Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Рабочая программа'
- авторской программы курса английского языка к УМК «Enjoy English» для учащихся 2-9 классов общеобразовательных учреждений / М.З Биболетова, Н.Н. Тр...полностью>>
'Документ'
Наша школа является самым крупным по численности образовательным учреждением и составляет 1/5 учащихся всего района. За 46-летнию историю школа подго...полностью>>
'Документ'
Летописец: О, светло светлая и украсно украшена земля русская. И многими красотами удивлена еси: реками и кладязьми несчетными, горами крутыми, холми...полностью>>
'Документ'
Результаты проведения 3-й международной научно-практической конференции «Ювенальная юстиция и проблемы защиты прав несовершеннолетних» прокомментиров...полностью>>

Программа вступительных испытаний в магистратуру по направлению 010200. 68 Математика. Прикладная математика «Математический анализ»

Главная > Программа
Сохрани ссылку в одной из сетей:

Программа

вступительных испытаний в магистратуру

по направлению 010200.68 – Математика. Прикладная математика

«Математический анализ»

Математический анализ

  1. Предел числовой последовательности. Основные свойства: единственность предела; ограниченность сходящейся последовательности; сходимость подпоследовательности сходящейся последовательности. Предел и арифметические операции. Принцип Больцано  Вейерштрасса. Критерий Коши сходимости числовой последовательности.

  2. Предел и непрерывность функции. Эквивалентные определения (по Коши и по Гейне). Основные свойства непрерывных функций. Связь с арифметическими операциями. Непрерывность композиции. Односторонние пределы и односторонняя непрерывность.

  3. Теорема Вейерштрасса об ограниченности и о достижении экстремальных значений функции непрерывной на отрезке. Теорема Коши о промежуточных значениях непрерывной функции. Непрерывность обратной функции.

  4. Дифференцируемость числовой функции. Производная и дифференциал. Непрерывность дифференцируемой функции. Геометрический смысл производной. Дифференцируемость и арифметические операции. Дифференцируемость композиции и обратной функции.

  5. Теоремы Ферма, Ролля, Коши и Лагранжа о дифференцируемых функциях. Необходимые и достаточные условия экстремума функции в терминах производной.

  6. Интеграл Римана. Основные свойства интеграла: линейность, монотонность, аддитивность. Классы функций интегрируемых по Риману.

  7. Числовые ряды. Понятие сходимости числового ряда Необходимое условие сходимости. Признаки сравнения, Коши и Даламбера сходимости положительных рядов. Признак Лейбница сходимости знакопеременного ряда.

  8. Степенные ряды. Теорема Коши  Адамара о структуре области сходимости степенного ряда. Радиус и интервал сходимости. Равномерная сходимость степенных рядов. Теорема Абеля о равномерной сходимости степенного ряда на отрезке, содержащемся в интервале сходимости. Непрерывность суммы степенного ряда. Почленное дифференцирование и интегрирование степенных рядов.

Дифференциальные уравнения

  1. Линейное уравнение n-ого порядка с постоянными коэффициентами. Методы нахождения общего решения.

Теория функций комплексного переменного

  1. Моногенные и голоморфные функции. Критерии моногенности и голоморфности. Изолированные особые точки и вычеты.

Литература к разделу

Ма­те­ма­ти­че­ский ана­лиз

  1. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б. Х. Математический анализ. М., 1981;

  2. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. М. 1981;

  3. Гусев А.И. Обзорные лекции по математическому анализу. Сервер локальной сети ТвГУ М:\Для студентов А.И. Гусева\ 5 курс.

Литература к разделу

Диф­фе­рен­ци­аль­ные урав­не­ния

1. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1970.

2. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1976.

3. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1976.

4. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985.

6. Филлипов А.В. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М., Наука, 1975.

Литература к разделу

Тео­рия функ­ций ком­плекс­но­го пе­ре­мен­но­го

  1. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Т.1. М., 1969 и другие издания.

  2. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М, 1984 и другие издания.

  3. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного переменного. М., 1982 и другие издания.

  4. Голубев А.А., Граф С.Ю., Шеретов В.Г. Практический курс комплексного анализа Тверь, 2003.

  5. Маркушевич А.Н. Краткий курс теории аналитических функций. М., 1978 и другие издания.

  6. Евграфов М.А. Аналитические функции. М, 1991 и другие издания.

  7. Волковыский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович И.Г. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. М., 1975.

Программа

вступительных испытаний в магистратуру

по направлению 010200.68– Математика. Прикладная математика

«Методы оптимизации и оптимального управления»

Математический анализ

  1. Предел числовой последовательности. Основные свойства: единственность предела; ограниченность сходящейся последовательности; сходимость подпоследовательности сходящейся последовательности. Предел и арифметические операции. Принцип Больцано  Вейерштрасса. Критерий Коши сходимости числовой последовательности.

  2. Предел и непрерывность функции. Эквивалентные определения (по Коши и по Гейне). Основные свойства непрерывных функций. Связь с арифметическими операциями. Непрерывность композиции. Односторонние пределы и односторонняя непрерывность.

  3. Теорема Вейерштрасса об ограниченности и о достижении экстремальных значений функции непрерывной на отрезке. Теорема Коши о промежуточных значениях непрерывной функции. Непрерывность обратной функции.

  4. Дифференцируемость числовой функции. Производная и дифференциал. Непрерывность дифференцируемой функции. Геометрический смысл производной. Дифференцируемость и арифметические операции. Дифференцируемость композиции и обратной функции.

  5. Теоремы Ферма, Ролля, Коши и Лагранжа о дифференцируемых функциях. Необходимые и достаточные условия экстремума функции в терминах производной.

  6. Интеграл Римана. Основные свойства интеграла: линейность, монотонность, аддитивность. Классы функций интегрируемых по Риману.

  7. Числовые ряды. Понятие сходимости числового ряда Необходимое условие сходимости. Признаки сравнения, Коши и Даламбера сходимости положительных рядов. Признак Лейбница сходимости знакопеременного ряда.

  8. Степенные ряды. Теорема Коши  Адамара о структуре области сходимости степенного ряда. Радиус и интервал сходимости. Равномерная сходимость степенных рядов. Теорема Абеля о равномерной сходимости степенного ряда на отрезке, содержащемся в интервале сходимости. Непрерывность суммы степенного ряда. Почленное дифференцирование и интегрирование степенных рядов.

Дифференциальные уравнения

1. Линейное уравнение n-ого порядка с постоянными коэффициентами. Методы нахождения общего решения.

Вариационное исчисление и методы оптимизации

  1. Конечномерные задачи минимизации.

  2. Выпуклые множества. Теорема Куна – Таккера. Понятие седловой точки, ее свойства.

  3. Задача оптимального управления. Понятие допустимого процесса, локально оптимального процесса. Классификация задач оптимального управления.

  4. Принцип максимума Понтрягина.

  5. Двойственный метод. Теорема Гамильтона-Якоби.

  6. Двойственная задача оптимального управления. Метод построения решения двойственной задачи.

  7. Уравнение Беллмана. Принцип оптимальности Беллмана. Связь метода Беллмана с методом Гамильтона-Якоби.

  8. Связь метода Беллмана с принципом максимума Понтрягина.

  9. Дискретная задача оптимального управления. Необходимое условие оптимальности в дискретной задаче оптимального управления.

  10. Необходимые условия оптимальности (Теорема Лагранжа). Предельный переход.

  11. Численные методы решения задач оптимального управления. Метод функции штрафа.

Литература к разделу

Математический анализ

  1. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Б. Х. Математический анализ. М., 1981;

  2. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. М. 1981;

  3. Гусев А.И. Обзорные лекции по математическому анализу. Сервер локальной сети ТвГУ М:\Для студентов А.И. Гусева\ 5 курс.

Литература к разделу

Диф­фе­рен­ци­аль­ные урав­не­ния

1. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1970.

2. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1976.

3. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1976.

4. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985.

6. Филлипов А.В. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М., Наука, 1975.

Литература к разделу

Вариационное исчисление и методы оптимизации

  1. Андреева Е.А., Цирулева В.М. Вариационное исчисление и методы оптимизации. М.: Высшая школа, 2006.

  2. Андреева Е.А., Цирулева В.М. Численные методы решения задач оптимального управления. Тверь: МЭСИ, 2004.

  3. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1989.

Программа

вступительных испытаний в магистратуру

по направлению 010400.68 Информационные технологии

Алгебра и геометрия

  1. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Определитель матрицы. Свойства определителя. Метод Крамера решения систем линейных уравнений.

  2. Линейные пространства. Линейная зависимость и линейная независимость систем векторов. Базис и ранг системы векторов. Матрица перехода от одного базиса к другому. Координаты вектора в базисе. Изменение координат вектора при изменении базиса.

  3. Кольцо многочленов. Делимость многочленов. Наибольший общий делитель двух многочленов. Алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя.

  4. Линейные преобразования линейных пространств. Матрица линейного преобразова­ния в базисе. Изменение матрицы линейного преобразования при изменении базиса.

  5. Собственные числа и собственные векторы линейного преобразования. Характери­стический многочлен линейного преобразования. Нахождение собственных чисел и собственных векторов линейного преобразования.

  6. Евклидовы пространства. Симметрические преобразования. Нахождение ортонормированного базиса, состоящего из собственных векторов симметрического преобра­зования.

  7. Квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому и нор­мальному виду. Метод Лагранжа и метод Якоби. Положительно определённые квад­ратичные формы. Критерий Сильвестра.

  8. Гиперповерхности второго порядка в евклидовом пространстве. Классификация ги­перповерхностей второго порядка.

Задачи

  1. Вычислите определитель матрицы размера п х п.

  2. Для данной системы векторов арифметического пространства найдите базис и ранг этой системы.

  3. Даны два многочлена из R[x]. Найдите наибольший общий делитель этих многочле­нов.

  4. Даны два базиса линейного пространства. Найдите матрицу перехода от первого базиса ко второму.

  1. Даны координаты вектора x в базисе E и матрица перехода от базиса A к базису E. Найдите координаты вектора x в базисе A.

  2. Дана матрица линейного преобразования ϕ линейного пространства Rn в базисе E и матрица перехода от базиса E к базису A. Найдите матрицу преобразования ϕ в базисе A.

  3. Дана матрица линейного преобразования ϕ линейного пространства Rn в некотором базисе E. Найдите собственные числа и собственные векторы преобразования ϕ.

  4. Дана квадратичная форма. Приведите её к каноническому виду.

  5. Дана квадратичная форма. Выясните, является ли она положительно определённой.

  1. Дано уравнение поверхности второго порядка в R3. Определите тип этой поверхно­сти.

Литература

  1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Наука, 1975.

  2. Глухов М.М., Елизаров В.П., Нечаев А.А. Алгебра: Учебник. В 2-х т.-М.: Гелиос АРВ, 2003.

  3. Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Наука, учебник, 1977.

  4. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. М.: Наука, 1977.

  5. Сборник задач по алгебре. Под ред. А.И.Кострикина, М.: Наука, 1995.

  6. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1970.

  7. Калужнин А.Г. Введение в общую алгебру. М.: Наука, 1973

  8. Скорняков Л.А. Элементы общей алгебры. М.: Наука, 1983.

  9. Фаддеев Д.К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.

  1. Куликов Л.Я. Алгебра и теория чисел. М.: Высшая школа, 1979.

  2. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Юнимедиастайл, 2002.

Математический анализ

1. Введение в анализ.

  1. Вещественные числа. Десятичная запись вещественного числа. Свойства веще­ственных чисел. Аксиома Архимеда. Свойство непрерывности.

  2. Верхняя и нижняя грани числового множества, их характеристические свой­ства. Теорема о существовании верхней (нижней) грани у ограниченного сверху (снизу) числового множества.

  1. Ограниченные отображения, верхняя и нижняя грани отображения.

2. Предел последовательности.

2.1. Предел числовой последовательности, теорема о единственности предела чис­ловой последовательности.

  1. Бесконечно малые, бесконечно большие последовательности, их свойства. Арифметические свойства сходящихся последовательностей.

  2. Предельный переход в неравенствах. Теорема о существовании предела у огра­ниченной монотонной последовательности. Число “е”.

  3. Теорема Больцано–Вейерштрасса о существовании частичного предела у огра­ниченной числовой последовательности. Верхний и нижний пределы последо­вательности.

  1. Критерий Коши сходимости последовательности.

3. Предел функции.

  1. Предел функции в точке по Гейне и по Коши; эквивалентность этих определе­ний. Односторонние пределы в точке. Арифметические операции над функци­ями, имеющими предел.

  1. Критерий Коши существования предела функции в точке.

  2. Замечательные пределы.

  1. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, теоремы о них. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции.

  1. Теорема о пределе сложной функции.

4. Непрерывность функции.

  1. Непрерывность функции в точке. Односторонняя непрерывность. Арифметиче­ские операции над непрерывными функциями.

  1. Свойство устойчивости знака непрерывной в точке функции.

  2. Свойство локальной ограниченности непрерывной в точке функции.

  3. Непрерывность элементарных функций.

  1. Точки разрыва функции и их классификация. Теорема о точках разрыва моно­тонной на отрезке функции.

  2. Первая теорема Коши (о прохождении непрерывной функции через нуль при смене знаков).

  3. Вторая теорема Коши (о промежуточных значениях непрерывной на отрезке функции).

  4. Первая теорема Вейерштрасса (об ограниченности непрерывной на отрезке функции).

  5. Вторая теорема Вейерштрасса (о достижении верхней и нижней граней непре­рывной на отрезке функцией).

  1. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора о равномерной непрерывности функции, непрерывной на отрезке.

  1. Свойства открытых и замкнутых множеств. Компакт.

  2. Теорема о равномерной непрерывности функции, непрерывной на компакте.

5. Производная и дифференциал.

  1. Производная, ее геометрический смысл. Односторонние производные.

  2. Непрерывность функции, дифференцируемой в точке.

  3. Производная суммы, произведения и частного двух функций.

  1. Производная сложной и обратной функций. Дифференцирование функции, за­данной параметрически.

  1. Производные элементарных функций.

  2. Производные высших порядков. Формула Лейбница.

  1. Дифференциал функции, геометрический смысл дифференциала. Правила вы­числения дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала.

  1. Дифференциалы высших порядков.

  2. Лемма Дарбу о возрастании или убывании функции в точке.

  1. Теорема Ферма о локальном экстремуме функции.

  2. Теорема Ролля о нуле производной.

  3. Теорема Лагранжа (формула конечных приращений).

  4. Теорема Коши (обобщенная формула конечных приращений).

  5. Первое и второе правило Лопиталя.

  6. Формулы Тейлора и Маклорена с остаточным членом в форме Пеано.

  7. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

  8. Разложение элементарных функций по формуле Маклорена.

  9. Необходимое и достаточное условия локального экстремума.

  10. Выпуклость графика функции. Достаточное условие выпуклости графика функции.

  11. Необходимое и достаточное условия точки перегиба.

  12. Асимптоты графика функции. Необходимое и достаточное условие существова­ния наклонной асимптоты.

6. Неопределенный интеграл.

  1. Первообразная и неопределенный интеграл. Основные свойства неопределенно­го интеграла. Таблица интегралов.

  2. Замена переменной в неопределенном интеграле. Формула интегрирования по частям.

  1. Интегрирование рациональных дробей.

  1. Интегрирование тригонометрических выражений, универсальная тригономет­рическая подстановка.

  1. Интегрирование простейших иррациональных функций.

7. Определенный интеграл.

  1. Определенный интеграл Римана. Неинтегрируемость по Риману неограничен­ной на [а,в] функции.

  2. Верхняя и нижняя интегральные суммы Дарбу, их основные свойства. Верхний и нижний интегралы Дарбу, их свойства. Основная лемма Дарбу.

  3. Необходимые и достаточные условия интегрируемости функции по Риману. Тео­рема об интегрируемости непрерывной функции. Теорема об интегрируемости монотонной функции.

  1. Свойства определенного интеграла.

  1. Оценка определенных интегралов. Интегрирование неравенств. Первая теорема среднего значения.

  2. Интеграл с переменным верхним пределом. Производная интеграла по перемен­ному верхнему пределу. Формула Ньютона – Лейбница.

  3. Замена переменной под знаком определенного интеграла. Правило интегриро­вания по частям для определенного интеграла.

  4. Приложения определенного интеграла: вычисление площадей; вычисление дли­ны дуги кривой.

8. Несобственные интегралы.

  1. Несобственные интегралы первого и второго рода. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов.

  1. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов.

  1. Признаки сходимости несобственных интегралов (общий и частный признаки сравнения).

9. Числовые ряды.

  1. Числовой ряд, сходимость и расходимость. Гармонический ряд. Необходимое условие сходимости ряда. Арифметические действия со сходящимися рядами. Критерий Коши сходимости числового ряда.

  2. Признаки сравнения числовых рядов. Признаки Даламбера и Коши сходимости ряда.

  3. Абсолютная и условная сходимость ряда. Переместительный закон для абсо­лютно сходящегося ряда.

9.4. Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда.
10. Функциональные последовательности и ряды.

  1. Функциональные последовательности и ряды. Поточечная и равномерная схо­димость последовательностей и рядов.

  2. Критерий Коши равномерной сходимости последовательности и ряда. Необходи­мое условие равномерной сходимости ряда. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда.

  3. Теорема о непрерывности суммы (предельной функции) равномерно сходяще­гося ряда (функциональной последовательности).

  4. Теорема об интегрируемости суммы (предельной функции) равномерно сходя­щегося на [а,в] ряда (функциональной последовательности).

  5. Теорема о дифференцируемости суммы (предельной функции) сходящегося на [а,в] ряда (функциональной последовательности).

  6. Степенные ряды. Первая теорема Абеля. Радиус и интервал сходимости сте­пенного ряда. Теорема о радиусе сходимости степенного ряда. Формулы для вычисления радиуса сходимости степенного ряда.

  7. Функция, аналитическая в точке. Единственность представления аналитиче­ской в точке функции степенным рядом. Теорема о почленном дифференцировании интегрировании степенного ряда.

  8. Ряды Тейлора и Маклорена. Необходимое и достаточное условие разложимости функции в степенной ряд. Пример бесконечно дифференцируемой функции, не являющейся аналитической. Разложение в ряд Маклорена некоторых элемен­тарных функций.

11. Функции нескольких переменных.

  1. Предел последовательности точек пространства Rn. Лемма о сходимости после­довательности точек в пространстве Rn. Лемма о фундаментальной последова­тельности; критерий Коши сходимости последовательности точек пространства Rn. Теорема Больцано – Вейерштрасса.

  2. Предел функции n переменных в точке по Гейне и по Коши; эквивалентность этих определений. Арифметические операции над функциями, имеющими пре­дел. Бесконечно малые функции n переменных.

  3. Критерий Коши существования предела функции n переменных в точке.

  4. Повторные пределы.

  5. Непрерывность функции нескольких переменных в точке. Арифметические опе­рации над непрерывными функциями. Непрерывность сложной функции.

  6. Теорема об устойчивости знака непрерывной в точке функции. Теорема о про­хождении непрерывной функцией через любое промежуточное значение.

  7. Первая теорема Вейерштрасса (об ограниченности функции, непрерывной на компакте).

  8. Вторая теорема Вейерштрасса (о достижении непрерывной на компакте функ­цией своих точных граней).



Скачать документ

Похожие документы:

  1. Программы вступительных испытаний*, проводимых Кубгу самостоятельно Программы вступительных испытаний на направления подготовки магистратуры Программа вступительного испытания (собеседование/устный экзамен) по дисциплинам «Математический анализ»

    Программа
    Программа вступительного испытания (собеседование/устный экзамен) по дисциплинам «Математический анализ», «Теория функций комплексного переменного» и «Функциональный анализ»
  2. Магистратура Уральского государственного университета им. А. М. Горького Уральский государственный университет им. А. М. Горького (УрГУ) классический университет Урала основан 19 октября 1920 г

    Документ
    Уральский государственный университет им. А. М. Горького (УрГУ) – классический университет Урала – основан 19 октября 1920 г. в Екатеринбурге (Свердловске).
  3. Отчет по проекту: Гуманитарная компонента в учебных планах высшего профессионального образования: мировой опыт и российские реалии Программа

    Публичный отчет
    В недавно опубликованном “Российской газетой” интервью Я.И.Кузьминов, ректор Государственного университета – Высшей школы экономики и права, говорит: “Наше высшее образование где-то наполовину потеряло звание профессионального.
  4. Шифр Направление ооп

    Документ
    8 Педагогическое образование Языковое образование Магистр Междисциплинарный экзамен (реферат, собеседование) Физико-математический факультет 010100.
  5. Основные сведения о егэ единый государственный экзамен (егэ)

    Литература
    Единый государственный экзамен (ЕГЭ) является основной формой итоговой государственной аттестации в школе для всех выпускников школ Российской Федерации.

Другие похожие документы..