Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Документ'
Ученые считают, что если бы вдруг погасла Полярная звезда, то на земле об этом узнали бы через 500 лет. Так силен ее свет и так огромно расстояние, р...полностью>>
'Регламент'
Федеральный закон Российской Федерации от 22 июля 2008 г. N 123-ФЗ "Технический регламент о требованиях пожарной безопасности" (далее - тех...полностью>>
'Кодекс'
1. Результатами интеллектуальной деятельности и приравненными к ним средствами индивидуализации юридических лиц, товаров, работ, услуг и предприятий,...полностью>>
'Доклад'
1.1. Муниципальное бюджетное дошкольное образовательное учреждение «Детский сад № 61 комбинированного вида» (именуемое в дальнейшем «Учреждение»), от...полностью>>

§ Тема. Некоторые определения и обозначения

Главная > Документ
Сохрани ссылку в одной из сетей:

§ 1.Òåìà. Íåêîòîðûå îïðåäåëåíèÿ è îáîçíà÷åíèÿ.

Îïðåäåëåíèå.

Äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèå, ñîäåðæàùåå ïðîèçâîäíûå íåèçâåñòíîé ôóíêöèè. Åñëè íåèçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ çàâèñèò îò îäíîé ïåðåìåííîé, òî ýòî îáûêíîâåííîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå, èíà÷å - óðàâíåíèå â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ.

Îïðåäåëåíèå.

Íàèâûñøèé ïîðÿäîê ïðîèçâîäíûõ íåèçâåñòíîé ôóíêöèè, âõîäÿùèõ â óðàâíåíèå, íàçûâàåòñÿ ïîðÿäêîì óðàâíåíèÿ.

Îïðåäåëåíèå.

Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì, åñëè ïðîèçâîäíûå è ñàìà íåèçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ âõîäÿò â óðàâíåíèå ëèíåéíûì îáðàçîì.

µ § (1)

Ïóñòü âûáðàí ëþáîéµ §, ãäå µ §, è åãî íîðìà:

µ §- äèôôåðåíöèàëüíûé îïåðàòîð.

µ § - çàïèñü ëèíåéíîãî äèô. óðàâíåíèÿ ñ ïîìîùüþ äèô. îïåðàòîðà. (2)

Îïðåäåëåíèå.

Îòêðûòîå, ñâÿçíîå ìíîæåñòâî µ § íàçûâàåòñÿ îáëàñòüþ.

Ïî óìîë÷àíèþ áóäåì ñ÷èòàòü îáëàñòü îãðàíè÷åííîé.

×åðåç µ §èëè µ § áóäåì îáîçíà÷àòü ãðàíèöó îáëàñòè.

Îïðåäåëåíèå.

µ § - (n-1)-ìåðíîå ìíîãîîáðàçèå S â µ § ïðèíàäëåæèò êëàññó µ § (µ §), åñëè

äëÿ µ § è µ § òàêèå, ÷òî:

µ §, ãäå µ §

µ § îäíîçíà÷íî ïðîåêòèðóåòñÿ íà ïëîñêîñòü µ §, ïðè ýòîì:

D - ïðîåêöèÿ äàííîãî ìíîæåñòâà íà ïëîñêîñòü µ §, µ § - k ðàç íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìà â D ïî âñåì ïåðåìåííûì.

Ìîæíî ðàçáèòü ïîâåðõíîñòü íà ÷àñòè, â êàæäîé ÷àñòè ìîæíî îäíó êîîðäèíàòó âûðàçèòü ÷åðåç äðóãèå íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîé ôóíêöèåé.

µ § - ìíîæåñòâî k ðàç íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé â Q.

µ § - ìíîæåñòâî k ðàç íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé â µ §.

µ §, àíàëîãè÷íî µ §.

µ § - ìíîæåñòâî ôèíèòíûõ k ðàç íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé.

Àíàëîãè÷íî: µ §.

§ 2. Êëàññèôèêàöèÿ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ âòîðîãî ïîðÿäêà.

µ §.

µ § - ìàòðèöà êâàäðàòè÷íîé ôîðìû.

µ § - n âåùåñòâåííûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìàòðèöû A

µ § - êîëè÷åñòâî ïîëîæèòåëüíûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé.

µ § - êîëè÷åñòâî îòðèöàòåëüíûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé.

µ § - êîëè÷åñòâî íóëåâûõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ñ ó÷åòîì êðàòíîñòè.

1.Åñëè µ §= n èëè µ §= n, òî ýòî ýëëèïòè÷åñêîå óðàâíåíèå.

Ex: Óðàâíåíèå Ïóàññîíà

µ §.

2.Åñëè µ § = n - 1, µ § = 1, èëè µ § = 1, µ § = n - 1, òî óðàâíåíèå ãèïåðáîëè÷åñêîå.

Ex: µ § - âîëíîâîå óðàâíåíèå.

Äëÿ óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà:

µ §

Äëÿ âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ:

µ §

3.Åñëè µ §, à µ §, òî óëüòðàãèïåðáîëè÷åñêîå óðàâíåíèå.

Ex: µ §.

4.Åñëè µ §, òî ïàðàáîëè÷åñêîå óðàâíåíèå.

Ex: µ §, è - óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè.

µ §

Îïðåäåëåíèå.

Êàíîíè÷åñêèì âèäîì ëèíåéíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ íàçûâàåòñÿ òàêîé âèä, êîãäà ìàòðèöà A ÿâëÿåòñÿ äèàãîíàëüíîé.

Ïðèâåäåíèå ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó.

1) y=y(x), òî:

µ §

Óðàâíåíèå (1) â íîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò:

µ § (1')

Ìàòðèöà ßêîáè:

µ §.

 ðåçóëüòàòå:

µ §

Ex:

µ §

ãèïåðáîëè÷åñêîå óðàâíåíèå.

µ § - êàíîíè÷åñêèé âèä âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ.

Çàìå÷àíèå: òèï óðàâíåíèÿ ìîæåò áûòü ðàçëè÷íûé â ðàçëè÷íûõ òî÷êàõ.

§ 3.Ïîñòàíîâêà íà÷àëüíûõ è êðàåâûõ çàäà÷ äëÿ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ.

Çàäà÷à Êîøè äëÿ âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ:

µ § µ §

Óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè

µ § µ §

Óðàâíåíèå Ïóàññîíà

µ §

Îïðåäåëåíèå.

Åñëè ìàëûå èçìåíåíèÿ ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ ïðèâîäÿò ê áîëüøèì èçìåíåíèÿì â ðåøåíèè, òî çàäà÷à ñ÷èòàåòñÿ íåêîððåêòíîé.

µ § (6)

µ § (7.1)

µ § (7.2)

µ § (7.3)

(6)(7.1) - ïåðâàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à, çàäà÷à Äèðèõëå.

(6)(7.2) - âòîðàÿ êðàåâàÿ çàäà÷à, çàäà÷à Íåéìàíà.

(6)(7.3) - òðåòüÿ êðàåâàÿ çàäà÷à.

Âîëíîâîå óðàâíåíèå.

µ § (8)

µ § (9)

µ § (10)

µ § (11.1)

µ § (11.2)

µ § (11.3)

(8) (9) (10) (11.1) - ñìåøàííûå

(11.2) çàäà÷è

(11.3) (êðàåâûå çàäà÷è)

µ § - åäèíè÷íûé âåêòîð âíåøíåé íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè.

Íà µ § çàäàþòñÿ íà÷àëüíûå óñëîâèÿ.

Íà áîêîâîé ïîâåðõíîñòè - êðàåâûå çàäà÷è.

Ïàðàáîëè÷åñêîå óðàâíåíèå.

µ § (12)

µ § (13)

µ § (14.1)

µ § (14.2)

µ § (14.3)

(12) (13) (14.1) - ïåðâàÿ, âòîðàÿ è òðåòüÿ ñìåøàííûå çàäà÷è

(14.2) äëÿ óðàâíåíèÿ

(14.3) òåïëîïðîâîäíîñòè.

(14.1) - íà ãðàíèöå çàäàíà òåìïåðàòóðà;

(14.2) - çàäàí òåïëîâîé ïîòîê;

(14.3) - çàäàí òåïëîîáìåí ñ îêðóæàþùåé ñðåäîé.

§ 4. Ðåøåíèå ñìåøàííûõ çàäà÷ äëÿ âîëíîâîãî óðàâíåíèÿ ìåòîäîì Ôóðüå (ðàçäåëåíèåì ïåðåìåííûõ).

Ïåðâàÿ ñìåøàííàÿ çàäà÷à.

µ § (1)

µ § (2)

µ § (3)

µ § (4)

µ § (5)

µ § (6)

Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ (5) - (6) âåùåñòâåííû, èìåþò êîíå÷íóþ êðàòíîñòü.

µ §

µ § - èçîëèð. µ §.

µ § - îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ â µ §.

 ñèììåòðè÷íîé ìàòðèöå ñîáñòâåííûå âåêòîðà, ñîîòâåòñòâóþùèå ðàçíûì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì, ïîïàðíî îðòîãîíàëüíû.

Ïóñòü ôóíêöèè µ § - ðàçëîæåíû ïî áàçèñó µ §

µ §

òîãäà è u(t,x) ìîæíî ðàçëîæèòü ïî áàçèñó µ § : µ §

Ïî÷ëåííî äèôôåðåíöèðóåì ðÿä 2 ðàçà:

µ §

µ § (7)

Ïóò¸ì ðàçëîæåíèÿ ðåøåíèÿ â ðÿäû ïî ñîáñòâåííûì ôóíêöèÿì çàäà÷è àëãåáðàèçóåì çàäà÷ó, ïîëó÷àåì ñ÷¸òíîå ÷èñëî îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.

µ § (8)

µ § (9)

(7) (8) (9) - çàäà÷à.

Ðåøèì îäíîðîäíîå óðàâíåíèå äëÿ (7):

µ §

- îáùåå ðåøåíèå îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (7)

µ §

µ § (10)

µ §

 ðåçóëüòàòå: µ § - ÷àñòíîå ðåøåíèå íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (7).

µ § - îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (7).

Ïîäñòàâèì (8) è (9) â ðåøåíèå:

µ §

ò.å. µ §.

µ §

Çàìå÷àíèå: íå îáîñíîâàíà ñõîäèìîñòü ðÿäîâ.

§ 5.Ðåøåíèå ñìåøàííûõ çàäà÷ óðàâíåíèÿ òåïëîïðîâîäíîñòè ìåòîäîì Ôóðüå (ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ).

µ § (1)

µ § (2)

µ § (3)

µ § (4)

µ § (5)

µ § - ñîáñòâåííûå âåêòîðû è ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ.

µ §

µ § (6)

µ §

µ § - îáùåå ðåøåíèå îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (6)

µ § - ÷àñòíîå ðåøåíèå íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ (6)

µ §

µ § - îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (6).

µ §

µ §

Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ:

µ §

µ § - áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìà ïðè µ §.

Åñëè µ § èç µ §, òî:

µ §

µ §, è ïðè µ § ôóíêöèÿ ñêëåèâàåòñÿ êàê áåñêîíå÷íî ãëàäêàÿ.

µ §-ôèíèòíàÿ :µ §

µ § - çàìûêàíèå ìíîæåñòâà, ãäå µ § îòëè÷íà îò 0.

µ §.

Ââåä¸ì µ § - ôóíêöèÿ n ïåðåìåííûõ.

Ñâîéñòâà µ § :

1) µ §- áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìàÿ, ôèíèòíàÿ:

µ §.

2) µ § - çàìêíóòûé øàð ðàäèóñà h ñ öåíòðîì â O.

µ §.

3)µ §

Äîêàçàòåëüñòâî.

µ §, Ñ íàõîäèòñÿ èç óñëîâèÿ µ §.

4) µ §.

Îáîçíà÷èì: µ §

µ §

Èíòåãðàë ïî x áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåì.

Åñëè µ §, òî: µ §

Íîñèòåëü ôóíêöèè ïðèíàäëåæèò îáëàñòè èíòåãðèðîâàíèÿ, è: µ §.

Åñëè µ §, òî µ § : µ §.

Ñâîéñòâà ôóíêöèè µ §:

µ §

µ §

µ §

µ §

µ § - ñðåçàþùàÿ ôóíêöèÿ.

Ïðîñòðàíñòâî µ §.

Îïðåäåëåíèå.

Ïóñòü µ §. Íàçîâ¸ì ìíîæåñòâî ôóíêöèé µ §, ïðîñòðàíñòâîì µ §, åñëè:

- µ § - èçìåðèìû â Q;

- µ § â ñìûñëå Ëåáåãà.

Ââîäèòñÿ µ §. Âûïîëíÿþòñÿ âñå àêñèîìû ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ.

Óòâåðæäåíèå (áåç äîêàçàòåëüñòâà).

µ § - ïîëíîå ïðîñòðàíñòâî.

Ââîäèòñÿ µ §.

Ñâîéñòâà ïðîñòðàíñòâà µ §.

Òåîðåìà 1.

Ìíîæåñòâî ôèíèòíûõ áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé âñþäó ïëîòíî â ïðîñòðàíñòâå µ § :

µ §.

Äîêàçàòåëüñòâî.

Ìíîæåñòâî ñòóïåí÷àòûõ ôóíêöèé ïëîòíî â µ §.

Ìíîæåñòâî ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ôóíêöèé âñþäó ïëîòíî â µ §.

Äîêàçàòü: ëþáóþ õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ èçìåðèìîãî ìíîæåñòâà ìîæíî ñêîëü óãîäíî òî÷íî àïïðîêñèìèðîâàòü ôèíèòíûìè ôóíêöèÿìè.

Ëþáîå èçìåðèìîå ìíîæåñòâî ñêîëü óãîäíî òî÷íî ìîæåò áûòü àïïðîêñèìèðîâàíî îòêðûòûìè îáëàñòÿìè.

Äîêàçàòü: õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ôóíêöèþ µ § ìîæíî ñêîëü óãîäíî òî÷íî àïïðîêñèìèðîâàòü ôèíèòíûìè áåñêîíå÷íî ãëàäêèìè ôóíêöèÿìè.

µ §

Ðàññìîòðèì µ § - ôèíèòíàÿ, áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìà â µ §.

µ §

Çíà÷èò, µ §.

µ §

Àïïðîêñèìàöèÿ ïîëó÷åíà.

Òåîðåìà 2.

Ìíîæåñòâî íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé âñþäó ïëîòíî â ïðîñòðàíñòâå µ §.

Îïðåäåëåíèå 2.

Ïóñòü µ § è ñ÷èòàåòñÿ ïðîäîëæåííîé íóëåì âíå Q µ §. Ñêàæåì:

f - íåïðåðûâíà â ñðåäíåêâàäðàòè÷íîì, åñëè µ §:

µ §.

Òåîðåìà 3.

Ëþáàÿ ôóíêöèÿ èç µ § íåïðåðûâíà â ñðåäíåêâàäðàòè÷íîì.

Äîêàçàòåëüñòâî.

Ïóñòü µ §. Ïóñòü µ §

µ §

Îöåíèì:

µ §

Ïðè ñäâèãå supp ñäâèãàåòñÿ â ïðåäåëàõ øàðà ðàäèóñà 2a.

µ § µ §

Òåîðåìà äîêàçàíà.

Îïðåäåëåíèå 3.

µ §

µ § - áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìà, ôèíèòíà.

Ñâîéñòâà:

µ §

µ § - îñðåäíåíèå ôóíêöèè f.

Òåîðåìà 4.

µ §

Ëþáàÿ ôóíêöèÿ èç µ § ñêîëü óãîäíî òî÷íî àïïðîêñèìèðóåìà ñâîèìè îñðåäíåíèÿìè - áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìûìè, ôèíèòíûìè â µ §.

Äîêàçàòåëüñòâî.

µ §

Îò Q ê µ §, îò µ § ê µ §

µ §

Ïðè µ §.

Âîçüìåì ëþáûå äâå ôóíêöèè:

µ §

Îïðåäåëåíèå.

µ §- ìíîæåñòâî ôóíêöèé, ïðèíàäëåæàùèõ µ § íà ëþáîì êîìïàêòå âíóòðè îáëàñòè.

µ §

Îïðåäåëåíèå 1.

Ïóñòü µ §

µ § - îáîáù¸ííàÿ ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè f, åñëè µ § âûïîëíÿåòñÿ:

µ § (1)

Òåîðåìà 1.

Îáîáù¸ííàÿ ïðîèçâîäíàÿ îïðåäåëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì îáðàçîì.

Äîêàçàòåëüñòâî.

Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå: µ § - îáîáù¸ííûå ïðîèçâîäíûå ôóíêöèè f.

µ § (2)

µ § (3)

(2),(3) - òîæäåñòâî äëÿ µ §

µ § - ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.

Òåîðåìà 2.

Îáîáù¸ííûå ïðîèçâîäíûå íå çàâèñÿò îò ïîðÿäêà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ.

Äîêàçàòåëüñòâî - èç èíòåãðàëüíîãî òîæäåñòâà (1).

Ïðèìåðû îáîáù¸ííûõ ïðîèçâîäíûõ.

Ex 1.

µ §

Ïî îïðåäåëåíèþ:

µ §

Ïóñòü µ § è µ §

µ §

µ §

Ex 2.

µ §

Ïîêàæåì, ÷òî îáîáù¸ííîé ïðîèçâîäíîé íå ñóùåñòâóåò.

Ïóñòü µ §, òî:

µ §

ãäå µ §

1) ïóñòü µ § íîñèòåëü â µ §, òî :

µ §

2) ïóñòü µ § : µ §, çíà÷èò:

µ §

Âûâîä: µ §.

µ §

Âûâîä: µ §, íå èìååò îáîáù¸ííîé ïðîèçâîäíîé.

Òåîðåìà 3.

Ïóñòü µ § èìååò îáîáù¸ííóþ ïðîèçâîäíóþ µ §, òî:

1. µ § (4)

µ §

åñëè µ §.

2. Åñëè ê òîìó æå µ §

µ § (6)

µ § (7)

Äîêàçàòåëüñòâî.

µ §

Âûáåðåì h òàê, ÷òîáû µ §

µ §

Ïîäñêàçêà: åñëè ôóíêöèÿ ôèíèòíà, òî å¸ íîñèòåëü - âíóòðè îáëàñòè.

Åñëè ôóíêöèþ óìíîæèòü íà ñðåçàþùóþ, òî íè÷åãî íå èçìåíèòñÿ.

Òåîðåìà 4.

µ §

Óòâåðæäåíèå.

Ïóñòü µ §, òî µ §

µ §

Ïóñòü µ § - îòêðûòûé êîìïàêò, òî µ § äëÿ µ §

µ §

µ §

Òåîðåìà 5.

Ïóñòü µ §. µ § èìååò îáîáù¸ííûå ïðîèçâîäíûå µ § è µ §, òî

ñóùåñòâóåò îáîáù¸ííàÿ ïðîèçâîäíàÿ µ §.

Ïðîñòðàíñòâî Ñîáîëåâà.

Îïðåäåëåíèå.

µ §, òàêàÿ, ÷òî µ § íàçûâàåòñÿ ïðîñòðàíñòâîì Ñîáîëåâà ïîðÿäêà k.

µ §

Îáîçíà÷åíèÿ: µ §, µ § èëè µ §.

Ââåä¸ì µ §.

Óòâåðæäåíèå.

µ § - ãèëüáåðòîâî(óíèòàðíîå, ñåïàðàáåëüíîå).

Òåîðåìà 1.

µ § - ïîëíîå ïðîñòðàíñòâî.

Äîêàçàòåëüñòâî.

µ § - ôóíäàìåíòàëüíàÿ â µ § µ §

µ §.

µ § - ìóëüòèèíäåêñ

µ § - ìîæåò áûòü ðàâåí 0.

µ §

µ § â µ §.

µ § â µ §.

Èíòåãðàëüíîå òîæäåñòâî äëÿ µ §:

µ §

Èç ñèëüíîé ñõîäèìîñòè ñëåäóåò ñëàáàÿ:

µ §

µ §

Âûâîä: ïðîñòðàíñòâî ïîëíîå.

Ñâîéñòâà ïðîñòðàíñòâ Ñîáîëåâà.

1.µ § äëÿ µ §.

2.Åñëè µ §, òî µ §.

3.Åñëè µ §, òî µ §.

4.Åñëè µ §, òî

µ §

åñëè µ §, òî µ §.

5.µ § - íåâûðîæäåííîå, k ðàç íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìîå ïðåîáðàçîâàíèå, îòîáðàæàþùåå µ § â µ §.

µ § è ïóñòü µ §.

Ïóñòü µ §.

Ïóñòü µ §, òî µ §.

Óòâåðæäåíèå.

Íåâûðîæäåííàÿ, ãëàäêàÿ çàìåíà ïåðåìåííûõ ñîõðàíÿåò ïðèíàäëåæíîñòü ôóíêöèè ïðîñòðàíñòâó Ñîáîëåâà.

6.Îáîçíà÷èì µ § - êóá ñî ñòîðîíîé 2a ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò.

Ìíîæåñòâî áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé çàìûêàíèÿ êóáà ÿâëÿåòñÿ âñþäó ïëîòíûì â µ §.

µ §.

Äîêàçàòåëüñòâî.

Ðàçäâèíåì îáëàñòü, âîçüì¸ì µ § è áóäåì å¸ àïïðîêñèìèðîâàòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ áåñêîíå÷íî ãëàäêèõ ôóíêöèé.

µ § (îïðåäåëåíà â ðàñòÿíóòîì êóáå)

µ §

Îöåíèì: µ §

µ §

Âûáåðåì µ § è ðàññìîòðèì µ §

µ §

Ðàçáèåíèå åäèíèöû.

Òåîðåìà.

Ïóñòü µ § - îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü, ïóñòü µ § - ïîêðûòèå çàìûêàíèÿ Q, µ § - ìîæåò ðàâíÿòüñÿ áåñêîíå÷íîñòè.

µ § - îòêðûòûå, òîãäà: ñóùåñòâóåò êîíå÷íûé íàáîð µ § - ôèíèòíûå, áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìûå â µ §, íåîòðèöàòåëüíûå ôóíêöèè, òàêèå, ÷òî:

µ §

Èñïîëüçóåòñÿ äëÿ ëîêàëèçàöèè ñâîéñòâà: U èìååò ñâîéñòâî íà µ §, ðàñøèðÿåì D íà µ § ïóò¸ì äîìíîæåíèÿ íà µ §.

Äîêàçàòåëüñòâî.

Âîçüì¸ì µ §. Äëÿ µ § - y ïîêðûâàåòñÿ ìíîæåñòâîì µ §.

Äëÿ êàæäîé âûáðàííîé y ïîñòðîèì:

µ §

µ § ïîêðûâàåòñÿ µ §. Èç áåñêîíå÷íîãî ïîêðûòèÿ âûáåðåì êîíå÷íîå ïîäïîêðûòèå:

µ §.

Îáîçíà÷èì: µ §. Îáîçíà÷èì: µ §.

Îïðåäåëèì: µ §:

µ §

Ïîëó÷èëè: µ §.

Åñëè µ §, òî µ §, µ §, è µ §.

Çíàìåíàòåëü â 0 íå îáðàùàåòñÿ.

Ïîñòðîåíà

µ § âûïîëíÿåòñÿ ñâîéñòâî 3.

µ § - âûïîëíÿþòñÿ ñâîéñòâà 1 è 2.

Òåîðåìà î ðàçáèåíèè åäèíèöû äîêàçàíà.

Òåîðåìà î ïðîäîëæåíèè ôóíêöèè.

×àñòíûé ñëó÷àé - ïðîäîëæåíèå èç ïðÿìîóãîëüíèêîâ.

µ §

Ïðîäîëæåíèå ôóíêöèè èç µ § â µ §.

Ëåììà 1.

µ § µ § - ïðîäîëæåíèå ôóíêöèè f:

µ § è µ §

1.Îïðåäåëèòü ôóíêöèþ.

2.Ïðîâåðèòü óñëîâèå ñëèâàíèÿ: ñîâïàäàíèå çíà÷åíèé ôóíêöèè è å¸ ïðîèçâîäíûõ ïî µ § äî k-ãî ïîðÿäêà.

Äîêàçàòåëüñòâî.

Îïðåäåëèì µ § (2)

Êîýôôèöèåíòû µ § èç óñëîâèÿ:

µ §

µ § (3)

µ §

Çíà÷èò, ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà.

Òåïåðü - äîêàçàòåëüñòâî ñîâïàäåíèÿ ïðîèçâîäíûõ.

µ §

Âûïîëíÿåòñÿ îäíî óðàâíåíèå èç (3), è:

µ §.

Çíà÷èò: µ §.

Íåðàâåíñòâî (1) î÷åâèäíî ÷åðåç îïðåäåëåíèå íîðìû â µ §.

Çàìå÷àíèå: èç äîêàçàòåëüñòâà è ñâîéñòâà (6) ïðîñòðàíñòâ Ñîáîëåâà ñëåäóåò: ìîæíî ïåðåéòè ê µ § - ïðîñòðàíñòâó Ñîáîëåâà ñ âûïîëíåíèåì ýòîé òåîðåìû, è (1) òîæå ñïðàâåäëèâî.

Çàìå÷àíèå: â ñèëó òîãî, ÷òî ìíîæåñòâî áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé â çàìûêàíèè êóáà âñþäó ïëîòíî â ïðîñòðàíñòâå µ § â ýòîì êóáå è â ñèëó òîãî, ÷òî ïðîòñðàíñòâî Ñîáîëåâà èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî íåâûðîæäåííîé ãëàäêîé çàìåíû ïåðåìåííûõ.

Ëåììà 2.

µ §

µ § (4)

Òåîðåìà î ïðîäîëæåíèè ôóíêöèè.

Ïóñòüµ § - îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü, ãðàíèöà µ §. Ïóñòü µ § (µ §- îáëàñòü), òîãäà:

µ § - ïðîäîëæåíèå f, òàêàÿ, ÷òî:

1)µ §

2)µ §

3)µ § (5)

Çàìå÷àíèå.

Ëåììà 1 - ðàññìîòðåíû êóáèêè, â òåîðåìå: èç Q íà µ § è âñå ñâîéñòâà, êàê â ëåììå 1.

Äîêàçàòåëüñòâî.

 îêðåñòíîñòè êàæäîé òî÷êè ãðàíèöû: µ § íàðèñóåì øàð µ §.

Ïóñòü â O(z) ãðàíèöà çàäà¸òñÿ óðàâíåíèåì µ §.

Ââåä¸ì íîâûå ïåðåìåííûå:

µ § - íåâûðîæäåííîå ïðåîáðàçîâàíèå êîîðäèíàò.

Ïðåîáðàçîâàíèå: µ § - âíóòðè ïðîñòðàíñòâà Ñîáîëåâà.

Âî ÷òî ïåðåéä¸ò ìíîæåñòâî: µ §

Âûðåçàëè êóá µ §.

Ðåçóëüòàò ïðåîáðàçîâàíèÿ

Ïðîîáðàç êóáà µ § - êðèâîëèíåéíûé êóáèê.

Ïîêðîåì ãðàíèöó êóáèêàìè Vi è âûáåðåì êîíå÷íîå ïîäïîêðûòèå.

(Tju)(y) = u(x(y)) (xÎVj) - ïåðåõîä îò x ê y,

ïåðåõîä îò y ê x : µ §

µ §

Ââåä¸ì : µ § µ § åñëè µ §

µ §

µ § íà íîñèòåëÿõ µ § îáðàòÿòñÿ â 1.

µ §

Ñâîéñòâà îïåðàòîðà ïðîäîëæåíèÿ:

1. F(x) - îãðàíè÷åííûé îïåðàòîð;

2. Ò.ê. µ § - ôèíèòíàÿ, òî F(x) - ôèíèòíàÿ íà W

Äîêàçàòü: F(x)=f(x),åñëè µ §.

µ §

Çàìå÷àíèå.

Òåîðåìà 1 îñòà¸òñÿ ñïðàâåäëèâîé äëÿ ïðîñòðàíñòâ µ § (ñëåäóåò èç äîêàçàòåëüñòâà).

Òåîðåìà 2.

Ïóñòü µ § - îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü

µ § , µ §- âñþäó ïëîòíî â µ §.

Äîêàçàòåëüñòâî.

Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ ôóíêöèþ µ §.

µ § - îãðàíè÷åííàÿ.

F-ïðîäîëæåíèå f. Òàê êàê F - ôèíèòíàÿ â W, òî µ §

µ §

Ñåïàðàáåëüíîñòü ïðîñòðàíñòâ Ñîáîëåâà.

Òåîðåìà.

Ïóñòü µ § - îãðàíè÷åííàÿ îáëàñòü, µ §, òîãäà :

µ § - ñåïàðàáåëüíîå.

Ïîñòðîåíèe ñ÷¸òíîãî âñþäó ïëîòíîãî ìíîæåñòâà.

Äîêàçàòåëüñòâî.

Ðàññìîòðèì µ § ; ïðîäîëæåíèå ôóíêöèè f : µ §.

Àïïðîêñèìèðóåì ôóíêöèþ F . Ìíîæåñòâî ôèíèòíûõ, áåñêîíå÷íî äèôôåðåíöèðóåìûõ ôóíêöèé (â ñèëó ñâîéñòâ îñðåäíåíèé) âñþäó ïëîòíî â ïðîñòðàíñòâå ôèíèòíûõ ôóíêöèé µ §.

Î÷åâèäíî : µ §.

Ãäå êîýôôèöèåíòû : µ §.

Ïóñòü H - ñåïàðàáåëüíîå ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî.

Îïðåäåëåíèå.

Ôóíêöèè µ § îáðàçóþò îðòîíîðìèðîâàííóþ ñèñòåìó, åñëè µ § , è µ § .

Óòâåðæäåíèå.

 êàæäîì ñåïàðàáåëüíîì ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå ñóùåñòâóåò îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ, ò.å. òàêàÿ ñèñòåìà µ § ,÷òî µ §.

Ðàçëîæåíèå ïî ýòîìó áàçèñó åäèíñòâåííî, è : µ §.

Ðàâåíñòâî Ïàðñåâàëÿ.

µ §.

Ïðîñòðàíñòâî µ § - ñåïàðàáåëüíîå ãèëüáåðòîâî ïðîñòðàíñòâî ñ îðòîíîðìèðîâàííûì áàçèñîì : ìîæíî âçÿòü ñèñòåìó ýêñïîíåíò (íîðìèðîâàííóþ).

Ðàçëîæåíèå â ñõîäÿùèéñÿ ðÿä :

µ §

Îïðåäåëèì âèä êîýôôèöèåíòîâ Ôóðüå:

µ §

ïðîèíòåãðèðóåì ïî ÷àñòÿì è ïîëó÷èì :

µ § , ãäå µ §

Ïîëó÷àåì : µ § è ñëåäîâàòåëüíî :

µ §

F ìîæíî òî÷íî àïïðîêñèìèðîâàòü ëèíåéíûìè êîìáèíàöèÿìè ýêñïîíåíò.



Скачать документ

Похожие документы:

  1. Тема: «Основные определения теории электрических цепей»

    Литература
    Электрической цепью называют совокупность элементов и устройств, предназначенных для прохождения тока по определенному, заранее заданному алгоритму и описываемых с помощью понятий тока и напряжения.
  2. Тема: «Действие уголовного закона во времени и пространстве». Содержание

    Закон
    Что такое пространство и время? Каков смысл категории «пространство» и «время»? Для начала рассмотрим эти категории с тех точек зрения, как они определяются понимаются в философии и естествознании.
  3. Дипломная работа   на тему: Некоторые современные проблемы криминалистической техники

    Диплом
    Обоснование выбора темы исследования. Выбор темы исследования «Некоторые современные проблемы криминалистической техники» обусловлен все большим использованием в деятельности по раскрытию и расследованию преступлений современных технических
  4. Тема: Архипелаг гулаг в литературе и действительности

    Документ
    Данный урок является частью большого и очень сложного блока «Сталинская модернизация России в 1928-1938 г.г.», а именно темы «Политическая система сталинизма».
  5. Тема «Основы генетики»

    Документ
    Тема «Основы генетики» одна из самых сложных для понимания учащимися. Зачастую у учащихся формируются эпизодические знания, заучиваются основные термины и понятия, но не складывается целостная взаимосвязанная картина генетики как науки.

Другие похожие документы..