Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Тематическое планирование'
- учащиеся обладают основными знаниями в духовной и экономических сферах общества, а так же имеют знания об обществе как динамичной системе. Знакомы ...полностью>>
'Документ'
В 1485 году битвой при Босуорте завершились кровопролитные войны Алой и Белой Розы , истощавшие Англию на протяжении 30 лет. Король Ричард III пал и ...полностью>>
'Программа спецкурса'
I.1. Цель курса - расширение научно-практической базы магистрантов в сфере лингвистического анализа и интерпретации художественного текста с позиций д...полностью>>
'Конспект'
Данное пособие предназначено для студентов педагогических училищ и студентов вузов к сдаче экзаменов по педагогике. Основные понятия и концепции предм...полностью>>

Д. Б. Сполдинг 1 и В. И. Артёмов

Главная > Реферат
Сохрани ссылку в одной из сетей:

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ С УЧЕТОМ ГИДРОДИНАМИКИ, ТЕПЛООБМЕНА И УПРУГОСТИ; ТЕРМИЧЕСКИЕ НАПРЯЖЕНИЯ, ВОЗНИКАЮЩИЕ В ЛОПАТКАХ ГАЗОВЫХ ТУРБИН С ВОЗДУШНЫМ ОХЛАЖДЕНИЕМ

Д.Б.Сполдинг1 и В.И.Артёмов2

1 Concentration Heat and Momentum Limited, 40 High St., Wimbledon Village, London SW19 5AU, U.K. (Великобритания)

2Московский энергетический институт, 111250, г. Москва, Красноказарменная ул., д. 14

РЕФЕРАТ

Настоящий доклад описывает численные методы, используемые для моделирования сложных процессов, когда необходимо учитывать совместное влияние гидродинамики, теплообмена и напряжений в твердых телах. Особое внимание уделяется решению уравнений методом конечных объемов для компонентов смещений, что позволяет рассчитывать смещения в твердых телах и скорости окружающих текучих сред с помощью единого алгоритма и единой машинной программы. Описываются альтернативные варианты уравнений конечного объема.

Рассматриваются примеры таких расчетов с помощью компьютерной программы PHOENICS, некоторые из которых используются для проверки алгоритма путем сравнения результатов с аналогичными, полученными аналитическими или иными средствами. Чтобы подчеркнуть потенциальные возможности метода в отношении расчета напряжений в лопатках газовых турбин с воздушным охлаждением, приводятся примеры обтекания тел непрямоугольного сечения потоком горячих газов при наличии канала, внутри которого существует поток холодного воздуха.

1. ВВЕДЕНИЕ

Какой численный метод необходимо использовать для расчета напряжений и деформаций в твердых телах?

Наиболее распространенный ответ на этот вопрос - метод конечных элементов (МКЭ).

Данный метод был в действительности разработан для решения задач, связанных с упругостью, и на сегодняшний день положен в основу большинства компьютерных программ, используемых для анализа напряжений в твердых телах.

Ответ на заданный вопрос, однако, не столь очевиден, если речь заходит о необходимости моделирования не только напряжений, но и взаимодействий конструкции с жидкостью (FSI), например:

- термических и обусловленных действием центробежной силы напряжений в дисках и турбинных лопатках газовой турбины с охлаждением;

- эффектов распространения волн в упругих стенках трубы, по которой течет несжимаемая жидкость (например, кровь в артерии);

- формирования струи жидкости в полости печатающей головки струйного принтера под влиянием пьезоэлектрических напряжений и деформаций в мембране.

Во-первых, МКЭ не столь эффективен при решении задач гидродинамики, как метод конечных объемов (МКО), который практически повсеместно применяется в программах, используемых в вычислительной гидродинамике (ВГД).

Во-вторых, упомянутые программы уже включают математические модели других физико-химических процессов (радиоактивного излучения, химических реакций, многофазных процессов и других явлений), которые обычно приходится учитывать при анализе взаимодействия конструкции с жидкостью.

В настоящее время стандартной практикой, применяемой инженерами, сталкивающимися с проблемами взаимодействия конструкции с жидкостью, является использование двух отдельных компьютерных программ. Одна из них (например, PHOENICS [1], Fluent [2] и др.)

- используется для расчета гидродинамических характеристик и теплообмена,

а вторая (например, Ansys [3]) -

- для расчета напряжений.

В случаях, когда деформации малы, расчеты выполняются последовательно, т.е. поля распределения температур и давлений, полученные в результате применения первой программы, используются в качестве начальных и/или граничных условий при применении второй.

Если деформации значительны, например, в случае трубы с упругими стенками, необходимо расчеты в обеих программах выполнять параллельно, что может создать нестандартные затруднения.

С точки зрения конечного пользователя, решающего задачу взаимодействия конструкции с жидкостью, наилучшим вариантом является выполнение обеих серий расчетов одновременно в одной и той же программе, либо включив анализ деформаций в программу ВГД, либо наоборот, включив анализ параметров ВГД в программу для расчета деформаций.

В настоящей работе рассматривается первый вариант, где в программу ВГД PHOENICS, использующую метод конечных объемов, интегрирована возможность одновременного расчета напряжений в твердых телах.

2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ И ЧИСЛЕННЫЙ АЛГОРИТМ

Математическое моделирование сложных процессов, связанных с гидродинамикой и напряжениями в твердых телах, обычно требуется в случаях, когда твердые тела расположены внутри потока текучей среды (возможно, многофазного).

Уравнения сохранения массы, энергии и количества движения описывают поведение текучих областей, тогда как процессы в твердых телах определяются соотношением сил, совместимостью деформаций с геометрическими параметрами и законом Гука.

На границе твердого тела и текучей среды потоки массы (равны нулю), количества движения и энергии должны быть равны.

Если деформации поверхности значительны по сравнению с размерами расчетной ячейки, необходимо учесть изменение объемов, которые могут быть заняты текучей фазой.

2.1 Уравнения гидродинамики

Уравнения, описывающие движение текучей среды, – это уравнения сохранения массы (уравнение неразрывности), количества движения (в трех направлениях) и энергии.

Дополнительные математические модели (например, турбулентности, химических реакций и т.п.) увеличивают число взаимосвязанных уравнений.

Например, если используется модель турбулентности k-, необходимо решить два дополнительных уравнения для энергии k и скорости ее рассеяния .

Все эти уравнения можно привести к общему виду, впервые (возможно) предложенному Д.Б. Сполдингом:

(1)

где

u - (u,v,w) – векторные составляющие скорости

 – плотность

 – сохраняющийся параметр u, v, w, энтальпия, k,  и (как пример сохранения массы) давление.

Для получения эквивалентной дискретизированной системы уравнений (1) наиболее эффективным признан метод интегрирования по контрольным объемам, или метод конечных объемов (МКО), описанный ниже:

  • Расчетную область делят на большое количество ячеек (т.е. контрольных объемов конечного размера), в декартовых или в цилиндрических полярных координатах в случае структурированной сетки или в произвольной полиэдральной форме – в случае неструктурированной.

  • Для каждого контрольного объема результатом интегрирования дифференциального уравнения является (с учетом определенных предположений относительно изменения переменной Ф в пределах контрольного объема) алгебраическое уравнение, связывающее Ф в пределах данной ячейки с Ф, относящимися к соседним ячейкам.

  • Можно отметить, что единственное различие между МКО и МКЭ состоит в том, что второй метод не реализует указанный очевидный и полезный прием, а вместо этого предполагает умножение уравнения на не равные единице весовые коэффициенты перед интегрированием, следуя в этом практике, принятой до появления вычислительных машин (когда данный подход действительно давал определенные преимущества).

  • Для описания потоков через границы контрольных объемов, появляющихся в интегральных выражениях, принята следующая "стандартная форма" выражения:

которая описывает связь между значением в текущей рассматриваемой ячейке и значениями в ближайших соседних с ней ячейках.

  • Уравнение конечных объемов для давления (для которого не предусмотрено собственное уравнение переноса в явном виде) получают сложением уравнений конечных объемов с сохранением количества движения и массы. Данное действие предусмотрено в большинстве компьютерных программ ВГД посредством того или иного варианта алгоритма SIMPLE, предложенного Д.Б. Сполдингом и С.В. Патанкаром.

Более подробное описание данного алгоритма можно найти в имеющейся в свободном доступе литературе, например, [4], а также в документации на компьютерную программу PHOENICS [1].

2.2 Уравнения упругости

Распределение напряжений в твердом теле можно описать уравнениями, аналогичными уравнениям баланса количества движения, которыми описывается скорость, но без членов, относящихся к конвекции [5]. (Для краткости рассмотрим только уравнение относительно оси x).

(2)

где

ik - составляющая тензора напряжений, и

fx - массовая сила на единицу объема.

Если деформации малы, напряжения связаны с ними законом Гука, т.е.:

(3)

где

ui - составляющие вектора перемещений

ik - составляющие тензора деформаций

t - термическая деформация

 - коэффициент теплового расширения

T - температура за вычетом начальной, при которой деформация считается равной нулю

G, L - коэффициенты Ламе, связанные с модулем Юнга E и коэффициентом Пуассона P следующими соотношениями:

Аналитические решения уравнений (1)-(3) позволяют выразить напряжения и деформации посредством функций напряжений [5].

Предложены различные виды системы уравнений (2)-(3) для получения численных решений [6-8].

Одним из первых является вариант, предложенный Д.Б. Сполдингом [7] и основанный на подобии уравнений для составляющих скорости текучей среды и для составляющих деформации твердого тела. Если твердое тело образовано одним материалом, коэффициенты Ламе постоянны, а уравнение деформации можно записать в векторной форме следующим образом:

(4)

что формально соответствует уравнению вычислительной гидродинамики для количества движения без учета конвекции и с перемещениями вместо скоростей.

Данная аналогия позволила использовать алгоритм SIMPLE, встроенный в программу PHOENICS, для расчета деформаций твердого тела.

Можно получить другие полностью эквивалентные формы уравнений, включая еще один предложенный Д.Б. Сполдингом вариант, в котором зависимые переменные являются составляющими 'вектора вращения'. Однако, наиболее эффективным оказалось следующее уравнение для перемещения относительно оси x, используемое совместно с его аналогами для осей y и z:

(5)

Данная система уравнений (5) для трех составляющих (u,v,w) перемещения аналогична общему уравнению сохранения (1), если:

  • не учитывать конвекцию,

  • коэффициент диффузии не является изотропным, а также

  • величина S складывается из градиентов перемещения и поверхностных источников.

В связи с этим, уравнения конечных объемов, которые соответствуют дифференциальным уравнениям, можно получить интегрированием, аналогичным обычно используемому в случае общего уравнения сохранения.

В частности, в случае уравнений для определения скоростей можно использовать две альтернативные сетки, а именно:

  • “разнесенную”, когда подлежащие расчету численные значения (т.е. скорости или перемещения) совпадают с расположенными в центрах граней ячеек, или

  • “неразнесенную”, т.е. с расположением в центрах объема самих ячеек.

Эти же два вида сеток используются в случае перемещений. Оба варианта на сегодняшний день реализованы в программе PHOENICS.

Ниже рассматриваются дискретизированные аналоги дифференциальных уравнений (5), причем для краткости речь идет только о двумерной структурированной неразнесенной сетке для плосконапряженного состояния ( zz = 0)

2.3 Дискретизированные уравнения упругости

Рисунок 1: Сетка контрольных объемов

При интегрировании дифференциальных уравнений (5) по ячейке, в которой находится точка P, получают дискретизированные уравнения следующего типа:

(6)

где

VP - объем ячейки P

Ak - площадь k'-ой поверхности ячейки.

Первые четыре члена выражения (6) относятся к стандартной диффузии с неизотропными коэффициентами; объемный член исходного уравнения можно записать в виде

(7)

Затем уравнения (6) и (7) можно представить в традиционном для МКО виде:

(8)

Чтобы решить уравнения (6)-(8), необходимо аппроксимировать значения коэффициентов в уравнении (L, G, H) на границах ячеек. Обычно это выполняется с использованием среднего гармонического, но для получения значений температуры на границах используют линейное среднее.

Для расчета исходных объемов необходимо знать значения перемещений в вершинах ячеек (ven, ves, …). Для этого могут применяться различные методы.

Наиболее точным показал себя следующий метод: значение ven выбирают как среднее арифметическое значений по всем ячейкам, для которых данная вершина является общей (см. Рис. 1)

Для расчета значения v в вершине "en" ячейки P используют соотношение:

Градиенты v можно рассчитать с использованием теоремы Остроградского-Гаусса [4].

2.4 Граничные условия для уравнений упругости

Важной особенностью уравнений упругости, записанных в виде (5)-(6), является простота выражения граничных условий.

Пусть поверхность "e" будет внешней границей, на которую действует нормальное напряжение BC. Тогда после объединения нескольких членов уравнения (6) можно записать следующее:

(9)

Данное уравнение означает, что задание значения нормального напряжения BC влечет за собой следующее:

  • aE = 0,

  • в исходном внутреннем выражении (7) член, содержащий Ae, должен быть принят равным нулю;

  • на границу "e" действует поток, равный BC*Ae.

Если граница "e" является поверхностью твердого тела, погруженного в текучую среду, то напряжение BC представляет собой давление среды.

Аналогичным образом можно определить поверхностные напряжения сдвига.

3. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ

3.1 Проверка алгоритмов

Вышеописанные алгоритмы, включенные в программу PHOENICS, были проверены с подтверждением их правильности двумя способами, а именно:

  • сравнением с точными решениями уравнений, большая часть которых приведена в фундаментальной монографии [5]; а также

  • сравнением с численными результатами, полученными с помощью программы на основе МКЭ, в частности, российской программы ELCUT [9]

Результаты ряда таких проверок приведены ниже, однако еще предстоит провести дополнительные проверки.

Сравнение с аналитическими решениями показало, что расхождение с численными решениями не превышает 1%, даже в случае крупной расчетной сетки.

В случае первой проверки рассматриваются два твердых материала с различными коэффициентами теплового расширения, а именно  = 10-5 для материала слева и  = 10-4 для материала справа. Температуру обоих материалов повышают на 10 градусов Цельсия; предполагается, что прилегающие друг к другу поверхности материалов плотно соединены.

Рисунок 2: Термические напряжения относительно оси х в биметаллической пластине, рассчитанные с использованием программ PHOENICS и ELCUT,

В случае второй проверки рассматриваются термические напряжения в длинном цилиндре, нагреваемом изнутри и охлаждаемом снаружи, для которого можно аналитическим методом одновременно рассчитать и напряжения, и температуры [5].

На Рис. 3 показаны векторы перемещений, профили распределения температур и профили радиальных нормальных напряжений. Расхождение между полями, полученными численным и аналитическим методами, составляет менее 5%.

Интересно отметить, что в этом случае, несмотря на радиальное расширение цилиндра, напряжения в этом направлении положительны, т.е. твердое тело находится в состоянии сжатия.

Рисунок 3: Термические напряжения в длинном свободно расширяющемся цилиндре, нагреваемом изнутри

3.2 Термические напряжения в объекте, подобном лопатке газовой турбины с воздушным охлаждением

В качестве примера использования данного алгоритма для расчета взаимодействий конструкции с жидкостью рассмотрим поток горячего газа, обтекающий трехмерное тело эллиптического сечения. Внутри данного тела имеется цилиндрический канал, стенки которого охлаждаются до 0С.

Рисунок 4: Геометрия расчетной области

Рисунок 5: Векторы скорости газа в двух плоскостях под прямым углом

Рисунок 6: Профили давления на этих плоскостях

Рисунок 7: Профили температуры в твердом теле

Рисунок 8: Векторы перемещений и профили тепловой деформации

На входе в область, в левой части схемы, имеются следующие граничные условия: скорость U = 50 м/с, температура T = 1000C, интенсивность турбулентности 5%. На выходе (в правой части) давление постоянно: p = 105 Па.

Перемещения на "опорной плите", на которой закреплена нижняя поверхность эллипса, приняты равными нулю.

Использовалась крупная расчетная сетка: NX*NY*NZ = 70 * 20 * 20.

На Рис. 5 и 6 показаны векторы скорости и поле распределения давлений, а на Рис. 7 - поля распределения температур в газе и твердом теле. Неоднородность распределения температур в твердом теле порождает неоднородность перемещений, что, в свою очередь, ведет к возникновению соответствующих термических напряжений.

На Рис. 7 показаны векторы перемещений и поле распределения термических деформаций; на Рис. 8 показаны нормальные составляющие тензора напряжений.

Рисунок 9: Профили составляющих напряжений по трем осям

StrX - в направлении потока газа,

StrY - в поперечном горизонтальном направлении,

StrZ - в вертикальном направлении

4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Представленные выше результаты показывают, что метод конечных объемов может эффективно применяться для одновременного решения уравнений гидродинамики, теплообмена и упругости в рамках единой компьютерной программы.

ЛИТЕРАТУРА

  1. Программа ВГД PHOENICS:

http://www.cham.co.uk .

  1. Программное обеспечение для моделирования потоков FLUENT: /software/fluent/ .

  2. ANSYS: /products/ .

  3. Ferziger, J.H. and Peric M. Computational methods for fluid dynamics: Springer Verlag, Berlin-New York. 1995.

  4. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. "Наука", 1975. 576 стр.

  5. Beale S.B., Elias S.R. Numerical solution of Two-Dimensional Elasticity problems by means of a SIMPLE-based finite-difference scheme. TR-LT-020, National Research Council, Ottawa, 1991.

  6. D.B. Spalding, Simulation of Fluid Flow, Heat Transfer and Solid Deformation Simultaneously, NAFEMS Conference no. 4, Brighton, 1993.

  7. Demirdzic I., Muzaferija S. Finite-Volume Method for Stress Analysis in Complex Domains// Int. J. for Numerical Methods in Engineering, vol 37. 1994. p. 3751-3766.

  8. ELCUT: /elcut/ .



Скачать документ

Похожие документы:

  1. Стивен Амброз День "Д" 6 июня 1944 г. Величайшее сражение Второй мировой войны Stephen E. Ambrose d-day. June 6, 1944. The Climactic Battle of World War II аннотация книга

    Книга
    Stephen E. Ambrose D-Day. June 6, 1944. The Climactic Battle of World War II Аннотация Книга известного американского историка Стивена Е. Амброза посвящена операции Оверлорд" - высадке и вторжению Союзнических войск в оккупированную
  2. Ут вам выглядеть и чувствовать себя моложе на 10 15 лет, наделить вас силой, улучшить здоровье, продлить вашу жизнь и научить вас получать от нее удовольствие

    Документ
    В этой книге представлены идеи и техники, которые помогут вам выглядеть и чувствовать себя моложе на 10 — 15 лет, наделить вас силой, улучшить здоровье, продлить вашу жизнь и научить вас получать от нее удовольствие.
  3. Long After Midnight, 1976 Эта книга

    Книга
    Полночь — это дверь, ведущая в волшебную даль. За ней могут скрываться история первой любви и украденный попугай Хемингуэя, самозародившееся знойным летом зло в людском обличье и заводной Бернард Шоу, воскресенье в Дублине и отпуск
  4. Перевод с английского О. Кутуминой оформление В

    Документ
    О. Кутумина. 1998 Введение, Доклад Рэндла - позитивный или негативный? В своей книге "Встречи с НЛО" я писал, что уфологам пора изменить методологию своей деятельности, подчеркнув, что незачем собирать все новые и новые
  5. Предисловие (109)

    Документ
    Каталог выставки «Русские в Англии: между двумя войнами (1917-1940 гг.)» был подготовлен к Международной конференции «Культурное и научное наследие российской эмиграции в Великобритании (1917-1940 гг.

Другие похожие документы..