных систем уравнений и функций в аналитическом виде, что не под силу Mathcad. Однако, работа в Mathematica требует не только высокого уровня владения пользователем лексики приложения, но и внимательного выполнения поставленной задачи.

Одной из главных задач настоящей работы является анализ возможности использования данных математических пакетов для решения типичных химических задач. Внимание также уделено оценке удобства в работе в средах обоих приложений.

3.1. Простые расчеты в Mathcad и Mathematica

Следует отметить, что изначально система Mathcad позиционировалась разработчиками как суперкалькулятор. Для примера использования данной системы в простых расчетах, попробуем посчитать какое-нибудь выражение, например, оценить константу равновесия для реакции паровой конверсии СО (ΔH = –41,17 Дж/моль, ΔS = –42,09 Дж/моль*К) при температуре 600 K. Энтальпию и энтропию сорбции в первом приближении можно считать не зависящими от температуры.

Вводим следующее выражение:

exp(-(-41170+42.09*600)/600*8.314)=

На экране появится:

Рис. 2 - Вычисления в Mathcad

Как видно, форма записи максимально приближена к вычислениям «на бумаге».

Численный ответ выдается в виде десятичной дроби, с тремя знаками после запятой. Эти параметры можно изменить в меню “Format > Result”. Представить ответ в виде натуральной дроби позволяет функция Fraction.

Несмотря на то, что ядро Mathcad предназначен для численного решения, он позволяет также производить и несложные символьные расчеты. Например, брать неопределенные интегралы типа интеграла зависимости теплоемкости от температуры a+bT+c/T2. Для этого следует ввести знак неопределенного интеграла (Ctrl+I либо с панели “Calculus”), записать уравнение и поставить после него вместо обычного знака равенства значок символьного решения “→” (Ctrl+. либо с панели “Evaluation” [, ]:

Рис. 3 - Вычисление неопределенного интеграла в Mathcad

Подобная задача легко выполняется и в пакете Mathematica с помощью функций Е или Exp

Рис. 4 - Вычисления в Mathematica

В отличие от Mathcad, пакет Mathematica великолепно проводит аналитические вычисления. Так предыдущий интеграл можно взять, используя соответствующую пиктограмму из палитры (Рис. 5(а)) или с помощью функции Integrate (Рис. 5(б) ) [Error: Reference source not found, Error: Reference source not found]:

а

б

Рис. 5 – Вычисление неопределенного интеграла в Mathematica

Следует также указать, что для решения задач в аналитическом виде использование пакета Mathematica предпочтительнее. Например, более сложный интеграл Mathcad уже взять не в состоянии (Рис. 6(а)), в отличие от Mathematica (Рис. 6(б)):

а

б

Рис. 6 - Вычисление неопределенного интеграла: а – в среде Mathcad (интеграл вычислить

нельзя: приложение выдает indef_int(f(x), x)); б – в среде Mathematica

Удобнее записать уравнение в параметрическом виде и, меняя значение параметров, получать разные ответы. Например, записав один раз формулу:

и меняя значения Т, можно получить значения Кр при разной температуре.

Для этого сначала необходимо определить переменные. В Mathcad есть несколько особенностей определения переменных:

  • Оператор присвоения (:=) вводится нажатием двоеточия “:” либо, если переменная не используется системой, нажатием знака равенства “=”. Оператор присвоения определяет переменную только для расчетов, идущих ниже.

  • оператор глобального присвоения (≡), вызываемый нажатием “~”.применяется, если требуется определить переменную для использования во всем документе [Error: Reference source not found].

Введем следующие выражения:

Рис. 7 – Решение выражения с присвоением переменных в Mathcad

Здесь подстрочный символ для Кр вводится нажатием точки “.”, а символы Δ можно взять мышкой с панели “Greek” или набрать заглавную D и нажать Ctrl+G. Сочетание клавиш Ctrl+G превращает стоящую впереди букву в символ греческого алфавита.

Переменным можно присваивать любые имена, но без пробелов. Задавать значения переменной можно не только численно. Например, выбрав на панели “Controls” инструмент “Slider” (Рис. 8) и присвоив его переменной а. Теперь, передвигая движок, можно изменять значения а, что весьма удобно и наглядно.




Рис. 8 Присвоение переменной в Mathcad с помощью инструмента Slider

Диапазон значений (по умолчанию от 0 до 100) можно менять, кликнув по движку правой кнопкой мыши и выбрав “Mathsoft Slider Control > Properties”.

Mathematica выполняет описанные выше операции также легко и удобно.

Принципиального отличия в присвоении переменной значений в Mathematica нет. Если выражение использует «=» или функцию Set[], программа немедленно заменяет переменную на установленное значение. Выражение «:=» или SetDelayed возвращает значение, когда функция вызывается. Решение представленной задачи в Mathematica будет иметь вид:

Рис. 9 - Решение выражения с присвоением переменных в Mathematica



Скачать документ

Похожие документы:

  1. Математические пакеты и сайты учебной направленности в Интернет

    Документ
    Математические пакеты, Интернет-реализация одного представителя которых будет описана в данной главе книги, предназначены не только для расчетов, но и для создания полновесных Интернет-приложений (сайтов) в том числе и учебной направленности.
  2. Физико-математический факультет информационный пакет /каталог курсов/ по кафедре «физика и методика преподавания физики»

    Документ
    Университет – осуществляет подготовку бакалавров специальности 050110 – «Физика» на основе государственной лицензии АА№ 34 выданного комитетом по надзору в области образования и науки Республики Казахстан от 26.
  3. «Применение пакета Mathematica для математических вычислений»

    Реферат
    Сегодня компьютеры берут на себя огромную долю вычислительной и аналитической нагрузки современного математика. Поэтому перед сегодняшними исследователями стоят и, главное, представляются разрешимыми совсем другие задачи, нежели пол столетия назад.
  4. Computer Using Educators, Inc., Usa центр новых педагогических технологий Московский областной общественный фонд новых технологий в образовании «Байтик» ано «ито» Материалы

    Документ
    Материалы XV Международной конференции «Применение новых технологий в образовании», 29 – 30 июня 2004г. г. Троицк, Московской области - МОО Фонд новых технологий в образовании «Байтик».
  5. «Применение ит в исследованиии статистической автомодельности»

    Реферат
    В случае повторения в диссертации специальных терминов, сокращений, аббревиатур, условных обозначений и тому подобного менее пяти раз их расшифровку приводят в тексте при первом упоминании

Другие похожие документы..