Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Реферат'
Медали .ua/uploads/posts/thumbs/1178 8 8 7_slava.jpg Видеофрагменты Название фрагмента: Звуковые ресурсы Название фонограммы: Электронная энциклопеди...полностью>>
'Программа'
2. Действительные числа и их основные свойства. Ограниченные множества действительных чисел и их верхние и нижние грани. Теорема о вложенных отрезках....полностью>>
'Документ'
СогласованоГлавный государственныйинспектор Российской Федерации,Начальник Главного управленияГосударственной противопожарнойслужбы МВД РоссииЕ.А.Сере...полностью>>
'Документ'
Основне завдання курсу - закласти фундамент психологічних знань, ознайомивши студентів з основними найзагальнішими поняттями, проблемами та закономірн...полностью>>

И. А. Пахнутов Рассмотрены вычислительные аспекты обобщенного метода наименьших квадратов

Главная > Документ
Сохрани ссылку в одной из сетей:

УДК 330.43

ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ДОСТУПНОГО ОБОБЩЕННОГО

МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

И.А. Пахнутов

Рассмотрены вычислительные аспекты обобщенного метода наименьших квадратов.

статистика, распределения, МНК, точечные оценки

В доступном обобщенном методе наименьших квадратов (ДОМНК), применяемом в эконометрических расчетах [1-3], рассматривается модель линейной регрессии Y=Xβ+ε, где Y∈ℝ, X∈ℝ, β∈ℝ - вектор наблюдаемых величин, матрица значений факторов и вектор параметров соответственно (k<<n), в которой предполагается, что ε~N(0, σ2Θ) имеет гауссово распределение с математическим

ожиданием Е(ε) = 0, дисперсией σ2 и корреляционной матрицей

Θ = Θ (t) = , |t| < 1,

так что плотность распределения вектора ошибок ρε имеет вид:

ε(t, , ) = .

Стандартный метод наибольшего правдоподобия позволяет в качестве функции

правдоподобия взять

L(t, σ, β) = ln(ρε(t, σ, β)) = const – n ln() - - (Y-X)TΘ-1(Y-X), максимальное значение которой достигается на решении уравнения dL(t, σ, β) = 0

(полное дифференцирование). Но, так как

L(t, , ) = XTΘ-1(Y - X),

L(t, , ) = - (Y-X)TΘ-1(Y-X),

L(t, , ) = - (ln (det(Θ(t))))' - (Y-X)T(Θ(t)-1)' (Y-X),

то (точечные) оценки , , параметров t, σ, β можно получить, решив систему

уравнений

(1)

где e=Y-X - вектор остатков, штрих означает дифференцирование по t. При фиксированном t = t первое уравнение позволяет получить несмещенную оценку =(XTΘ-1X)-1XTΘ-1Y=XY, второе – (смещенную) оценку дисперсии, третье позво-ляет "уточнить" выбранное t.

При выбранной гипотетической форме корреляционной матрицы Θ(t) необ-ходимые функции от нее вычисляются довольно просто. Обозначим нижним индексом порядок матрицы и ее определителя. Тогда, вычитая каждую строку (начиная со второй) определителя det(Θ(t))n, умноженную на t, из предыдущей, получаем рекуррентную формулу: det(Θ(t))n = (1-t2)det(Θ(t))n-1, откуда (по индук-ции) det(Θ(t))=(1-t2). Теперь, выполняя аналогичную процедуру (или стандарт-ное гауссово исключение), нетрудно получить (трехдиагональную) обратную мат-

рицу

Θ-1(t) = .

Ее производная, очевидно, равна

-1(t))' = .

Используя трехдиагональность полученных матриц, можно существенно упростить систему уравнений (1). Обозначив s = eTe, v = s-e12-en2, u = Σej ej+1, можно найти выражение для оценки дисперсии . А так как

eT -1(t)]′e = [ut2-(s+v)t+u], то последнее уравнение в (1) (после очевидного

упрощения) примет вид

t(vt2-2ut+s)-n(vt-u)(t2-1)=0 (2)

– обычное кубическое уравнение, легко решаемое численно. При t =±1 уравнение переходит в равенство (v2u+s) = 0, или Σ(ej ej+1)2 = 0, невозможное при слу-чайном характере остатков (в этом случае и матрица Θ теряет смысл). Далее, нетрудно видеть, что u v, vt2 - 2ut + s > 0 (∀t). Отсюда и из непрерывности левой части уравнения (2) следует, что последняя внутри интервала (-1, 1) в окрестности его границ принимает различные знаки, и, таким образом, уравнение (2) всегда имеет корень t*: |t*|<1. Численная реализация ДОМНК, следовательно, может быть

представлена простым алгоритмом:

1. Выбрать произвольное t: |t|<1.

2. Получить оценку =А-1В, где A=XTΘ(t)-1X, B=XTΘ(t)-1Y.

3. Вычислить остатки e=Y-X, s, v, u.

4. Найти ближайший к нулю корень t* уравнения (2).

5. Выбрать новое значение t = t* и перейти к п. 2.

Стратегия выбора нового значения t может быть различной: от простой подста-новки t:= t* до подбора линейной комбинации вида t:=λt+(1-λ)t*. Статистика обычно не требует высокой вычислительной точности, поэтому итерации можно выполнять до разумной повторяемости результатов, положив = t*. Оконча-тельная несмещенная оценка дисперсии получается стандартно: .

Приведенный алгоритм делает ДОМНК действительно "доступным".

Полученные с помощью ДОМНК оценки параметров линейной модели могут существенно отличаться от оценок, полученных стандартным МНК. В качестве иллюстрации приведем пример. Для заданных значений матриц X и Y:

для модели Y = + ε стандартный МНК при-

водит к оценкам = . Начиная со

значения t= 0.5, через шесть итераций приве-

денного выше алгоритма приходим к значе-

нию = -0.414. Оценки ДОМНК параметров β

при найденном следующие: () = .

Значимость полученного различия оценок

обычно устанавливается дополнительным ис-

следованием с вычислением вероятностных

интервалов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Дубров А.М. Многомерные статистические методы /А.М. Дубров, В.С. Мхитарян, Л.И. Трошин.–М, Финансы и статистика, 2000.–350 с.

2. Кремер Н.Ш. Эконометрика /Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко.–М., 2007.–311 с.

3. Пахнутов И.А. Введение в эконометрику. – Калининград, КГТУ, 2005.–95 с.

COMPUTATION IN FGLS

I.A. Pakhnoutov

A numerical aspect in Feasible Generalized Least Squares is considered. Basic algorithm is simple and easily realizable.



Скачать документ

Похожие документы:

  1. Джеймс трефил

    Закон
    Джеймс Трефил, профессор физики университета Джорджа Мэйсона (США) и один из наиболее известных на Западе популяризаторов науки. Автор более 30 научно-популярных книг.
  2. С. Н. Бейтуганов беровы: фамилия в истории нальчик 2007 г. Оглавление

    Документ
    3 Там же: ф.Р.-717, оп.2, д.48, 71, 75, 90, 96,101, 106, 698; там же, ф.Р-375, оп.1, д.20, 21,25,26,42,62,94,95; там же, ф.Р.-127, оп.2, д.35, 67; г.Кабардино-Балкарская правда, 1958, 6 ноября; там же, 1959 г.
  3. Психология внимания/Под редакцией Ю. Б. Гиппенрейтер щ В. Я. Романова. М

    Документ
    ./ '5 15ВН 5-88711-149- (c) Ю.Б. Гиппенрейтер, В.Я. Романов, (c) ЧнРо, г. ПРЕДИСЛОВИЕ 10 Раздел первый.
  4. Задачи криминалистики Система криминалистики Глава Криминалистика в системе научного знания Криминалистика юридическая наука

    Учебное пособие
    Зарождение и развитие специальных знаний в практике расследования преступлений (исторический аспект) .
  5. Http://www koob ru (2)

    Документ
    Автор - виднейший американский психолог. Книга представляет собой сборник наиболее значительных его работ по актуальным проблемам психологии познания.

Другие похожие документы..