Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Решение'
1.1. Настоящее Положение в соответствии с действующим законодательством Российской Федерации, Уставом и иными документами Некоммерческого партнерства...полностью>>
'Закон'
планових перевірок відділом державного контролю у сфері житлово-комунального господарства Інспекції державного архітектурно-будівельного контролю за ...полностью>>
'Экзаменационные вопросы'
21. Плательщики налога на доходы физических лиц, объект налогообложения, налоговые вычеты, порядок уплаты налога отдельными категориями налогоплатель...полностью>>
'Публичный отчет'
Налогоплательщики независимо от наличия у них обязанности по уплате налога и (или) авансовых платежей по налогу, особенностей исчисления и уплаты нал...полностью>>

3. 1 Электромагнитные поля в эмус и их основные уравнения

Главная > Документ
Сохрани ссылку в одной из сетей:

3.1 Электромагнитные поля в ЭМУС и их основные уравнения

Изучение, моделирование и проектирование электротехнических устройств (ЭТУ) основано на трёх фундаментальных теоретических дисциплинах: электромагнетизм, термодинамика и механика. Действие электрического или магнитного поля или их совокупности – электромагнитного поля определяет работу электрических машин и аппаратов, трансформаторов и других ЭТУ. По распределению этих полей в перечисленных устройствах и их изменению во времени можно определить интегральные показатели и характеристики устройства как в установившихся, так и в переходных режимах. Например, при известной индукции и напряжённости магнитного поля можно рассчитать магнитный поток и электродвижущие силы (ЭДС) в электрогенераторах, вращающие моменты в электродвигателях, силы притяжения или отталкивания в контакторах, потери от собственных или наведённых токов и т. д.

Тепловые поля определяют температуру, скорость и степень нагрева, режимы, условия и способы охлаждения ЭТУ, их элементов, а также других устройств, работа которых обеспечивается ЭТУ или наоборот, которые обеспечивают работу ЭТУ. Механические нагрузки и напряжения, возникающие, некоторым образом распределяющиеся и изменяющиеся, например, в быстро вращающемся роторе электрической машины вследствие растягивающих усилий, вызываемых центробежными силами, действующими на ротор, непосредственно влияют на механическую стабильность и прочность конструкции ротора, а также на магнитные и гистерезисные свойства активных материалов ротора. Последнее также напрямую влияет на рабочие показатели и характеристики ЭТУ.

Все электромагнитные явления, которые имеют место в электротехнических устройствах, в общем случае описываются уравнениями Максвелла в частных производных. Если полностью пренебречь токами смещения, что допустимо при обычно используемых на практике значений скоростей и частот, то имеет место следующая общая модель электромагнитных явлений на основе уравнений Максвелла [1]:

rot

E = – d B / d t ,

(3.1)

rot

H = J ,

(3.2)

div

B = 0 ,

(3.3)

div

D =  ,

(3.4)

B =  H + B r ,

(3.5)

D =  E ,

(3.6)

J =  E ,

(3.7)

где E и D – соответственно векторы напряжённости и индукции электрического поля; H и B – векторы напряжённости и индукции магнитного поля; J – плотность тока;  – объёмная плотность заряда; B r – вектор индукции остаточной намагниченности; t – время;  и  – соответственно магнитная и диэлектрическая проницаемости;  – удельная электрическая проводимость. В зависимости от используемых материалов величины , ,  могут быть либо скалярами, как в случае изотропных материалов, либо тензорами, позволяющими учесть анизотропию, часто встречающуюся в электрических машинах.

Уравнения (3.1), (3.2) отражают электромагнитную связь; (3.3), (3.4) – непрерывность поля; (3.5), (3.6) – описывают свойства материалов; (3.7) – закон Ома. В совокупности эти уравнения описывают все электромагнитные явления. Однако в большинстве случаев уравнения нельзя решить аналитически по целому ряду причин: сложность геометрических форм электротехнических устройств, в том числе наиболее сложных из них – электромеханических преобразователей энергии, и их элементов: магнитопроводов, часто собранных из пластин, обмоток, имеющих лобовые части, и других; невозможность аналитически описать свойства проводниковых, полупроводниковых и магнитных материалов, их зависимости от тепловых, механических и иных воздействий и т. п. С другой стороны, для конкретных устройств можно пренебречь некоторыми эффектами и тогда система уравнений принимает более простые формы.

Для улучшения понимания излагаемого материала в курсе лекций рассматриваются наиболее простые и вместе с тем типичные для элементов электротехнических устройств, в первую очередь электромеханических преобразователей энергии, поля. Приводимые примеры относятся к элементарным фрагментам полей магнитных систем электротехнических устройств, которые на практике являются весьма сложными, и уравнения, описывающие их, будут существенно сложнее, однако структура уравнений, принципы их составления и методы решения будут аналогичными.

3.2 Методы анализа электромагнитных полей в ЭМУС

Методы анализа электромагнитных полей подразделяются на экспериментальные, графические и математические [2].

Основные экспериментальные методы исследования полей следующие:

  • методы непосредственного измерения потенциалов и значений напряжённости поля;

  • методы построения картины поля (см. § 2.7 [2]) в области реальных полей посредством металлических стрелок, штырей и других видов зондов;

  • методы моделирования одних полей другими с помощью электролитических (электрических) ванн, заполненных жид­кими электролитами, и проводящих резиновых листов.

Экспериментальные методы позволяют получить реальное распределение поля, которое необходимо не только для физического моделирования и натурного макетирования ЭМУС и их элементов, но и для объективной оценки точности математического моделирования поля в ЭМУС, а, следовательно, и точности поверочных расчётов ЭМУС.

В курсе рассматриваются базовые экспериментальные методы: метод моделирования с помощью электрических сеток и методы моделирования с помощью электролитических (электрических) ванн и прово­дящих листов.

Графические методы могут применяться, в первую очередь, для построения картины потенциальных плоскопараллельных и плоскомеридианных полей с осевой симметрией и применяются тогда, когда математические методы не могут быть использованы. Графические методы сравнительно несложные в применении, но отличаются большой трудоёмкостью. Две их основные группы составляют методы, базирующиеся:

  • на свойствах линий равного потенциала и силовых линий;

  • на решении уравнений Лапласа в конечных разностях.

В курсе рассматриваются два наиболее часто применяемых графических метода: метод построения картины плоскопараллельного поля и метод ожидаемых путей.

Математические методы анализа электромагнитных полей, в свою очередь, подразделяются на аналитические и численные.

К основным аналитическим методам относятся:

  • метод конформных преобразований;

  • метод изображений;

  • метод разделения переменных и др. [3].

При проектировании электромеханических устройств и систем (ЭМУС), в первую очередь электромеханических преобразователей энергии, аналитические методы использовать весьма трудно, а во многих случаях невозможно из-за постоянно увеличивающейся геометрической сложности объектов проектирования, нелинейности характеристик активных материалов, используемых в них, и ряда других факторов.

Поэтому при проектировании ЭМУС в основном применяются численные методы анализа электромагнитных полей, в которых важнейшее значение имеет дискретизация, то есть воспроизведение области, в которой рассчитывается электромагнитное поле, в виде набора элементарных частей – элементов. Основные численные методы исследования полей следующие:

  • метод конечных элементов;

  • метод интегральных уравнений (вторичных источников);

  • метод сеток;

  • метод конечных разностей;

  • методы интегрирования и др. [2, 3].

В курсе рассматриваются три основных численных метода, применяемых для расчёта электромагнитных полей в ЭМУС, в первую очередь в электромеханических преобразователях энергии: конечных элементов, интегральных уравнений (вторичных источников) и сеток.

С помощью численных методов уравнения полей в частных производных преобразуются в систему алгебраических уравнений, решение которых даёт аппроксимацию поля в дискретных точках на плоскости и в пространстве. Метод конечных элементов в своей вариационной или проекционной формулировке исходит из соответствующей физической задачи, в методе конечных разностей применяется дискретизация уравнений поля в частных производных, а методы интегрирования используют теорему Грина для удовлетворения условий на границе [3].

Таким образом, численные методы расчёта электрических и магнитных полей приводят к системе алгебраических уравнений, порядок которой обычно совпадает с общим числом неизвестных, а оно, в свою очередь, может быть достаточно велико (сотни, тысячи). Для реализации численных методов осуществляется программирование решения задачи на ЭВМ. В процессе программирования сначала формируется схема вычислительной процедуры выбранного метода, в которую затем вводятся изменения, необходимые для конкретной задачи. После этого составляется программа на одном из алгоритмических языков и отлаживается на ЭВМ. Численные методы являются приближёнными, поэтому основным их недостатком является трудность оценки ошибок. Ошибки может вызывать как сам метод, так и применение ЭВМ: ошибки округления, случайный сбой и др. Как правило, алгоритмы и программы проверяются известными точными методами или сравнением результатов расчётов и экспериментов.

3.3 Графические методы анализа электромагнитных полей

в ЭМУС

Метод построения картины плоскопараллельного поля.

Этот графический метод позволяет определить среднее значение напряжённости поля в пределах клетки, ёмкость и проводимость, как электрическую, так и магнитную, между электродами. Для плоскомеридианного поля средние размеры клеток различны.

Рассматриваемый метод состоит в построении линий напряжённости v = const и эквипотенциальных линий u = const, то есть в построении в области плоскопараллельного поля между проводниками сетки по эквипотенциалям и перпендикулярным им линиям вектора поля, с последующим вычислением напряжённости в точках поля и ёмкости между электродами. Построение проводится так, чтобы силовые линии – линии напряжённости поля – были перпендикулярны эквипотенциалям и поверхностям проводников. При этом приращение потенциала напряжённости от одной эквипотенциали к другой должно быть постоянным:  u = const ;  v = const . Приращения выбираются такими, чтобы расстояния между эквипотенциалями  n и линиями вектора поля  S в каждой ячейке сетки были равны. В этом случае отношение  n /  S = 1 , то есть ячейки являются почти квадратными, но в разных областях поля имеют различный размер. Так для каждой ячейки обеспечивается примерно одинаковое отношение средних линий ячейки вдоль силовой линии и эквипотенциали. Выполнение этих условий возможно после нескольких построений.

Построение картины поля (рис. 3.4) начинается с участков, в пределах которых поле можно считать однородным. В этой области пространство между электродами делится на k равных частей. Первая эквипотенциальная линия, проводимая около электрода, по форме близка к форме электрода – поверхности электродов – эквипотенциали с потенциалами  1 и  2 . Нормально к этим потенциалям проводятся две линии вектора поля так, чтобы ячейки сетки были приблизительно квадратными. После этого строится следующая эквипотенциаль и т. д. Построение квадратной сетки можно осуществить только с нескольких попыток. Выражение для напряжённости поля E = – grad  заменяется приближённым выражением

.

Рис. 3.4 Электрическая схема замещения элементарного объёма среды

Рис. 3.5 Построение картины поля между заряженными телами вращения

с общей осью вращения

С учётом того, что  u = (  1 –  2 ) / k , рассчитывается среднее значение напряжённости поля в пределах соответствующей клетки:

E с р = (  1 –  2 ) / ( kn ) .

В областях поля, в которых эквипотенциали расположены гуще, напряжённость поля больше. Ёмкость на единицу длины

,

где М - число линий напряжённости v = const .

Построение картины поля между заряженными телами вращения с общей осью вращения (рис. 3.5) проводится в одной из меридианных плоскостей. При вращении картины поля вокруг оси заряженных тел каждая линия напряжённости поля опишет поверхность вращения. Эти поверхности строятся таким образом, чтобы поток между двумя соседними поверхностями был постоянным:   E = const . В этом случае средние размеры ячеек будут различны. Среднее значение напряжённости электрического поля в ячейке

,

где  S – среднее расстояние между соседними поверхностями в пределах ячейки, отсчитываемое в меридианной плоскости по направлению к эквипотенциали; 2  RS – площадь поперечного сечения канала, проводящего поток; R – расстояние от центра отрезка  S до оси вращения.

Из выражения для E с р следует, что  n /  S = 2  RU /   .

Метод ожидаемых путей – приближённый графический метод и не имеет критериев оценки точности и достоверности. В соответствии с ним поле разбивается на элементарные объёмные фигуры: кольца, усечённые конусы, призмы и др. Общая ёмкость, проводимость определяются как совокупность ёмкостей, проводимостей каждого элементарного объёма.

3.4 Экспериментальные методы анализа электромагнитных полей

в ЭМУС

Метод моделирования с помощью электрических сеток.

В соответствии с этим методом моделирования строится электрическая модель поля из большого числа элементов эквивалентной электри­ческой цепи. Каждый элементарный объём поля приближённо заменяется резисторами, конденсаторами и катушками индуктивности. С помощью конденсаторов и катушек индуктивности учитываются токи смещения и ЭДС, индуцируемые переменным магнитным током. Метод может быть применён и для модели­рования переменных электромагнитных полей и предполагает численное решение полевой задачи на ЭВМ.

Распределение потенциала в поле проводящей среды находится путём моделирования этого поля с помощью электрических схем. Моделируемая сплошная электропроводящая среда с электрической проводимостью  делится на элементарные объёмы, например кубы, каждый из которых представляется электрической схемой замещения. При моделировании постоянного (потенциального) поля схема замещения состоит из резисторов, которые располагаются по трём взаимно перпендикулярным координатным осям прямоугольной системы координат с началом в центре куба (рис. 3.6).

В центре куба резисторы соединяются в один узел O , а свободные концы 1–6 резисторов выводятся на грани куба и соединяются с резисторами соседних кубов. Сопротивления резисторов вычисляются по выбранному шагу сетки в направлении координатных осей  x ,  y и  z :

(3.19)

При  x =  y =  z = a все сопротивления равны R = 1 / ( 4  a ).

Рис. 3.6 Электрическая схема замещения элементарного объёма среды

Сопротивления резисторов на поверхности электрической сетки в два раза больше сопротивлений резисторов внутри сетки: R x =  x / / ( 2   yz ) = 1 / ( 2  a ) , а сопротивление на ребре куба сетки на границе поля вдоль линий тока в четыре раза больше: R x = ( 1 /  )  x / / (  yz ) = 1 / (  a ) . Источники исходного поля моделируются источниками тока I 0 ( напряжения U ) путём присоединения их к общему узлу O или к внешним точкам сетки. При этом

I 0 = 4 J ( x , y , z )  x ,  y ,  z ,

(3.20)

где J ( x , y , z ) – заданное распределение плотности тока источников. При  x =  y =  z = a ток I 0 = 4 J ( x , y , z ) a 3 . В этом случае для каждой ячейки справедливо уравнение

1 +  2 +  3 +  5 +  6 – 6  0 = ( J /  ) a 2 ,

(3.21)

которое моделирует конечноразностное уравнение Пуассона.

Распределение потенциалов в электрической сетке описывается уравнением с точностью до частных производных четвёртого порядка от  в проводящей среде, умноженных на a 2 / 4 !

Метод моделирования с помощью электролитических (электрических) ванн.

Этот метод моделирования применяется для экспериментального исследования двумерных и трёхмерных равномерных и неравно­мерных полей (потенциальных полей), описываемых уравнением Лапласа.

Экспериментальное моделирование одного потенциального поля другим основано на аналогии уравнений и подобии картин электростатиче­ского, электрического и магнитного полей. Электростатическое поле и магнитное поле постоянного магнитного потока заменяются электрическим полем тока низкой частоты с целью исключения явления поля­ризации, а также более лёгкого вос­произведения поля.

При моделировании полей необхо­димо соблюдать геометрическую конфи­гурацию и заданное расположение электродов (полюсов), а также гранич­ные условия. Двумерные поля иссле­дуются с помощью металлических листов или листов из проводящей бумаги. Трёхмерные поля моделируются с по­мощью наклонных ванн, заполненных слабо проводящей жидкостью. Во всех случаях эквипотенциальные линии ис­следуются с помощью зонда.

В ванну, заполненную электролитом, например, слабо подсоленной водой, погружаются металлические электроды. Форма ванны и электродов, взаимное рас­положение электродов должны соответствовать гранич­ным условиям моделируемого поля. К электродам под­водится небольшое переменное напряжение частотой в несколько Герц. Это позволяет уменьшить явление электролитической поляризации и нагрев электролита, снизить искажения поля. Искажающее влияние стенок и дна ванны уменьшается за счёт выполнения ванны из полупроводящих материалов. Кроме того, размеры ванны должны быть значительно больше расстояния между электродами и их линейных размеров.

Измерение потенциалов точек поля осуществляется с помощью зонда (штыря). При моделировании плоско­параллельных полей электроды погружаются на всю глу­бину электролита. В плоскомеридианном поле электроды, представ­ляющие собой тела вращения, погружаются в электро­лит на такую глубину, чтобы ось симметрии поля на­ходилась на поверхности электролита. При исследовании трёхмерного поля электроды по­гружаются в электролит полностью, а эквипотенциальные линии снимаются в нескольких параллельных плоскостях.

Неравномерные поля моделируются в ванне со сту­пенчатым дном, которое обеспечивает получение слоёв элект­ролита разной толщины. Эквипотенциальные линии снимаются так, чтобы по всему полю приращение потен­циала между потенциалями Δ  было одинаковым. По снятым эквипотенциалям строятся силовые линии. В ре­зультате получается полная картина моделируемого поля.

Линии вектора поля должны быть перпендикулярны линиям равного потенциала. Ячейки, образованные эквипотенциалями и линиями вектора поля, должны по возможности иметь форму криволинейных квадратов (квадраты на разных участках поля неодинаковы). Если между эквипотенциалями имеется n интервалов, то приращение потенциала Δ  = = U / n, а напряжённость поля в квадрате при расстоянии между эквипотенциалями a = E = Δ / a = U / (n a) . Ёмкость между электродами C = ε a m / n ( m – число интервалов между силовыми линиями). На основании аналогии между по­лями (см. § 2.9 [2]) осуществляется переход к моделируемому полю ( C = ε a m / n , G = γ m / n , Gм = μ a m / n ) .

Метод, в частности, позволяет прямо измерить сопротивление между электродами модели R , а по его значению рассчитать для соответствующих полей ёмкость между электродами C и магнитную проводимость G м :

;

(3.22)

где l / l  – отношение линейных размеров оригинала и модели;  – удельная проводимость электролита;  а ,  а – диэлектрическая и магнитная проницаемости сред моделируемых полей.

Метод моделирования с помощью прово­дящих листов.

Метод применяется только для моделирования плоскопараллельных полей, описываемых уравнением Лапласа, – потенциальных полей. Его суть состоит в следующем. На проводящем листе располагаются электроды, удельная электрическая проводимость которых должна быть значительно больше удельной электрической проводимости листа. В качестве материала проводящего листа целесообразно использовать проводящую бумагу. Материал электродов – металл, их форма, размеры и расположение на листе должны быть подобны форме, размерам и расположению электродов моделируемого устройства. С помощью зонда снимаются эквипотенциальные линии, затем строятся линии вектора поля, подобно тому, как это делается при использовании метода моделирования с помощью электролитической ванны.



Скачать документ

Похожие документы:

  1. 2 Характеристика и классификация аналитических методов оптимизации

    Документ
    Современное состояние теории электромеханических преобразо­вателей энергии характеризуется наличием развитой системы мате­матических моделей и алгоритмов анализа различных физических про­цессов в ЭМУС.

Другие похожие документы..