Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Документ'
Ні для кого не є секретом те, що на сьогодні вітчизняна система формування професійної кваліфікації та її стандартизації вкрай застаріла та не відпов...полностью>>
'Урок'
Особенности лироэпического рода литературы. М. Ю. Лермонтов. Детство, интерес будущего поэта к истории, народным преданиям, сказкам и былинам. «Песня ...полностью>>
'Документ'
ИМЯ ГРОССМЕЙСТЕРА САВЕЛИЯ ГРИГОРЬЕВИЧА ТАРТАКОВЕРА (1887 – 1956) хорошо известно любителям шахмат. Свободно владея многими языками, Тартаковер сотруд...полностью>>
'Документ'
Педагогічне керівництво родинно-шкільним вихованням дітей має здійснюватись у найбільш ефективних формах спільної діяльності сім’ї та школи. Найпошир...полностью>>

Бернстайн П. Б51 Против богов: Укрощение риска / Пер с англ (1)

Главная > Документ
Сохрани ссылку в одной из сетей:

1

Смотреть полностью








УДК 159.947.2 ББК 88.3 Б51

Перевел с английского А. Марантиди

Научный редактор Б. Пинскер

Бернстайн П.

Б51 Против богов: Укрощение риска / Пер. с англ. — М.: ЗАО «Олимп-Бизнес», 2000. — 400 с.: ил.

ISBN 5-901028-17-1 (рус.)

В этом уникальном исследовании, посвященном роли риска в нашем обществе, Питер Бернстайн доказывает, что освоение методов оценки риска и контроля над ним является одной из главных особенностей нашего времени, отличающих его от более ранних эпох. Риск — это скорее выбор, нежели жребий. Действия, которые мы должны предпринять в зависимости от имеющейся у нас свободы выбора, — вот что такое риск на самом деле. Чтобы судить о том, насколько современные методы манипулирования с риском являются благом или злом, следует изучить всю историю вопроса с самого начала. В книге рассказывается о плеяде мысли­телей, чья замечательная проницательность помогает нам научиться ставить бу­дущее на службу настоящему. Показав миру, как надо понимать и измерять риск и оценивать его последствия, они превратили деятельность в условиях риска в один из важнейших катализаторов прогресса современного западного общества. Изменение отношения к риску, обусловленное их достижениями, стимулировало страсть человека к игре и коммерческому риску, способствуя подъему качества жизни и технологическому прогрессу. «Против богов» — одна из редких книг, превращающих ознакомление с наиболее сложными проблемами нашего времени в поистине упоительное чтение.

Книга снабжена подробной библиографией и указателями. Предназначена как для экономистов, предпринимателей, историков науки, так и для широкого круга читателей.

УДК 159.947.2 ББК 88.3

This translation of «AGAINSTYLE="THE GODS» is published by arrangement with John Wiley & Sons, Inc. with the assistance of the British Council/ Publishers Association Russian Translation Scheme

All rights reserved. Published by John Wiley & Sons, Inc.

Все права защищены. Лицензионный перевод издания на английском

языке, выпущенного издательством «John Wiley & Sons, Inc.»

© Peter L. Bernstein, 1996

ISBN 5-901028-17-1 (рус.) © ЗАО «Олимп-Бизнес», перевод

ISBN 0-471-12104-5 (англ.) на русск. яз., оформление, 2000

Оглавление

О книге Питера Л. Бернстайна

«Против богов: Укрощение риска» 7

Об авторе 9

Предисловие к русскому изданию 11

Предисловие 15

Введение 19

Часть I. До 1200. Истоки 27

Глава 1. Ветры Эллады и игра в кости 29

Глава 2. Просто как I, II, III 41

Часть П. 1200-1700. Тысяча поразительных фактов 55

Глава 3. Игроки Ренессанса 57

Глава 4. Французские знакомства 75

Глава 5. Замечательные идеи замечательного галантерейщика 91

Часть III. 1700-1900. Измерить можно всё 115

Глава 6. Нужно учитывать природу человека 117

Глава 7. В поисках практической достоверности 134

Глава 8. Предельный закон хаоса 154

Глава 9. Человек с вывихнутыми мозгами 171

Глава 10. Стручки и риски 191

Глава 11. Фабрика счастья 206

Часть IV. 1900—1960. Туман неопределенности

и поиски точности 213

Глава 12. Мера нашего незнания 215

Глава 13. Радикально иная идея 233

Глава 14. Человек, который считал всё, кроме калорий 249

Глава 15. Странный случай с безымянным биржевым маклером... 266

Часть V. Степень убежденности: изучение неопределенности 287

Глава 16. Инвариантность не срабатывает 289

Глава 17. Концептуальный патруль 304

Глава 18. Причудливая система окольных сделок 324

Глава 19. В ожидании хаоса 349

Приложения 359

Примечания 361

Библиография 373

Предметно-тематический указатель 384

Указатель произведений, упомянутых в книге 392

Именной указатель 394

О книге Питера Л. Бернстайна «Против богов: Укрощение риска»

Питер Бернстайн выявил один из важнейших постулатов совре­менности: можно избежать ряда негативных последствий того или иного события, несмотря на то что риск — неизменный спутник нашей жизни, используя различного рода статистические методы, историко-социологический опыт и математический анализ. Подоб­ными страховыми механизмами могут быть и хеджирование, и ди­версификация, и т.д., что всесторонне описано в свойственной ав­тору занимательно-публицистической манере на примере изучения опыта деятельности институционального инвестора и анализа бир­жевой практики.

Автор в полном объеме раскрыл роль риска в хозяйственной деятельности человека, всесторонне охарактеризовал все имеющие­ся в арсенале теории вероятностей методы прогнозирования буду­щего с целью принятия эффективного решения, выбор которого минимизирует возможность пессимистического сценария.

Питер Бернстайн сумел превратить исследование достаточно сложных проблем в захватывающее и увлекательное чтение, а его книга «Против богов: Укрощение риска» должна заслуженно за­нять почетное место в библиотеке любого человека, мало-мальски склонного к анализу проблем текущего времени, его связи с про­шлым и возможным влиянием на будущее.

И. А. Егоров, Коммерческий директор CRUDEX OY

В этом уникальном исследовании, посвященном роли риска в нашем общест­ве, Питер Бернстайн доказывает, что освоение методов оценки риска и контроля над ним является одной из главных особенностей нашего времени, отличающих его от более ранних эпох. «Против богов: Укрощение риска» читается как роман, как хроника замечательных исканий интеллекта, ос­вободивших человечество от власти оракулов и гадалок с помощью мощных инструментов управления риском. Это увлекательное повествование о грече­ских философах и арабских математиках, о купцах и ученых, игроках и фи­лософах, известных всему миру интеллектуалах и малоизвестных, но сыг­равших значительную роль дилетантах, которые способствовали созданию современных методов привлечения будущего на службу настоящему, позво­ливших сменить беспомощную покорность судьбе активным выбором и при­нятием решений.

Когда инвесторы покупают акции, хирурги делают операции, инженеры про­ектируют мосты, предприниматели начинают новое дело, политики вы­ставляют свои кандидатуры на выборах, риск оказывается их неизменным партнером. Однако практика показывает, что сегодня риска бояться не нужно: стратегия поведения в условиях риска стала синонимом соревнования и использования благоприятных возможностей.

Бернстайн создал замечательные очерки жизни и деяний таких выдающихся интеллектуалов, как Омар Хайям, Паскаль и Бернулли, Байес и Кейнс, Маркович и Эрроу, Гаусс, Гальтон и фон Нейман. В свойственной ему зани­мательной литературной манере он освещает понятия вероятности, выбор­ки, регрессии относительно среднего, теории игр и соотношения рационально­го и иррационального в процессе принятия решений. В заключительных гла­вах книги поднимаются важные вопросы о роли компьютеров, соотнесенно­сти между фактами и субъективными представлениями, о роли теории хао­са и влиянии развивающихся рынков производных ценных бумаг и о возрас­тающем значении количественных методов. «Против богов» это одна из редких книг, превращающих ознакомление с наиболее сложными проблемами нашего времени в поистине упоительное чтение.

John Wiley & Sons, Inc.

Об авторе

Питер Л. Бернстайн — президент созданной в 1973 г. компании Peter L. Bernstein, Inc., предоставляющей экономические консуль­тации институциональным инвесторам и корпорациям. Он автор и издатель аналитических обзоров рынка капитала и производствен­ного сектора экономики «Economics and Portfolio Strategy», под­писчиками которых являются менеджеры и владельцы капиталов, превышающих в совокупности пять триллионов долларов. Берн­стайн был первым редактором выпускаемого с 1974г. «The Journal of Portfolio Management», консультантом и членом редколлегии которого состоит до сих пор.

Выпускник Гарварда и бывший член исследовательского подраз­деления Федерального резервного банка Нью-Йорка, Бернстайн в годы Второй мировой войны был капитаном ВВС, приписанным к Управлению стратегического обеспечения Европейского театра во­енных действий. В 1951 г., успев поработать преподавателем эконо­мики в Уильяме-колледже, а затем пять лет в коммерческом банке, он присоединился к имевшей национальную известность консульта­ционной фирме, где управлял миллиардными портфелями частных и институциональных инвесторов. В течение многих лет Бернстайн был адъюнкт-профессором в нью-йоркской Новой школе. Он регу­лярно читал лекции в США и в других странах, опубликовал семь книг по экономике и финансам, а также множество статей в профес­сиональных и общих изданиях. Последнюю из написанных им книг вы, уважаемый читатель, держите в руках. Эта книга была впер­вые опубликована в сентябре 1996г. издательством «John Wiley & Sons» и отмечена двумя премиями: премией Эдвина Г. Буза — как наиболее содержательная и новаторская работа в области управле­ния за 1996 и 1998гг., и премией Артура Келпа, которую Американ­ская ассоциация управления риском и страхования присудила за выдающийся оригинальный вклад в литературу о риске и страхо­вании. Среди сравнительно недавних книг стоит отметить «Неверо­ятные источники современной Уолл-стрит» («The Free Press», 1992). В 1997г. издательство «Princeton University Press» опубликовало его совместную работу с Фабоччи «STREETWISE: The Best of the Jour­nal of Portfolio Management», а в 1998г. издательство «Wiley» вы­пустило в свет его совместную работу с Дамодараном «Investment Management».

Бернстайн является почетным попечителем в отставке фонда Ассоциации управления инвестициями, состоял членом комитета по внешним связям факультета экономики Гарвардского университета и многие годы был управляющим и членом финансового комитета Фонда отставных университетских преподавателей.

В мае 1997г. Национальная ассоциация управления инвести­циями отметила Бернстайна своей высшей наградой — за профес­сиональные достижения, а в 1998г. она же почтила его присуждае­мой ежегодно премией имени Грэма и Додда «За выдающиеся пуб­ликации в области финансов».

Предисловие к русскому изданию

Я очень рад возможности написать предисловие к рус­скому изданию моей книги «Против богов: Укрощение риска». Перед сегодняшней Россией, ставшей на путь глубоких исторических преобразований, открывают­ся великолепные перспективы, сопряженные, однако, с опасностями, которые всегда подстерегают общест­во, переживающее столь радикальные перемены. Совет­ский режим пал. Все большая часть хозяйственной деятельности протекает вне рамок государственного вмешательства или планирования, и структура сис­темы социального страхования также претерпела ра­дикальные изменения. Мне хотелось бы поразмышлять об исторических перспективах драматического россий­ского опыта в свете основных проблем, затрагиваемых в этой книге.

Я намерен говорить в ней главным образом о влия­нии риска на функционирование экономики, но должен с самого начала подчеркнуть, что риск пронизывает все стороны нашей жизни: семейные отношения и со­стояние здоровья, полеты на самолете и пребывание в загрязненной окружающей среде. Однако главной осо­бенностью советской системы была организация хо­зяйственной жизни.

Перед Второй мировой войной во времена Великой депрессии даже многие консервативно настроенные люди в капиталистических странах не могли не при­ветствовать достижения советской экономики. Сове­ты сумели избежать страшной трагедии массовой без­работицы, которая охватила весь капиталистический мир. В капиталистических странах рискованные ре­шения, принятые под влиянием ошибочных прогнозов, довели уровень безработицы до 25%. Зато в условиях социализма система всеобъемлющего планирования сделала прогнозирование излишним — будущее, каза­лось, было под полным контролем общества. Система планирования породила иллюзию, что как в принципи­альном плане, так и на практике проблема риска ре­шена раз и навсегда. Не подозревая о том, что спустя пятьдесят лет советская экономика развалится, эко­номисты 1930-х годов активно вовлеклись в серьезный анализ и сопоставление достоинств рыночной и пла­новой экономики.

Но плановая экономика оказалась не в состоянии реализовать провозглашенные ею принципы, поскольку подчинялась законам, которых не может избежать ни одно общество. Даже самые выдающиеся специалисты по планированию не в силах предугадать все последст­вия принимаемых ими решений и управлять всеми обу­словленными этими решениями событиями. Риск не­устраним. Прогнозы, как и в капиталистической эко­номике, часто бывали неверны, поскольку многие эле­менты социалистической системы оказались неуправ­ляемыми. Не стоит рассчитывать, что публика всегда будет принимать решения, согласующиеся с предвиде­нием плановиков. К тому же ситуация в стране зави­сит от своевольных решений иностранных заказчиков, поставщиков и политических лидеров. Должностные лица, преследуя свои цели, фальсифицировали отчеты плановым органам, потребители нередко не желали покупать то, что было произведено специально для их пользы и удовольствия, соседние страны погрязали в соб­ственных трудностях, и, что было уж совсем скверно, советские лидеры пошли на огромный риск, создавае­мый «холодной войной». Такого рода проблемы не очень сильно давали о себе знать на заре советской системы, перед Второй мировой войной, но они приобрели особое значение, когда экономика достигла более высокого уровня развития в послевоенные годы.

В конечном счете различия между двумя эконо­мическими системами оказались значительно меньши­ми, чем предполагали советские лидеры. Прогнозирова­ние будущего важно для любого общества, которому приходится осуществлять необратимые инвестиции в капитальные фонды длительного пользования, такие, как заводы, электростанции, инфраструктура торгов­ли и сфера обслуживания. Но в любой экономической си­стеме нам не дано знать будущее, а значит, ошибки в прогнозах неизбежны. Это означает, что руководи­тели Госплана принимали решения с ровно такой же надеждой на успех, что и руководители капиталисти­ческих корпораций, например General Electric или Royal Dutch, только масштаб ошибок оказался намного боль­шим. Профессор Чикагского университета Фрэнк Найт, один из героев этой книги, с которым вы познакомитесь в главе 13, хорошо сформулировал проблему: «В экономи­ке проблема неопределенности неизбежна, потому что сам экономический процесс нацелен в будущее».

Советские специалисты по планированию были убеж­дены в преимуществах своего подхода, словно не замечая двух важных обстоятельств. Во-первых, как я уже от­метил выше, принимаемые ими решения были столь же рискованными, как и в капиталистической экономике, поскольку и они не имели возможности контролировать все последствия. Во-вторых, плановики были лишены сигналов об избытке или дефиците товаров, источни­ком которых в рыночной экономике является система свободных цен. Вольные цены это самая надежная основа хозяйственных решений, какие когда-либо изоб­ретал человек, хотя даже свободно меняющиеся цены могут при случае ввести в заблуждение и исказить истинное положение дел.

При Советах, когда конформизм был нормой поведе­ния, человек, готовый рисковать, чаще рассматривался как враг, а не как главный источник развития и сози­дания. В рамках капиталистической системы люди осознают неизбежность риска. Они идут на риск про­игрыша, потому что система открывает им возмож­ность выигрыша. Капиталистическая система смогла добиться высоких показателей экономического роста и роста жизненного уровня благодаря щедрому возна­граждению людей, принимающих на себя долгосрочный риск. Несмотря на значительные колебания уровня за­нятости и не столь всеобъемлющую систему социаль­ного страхования, можно надеяться, хотя и нет ника­ких гарантий, что такая система превзойдет плано­вую экономику.

Эта книга посвящена двум основным темам. Прежде всего, я рассказываю о том, что наиболее характерной чертой нашего времени, отличающей его от тысячеле­тий далекого прошлого, являются настойчивые усилия установить контроль над факторами риска и неопре­деленности. Великолепна мысль, что мы можем быть хозяевами своей судьбы. А вторая тема заключается в предостережении: эта вдохновляющая мысль не должна нас ослеплять. Великий английский философ XVII века Джон Локк писал: «...по воле Божьей мы вынуждены до­вольствоваться только, позволю себе сказать, полумра­ком вероятности...». Никогда наше будущее не будет вы­свечено ярким солнечным светом. Принимая решения, нужно помнить об этом.

Питер Л. Бернстайн, март 2000 г.

Предисловие

Предложение написать эту книгу исходило от по­койного Эрвина Гликса, тогдашнего президента «Свободной прессы». Эрвин был человеком, излу­чавшим чрезвычайно убедительную энергию и оба­яние. Хотя он считал, что мой богатый опыт специ­алиста по инвестициям гарантирует достаточную квалификацию для решения поставленной им за­дачи, очень скоро стало ясно, что, как я и опасал­ся, начало и конец риска не ограничиваются сте­нами Нью-Йоркской фондовой биржи.

Необъятность предмета обескураживала. Риск связан с наиболее сложными аспектами психоло­гии, математики, статистики и истории. Литера­тура о нем оказалась необозримой, а газетные за­головки приносили всё новые интересные сообще­ния. Мне пришлось стать разборчивым. Думаю, что отсутствие кое-какого важного материала является скорее результатом моего осознанного решения, чем недосмотра.

На этот раз я оказался в значительно большей зависимости от других людей, чем при написании прежних книг. Старые друзья, так же как и многие ранее незнакомые представители широкого круга разных профессий, оказали мне неоценимую по­мощь своими критическими и конструктивными предложениями. В этом случае множество точек зрения оказалось поистине благотворным. Моя бла­годарность всем им безгранична. Без них эта книга вообще не появилась бы.

Обычно выражения благодарности супругам и из­дателям помещают в конце предисловия, но сейчас мне хотелось бы начать именно с них, они этого за­служивают.

Барбаре, моей жене и партнеру по бизнесу, при­надлежат бесчисленные творческие идеи и конструк­тивные критические замечания — все это сущест­венно продвигало работу, и едва ли в книге найдет­ся страница, не несущая отпечаток ее влияния. До­бавлю еще, что, если бы не ее способность вносить порядок и систематичность во все, что мы делаем, меня бы, скорее всего, просто захлестнул хаос.

Майлс Томпсон из «John Wiley & Sons» сыграл чрезвычайно важную роль в создании книги. Мне выпала несомненная удача — выслушивать его ре­дакторские замечания и следовать его вдохновен­ным и профессиональным советам. Коллеги Майлса по издательству оказывали мне всевозможную по­мощь на протяжении всей работы. Выполненная Эвереттом Симсом перепечатка рукописи, его мас­терское умение освободить текст от всего лишнего, не повредив содержанию, помогли мне разобраться в путанице материала.

Не многие, оказывая помощь, выходят далеко за пределы своего профессионального долга. Я хо­чу выразить особую признательность Питеру Дай-ерти за множество бесценных замечаний и пред­ложений. Марк Крицман был моим неустанным лоцманом на мелях математики и статистики. Ри­чард Рогальски и его коллеги из Библиотеки Бар-кера в Дартмуте щедро снабжали меня нужной ли­тературой, чем сэкономили мне массу времени; неизменная приветливость Ричарда и постоянная готовность помочь сделали работу с ним настоя­щим удовольствием. Мартин Лейбович предоста­вил чрезвычайно ценный материал, который обо­гатил содержание книги. Ричард и Эдит Силла проявили себя неутомимыми исследователями на самых сложных этапах работы. Стэнли Когельман помог бесценными консультациями, касающимися анализа вероятностных методов. Леора Клаппер оказалась идеальным помощником в моих иссле­дованиях: неутомимым, вдохновенным, скрупу­лезным и исполнительным.

Молли Бейкер, Питер Бродски, Роберт Фергю-сон, Ричард Гейст и Уильям Ли были столь любез­ны, что прочли отдельные части первоначальной версии рукописи. Они дали мне необходимый стар­товый толчок, чтобы превратить сырой набросок в законченный материал.

Следующие лица также внесли большой вклад в мою работу и заслужили мою глубокую благо­дарность: Кеннет Эрроу, Джилберт Бассет, Уильям Бомол, Залман Бернстайн, Дорис Баллард, Пол Дэвидсон, Дональд Дьюи, Дэвид Даренд, Барбара Фотинатос, Джеймс Фрезер, Грэг Хаит, Роджер Хертог, Виктор Хьюи, Бертран Джакуиллат, Дэни­ел Канеман, Мэри Кентурис, Марио Лазерна, Дин ЛеБарон, Мишель Ли, Гарри Маркович, Мортон Майерс, Джеймс Норрис, Тодд Петцель, Пол Саму-эльсон, Роберт Шиллер, Чарлз Смитсон, Роберт Со-лоу, Мейр Стетмен, Марта Стил, Ричард Талер, Джеймс Тинсли, Фрэнк Трэйнер, Эймос Тверски (Эймос Тверски, сыгравший важную роль в написании глав 16 и 17, скоропостижно скончался прямо перед сдачей книги в печать) и Марина фон Н. Витман.

Восемь человек великодушно взяли на себя труд прочесть рукопись целиком и сделали много полез­ных и ценных критических замечаний. Каждый из них внес свой вклад в улучшение стиля и содержа­ния, но не они отвечают за ее недостатки. Это Тео­дор Аронсон, Питер Бродски, Джей Элайсберг, Ро­берт Хейлбронер, Питер Киндер, Чарлз Киндлебер-гер, Марк Крицман и Стивен Стиглер.

Я заканчиваю выражением благодарности моим покойным родителям, Аллену М. Бернстаину и Ирме Л. Дэвис, которым я обязан энтузиазмом, сделав­шим возможным создание этой книги.

Питер Л. Бернстайн

Посвящается Питеру Бродски

Введение

Что отделяет тысячи лет истории от того, что мы называем совре­менностью? Ответ на этот вопрос отнюдь не исчерпывается указани­ем на развитие науки, технологии, капитализма и демократии.

Далекое прошлое изобиловало блистательными учеными, мате­матиками, изобретателями, политическими философами. За сотни лет до Рождества Христова были составлены карты звездного неба, построена знаменитая Александрийская библиотека, придумана ев­клидова геометрия. Военные нужды требовали технических нов­шеств столь же ненасытно, как и ныне. Уголь, нефть, железо и медь служили людям в течение тысячелетий, а путешествия и свя­зи отмечены с самого начала писаной истории.

Отличительной чертой нашего времени, определяющей границу Нового времени, является овладение стратегией поведения в услови­ях риска, базирующейся на понимании того, что будущее — это не просто прихоть богов и что люди не бессильны перед природой. Пока человечество не перешло через эту границу, будущее остава­лось зеркалом прошлого или мрачной вотчиной оракулов и пред­сказателей, монополизировавших знания об ожидаемых событиях.

В этой книге рассказана история о плеяде мыслителей, чья заме­чательная проницательность помогает нам научиться ставить буду­щее на службу настоящему. Показав миру, как надо понимать риск, измерять его и оценивать его последствия, они превратили деятель­ность в условиях риска в один из важнейших катализаторов про­гресса современного западного общества. Подобно Прометею, они бросили вызов богам и осветили мрак, чтобы обуздать враждебность будущего. Их достижения изменили отношение к риску и направили страсть человека к игре и обогащению в русло экономического роста, подъема качества жизни и технологического прогресса.

Выявив разумные основания для оптимизации поведения в ус­ловиях риска, эти первопроходцы бросили в западную культуру те дрожжи, которые дали мощный толчок развитию науки и пред­приимчивости, создали современный мир скоростей, могущества, быстродействующих коммуникаций и финансовых хитросплете­ний. Их открытия относительно природы риска, искусства и науки выбора легли в основу нашей современной рыночной экономики, к которой стремятся присоединиться народы всего мира. При всех своих проблемах и ловушках свободная экономика, сердцевиной ко­торой является выбор, принятие решений, привела человечество к невиданному повышению уровня жизни.

Способность предвидеть возможные варианты будущего и выби­рать между альтернативными решениями лежит в основе современ­ных сообществ. Деятельность в условиях риска заставляет нас при­нимать множество решений — от распределения богатства до охра­ны здоровья населения, от ведения войны до планирования семьи, от определения размеров страховых выплат до использования при­стежных ремней, от выращивания зерна до продажи кукурузных хлопьев.

В прежние времена в сельском хозяйстве и промышленности, в управлении бизнесом и средствах связи использовались очень про­стые инструменты. Они часто отказывали, но для ремонта не тре­бовались сварщики, электрики, компьютерщики, консультанты в области бухгалтерии и капиталовложений. Неудача в одной облас­ти редко оказывала прямое влияние на положение в другой. Сей­час мы в нашей деятельности используем крайне сложные инстру­менты, и любой срыв может обернуться катастрофой с далеко идущими последствиями. Мы вынуждены постоянно опираться на оценку вероятностей неполадок и ошибок. Без использования тео­рии вероятностей и других инструментов управления риском ин­женеры не смогли бы строить огромные мосты через самые широ­кие реки, дома до сих пор отапливались бы каминами или печами, электростанции не существовали бы, полиомиелит продолжал бы калечить наших детей, самолеты не летали бы, а о космических полетах можно было бы только мечтать, Если бы не было множества видов страховки, смерть кормильца обрекала бы многие моло­дые семьи на голод и нищету, еще большее число людей не смогли бы пользоваться услугами здравоохранения и только немногие бо­гачи были бы в состоянии содержать собственный дом. Если бы фермеры не могли весной фиксировать цены на будущий урожай, они бы выращивали всего намного меньше, чем сегодня.

Если бы у нас не было эффективных рынков капитала, позво­ляющих владельцам сбережений диверсифицировать риск вложе­ний, если бы инвесторы имели возможность владеть акциями только одной компании (как было на заре капитализма), не смогли бы возникнуть такие крупные передовые предприятия, определяющие экономику нашего времени, как Microsoft, Merck, DuPont, Alcoa, Boeing, McDonald's. Способность управлять риском и вместе с тем вкус к риску, к расчетливому выбору являются ключевыми эле­ментами той энергии, которая обеспечивает прогресс экономики.

Ученый, сконструировавший ракету «Сатурн-5», которая доставила первый корабль «Аполлон» на Луну, так сформулировал эту же мысль: «Вам нужны клапаны, не до­пускающие утечки, и вы всячески пытаетесь создать такой клапан. Но в реальном мире все клапаны подтекают. Приходится определять, какая утечка будет не смер­тельной». (Из некролога Артура Рудольфа, «The New York Times», January 3, 1996.)

Современная концепция риска базируется на индо-арабской си­стеме счисления, которая стала известна на Западе семь или во­семь столетий назад. Однако серьезное изучение проблем, связан­ных с риском, началось только во времена Ренессанса, когда люди освободились от многих запретов и подвергли сомнению многове­ковые застывшие верования. Это было время, когда основные гео­графические открытия уже были совершены и земные ресурсы стали интенсивно эксплуатироваться, время религиозных смут, за­рождения капитализма и решительного поворота к научному по­стижению мира и устремленности в будущее.

В 1654 году, когда Ренессанс был в полном расцвете, шевалье де Мере, французский аристократ, в равной степени увлекавшийся азарт­ной игрой и математикой, предложил знаменитому французскому ма­тематику Влезу Паскалю решить головоломную задачу. Он поставил вопрос, как разделить между двумя игроками банк в неоконченной азартной игре, если один из игроков в этот момент выигрывает. Ма­тематикам была уже известна эта задача, которую сформулировал лет за двести до этого монах Лука Пацциоли, знаменитый тем, что привлек внимание тогдашних дельцов к двойной бухгалтерии и обу­чил таблице умножения Леонардо да Винчи. Паскаль обратился за помощью к Пьеру де Ферма, адвокату и блестящему математику. Результат их сотрудничества произвел в интеллектуальном мире эф­фект разорвавшейся бомбы. Случилось так, что анализ распространенной в XVII веке игры (Trivial Pursuit) привел к открытию теории вероятностей, ставшей математической основой теории риска.

Полученное решение головоломки Пацциоли означало, что чело­век впервые смог в ситуации с неоднозначно определенным исходом принимать решения и предвидеть будущее с помощью чисел. В Сред­невековье и Древнем мире, так же как в первобытных и земледель­ческих обществах, люди, сталкиваясь с проблемой выбора, прини­мали решения без четкого понимания риска, или природы принятия решения. Сегодня мы меньше, чем люди прошлого, полагаемся на суеверия и традиции не потому, что стали умнее, а потому, что наше понимание риска позволяет принимать решения, используя рацио­нальные методы.

Когда Паскаль и Ферма осуществили свой прорыв в таинствен­ный мир вероятности, общество переживало могучую волну ново­введений и исследований. К 1654 году шарообразность Земли стала установленным фактом, было открыто множество новых земель, по­рох обращал в пыль средневековые замки, книгопечатание с исполь­зованием наборного шрифта перестало быть новшеством, художники научились пользоваться перспективой, Европа богатела и Амстер­дамская фондовая биржа процветала. Несколькими годами раньше, в 1630 году, знаменитая дутая Голландская тюльпанная компания прогорела в результате выпуска опционов, очень напоминающих со­временные финансовые инструменты.

Следствием такого развития событий было изгнание мистицизма. К этому времени Мартин Лютер обнародовал свои тезисы и в изоб­ражениях Святой Троицы и святых перестали писать нимбы. Уиль­ям Гарвей открыл систему кровообращения, что опровергло меди­цинские воззрения древних, а Рембрандт создал картину «Урок ана­томии», поражающую безнадежным холодом белого обнаженного человеческого тела. В этих условиях кто-нибудь должен был разра­ботать теорию вероятностей, даже если бы шевалье де Мере не оза­дачил Паскаля своей головоломкой.

Шли годы, математики превратили теорию вероятностей из забавы игроков в могучий инструмент обработки, интерпретации и использо­вания информации. В условиях, когда остроумные идеи громоздились одна на другую, развитие количественных методов анализа риска, подтолкнувших наступление Нового времени, стало неудержимым.

К 1725 году математики уже соревновались друг с другом в со­ставлении таблиц ожидаемой продолжительности жизни, а британ­ское правительство для пополнения бюджета продавало права на по­жизненную ренту. К середине XVIII века в Лондоне уже вовсю велись операции по страхованию мореплавания.

В 1703 году Готфрид фон Лейбниц в письме к швейцарскому ма­тематику Якобу Бернулли заметил, что «природа установила шаб­лоны, имеющие причиной повторяемость событий, но только в боль­шинстве случаев»1. Это замечание подтолкнуло Бернулли к откры­тию закона больших чисел и разработке методов статистической выборки, получивших широкое применение в столь разных обла­стях, как опросы общественного мнения, дегустация вин, управле­ние складскими запасами и тестирование новых лекарств2). Заме­чание Лейбница — «но только в большинстве случаев» — оказа­лось более глубоким, нежели он мог предполагать, потому что ука­зывало на огромную роль риска: не будь риска, все было бы пред­определено и в мире, где каждое событие идентично предшеству­ющему, даже изменения были бы невозможны.

В 1730 году Абрахам де Муавр установил форму нормального рас­пределения, известного как колоколообразная кривая, и ввел понятие среднего квадратичного отклонения. Оба эти понятия привели к ши­рокоизвестному закону о среднем и являются важнейшими ингреди­ентами современной техники исчисления риска. Восемь лет спустя Даниил Бернулли, племянник Якоба и тоже выдающийся математик, впервые описал процесс выбора и принятия решений. И что еще важ­нее, он высказал мысль, что удовлетворение от любого малого при­ращения богатства «будет обратно пропорционально количеству уже имеющегося добра». Это внешне простодушное утверждение Бернул­ли объяснило, почему царь Мидас был несчастлив, почему люди нео­хотно идут на риск и почему нужно снизить цены, чтобы убедить лю­дей покупать большее количество товара. С тех пор закон Бернулли остается главной парадигмой рационального поведения и стал осно­вой современных принципов управления инвестициями.

Почти через сто лет после сотрудничества Паскаля и Ферма диссидентствующий английский священник по имени Томас Байес осуществил впечатляющий прорыв в статистике, продемонстриро­вав, как можно повысить качество решений на основе математи­ческой обработки сочетания новой и старой информации. Теорема Байеса рассматривает часто встречающуюся ситуацию, когда мы име­ем интуитивное суждение о вероятности некоторого события и хотим понять, как это суждение должно измениться после того, как со­бытие произошло.

В главе 7 подробно описываются достижения Якоба Бернулли. Закон больших чи­сел, по существу, утверждает, что различие между средними значениями величин, наблюдаемыми в выборке, и истинным средним значением по всей совокупности бу­дет уменьшаться при увеличении объема выборки.

Между 1654-м и 1760 годами были разработаны все средства, используемые нами сегодня в управлении риском при анализе ре­шений и выборе системы поведения, от строго рационального под­хода теории игр до хитросплетений теории хаоса. За пределами этого периода оказались только два важных открытия.

В 1875 году Фрэнсис Гальтон, двоюродный брат Чарлза Дарви­на и математик-дилетант, открыл регрессию, или возврат к сред­нему, объяснившую, почему взлет предшествует падению, а конту­ры туч подбиты серебристым сиянием. Принимая любое решение, базирующееся на предположении, что все вернется к «норме», мы используем понятие регрессии к среднему значению.

В 1952 году нобелевский лауреат Гарри Маркович (Markowitz), тог­да еще молодой аспирант, изучавший исследование операций в Чикаг­ском университете, используя математические методы, объяснил, по­чему неразумно помещать все яйца в одну корзину и почему инвестор, вкладывающий деньги в разные предприятия, может спать сравни­тельно спокойно. Это открытие положило начало интеллектуальному направлению, которое революционизировало Уолл-стрит, финансовое управление в корпорациях и процессы принятия деловых решений по всему миру. Последствия этого открытия ощутимы и сегодня.

История, которую мне предстоит рассказать, отмечена постоян­ным спором между теми, кто утверждает, что лучшие решения ос­новываются на квантификации и числах, определенных на основе анализа уже происшедших событий, и теми, чьи решения в боль­шей степени базируются на субъективных представлениях о неяс­ном будущего. Этот спор не разрешен и поныне.

Вопрос заключается в том, насколько прошлое определяет бу­дущее. Мы не можем вычислить будущее, потому что оно неизвес­тно, но мы научились использовать числа для понимания того, что произошло в прошлом. Так до какой степени можно надеяться, что ход событий в будущем будет соответствовать тому, что было в прошлом? Что важнее в ситуациях риска — факты, как мы их ви­дим, или наше субъективное представление о том, что скрывается за завесой времени? Является ли управление риском наукой или искусством? Можем ли мы хотя бы примерно определить, где на­ходится граница между этими двумя подходами?

Можно построить математическую модель, которая покажется объясняющей все трудности. Но когда мы столкнемся с повседневной жизнью, с постоянным потоком проб и ошибок, неоднознач­ность фактов и напор страстей могут перечеркнуть модель в считан­ные минуты. Покойный Фишер Блэк (Black), один из пионеров со­временной теории финансов, который бросил Массачусетский тех­нологический институт (МТИ) ради Уолл-стрит, говорил: «Рынки выглядят гораздо менее рациональными и упорядоченными с бере­гов Гудзона, нежели с берегов реки Чарли»2.

Со временем противопоставление квантификации, основанной на наблюдениях за прошедшими событиями, субъективной оценке бу­дущего приобрело куда большее значение. Современный математи­ческий аппарат управления риском содержит семена дегуманизации и саморазрушения. Нобелевский лауреат Кеннет Эрроу (Arrow) пре­достерегал: «Наши знания о ходе дел в обществе и в природе тонут в тумане неопределенности. Вера в определенность <...> бывала при­чиной многих бед»3. Освобождаясь от прошлого, мы можем стать ра­бами новой религии, убеждений столь же неправомерных, ограни­ченных и произвольных, как и старые предрассудки.

Наша жизнь связана с числами, но иногда мы забываем, что числа — всего лишь инструмент. У них нет души; они могут превра­титься в идолов. Многие из наших наиболее взвешенных решений получены с помощью компьютеров — этих хитроумных созданий рук человеческих, пожирающих числа, как ненасытные чудовища, и настойчиво требующих, чтобы им скармливали все большее ко­личество двоичных символов, которые они грызут, переваривают и выплевывают обратно.

Чтобы судить о том, являются ли современные методы управ­ления риском благом или злом, нужно изучить историю вопроса с самого начала. Мы должны знать, почему люди в прошлом ста­рались — или не старались — приручить риск, как они подходили к проблеме, какие типы мышления и языка возникли из их опыта и как их усилия, взаимодействуя с другими событиями, большими и малыми, влияли на развитие культуры. Такой подход приведет нас к более глубокому пониманию того, что есть и что нас ждет впереди.

Мы будем часто обращаться к случайным играм, закономерности которых важны не только для понимания игры в рулетку. Самые изысканные концепции управления риском и принятия решений возникли в результате анализа наиболее примитивных игр. Не нужно быть игроком или даже инвестором, чтобы заметить, что игры или инвестиции связаны с риском.

Игра в кости и рулетка, так же как рынки акций и облигаций, являются природными лабораториями для изучения риска, потому что они легко квантифицируемы; их язык — это язык чисел. Они могут многое рассказать нам о нас самих. Когда мы, затаив дыха­ние, следим за маленьким белым шариком, бегущим по вращающе­муся колесу рулетки, или звоним своему брокеру, чтобы он купил или продал какие-то акции, наше сердце колотится в унисон с чис­лами. И так всегда, когда исход дела зависит от случая.

Слово «риск» происходит от староитальянского risicare, означа­ющего 'отваживаться'. В этом смысле риск — это скорее выбор, не­жели жребий. Действия, которые мы готовы предпринять, что пред­полагает наличие у нас свободы выбора, — вот что такое риск на са­мом деле. А еще эта история помогает понять, что же это значит — быть человеком.



Глава 1

Ветры Эллады и игра в кости

Почему стратегия риска является исключительно современ­ным понятием? Почему должны были пройти тысячелетия, прежде чем добравшееся до Ренессанса человечество смогло пробиться через барьеры, стоящие на пути измерения риска и кон­троля над ним?

Ответить на этот вопрос нелегко. Мы начнем с главного. С са­мого начала писаной истории игра, эта квинтэссенция риска, была популярным развлечением, а частенько и пагубным пристрастием многих людей. Именно загадки азартной игры, а не глобальные вопросы о природе капитализма или проникновении в тайны гря­дущего подвигли Паскаля и Ферма на революционный прорыв в сферу вероятностных закономерностей. До этого момента на про­тяжении всей истории люди заключали пари и играли в азартные игры, не используя известной нам системы оценки шансов выиг­рыша или проигрыша. Выбор стратегии игры носил исключитель­но интуитивный характер и не направлялся никакими предписа­ниями теории.

В игре человек всегда склонен к безрассудству, поскольку она ставит его лицом к лицу с судьбой, никому не открывающей своих намерений. Мы ввязываемся в эту бескомпромиссную битву, пото­му что верим, что у нас есть могучий союзник — госпожа Удача, которая непременно вмешается в наши отношения с судьбой и принесет победу. Адам Смит, тонкий знаток человеческой приро­ды, определял мотивацию игрока как «свойственную большинству людей самонадеянную переоценку своих способностей и абсурдную веру в свою счастливую звезду»1. Следует отметить, что Смит, хотя и отдавал себе отчет в том, что человеческая предрасположенность к риску способствует экономическому прогрессу, высказал опасе­ние, что общество может пострадать, если эта склонность перейдет разумные границы. Поэтому он осторожно балансировал на грани морализирующих предостережений касательно пользы свободного рынка. Спустя сто шестьдесят лет ему вторил другой великий анг­лийский экономист Джон Мейнард Кейнс (Keynes): «Если основой развития страны становится прибыль от казино, пиши пропало»2.

Однако жизнь была бы скучна, если бы людям недоставало сме­лости и веры в свою звезду. Кейнс допускал, что «если бы челове­ку по его природе не свойственно было искушение испытать свой шанс... то на долю одного лишь холодного расчета пришлось бы не так уж много инвестиций»3. Никто не рискует в ожидании проиг­рыша. Когда Советы с помощью декретов и государственных пла­нов пытаются лишить неопределенность права на существование, они подрывают основы социального и экономического прогресса.

Игра приковывала к себе человечество в течение тысячелетий. Она завлекала всех — и отбросы общества, и наиболее респекта­бельные его слои.

Пока Христос страдал на кресте, легионеры Понтия Пилата разыгрывали в кости его одежду. Римского императора Марка Ав­релия постоянно сопровождал личный крупье. Граф Сэндвич, что­бы еда не отвлекала его от игорного стола, придумал закуску, ко­торая теперь носит его имя. Джордж Вашингтон во времена аме­риканской революции держал в своей палатке кучу игр4. Игра ста­ла синонимом Дикого Запада. И «Удача — наша леди в эту ночь» («Luck Be a Lady Tonight») стал одним из самых запоминающихся номеров в мюзикле «Парни и куколки» («Guys and Dolls») об азарт­ном игроке и превратностях игры.

Древнейшей известной нам игрой был вид игры в кости, в ко­торой использовали таранную кость или бабки5. Древний предок современной игральной кости представлял собой кубической формы кость, взятую из лодыжки овцы или оленя, плотную и без костно­го мозга, достаточно прочную, чтобы не ломаться при бросках. Эти кости были найдены при археологических раскопках во многих странах. В египетских гробницах обнаружены изображения игры в бабки, датируемые 3500 годом до Рождества Христова, а на гре­ческих вазах встречаются изображения молодых людей, бросающих кости в круг. Хотя в Древнем Египте азартные игры преследовались и игроков заставляли тесать камни для пирамид, результаты рас­копок свидетельствуют, что игрой в кости (кстати, со смещенным центром тяжести) не пренебрегали и фараоны. Американский крепе ведет свое происхождение от разных игр в кости, занесенных в Ев­ропу крестоносцами. Эти игры обычно назывались у нас «hazard» от al zahr, арабского названия бабок(Откуда и русское «азарт». — Примеч. науч. редактора.).

Карточные игры впервые появились в Азии, до этого карты ис­пользовались для гадания. В Европе они получили распространение после изобретения книгопечатания. Сначала карты были большими и квадратными, с пустыми уголками. Картинки (валеты, дамы и ко­роли) печатались только в одной ориентации, а не в двух, как стали делать позже, из-за чего игрокам иногда приходилось переворачи­вать их вверх головой, что выдавало партнерам наличие на руках картинок. Карты без закругленных уголков облегчали мошенниче­ство: их можно было слегка загибать, чтобы опознавать лежащие на столе карты. Картинки с двусторонней ориентацией и карты с за­кругленными уголками вошли в употребление только в XIX веке.

Покер, подобно крепсу, является американской разновидностью одной из ранее распространенных игр и был изобретен только 150 лет тому назад. Дэвид Хейано (Науапо) описал игру в покер как «тай­ные уловки, изощренную хитрость, просчитанную стратегию, пламен­ную веру в тайные невидимые силы... Ее не понять со стороны, это нужно испытать!»7. Согласно Хейано, около сорока миллионов аме­риканцев регулярно играют в покер и каждый убежден в своей спо­собности перехитрить партнера.

Самые притягательные из всех — чисто случайные игры, в кото­рые играют в казино, распространяющихся в наши дни подобно лес­ному пожару в некогда степенном американском обществе. В «The New York Times» от 25 сентября 1995 года приводятся сведения о превращении азартных игр в самую быстрорастущую отрасль эко­номики Соединенных Штатов с оборотом «40 миллиардов долла­ров, привлекающую больше клиентов, чем бейсбольные площадки и кинотеатры»8. «The Times» приводит утверждение профессора Ил-линойсского университета о том, что власти штатов для покрытия расходов на социальные службы и судебную систему платят по три доллара на каждый доллар, поступающий в бюджет от казино, — расчет, который Адам Смит мог бы предсказать.

В Айове, например, где до 1985 года не было даже лотереи, к 1995 году насчитывалось десять больших казино плюс ипподром и собачьи бега с круглосуточным тотализатором. В статье указыва­ется, что «примерно девять из десяти жителей Айовы считают себя игроками», 5,4% из них признают, что имеют проблемы, связанные с игрой, а пять лет назад таких было только 1,7%. И это в штате, где еще в 1970 году один католический священник попал в тюрьму за то, что играл в бинго (Азартная игра, напоминающая лото. — Примеч. переводчика.). Чистейшая форма al zahr (азарта) явно владеет нами.

Случайные игры следует отличать от игр, где имеет значение класс игры. Принципы рулетки, игры в кости, игрового автомата идентичны, но они только частично объясняют, что происходит при игре в покер, триктрак или на ипподроме. В некоторых играх ре­зультат зависит только от случая; в других на него влияет класс игрока. Шансы — вероятность выигрыша — это всё, что вам нужно знать для участия в случайной игре, но этой информации недоста­точно, чтобы предугадать, кто выиграет и кто проиграет, если исход игры зависит не только от везения, но и от класса игры. Встречают­ся гениальные профессиональные картежники и знатоки ипподро­ма, но никто не делает прибыльной профессии из игры в кости.

Многие считают, что биржа мало чем отличается от казино. Является ли выигрыш на бирже результатом сочетания умения с удачей, или это просто везение? Мы еще вернемся к этому вопро­су в главе 12.

Полосы невезения, как и полосы везения, встречаются в случай­ных играх, как, впрочем, и в жизни, довольно часто. Игроки реаги­руют на них на удивление асимметрично: они апеллируют к закону о среднем в надежде на скорое прекращение полосы невезения и вновь апеллируют к нему же, когда хотят, чтобы полоса везения длилась и длилась. Закон о среднем остается глух к их упованиям. При игре в кости результат предшествующей серии бросков не дает абсолютно никакой информации о том, что принесет следующий бросок. Карты, монеты, кости и рулетка не имеют памяти.

Игроки могут считать, что они ставят на красное или на семерку, но на деле они ставят на хронометр. Проигрывающий, торопя по­ворот в игре, склонен короткую серию неудач воспринимать как длинную. Выигрывающий, надеясь отдалить перемену фортуны, пред­почитает длинную серию считать короткой. Далекие от игровых столов менеджеры страховых компаний часто рассуждают так же. Они устанавливают размеры страховых взносов так, чтобы покрыть свои убытки в длительной перспективе; но если одновременно случатся землетрясения, пожары и ураганы, возможна очень болезненная ко­роткая полоса. В отличие от игроков страховые компании управля­ют капиталом и выделяют резервы на случай полосы неудач.

Время является важнейшим фактором в игре. Риск и время — разные стороны одной медали, потому что, если бы не было завтра, не было бы и риска. Время преобразует риск, и природа риска скры­вается за его горизонтом: будущее — это стол для игры.

Роль времени возрастает, если решения необратимы. Тем не ме­нее такие решения часто приходится принимать на основе несовер­шенной информации. Необратимость постоянно довлеет над многи­ми решениями: ехать на метро или на такси, строить ли автомо­бильную фабрику в Бразилии, переходить ли на другую работу, объ­являть ли войну.

Покупая сегодня акции, мы всегда можем продать их завтра. Но что нам делать после возгласа крупье «Ставки сделаны, госпо­да!»? Что делать, когда партнер по покеру удваивает ставку? Здесь нет пути назад. Не следовало ли воздержаться от игры в надежде, что через некоторое время удача повернется к нам лицом и кости лягут в нашу пользу?

Гамлет осуждал колебания перед лицом неизвестности, потому что «...решимости природный цвет / Хиреет под налетом мысли бледным, / И начинанья, взнесшиеся мощно, / Сворачивая в сто­рону свой ход, / Теряют имя действия» (Перевод М. Лозинского. — Примеч. переводчика.). Однако, решившись дей­ствовать, мы теряем право переждать до поступления новой ин­формации. В этом смысле бездействие имеет свою цену. Чем больше степень неопределенности исхода, тем ценнее может оказаться возможность отложить действие на потом. Гамлет не прав: колеблю­щийся находится на полпути к цели.

Описывая устроение мирового порядка, греческая мифология использует гигантскую игру в кости для объяснения того, что совре­менные ученые называют Большим взрывом. Три брата разыграли мироздание в кости: Зевс выиграл небеса, Посейдон — море, а про­игравший Аид спустился в ад, став хозяином подземного царства.

Теория вероятностей кажется созданной специально для греков, для их склонности к игре, математических способностей, логическо­го мышления и страсти к доказательствам. Однако, будучи самым цивилизованным из всех древних народов, они тем не менее не про­никли в ее пленительные пределы. Это удивительно, потому что к то­му времени это была единственная цивилизация, относительно сво­бодная от доминирования жречества, монополизировавшего связь с тайными силами. Цивилизация, как нам кажется, смогла бы разви­ваться гораздо быстрее, если бы греки предугадали то, что их интел­лектуальным наследникам — людям Ренессанса — удалось открыть через две тысячи лет.

Однако склонные к теоретическому осмыслению мира греки ма­ло интересовались применением теории к какой бы то ни было тех­нологии, которая могла бы изменить их представления о возможно­сти воздействовать на будущее. Когда Архимед изобрел рычаг, он объявил, что может сдвинуть Землю, если найдется соответствую­щая точка опоры, но это его, по-видимому, не очень занимало. По­вседневная жизнь греков, их отношение к ней оставались в основном теми же, что и у их предков, живших за тысячи лет до них. Они охо­тились, ловили рыбу, сеяли хлеб, рожали детей и использовали тех­нику строительства, копирующую достижения тех, кто строил в меж­дуречье Тигра и Евфрата и на берегах Нила.

Поклонение ветрам было единственной формой управления рис­ком, которая привлекала их внимание: поэты и драматурги посто­янно воспевали зависимость от ветров и любимые дети приноси­лись в жертву для их умиротворения. Но самое главное, грекам недоставало системы счисления, которая позволила бы им счи­тать, вместо того чтобы просто фиксировать результаты своей де­ятельности9.

Я не собираюсь утверждать, что греки не размышляли о природе вероятности. Древнегреческое слово zixoq (eihos), которое означает 'правдоподобный' или 'вероятный', имеет тот же смысл, что и со­временное понятие вероятности: «ожидаемое с некоторой степенью определенности». Сократ определял eixo? как 'правдоподобие' (Точнее было бы сказать «истиноподобие». — Примеч. науч. редактора.)10.

Определение Сократа выявляет весьма серьезную тонкость. Правдоподобие не то же самое, что истина. Для греков исти­на — это то, что можно доказать с помощью логики и аксиом. Их настойчивое требование доказательств противопоставляет истину эмпирике эксперимента. Например, в «Федоне» Симмиас обращает внимание Сократа на то, что «предположение, будто душа пребывает в гармонии, вообще ничем не подтверждено, а остается только вероятным». Аристотель выражает недовольство философами, кото­рые «...говорят хоть и правдоподобно... не говорят, что есть истина». В другом месте Сократ предваряет Аристотеля, когда декларирует, что «математик, который исходит из вероятности в геометрии, не за­служивает внимания»11. Еще пару тысяч лет после этого раздумья об играх и игра оставались разными видами деятельности.

Самуил Самбурски (Sambursky), выдающийся израильский ис­торик и философ-науковед, приводит единственный убедительный тезис, который, на мой вкус, объясняет, почему греки не сделали стратегический шаг для развития количественного подхода к веро­ятности12. Проводя четкое разграничение между истиной и вероят­ностью, замечает Самбурски в статье, написанной в 1956 году, греки и не могли усмотреть никакой основательной структуры или гар­монии в беспорядочной природе повседневного существования. Хотя Аристотель утверждал, что люди должны принимать решения на основе «желаний и рассуждений, направленных к какой-либо це­ли», он не дал рецептов определения вероятности успешного исхо­да. Греческие трагедии рассказывают историю за историей о бес­помощности человека в тисках безликого рока. Когда греки хотели узнать, что может принести им завтрашний день, они обращались не к своим мудрым философам, а к оракулам.

Греки верили, что упорядоченность можно найти только на не­бесах, где планеты и звезды с неподражаемой регулярностью появ­ляются в установленных местах. К этой предустановленной гармо­нии они относились с большим почтением, и их математики интен­сивно ее изучали. Но совершенство небес только подчеркивало несо­вершенство земного существования. Более того, предсказуемость не­бесной тверди резко контрастировала и с поведением пребывающих там непостоянных и глупых богов.

Древние еврейские философы-талмудисты смогли подойти к проб­леме квантификации риска чуть ближе. Но и у них мы не обнару­живаем следов методического подхода к его пониманию. Самбурски цитирует отрывок из Талмуда, где философ объясняет, что муж мо­жет развестись с женой в случае прелюбодеяния, не наказывая ее, но не в случае, если он заявляет, что прелюбодеяние совершено до заключения брака13.

«Здесь есть двойное сомнение», — декларирует Талмуд. Если установлено (непонятно, как), что невеста взошла на брачное ложе не девственницей, то, с одной стороны, сомнительно, ответствен ли за это сам жених — случилось ли это «под ним... или не под ним». Касательно другой стороны сомнения приводится следующий аргумент: «И если ты говоришь, что это случилось под ним, остается сомнение, было ли это насильно или по ее свободной воле». Каж­дый альтернативный ответ на каждый из двух вопросов имеет шансы 50 на 50. С впечатляющей статистической точностью фило­соф заключает, что есть только один шанс из четырех (V2 х i/2), что женщина виновна в совершении прелюбодеяния. Это означает, что муж не может развестись с ней на этом основании.

Трудно избавиться от искушения рассматривать промежуток вре­мени между изобретением игры в кости и открытием вероятност­ных законов как историческую случайность. Ведь и греки, и уче­ные-талмудисты были так близки к анализу, предпринятому Пас­калем и Ферма много столетий спустя, что недоставало только лег­кого толчка для следующего шага.

Тем не менее это не случайность. Прежде чем наука смогла включить понятие риска в культуру, должно было измениться от­ношение не к настоящему, а к будущему.

Ко времени Ренессанса люди воспринимали будущее как нечто мало отличающееся от случайности или как результат беспорядоч­ных изменений и большую часть решений принимали инстинктив­но. Когда условия жизни так тесно связаны с природой, мало что остается под контролем человека. Пока зависимость от внешнего мира сводит интересы людей к основным функциям выживания — рождению детей, выращиванию хлеба, охоте, рыболовству и строи­тельству жилища, — они просто не способны обсуждать условия, при которых могла бы появиться возможность влиять на послед­ствия их решений. Пока будущее остается тайной за семью печа­тями, сэкономить не значит заработать.

По крайней мере вплоть до крестовых походов большинство лю­дей вело довольно монотонную, скудную на неожиданные события жизнь. Укорененные в стабильных социальных структурах, они не очень много внимания уделяли войнам, смене правителей и даже религиозным реформам. Изменения погоды волновали их чаще. Как отметил египтолог Генри Франкфорт, «прошлое и будущее, не вы­зывая особого интереса, были полностью имплицированы в насто­ящем»14.

Несмотря на такое отношение к будущему, за столетия, разделя­ющие античность и Ренессанс, цивилизация продвинулась далеко вперед. Этому не смогло помешать отсутствие современного взгляда на риск. И ее (цивилизации) успехи сами по себе не стали доста­точной мотивацией для побуждения людей к исследованию воз­можностей научного предвидения.

Когда христианское учение получило распространение в запад­ном мире, воля единого Бога стала проводником в будущее, заме­нив мешанину божеств, которым люди поклонялись с древнейших времен. Это привело к серьезному сдвигу в миропонимании: буду­щая жизнь на земле оставалась тайной, но теперь она была пре­допределена силой, чьи влияние и принципы были ясны каждому, кто взял на себя труд ознакомиться с ними.

С тех пор как представления о будущем стали предметом мора­ли и веры, оно перестало казаться таким непостижимым, как прежде, но тем не менее еще не позволяло строить какие-либо ма­тематические прогнозы. Ранние христиане ограничивались в своих пророчествах тем, что будет в загробной жизни, хотя и молили Бо­га повлиять на события в этом мире в свою пользу.

Однако со временем поиски путей улучшения жизни на земле становились все более настойчивыми. В X веке христиане уже пла­вали на большие расстояния, знакомились с новыми странами и на­родами, проникались новыми идеями. Потом начались крестовые походы, которые привели к взрыву интеллектуальной активности. Запад столкнулся с империей арабов, созданной в ходе распростра­нения мусульманства и простиравшейся на восток до Индии. Христи­ане с их верой в загробную жизнь встретились с арабами, обладав­шими несравненно большей интеллектуальной утонченностью, чем незваные пришельцы, явившиеся изгнать их со святой земли.

Арабы после вторжения в Индию познакомились с индийской системой счисления, которая позволила им состыковать интеллекту­альные достижения Востока с собственными философскими и науч­ными исследованиями и экспериментами. Результаты не заставили себя ждать, сначала у арабов, затем на Западе 11.(Питер Киндер в связи с этим обратил мое внимание на иронию исторической судь­бы. Викинги и другие северные народы, сокрушившие цивилизацию Рима и унич­тожившие памятники его культуры, в IX веке вновь появились на историческом не­босклоне под именем норманнов, которые в XII веке перенесли на Запад достижения арабской культуры (в том числе и заимствования из античности).

В руках арабов индийские числа превратились в математические инструменты измерения в астрономии, навигации и коммерции. Новые методы вычислений постепенно вытеснили счеты, которые по­всеместно, начиная с Западного полушария, где ими пользовались майя, включая Европу и вплоть до стран Востока и Индии, в тече­ние многих веков были единственным средством выполнения ариф­метических расчетов. Слово abacus 'счеты' происходит от греческо­го слова abax, что означает 'песочный лоток'. Внутри этих лотков на песке выкладывались колонки из гальки15. Слово calculate 'счи­тать' происходит от латинского calculus, что по-латыни означает 'галька'.

Прошло свыше пяти веков, пока новая система счисления за­менила примитивные счеты и на место бегающих костяшек при­шли вычисления на бумаге. Письменные вычисления стимулиро­вали абстрактное мышление, открыв путь развитию неизвестных в прошлом разделов математики. Теперь стали возможны более про­должительные морские путешествия, более точное исчисление вре­мени, более сложная архитектура, стали быстрее развиваться про­изводства. Современный мир был бы иным, если бы мы всё еще считали с помощью I, V, X, L, С, D и М или с помощью греческих или еврейских букв вместо цифр.

Однако перехода к арабским цифрам было недостаточно, чтобы побудить европейцев к радикальному переходу от гадательного к систематическому вероятностному подходу к будущему, подразу­мевающему возможность предвидения и в определенной степени контроля над ним. Для такого перехода необходимо было дождать­ся отказа от убежденности в том, что люди являются игрушкой в руках судьбы и их будущее предопределено Богом.

Ренессанс и Реформация расчистили сцену для изучения пробле­мы риска. Когда в XIV веке мистицизм стал уступать место науке и логике, греческие и римские архитектурные формы начали вытес­нять готику, церковные окна открылись для света, а скульпторы стали изображать твердо стоящих на земле мужчин и женщин вмес­то стилизованных бесплотных и невесомых фигур. Новые идеи сти­мулировали изменение характера искусства, усиливая протестант­скую реформацию и ослабляя господство католической церкви.

Реформация представляет собой нечто большее, чем изменение отношений человека с Богом. Отказ от исповедальни предупреждал человека, что с этого момента он должен прочно стоять на собствен­ных ногах и нести полную ответственность за свои решения.

Но раз уж люди перестали быть заложниками произвола безлич­ного божества и слепого случая, они не могли больше сохранять пас­сивность перед лицом неведомого будущего. Хотели они того или нет, им пришлось взять на себя решения, касающиеся значительно более длинного ряда обстоятельств и гораздо больших промежутков времени, чем когда-либо прежде. Понятия бережливости и воздержа­ния, характерные для протестантской этики, свидетельствуют о том, что будущее стало важнее настоящего. С этим изменением отноше­ния к выбору и решениям люди постепенно усвоили, что будущее столь же опасно, сколь и благоприятно, что оно не предопределено и обещает многое. XVI и XVII столетия были веками географиче­ских открытий, контактов с новыми странами и новыми общест­вами, экспериментирования в искусстве, поэзии, науке, архитектуре и математике. Осознание новых возможностей привело к бурному развитию ремесел и торговли, ставшему в свою очередь мощным стимулом для последующих изменений и исследований. Колумб вовсе не собирался в круиз по Карибскому морю, — он хотел проложить новый торговый маршрут в Индию. Возможность разбогатеть — сильная мотивация, но мало кому удается разбогатеть, не вступая в азартную игру.

Пусть столь прямолинейное утверждение режет слух, но торгов­ля — взаимовыгодный процесс и оба партнера при этом становятся богаче. Какая радикальная идея! До этого момента богатство было преимущественно результатом эксплуатации или грабежа. Хотя ев­ропейцы продолжали разбойничать на море, дома накопление богат­ства стало доступным скорее многим, нежели избранным. Теперь богатели не наследные принцы и их фавориты, а люди крутые, про­ворные, предприимчивые, склонные к новаторству — большей частью предприниматели.

Торговля — рискованное дело. Когда развитие ремесел и торгов­ли изменило правила игры, определяющие процесс накопления бо­гатства, неожиданным результатом этого стал капитализм, как во­площение деятельности в условиях риска. Но капитализм не смог бы достичь расцвета, если бы не два новых вида деятельности, без которых люди обходились, пока будущее считалось делом случая или воли Божьей. Первым был бухгалтерский учет — скромная ра­бота, которая способствовала распространению новых методов учета и расчета. Вторым было прогнозирование — деятельность гораздо менее скромная и требующая гораздо большей активности, связан­ной с принятием рискованных решений, чреватых неожиданными результатами.

Вы не возьметесь перевозить товары через океан, или закупать товары на продажу, или занимать деньги, не попытавшись перед этим узнать, что ждет вас впереди. Доставка в срок заказанных вами материалов, получение всех товаров, которые вы собираетесь продать, в соответствии с заказной спецификацией, установка вашего торгового оборудования — всё нужно спланировать и органи­зовать до того момента, когда появится первый клиент и выложит деньги на прилавок. Успешное ведение бизнеса — это в первую очередь предвидение и только потом покупка, производство, мар­кетинг, оценка и организация продажи.

Люди, с которыми вы встретитесь в последующих главах, рас­сматривали открытия Паскаля и Ферма как начала мудрости, а не как решение интеллектуальной головоломки, возникшей на попри­ще азартных игр. Им хватило смелости энергично взяться за ис­следование многих аспектов риска, требующее решения проблем нарастающей сложности и огромной практической важности, и при этом осознать, что этот предмет связан с самыми фундаментальны­ми аспектами человеческого существования.

Но философия должна ненадолго отойти в сторонку, потому что история начнется с самого начала. Современные методы познания неведомого начинаются с измерения, с шансов, с вероятности. Числа пришли первыми. Но откуда они пришли?

Глава 2

Просто как I, II, III

Без цифр не было бы ни шансов, ни вероятностей; без шансов и вероятностей идущему на риск остается надеяться только на Бога или судьбу. Без цифр риск — это просто нахрап. Мы живем в мире цифр и вычислений. Утром, едва продрав глаза, мы смотрим на часы, а потом считаем ложки кофе, засыпая его в кофеварку. Мы платим за квартиру, изучаем вчерашний курс акций, набираем телефон приятеля, проверяем, сколько осталось бензина в машине, следим за скоростью по спидометру, нажимаем на кнопку нужного этажа в лифте своей конторы и набираем циф­ры кодового замка на ее двери. И это только начало дня, который окончится отключением перед отходом ко сну телевизионного ка­нала номер такой-то.

Нам трудно представить себе время, когда не было цифр. Одна­ко если мы постараемся представить себе хорошо образованного человека, скажем, 1000 года в современной обстановке, то заме­тим, что он наверняка не обратит внимания на цифру ноль и не сможет сдать арифметику за третий класс; его потомок 1500 года окажется не намного лучше.

История цифр на Западе началась в 1202 году, когда подходило к концу строительство Шартрского кафедрального собора и завер­шался третий год правления английского короля Джона. В этом году в Италии появилась книга, озаглавленная «Liber Abaci», или «Книга о счётах». Все ее пятнадцать глав были написаны от руки — ведь до изобретения книгопечатания оставалось почти триста лет. Ее автору Леонардо Пизано было всего двадцать семь лет, и он был очень удачливым человеком: его книга получила одобрение самого императора Священной Римской империи Фридриха П. О лучшем нельзя и мечтать1.

Большую часть своей жизни Леонардо Пизано был известен как Фибоначчи, под этим именем он и вошел в историю. Его отца зва­ли Боначио, а его — сын Боначио, т. е. Фибоначчи. Боначио озна­чает 'простак', а фибоначчи — 'чурбан'. Однако Боначио, по-види­мому, был не совсем простаком, поскольку он представлял Пизу в качестве консула во многих городах, а его сын Леонардо тем более не был чурбаном.

Фибоначчи был подвигнут к написанию «Liber Abaci» во время визита в Багио, процветающий алжирский город, где его отец пре­бывал в качестве пизанского консула. Там он столкнулся с чудеса­ми индо-арабской системы счисления, перенесенной арабскими ма­тематиками на Запад во время крестовых походов. Ознакомившись со всеми вычислениями, выполняемыми в рамках этой системы, которые даже не снились математикам, использовавшим римскую систему счисления, он постарался изучить ее как можно более дос­конально. Чтобы поучиться у арабских математиков, живших по берегам Средиземного моря, он предпринял путешествие в Египет, Сирию, Грецию, Сицилию и Прованс.

В результате появилась книга, необычная со всех точек зрения. «Liber Abaci» открыла европейцам новый мир, в котором для пред­ставления чисел вместо букв, применяемых в еврейской, греческой и римской системах счисления, использовались цифры. Книга бы­стро привлекла внимание математиков как в Италии, так и по всей Европе.

«Liber Abaci» — это далеко не букварь по чтению и написанию новых численных символов. Фибоначчи начинает с объяснения, как по количеству символов, представляющих число, определить, включа­ет ли оно только единицы, или десятки, или сотни и так далее. В сле­дующих главах рассматриваются более сложные вопросы. Здесь мы находим вычисления, использующие все виды чисел и дробей, пра­вила пропорции, извлечение квадратных корней и корней высших степеней и даже решение линейных и квадратных уравнений.

Каким бы остроумным и оригинальным ни было содержание книги Фибоначчи, она наверняка не смогла бы привлечь к себе много внимания за пределами узкого круга знатоков математики, если бы в ней излагались только теоретические вопросы. Огромный успех книги объяснялся тем, что Фибоначчи насытил ее примерами практического применения изложенных в ней методов. Там, в част­ности, описаны и проиллюстрированы примерами многие новшест­ва, которые благодаря новой системе счисления удалось применить в бухгалтерских расчетах, таких, как представление размера при­были, операций с обменом денег, конвертацией мер и весов и, хотя ростовщичество было еще запрещено во многих местах, исчисления процентных выплат.

О том, насколько сильный ажиотаж вызвало появление книги Фи­боначчи, можно судить по тому, что от нее пришел в восторг даже та­кой блистательный и творческий человек, каким был император Фридрих. Этот монарх, правивший с 1211-го по 1250 год, сочетал же­стокость и властность с живым интересом к науке, искусству и фило­софии государственного правления. В Сицилии он разрушил феодаль­ные замки и упразднил их гарнизоны, обложил налогом и отрешил от управления государством духовенство, устранил все ограничения, препятствующие импорту, и отменил государственную монополию.

Фридрих не терпел никакого противодействия. В отличие от сво­его деда Фридриха Барбароссы, который был унижен папой в битве при Легнано в 1176 году, этот Фридрих, кажется, получал удоволь­ствие от нескончаемых столкновений с папством. Его непреклон­ность принесла ему даже не одно, а два отлучения. Во втором слу­чае папа Григорий IX объявил Фридриха лишенным императорской короны, назвав его еретиком, распутником и Антихристом. Фрид­рих ответил жестоким нападением на владения папы, а тем време­нем его флот задержал большую делегацию прелатов, направляв­шихся в Рим для участия в соборе, который должен был лишить его императорской короны.

Фридрих окружил себя ведущими интеллектуалами своего вре­мени, пригласив многих из них к себе в Палермо. Он построил на Сицилии несколько великолепнейших замков и в 1224 году основал университет для подготовки государственных служащих — первый европейский университет, получивший устав от монарха.

Фридрих был в восхищении от книги Фибоначчи. Как-то в 1220-х годах во время визита в Пизу он пожелал его увидеть. На аудиенции Фибоначчи решал алгебраические задачи, в том числе кубические уравнения, поочередно предлагаемые ему одним из мно­гих придворных ученых. Это побудило его написать еще одну кни­гу — «Liber Quadratorum», или «Книгу о квадратах», которую он посвятил императору.

Фибоначчи широко известен благодаря короткому отрывку из «Liber Abaci», содержание которого производит впечатление мате­матического чуда. В отрывке обсуждается задача о том, сколько кроликов родится в течение года от одной пары кроликов в пред­положении, что каждый месяц каждая пара рождает другую пару и что кролики начинают рожать с двухмесячного возраста. Фибонач­чи доказывает, что в этом случае потомство исходной пары к концу года достигнет 233 пар.

Дальше он утверждает нечто еще более интересное. Предполо­жим, что первая пара кроликов не будет размножаться до второго месяца. К четвертому месяцу начнут размножаться их первые двое отпрысков. Коль скоро процесс продолжится, числа пар в конце каждого месяца будут такими: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233. Здесь каждое последующее число является суммой двух пре­дыдущих. Если кролики продолжат в том же духе в течение ста месяцев, число пар достигнет 354 224 848 179 261 915 075.

Этим не исчерпываются изумительные свойства чисел Фибо­наччи. Разделим каждое из них на следующее за ним. Начиная с 3, будем получать 0,625. После 89 ответ будет 0,618; с увеличением чи­сел в ответе будет возрастать лишь число десятичных знаков после запятой1'.(Одним из удивительных свойств этих чисел является то, что число 0,618 получается, если извлечь квадратный корень из 5, который равен 2,24, вычесть 1 и затем раз­делить на 2; это алгебраическое выражение входит в формулу, представляющую числа Фибоначчи).

Разделим теперь каждое число, начиная с 2, на предыду­щее. Будем получать 1,6. После 144 ответ будет всегда 1,618.

Греки знали это соотношение и называли его золотой пропорци­ей. Эта величина определяет пропорции Пантеона, игральных карт и кредитных карточек и здания Генеральной Ассамблеи Организа­ции Объединенных Наций в Нью-Йорке. Горизонтальная перекла­дина большинства христианских крестов делит вертикальную в том же отношении: длина над перекладиной составляет 61,8% от длины под пересечением. Золотая пропорция обнаруживается также в при­родных явлениях — в цветочных лепестках, в листьях артишока, в черешках пальмовых листьев. Отношение длины части тела чело­века выше пупка к длине части ниже пупка у нормально сложен­ного человека равно 0,618. Длина фаланг пальцев, если последова­тельно идти от кончиков до ладони, соотносится так же 2)(Точнее говоря, по формуле Фибоначчи, отношение меньшей части к большей равно отношению большей части к целому).

Одним из наиболее романтичных воплощений отношения Фибо­наччи являются пропорции и форма чудесной спирали. На приведен­ном рисунке видно, как она формируется на основе ряда квадратов, длины сторон которых определяются рядом Фибоначчи. Процесс начи­нается с построения двух маленьких квадратов одинакового размера.

Построение равноугольной спирали с использованием чисел Фибоначчи

Начнем с квадрата со стороной, равной единице, пристроим к нему другой такой же квадрат, к ним пристроим квадрат со стороной, равной 2, к ним пристроим квадрат со стороной, равной 3. Продолжая в том же духе, получим квадраты со сторонами, равными 5, 8, 13, 21, 34 и так далее.

(Воспроизводится с разрешения Fascinating Fibonaccis by Trudy Ha.rn.mel Garland; © 1987 by Dale Seymour Publications, P. O. Box 10888, Palo Alto, CA 94303.)

На основе двух их сторон строится примыкающий к ним квадрат со стороной удвоенного размера, затем квадраты со сторонами утроен­ного, упятеренного и т.д. размера. Заметьте, что таким образом строится последовательность прямоугольников, причем отношения между сторонами следующих друг за другом членов последователь­ности образуют золотую пропорцию. Затем соединяем противопо­ложные углы квадратов, начиная с наименьшего, дугами, являю­щимися продолжением друг друга, и получаем спираль.

Нам знакома эта спираль, повторяемая в форме некоторых га­лактик, бараньего рога, многих морских раковин или гребешков океанских волн, по которым скользят любители серфинга. Способ построения делает ее форму неизменной, и она не зависит от размера первого квадрата, с которого началось построение: форма с ростом не меняется. Журналист Уильям Хоффер заметил: «Большая золо­тая спираль кажется естественным способом наращивания количе­ства без изменения качества»2.

Кое-кто верит, что числа Фибоначчи можно использовать для различных предсказаний, в особенности относительно курса акций; такие предсказания сбываются достаточно часто, чтобы поддержи­вать постоянный интерес к ним. Ряд Фибоначчи настолько попу­лярен, что в Калифорнии существует даже Американская ассоци­ация Фибоначчи при университете Санта-Клары, опубликовавшая с 1962 года тысячи страниц исследований по этой теме.

«Liber Abaci» Фибоначчи стала впечатляющим первым шагом на пути создания инструмента, являющегося ключом к прируче­нию риска. Но общество еще не было готово к применению чисел для анализа связанных с риском ситуаций. Во времена Фибоначчи люди чаще связывали риск с капризами природы. Им нужно было еще научиться рассматривать его как творение рук человеческих и набраться смелости бороться с судьбой, прежде чем они смогли по­дойти к технологии его укрощения. Для этого понадобилось не ме­нее двухсот лет.

Мы сможем в полной мере постигнуть значение достижений Фибоначчи, только обратив свой взгляд к эпохе, предшествующей его рассуждениям о том, как выразить различие между 10 и 100. Даже в ней мы найдем несколько замечательных новаторов.

Примитивный человек вроде неандертальца умел считать, но необходимость в счете возникала не часто. Он отмечал прошедшие дни зарубками на камнях или стволах деревьев или выкладывал дорожку камней, фиксируя число убитых животных. Время дня оп­ределялось по солнцу, и разница между пятью минутами и получа­сом вряд ли имела значение.

Первые систематические попытки измерений и счета были пред­приняты за несколько тысячелетий до Рождества Христова3. Это началось, когда люди стали расселяться, чтобы выращивать хлеб, по долинам таких крупных рек, как Тигр и Евфрат, Нил, Инд, Ян­цзы, Миссисипи и Амазонка. Реки скоро превратились в торговые пути, по которым предприимчивые люди выходили к океанам и мо­рям. Чтобы путешествовать на всё большие и большие расстояния, понадобились календарь, навигация и география, а они потребова­ли еще более точных расчетов.

Жрецы были первыми астрономами, а от астрономии произошла математика. Когда люди заметили, что зарубок на деревьях и кам­нях и дорожек из них уже недостаточно для решения новых задач, они стали группировать числа в десятки и двадцатки, которые было легко считать по пальцам на руках и ногах.

Хотя египтяне стали мастерами в астрономии и предсказании разливов и спада воды в Ниле, им, по-видимому, никогда не при­ходило в голову вмешиваться в подобные процессы и оказывать влияние на будущий ход событий. Их интеллекту, в котором до­минировали обычаи, привычка к повторению годового цикла пере­мен и уважение к прошлому, были чужды перемены и активное отношение к будущему.

Около 450 года до Рождества Христова греки изобрели буквен­ную систему счисления, которая использовала 24 буквы греческого алфавита и три буквы, которые впоследствии вышли из употребле­ния. Каждому числу от 1 до 9 соответствовала буква, а числа, крат­ные десяти, имели свои буквы. Например, символ я (пи) как пер­вая буква греческого слова tievte (пента), что означало 'пять', пред­ставлял 5; 8 (дельта), первая буква от 8£ха (дека), что означало 'де­сять', представляла 10; а (альфа), первая буква алфавита, представ­ляла 1, и р (ро) представляла 100. Таким образом, 115 писалось как ро-дека-пента, или рбтг. Евреи, пусть и семиты, а не индоевропейцы, использовали такую же буквенно-цифровую систему счисления4.

Хотя относительное удобство этих буквочисел помогало людям строить сложные сооружения, путешествовать на большие расстоя­ния и точнее фиксировать время, такая система счисления наклады­вала серьезные ограничения. Для сложения, вычитания, умножения и деления буквы можно использовать только с большим трудом, а считать в уме практически невозможно. Эти заместители чисел пригодны только для записи результатов вычислений, выполнен­ных другими методами, чаще всего с помощью счетов. Счеты — древнейшее вычислительное устройство в истории — были незаме­нимы при выполнении расчетов, пока между 1000-м и 1200 годами после Рождества Христова на сцену не выступила индо-арабская цифровая система счисления.

На счетах каждому разряду числа соответствовали колонки из десяти костей; когда при сложении, например, в соответствующей колонке получалось число, большее десяти, сдвигалась фишка на следующей колонке, а на первой фиксировалось превышение ре­зультатом десяти, и т.д. Наши выражения «один в уме» и «три свер­ху» ведут свое происхождение от счетов5.

Несмотря на ограниченные возможности этих ранних форм ма­тематики, они сделали возможным значительное развитие знания, в частности в геометрии — языке фигур — и ее многочисленных при­ложениях в астрономии, навигации и механике. Наиболее впечат­ляющих результатов добились греки и их коллеги в Александрии. Только Библия выдержала больше изданий и напечатана в большем количестве экземпляров, чем самая знаменитая книга Евклида «На­чала» («Elements»).

Однако не научные открытия представляются нам самым глав­ным достижением греков. В конце концов, храмовые жрецы Египта и Вавилона неплохо изучили геометрию задолго до Евклида, и даже знаменитая теорема Пифагора — квадрат гипотенузы прямоугольно­го треугольника равен сумме квадратов катетов — использовалась в долине Тигра и Евфрата за 2000 лет до Рождества Христова.

Уникальной чертой греческого духа была приверженность к до­казательствам. «Почему?» было для них важнее, чем «что?». Они смогли заново сформулировать самые сложные вопросы потому, что их цивилизация была первой в истории, относительно свободной от смирительной рубашки всемогущего жреческого сословия. Эти же обстоятельства сделали греков первыми в мире путешественниками и колонизаторами, превратившими бассейн Средиземного моря в сфе­ру своих интересов.

Будучи в большей степени гражданами мира, греки отвергли про­стые и ясные заветы, оставленные им предшествующими обществами. Их не интересовали образцы; они искали универсальные понятия, применимые везде, в любом случае. Например, с помощью простого измерения можно убедиться, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов. Но греков интересует, почему это так во всех прямоугольных треугольниках, больших и ма­лых, без единого исключения. Именно с этого времени доказательст­во, а не вычисление стало доминировать в математической науке.

Эта радикальная особенность древнегреческой методологии по­стижения мира заставляет нас еще раз задать вопрос — как случи­лось, что греки не открыли законы вероятности, вычислительные методы и даже простую алгебру. По-видимому, это объясняется тем, что, несмотря на все свои достижения, они зависели от неудобной системы счисления, использующей буквы вместо цифр. Тем же не­достатком страдала и римская система, в которой для изображения, к примеру, числа 9 нужны две буквы и нельзя написать 32 как III и II, потому что было бы неясно, имеется в виду 32, 302, 3020 или еще большее число, представляемое комбинацией 3, 2 и 0. Такая сис­тема непригодна для вычислений.

Открытие более совершенной системы счисления задержалось примерно до 500 года после Рождества Христова, когда индусы изоб­рели цифры, которыми мы сегодня пользуемся. Кто придумал это удивительное новшество и какие обстоятельства привели к его рас­пространению по всему Индийскому полуострову, остается тайной. Арабы впервые познакомились с новыми числами примерно через девяносто лет после того, как Мухаммед в 622 году основал ислам и его последователи, объединившись в могучую нацию, проникли в Индию и за ее пределы.

Новая система счисления пробудила интеллектуальную актив­ность в странах к западу от Индии. Багдад, уже тогда бывший сре­доточием арабской культуры, стал центром математических иссле­дований, и халифы приглашали еврейских ученых для перевода трудов таких выдающихся математиков, как Птолемей и Евклид. Математическая литература получила широкое распространение в арабской империи и около IX или X века дошла до Испании.

Вообще говоря, если уж быть точными, на Западе был один че­ловек, предложивший цифровую систему счисления еще за 200 лет до индусов. Около 250 года после Рождества Христова в Александ­рии математик по имени Диофант написал трактат, в котором до­казывал выгодность замены буквенной системы счисления настоя­щими числами6.

О самом Диофанте мало что известно, но то немногое, что мы знаем, поразительно. Историк математики Герберт Уоррен Тернбулл (Turnbull) приводит посвященную ему греческую эпиграмму, в ко­торой говорится: «Его детство длилось Ve его жизни; борода выросла у него на Vi2 позднее; на i/7 после этого он женился, и через пять лет у него родился сын, который прожил вдвое меньше отца, а отец пе­режил сына на четыре года». В каком возрасте умер Диофант?7 От­вет на этот вопрос любители алгебры могут найти в конце главы.

Диофанту принадлежит далеко ведущая идея алгебраической символики — использование символов вместо чисел; ему, правда, не удалось воспользоваться ею в полной мере. Он сетует, что «невоз­можно решение абсурдного уравнения 4 = 4л; + 20»8. Невозможно? Абсурдное уравнение? Уравнение приводит к отрицательному зна­чению: д: = -4. Без понятия ноля, которого Диофант не знал, поня­тие отрицательного числа логически невозможно.

Замечательные новшества Диофанта, кажется, были проигнори­рованы последующими поколениями. Прошло полторы тысячи лет, пока его работы были замечены и должным образом оценены: его трактат сыграл центральную роль в расцвете алгебры в XVII веке. Всем известные сегодня линейные алгебраические уравнения ви-да а + Ъх = с носят его имя.

Главным изобретением индо-арабской системы счисления яви­лось понятие ноля — sunya, как его называли индусы, или cifr по-арабски9().Слово дошло до нас как cipher, что означает 'пусто' и относится к пустой линейке на счетах 3.(Русское слово цифра тоже арабского происхождения).

Людям, использующим ряды камешков для подсчета убитых животных, прошедших дней или пройденного пути, освоить поня­тие ноля было крайне трудно. Для таких подсчетов ноль не нужен. Как отмечает английский философ XX века Альфред Норт Уайтхед (Whitehead),

относительно ноля следует заметить, что в повседневной жизни мы этим понятием не пользуемся. Никому не придет в голову купить ноль рыбы. В известном смысле ноль — это самое деликатное из всех чис­лительных, и потребность в нем возникает у нас только на более высо­ком уровне мышления10

Слова Уайтхеда о «более высоком уровне мышления» указывают на то, что понятие ноля расчистило путь чему-то более значительно­му, чем совершенствование способов счета и вычислений. Уже Дио­фант осознал, что совершенная система счисления должна обеспе­чить возможность использования математики в развитии и абстракт­ных наук, и техники измерений. Ноль раздвинул границы познания и прогресса.

Заслуживают внимания два аспекта развития системы счисле­ния, обусловленных появлением ноля. Во-первых, люди смогли об­ходиться только десятью символами от 0 до 9 для записи с их помо­щью любых чисел и выполнения всевозможных вычислений. Во-вто­рых, последовательность чисел типа 1, 10, 100 показывает, что сле­дующим числом в последовательности является 1000. Ноль, прояс­нив систему счисления, довел ее до полной прозрачности. Возьмите римские числа I, X и С или V, L и D и попробуйте сказать, каким должно быть следующее число в этой последовательности!

Первая известная нам арабская книга по арифметике была напи­сана ал-Хорезми — математиком, жившим около 825 года, пример­но за четыреста лет до Фибоначчи11. Хотя те немногие, кто использо­вал его работу, вероятно, кое-что слышали о нем, большинству из нас он известен косвенно. Попробуйте быстро произнести «ал-Хорез­ми». Вы услышите слово «алгоритм», что значит «правило вычис­лений»12. Именно ал-Хорезми был первым математиком, устано­вившим правила сложения, вычитания, умножения и деления с новыми индийскими цифрами. В другом своем трактате «Hisab al-jabr w'almuqabalah», или «Книге о восстановлении и противопо­ставлении», он описывает процесс решения алгебраических урав­нений. От слова al-jabr произошло слово алгебра, или наука об уравнениях13.

Одним из самых значительных и, уж конечно, самым знамени­тым арабским математиком древности был Омар Хайям, живший приблизительно с 1050-го по ИЗО год и известный как автор собра­ния стихов под названием «Рубайят»14. (В русском переводе В. Державина «Рубайят» содержится 488 четверостиший, см.: Омар Хайям. Рубайят. Душанбе: Изд-во «Ирфон», 1965. — Примеч. переводчика.). Его знаменитый сборник из 75 четверостиший* (слово рубайят определяет поэтическую фор­му) во времена королевы Виктории был переведен на английский поэтом Эдвардом Фитцджералдом. В этой тоненькой книжице боль­ше воспеваются вино и мимолетность человеческого существования, чем наука и математика. Например, под номером 27 читаем:

Думал, казий и муфтий мне смогут помочь Верный путь обрести, скорбный дух превозмочь, Но, пожив, убедился, что эти всезнайки Знают, друг мой, как я, так же мало точь-в-точь*. (Перевод А. Кушнера. — Примеч. переводчика.)

Как сообщает Фитцджералд, в юности у Омара Хайяма было двое друзей, столь же блистательных, как и он сам: Низам ал-Мунк и Хасан ал-Сабах. Однажды Хасан предложил своим друзьям покля­сться, что, если кому-нибудь из троих суждено достичь богатства и могущества, «тот, кому выпадет удача, не станет стремиться к пре­имуществу перед двумя другими и поделит ее на троих». Они дали клятву, а через какое-то время Низам стал визирем султана. Дру­зья разыскали его и напомнили про клятву, которую он выполнил, как обещал.

Хасан потребовал и получил место в правительстве, но, неудов­летворенный своим положением, оставил его, чтобы стать потом главой секты фанатиков, терроризировавшей весь мусульманский мир. Много лет спустя он организовал предательское убийство сво­его друга Низама.

Омар Хайям не просил ни чинов, ни титулов. «Величайшая ми­лость, которую ты можешь оказать мне, — сказал он Низаму, — это позволить мне жить незаметно под сенью твоей славы, углубляясь в науку и молясь о ниспослании тебе Аллахом долгих лет жизни и преуспеяния». Хотя султан любил Омара Хайяма и был благоскло­нен к нему, «смелое эпикурейство мыслей и высказываний Омара вызывали в его время косые взгляды соотечественников».

Омар Хайям использовал новую систему счисления для совер­шенствования созданного усилиями ал-Хорезми языка вычисле­ний, послужившего основой нового, более сложного языка алгеб­ры. Кроме того, он использовал математические методы обработ­ки астрономических наблюдений для реформирования календаря и построения числового треугольника, облегчающего вычисление квадратов, кубов и высших степеней; этот треугольник позднее был использован в XVII веке французским математиком Блезом Паска­лем, одним из создателей теории выбора, оценки шансов и веро­ятностей.

Впечатляющие достижения арабов лишний раз показывают, как далеко может зайти и все же застрять на пороге логического завер­шения фундаментальная идея. Почему арабы со своими выдающи­мися математическими достижениями не смогли приблизиться к со­зданию теории вероятностей и управления риском? Я полагаю, это обусловлено их образом жизни. Кто определяет наше будущее: судь­ба, боги или мы сами? Идея управления риском всплывет только тогда, когда люди поверят, что они обладают некоторой степенью свободы. Подобно грекам и ранним христианам, склонные к фата­лизму мусульмане еще не были готовы к этому прыжку.

Около 1000 года новая система счисления преподавалась в мав­ританских университетах в Испании и еще кое-где, а также сара­цинами на Сицилии. Сицилийская монета норманнской чеканки, датированная «1134 Anno Domini»* (После Рождества Христова. — Примеч. переводчика.) — первый известный образец использования системы в действии. Однако широкого распростра­нения новые числа не получили вплоть до XIII века.

Несмотря на покровительство, оказанное книге Фибоначчи им­ператором Фридрихом, и широкую известность, которую она полу­чила в Европе, введение индо-арабской системы счисления вызы­вало сильное и ожесточенное неприятие до начала XVI века. И это можно понять.

Многовековая история учит, что всегда находятся силы, которые встречают в штыки любое изменение; новое всегда с трудом пробивает себе дорогу. Но была и другая причина, куда более серьезная: с новыми числами плутовать было легче, чем со старыми. Превращение 0 в 6 или 9 казалось заманчиво легким, а 1 могла без труда превратиться в 4, 6, 7, 9 (одна из причин, почему европейцы пишут 7 как 7). Даже после того, как новые числа уже утвердились в Италии, где образование было на высоком уровне, в 1229 году во Флоренции был издан эдикт, запрещающий банкирам использование «языческих» символов. В результате многие желающие изучить новую систему были вынуждены выдавать себя за мусульман15.

Изобретение в середине XV века книгопечатания с наборным шрифтом ускорило окончательный переход к использованию новых чисел. Теперь мошеннические подделки больше не проходили, а не­лепые сложности римских чисел стали очевидны каждому. Этот переворот привел к резкой активизации коммерческой деятельности. С тех пор таблицы умножения ал-Хорезми стали предметом изуче­ния во всех школах. И наконец, с первыми намеками на проникно­вение в тайны вероятностных закономерностей повсеместно уси­лился интерес к играм.

Здесь приводится алгебраическое решение эпиграммы о Дио­фанте. Приняв за х его возраст в день смерти, имеем:

х х х . х

х + — + — + — + 5 + — + 4.
6 12 7 2

Значит, Диофант умер в возрасте 84 лет.



Глава 3

Игроки Ренессанса

Пьеро делла Франческа, написавший Деву Марию («Мадонна с Младенцем и святыми»), жил с 1420-го по 1492 год, на двести с лишним лет позже Фибоначчи. Время его жизни совпало с расцветом итальянского Ренессанса, и разрыв между но­вым духом XV столетия и обветшавшим к тому времени духом Средневековья нашел яркое отражение в его творчестве.

На его полотнах фигуры, даже фигура Девы, воплощают земную человеческую жизнь. Они лишены нимбов, твердо стоят на земле, каждая несет на себе печать индивидуальности и занимает свое мес­то в трехмерном пространстве. Хотя предполагается, что все они со­брались, чтобы приветствовать Святую Деву и младенца Христа, кажется, что большинство из них занято чем-то своим. Тени, созда­ющие в готической архитектуре атмосферу таинственности, здесь призваны подчеркнуть весомость фактуры и протяженность обрам­ляющего фигуры пространства.

Яйцо кажется подвешенным над головой Девы. Более вниматель­ное изучение картины заставляет задуматься, на чем, собственно, подвешен этот небесный символ плодовитости. И почему эти земные, хотя и благочестивые мужчины и женщины не замечают эту стран­ную штуку, зависшую над ними?

Греческая философия перевернута вверх ногами. Теперь тайна пе­ренесена на небеса. На земле мужчины и женщины ведут свободную человеческую жизнь. Эти люди уважают все связанное с божествен­ными проявлениями, но ни в коем случае не подавлены ими — черта, вновь и вновь воспроизводимая в искусстве Ренессанса. Чарующая статуя Давида работы Донателло была одной из первых обнаженных мужских скульптур со времен классических Греции и Рима; великий герой и поэт Ветхого Завета, прекрасный в своей юношеской наготе, стоит перед нами без тени стыдливости, с головой Голиафа в ногах. Большой собор Брунеллески, как и кафедральный собор во Флорен­ции, с их четко вылепленными массами и строгим интерьером де­монстрируют, как религия буквально низведена на землю.

Ренессанс был временем открытий. В год смерти Пьеро Колумб отправился искать путь в Индию; вскоре появилась книга Копер­ника, радикально изменившая взгляд людей на небеса. Его откры­тия потребовали высокого уровня математического искусства, кото­рое в течение XVI века ознаменовалось впечатляющими достижени­ями, особенно в Италии. Следом за изобретением примерно в 1450 го­ду книгопечатания с наборным шрифтом произведения многих клас­сиков математической науки были переведены с латыни на итальян­ский, опубликованы на латыни или на языках других народов Евро­пы. Математики состязались в бурных публичных диспутах о реше­нии сложных алгебраических уравнений, и публика восторженно приветствовала своих фаворитов.

Этот интерес был вызван опубликованной в 1494 году замеча­тельной книгой францисканского монаха по имени Лука Пацциоли1. Пацциоли родился около 1445 года на родине Пьеро делла Франческа в Борго-Сан-Сеполькро. Хотя семья понуждала мальчи­ка готовиться к карьере торговца, Пьеро занимался с ним чтением, рисованием, историей и приучил пользоваться знаменитой библио­текой в соседнем замке Урбино. Полученные здесь знания заложи­ли основу будущей известности Пацциоли как математика.

В двадцатилетнем возрасте он получил в Венеции место учителя сына богатого купца, стал посещать публичные лекции по филосо­фии и теологии и продолжил изучение математики с частным пре­подавателем. Будучи способным учеником, он еще в Венеции опуб­ликовал свою первую работу по математике. Одновременно он изу­чал архитектуру и военное искусство под руководством своего дяди Бенедетто, офицера на службе Венецианской республики.

В 1470 году Пацциоли переселился в Рим для продолжения своего образования и в двадцатисемилетнем возрасте стал фран­цисканским монахом. Однако его научные занятия не прервались. Он преподавал в Перудже, Риме, Неаполе, Пизе и Венеции, пока в 1496 году не занял место профессора математики в Милане. Деся­тью годами раньше ему уже была присвоена степень магистра, со­ответствующая нынешней степени доктора*(В России — кандидата наук. — Примеч. науч. редактора.).

Главный труд Пацциоли «Summa de arithmetic, geometria et proportionality» («Книга об арифметике, геометрии и пропорциях»; самые серьезные академические работы в то время еще писали на латыни) появился в 1494 году. В ней Пацциоли признаёт, что мно­гим обязан «Liber Abaci» Фибоначчи, появившейся тремя столетия­ми раньше. В «Summa», написанной во славу «величайшей абстрак­ции и утонченности математики», излагаются основы алгебры и со­держатся таблицы умножения до 60 х 60 — весьма полезная вещь для времени, когда с помощью книгопечатания получила широкое распространение новая система счисления.

Один из наиболее интересных разделов книги посвящен двой­ной бухгалтерии. Она не была изобретением Пацциоли, хотя он и занимался ею не один год. Понятие двойной бухгалтерии встреча­ется в «Liber Abaci» Фибоначчи и используется в опубликованной около 1305 года в Лондоне книге лондонского филиала некой ита­льянской фирмы. Каково бы ни было его происхождение, это рево­люционное новшество в методике бухгалтерских расчетов имело серьезные экономические последствия, сравнимые с изобретением паровой машины тремя столетиями позже.

В Милане Пацциоли познакомился с Леонардо да Винчи, став­шим его близким другом. Пацциоли был поражен талантом Леонар­до и восхищался его «бесценной работой о движении в пространстве, столкновениях, весах и всех силах»2. У них, наверно, было много общего, потому что Пацциоли интересовали взаимосвязи между ма­тематикой и искусством. Однажды он заметил, что, «если вы гово­рите, что музыка услаждает одно из наших природных чувств — слух... [перспектива] делает то же со зрением, которое имеет гораздо большую цену, потому что является входной дверью интеллекта».

Леонардо был мало знаком с математикой до встречи с Паццио­ли, хотя имел интуитивное понимание пропорций и хорошее гео­метрическое воображение. Его записные книжки и раньше были заполнены изображениями прямоугольников и кругов, но Паццио­ли побудил его к математическому осмыслению понятий, ранее ис­пользуемых интуитивно. Мартин Кемп, один из биографов Леонар­до, отмечает, что Пацциоли «стимулировал внезапно появившиеся у Леонардо математические амбиции, обусловившие переориента­цию его интересов в направлении, на котором ни один из ученых современников ему не сопутствовал». Леонардо отблагодарил Пац­циоли, снабдив рисунками написанную им большую книгу «De Divine Proportione» («Божественная пропорция»), которая появилась в двух прекрасно оформленных манускриптах в 1498 году. Ее печатное из­дание вышло в свет в 1509 году.

Леонардо имел экземпляр «Summa» и, должно быть, прилежно проштудировал его. Его записные книжки свидетельствуют о по­вторяющихся попытках освоить умножение и дроби в применении к использованию пропорций. В одном месте он напоминает себе, что должен «изучить умножение корней по мастеру Луке». По ны­нешним меркам математические познания Леонардо соответствова­ли бы уровню третьего арифметического класса.

Тот факт, что у таких гениев Ренессанса, как Леонардо, было столько трудностей с элементарной арифметикой, дает представле­ние о состоянии математических знаний в конце XV века. Каким образом математики нашли в себе силы с этих позиций сделать пер­вые шаги к созданию методов измерения риска и контроля за ним?

Сам Пацциоли чувствовал, какие огромные возможности таятся в волшебстве чисел. В тексте «Summa» он предложил следующую задачу:

А и В играют в balla* (Игра в мяч. — Примеч. переводчика.). Они договорились играть, пока один из них не выиграет шесть конов. На самом деле игра прекратилась, когда А вы­играл пять, а В три кона. Как поделить банк?3

В течение XVI и XVII столетий математики вновь и вновь об­ращались к этой головоломке. Она имела много вариаций, но все­гда вопрос сводился к одному: как поделить банк в неоконченной игре? Предлагались разные ответы, разгорались горячие споры.

Головоломка, получившая известность как задача об очках, име­ла более глубокий смысл, чем кажется на первый взгляд. Ее реше­ние ознаменовало начало систематического анализа вероятности — измерения нашего знания о том, что что-то должно произойти. Оно приводит нас на порог квантификации риска.

Получив представление о том, каким могучим барьером на пути ис­следования тайн теории вероятностей были предрассудки Средневеко­вья, интересно снова вернуться к вопросу, почему греки и даже рим­ляне не интересовались задачами, подобными головоломке Пацциоли.

Вообще-то греки понимали, что в будущем может произойти больше вещей, чем произойдет на самом деле. Они отмечали, что естественные науки — это, используя терминологию Платона, «науки о возможном». Аристотель в «De Caelo» говорил: «Добиться успе­ха во многих вещах или много раз трудно; например, выбросить не­кую комбинацию в кости десять тысяч раз подряд было бы невоз­можно, но сделать это один или два раза сравнительно легко»4.

Это подтверждалось простыми наблюдениями. Но следует заме­тить, что правила, по которым греки и римляне играли в случайные игры, в наше время показались бы весьма нелепыми. Это тем более странно, что в античном мире такие игры были очень популярны (гре­кам уже были известны шестигранные кости) и являлись настоящей лабораторией для изучения шансов и вероятностей.

Рассмотрим игры с применением таранных костей. В отличие от позднейших кубических костей они продолговатые, с двумя узкими и двумя широкими поверхностями. В играх обычно бросали сразу че­тыре кости. Шансы, что кость выпадет широкой стороной, конечно, выше, чем узкой. Поэтому было бы естественно ожидать, что узкая сторона должна приносить больше очков, чем широкая. Но сумма оч­ков, приносимых менее вероятными узкими сторонами — 1 на одной кости и 6 на другой, — приравнивалась тому, что приносили более ве­роятные широкие стороны, — 3 и 4. Результат же, называемый «Ве­нера», когда на вас смотрят все возможные игровые грани костей — 1, 3, 4, 6, — приносил максимум очков, хотя столь же вероятны ком­бинации 6, 6, 6, 6 или 1, 1, 1, 1, приносившие по правилам меньше очков5.

Кроме того, хотя было очевидно, что длинные серии выигры­шей или проигрышей менее вероятны, чем короткие, эти ожида­ния носили не количественный, а качественный характер: Аристо­тель говорил, что «...сделать это один или два раза сравнительно легко»6. И хотя в эти игры играли повсеместно и с диким азартом, никому не приходило в голову подсчитывать шансы.

Надо полагать, дело было в том, что греки вообще не проявляли интереса к экспериментированию; их занимали только теории и доказательства. Они, кажется, никогда не обсуждали возможность воспроизведения какого-либо явления достаточное для доказатель­ства гипотезы число раз, видимо, потому, что им была чужда мысль об упорядоченности событий на земле. Точность считалась монополией богов.

В отличие от античности во времена Ренессанса каждый, от ученого до изобретателя, от художника до архитектора, испытывал зуд исследований, экспериментирования и демонстрации результа­тов опыта. В этой интеллектуальной атмосфере кто-то из игроков должен был обратить внимание на регулярности, проявляющиеся при так называемой игре в длинную.

Такой игрок появился в XVI веке. Им оказался лекарь по име­ни Джироламо Кардано. Одной только репутации Кардано как азартного игрока, пытавшегося осмыслить закономерности игры, достаточно для упоминания его имени в истории освоения риска, но он проявил выдающиеся таланты и во многих других областях. Удивительно, что в наше время он сравнительно мало известен. Он был олицетворением Ренессанса7.

Кардано родился в Милане около 1500 года и умер в 1571 году. Он был современником Бенвенуто Челлини и, подобно Челлини, од­ним из первых знаменитостей, оставивших автобиографию. Свою книгу он назвал «De Vita Propria Liber» («Книга моей жизни»), и что это была за жизнь! Поистине, его любознательность была сильнее его самого. Характерно увлечение, с которым он, описывая собственную жизнь, обсуждает четыре выдающихся достижения своего времени: вступление в новую эру географических открытий, познакомивших европейцев с двумя третями земной поверхности, о которых древние ничего не знали, изобретение огнестрельного оружия, компаса и кни­гопечатания с использованием набора.

Кардано был худым, с длинной шеей, тяжелой нижней губой, бородавкой над глазом и таким громким голосом, что вызывал раз­дражение даже у друзей. По его собственному признанию, он стра­дал диареей, грыжей, болезнью почек, тахикардией и даже воспа­лением соска. Не без рисовки он пишет о себе: «Я был горяч, про­стодушен и падок на женщин», а также «хитер, силен, саркасти­чен, прилежен, дерзок, печален, вероломен, склонен к чародейству и колдовству, жалок, злобен, похотлив, непристоен, лжив, подобо­страстен, старчески болтлив».

Кардано был игрок из игроков. Он признавался в «неодолимой тя­ге к игорному столу и костям... Долгие годы... я играл не время от времени, но, стыдно сказать, каждый день». Он играл во всё — от ко­стей и карт до шахмат. Он зашел так далеко, что признавал благо­творность игры: «...в периоды потрясений и бедствий... я находил уте­шение в постоянной игре в кости». Кардано терпеть не мог непроше­ных советчиков и все знал о шулерских проделках, в частности осте­регался игроков, «которые натирали карты мылом, чтобы они легко скользили и были послушны в руках». Анализируя в своей книге ве­роятностные закономерности игры в кости, он не забывал осторожно оговориться: «...если игра ведется честно». Тем не менее ему приходилось проигрывать крупно и достаточно часто, чтобы заключить, что «лучший из возможных выигрышей — это отказ от игры». Он, кажет­ся, первым в истории взялся за серьезный анализ случайных игр.

Кардано был не только игроком и математиком «от случая к случаю», но и самым знаменитым врачом своего времени — его настойчиво стремились заполучить многие европейские дворы и Ватикан. Однако он не терпел придворные интриги и отклонял все высокие приглашения. Ему принадлежит первое клиническое опи­сание симптомов тифа, он писал о сифилисе и предложил новый метод операции грыжи. Он говорил, что «человек есть не что иное, как дух; если дух не в порядке, все плохо, если же он здоров, все остальное лечится просто», и был одним из первых пропагандистов купания и душа. Когда его в 1552 году пригласили в Эдинбург для лечения архиепископа Шотландского от астмы, он на основе своих знаний об аллергии порекомендовал пациенту набить перину не пе­рьями и пухом, а некрученым шелком, заменить кожаные наволоч­ки полотняными, а причесываться гребнем из слоновой кости. Перед отъездом из Милана в Эдинбург ему предложили за услуги ежеднев­ную плату в размере десяти золотых крон; когда же через сорок дней он покидал Эдинбург, благодарный пациент вручил ему 1400 крон, не считая дорогих подарков.

Кажется, Кардано был очень занятым человеком. Он опублико­вал 131 печатную работу, сжег, по его словам, еще 170, а после смер­ти оставил 111 неопубликованных рукописей. В его писаниях затра­гиваются самые разные вопросы, касающиеся математики, астро­номии, физики, состава мочи, зубов, жизни Девы Марии, гороско­па Иисуса Христа, морали, аморальности, жизни Нерона, музыки, снов. Его «De Subtilitate Rerum» («О сущности вещей») стала тог­дашним бестселлером и выдержала шесть изданий подряд; в ней обсуждаются научные и философские вопросы наряду с суевериями и загадочными историями.

У него было два сына, заставивших его испытать много горя. В «De Vita» Кардано пишет о старшем сыне Джамбаттисте, своем любимце, что он был «глух на правое ухо, с маленькими бесцветны­ми беспокойными глазами. На левой ноге у него было два пальца; третий и четвертый, если я не ошибаюсь, срослись с большим, обра­зуя гусиную лапу. Он был немного горбат...». Джамбаттиста женил­ся на девушке с подпорченной репутацией, которая была ему невер­на; по ее признанию, муж не был отцом ни одного из ее троих детей. После трех лет семейной жизни, ставшей для него адом, Джамбат­тиста приказал своему слуге приготовить пирог с мышьяком и дал его жене, которая тут же умерла. Кардано сделал все для спасения сына, но Джамбаттиста уже после освобождения из тюрьмы при­знался в убийстве жены. По пути к месту казни, где его обезглави­ли, палачи отрубили ему левую руку и пытали его. Младший сын, Альдр, постоянно обкрадывал своего отца и время от времени по­падал в тюрьму, где побывал не менее восьми раз.

У Кардано был молодой протеже, Лодовико Феррари, блестящий математик, какое-то время служивший секретарем у кардинала Мантуи. В возрасте 14 лет Феррари поселился у Кардано и скра­шивал его старость, называя себя «творением Кардано». Он защи­щал доказательства Кардано в нескольких диспутах с другими ма­тематиками, и многие авторитетные ученые считают, что ему при­надлежали многие идеи, приписываемые его учителю. Но Феррари не смог утешить Кардано, тяжело переживавшего трагедию соб­ственных сыновей. Темпераментный, щедро растрачивавший себя, Феррари потерял все пальцы на правой руке в трактирной ссоре и в 43 года был отравлен то ли сестрой, то ли ее любовником.

Главный математический труд Кардано «Ars Magna» («Великое искусство») вышел в свет в 1545 году; к этому времени Коперник уже опубликовал описание гелиоцентрической планетной системы, а Везалий закончил свой трактат по анатомии. Пятью годами рань­ше в «Основах искусств» («Grounde of Artes») англичанина по имени Роберт Рикорд впервые появились символы «+» и «-». Сем­надцать лет спустя в английской же книге под названием «Оселок остроумия» («Whetstone of Witte») впервые был использован сим­вол «=», потому что «на свете не может быть большей идентично­сти, чем у пары параллельных прямых»8.

«Ars Magna» была первой основательной работой эпохи Ренес­санса по алгебре. В ней Кардано углубляется в решение кубиче­ских и квадратных уравнений и даже ломает голову над квадрат­ными корнями отрицательных чисел, неизвестных до использова­ния цифровой системы счисления и все еще остающихся для мно­гих тайной за семью печатями9. Хотя система алгебраических ус­ловных обозначений в то время еще не устоялась и каждый автор произвольно пользовался собственной символикой, Кардано ввел ис­пользование символов а, & и с, ныне привычных для всех, изучав­ших алгебру. Удивительно, но он не сумел решить головоломку Пацциоли об игре в balla. Несмотря на все старания, ему, как и другим математикам его времени, это не удалось.

Игре посвящен трактат Кардано «Liber de Ludo Aleae» («Книга о случайных играх»). Слово aleae имеет отношение к игре в кости. Aleatorius происходит от того же корня и относится к случайным играм вообще. Эти слова дошли до нас в слове «aleatory», обознача­ющем события с неопределенным исходом. Так элегантная латынь невольно объединила для нас понятия игры и неопределенности.

В «Liber de Ludo Aleae» были предприняты первые серьезные попытки разработать статистические принципы теории вероятнос­тей. Но само слово «вероятность» в тексте не встречается. В назва­нии, которое Кардано дал своей книге, и большей части текста ис­пользуется слово «шансы». Латинские корни слова probability*(Вероятность, правдоподобность. — Примеч. переводчика.) представлены комбинацией probare, что означает 'испытывать, пробовать' или 'проявлять себя', и His, что означает 'способность быть'; именно в этом смысле могло бы оказаться на поверку вер­ным или стоящим рассмотрения предположение, что Кардано мог знать это слово. Понимание связи между вероятностью и случайно­стью, составляющей суть случайных игр, еще около ста лет после опубликования «Liber de Ludo Aleae» не смогло стать достоянием обыденного мышления.

По утверждению канадского философа Яна Хакинга (Hacking), латинские корни слова «вероятность» означают нечто вроде 'заслуживающее проверки'10. Это значение слова сохранялось дол­гое время. В качестве примера Хакинг приводит отрывок из рома­на Даниэля Дефо «Роксана, или Удачливая любовница», датиро­ванного 1724 годом. Леди, убедившая состоятельного мужчину за­ботиться о ней, именно в этом смысле употребляет слово probable, когда говорит: «Я тогда впервые увидела, что значит вести ком­фортабельную жизнь, и это стоило испытать (it was a very probable way)». Это значит, что она создала себе образ жизни, соответст­вующий благосостоянию ее покровителей; как сказал Хакинг, она «сумела выбраться из той грязи, в которой начинала»11.

Хакинг приводит и другой пример толкования этого слова12. Галилео назвал теорию Коперника о вращении Земли вокруг Солн­ца improbable (неправдоподобной, невероятной), потому что она противоречит тому, что люди могут видеть собственными глаза­ми, — Солнце ходит вокруг Земли. Теория была неправдоподоб­ной, потому что не находила подтверждения. Менее столетия спус­тя, используя новое (но все же не новейшее) значение слова, не­мецкий философ Лейбниц охарактеризовал гипотезу Коперника как «несравненно более вероятную». Для Лейбница, пишет Хакинг, «вероятность определяется через очевидность и разум»13. На са­мом деле в немецком слове wahrscheinlich* (Вероятный. — Примеч. переводчика.) хорошо отображается смысл понятия: оно переводится как «кажущееся правдой, прав­доподобное».

Вероятность всегда несет в себе двоякий смысл: с одной стороны, это взгляд в будущее, с другой — истолкование прошлого; с одной стороны, речь идет о наших предположениях, с другой — о том, что мы действительно знаем. Эта двуединость понятия пронизыва­ет все, о чем пойдет речь в этой книге.

В первом смысле вероятность означает степень правдоподобия или приемлемости мнения — хороший взгляд на вероятность. Уче­ные обозначают такое понимание термином «эпистемологический», т. е. не поддающийся до конца анализу и пониманию, находящийся на границе познаваемого и непознаваемого.

Понимание этого первого аспекта возникло значительно рань­ше, чем идея об измерении вероятности. Старое понимание разви­лось с течением времени из идеи проверки: насколько можно при­нимать на веру то, что мы знаем? В случае Галилео вероятность была оценкой того, насколько можно верить тому, о чем нам ска­зали. Использование этого понятия у Лейбница ближе к современ­ному: насколько можно доверять собственному восприятию.

Этот более современный подход не мог получить развития, по­ка математики не разработали теоретическую концепцию частоты событий в прошлом. Кардано мог первым наметить статистический подход к теории вероятностей, но характерное для его времени и психологии игрока отношение к жизни обусловило интерес толь­ко к субъективно-волевому аспекту вероятностей, и такое пони­мание не стыковалось с тем, что он пытался осуществить на пути измерения.

Кардано осознавал, что он стоит перед чем-то значительным. В ав­тобиографии он, оценивая «Liber de Ludo Aleae» как одно из своих главных достижений, отметил, что «открыл разум для тысячи пора­зительных фактов». Заметьте слова «разум для». Упоминаемые в книге факты о частоте исходов были известны каждому игроку, но не было теории, объясняющей эти частоты. Кардано высказывает характерную для теоретика жалобу: «...эти факты много дают для понимания, но вряд ли что-либо для самой игры».

В автобиографии Кардано сообщает, что написал «Liber de Ludo Aleae» в 1525 году, будучи еще молодым человеком, и переписал за­ново в 1565-м. При экстраординарной оригинальности книга чрезвычайно беспорядочна. Она собрана из бесчисленных черновых на­бросков и решений проблем, которые появляются в одном месте, перемежаются с решениями, базирующимися на существенно от­личных методах, описанных в другом месте. Отсутствие какой-ли­бо системы в использовании математических символов страшно за­трудняет понимание текста. Работа не публиковалась при жизни Кар-дано. Она была найдена среди рукописей после его смерти и впервые опубликована в Базеле только в 1663 году. К этому времени в тео­рии вероятностей был достигнут значительный прогресс силами дру­гих ученых, которые не были знакомы с направленными к той же цели усилиями Кардано.

Если бы эта работа не пролежала целое столетие в безвестности, содержащиеся в ней обобщения, касающиеся вероятностей в играх, могли бы значительно ускорить развитие математики и теории ве­роятностей. Здесь впервые сформулировано общепринятое теперь представление вероятности через отношение числа благоприятных исходов к «совокупности» (circuit), то есть к общему числу воз­можных исходов. Например, когда мы говорим, что шансы выбра­сывания орла или решки составляют 50/5о> эт° значит, что орел выпадает в одном из двух равновозможных случаев. Вероятность достать даму из колоды карт составляет Vis> поскольку в колоде из 52 карт имеется четыре дамы; вероятность же достать даму пик равна !/52' поскольку в колоде только одна дама пик.

Последуем за Кардано в его рассмотрении вероятностей различ­ных результатов бросков при игре в кости1'. В главе 15 его «Liber de Ludo Aleae», в параграфе, озаглавленном «О выбрасывании од­ной кости», он проясняет некоторые общие принципы, ранее ни­кем не рассматривавшиеся:

Частоты появления значений, относящихся к каждой из двух половин числа граней, одинаковы; отсюда шансы, что данное значение выпадет в трех бросках из шести, равны шансам, что одно из трех заданных значений выпадет в одном броске. Например, я могу легко выбросить один, три или пять, так же как два, четыре или шесть. Ставки должны соответствовать этому равенству, если игра ведется честно14.

Далее Кардано продолжает вычислять вероятность того, что в од­ном броске выпадет одно из двух чисел, скажем 1 или 2. Ответ: один шанс из трех, или 33%, поскольку речь идет о двух исходах из шести возможных. Он также подсчитывает вероятность повто­рения благоприятных исходов при бросании одной кости. Вероят­ность того, что в двух бросках подряд выпадет 1 или 2, равна 1/д, то есть квадрату одного шанса из трех, или 1/3, умноженной сама на себя. Вероятность того, что в трех бросках подряд выпадет 1 или 2, равна 1/27, или */з x Vs x Va» a вероятность выбросить 1 или 2 в четырех бросках подряд равна 1/3 в четвертой степени.

Кардано продолжает определять вероятность выбросить 1 или 2 с двумя костями вместо одной. Если шансы, что в одном броске
выпадет 1 или 2, оцениваются как один к трем, интуиция под­
сказывает, что при бросании двух костей они удвоятся и достиг­
нут 67%. Правильным ответом будет соотношение пять к девяти,
или 55,6%. Действительно, при выбрасывании двух костей есть
один шанс из девяти, что 1 или 2 выпадут сразу на двух костях
в одном броске, но вероятность того, что на каждой кости выпа­
дет 1 или 2, уже подсчитана ранее; значит, мы должны вычесть
1/9 из 67%, предсказанных нами на основе интуиции. Отсюда
1/3 + 1/3 - 1/9 = 5/9.

Далее Кардано углубляется в игры с большим числом костей и большим числом успешных исходов при большем числе бросков. В конце концов это исследование приводит его к обобщению за­конов о шансах, которое превращает экспериментальный резуль­тат в теорию.

Он рассматривает принципиальный переход от бросков одной кости к броскам с двумя костями. Еще раз, но более детально, проследим за его рассуждениями. Хотя две кости имеют в сумме двенадцать граней, Кардано в случае двух костей не определяет вероятность выбрасывания 1 или 2, исходя из предположения, что число возможных исходов равно двенадцати. Он замечает, что игрок может, например, выбросить 3 на первой кости и 4 на второй, но точно так же он может выбросить 4 на первой кости и 3 на второй.

Число возможных комбинаций, образующих совокупность — об­щее число возможных исходов, — оказывается значительно боль­шим, чем общее число граней на двух костях. Заметив решающую роль комбинаций чисел, Кардано сделал гигантский шаг на пути разработки вероятностных законов.

Игра в крепе дает полезную иллюстрацию важности комбина­ций в вычислении вероятностей. Как продемонстрировал Кардано, бросание пары шестигранных костей дает не одиннадцать (от двух до двенадцати), а тридцать шесть возможных комбинаций, от «зме­иных глаз» (один-один) до «вагончиков» (шесть-шесть).

Семерку, ключевое число в крепсе, выбросить легче всего. Она в шесть раз более вероятна, чем дубль-один или дубль-шесть, и в три раза более вероятна, чем одиннадцать, другое ключевое число. Шесть возможных исходов, дающих семерку, суть следующие: 6 + 1,5 + 2, 4 + 3, 3 + 4, 2 + 5и 1+6; заметьте, что эти исходы есть не что иное, как варианты представления сумм трех различных комбина­ций — 5 и 2, 4 и 3, 1 иб. Одиннадцать получается только в двух исходах, потому что образуется из двух вариантов представления суммы одной комбинации: 5 + 6 и 6 + 5. Есть только по одному варианту для представления дублей — от один-один до шесть-шесть. Игроки в крепе повысят свой класс, если запомнят следующую таблицу:

Вероятность каждой суммы при бросании пары костей

Сумма

Вероятность

12

1/36

13

2/36»

ИЛИ 1/18

14

3/36>

ИЛИ 1/12

15

4/36»

ИЛИ !/9

16

5/36

17

6/36,

или 1/6

18

5/36

19

4/36,

ИЛИ 1/9

10

3/36,

ИЛИ 1/12

11

2/36,

ИЛИ 1/18

12

Vse

В триктрак, другой игре, в которой игроки бросают две кости, числа на каждой кости могут или складываться, или рассматри­ваться порознь. Это значит, что, если, например, брошены две кос­ти, 5 может получиться пятнадцатью разными путями:

5 + 1

5 + 2

5 + 3

5 + 4

5 + 5

5 + 6

  1. + 5

  2. + 5

  3. + 5

  4. + 5

6 + 5
1+4
4 + 1

  1. + 3

  2. + 2

Вероятность выбросить пятерку равна 15/з6> или 42%15.

Здесь важна семантика. По определению Кардано, вероятность некоего исхода есть отношение числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов. Шансы (odds) некоего исхода есть отношение числа благоприятных исходов к числу неблагопри­ятных исходов. Шансы, разумеется, зависят от вероятности, и их удобнее использовать при заключении пари.

Если вероятность выбросить пятерку в триктрак равна 15 удач­ным броскам на каждые 36 бросков, то шансы выбросить пятерку равны отношению 15 к 21. Если вероятность выбросить 7 в крепсе равна одному удачному на каждые шесть бросков, то шансы выбро­сить число, отличное от 7, равны 5 к 1. Это значит, что вы должны ставить не более одного доллара за то, что в следующем броске выпа­дет 7, если ваш партнер поставил 5 долларов против. При подбрасы­вании монеты орел выпадает с вероятностью один к двум. Поскольку шансы выбросить орел и решку равны, никогда не ставьте больше, чем ваш партнер по игре. Если шансы в заезде на бегах оцениваются как 1 к 20, теоретическая вероятность того, что ваша кляча победит, оценивается как 1 из 21, или 4,8%, т. е. менее 5%.

Мы никогда не узнаем, писал ли Кардано «Liber de Ludo Aleae» как учебник для игроков или как теоретический труд по теории вероятностей. Учитывая место игры в его жизни, правила игры могли послужить только поводом для этой работы, но мы не берем­ся с уверенностью это утверждать. Игра — идеальная лаборатория для проведения экспериментов по квантификации риска. Необык­новенная интеллектуальная любознательность Кардано и набор ма­тематических принципов, которые он имел смелость охватить в «Ars Magna», позволяют предположить, что он мог искать нечто большее, чем путь к выигрышу за игорным столом.

Кардано начал «Liber de Ludo Aleae» в духе экспериментально­го исследования, а закончил созданием теоретических основ ком­бинаторики. Более того, оригинальные взгляды на роль вероятнос­ти в случайных играх, не говоря уже о математических средствах, примененных Кардано для решения поставленных задач, позволя­ют считать «Liber de Ludo Aleae» первой в истории попыткой из­мерения риска. Именно благодаря блестящим достижениям Карда­но возникла сама идея и возможность управления риском. Каковы бы ни были мотивы написания книги, она стала выдающимся про­изведением, полным оригинальности и математической смелости.

Но главным героем этой истории является не Кардано, а время, в которое он жил. Возможность открыть то, что открыл он, суще­ствовала тысячи лет. И индо-арабская система счисления достигла Европы по меньшей мере за триста лет до написания «Liber de Ludo Aleae». He хватало свободы мысли, страсти к эксперименту и стремления взять под контроль будущее, которые были пробужде­ны Ренессансом.

Последним великим итальянцем, бившимся над проблемами ве­роятности, был Галилео, родившийся, как и Шекспир, в 1564 году, когда Кардано уже состарился16. Подобно очень многим своим со­временникам, Галилео обожал экспериментировать и не упускал ни одного повода использовать для эксперимента все, что попадалось ему на глаза. Даже собственный пульс он использовал для измере­ния времени.

Однажды в 1583 году во время службы в Пизанском кафед­ральном соборе Галилео обратил внимание на лампу, свисавшую с потолка. Порывы сквозняка раскачивали ее то сильнее, то сла­бее. Он заметил, что все колебания совершались за один и тот же промежуток времени независимо от величины амплитуды. Резуль­татом этого случайного наблюдения стало использование маятника для производства часов. За тридцать лет среднесуточная ошибка таких часов была снижена с пятнадцати минут до десяти секунд и менее. Это был союз времени и технологии. Таков был стиль жиз­ни Галилео.

Около сорока лет спустя, уже будучи Первым и Экстраординар­ным Математиком Пизанского университета и Математиком Его светлости Козимо II, Великого герцога Тосканского, он написал короткое эссе об игре, «чтобы угодить ему, приказавшему описать, что мне пришло в голову об этой проблеме»17. Эссе называлось «Sopra le Scoperte del Dadi» («Об игре в кости»). Использование итальянского вместо латыни указывает на то, что Галилео не слишком уважал тему своей работы и считал ее не стоящей серь­езного обсуждения. Создается впечатление, что он без энтузиазма работал над очередным малопрестижным заданием, полученным от хозяина, Великого герцога, пожелавшего увеличить свои шансы за игорным столом.

При написании этого эссе Галилео удалось использовать работу Кардано, хотя до ее публикации оставалось еще сорок лет. Фло­ренс Найтингейл Давид (David), историк и статистик, предполо­жил, что Кардано так долго размышлял над этими проблемами, что непременно должен был обсуждать их с друзьями. Более того, он был популярным лектором. Так что математики имели возмож­ность хорошо познакомиться с содержанием «Liber de Ludo Aleae», даже не читая саму книгу18.

Подобно Кардано, Галилео занялся анализом результатов, по­лучаемых при бросании одной или нескольких костей, описал об­щие выводы о частоте различных комбинаций и типы исходов. Между прочим, он утверждал, что использовал методологию, до­ступную любому математику. В частности, основанная на понятии случайности концепция вероятности настолько прочно утвердилась к 1623 году, что Галилео полагал, что он здесь мало что способен добавить.

Однако еще оставалось широкое поле для открытий. Идеи о ве­роятности и риске развивались быстрыми темпами, а интерес к этим проблемам через Францию распространился на Швейцарию, Германию и Англию.

Франция, например, в течение XVII и XVIII веков испытала на­стоящий математический бум, герои которого пошли значительно дальше экспериментов Кардано с бросанием костей. Успехи вычис­лительных методов и алгебры привели к бурному развитию абст­рактных математических понятий и обеспечили обоснование мно­гих практических приложений вероятности — от страхования и инвестирования до таких, казалось бы, далеких от математики предметов, как медицина, наследственность, поведение молекул, стратегия и тактика военных действий и предсказание погоды.

Первым шагом была разработка измерительных методов, при­годных для определения степени упорядоченности, которая может скрываться в неопределенном будущем. Попытки разработать такие методы впервые были предприняты еще в XVII веке. В 1619 году, например, пуританский священник Томас Гатакер опубликовал на­шумевшую работу «О природе и использовании жребия» («Of the Nature and Use of Lots»), в которой утверждал, что исход случайных игр определяет не Бог, а закон природы вещей, или естественный закон19. К концу XVII века, спустя почти сто лет после смерти Кар-дано и менее чем через пятьдесят лет после смерти Галилео, были решены важные проблемы теории вероятностей. Следующим шагом было решение вопроса о том, как люди осознают вероятности и реа­гируют на них в реальной жизни. Этим в конечном счете и занима­ются теории управления риском и принятия решений, и здесь ба­ланс между объективными данными и волевыми качествами при­обретает решающее значение.

Глава 4

Французские знакомства

Ни Кардано, ни Галилео не заметили, что они вплотную по­дошли к формулировке законов вероятности, являющихся главным орудием управления риском. Кардано сделал на основе своих экспериментов ряд весьма важных обобщений, но ин­тересовала его не столько теория вероятностей, сколько оптимиза­ция игры, а Галилео даже теория игры не особо интересовала.

Галилео умер в 1654 году. Двенадцать лет спустя три француза осуществили наконец гигантский прорыв в таинственный мир нео­пределенности, и затем меньше чем за десять лет рудиментарная идея превратилась в хорошо разработанную теорию, расчистившую путь замечательным практическим достижениям. Голландец Гюй­генс в 1657 году опубликовал ставший очень популярным учебник по теории вероятностей (который в 1664 году внимательно прочел и отметил Ньютон); примерно в это же время Лейбниц размышлял над возможностью применения теории вероятностей к решению юридических проблем; а в 1662 году монахи парижского монастыря Пор-Рояль выпустили новаторскую работу по философии и вероят­ности под названием «La logique» («Логика»). В 1660 году англи­чанин Джон Грант опубликовал результаты своего анализа демо­графических данных на основе статистики смертности, взятой им из записей в церковноприходских регистрационных книгах. К кон­цу 1660 года в голландских городах, традиционно финансировавших городские нужды за счет продажи пожизненной ренты, на этой ос­нове была создана действенная система страхования. К 1700 году, как мы уже отмечали ранее, и английское правительство стало по­крывать свой бюджетный дефицит за счет продажи полисов по­жизненной ренты.

А началось все со странной троицы французов, которые, глядя на игровой стол, заложили теоретические основы измерения веро­ятности. Одним из них был Блез Паскаль, блистательный молодой повеса, который стал впоследствии религиозным фанатиком и кон­чил полным отрицанием ценности разума. Другой, Пьер Ферма, преуспевающий адвокат, для которого математика была побочным занятием. Третьим был аристократ шевалье де Мере, совмещавший свое увлечение математикой с неудержимой страстью к азартным играм; он вошел в историю тем, что сформулировал задачу, ре­шение которой привело двух остальных на тропу открытий.

Ни молодой повеса, ни адвокат не нуждались в экспериментах для подтверждения своих гипотез. В отличие от Кардано они с пер­вых шагов работы над теорией вероятностей пользовались индук­тивным методом. Теория позволила измерять вероятности в чис­ленном виде и отказаться от принятия решений на основе субъек­тивных мнений.

Склонный к философствованию знаменитый математик Пас­каль родился в 1623 году, когда Галилей заканчивал эссе «Об игре в кости». Рожденный во время религиозных войн XVII столетия, он провел полжизни в метаниях между блистательной математи­ческой карьерой и уходом в религиозную экзальтацию, по суще­ству своему антиинтеллектуальную. Хотя он был замечательным математиком и гордился своими достижениями как «мастера гео­метрии», самой сильной страстью его жизни оказались в конечном итоге религиозные переживания1.

Паскаль начинал жизнь как вундеркинд. Очарованный форма­ми и фигурами мальчик самостоятельно доказал большинство тео­рем евклидовой геометрии, заполняя геометрическими построени­ями плитки пола детской комнаты. В возрасте 16 лет он написал работу, посвященную коническим сечениям, поразившую великого Декарта.

Увлечение маленького Блеза математикой сослужило хорошую службу его отцу, который тоже был в своем роде математиком и вел обеспеченную жизнь в качестве сборщика, а если говорить точнее, откупщика налогов. Откупщик налогов ссужал деньгами монарха, подобно фермеру, засевающему поле, — и затем собирал деньги с населения, как тот же фермер собирает жатву, в надежде собрать больше, чем посеял.

Когда Паскаль был еще совсем мальчишкой, он изобрел и за­патентовал счетную машину для облегчения скучной работы М. Паскаля по ежедневному подведению баланса. Это хитроумное механическое устройство с приводами и колесами, которые вра­щались взад-вперед, складывая и вычитая, было предшественни­ком современных электронных калькуляторов. Юный Паскаль выполнял на своей машине также умножение и деление и даже начал разрабатывать конструкцию для извлечения квадратных корней. К сожалению, в течение последующих 250 лет клерки и бухгалтеры не могли использовать эту машину из-за очень высо­кой стоимости.

Заметив гениальные способности своего сына, отец Блеза, когда тому исполнилось четырнадцать лет, ввел его в избранный кружок, еженедельно собиравшийся для дискуссий в доме иезуитского свя­щенника по имени Марен Мерсенн, расположенном недалеко от Королевской площади в Париже. В первой половине XVII века дом аббата Мерсенна был центром мировой науки и математики. Не до­вольствуясь организацией еженедельных дискуссий с участием крупнейших ученых, аббат своим неровным почерком вел обшир­нейшую переписку с учеными всей Европы, сообщая всем и каж­дому обо всем, что было нового и интересного2.

В отсутствие ученых обществ, профессиональных журналов и других средств обмена идеями и информацией Мерсенн внес цен­ный вклад в развитие и распространение новых научных теорий. Парижская Академия наук и Лондонское Королевское общество, основанные лет через двадцать после его смерти, были прямыми наследниками его кружка.

Хотя ранние работы Блеза Паскаля по геометрии и алгебре произвели большое впечатление на сильных математиков, которых он встретил в кружке Мерсенна, у него скоро возникли прямо про­тивоположные интересы. В 1646 году старший Паскаль поскольз­нулся на льду и сломал бедро; костоправы, приглашенные ухажи­вать за ним, оказались членами ордена янсенистов. Эти люди ве­рили, что единственный путь к спасению лежит через аскетизм, жертвенность, смирение и самоограничение. Они проповедовали, что человек, который не стремится неустанно ко все более высо­кому духовному очищению, неминуемо скатится в бездну греха. Утверждая примат чувства и веры, они третировали разум, считая его помехой на пути к искуплению.

Залечив бедро Паскаля-отца, янсенисты в течение трех месяцев обрабатывали душу Паскаля-сына, который с энтузиазмом воспри­нял их доктрину. Теперь он избегал и математики, и других наук, и всех развлечений своей прежней парижской жизни. Религия по­глотила его целиком. Объясняя свое состояние, он смог только сказать: «Кто поместил меня сюда? По чьему повелению и предпи­санию это место и это время предназначены мне? Вечная тишина этого бесконечного пространства приводит меня в ужас»3.

Ужас неожиданно поразил его и с другой стороны. В 1650 году в возрасте 27 лет он стал жертвой частичного паралича, его пре­следовали страшные головные боли, и было трудно глотать пищу. В качестве лечения доктора предписали ему встряхнуться и вер­нуться к прежней рассеянной жизни. Не теряя времени, Паскаль последовал их советам. После смерти отца он сказал своей сестре: «Не будем горевать, подобно язычникам, не имеющим надежды»4. Он встряхнулся настолько, что даже превзошел свой прежний раз­гульный образ жизни, и стал постоянным посетителем парижских игорных домов.

Вернувшись к мирской суете, Паскаль возобновил свои иссле­дования, касающиеся математики и смежных дисциплин. В одном из экспериментов он, вопреки господствовавшему еще со времен Аристотеля мнению, будто природа боится пустоты, доказал суще­ствование вакуума. В ходе этого эксперимента он продемонстриро­вал, что атмосферное давление может быть измерено на разных высотах с помощью ртути, заключенной в трубку, из которой вы­качан воздух.

Примерно в это же время состоялось знакомство Паскаля с ше­валье де Мере, который гордился своими математическими способ­ностями и умением просчитывать шансы в казино. Как-то в конце 1650 года в письме к Паскалю он хвастал: «Я открыл в математике вещи весьма необычные, о которых лучшие ученые прежних времен никогда не помышляли и которыми были поражены лучшие мате­матики Европы»5.

Кажется, он сумел произвести впечатление на самого Лейбница, отозвавшегося о шевалье как о «человеке острого ума, который был одновременно игроком и философом». Правда, в другой раз Лейбниц заметил: «Я почти смеялся над важничаньем шевалье де Мере в его письме к Паскалю»6.

Паскаль согласился с Лейбницем. «У месье де Мере, — писал он своему коллеге, — хорошая голова, но он не геометр, а это, са­ми понимаете, большой недостаток»7. Здесь Паскаль высказался как профессионал, которому приятно уколоть дилетанта. Во вся­ком случае, он не особенно высоко ставил математические дости­жения шевалье8.

Однако именно от Паскаля мы узнаём об интуитивном понима­нии вероятности, которым обладал де Мере. Играя, он ставил вновь и вновь на комбинации, приносившие ему небольшие выигрыши, которые его противники считали чисто случайными. Согласно Пас­калю, он знал, что если метнуть одну кость четыре раза, то вероят­ность увидеть шестерку превысит 50%, а точнее — 51,77469136%. Его стратегия заключалась в том, чтобы выигрывать помалу при большом числе бросков, избегая делать редкие крупные ставки. Эта стратегия требовала много денег, потому что шестерка могла довольно долго не выпадать и приходилось удлинять серию бросков, дожида­ясь, пока средний процент появления шестерки превысит 50% 9.

Де Мере пытался варьировать свою систему, ставя на то, что sonnez, или дубль-шесть, в 24 бросках двух костей должен выпа­дать с вероятностью, большей 50%. На этом он потерял довольно много денег, пока не выяснилось, что эта вероятность при 24 брос­ках составляет только 49,14%. Если бы он ставил на 25 бросков, при которых вероятность дубль-шесть составляет 50,55%, он мог бы разбогатеть. История освоения стратегии риска окрашена не только в красный цвет, но и в черный.

До встречи с Паскалем шевалье неоднократно обсуждал со мно­гими французскими математиками задачу об очках — как два иг­рока в balla должны разделить банк в случае прекращения нео­конченной игры, однако никто не смог дать ему вразумительный ответ.

Хотя эта задача заинтересовала Паскаля, он не захотел решать ее самостоятельно. В наши дни такая проблема стала бы темой об­суждения для группы специалистов на ежегодном семинаре одного из научных обществ. Во времена Паскаля такой форум был невоз­можен. В лучшем случае небольшая компания ученых могла обсу­дить проблему в интимной обстановке гостиной аббата Мерсенна, но обычно в таких ситуациях прибегали к личной переписке с другими математиками, которые могли подсказать что-либо полезное для решения задачи. В 1654 году Паскаль обратился к Пьеру де Кар-кави, члену кружка аббата Мерсенна, который свел его с тулузским адвокатом Пьером де Ферма.

Вряд ли Паскаль мог найти лучшего партнера для решения этой задачи. Ферма был феноменально образованным человеком10. Он говорил на всех основных европейских языках, на некоторых из них даже писал стихи и составлял обширные комментарии к греческим и римским авторам. Кроме того, он обладал редкостным талан­том математика. Независимо от Декарта он изобрел аналитическую геометрию, внес большой вклад в раннее развитие численных мето­дов, проводил исследования, направленные на определение веса Земли, изучал оптические явления, в частности рефракцию свето­вых волн. В ходе оказавшейся весьма продолжительной переписки с Паскалем он внес значительный вклад в теорию вероятностей.

Но коронные достижения Ферма относятся к теории чисел — анализу структурных соотношений каждого числа с остальными. Эти соотношения порождают бесчисленные головоломки, некоторые из которых не нашли решения и по сей день. Греки, например, об­наружили то, что они назвали совершенными числами, — это числа, которые равны сумме всех своих делителей, за исключением их са­мих, подобные 6 = 1 + 2 + 3. Следующее после 6 совершенное чис­ло 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Третье такое число — это 496, следую­щее — 8128. Пятое совершенное число — 33 550336.

Пифагор открыл то, что он называл дружественными числами или «вторыми я» чисел, представляющие собой суммы всех дели­телей, отличных от самого числа. Все делители числа 284, то есть 1, 2, 4, 71 и 142, в сумме дают 220; все делители числа 220, то есть 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 и 110, в сумме дают 284.

Никому не удалось установить правила для нахождения всех существующих совершенных чисел или всех дружественных чисел, как никто не сумел вывести формулы рядов, в которых они следу­ют друг за другом. С аналогичными трудностями мы сталкиваемся при рассмотрении простых чисел, подобных 1, 3 или 29, каждое из которых делится только на 1 и на самого себя. С одной стороны, Ферма считал, что он получил формулу вычисления простых чи­сел, но, с другой стороны, он предупреждал, что не смог теорети­чески доказать ее всеобщность. Формула, которую ему удалось найти, выдает 5, затем 17, затем 257 и, наконец, 65 537 — всё простые числа, а следующим числом, получаемым на основе его формулы, оказывается 4 294 967 297.

По-видимому, наибольшую славу Ферма принесло нацарапанное на полях «Арифметики» Диофанта утверждение, известное как ве­ликая теорема Ферма. Несмотря на трудность его доказательства, суть этого утверждения изложить несложно.

Греческий математик Пифагор впервые показал, что квадрат наи­большей стороны прямоугольного треугольника, гипотенузы, равен сумме квадратов двух других его сторон. Диофант, один из древней­ших исследователей квадратных уравнений, написал сходное выра­жение: х4 + у* + г4 = и2. «Почему, — спрашивает Ферма, — Диофант не искал две [вместо трех] четвертых степени, дающих в сумме квадрат некоего числа? Дело в том, что это невозможно, и мой ме­тод дает возможность доказать это со всей строгостью»11. Ферма заметил, что Пифагор был прав, написав а2 + Ь2 = с2, но а3 + Ь3 не будут равны с3 и ни для одного показателя степени, большего чем 2, такое равенство не будет выполняться: теорема Пифагора верна толь­ко для квадратов.

И затем Ферма написал на полях книги: «У меня есть прекрас­ное доказательство этого утверждения, но здесь негде его запи­сать»12. Этой короткой фразой он ошарашил математиков, которые вот уже 350 лет пытаются найти теоретическое доказательство утверждения, получившего многочисленные эмпирические подтверж­дения. В 1993 году английский математик Эндрю Уайлс (Wiles) заявил, что он решил эту головоломную задачу после семи лет ра­боты в Принстоне. Его результаты были опубликованы в «Annals of Mathematics» в мае 1995 года, но математики всё еще спорят относительно того, что он, собственно, получил.

Великая теорема Ферма представляет собой скорее курьез, чем постижение окружающего мира. А вот решение, которое Ферма и Паскаль разработали для задачи о разделе банка в незавершенной игре, до сих пор приносит пользу обществу в качестве краеуголь­ного камня современной системы страхования и других форм уп­равления риском.

Решение задачи об очках основывается на том, что игрок, опе­режающий противника в момент остановки игры, имеет больше шансов на победу, если игра продолжится. Но насколько больше? Насколько малы шансы отстающего игрока? Как, в конце концов, перекинуть мост от этой задачи к науке прогнозирования?

Переписка Паскаля и Ферма, которую они вели по этому по­воду в 1654 году, обозначила эпохальное событие в истории мате­матики и теории вероятностей* ( Эта переписка в полном объеме, переведенная на английский язык, опубликована в: [David, 1962, Приложение 4].). Удовлетворяя любопытство, про­явленное к этой старой проблеме шевалье де Мере, они создали си­стематический метод анализа ожидаемых исходов. Поскольку мо­жет произойти больше вещей, чем происходит на самом деле, Пас­каль и Ферма предложили процедуру определения вероятности каждого из возможных результатов при допущении, что исходы могут быть оценены математически.

Они подошли к проблеме с разных позиций. Ферма обратился к чи­стой алгебре. Паскаль оказался более изобретательным: он использовал геометрическую форму для представления алгебраических структур. Его методология проста и приложима к широкому спектру проблем теории вероятностей.

Основная математическая идея, стоящая за этим геометрическим представлением алгебраических соотношений, зародилась задолго до Паскаля и Ферма. Омар Хайям обсуждал ее примерно на 450 лет раньше. В 1303 году китайский математик Ху Шайчи, явно не пре­тендуя на оригинальность, подошел к проблеме с помощью способа представления, который он называл «правдивое зеркало четырех элементов». Кардано тоже знал об этом методе13.

Правдивое зеркало Ху приобрело известность как треугольник Паскаля. «Пусть кто-нибудь попробует утверждать, что я не сказал ничего нового, — с гордостью пишет Паскаль в автобиографии. — Новшеством является трактовка предмета. Когда мы играем в тен­нис, мяч у нас общий, но один из нас играет лучше»14.

1

1 1

121

1331

14641

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

С первого взгляда на треугольник Паскаля рябит в глазах, но его структура достаточно проста: каждое число равно сумме двух чисел, расположенных над ним справа и слева.

Вероятностный анализ начинается с вычисления числа возмож­ных ситуаций, обеспечивающих определенный исход некоего собы­тия — circuit Кардано* (См.главу 3, стр. 68. — Примеч. переводчика.). Именно эта совокупность и представлена последовательностью чисел в каждой строке треугольника Паска­ля. Первая строка представляет вероятность события, которое не может не произойти. Здесь возможен только один исход с нулевой неопределенностью; это, по сути, не относится к вероятностному анализу. Вторая строка уже представляет вероятностную ситуацию с шансами 50 на 50: вероятность исхода в ситуации, подобной рож­дению мальчика или девочки в семье, планирующей иметь только одного ребенка, или вероятность того, что при одном броске моне­ты вам выпадет именно орел или решка. При наличии только двух возможных исходов результат может быть тот или иной: мальчик или девочка, орел или решка; вероятность рождения мальчика, а не девочки или выпадения орла, а не решки равна 50%.

Рассмотрим в том же духе остальные строки треугольника. Тре­тья строка моделирует ситуацию с семьей, в которой двое детей. Возможны четыре варианта: один шанс за двух мальчиков, один шанс за двух девочек и два шанса за то, что в семье есть и маль­чик, и девочка — мальчик старше и мальчик младше девочки. Те­перь в конечном счете один мальчик (или одна девочка) появляют­ся в трех из четырех исходов, и, таким образом, вероятность нали­чия мальчика (или девочки) в семье с двумя детьми равна 75%, вероятность наличия мальчика и девочки в одной такой семье рав­на 50%. Очевидно, что процесс зависит от комбинаций чисел, ко­торые были отмечены в работе Кардано, правда еще не опублико­ванной к тому времени, когда Паскаль взялся за решение задачи.

Этот же метод анализа приводит к решению задачи об очках. Рас­смотрим вместо предложенной Пацциоли игры в balla бейсбол. Како­ва вероятность того, что ваша команда победит в World Series*(Первенство США по бейсболу. — Примеч. переводчика.) после проигрыша первого матча? Если мы, как в'случайных играх, пред­положим, что две команды играют одинаково, задача оказывается идентичной задаче об очках, которую решали Ферма и Паскаль15.

Допустим, вторая команда уже выиграла одну игру. Каково чис­ло разных последовательностей результатов, возможных в шести иг­рах, и какие из этих побед и поражений приведут вашу команду к победам в четырех играх, необходимым для выигрыша? Ваша ко­манда может выиграть вторую игру, проиграть третью и затем вы­играть последующие три. Она может проиграть две игры подряд и выиграть последующие четыре. Или она может выиграть нужные четыре игры сразу, оставив команду-соперника только с одним вы­игрышем. Сколько существует возможных комбинаций побед и пора­жений в серии из шести игр? Треугольник дает ответ на этот вопрос. Все, что вам нужно, вы найдете в соответствующей строке.

Заметьте, что вторая строка треугольника, строка с шансами 50 на 50, моделирует задачу о семье, имеющей одного ребенка, или задачу об одном броске монеты и описывает события с числом ис­ходов, равным 2. Следующая строка показывает распределение ис­ходов в задаче о семье с двумя детьми или в задаче о двух бросках монеты и описывает события, у которых число возможных исходов равно 4, или 22. Следующая строка описывает события с числом исходов, равным 8, или 23, и показывает распределение исходов в задаче о семье с тремя детьми. В задаче с шестью играми, остав­шимися для определения победителя турнира, вам нужно рассмот­реть строку с числом возможных исходов 26 , то есть с 64 возмож­ными последовательностями побед и поражений2). Последователь­ность чисел в этой строке такова:

1 6 15 20 15 6 1

Помните, что вашей команде для победы нужно выиграть еще четыре игры, а команде соперников нужны только три победы. Возможен случай, когда ваша команда выиграет все игры, а ее со­перники не одержат ни одной победы; число 1 в начале строки от­носится к этому случаю. Следующее число 6. Оно фиксирует шесть разных возможных последовательностей исходов, при осуществле­нии которых ваша команда В выиграет турнир, а ее соперники С выиграют только одну игру:

OYYYYY YOYYYY YYCYYY YYYCYY YYYYOY YYYYYO

И существует пятнадцать разных возможных последовательнос­тей исходов, при осуществлении которых ваша команда выиграет четыре игры, в то время как команда соперников победит дважды.

Все остальные комбинации в конце концов приводят к трем нужным для победы соперников выигрышам их команды и мень­шему, чем необходимо для победы вашей команды (напоминаем: ей нужны четыре победы), числу ее выигрышей. Это значит, что суще­ствует 1 + 6 + 15 = 22 комбинации, при осуществлении которых ваша команда победит после поражения в первом матче, и 42 комбинации, при которых чемпионом станет команда соперников. В результате ве­роятность того, что после первого поражения ваша команда в остав­шихся шести играх выиграет четыре прежде, чем команда соперни­ков выиграет три, равна 22/64» или чуть больше одной третьей.

2' Математики заметят, что Паскаль на самом деле ввел здесь биномиальное распреде­ление, или коэффициенты возведения (а + ft) в степени, представленные целыми числами. Например, первой строке соответствует (а + fc)° = 1, в то время как чет­вертой строке соответствует (а + Ь)3 = 3 + За2Ь + Зой2 + 1Ь3.

Из примера следует еще кое-что. Зачем ваша команда будет играть все шесть оставшихся игр в последовательности, в которой она может победить досрочно? Или зачем соперники будут играть все четыре игры, если они могут выиграть в трех и этого им будет достаточно для победы?

Хотя на деле ни одна команда не станет продолжать игру после достижения необходимого для определения чемпиона числа выиг­рышей, логически законченное решение проблемы было бы неосу­ществимо без рассмотрения всех математических возможностей. Как заметил Паскаль в переписке с Ферма, в ходе решения задачи математические законы должны доминировать над желанием са­мих игроков, рассматриваемых только как абстракции. Он поясня­ет, что «для них обоих абсолютно безразлично и несущественно, будет ли [игра] на деле идти до самого конца».

Переписка была для Паскаля и Ферма восхитительным опытом исследования новых интеллектуальных пространств. Ферма писал Каркави о Паскале: «Я уверен, что он способен решить любую про­блему, за которую возьмется». В одном из писем к Ферма Паскаль признаётся: «Ваши числовые построения... превосходят мое по­нимание». В другом месте он характеризует Ферма как «челове­ка такого выдающегося интеллекта... и такого высочайшего мас­терства... [что его работы] сделают его первым среди геометров Европы».

У рассматриваемой задачи были аспекты, которые и Паскаля, глубоко погруженного в религиозные и моральные искания, и юри­ста Ферма беспокоили больше, чем связанные с ней математиче­ские проблемы. Согласно полученному ими решению, раздел банка в неоконченной игре в balla затрагивает проблемы морального пра­ва. Хотя игроки могли бы сразу поделить банк поровну, это реше­ние Паскалю и Ферма кажется неприемлемым, потому что оно бы­ло бы несправедливым по отношению к игроку, который к момен­ту прекращения игры оказывается впереди16.

Паскаль явно озабочен моральными аспектами проблемы и ос­торожен в словах. В своих комментариях к этой работе он отмеча­ет: «...в первую очередь следует признать, что деньги, поставлен­ные игроками на кон, им больше не принадлежат... но взамен они получают право ожидать того, что им принесет удача в соответ­ствии с правилами, на которые они согласились вначале». Если они решат остановить игру, не доведя ее до конца, им придется вновь восстановить исходные права на внесенные в банк деньги. Тогда «должно действовать правило, согласно которому деньги нужно распределить пропорционально тому, что каждому обещала удача. <...> Это справедливое распределение известно как раздел». Справедливые пропорции раздела определяют принципы теории вероятностей.

С учетом этого подхода становится очевидным, что решение Паскаля-Ферма ярко окрашено идеей управления риском, хотя они явно не использовали это понятие. Только безумец идет на риск, если правила не определены, будь то balla, покупка акций IBM, строительство фабрики или согласие на удаление аппендикса.

Но помимо моральных проблем, предложенное Паскалем и Фер­ма решение приводит к точным обобщениям и правилам вычисле­ния вероятностей, включая случаи участия более чем двух игро­ков, двух команд, двух полов, двух костей или монет с орлом и решкой. Применение этого подхода позволило им расширить границы теоретического анализа далеко за пределы наблюдений Кардано, что две кости с шестью гранями (или два броска одной кости) дадут б2 комбинаций, а один бросок трех костей дает б3 комбинаций.

Последнее письмо в переписке Паскаля и Ферма датировано 27 октября 1654 года. Меньше чем через месяц Паскаль прошел через своего рода мистический опыт. Он зашил описание этого со­бытия в свое платье, чтобы носить его у сердца, провозгласив: «От­речение, абсолютное и сладостное». Он отказался от занятий мате­матикой и физикой, отрекся от роскоши, покинул старых друзей, продал всё, кроме религиозных книг, и вскоре ушел в парижский монастырь Пор-Рояль.

В июле 1660 года Паскаль совершил поездку в Клермон-Фер-ран, недалеко от жилища Ферма в Тулузе. Ферма предложил встретиться, чтобы «обняться и побеседовать пару дней», на пол­пути между двумя городами; он жаловался на плохое здоровье, объясняя нежелание взять на себя труд проехать все расстояние самому. В августе Паскаль в ответ написал:

Я едва помню, что существует такая вещь, как геометрия [т. е. матема­тика. — П. Б.]. Я почитаю геометрию столь бесполезной, что не могу ус­мотреть разницу между геометром и хорошим ремесленником. Хотя я считаю ее лучшим в мире ремеслом, это все же не более чем ремесло... Весьма вероятно, что я никогда больше не буду думать об этом17.

Во время пребывания в Пор-Рояле Паскаль собрал воедино свои мысли о жизни и религии и опубликовал их в книге, озаглавлен­ной «Pensees» («Мысли»)18. Во время работы над этой книгой он за­полнил с обеих сторон два листа бумаги, по словам Хакинга «на­писанные разбегающимся во все стороны почерком... полные подчис­ток, исправлений, производящие впечатление запоздалых раздумий». Этот фрагмент приобрел известность как пари Паскаля (le pari de Pascal). Здесь он задается вопросом: «Есть Бог или нет Бога? К чему нам склониться? Разум молчит».

Опираясь на свой анализ вероятных исходов игры в balla, Пас­каль ставит вопрос в терминах случайных игр. Он постулирует иг­ру, которая продолжается до бесконечности. В данный момент бро­сается монета. На что вы поставите — на орла (Бог есть) или реш­ку (Бога нет)?

Хакинг утверждает, что ход рассуждений Паскаля в предло­женном им варианте ответа на этот вопрос представляет собой на­чало теории принятия решений. «Теория принятия решений, — рассуждает Хакинг, — это теория о том, на что решиться, когда неизвестно, что произойдет»19. Принятие такого решения являет­ся первым и важнейшим шагом при любых попытках управлять риском.

Иногда мы принимаем решения на основе прошлого опыта, тех экспериментов, которые мы или другие проводили в течение жиз­ни. Но нам недоступен эксперимент, способный доказать бытие или небытие Бога. Зато в наших силах исследовать будущие по­следствия веры или неверия в Бога. Мы никогда не сможем изба­виться от этой дилеммы, потому что самим актом своего существо­вания принуждены играть в эту игру.

Паскаль объясняет, что вера в Бога — это не решение. Вы не можете проснуться утром и сказать: «Сегодня, кажется, я решу ве­рить в Бога». Вы верите или не верите. Решением, следовательно, является выбор или отказ от таких действий, которые будут вести к вере в Бога, подобно общению с благочестивыми людьми и сле­дованию жизни «святой и праведной». Следующий этим предписа­ниям ставит на то, что Бог есть. Тот, кто не может смириться с ними, ставит на то, что Бога нет.

Единственный способ выбрать между ставкой на то, что Бог есть, и ставкой на то, что Он не существует, в этой описанной Пас­калем бесконечной игре с бросанием монеты заключается в принятии решения, является ли исход, при котором Бог существует, в не­котором смысле более предпочтительным, чем исход, в соответствии с которым Бог не существует, даже если шансы могут быть толь­ко 50 на 50. Как раз этот взгляд привел Паскаля к решению — к выбору, в котором ценность исхода и вероятность того, что он бу­дет иметь место, различаются, потому что последствия обоих ис­ходов различны3).

Если Бога нет, не важно, ведем мы праведную жизнь или гре­шим. Но предположим, что Бог есть. Тогда, поставив против Его существования и отказавшись от праведной жизни, вы рискуете быть обреченным на вечные муки; поставив же на существование Бога, вы приобретаете возможность спасения, если Он есть. По­скольку спасение, естественно, предпочтительнее вечных мук, пра­вильным следует признать решение исходить в своем поведении из предположения, что Бог есть. «К чему нам склониться?» Для Пас­каля ответ был очевиден.

Здесь Паскаль предвосхитил эпохальное открытие Даниила Бернулли в теории при­нятия решений, сделанное им в 1738 году, о чем мы поговорим подробно в главе 6. Латинское название этой книги было «Ars Cogitandi», см.: [Hacking, 1975, p. 12, 24].

Когда Паскаль решил пустить в оборот прибыль от принадле­жавшей ему омнибусной линии, чтобы оказать финансовую помощь монастырю Пор-Рояль, он получил интересный побочный продукт20. В 1662 году группа его сотоварищей по монастырю опубликовала ра­боту большой важности, «La logique, ou 1'art de penser» («Логика, или Искусство мыслить»), которая между 1662-м и 1668 годами выдержала пять изданий4). Хотя имя ее автора не было названо, основным — но не единственным — автором считается Антуан Арно, которого Хакинг полагает, «по-видимому, самым блестящим теоло­гом своего времени»21. Книга была немедленно переведена на дру­гие европейские языки и еще в XIX столетии использовалась в ка­честве учебника.

В последней части книги есть четыре главы о вероятности, ко­торые касаются процесса развития гипотезы, основанной на огра­ниченном наборе фактов; сегодня этот процесс называют статисти­ческим выводом. Среди прочего в этих главах излагаются «правило должного применения разума в определении ситуаций, когда сле­дует подчиниться авторитету других», правила истолкования чудес, основа для истолкования исторических событий и рассказыва­ется о применении количественных измерений вероятности22.

В последней главе описывается игра, в которой каждый из де­сяти игроков ставит одну монету в надежде выиграть девять монет партнеров по игре. Автор указывает, что есть «девять шансов поте­рять монету и только один — выиграть девять»23. Несмотря на тривиальность, эта фраза заслужила бессмертие. По утверждению Хакинга, это первый случай в печатной литературе, «когда веро­ятность, что называется, измерена»24.

Выражение заслуживает бессмертия не только по этой причине. Автор предполагает, что описываемые им игры тривиальны, но он проводит аналогию с событиями, взятыми из жизни. Например, вероятность быть убитым молнией мала, но «многие люди... очень пугаются при звуках грома»25. Затем он высказывает принципи­ально важное утверждение: «Страх перед ущербом должен быть пропорционален не только величине ущерба, но и вероятности его нанесения»26. Здесь мы сталкиваемся еще с одной важной новой идеей: на решение должны влиять оба фактора — тяжесть послед­ствий и их вероятность. Можно эту мысль сформулировать иначе: решение должно учитывать и силу нашего желания некоего опре­деленного исхода, и оценку того, насколько вероятен желательный исход.

Сила нашего стремления к чему-либо, что представляется по­лезным, быстро становится чем-то большим, чем простой служан­кой вероятности. Полезность занимает центральное место во всех построениях теории принятия решений и готовности к риску. Позже мы не раз вернемся к этой мысли.

Историки любят отмечать случаи, когда что-то очень важное почти случилось, но по той или иной причине все-таки не про­изошло. История треугольника Паскаля — яркий пример такого случая. Мы видели, как можно строить предположения о возмож­ном числе мальчиков и девочек в многодетных семьях. Мы выяс­нили, как определять вероятные результаты в чемпионате (для рав­ных по классу команд) после того, как часть матчей уже сыграна. Короче говоря, мы уже делали прогнозы! Паскаль и Ферма сумели завладеть ключом к систематическому методу вычисления вероят­ности будущих событий. Они еще не повернули этот ключ, но уже вставили его в замок. Значение их открытий для управления риском и принятия решений в бизнесе, в частности в системе страхо­вания, было оценено другими. В «Логике» Пор-Рояля сделан пер­вый важный шаг. От Паскаля и Ферма идея предсказания тенден­ций экономического развития или использования вероятности для предсказания экономических потерь была еще слишком удалена, чтобы они могли заметить и по достоинству оценить ее. Только ретроспективный взгляд позволяет увидеть, как близко они к это­му подошли.

Неизбежная неопределенность будущего никогда не позволит нам полностью изгнать тень рока из наших надежд и страхов, но после 1654 года способ мумбо-юмбо был навсегда вычеркнут из числа методов прогнозирования и выбора решений.

Глава 5

Замечательные идеи

замечательного

галантерейщика

Всем приходится порой принимать решения на основе огра­ниченных данных. Пригубив, а то и только понюхав вино, мы решаем, стоит ли пить его дальше. Ухаживание за бу­дущей женой длится короче, чем предстоящая жизнь. Анализ не­скольких капель крови помогает осудить или оправдать подозрева­емого в убийстве. Опрос 2000 человек позволяет судить о настрое­нии нации. Индекс Dow Jones Industrial строится по данным о по­ведении тридцати выпусков акций, но по нему судят о движении триллионов долларов, принадлежащих миллионам семей и тыся­чам крупных финансовых учреждений. Джорджу Бушу хватило одного листа капусты, чтобы решить, что это не для него.

Многие критические решения невозможно принять без выбо­рочного обследования. Когда вы уже выпили бутылку, поздно за­являть, что вино непригодно или, напротив, весьма хорошо. Чтобы определить группу крови, врачу незачем выкачивать из вас всю кровь до капли, а президенту не нужно опрашивать всех избирателей, чтобы выяснить желания электората, и не стоит съедать всю капус­ту на свете, чтобы понять, что она невкусная.

Выборка является важнейшим элементом стратегии риска. Мы постоянно используем выборки из настоящего и прошлого, чтобы судить о будущем. «В среднем» — всем знакомое выражение. Но на­сколько заслуживает доверия то среднее, к которому мы апеллиру­ем? Насколько представительна выборка, изучив которую мы выно­сим суждение? Вообще, что значит «в среднем»? Статистики шутят, что сидеть на плите с головой в холодильнике в среднем неплохо. Вспомните притчу о слоне и слепых, которые ощупывали его со всех сторон, чтобы понять, что это такое.

Методы статистического выборочного обследования имеют за плечами долгую историю, и нынешние методы существенно совер­шеннее тех, которые использовали в прошлом. Любопытно исполь­зование выборки в процедуре, известной как «испытание ящика» (Trial of the Pyx), которая была впервые проведена в 1279 году по приказу английского короля Эдуарда 11.

Процедура осуществлялась с целью проверить, соответствуют ли отчеканенные на королевском монетном дворе монеты установлен­ным стандартам по составу золота и серебра. Странное слово рух происходит от греческого слова, обозначающего коробку; в данном случае так именовали ящик, в который клали случайно отобранные монеты, выпущенные монетным двором. В ходе испытаний их срав­нивали с королевской золотой пластинкой, которая хранилась в на­глухо запертой специальной часовне Вестминстерского аббатства. Поскольку было невозможно добиться абсолютной точности содер­жания золота в каждой монете, процедура предусматривала опреде­ленные допустимые отклонения от стандарта.

Более амбициозные и важные попытки применить метод статис­тической выборки имели место в 1662 году, восемь лет спустя после переписки Паскаля и Ферма (и в год окончательного принятия Пас­калем судьбоносного для него решения о существовании Бога). Речь идет о маленькой книжице, опубликованной в Лондоне под названи­ем «Естественные и политические наблюдения, касающиеся свиде­тельств о смерти» («Natural and Political Observations made upon the Bills of Mortality»). Она содержит данные о рождаемости и смертно­сти в Лондоне с 1604-го по 1661 год и снабжена пространным ком­ментарием, интерпретирующим эти данные. В истории статистиче­ских и социологических исследований она сыграла выдающуюся роль; это был дерзкий и решительный переход к использованию вы­борочных и вероятностных методов, являющихся основой всех ас­пектов управления риском — от страхования и измерения экологи­ческих рисков до конструирования наиболее сложных производных ценных бумаг.

Любопытно, что автор книжицы Джон Грант не был ни статис­тиком, ни демографом — тогда таких специальностей просто не су­ществовало2. Не был он и математиком, актуарием, ученым, препо­давателем университета или политиком. Грант, которому к тому вре­мени исполнилось 42 года, всю свою сознательную жизнь был галан­терейщиком, торговавшим пуговицами и прочей мелочевкой.

Наверно, он был удачливым бизнесменом, потому что имел до­статочно денег, чтобы не ограничивать свои интересы только по­ставкой товара для застегивания одежды. По свидетельству Джона Эбри, современника и биографа Гранта, он был «весьма оригиналь­ным и преданным ученым занятиям человеком... [который] рано утром, до открытия своей лавки, приходил в рабочий кабинет... всегда готовый к шутке и красноречивый»3. Он состоял в друже­ских отношениях с самыми выдающимися интеллектуалами своего времени, включая Уильяма Петти, помогавшего ему в обработке статистических данных о народонаселении.

Петти сам был замечательным человеком. Врач по профессии, он побывал таможенным инспектором в Ирландии, профессором ана­томии и музыки. Он провернул ряд удачных спекуляций во время войны с Ирландией и был автором книги под названием «Политиче­ская арифметика» («Political Ariphmetic»), которая принесла ему славу основателя современной экономической науки4.

Книжица Гранта выдержала по меньшей мере пять изданий и нашла массу последователей как в Англии, так и за ее пределами. В 1666 году Петти опубликовал рецензию на нее в парижском «Journal des Sgavans», и через год подобное обследование было проведено во Франции. Внимание к работе Гранта было столь вели­ко, что король Карл II предложил принять его в члены Королев­ского общества. Хотя члены Общества без особого энтузиазма от­неслись к предложению принять в свои ряды простого лавочника, король возразил, что, «если бы таких лавочников было побольше, следовало бы, ни минуты не колеблясь, принять их всех», и Грант стал членом Общества.

У истоков Королевского общества стоял человек по имени Джон Уилкинс (1617-1672), сначала организовавший клуб избранных блестящих знакомых, которые встречались в его доме в Wadham College5. Образцом для клуба послужили собрания в парижском до­ме аббата Мерсенна. Усилиями Уилкинса созданный им клуб пре­вратился в первую и самую знаменитую из всех академий, которые стали возникать к концу XVII века; образованная вскоре Француз­ская Академия наук построена по образцу Королевского общества.

Позже Уилкинс стал епископом в Чичестере, но более интересен он как автор научной фантастики, украшенной ссылками на вероят­ность. Одна из его работ, опубликованная в 1640 году, носит много­обещающее название «Открытие мира на Луне, или Рассуждение, направленное на доказательство вероятности иного обитаемого мира на этой планете» («The Discovery of the World in the Moone or a dis­course tending to prove that 'tis probable there may be another habitable world in that planet»). Кроме того, предвосхищая фантазии Жюля Верна, он работал над конструкцией подводной лодки для плавания подо льдами Северного Ледовитого океана.

Мы не знаем, что побудило Гранта предпринять обследование рождаемости и смертности в Лондоне, но сам он признавался, что ему доставило «большое удовольствие получение многих глубоко­мысленных и неожиданных выводов из этих несчастных списков смерти... И так приятно сделать что-то новое, даже совсем пустяк»6. Но у него была и серьезная цель: «выяснить, сколько есть людей оп­ределенного пола, положения, возраста, религиозной принадлежно­сти, рода занятий, звания и положения и т.д., благодаря чему тор­говцы и правительство могли бы вести дела с большей уверенностью и определенностью; потому что, если это будет известно, станут из­вестными потребности, и, таким образом, торговцы не будут обольщаться несбыточными надеждами»7. Он очень своевременно первым заговорил о необходимости изучения рынка, одновременно предоставив правительству сведения о числе людей, пригодных к несению военной службы.

Информация о рождаемости и смертности долгое время храни­лась в приходских церквях, но с 1603 года лондонские городские власти взяли на себя ведение аналогичных еженедельных записей. Такого же рода данные были и в Голландии, где муниципальные власти финансировали городские нужды за счет продажи пожиз­ненной ренты — полисов, выкупаемых сразу, после чего в течение жизни владельцу полиса, а в некоторых случаях и его наследни­кам периодически выплачивалась определенная полисом сумма. Во французских церквях также велись записи крещений и смертей.

Хакинг утверждает, что Грант и Петти не знали о работах Пас­каля и Гюйгенса, но «по наущению Божьему, или из любопытства, или на основе коммерческих или государственных интересов по­добные идеи появились одновременно у многих»8. Грант выбрал очень подходящий момент для публикации и анализа важной ин­формации о населении Англии.

Вряд ли он при этом осознавал, что стал создателем теории выбо­рочных исследований. На самом деле он манипулировал скорее с полным набором данных о смертности, нежели с выборкой. Но при­мененный им способ рассмотрения наборов данных представлял со­бой нечто новое. Используемые им методы анализа данных были положены в основу статистической науки9. Слово «статистика» проис­ходит от анализа количественных данных о государстве (state). Грант и Петти могут рассматриваться как создатели этого важного раздела науки.

Грант работал в то время, когда Англия из страны с преимущест­венно сельскохозяйственным производством постепенно превраща­лась во все более сложное общество с обширными заморскими коло­ниальными владениями и бурно развивающимся бизнесом. Хакинг отмечает, что, пока в основе налогообложения была земельная собст­венность и площади обрабатываемых земель, никого не волновало, сколько на них живет людей. Например, кадастровая книга Вильгель­ма Завоевателя от 1085 года, известная как «Книга Страшного суда» («Domesday Book»), включала кадастр земель и стоимость недвижимо­сти, но не содержала сведений о числе стоящих за этим людей.

С ростом больших и малых городов стали проводиться перепи­си. Петти обосновывал важность статистических данных о народо­населении необходимостью учета числа людей, пригодных к воен­ной службе, и числа налогоплательщиков. Самого Гранта, который был в первую очередь дельцом периода великого процветания, ка­жется, не слишком интересовали политические вопросы.

Но были другие факторы, стимулировавшие появление его рабо­ты. За два года до опубликования «Наблюдений» был возвращен из Голландии Карл II, где он находился в изгнании. Реставрация изба­вила англичан от интеллектуальных ограничений, которыми пури­танство утомило нацию. Конец абсолютизма и парламентаризм обу­словили новое понимание свободы и прогресса в стране. К тому же начался приток громадных богатств из колоний в Америке, Азии и Африке. Исаак Ньютон, которому было тогда 28 лет, заставил лю­дей по-новому посмотреть на планету, на которой они жили. Да и сам Карл II был свободомыслящим жизнерадостным монархом, не требовавшим от своих подданных отказа от радостей жизни.

Это было самое подходящее время, чтобы распрямиться и огля­нуться вокруг. Грант так и поступил и начал считать.

Хотя его книга представляет интерес для социологов, медиков, политологов и историков, самое главное в ней — использование вы­борки. Грант заметил, что доступные ему статистические данные со­держат только часть сведений о рождаемости и смертности в Лондо­не, но это не помешало ему сделать далеко идущие заключения на основе той информации, которая оказалась в его распоряжении. Его метод анализа получил название статистического вывода — т. е. по­лучения глобальной оценки на основе выборки данных; разработка методов оценки вероятности расхождений между установленными на основе выборки и истинным значением измеряемой величины была еще впереди. Основополагающими усилиями Гранта простой процесс сбора информации был превращен в могучий, совершенный инстру­мент описания окружающего мира — земного и небесного.

Сырой исходный материал, который собрал Грант, содержался, как уже сказано, в списках умерших, которые городские власти Лондона стали вести с 1603 года. Случайно год совпал с годом смерти королевы Елизаветы; в этот же год на Лондон обрушилась страшная эпидемия чумы. Доскональное изучение положения дел со здоровьем нации стало особенно актуальным10.

В списках указывалась причина смерти и число умерших, и из того же источника Грант почерпнул еженедельные сведения о кре­стинах детей. На иллюстрации представлен документ за две недели 1665 года1* (Для оценки стоимости жизни служили данные о количестве хлеба, которое можно бы­ло купить на пенни. В наше время для этого используют корзину товаров и услуг). Из документа следует, что только за одну неделю с 12 по 19 сентября умерли от чумы 7165 человек и всего четыре из 130 приходов эта болезнь миновала11.

Грант, собственно, интересовался причинами смертности, в осо­бенности «такой чрезвычайной и страшной причиной», как чума, и образом жизни людей, живших под постоянной угрозой опусто­шительных эпидемий. В документах, относящихся к 1632 году, например, он нашел около шестидесяти разных причин смерти и 628 смертей под рубрикой «старость». В качестве причин встреча­ются «испуг», «укус бешеной собаки» (по одному случаю), «глис­ты», «гнойное воспаление в горле» и «смерть от голода в колыбе­ли». В 1632 году было только 7 убийств и 15 самоубийств.

В том, что в Лондоне наблюдалось «так мало убийств... в то время как в Париже не проходит ночи без трагедии», Грант усматривает заслугу правительства и лондонской городской стражи. Он также отмечает «естественное, свойственное большинству англичан отвра­щение к этому бесчеловечному преступлению и любому кровопроли­тию» и добавляет, что даже «узурпаторы» во время английской ре­волюции казнили только очень немногих соотечественников.

Грант приводит данные о смерти от чумы по годам; одним из худших был 1603 год, когда в 82% случаев хоронили жертв чумы. С 1604-го по 1624 год он насчитал 229 250 умерших от разных болезней и несчастных случаев, из них около трети от детских бо­лезней. Подсчитав, что детская смертность составляет 50% смертно­сти по причине болезней, он заключает, что «около 36% детей уми­рают в возрасте до шести лет». Менее 4000 умерли от «наружных бо­лезней, таких, как рак, свищ, раны, язвы, ушибы и переломы, парша, ожоги, проказа, оспа, венерические заболевания и т. д.».



Грант предполагает, что превалирование острых и эпидемиче­ских заболеваний может объясняться «особенностями страны, кли­матическими условиями, состоянием воздуха... так же как и пита­нием». Он отмечает, что очень немногие голодают и что нищие, «снующие по городу... по большей части производят впечатление здоровых и сильных людей». Он рекомендует властям задерживать их и приучать к труду «каждого в соответствии с его особенностя­ми и способностями».

Обсудив распространенность несчастных случаев, большинство которых, по его мнению, связано с профессиональной деятельно­стью, Грант обращается к «одной болезни из наших списков, о кото­рой много говорят, и всё без толку». Речь идет о French-Pox — раз­новидности сифилиса, «обусловленной в большинстве случаев не столько невоздержанностью (которая скорее является причиной ис­тощения), сколько изобилием женщин легкого поведения»2). Грант удивляется, почему в записях зафиксировано так мало смертей от этой болезни, в то время как «множество мужчин время от времени заражаются различными разновидностями этой болезни». Он за­ключает, что за многими записями о смерти от язв и болячек скры­ваются смерти от венерических заболеваний. По мнению Гранта, че­ловек должен ужасно опуститься, чтобы власти назвали истинную причину смерти: «только относительно презираемых и покойников с провалившимися носами... признавали причиной смерти эту слиш­ком частую болезнь».

Хотя списки умерших представляли собой богатый фактиче­ский материал, Грант отдавал себе отчет в неполноте данных, с ко­торыми работал. Он предупреждал о недостоверности медицинских заключений, «потому что даже самые сведущие прихожане в состоя­нии опознать всего несколько причин смерти на основе простого осмотра мертвого тела». Кроме того, только крещенные в англикан­ских церквях подлежали регистрации, а католики и диссиденты в поле зрения исследователя не попадали.

Слово venery ('похотливый') происходит от средневекового французского слова иепег — 'охотиться, рыскать, преследовать' (от которого также слово venison — 'оленина') и от Venus — Венера (от которого пошло слово venereal — 'сладострастный, венери­ческий'). Очень почтенное (venerable) слово!

Полученные Грантом результаты были поистине впечатляющи. Сам он говорил, что «в результате размышлений над этими забро­шенными бумагами... нашел некоторые истины и малораспростра­ненные мнения и пошел дальше, стараясь понять, какую пользу может извлечь мир» из того, что он узнал. В своем анализе Грант коснулся записей о меняющейся из года в год частоте различных заболеваний, о миграции населения в Лондон и из него «во время эпидемий» и о соотношении численности мужчин и женщин.

К наиболее значительным достижениям проведенного Грантом обследования следует отнести первую обоснованную оценку чис­ленности населения Лондона и указание на важность демографи­ческих данных для выявления роста или уменьшения числа горо­жан, а также выяснения, «достаточно ли оно велико или слиш­ком велико». Он также осознал, что оценка численности населе­ния должна помочь определить вероятность того, что отдельный человек может стать жертвой чумы. При этом он использовал не­сколько методов оценки для проверки надежности полученных результатов.

Одно из рассуждений Грант начинает с предположения, что число способных к деторождению женщин вдвое превышает еже­годное число родов, потому что «такие женщины... редко рожают чаще, чем раз в два года»12. В среднем в городе ежегодно бывало 13 000 похорон, что соответствовало числу смертей в отсутствие эпидемии чумы. Отметив, что число рождений, как правило, меньше числа похорон, он произвольно принял его в среднем равным 12 000, что в свою очередь означало, что было 24 000 «плодящихся женщин». Затем Грант установил среднюю числен­ность семьи с домочадцами, включая слуг и жильцов, оказавшу­юся равной восьми на одно домашнее хозяйство, а также что об­щее число таких семейств было вдвое больше числа семейств, включающих женщин детородного возраста. Таким образом, на­личие 48 000 лондонских семей, в среднем по восемь человек в каждой, позволяло заключить, что население Лондона составляло в ту пору 384 000 человек. Эти цифры могли оказаться занижен­ными, но они, по-видимому, были ближе к истине, чем бытовав­шее в те времена мнение, будто в Лондоне проживало два милли­она человек.

Другое приложение метода Гранта базировалось на изучении карты Лондона, относящейся к 1658 году, и исходило из предположения, что на каждую из 54 семей приходилось около 100 квад­ратных ярдов площади города — примерно по 200 человек на акр (0,405 гектара). Из этого предположения следовало, что в пределах городских стен проживало 11880 семей. Из списков умерших сле­довало, что 3200 из 13000 ежегодно умиравших горожан, то есть 1/4> приходились именно на эту часть Лондона. Но 11880, умно­женные на 4, дают 47 520 семей. Может быть, Грант здесь считал назад от оценки, полученной с помощью его первого метода? Мы уже никогда не узнаем об этом.

Грант нигде не пользовался словом «вероятность», но он явно осознавал значение этого понятия достаточно глубоко. В силу слу­чайного совпадения он повторяет рассуждения «Логики» Пор-Рояля о преувеличенном страхе перед грозой:

Принимая во внимание, что многие люди, обуреваемые мрачными пред­чувствиями, живут в постоянном страхе перед пользующимися дурной славой ужасными болезнями, я установлю, сколько людей умерло от каждой из них, то есть соответствующие каждой болезни смертельные случаи, и сравню их с общим числом смертей в 229 520 [смертность за двадцать лет], чтобы люди смогли точнее оценить степень риска, кото­рому они подвергаются.

В другом месте он замечает: «С позиций общей оценки не имеет значения, живет ли один человек на десять лет дольше или десять человек — на год дольше»13. В сущности, это первая постановка за­дачи вычисления средней продолжительности жизни в вероятност­ном разрезе. Пообещав изложить суть в «коротком параграфе, в сжа­той форме без сложных рассуждений, основанных на длинных спис­ках», Грант не утруждает себя тщательной разработкой обоснований. Он стремился установить ожидаемую среднюю продолжительность жизни, которую нельзя было получить на основе используемых им данных о смертности.

Используя свою оценку, согласно которой «около тридцати шести процентов всех детей не доживало до шести лет», и предположение, что большинство людей не доживает до 75 лет, он составил таблицу, представляющую число людей в возрасте от 6 до 76 лет на 100 чело­век населения; для сравнения в правой колонке приводятся анало­гичные данные за 1993 год для США.

Возраст

Данные Гранта

Данные по США за 1993 г.

0

100

100

6

64

99

16

40

99

26

25

98

36

16

97

46

10

95

56

6

92

66

3

84

76

1

70

Источник: Для Гранта — [Hacking, 1975, р. 108]; для США — This Is Your Life Ta­ble // American Demographics, 1995, February, p. 1.

Никто не знает, как Грант составил свою таблицу, но его оценки получили широкую известность и в конце концов оказались хорошим приближением. Они в немалой степени были причиной предприня­тых Петти усилий по созданию централизованной государственной статистической службы.

Петти и сам попробовал оценить среднюю ожидаемую продол­жительность жизни, сожалея при этом, что у него «были только обыкновенный нож и лоскуты вместо всего множества вещей, нуж­ных для выполнения такой работы»14. Пользуясь словом «вероят­ность» и нимало не видя необходимости объяснить, что имеется в виду, Петти сделал оценку на основе информации об одном ир­ландском приходе. В 1674 году он доложил Королевскому общест­ву, что ожидаемая продолжительность жизни для новорожденных составляет 18 лет; по сведениям Гранта — 16 лет15.

Собранные Грантом факты изменили представления людей о стра­не, в которой они жили. По ходу дела он поставил на повестку дня вопрос об изучении стоящих перед страной социальных проблем и как можно сделать жизнь лучше.

Новаторская работа Гранта наметила ключевые теоретические понятия, необходимые для принятия решений в условиях неопре­деленности. Выборка, среднее и понятие о норме станут со време­нем основными понятиями, определяющими структуру статистиче­ского анализа как науки, поставившей информацию на службу процесса принятия решений и объясняющей наши представления о вероятности будущих событий.

Приблизительно через тридцать лет после выхода в свет «Естест­венных и политических наблюдений» Гранта появилась похожая, но сыгравшая еще большую роль в истории управления риском работа. Ее автор Эдмунд Галлей, к тому времени уже известный ученый, был знаком с работой Гранта и смог продвинуться значительно дальше, чем он, по пути развития статистического анализа. Впрочем, следует признать, что, не будь работы Гранта, Галлею могло бы не прийти в голову заняться этими исследованиями.

Хотя Галлей был англичанином, он использовал данные из горо­да Бреслау, расположенного на востоке Германии, в Силезии (после Второй мировой войны город вошел в состав Польши и сейчас из­вестен как Вроцлав). Отцы города Бреслау издавна вели подробные записи о рождаемости и смертности.

В 1690 году местный ученый и священнослужитель Каспар Нау-манн рассмотрел эту документацию в желании «опровергнуть извест­ные ходячие предрассудки о влиянии фаз луны и так называемых критических лет на здоровье людей». Науманн послал результаты своих изысканий Лейбницу, который в свою очередь переслал их в Лондонское Королевское общество16.

Вскоре данные Науманна привлекли внимание Галлея. Галлею в то время было всего 35 лет, но он уже был одним из самых знаме­нитых астрономов в Англии. В сущности, именно он убедил Исаака Ньютона опубликовать в 1684 году «Principia» («Начала») — рабо­ту, в которой Ньютон впервые сформулировал закон всемирного тяготения. Из своих скромных средств Галлей оплатил все расходы по публикации этого сочинения, сам корректировал текст и не прикасался к собственной работе, пока не довел дело до конца. Ис­торик Джеймс Ньюмен (Newman) полагает, что, если бы не усилия Галлея, «Principia» никогда не увидели бы свет.

Снискавший широкую известность как астроном-вундеркинд, Гал­лей, будучи студентом колледжа Ее Величества королевы в Оксфор­де, всюду таскал за собой свой 24-дюймовый телескоп. Он покинул Оксфорд, не получив ученой степени, и отправился изучать небеса в Южное полушарие. Полученные там результаты составили ему имя, когда он еще не достиг двадцатилетнего возраста. В 22 года он уже был членом Королевского общества. Оксфорд в 1691 году отказал Галлею в профессорском звании, потому что он придержи­вался «материалистических взглядов», с которыми не могли ми­риться оксфордские религиозные ортодоксы. Но к 1703 году члены совета смягчились и предоставили ему место. В 1721 году он стал Королевским астрономом в Гринвиче. Между прочим, эту должность он получил по указу короля.

Галлей прожил 86 лет. Он был веселым человеком, «необычай­но живым и жизнерадостным», водил дружбу со многими, в том числе с русским императором Петром I. В 1705 году в своей осно­вополагающей работе об орбитах комет Галлей идентифицировал 24 кометы, наблюдавшиеся с 1337-го по 1698 год. Три из них ока­зались настолько похожими, что он пришел к заключению, что это одна и та же комета, появлявшаяся в 1531-м, 1607-м и 1682 годах. Наблюдения за этой кометой велись еще в 240 году до Рождества Христова. Утверждение Галлея, что комета появится в 1758 году, вызвало бурю изумления, когда комета появилась точно в предска­занное время. Имя Галлея прославляется каждые 76 лет, когда комета пересекает небосвод.

Данные, содержащиеся в записях из Бреслау, были не вполне в русле предпринятой Галлеем работы, но, пообещав Королевскому об­ществу серию статей для его вновь учрежденного научного журнала «Philosophical Transactions», он оказался вынужденным рыскать в поисках чего-нибудь необычного, о чем можно было бы написать. Зная о некоторых погрешностях в работе Гранта, которые признавал сам Грант, он решил, пользуясь случаем, подготовить статью для «Transactions» о полученных из Бреслау данных, приложив для раз­нообразия руку к анализу социальной, а не небесной статистики.

Грант, не имея надежных данных о всем населении Лондона, был вынужден оценивать их на основе фрагментарной информации. У не­го были записи о числе и причинах смертей, но не было полных дан­ных о возрасте умерших. С учетом осуществлявшейся годами посто­янной миграции населения в Лондон и обратно надежность оценок Гранта оставалась под вопросом.

В данных, предоставленных Лейбницем Королевскому обществу, содержались помесячные записи по Бреслау за 1687-1691 годы, вы­полненные, по словам Галлея, «со всей возможной точностью и доб­росовестностью». Они включали в себя возраст и пол всех умерших и число родившихся за каждый год. Галлей обратил внимание на то, что Бреслау расположен вдали от моря и «в нем сравнительно мало чужаков». Число рождений совсем не намного превышало «похо­ронные записи», и численность населения была намного стабиль­нее, чем в Лондоне, но при этом в полученной документации не было данных о численности населения города в целом. Галлей был уверен, что данных о смертности и рождаемости вполне достаточно для надежной оценки численности населения.

Он вычислил, что за пятилетний период в среднем ежегодно фик­сировалось 1238 рождений и 1174 смерти, то есть ежегодный при­рост населения составлял 64 человека, относительно чего Галлей высказал предположение, что это число, «вероятно, могло урав­новешиваться рекрутскими наборами на императорскую военную службу». Учитывая 1228 ежегодных рождений и исследуя рас­пределение умерших по возрастам, Галлей вычислил, что «только 692 ребенка доживают до полных шести лет», то есть значительно меньше 64%, которые получил Грант. С другой стороны, среди мно­жества смертей в Бреслау дюжина случаев смерти пришлась на возраст между 81 и 100 годами. Объединив годовые оценки про­цента смертности для каждой возрастной группы, Галлей из рас­пределения по возрастам вывел итоговую оценку населения горо­да — 34 000 человек.

Следующим шагом было получение таблицы с разбиением насе­ления на возрастные группы «от рождения до самой старости». Как утверждал Галлей, эта таблица предоставляет массу возмож­ностей для использования в разных целях и дает «более точное представление о государстве и состоянии рода человеческого, чем что-либо иное из того, что я знаю». Например, в таблицах есть по­лезная информация о том, сколько в городе мужчин в возрасте, позволяющем нести воинскую службу, — 9000 человек, и Галлей утверждает, что эта оценка 9/34 населения может «быть использо­вана и в других местностях».

Анализ Галлея наполняет понятие вероятности конкретным со­держанием и в конечном счете подключает его к управлению рис­ком. Галлей продемонстрировал, как его таблицы «показывают шан­сы», что человек любого заданного возраста «не умрет в течение го­да». В качестве иллюстрации он приводит возрастную группу 25-лет­них численностью 567 человек и группу 26-летних численностью 560 человек. Разница между двумя группами в 7 человек означала, что вероятность смерти 25-летнего в течение года составляла 7/5б?» или шансы 25-летнего дожить до 26 лет составляли 80 к 1. Пользу­ясь этой же процедурой вычитания числа людей более позднего возраста из числа людей заданного возраста и принимая последнее за базовое, из таблицы можно получить шансы людей 40-летнего возраста дожить до 47 лет; в городе Бреслау в описываемые табли­цей годы они равнялись 5 1/2 к 1.

Галлей продолжил анализ. «Если возникнет вопрос, через какое число лет среднестатистический человек любого возраста имеет равные шансы умереть или остаться в живых, таблица готова дать ответ». Например, в городе 531 человек в возрасте 30 лет, и половина от этого числа равна 265. Нужно найти в таблице возрастную группу с такой численностью — это группа между 57 и 58 годами, и «можно держать пари с равными шансами... что у 30-летнего есть возможность прожить еще 27-28 лет».

Следующий уровень анализа Галлея имел наибольшее значение. Таблица могла быть использована для расчета стоимости страхования жизни для разных возрастов: «100 шансов к 1 за то, что 20-летний не умрет в течение года, и 38 к 1 за то же для человека в возрасте 50 лет». На основе шансов наступления смерти в течение каждого го­да таблица дает необходимую информацию для вычисления величины пожизненной ренты. По этому поводу Галлей пускается в детальный математический анализ величины разных видов ренты, включая ренту, рассчитанную не только на одну жизнь, но и на наследников до второго и третьего колена. При этом он предлагает использовать таблицу логарифмов, чтобы избавиться от «вульгарной арифметики» при выполнении множества вычислительных операций.

Этот раздел работы появился с большим опозданием. Первые сведения о понятии ренты относятся к 250 году после Рождества Христова, когда видный римский юрист Ульпиан разработал набор таблиц ожидаемой продолжительности жизни. Таблицы Ульпиана оставались последним словом науки в течение 1400 лет!

Работа Галлея подтолкнула к вычислению ожидаемой продол­жительности жизни на континенте, но его собственное правитель­ство в то время не обратило на его таблицы никакого внимания. Взяв голландский пример продажи пожизненной ренты для попол­нения казны, английское правительство попыталось собрать мил­лион фунтов стерлингов за счет продажи пожизненной ренты, ко­торая давала покупателю возможность вернуть вложенные в ренту деньги за 14 лет, причем контракты были одинаковы для всех не­зависимо от возраста! В результате правительство понесло серьез­ные финансовые убытки. Тем не менее политика продажи ренты всем по одинаковой цене продолжалась до 1789 года. Предположе­ние о том, что средняя ожидаемая продолжительность жизни от рождения составит 14 лет, было по крайней мере неким прогрессом по сравнению с прошлым: в 1540 году английское правительство продавало пожизненную ренту, которая «окупалась» за 7 лет, при­чем возраст покупателя не учитывался17.

После публикации таблиц продолжительности жизни Галлея в «Transactions» в 1693 году правительству и страховым компаниям понадобилось целое столетие, чтобы начать принимать в расчет ожи­даемую на основе вероятностного анализа продолжительность жизни. Подобно его комете, таблицы Галлея оказались чем-то большим, чем вспышка, только однажды появляющаяся на небосклоне: его мани­пуляции с числами заложили основу для возникновения современ­ной системы страхования жизни.

Как-то в 1637 году, когда Гранту было всего семнадцать лет, а Галлей еще не родился, Канопиус, ученый с острова Крит, сидел после полудня в своей комнате в Оксфорде и готовил себе чашку крепкого кофе. Считается, что Канопиус первым завез кофе в Анг­лию; напиток быстро завоевал такую популярность, что по всему Лондону кофейни стали открываться сотнями.

Какое отношение имеет кофе Канопиуса к Гранту, Галлею или к понятию риска? Дело в том, что одна из упомянутых кофеен стала местом рождения лондонской компании Ллойда, остававшейся на протяжении более чем двух столетий самой знаменитой из всех страховых компаний18. Страхование — это бизнес, полностью зави­сящий от таких понятий, как выборка, среднее, независимость на­блюдений, норма, которые легли в основу обследования населения Лондона Грантом и Бреслау Галлеем. Бурное развитие страхового бизнеса в период, когда Грант и Галлей опубликовали результаты своих исследований, — это не случайное совпадение, а знамение времени, когда новаторство в бизнесе и финансах стало нормой.

Английское слово, обозначающее биржевого посредника, — stock­broker или stock jobber ('тот, кто работает за комиссионные, выпол­няет случайную или сдельную работу', совр. 'биржевой маклер'), появилось впервые около 1688 года, за сто лет до того, как люди стали торговать акциями вокруг гигантского платана на Уолл-стрит в Нью-Йорке. На сцену внезапно выступило множество всевозмож­ных корпораций, многие с весьма странными названиями, подобные Lute-String Company, Tapestry Company и Diving Company (компа­ния «Струна лютни», компания Гобеленов и Водолазная компа­ния). Была даже Royal Academies Company (компания Королевской академии), которая обещала нанять «лучших современных ученых» для обучения 2000 победителей большой лотереи тому, чему они захотят научиться.

Вторая половина XVII века стала временем расцвета торговли. В то время первой коммерческой державой в мире была Голлан­дия, а Англия — ее главной соперницей. Корабли ежедневно при­бывали из колоний и в изобилии снабжали весь мир товарами, ко­торые когда-то были редкостью или недоступной роскошью, — сахаром и специями, кофе и чаем, хлопком-сырцом и тонким фарфо­ром. Богатство перестало быть привилегией наследников предшест­вующих поколений: теперь его можно было заработать, найти, нако­пить, инвестировать и защитить.

Ближе к концу столетия Англии пришлось финансировать ряд до­рогостоящих войн с Францией, начавшихся неудавшимся вторжени­ем Людовика XIV в Англию в мае 1692 года и окончившихся победой Англии при Бленхейме и заключением Утрехтского мира в 1713 году. 15 декабря 1693 года палата общин приняла неудачное постановле­ние о продаже вышеупомянутых полисов пожизненной ренты на сум­му в миллионы фунтов стерлингов, заложив основы национального долга Англии. В 1849 году Томас Бабингтон Маколей, великий анг­лийский историк, охарактеризовал это важное событие следующими знаменательными словами: «Таково происхождение этого долга, кото­рый стал величайшим чудом, всегда вызывавшим недоумение и сму­щавшим гордыню государственных мужей и философов»19.

Пришло время Лондону критически оценить себя и свою роль в мире. Это было время связанных с войной утонченных финансо­вых операций, быстрого роста класса состоятельных людей и рас­ширения заморской торговли. Информация из отдаленных районов земного шара приобрела решающее значение для хозяйства страны. В условиях бурного развития судоходства возник живой спрос на текущую информацию о продолжительности плавания между раз­личными точками земного шара, погодных условиях и опасностях, подстерегающих в неизведанных морях.

При отсутствии средств массовой информации кофейни были основными источниками новостей и слухов. В 1675 году Карл II, который, как многие правители, с подозрением относился к мес­там, где публика могла обмениваться информацией, закрыл все кофейни, но поднялся такой шум, что через шестнадцать дней он был вынужден пойти на попятную. Сэмюэл Пепис часто посещал кофейни с целью узнать новости о прибытии кораблей, которые его интересовали; он считал, что здесь сможет получить более надеж­ную информацию, чем у себя на службе в Адмиралтействе.

Кофейня, которую Эдвард Ллойд открыл в 1687 году близ Темзы на Тауэр-стрит, была любимым пристанищем моряков с судов, кото­рыми кишели лондонские доки. Она была, как отмечалось в публи­кации того времени, «просторной... удобной и посещалась известны­ми купцами». Кофейня стала настолько популярной, что в 1691 году Ллойд перевел ее в значительно более просторное и роскошное по­мещение на Ломбард-стрит. Нэт Уорд, трактирщик, которого Алек­сандр Поп обличил как .автора отвратительных стишков, сочиняемых в обмен на понюх табаку, сообщает, что столы в новой кофейне были «очень чистыми и натерты до блеска». Штат из пяти пода­вальщиков наряду с кофе разносил чай и шербет.

Ллойд стал на ноги во времена Оливера Кромвеля и пережил чуму, Большой лондонский пожар, голландское вторжение на Тем­зу в 1667 году и Славную революцию 1688 года. Он был не просто ловким хозяином кофейни. Заметив настойчивый интерес своих клиентов к определенного рода информации, он в 1696 году начал выпускать «Lloyd's List», содержащий информацию о прибываю­щих и отплывающих судах, сведения об обстановке за границей и на морях. Эту информацию ему поставляла сеть корреспондентов из главных портов Англии и континента. В здании кофейни регу­лярно проводились судовые аукционы, и Ллойд услужливо предо­ставлял бумагу и чернила, необходимые для фиксации сделок. Один угол в его кофейне был зарезервирован для капитанов судов, где они могли сравнивать свои заметки об опасностях новых открыва­ющихся маршрутов — маршрутов, которые уводили их все дальше на восток, на юг и на запад. Заведение Ллойда бывало открыто по­чти в любой час, и всегда в нем было полно народу.

В те времена, как и сейчас, каждый желающий застраховаться от какого-либо риска обращался к брокеру, который затем прода­вал право застраховать риск кому-либо из тех, кто соглашался его гарантировать. Таких легко было найти, потому что собирались они в кофейне или на огороженном дворе здания Королевской биржи. При совершении сделки гарант должен был подтвердить свое со­гласие покрыть все потери клиента в обмен на точно определенную премию, поставив свою подпись под условиями контракта; вскоре такого рода дельцы стали называться страховщиками (буквально 'подписчики', underwriters).

Дух азартной игры, свойственный этой удачливой эпохе, стиму­лировал быстрое совершенствование страховой индустрии в Лондо­не. Страховщики были готовы подписывать страховые полисы, каса­ющиеся почти всех видов риска, включая разрушение дома, разбой на большой дороге, смерть от пьянства, смерть от лошадей и «стра­хование женского целомудрия». Все эти виды страхования, кроме последнего, существуют и по сей день20. Страхование от пожара при­обрело значительную популярность и распространение после Боль­шого лондонского пожара 1666 года.

Кофейня Ллойда благодаря его связям с купцами и моряками с самого начала стала главной квартирой страховщиков, специализи­рующихся на страховании морских перевозок. «Lloyd's List» со вре­менем увеличился в объеме за счет ежедневных сообщений о курсе акций, иностранных рынках, периодах подъема воды у Лондонского моста, и всё это наряду с обычными заметками о прибытии и от­плытии судов и отчетами о происшествиях и кораблекрушениях 3). Это издание было настолько популярно, что корреспонденты, вы­сылая свои сообщения по почте, адресовали их просто «Lloid's». Правительство даже использовало «Lloid's List» для публикации последних новостей о морских сражениях.

В 1720 году, не устоявши перед взяткой в 300000 фунтов стер­лингов, король Георг I согласился на учреждение двух первых стра­ховых компаний Англии — Королевской биржевой страховой кор­порации (Royal Exchange Assurance Corporation) и Лондонской стра­ховой корпорации (London Assurance Corporation), предоставив им «исключительные относительно всех других корпораций и обществ» права. Хотя предоставление такой монополии препятствовало учреж­дению других страховых компаний, «частным и отдельным лицам»4 было все же разрешено принимать на себя чужие риски. На деле кор­порации постоянно испытывали трудности из-за своей неспособно­сти склонить опытных страховщиков к сотрудничеству.

В 1771 году, примерно через сто лет после открытия Эдвардом Ллойдом кофейни на Тауэр-стрит, семьдесят девять страховщиков, которые вели свои дела в кофейне Ллойда, сложились по 100 фун­тов стерлингов и объединились в Общество Ллойда (Lloyd's Society), не инкорпорированную, т. е. не являющуюся юридическим лицом, группу индивидуальных предпринимателей, работающих в соответ­ствии с собственным кодексом поведения. Это были первые члены Общества Ллойда (Members of Lloyd's); позже они стали известны как Имена (Names). Они пустили в дело всё, чем владел каждый, и весь имевшийся у них финансовый капитал, чтобы обеспечить безуслов­ное выполнение обязательств по возмещению потерь своих клиен­тов. Эта скрупулезная честность стала одной из основных причин бурного роста их бизнеса в течение многих лет. Вот так выпитая Канопиусом чашка кофе привела к созданию самой знаменитой страховой компании в истории.

К 1770-м годам страховая индустрия проникла в американские колонии, хотя наиболее крупные полисы всё еще подписывались в Англии. Бенджамин Франклин в 1752 году основал компанию по страхованию от пожара и назвал ее Первой Американской компани­ей (First American); первый договор страхования жизни был подпи­сан Фондом пресвитерианских священников (Presbyterian Ministers' Fund), основанным в 1759 году. Позже, когда разразилась револю­ция, американцам, лишенным возможности пользоваться услугами Общества Ллойда, пришлось развивать собственные страховые ком­пании. Первой акционерной страховой компанией стала Североаме­риканская страховая компания (Insurance Company of North America) в Филадельфии, которая занималась страхованием от пожаров, стра­хованием судоходства и выпустила первые в Америке полисы по страхованию жизни4'21.

В качестве коммерческого понятия страхование окончательно оформилось только в XVIII веке после Р. X., однако начало страхо­вого бизнеса следует отнести к XVIII веку до Р. X. В Кодексе Хамму-рапи, появившемся примерно за 1800 лет до Р.Х., 282 статьи по­священы так называемому корабельному займу, или бодмерее. Бод­мерея — это заем или ссуда под залог судна, которую брал его владе­лец для финансирования морского путешествия. Страховая премия, насколько нам известно, при этом не уплачивалась. Если судно по­гибало, ссуда не подлежала возврату5'. Этот древний вариант страхо­вания судоходства использовался и в эпоху Римской империи, когда страхование стало превращаться в профессию. Император Клавдий (10 г. до Р. X. — 54 г. после Р. X.), будучи весьма заинтересован в развитии торговли зерном, создал собственную компанию бесплат­ного страхования, взяв на себя ответственность за потери римских купцов от морской стихии, подобно тому как современные прави­тельства оказывают помощь в районах стихийных бедствий при землетрясениях, ураганах или наводнениях.

В Греции и Риме профессиональные гильдии создавали коопе­ративы, члены которых вносили деньги в общий котел для помощи семьям, потерявшим кормильца. Эта практика сохранялась и во вре­мена Эдварда Ллойда, когда общества взаимопомощи еще исполь­зовали эту простую форму страхования жизни 6).

4' В 1810 году для обслуживания того же рынка Натаниель Боудич основал в Бостоне

контору по ведению доверительных (трастовых) операций.

' Этот же принцип прилагался и к страхованию жизни. Долги воина, павшего в бою, подлежали прощению.

6' В США общества взаимопомощи действовали даже в XX веке. Здесь они были изве­стны как общества производственного страхования и покрывали только расходы на похороны. У моего отчима была записная книжка, в которой он фиксировал ежене­дельные выплаты в счет такого страхования.

Развитие торговли в средние века обусловило развитие финан­совой деятельности и страхования. Основные финансовые центры возникли в Амстердаме, Аугсбурге, Антверпене, Франкфурте, Ли­оне и Венеции; в Брюгге в 1310 году была учреждена страховая палата. Не все эти города были портами, большую часть товаров тогда еще перевозили по суше. Получили распространение такие но­вые инструменты, как векселя, облегчающие перемещение денег от клиентов к судовладельцам, от кредиторов к должникам и обратно, а также крупных сумм от повсеместно разбросанных церковных владений в Рим.

Помимо финансовых форм управления риском, купцы издавна научились использовать разные способы диверсификации риска. Именно так поступал венецианский купец Антонио из известной комедии Шекспира:

Мой риск не одному я вверил судну, Не одному и месту; состоянье Мое не мерится текущим годом: Я не грущу из-за моих товаров.

(Акт I, сцена 1)* ( Перевод Т. Щепкиной-Куперник. — Примеч. переводчика.)

Сфера применения страхования ни в коем случае не ограничи­валась морскими перевозками. Например, крестьяне настолько за­висели от природных условий, что жили под постоянным страхом перед непредсказуемыми и опустошительными бедствиями, таки­ми, как засухи, наводнения или падеж скота. Поскольку эти собы­тия по существу своему не зависят друг от друга и представляют для крестьян неотвратимую опасность, они создают благоприятную почву для развития системы страхования. В Италии, например, кре­стьяне учреждали сельскохозяйственные кооперативные объеди­нения для подстраховки друг друга на случай плохих погодных ус­ловий, — крестьяне, проживавшие в районах, где погодные усло­вия оказывались благоприятными, компенсировали потери тех, ко­му в этом году с погодой не повезло. Банк Монте дей Пачи (Monte del Paschi), один из крупнейших в Италии, был учрежден в Сиене в 1473 году для осуществления посредничества в таких соглашени­ях22. Подобные простые соглашения практикуются и сейчас в мало­развитых странах, экономика которых ориентирована на сельско­хозяйственное производство23.

Рембрандт ван Рейн

Шторм на Галилейском озере (фрагмент). Бостон, Isabella Stewart Gardner Museum

...На озере поднялся бурный ветер, и заливало их волнами, и они были в опасности. И, подойдя, разбудили Его и сказали: Наставник! Наставник! погибаем. Но Он, встав, запретил ветру и волнению воды; и перестали, и сделалась тишина...

(Лк., 8: 23-24)

Хотя во всех этих случаях группы людей соглашаются взаимно обезопасить друг друга, механизм страхования в целом работает так же. Страховые компании используют страховые взносы людей, не по­терпевших потерь, для выплат потерпевшим. Этот же принцип дей­ствует и в казино, где выигрыши оплачиваются из ставок проиграв­ших. Анонимность перемещения денег в рамках страховой компа­нии или казино делает это посредничество менее очевидным. И все же самые изощренные схемы организации страховых компаний и игор­ных домов являются просто вариациями на тему Монте дей Пачи.

В XIV веке страховщики в Италии не всегда выполняли свои обязательства перед клиентами, и случаи недовольства известны. Флорентийский купец Франческо ди Марко Датини, торговавший в Барселоне и Саутгемптоне, жалуясь на своих страховщиков, писал жене: «Те, кто страхует, им хорошо, когда берут деньги; но когда приходит несчастье, всё меняется, и все отворачиваются, стараясь увильнуть от уплаты»24. Франческо знал, о чем говорил, потому что после его смерти осталось четыреста судовых страховых полисов.

Активизация страхового бизнеса получила толчок примерно в 1600 году. Слово «полис», уже бывшее к тому времени в употребле­нии, происходит от итальянского polizza, что означает 'обещание' или 'соглашение'. В 1601 году Фрэнсис Бэкон внес на рассмотре­ние парламента билль о регламентации полисов, которые «имели хождение среди купцов королевства и других наций».

Прибыль от вложений в товары, которые нужно перевезти морем на большие расстояния, прежде чем они попадут на рынок, зависит не только от погоды. Она зависит также от обоснованной оценки по­требительского спроса, уровня цен и моды в момент прибытия судна, не говоря уже о затратах на покупку, доставку и продажу товара. Поэтому предсказания, которыми долгое время гнушались как за­нятием в лучшем случае тщетным, в худшем — греховным, стали в XVII веке абсолютной необходимостью для предприимчивых лю­дей, желавших своими руками и по своему вкусу устроить собст­венное будущее.

Сейчас деловые прогнозы стали привычными, но в конце XVII века это было большой новостью. Пока математики исключали торговые дела из сферы своих теоретических изысканий, науке об управлении риском приходилось ждать, когда кто-нибудь задаст новые вопросы, которые, подобно вопросам, поставленным Грантом, потребуют выйти за пределы правил игры в balla или в кости. Даже смелые вычис­ления продолжительности жизни, выполненные Галлеем, для него самого были лишь социологическим упражнением или арифметиче­ской игрой, разыгранной, чтобы изумить его ученых коллег; в этом плане показательно, что он не ссылается на теоретическую работу Паскаля о вероятности, опубликованную за тридцать лет до того.

Нужно было преодолеть огромный концептуальный барьер, что­бы осуществить переход от идентификации определенных с неумо­лимой математической точностью шансов к установлению вероятно­сти неопределенных исходов, от сбора сырых данных к принятию решения о том, как их использовать. С этого момента интеллекту­альные достижения становятся во многих отношениях более уди­вительными, чем те, свидетелями которых мы уже были.

Некоторые из первопроходцев черпали вдохновение, глядя на звезды, другие получали его в ходе манипуляций с понятием веро­ятности, какие никогда и не снились Паскалю и Ферма. Но сейчас мы встретимся с фигурой, самой оригинальной из всех: его внима­ние было обращено на вопросы, связанные с богатством людей. Мы черпаем из его ответов чуть ли не ежедневно на протяжении всей нашей жизни.



***********************************

Глава 6

Нужно учитывать природу человека

За очень короткий срок основные математические открытия Кардано и Паскаля стали применять там, где это прежде счи­талось немыслимым. Сначала Грант, Петти и Галлей исполь­зовали понятие вероятности для анализа необработанных данных. Примерно в это же время автор «Логики» Пор-Рояля внес в измере­ния субъективные элементы, когда написал: «Страх перед ущербом должен быть пропорционален не только величине ущерба, но и ве­роятности его нанесения».

В 1738 году в «Известиях Императорской Санкт-Петербургской Академии наук» появилась статья с интересным тезисом: «Цен­ность чего-либо должна иметь основанием не цену, но скорее полез­ность (utility1.( Статья по тогдашнему обыкновению была опубликована на латыни. Латинское на­звание издания, в котором'она появилась, выглядит так: Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae. Tomus V.). Первоначально статья была представлена Акаде­мии в 1731 году под названием «Specimen Theoriae Novae de Men-sura Sortis» («Изложение новой теории об измерении риска»). Автор любил выделять слова курсивом1'. Это касается и отрывков, приво­димых далее.

Можно только гадать, читал ли автор «Логику» Пор-Рояля, но концептуальная связь между двумя текстами бросается в глаза. Это неудивительно: в XVIII веке интерес к «Логике» охватил всю Запад­ную Европу.

Авторы обеих работ исходят из предположения, что процесс при­нятия любого решения, связанного с риском, имеет два разных, но неразделимых аспекта: объективные факты и субъективные пред­ставления относительно желательности выигрыша или проигрыша. И объективные результаты измерения, и субъективная позиция одинаково важны и в отрыве друг от друга не являются самодоста­точными.

У каждого из двух авторов свои предпочтения. Автор из Пор-Рояля убежден, что лишь питающий патологическое отвра­щение к риску человек принимает решения, учитывая только по­следствия и пренебрегая их вероятностью. Автор «Новой теории» доказывает, что только безумец может основывать свой выбор ис­ключительно на анализе вероятности, не учитывая возможные последствия.

Автором санкт-петербургской публикации был швейцарский ма­тематик Даниил Бернулли, которому в ту пору исполнилось 38 лет2. Хотя имя Даниила Бернулли известно в основном только ученым, его статья является одним из наиболее значительных из когда-либо написанных текстов по проблемам как риска, так и человеческого поведения вообще. Сложные взаимосвязи между измерением и воле­выми предпочтениями, на которые он впервые обратил внимание, затрагивают почти все аспекты жизни.

Даниил Бернулли был членом знаменитого семейства. С конца XVII по конец XVIII века восемь Бернулли стали прославленными математиками. Эти люди, как пишет историк Эрик Белл (Bell), произвели «уйму потомков... и большая часть их потомства полу­чила известность, а многие достигли высокого положения — в юрис­пруденции, литературе, науке, на поприще административной дея­тельности и в искусстве. В их роду неудачников не было»3.

Основателем этого клана был Николай Бернулли из Базеля, бо­гатый купец, чьи протестантские предки бежали из католическо­го Антверпена около 1585 года. Николай прожил долгую жизнь с 1623-го по 1708 год и имел троих сыновей: Якоба, Николая (из­вестного как Николай I) и Иоганна. С Якобом мы вскоре встре­тимся, когда пойдет речь об открытом им законе больших чисел и его книге «Ars Conjectandi» («Искусство предположений»). Сто­ит добавить, что он был одновременно и крупным педагогом, по­учиться у которого стремились студенты со всей Европы, и вы­дающимся математиком, инженером и астрономом. Статистик Вик­торианской эпохи Фрэнсис Гальтон описывает его как человека с «желчным и меланхоличным характером... уверенного, но мед­лительного»4. Его отношения с отцом были настолько скверными, что он взял себе девиз Invito patre sidera verso (Среди звезд вопреки отцу)6.

Гальтон не ограничивается язвительной характеристикой од­ного Якоба. Хотя семья Бернулли служила замечательным под­тверждением его теории евгеники, в своей книге «Наследственная одаренность» («Hereditary Genius») он характеризует семью Бер­нулли в целом как людей «преимущественно сварливых и завист­ливых»6.

Похоже, что этими чертами действительно обладало большин­ство представителей семейства. Младшего брата Якоба, Иоганна, тоже математика и отца Даниила, историк науки Джеймс Нью­мен описывает как «вспыльчивого, бестактного... и при случае нечестного» человека2*7. (Мне трудно охарактеризовать Ньюмена, хотя его «Мир математики» («The World of Mathematics») использовался мной при написании этой книги в качестве основного источника. Он изучал философию и математику, а стал преуспевающим юристом и чиновником. Будучи некоторое время председателем Редакционного совета «Scientific American», он стал страстным собирателем научных документов большого истори­ческого значения. Умер он в 1966 году).

Когда Даниил получил премию Фран­цузской Академии наук за работу об орбитах планет, отец, сам претендовавший на эту премию, выбросил его из дома. Ньюмер сообщает, что Иоганн дожил до 80 лет, «до конца сохранив и си­лы, и мерзкий характер».

А ведь был еще сын среднего брата, Николая I, известный как Николай II. Когда дядя Николая II Якоб в 1705 году умер после тяжелой болезни, не успев завершить работу над «Ars Conjec-tandi», Николай II, которому было в ту пору только восемнад­цать, получил предложение подготовить работу к опубликованию. На это ушло восемь лет! В предисловии к изданию Николай II признал, что сильно затянул с изданием книги, и приводил в ка­честве оправдания «постоянные разъезды» и тот факт, что он был «слишком молод и неопытен для завершения этой работы»8.

Возможно, промедление пошло на пользу делу — за эти во­семь лет он собрал мнения ведущих математиков того времени, включая Исаака Ньютона. Он не только вел активную переписку, но и ездил в Лондон и Париж для личных консультаций с из­вестными учеными. Кроме того, он внес ряд собственных конст­руктивных математических дополнений, включая анализ исполь­зования предположений и теории вероятностей в применении, к юриспруденции.

Для полноты картины отметим, что у Даниила Бернулли был брат пятью годами старше, тоже Николай, которого принято на­зывать Николаем III, считая его деда Николаем без номера, его дядю Николаем I, а его первого старшего кузена Николаем И. Этот Николай III сам был выдающимся ученым и обучал мате­матике Даниила, когда тому было одиннадцать лет. Иоганн по­ощрял занятия математикой своего старшего сына, Николая III, который к восьми годам говорил на четырех языках, а к де­вятнадцати уже получил степень доктора философии в Базеле; в 1725 году, когда ему исполнилось тридцать, он стал профессо­ром математики в Санкт-Петербурге и через год умер от какой-то лихорадки.

Даниил Бернулли получил приглашение в Санкт-Петербург одно­временно со своим братом Николаем III и оставался там до 1733 года, после чего возвратился в родной Базель и стал профессором физики и философии. Он входил в число первых выдающихся ученых, кото­рых Петр Великий пригласил в Россию в надежде превратить свою новую столицу в интеллектуальный центр Европы. По свидетель­ству Гальтона, он был «врачом, ботаником, анатомом, специали­стом по гидродинамике; не по годам развитым»9. Кроме того, он был выдающимся математиком и статистиком, проявлявшим осо­бый интерес к теории вероятностей.

Бернулли был типичным представителем своего времени. XVIII век стал веком разума, сменившего страсти бесконечных религиозных войн предыдущего столетия. Когда кровавые войны затихли, на смену неистовству Контрреформации и характерной для искусства барокко эмоциональности пришла тяга к порядку и классическим формам. Уравновешенность и уважение к разуму были отличитель­ными чертами эпохи Просвещения. Совершенно в духе своего вре­мени Бернулли трансформировал мистицизм «Логики» Пор-Рояля в логическую конструкцию, адресованную людям, решениями ко­торых руководит разум.

Санкт-петербургская статья Даниила Бернулли начинается с из­ложения тезиса, который он намеревается атаковать:

С тех пор как математики занялись измерением риска, было общепри­нятым следующее предположение: ожидаемое значение случайной ве­личины вычисляется умножением всех возможных значений на число случаев, в которых эти значения могут иметь место, и делением суммы этих произведений на общее число случаев 3^10.

3' Дядя Даниила Якоб, которому отведена важная роль в следующей главе, однажды напи­сал, что «ожидаемая величина всегда оказывается чем-то средним между лучшим, на что мы можем надеяться, и худшим, чего мы можем опасаться» [Hacking, 1975, р. 144].

Бернулли находит это предположение недостаточным для опи­сания процесса принятия решения в реальной жизни, потому что оно учитывает только факты и игнорирует отношение к вероятным исходам личности, которая должна принять решение в условиях неопределенности. Знания цены и вероятности еще недостаточно для определения ценности исхода. Хотя факты для всех одинако­вы, «полезность... в каждом отдельном случае зависит от личности, делающей оценку... Нет оснований предполагать, что... риск, вос­принимаемый каждым по-своему, может оцениваться одинаково». Каждому свое.

Понятие полезности постигается интуитивно. Оно ассоциирует­ся с пользой, желательностью или удовлетворением. Понятие, вы­зывающее неприязнь Бернулли, — «ожидаемое значение» — носит скорее технический характер. Как указывает Бернулли, ожидаемое значение равно сумме произведений значений величины в некото­ром числе возможных исходов на вероятности этих исходов, де­ленной на общее число всех возможных исходов. Отметим, что ма­тематики вместо термина «ожидаемое значение» до сих пор иногда используют термин «математическое ожидание».

У монеты две стороны, орел и решка, каждая может выпасть с вероятностью 50%, поскольку не могут обе стороны одновременно смотреть вверх. Каков ожидаемый результат бросания монеты? Мы умножаем 50% на один для орла, делаем то же самое для решки, берем сумму — 100% — и делим на два. Ожидаемое значение при бросании монеты равно 50%. Орел и решка выпадают с одинако­вой вероятностью.

Каково ожидаемое значение при бросании двух костей? Если мы сложим 11 возможных чисел — 2+3+4+5+6+7+8+9+ + 10 + 11 + 12, то в сумме получим 77. Ожидаемое значение от бросания двух костей равно 77/ц, или ровно 7.

Однако эти 11 чисел выпадают не с одинаковой вероятностью. Как показал Кардано, некоторые числа должны появляться чаще других, потому что при бросании двух костей возможны 36 разных комбинаций двух чисел, которые в сумме дают 11 возможных зна­чений от 2 до 12; например, два получается только при варианте дубль-один, а четыре — в результате трех исходов, а именно: 3 + 1, 1 + Зи2 + 2. Полезная таблица Кардано (с. 70) показывает число комбинаций, дающих каждый из 11 исходов:

Исход

Вероятность

Взвешенная вероятность

2

V86

2 х

Vae

= 0,06

3

2/36

Зх

2/36

= 0,17

4

3/36

4 х

3/36

= 0,33

5

4/36

5 х

4/36

= 0,56

6

5/36

5/36

= 0,83

7

6/36

7 х

6/36

= 1Д7

8

5/36

5/36

= 1Д1

9

4/36

9 х

4/36

= 1,00

10

3/36

10 X

3/36

= 0,83

11

2/36

11 X

2/36

= 0,61

12

Vse

12 х

Vse

= 0,33

Итого = 7,00

Ожидаемое значение, или математическое ожидание, при броса­нии двух костей равно 7, что соответствует результату нашего пре­дыдущего подсчета 77/ц. Теперь ясно, почему семерка играет та­кую важную роль в игре в крепе.

Бернулли согласен, что такие расчеты хороши для случайных игр, но настаивает на том, что в повседневной жизни дело обстоит иначе. Даже если вероятности известны (упрощение, впоследствии отвергнутое математиками), разумный человек, принимая реше­ние, постарается максимизировать скорее ожидаемую полезность (или степень удовлетворения), чем ожидаемое значение. Ожидае­мая полезность вычисляется с использованием тех же методов, что и ожидаемое значение, но оценивается с учетом весомости фактора полезности11.

Например, Антуан Арно, почтенный автор «Логики» Пор-Рояля, обвинял людей, боящихся раскатов грома, в переоценке того, на­сколько мала вероятность попадания в них молнии. Он был не прав. Не они, а он кое-что игнорирует. Факты одни и те же для всех, и да­же тот, кто приходит в ужас от первого раската грома, прекрасно осознаёт, насколько мала вероятность попадания молнии именно в то место, где он находится. Ситуацию прояснил Бернулли: люди, боящиеся попадания в них молнии, придают такой вес последстви­ям этого исхода, что, сколь бы мала ни была его вероятность, само ее наличие способно ужаснуть.

Оценка исхода превалирует над измерением. Порасспросите-ка пассажиров самолета, попавшего несколько раз подряд в воздуш­ные ямы, одинакова ли у них степень беспокойства. Большинство людей прекрасно знают, что в наше время полет на самолете безо­паснее езды на автомобиле, но некоторые пассажиры доставят не­мало хлопот стюардессам, в то время как другие в это время спо­койно вздремнут.

И это хорошо. Если бы все стали оценивать риск одинаково, мно­гие благоприятные возможности были бы упущены. Азартные люди предпочитают большую и маловероятную выгоду более вероятной, но малой выгоде. Других мало привлекает вероятность выигрыша, потому что их заветной целью является сохранение того, что у них есть. Один видит солнце, другой ждет грозы. Без авантюристов Зем­ля вращалась бы медленнее. Представьте себе, во что превратилась бы наша жизнь, если бы каждый боялся выходить во время грозы, летать на самолете или вкладывать деньги в новые предприятия. Нам повезло, что люди по-разному относятся к риску.

Стоило Бернулли высказать свой основной тезис о том, что лю­ди по-разному оценивают одни и те же значения риска, как он пришел к кардинальной идее: «Польза от небольшого увеличения богатства обратно пропорциональна величине уже имеющегося богатства». Далее он замечает: «Что касается человеческой при­роды, мне кажется, что предлагаемую гипотезу можно счесть при­годной для понимания поведения многих людей, в отношении ко­торых это сравнение имеет смысл».

Гипотеза о том, что польза от прироста обратно пропорциональ­на величине уже имеющегося богатства, является одним из вели­чайших интеллектуальных достижений в истории идей. Меньше чем на одной странице процесс вычисления вероятностей превра­щен в процедуру подключения субъективных соображений к про­цессу принятия решений в ситуациях с неопределенными исходами.

Бернулли блистательно сформулировал мысль о том, что в от­личие от фактов, дающих однозначный ответ на вопрос об ожидае­мом значении (факты для всех одни и те же), субъективный про­цесс оценки этого значения приводит к такому же количеству от­ветов, сколько людей в нем участвуют. Но и это еще не всё; даль­ше он предлагает методику подхода к определению того, насколько сильно и много или мало чего-то хочет каждый, принимающий решение: объем и степень пожеланий обратно пропорциональны количеству того, что уже есть.

Впервые в истории Бернулли применил измерение к чему-то, чего нельзя сосчитать. Он обвенчал интуицию с измерением. Кар-дано, Паскаль и Ферма создали метод вычисления риска при бро­сании костей, но Бернулли подвел нас к рискующему, к игроку, решающему, сколько поставить и ставить ли вообще. Если теория вероятностей рационализирует выбор, то Бернулли определяет мо­тивацию личности, которая выбирает. Фактически он указал на новый предмет изучения и заложил интеллектуальные основы то­го, что позднее нашло применение не только в экономической тео­рии, но и в общей теории принятия решений в разных жизненных ситуациях.

В своей статье Бернулли приводит ряд интересных примеров, иллюстрирующих его идеи. Самым интригующим и знаменитым из них стал так называемый петербургский парадокс, предложенный его «глубоко почитаемым кузеном, славным Николаем Бернул­ли» — медлительным издателем «Ars Conjectandi». Николай пред­ложил игру между Петром и Павлом, в которой Петр бросает мо­нету до тех пор, пока не выпадет орел. Петр должен заплатить Павлу один дукат, если орел выпадет в первом броске, два дуката, если орел выпадет во втором броске, четыре — в третьем броске, и так далее. С каждым следующим броском число дукатов, которые Петр должен заплатить Павлу, удваивается4).

Ричард Силла и Леора Клаппер помогли мне составить представление о ценности дуката в начале XVIII века. В это время дукат был эквивалентен приблизительно 40 современным долларам. Уильям и Хильда Бомол подтверждают эту оценку [Baumol W.t Baumol H., 1994, Appendix]. См. также: [McKuster, 1978; Warren, Pearson, 1993].

Сколько должен заплатить Павлу за право занять его место в этой игре тот, кто захо­чет загрести порядочную сумму?

Причину парадокса Бернулли усматривает в том, что «приня­тый метод вычисления [ожидаемого значения] на деле делает оценку перспектив Павла бесконечно большой, [но] никто не захочет купить [эти перспективы] за достаточно высокую цену... Каждый сколь­ко-нибудь разумный человек с большим удовольствием продаст свой шанс за двадцать дукатов» 5>.

Бернулли провел подробный математический анализ проблемы, основанный на предположении, что польза от приращения богатства обратно пропорциональна первоначальному богатству. В соответст­вии с этим предположением сумма, которую Павел может выиграть на двухсотом броске, принесет ему бесконечно малую добавочную пользу по сравнению с тем, что он должен был накопить к сто пер­вому броску; даже к пятьдесят первому броску у него уже должно быть более 1 000 000 000 000 000 дукатов. (Для сравнения отметим, что национальный долг правительства США составляет ныне в дол­ларах сумму, представляемую четверкой с двенадцатью нулями.)

В дукатах или в долларах, оценка ожиданий Павла долгое вре­мя привлекала внимание ведущих математиков, философов и эко­номистов. В истории математики англичанина Исаака Тодхантера, опубликованной в 1865 году, содержатся многочисленные ссылки на петербургский парадокс и обсуждаются некоторые решения, предложенные математиками за годы, прошедшие после опублико­вания статьи Бернулли12. Между тем многие годы статью Бернулли можно было прочесть только в оригинале на латыни, пока в 1896 го­ду не появился первый немецкий перевод. Внимание математиков к петербургскому парадоксу резко возросло после того, как Джон Мейнард Кейнс сослался на него в своем «Курсе теории вероятно­сти» («A Treatise of Probability»), опубликованном в 1921 году. Но только в 1954 году — через 216 лет после первой публикации — статья Бернулли появилась в английском переводе.

' Предложенное Бернулли решение парадокса подвергалось критике, потому что он не рассматривал игру, в которой ставки будут расти быстрее, чем определил Николай. Тем не менее, поскольку с некоторого момента заинтересованность игрока становит­ся пренебрежимо малой, процесс в конечном счете приведет к тому, что для Павла игра потеряет смысл независимо от скорости роста ставок.

Петербургский парадокс — это нечто большее, чем академиче­ское упражнение в описании и истолковании вероятностных аспек­тов бросания монеты. Представьте себе крупную растущую компа­нию со столь блестящими перспективами роста, что они представ­ляются бесконечными. Даже при абсурдном предположении, что мы сможем точно предсказать прибыли компании в бесконечно дале­ком будущем — обычно мы радуемся, когда это удается на квартал вперед, — какой должна быть цена акций этой компании? Беско­нечной? 6)

Бывают моменты, когда серьезные, трезвые, опытные инвесторы подпадают под власть подобных несбыточных надежд, — моменты, когда о вероятностных законах забывают. В конце 60-х и начале 70-х годов нынешнего столетия портфельные менеджеры крупней­ших корпораций настолько соблазнились идеей общего роста курсов, и прежде всего роста так называемых акций Nifty-Fifty, что готовы были платить любые деньги за право владения акциями таких ком­паний, как Xerox, Coca-Cola, IBM и Polaroid. Эти менеджеры усмат­ривали риск не в возможности переплатить за акции Nifty-Fifty, a в опасности их упустить: перспективы роста казались настолько бесспорными, что считалось, что уровень грядущих прибылей и ди­видендов, Бог даст, всегда оправдает любую цену. Они считали риск переплаты мизерным по сравнению с риском при покупке акций та­ких компаний, как Union Carbide или General Motors, чьи перспек­тивы казались неопределенными из-за цикличности котировок и жесткой конкуренции.

Ажиотаж дошел до того, что в конце концов рыночная цена та­ких мелких компаний, как International Flavors и Flagrances, с объемом годовых продаж всего 138 миллионов долларов сравня­лась с ценой «менее обаятельных» гигантов типа U.S. Steel с годо­вым объемом сбыта в 5 миллиардов долларов. В декабре 1972 года акции Polaroid шли по цене, в 96 раз превышающей прибыль на акцию за 1972 год, акции McDonald's — в 80 раз, акции IFF — в 73 раза; в то же время акции индекса Standard & Poor's 500 в це­лом шли по цене, только в 19 раз превышающей величину прибы­ли на акцию. При этом в среднем дивиденды на акцию Nifty-Fifty не достигали и половины среднего уровня дивидендов на акции индекса Standard & Poor's 500.

Этот специфический пудинг надо было съесть, чтобы понять, на­сколько он горек на вкус. На деле ослепительные перспективы ока­зались весьма скромными. К 1976 году цены на акции IFF снизи­лись на 40% , а котировка акций U. S. Steel выросла в два с лишним раза. Доход акционеров компаний, входящих в индекс S & Р 500, к концу 1976 года превысил предыдущее пиковое значение, а акции компаний Nifty-Fifty до июля 1980 года не могли обеспечить уровень доходов, достигнутый в 1972 году. Хуже того, с 1976-го по 1990 год эффективность равновзвешенного портфеля акций Nifty-Fifty была значительно ниже, чем у индекса S & Р 500.

Но как можно инвестировать с расчетом на бесконечность? Джереми Сигел (Siegel), профессор Уортонской школы бизнеса в Пенсильванском университете, подробно просчитал эффектив­ность акций Nifty-Fifty с конца 1970 года по конец 1993-го13. Равновзвешенный портфель из пятидесяти акций Nifty-Fifty, да­же купленных в момент пика в декабре 1972 года, принес к кон­цу 1993 года совокупный доход, почти на один процентный пункт меньший, чем индекс S & Р 500. Если бы этот портфель купили двумя годами раньше, в декабре 1970 года, доходность портфеля опережала бы доходность индекса S & Р 500 на один процентный пункт в год. Да и в нижней точке спада в 1974 году отрицатель­ный разрыв между внутренней стоимостью и рыночной ценой был бы меньше.

Для поистине терпеливых людей, которые лучше всего себя чувствуют, имея акции известных и солидных компаний, с чьей продукцией они сталкиваются в быту, инвестиции в Nifty-Fifty могли бы принести известную пользу. Но этот портфель показался бы малопривлекательным для не столь терпеливых инвесторов, кому не понравилось бы иметь портфель из 50 акций, 5 из кото­рых в течение двадцати одного года приносили бы только убытки, 20 приносили бы меньше, чем можно заработать на 90-дневных ка­значейских векселях, и только 11 приносили бы больше, чем ин­декс S & Р 500. Но, как сказал бы за стаканом вина сам Бернулли, человек получает то, на что он ставит.

Бернулли ввел еще одно новое понятие, которое современные экономисты считают 'движущей силой экономического развития, — человеческий капитал. Понятие выросло из определения богатства как «чего угодно, что может содействовать адекватному удовлетво­рению каких-либо желаний... В этом смысле никто не может ска­зать, что у него ничего нет, пока он не умер от голода».

Какие формы принимает богатство большинства людей? Бернул­ли говорит, что материальные активы и финансовые права пред­ставляют собой меньшую ценность, чем способность к продуктивной деятельности, даже если это умение нищенствовать. Он утверждает, что человек, умеющий добыть 10 дукатов в год за счет подаяния, по-видимому, отказался бы от вознаграждения в 50 дукатов в обмен на отказ от сбора милостыни в будущем: потратив эти 50 дукатов, он не знал бы, на что жить. Но должна же быть какая-то сумма, за которую он согласился бы навсегда отказаться от сбора милостыни? Если для этого достаточно, к примеру, 100 дукатов, «мы можем ска­зать, что состояние нищего оценивается в 100 дукатов».

Сегодня мы рассматриваем идею человеческого капитала — со­вокупность образования, природных талантов, квалификации и опыта, являющуюся источником будущего заработка, — как осно­вополагающую для понимания важнейших аспектов мировой эко­номики. Человеческий капитал играет ту же роль для наемного работника, какую семена и сельскохозяйственные орудия для фер­мера. Несмотря на огромный прирост материального богатства с 1738 года, для огромного большинства людей человеческий капи­тал все еще остается главным источником дохода. Если бы это бы­ло не так, к чему столь многим кормильцам вкладывать зарабо­танные тяжелым трудом деньги в страхование жизни?

Для Бернулли случайные игры и абстрактные проблемы были только средствами для иллюстрации его основного довода, касаю­щегося стремления к богатству и использованию благоприятных возможностей. Он акцентирует внимание скорее на процессе при­нятия решений, чем на математических тонкостях теории вероят­ностей. Он сразу провозглашает, что хочет установить «правила, которыми сможет руководствоваться всякий, желающий уяснить свои перспективы в рискованных предприятиях, связанных с оп­ределенными финансовыми обстоятельствами». Эти слова являют­ся зерном для мельницы любого современного финансиста, менед­жера и инвестора. Риск перестал быть просто столкновением с не­зависящими от нас обстоятельствами; теперь его понимают как на­бор возможностей, открытых для выбора.

Используемое Бернулли понятие пользы наряду с его утвержде­нием об обратной зависимости между степенью удовлетворенности определенным приращением богатства и объемом наличного богат­ства было настолько здравым, что оказало весомое влияние на ра­боты крупных мыслителей последующих поколений. Понятие по­лезности легло в основу закона спроса и предложения — впечат­ляющего достижения экономистов Викторианской эпохи, которое стало исходным пунктом для понимания того, как функционируют рынки и как покупатели и продавцы договариваются о цене. По­нятие полезности оказалась столь продуктивным, что в последую­щие двести лет превратилось в основной инструмент объяснения процесса принятия решения и теории выбора в областях, весьма далеких от финансовых операций. Теория игр — изобретенный в XX веке подход к принятию решений в войне, политике и бизне­се — сделала понятие полезности неотъемлемой частью единого системного подхода.

Понятие полезности оказало решающее влияние на психологию и философию, потому что Бернулли предложил стандарт для оцен­ки разумности человеческого поведения. Например, люди, для ко­торых полезность богатства растет вместе с его ростом, считаются большинством психологов и моралистов невротиками; алчность не привлекала Бернулли, не вписывается она и в современные пред­ставления о рациональности.

Теория полезности требует от разумного человека способности оценивать полезность при любых обстоятельствах и, руководству­ясь этой оценкой, делать выбор и принимать соответствующие ре­шения — высокая планка, если учесть, что нам всю жизнь прихо­дится действовать в условиях неопределенности. Работа явно не­легкая, даже если, как предполагал Бернулли, факты для всех од­ни. Но во многих случаях факты все-таки не для всех одинаковы. У каждого своя информация, и к тому же каждый склонен окра­шивать ее по-своему. Даже самые разумные люди часто не могут договориться о том, что значат те или иные факты.

Каким бы современным ни казался Бернулли, он был типич­ным представителем своего времени. Его понимание разумности человеческого поведения прекрасно вписывается в интеллектуаль­ную обстановку эпохи Просвещения. Это было время, когда писа­тели, художники, композиторы и политические философы обрати­лись к классическим формам и идее порядка и утверждали, что накопление знаний поможет человечеству проникнуть в тайны бы­тия. В 1738 году, когда появилась статья Бернулли, Александр Поп был на вершине славы. Его поэмы полны ссылок на классиков и предостережений, что «невежество опасно» и что «для понима­ния человечества нужно изучать человека». Вскоре Дени Дидро начал работу над 28-томной энциклопедией, а Сэмюэл Джонсон уже завершал создание первого словаря английского языка. Неро­мантические взгляды Вольтера на общество завоевывали умы ев­ропейцев, а Гайдн в 1750 году определил классические формы сим­фонии и сонаты.

Безудержный оптимизм философии Просвещения ярко проявился в Декларации независимости и оказал решающее влияние на Консти­туцию Соединенных Штатов Америки. Но, увы, их пример и идеи эпохи Просвещения подвигли народ Франции на казнь королевской семьи и на коронацию в алтаре собора Нотр-Дам идола Разума.

Мысль о том, что каждый из нас, даже самый разумный, имеет собственный набор ценностей и реагирует на ситуации в соответст­вии с этим набором, была смелой новацией Бернулли, но его ода­ренность проявилась и в понимании необходимости пойти дальше. Сформулировав тезис о том, что полезность благ обратно пропор­циональна их наличному количеству, он открыл нам поразитель­ный путь к пониманию того, как человек в условиях риска делает выбор и принимает решения.

По мнению Бернулли, наши решения имеют определенную и предсказуемую структуру. В рациональном мире мы все хотели бы быть не бедными, а богатыми, но интенсивность нашего желания разбогатеть определяется тем, насколько мы богаты в данный мо­мент. Много лет назад один из моих клиентов, которого я консуль­тировал по поводу инвестиций, при первой же встрече погрозил мне пальцем и предупредил: «Помните, молодой человек, Вы не должны делать меня богатым. Я уже богат!»

Логическим следствием прозрений Бернулли явилось совершенно новое восприятие риска. Если удовлетворение, получаемое от каждо­го последующего приращения богатства, меньше, чем от первого, то ущерб от проигрыша будет всегда превышать полезность от равного по размерам выигрыша. Мой клиент имел в виду именно это.

Представьте себе богатство в виде штабеля, в основании которо­го большой брусок, а поверх него чем выше, тем всё меньшие бру­ски. Каждый брусок, снятый с вершины, будет больше, чем брусок, который вы могли бы на него положить. Ущерб от потери бруска больше, чем польза от добавления еще одного.

Бернулли приводит такой пример: два человека, у каждого по 100 дукатов, решили сыграть в азартную игру, скажем в орлянку, с шансами выигрыша или проигрыша 50 на 50. Каждый ставит на кон 50 дукатов, то есть у каждого равные шансы закончить игру со 150 или с 50 дукатами.

Станет ли разумный человек играть в такую игру? Математиче­ское ожидание для суммы, которой будет обладать каждый после такой игры с равными шансами, те же 100 дукатов (сумма 150 + 50, деленная на 2), с которыми каждый игрок начинал игру. Для каж­дого ожидаемое значение такое же, как если бы они вообще не са­дились играть.

Предложенная Бернулли концепция полезности выявляет асим­метрию, объясняющую непривлекательность такой игры. Весомость потери 50 дукатов в случае проигрыша выше, чем весомость приобре­тения 50 дукатов в случае выигрыша. Так же как с кучей брусков, огорчений от потери 50 дукатов больше, чем радости от выигрыша такой же суммы 7)' (Это упрощение. Полезность любого проигрыша зависит от богатства игрока. Здесь предполагается, что состояния обоих игроков одинаковы). В математическом смысле, если оценивать игру с нулевой суммой с позиций полезности, — это проигрышная игра. Обоим было бы лучше отказаться от такой игры.

Бернулли использует пример, чтобы убедить игроков в том, что они окажутся в убытке даже при честной игре. Этот пессимистиче­ский вывод он выражает следующими словами:

Разумнее вообще не играть в кости... Каждый, участвующий частью своего состояния в случайной игре с равными шансами, поступает не­разумно... Опрометчивость игрока возрастает с возрастанием части его состояния, на которую он ставит в случайной игре.

Большинство из нас согласится с Бернулли, что с точки зрения полезности азартная игра всегда проигрышна. Мы, как говорят пси­хологи, «не предрасположены» или «не склонны» к риску. Смысл этого выражения достаточно любопытен.

Вообразите, что вам нужно сделать выбор: получить в подарок 25 долларов или сыграть в игру, в которой вы имеете равные шан­сы или выиграть 50 долларов, или не выиграть ничего. Математи­ческое ожидание результата игры равно 25 долларам, то есть рав­ноценно подарку, но результат не определен. Нерасположенный к риску человек предпочтет игре подарок. Впрочем, у каждого свое отношение к риску.

Вы можете оценить степень собственной предрасположенности к риску, узнав свой «эквивалент определенности». Каким должно быть математическое ожидание в игре, которую вы предпочли бы подарку? Может быть, 30 долларов, что означало бы, что вы имели бы равные шансы выиграть 60 долларов или ничего? Тогда мате­матическое ожидание выигрыша в 30 долларов будет эквивалентно подарку в 25 долларов. Но может быть, вы согласитесь играть, ко­гда математическое ожидание равно только 26 долларам. Вы мо­жете оказаться в душе рисковым человеком и предпочесть игру с математическим ожиданием, меньшим 25 долларов, т. е. меньшим, чем гарантированная ценность подарка. Такое возможно, напри­мер, в игре, в которой вы можете выиграть 40 долларов, если вы­падет решка, или остаться ни с чем, если выпадет орел, а математическое ожидание составит только 20. Но большинство людей все-таки предпочло бы игру, в которой ожидаемый выигрыш не­сколько превышал бы предложенные в примере 50 долларов. По­пулярные лотереи представляют собой интересное исключение из этого правила, потому что в большинстве лотерей установленная прибыль устроителей настолько велика, что они оказываются чу­довищно несправедливыми по отношению к игрокам.

Здесь вступает в действие важный принцип. Предположим, ваш биржевой маклер рекомендовал вам вложить деньги во взаимный инвестиционный фонд, который инвестирует в самые мелкие ком­пании рынка. За последние 69 лет акции 20% самых мелких ком­паний фондового рынка давали в среднем 18% ежегодного дохода (рост котировок плюс дивиденды). Вообще говоря, это неплохо. Но зато эта часть рынка отличается нестабильностью: для двух третей акций в этом сегменте рынка прибыльность колебалась от -23% до +59%; почти каждый третий год случались убытки и составляли в среднем 20%. Поэтому, несмотря на высокую среднюю прибыль­ность этих акций в длительной перспективе, для каждого отдельно взятого года ситуация представляется в высшей степени неопреде­ленной.

Предположим теперь, что другой маклер предложил в качестве альтернативы покупку 500 акций Standart & Poor's Composite Index. Средний годовой доход по этим акциям за последние 69 лет составил 13%, но две трети времени его колебания были ограниче­ны более узким диапазоном от -11% до +36%, причем отрица­тельные значения в соответствующие годы составили в среднем 13%. Предполагая, что в будущем все будет происходить прибли­зительно так же, как в прошлом, и учитывая, что у вас может не оказаться 70 лет, чтобы оценить свой выбор, удовлетворит ли вас первый вариант с более высоким ожидаемым средним доходом, но и более сильными колебаниями? Какой из двух вариантов вы вы­берете?

Даниил Бернулли преобразил сцену, на которой разыгрывается драма взаимодействия с риском. Предложенное им описание того, как люди используют измерения и собственный темперамент в процессе принятия решений в условиях неопределенности, явилось впечатляющим достижением. Как он сам с удовлетворением отме­тил в своей статье, «поскольку все наши предположения полностью согласуются с опытом, было бы ошибкой отвергнуть их как абстракции, опирающиеся на сомнительные гипотезы».

Спустя два столетия мощная критическая атака доказала, что в своих предположениях Бернулли все-таки не достиг полного соот­ветствия опыту, главным образом потому, что его гипотезы о ра­зумности человека оказались более произвольными, чем мог пред­положить этот человек эпохи Просвещения. Но до этого последнего критического натиска на протяжении двух столетий после опубли­кования статьи Бернулли понятие полезности оставалось в центре философских дебатов о разумности человеческого поведения. Сам он вряд ли мог предположить, как долго это понятие будет зани­мать представителей последующих поколений. Правда, в этом бы­ла заслуга ученых, которые пришли к нему самостоятельно, не по­дозревая о новаторской работе Бернулли.

Глава 7

В поисках

практической

достоверности

Шла Вторая мировая война. Зимней ночью во время од­ного из налетов немецкой авиации на Москву извест­ный советский профессор статистики неожиданно по­явился в своем дворовом бомбоубежище. До тех пор он никогда туда не спускался. «В Москве семь миллионов жителей, — гова­ривал он. — Почему я должен ожидать, что попадут именно в меня?» Удивленные друзья поинтересовались, что заставило его изменить свою точку зрения. «Подумать только! — воскликнул он. — В Москве семь миллионов жителей и один слон. Прошлой ночью они убили слона».

Это современный вариант рассматриваемого в «Логике» Пор-Роя-ля примера с боязнью грозы, хотя и отличается от него мотива­цией личностной установки в условиях риска. Здесь профессор превосходно понимал, насколько мала математическая вероят­ность попасть под бомбу. Его поведение наглядно иллюстрирует двойственный характер всего, что связано с вероятностью: часто­та события в прошлом вступает в конфликт с эмоциональной оценкой действительности и влияет на выбор поведения в усло­виях риска.

Смысл истории этим не исчерпывается. Она перекликается с подходом Гранта, Петти и Галлея: если точное знание будущего и даже прошлого недостижимо, какова достоверность имеющейся у нас информации? Что важнее для принятия решения: семь мил­лионов москвичей или погибший слон? Как мы должны оцени­вать добавочную информацию и как включать ее в оценки, базирующиеся на исходной информации? Является ли теория вероят­ностей математической забавой или серьезным инструментом прог­нозирования?

Теория вероятностей является серьезным инструментом прогно­зирования, но при пользовании им нельзя забывать о том, что, как говорится, дьявол в мелочах, что все зависит от качества информа­ции, на основе которой вероятность оценивается. Эта глава посвя­щена осуществленной в течение XVIII столетия последовательности гигантских шагов, революционизировавших использование инфор­мации и определивших методологию применения теории вероятно­стей в задачах выбора и принятия решений в современном мире.

Впервые изучением связей между вероятностью события и ка­чеством исходной информации занялся второй из старших Бернул-ли — Якоб (1654-1705), дядя известного Даниила Бернулли1. Он был еще ребенком, когда Паскаль и Ферма высказали свои замеча­тельные математические идеи, и умер, когда его племяннику Да­ниилу едва исполнилось пять лет. Талантливый, как все Бернулли, он был современником Исаака Ньютона и, обладая свойственным всем Бернулли сложным и самолюбивым характером, считал себя соперником великого английского ученого.

Сама по себе постановка Якобом обсуждаемого вопроса, даже если отвлечься от предложенных им ответов, была научным подви­гом. По его признанию, он размышлял над этой проблемой двад­цать лет и окончил посвященный ей труд незадолго до смерти, последовавшей в 1705 году.

Якоб был самым мрачным из Бернулли, особенно к концу жиз­ни, несмотря на то что он жил в веселые и легкомысленные време­на, наступившие в Англии после реставрации монархии в 1660 го­ду и восшествия на престол Карла II1) (Ему была свойственна своеобразная поэтичность, сказавшаяся, к примеру, в поже­лании, чтобы на его могильном камне высекли прекрасную спираль Фибоначчи, по­скольку ее свойство расширяться, не изменяя формы, является «символом стойкос­ти и неизменности посреди хаоса и напастей, а в конечном итоге — даже нашего воскрешения во плоти». Под спиралью он потребовал выбить эпитафию: «Eadem Ми-tata resurgo» («Неизменная в вечном движении»), см.: [David, 1962, р. 139].), когда, например, один из его весьма известных современников Джон Арбутнот, лекарь коро­левы Анны, член Королевского общества и математик-дилетант, занимавшийся проблемами вероятности, считал уместным для иллюстрации содержащихся в своих опусах положений сдабривать их фривольными примерами, обсуждая вероятность того, что «жен­щина в двадцатилетнем возрасте сохранила девственность» или что «лондонский щеголь того же возраста не болен триппером»2.

В 1703 году Якоб Бернулли впервые поставил вопрос о зависи­мости получаемого значения вероятности от выборки. В письме к своему другу Лейбницу он заметил, что ему кажется странным, что нам известна вероятность выпадения семи, а не восьми очков при игре в кости, но мы не знаем, с какой вероятностью двадцатилет­ний переживет шестидесятилетнего. Не следует ли нам, спрашива­ет он, для ответа на этот вопрос подвергнуть исследованию множе­ство пар людей всех возрастов?

Отвечая Бернулли, Лейбниц пессимистически оценил этот под­ход. «Природа установила шаблоны, имеющие причиной повторя­емость событий, — пишет он, — но только в большинстве случа­ев. Новые болезни захлестнули человечество, так что не имеет зна­чения, сколько опытов вы провели над трупами, — на их основе вам не установить таких границ природы событий, чтобы в буду­щем не осталось места вариациям»3. Хотя письмо Лейбница напи­сано на латыни, выражение «но только в большинстве случаев» он написал по-гречески: со? ети то тсоХи. Очевидно, этим он хотел под­черкнуть, что конечное число опытов, предлагаемое Якобом, с не­избежностью окажется недостаточным для точного исчисления за­мыслов природы 2).

Реакция Лейбница не обескуражила Якоба, но внесла корректи­вы в его подход к решению проблемы. Лейбницево предупрежде­ние по-гречески не прошло даром.

Усилия Якоба определить вероятность на основе обследования выборки данных нашли отражение в его «Ars Conjectandi», работе, которую его племянник Николай полностью опубликовал через во­семь лет после смерти автора в 1713 году4.(В одном из последующих писем Якобу Лейбниц заметил: «Можете не сомневаться, что любой, кто попытается на основе данных о продолжительности жизни в совре­менных Лондоне и Париже делать выводы о смертности праотцев, живших до Пото­па, придет к чудовищно искаженным выводам» [Hacking, 1975, р. 164]). Интерес Якоба сосредо­точен на том, чтобы показать, где метод логического вывода — объективный анализ данных — кончается и начинается другой ме­тод — прогнозирование на основе вероятностных законов. В извест­ном смысле здесь прогнозирование рассматривается как процесс восстановления целого по части.

Якоб начинает свой анализ с констатации того, что в теории ве­роятностей для принятия гипотезы о возможности события «необходимо только подсчитать точное число возможных событий и за­тем определить, насколько наступление одного события более веро­ятно, нежели наступление другого». Трудность, на которую он по­стоянно указывает, заключается в том, что использование вероят­ности ограничено почти исключительно случайными играми. С этой точки зрения достижения Паскаля представляются не более как интеллектуальной забавой.

Для Якоба это ограничение имеет принципиальное значение, о чем свидетельствует его рассуждение, созвучное Лейбницеву пре­дупреждению:

Но кто из смертных... может установить число болезней, подсчитав все, причиняющие страдания человеческому телу... и насколько фатальный исход от одной болезни более вероятен, чем от другой — от чумы или от водянки... от водянки или от лихорадки, — и на этой основе сделать предсказания о соотношении жизни и смерти для будущих поколений? ...Кто может претендовать на столь глубокое проникновение в при­роду человеческого духа и изумительную структуру тела, чтобы в иг­рах, результат которых зависит от... остроты ума или физической лов­кости игроков, рискнуть предсказать, кто из игроков выиграет и кто проиграет?

Якоб указывает на принципиальное отличие между реальнос­тью и абстракцией при использовании вероятностных законов. На­пример, предложенное Пацциоли рассмотрение незавершенной иг­ры в balla, как и пример с гипотетическим неоконченным турни­ром на первенство по бейсболу, о котором у нас шла речь при об­суждении треугольника Паскаля, не имеет ничего общего с реаль­ными жизненными ситуациями. В реальной жизни игроки в balla, как и участники бейсбольного турнира, обладают различной «ост­ротой ума и физической ловкостью» — качествами, которые я игно­рировал в приведенных ранее упрощенных примерах использования законов вероятности для предсказания событий. Треугольник Пас­каля дает только намек на исход игры в реальных условиях.

Теория может определить вероятность тех или иных исходов для игры в казино или лотереи — здесь нет необходимости вра­щать колесо рулетки или считать лотерейные билеты, чтобы опре­делить характер результата, но в реальной жизни важна относя­щаяся к делу информация. Беда в том, что мы никогда не облада­ем ей в нужном объеме. Природа устанавливает шаблоны, но «толь­ко в большинстве случаев». В теории, которая абстрагируется от природы, дело обстоит проще: мы или имеем необходимую информацию, или не нуждаемся в ней. Как сказал цитированный в вве­дении Фишер Блэк, мир выглядит более упорядоченным с терри­тории Массачусетского технологического института, чем в перспек­тиве хаотического бурления Уолл-стрит.

В нашем обсуждении гипотетической игры в balla и вообража­емого бейсбольного турнира статистика игр, физические способно­сти и интеллектуальное развитие игроков не имели отношения к делу. Игнорировалась даже сама природа игры. Теоретический подход полностью подменял конкретную информацию.

В реальности фанатики бейсбола, как и брокеры фондовой бир­жи, собирают массу статистических данных, потому что эта ин­формация необходима им для оценки класса игроков и команд или для оценки будущей прибыльности акций. И даже заключения экс­пертов с вероятностными оценками конечных результатов, полу­ченные на основе обработки тысяч фактов, и в спорте и в финансах оставляют место сомнениям и неопределенности.

Треугольник Паскаля и все предшествующие работы по теории вероятностей отвечали только на один вопрос: какова вероятность того или иного отдельного события. Ответ на этот вопрос в боль­шинстве случаев имеет ограниченную ценность, поскольку чаще всего он мало что дает для оценки ситуации. Что на деле даст нам знание того, что игрок А имеет 60% шансов победить в отдельной партии в balla? Можно ли на этом основании утверждать, что он способен победить игрока В в 60% партий? Ведь победы в одном турнире недостаточно для этого утверждения. Сколько раз должны сыграть А и В, чтобы мы могли убедиться, что А играет лучше, чем В? Что говорит нам результат бейсбольного турнира этого года о вероятности того, что победившая команда является самой силь­ной вообще, а не только в этом году? Что говорит высокий процент смертности от рака легких среди курильщиков о вероятности того, что курение раньше срока сведет в могилу именно вас? Свидетель­ствует ли смерть слона о целесообразности спускаться в бомбоубе­жище при налетах?

Реальные жизненные ситуации часто требуют от нас определе­ния вероятности вполне определенного исхода на пути заключения от частного к общему. В жизни очень редко встречаются задачи, сводящиеся к чистой игре случая, для которых можно определить вероятность исхода до изучения ряда событий — a priori, как ска­зал бы Якоб Бернулли. В большинстве случаев мы вынуждены оп­ределять вероятности на основе имеющихся данных после ряда происшедших событий — a posteriori. Само понятие a posteriori предполагает эксперимент и измерение степени уверенности. В Москве семь миллионов жителей, но после гибели слона от фашист­ской бомбы профессор решил, что пришло время спускаться в бом­боубежище.

Вклад Якоба Бернулли в решение проблемы определения веро­ятности на основе информации об ограниченном наборе реальных событий был двояким. С одной стороны, он сформулировал задачу в этом виде в то время, когда никто еще даже не усматривал необ­ходимости ее постановки. С другой — он предложил решение, за­висящее только от одного необходимого условия: мы должны пред­положить, что «при равных условиях наступление (или не наступ­ление) события в будущем будет следовать тем же закономерно­стям, какие наблюдались в прошлом»5.

Это допущение чрезвычайно важно. Якоб мог сетовать на то, что в реальной жизни информация очень редко оказывается достаточно полной, чтобы применять простые вероятностные законы для пред­сказания результатов. Но он признаёт, что оценка вероятностей пост­фактум также невозможна, пока мы не примем предположения, что прошлое является прообразом будущего. Трудность этого предполо­жения не требует пояснений.

Какие бы данные мы ни отбирали для анализа, прошлое остает­ся лишь фрагментом реальности. Эта фрагментарность играет ре­шающую роль при переходе от ограниченного набора данных к обобщению. Мы никогда не имеем (или не можем позволить себе собрать) всей информации, в которой нуждаемся, чтобы обладать той же уверенностью, с какой без тени сомнения утверждаем, что у игральной кости шесть граней с нанесенными на каждую разными цифрами или что у колеса европейской рулетки 37 лунок (у аме­риканской 38) с разными числами против каждой. Реальность пред­ставляет собой серию взаимосвязанных событий, зависимых друг от друга, и принципиально отличается от случайных игр, в которых результат каждой отдельной игры не влияет на результат после­дующей. В случайных играх все сводится к определенным числам, а в реальной жизни мы чаще используем приблизительные оценки — «мало», «много» или «не очень много», а не точные количествен­ные величины.

Якоб Бернулли невольно определил содержание оставшейся ча­сти моей книги. С этого момента разговор об управлении риском будет сводиться к использованию трех его основополагающих предположений — полнота информации, независимость испытаний и на­дежность количественных оценок. В каждом отдельном случае во­прос о правомерности этих предположений является главным для решения вопроса о том, насколько успешно мы можем использо­вать измерения и информацию для прогнозирования будущего. По существу, эти предположения определяют наш взгляд на прошлое: можем ли мы объяснить происшедшее, или при описании события следует прибегнуть к понятию чистой случайности (что, иначе го­воря, означало бы, что мы не имеем объяснения)?

Несмотря на все трудности, нам приходится иногда осознан­но, чаще неосознанно предполагать, что перечисленные Якобом не­обходимые условия выполняются, даже если нам достаточно хоро­шо известны отличия реальности от идеального случая. Наши от­веты могут быть неточными, но описанная в этой главе методоло­гия, разработанная Якобом Бернулли и другими математиками, просто принуждает нас заняться определением вероятности буду­щих событий на основе ограниченных наборов данных о прошлых событиях.

Теорема Якоба Бернулли о вычислении вероятности a postetiori известна как закон больших чисел. Вопреки распространенной точке зрения этот закон не дает метода оценки наблюдаемых фак­тов, которые являются лишь несовершенным отображением явле­ния в целом. Не следует из него и утверждение, будто увеличение числа наблюдений влечет за собой возрастание вероятности совпа­дения того, что мы видим, с тем, что мы исследуем. Закон не яв­ляется и средством улучшения качества тестов: Якоб не забыл за­мечание Лейбница и отверг свои первоначальные идеи о поиске четких ответов на основе эмпирических тестов.

Якоба интересовало другое определение вероятности. Предполо­жим, вы подбрасываете монету. Закон больших чисел не утвержда­ет, что среднее число выпадений орла будет приближаться к 50% при увеличении числа бросков; простые вычисления дадут вам этот ответ и избавят от утомительного подбрасывания монеты. Закон, скорее, утверждает, что при увеличении числа бросков будет возра­стать вероятность того, что процент появлений орла в общем числе бросков будет отличаться от 50% на величину, меньшую сколь угод­но малой заданной величины. В слове «отличаться» все дело. Речь идет не об истинности значения 50%, а о вероятности того, что отклонение наблюдаемого среднего значения вероятности от расчетно­го будет меньше, чем, скажем, 2%, — другими словами, что с уве­личением числа бросков эта вероятность будет возрастать.

Это не означает, что при бесконечном числе бросков отклонений не будет; Якоб явным образом исключает этот случай. Не означает это и того, что отклонение будет с необходимостью становиться пренебрежимо малым. Закон лишь утверждает, что среднее зна­чение при большом числе бросков будет с большей, чем при малом числе бросков, вероятностью отличаться от истинного среднего на величину, меньшую наперед заданной. Но всегда останется воз­можность того, что наблюдаемый результат будет отличаться от истинного среднего на величину, большую некоей заданной. Семи миллионов жителей Москвы оказалось недостаточно для профессо­ра статистики.

Закон больших чисел не надо путать с законом о среднем. Ма­тематики говорят нам, что вероятность выпадения орла при одном бросании монеты составляет 50%, — но результат каждого броска не зависит от всех остальных. Он не зависит от результата предше­ствующих бросков и не влияет на результаты последующих. Сле­довательно, закон больших чисел не утверждает, что вероятность выпадения орла для отдельного броска станет выше 50%, если в первых ста или миллионе бросков только в 40% случаев выпал орел. Закон больших чисел отнюдь не обещает, что вы отыграетесь после серии проигрышей.

Для иллюстрации закона больших чисел Якоб предложил мыс­ленный эксперимент с кувшином, наполненным 3000 белых камеш­ков и 2000 черных, ставший с тех пор очень популярным среди спе­циалистов по теории вероятностей и авторов математических голово­ломок. Он оговаривает, что нам должно быть неизвестно, сколько ка­мешков каждого цвета в кувшине. Мы по одному вынимаем камешки из кувшина, фиксируем цвет каждого из них и возвращаем обратно в кувшин. Из факта, что по мере возрастания числа обследованных та­ким образом камешков мы получаем «практическую достоверность» (moral certainty) — имеется в виду достоверность в обыденном смысле слова, а не абсолютная достоверность — того, что число белых и число черных камешков будут соотноситься как 3:2, Якоб заклю­чает, что «мы можем определить это соотношение a posteriori с по­чти той же точностью, как если бы оно было известно нам a priori»6. Его расчеты показывают, что 25 550-кратного вытаскивания камеш­ков из кувшина будет достаточно, чтобы с вероятностью, превыша­ющей 1000/iooi' утверждать, что результат будет 3/2 с точностью 2%. Это и есть ваша практическая достоверность.

Якоб не использует выражение «практическая достоверность» необдуманно. Оно покоится на его определении вероятности, поза­имствованном из одной ранней работы Лейбница. «Вероятность, — утверждает он, — это степень достоверности и отличается от абсо­лютной достоверности как часть отличается от целого»7.

Но Якоб идет дальше Лейбница в обсуждении того, что означа­ет понятие «достоверность». Наше индивидуальное суждение о до­стоверности — вот что привлекает внимание Якоба: условие прак­тической достоверности имеет место, если мы почти абсолютно убеждены в верности суждения. Когда Лейбниц вводил это поня­тие, он определил его как «бесконечную вероятность». Сам Якоб удовлетворяется вероятностью 1000/юо1> но он хочет подстраховать­ся: «Было бы полезным, если бы должностные лица установили пределы практической достоверности»8.

Якоб торжествует. Отныне, утверждает он, мы можем делать предсказания о любых неопределенных величинах с той же степе­нью научной обоснованности, как и предсказания в случайных иг­рах. Он перевел вероятность из сферы теории в мир реальности:

Если вместо кувшина мы обратимся, например, к атмосфере или чело­веческому телу, в котором таится множество самых разных процессов или болезней, как камешков в кувшине, то на основе наблюдений мы сможем определить, насколько наступление одного события более ве­роятно, чем наступление другого9.

Однако, как оказалось, с кувшином у Якоба не обошлось без хлопот. Расчет, показавший необходимость 25550 испытаний для получения практической достоверности, должен был ужаснуть его неприемлемой величиной этого числа; в те времена население его род­ного города Базеля было меньше 25550 человек. Судя по тому, что именно на этом месте его книга обрывается, можно предположить, что он растерялся и не знал, как быть дальше. Приходилось делать вывод, что трудно найти в реальной жизни случаи, в которых все наблюдения удовлетворяли бы требованию независимости друг от друга:

Таким образом, если все события вечно повторяются, приходится при­знать, что всё в мире происходит по определенным причинам в соот­ветствии с определенными правилами, и мы вынуждены предположить относительно наиболее явно случайных вещей наличие некоей необхо­димости, или, иначе говоря, РОКА10.

Тем не менее его кувшин с камешками заслужил бессмертие. Эти камешки стали инструментом в первой попытке измерить неопреде­ленность — точнее, определить ее — и вычислить вероятность того, что эмпирически определенное значение случайной величины близ­ко к истинному, даже если истинное значение неизвестно.

Якоб Бернулли умер в 1705 году. Его племянник Николай — Ни­колай Медлительный — продолжил исследования дяди, связанные с определением вероятностей на основе наблюдений, одновременно медленно, но верно завершая подготовку к изданию «Ars Conjec-tandi». Его результаты были опубликованы в том же 1713 году, в ко­тором наконец вышла в свет книга Якоба.

Якоб для начала задает вероятность того, что отклонение на­блюдаемого значения от истинного окажется в некоем определен­ном интервале, а затем вычисляет число наблюдений, необходимое для получения именно этого заданного значения. Николай поставил перед собой обратную задачу. Считая число наблюдений заданным, он вычислял вероятность того, что отклонение наблюдаемого сред­него от истинного окажется в заданных пределах. Он использовал пример, в котором предполагал, что отношение числа рождающих­ся мальчиков к числу рождающихся девочек равно 18:17. Если общее число рождений составляет, скажем, 14000, ожидаемое число рождений мальчиков должно быть 7200. Затем он рассчитал, что с шансами по меньшей мере 43,58 к 1 действительное число родив­шихся мальчиков окажется в интервале 7200 + 163 и 7200 - 163, то есть между 7363 и 7037.

В 1718 году Николай предложил французскому математику Аб­рахаму де Муавру присоединиться к его исследованиям, но де Муавр отверг это предложение: «Я хотел бы оказаться способным... приме­нить теорию случайностей (Doctrine of Chances) к решению эконо­мических и политических задач, [но] с готовностью передаю мою часть работы в лучшие руки»11. Из этого ответа де Муавра Николаю следует, что исследования по использованию вероятности и прогно­зированию быстро продвигались вперед.

Де Муавр родился в 1667 году — через 13 лет после Якоба Бер­нулли — в протестантской семье во Франции, в обстановке возрастающей враждебности ко всем некатоликам12. В 1685 году, когда ему было 18 лет, король Людовик XIV отменил Нантский эдикт, провозглашенный в 1598 году родившимся в протестантской вере королем Генрихом IV и предоставивший протестантам, называемым гугенотами, равные политические права с католиками. После отме­ны эдикта исповедование реформатской религии было запрещено, дети гугенотов должны были воспитываться в католической вере, эмиграцию запретили. Де Муавр свыше двух лет провел в тюрьме за свои религиозные убеждения. Ненавидя Францию и все с нею свя­занное, он в 1688 году бежал в Лондон, где Славная революция как раз покончила с остатками государственного католицизма. На роди­ну он так и не вернулся.

В Англии де Муавр вел печальную и неустроенную жизнь. Не­смотря на все усилия, ему не удалось добиться приличной академи­ческой должности. Он зарабатывал на жизнь уроками математики и консультациями по применению теории вероятностей для игроков и страховых брокеров. С этой целью он держал неофициальную при­емную в кофейне Слайтера, что на улице Святого Мартина, где большей частью и проводил остаток дня по окончании занятий с учениками. Хотя он был другом Ньютона и стал членом Королев­ского общества уже в тридцать лет, он так и остался едким, ушед­шим в себя, асоциальным человеком. Умер он в 1754 году в бедности и слепоте в возрасте 87-ми лет.

В 1725 году де Муавр опубликовал работу, озаглавленную «По­жизненная рента» («Annuities upon Lives»), с анализом таблиц Галлея о продолжительности жизни и смертности в Бреслау. Хотя книга по­священа главным образом научным проблемам, в ней обсуждаются многие вопросы, относящиеся к головоломкам, которые пытались решить Бернулли и которые позднее де Муавр детально исследовал.

Историк статистики Стивен Стиглер (Stigler) приводит интересный пример, рассмотренный в работе де Муавра о ренте. Таблицы Галлея свидетельствовали, что в Бреслау из 346 человек пятидесятилетнего возраста только 142, то есть 41%, дожили до семидесяти лет. Это очень маленькая выборка. В какой мере можно использовать этот ре­зультат для выводов об ожидаемой продолжительности жизни пяти­десятилетних? Де Муавр не мог использовать эти числа для определе­ния вероятности того, что человек в возрасте пятидесяти лет имеет меньше 50% шансов дожить до семидесяти, но он мог бы ответить вот на какой вопрос: «Если в действительности шансы равны, какова ве­роятность того, что выборка покажет величину не более 142/з4в?»

Первая прямо посвященная теории вероятностей работа де Му­авра озаглавлена «De Mensura Sortis» (буквально «Об измерении случайных величин»). Работа была впервые опубликована в 1711 го­ду в журнале Королевского общества «Philosophical Transactions». В 1718 году де Муавр предпринял значительно расширенное изда­ние этой работы на английском языке, озаглавленное «Теория слу­чайностей» («The Doctrine of Chances»), с посвящением своему близ­кому другу Исааку Ньютону. Книга имела огромный успех и вы­держала еще два издания в 1738-м и 1756 годах. Работа, видимо, произвела сильное впечатление на Ньютона, который при случае говорил своим студентам: «Обратитесь к мистеру де Муавру, он зна­ет эти вещи лучше меня». «De Mensura Sortis», по-видимому, пер­вая работа, в которой риск определен как шанс проигрыша: «Риск проиграть некую сумму обратен ожиданию выигрыша, и истинной мерой его является произведение поставленной на кон суммы на вероятность проигрыша».

В 1730 году де Муавр в конце концов обратился к предложен­ной Николаем Бернулли теме — насколько хорошо реальная вы­борка отображает свойства совокупности, на основе которой она построена. В 1733 году он опубликовал полное решение задачи и включил его во второе и третье издания «Теории случайностей». Он начинает с признания, что Якоб и Николай Бернулли «пока­зали очень большое искусство... Однако некоторые вещи нуждают­ся в дальнейшей разработке». В частности, подход обоих Бернулли «представляется настолько трудоемким и связан с такими сложно­стями, что до сих пор мало кто соглашался их преодолевать».

Действительно, необходимость проведения 25550 испытаний де­лала решение задачи практически неосуществимым. Даже если бы, как утверждал Джеймс Ньюмен, Якоб Бернулли в приведенном им примере был бы готов удовлетвориться «практической достоверно­стью», не большей, чем в пари с равными шансами, — вероятно­стью 50/юо того, что результат будет с точностью до 2% равен 3/2, — и то понадобилось бы 8400 испытаний. По нынешним стандартам требование Якобом вероятности 1000/iooi курьезно само по себе. Се­годня большинство статистиков принимают несовпадение не более чем в 1 из 20 случаев как основание признания значимости (так сегодня называют практическую достоверность) результата с более чем достаточной степенью вероятности.

Достижения де Муавра в решении этой проблемы стоят в ряду наиболее важных математических открытий. Используя вычисле­ния и основные свойства треугольника Паскаля, составляющие со­держание биномиальной теоремы, де Муавр демонстрирует, как ряд случайных испытаний, подобных опытам Бернулли с кувши­ном, приводит к распределению результата вокруг среднего значения. К примеру, предположим, вы вытащили сто камешков подряд из кувшина Якоба, каждый раз возвращая камешек в кувшин и фиксируя отношение числа черных и белых камешков. Теперь пред­положим, вы выполнили серию таких опытов по сто испытаний в каждом. Де Муавр смог бы заранее приблизительно сказать вам, сколько из этих отношений будут близки к среднему отношению в суммарном числе испытаний и как эти отдельные отношения бу­дут распределены относительно этого среднего.

Распределение де Муавра ныне известно как нормальная, или, в соответствии с ее формой, колоколообразная кривая. Эта кривая показывает, что наибольшее число наблюдений группируется в цент­ре, вблизи среднего значения, вычисленного для суммарного числа наблюдений. Она симметрично спускается по обе стороны от сред­него значения, вблизи его круто, а затем все более полого. Другими словами, результаты наблюдений, далекие от среднего значения, менее вероятны, чем близкие к нему.

Форма кривой де Муавра позволила ему вычислить статистиче­скую меру ее дисперсии относительно среднего значения. Эта мера, известная как стандартное или среднее квадратичное отклонение*(В русской научной литературе чаще используется второй термин, известный также как среднее квадратическое. — Примеч. науч. редактора.), чрезвычайно важна для решения вопроса о том, включает ли в себя совокупность наблюдений достаточно репрезентативную для изучае­мой совокупности выборку. В нормальном распределении приблизи­тельно 68% результатов наблюдений оказываются в пределах одного среднего квадратичного отклонения от среднего значения и 98% — в пределах двух средних квадратичных отклонений.

Среднее квадратичное отклонение может сказать нам, не имеем ли мы дело со случаем «голова-в-духовке-ноги-в-холодильнике», когда любые рассуждения о среднем являются бессмысленными. Среднее квадратичное отклонение может также сказать нам, что 25 550 мани­пуляций с камешками Якоба позволяют весьма точно оценить со­отношение числа черных и белых камешков в кувшине, поскольку относительно малое число наблюдений будет сильно отличаться от среднего значения.

Де Муавр был поражен закономерностью, которая проявлялась с увеличением числа случайных и независимых наблюдений; он относил эту упорядоченность к предписаниям Всемогущего. Это приводит к мысли, что при правильно выбранных условиях изме­рения можно в самом деле преодолеть неопределенность и приру­чить риск. Используя курсив, чтобы подчеркнуть значение сказанного, де Муавр так подытожил свои исследования: «Случай порож­дает Отклонения от закономерности, однако бесконечно велики Шансы, что с течением Времени эти Отклонения окажутся пре­небрежимо ничтожными относительно повторяемости того По­рядка, который естественным образом является результатом БОЖЕСТВЕННОГО ПРЕДНАЧЕРТАНИЯ»13.

Вкладом де Муавра в математику был инструмент, который сделал возможной оценку вероятности того, что заданное число на­блюдений попадет в некоторую область вокруг истинного отноше­ния. Этот результат нашел широкое практическое применение.

Например, все производители опасаются того, что результатом сборки может оказаться бракованная продукция, которая дойдет до потребителей. Стопроцентное качество в большинстве случаев практически невозможно — наш мир, похоже, непоправимо враж­дебен совершенству.

Представьте себе директора булавочной фабрики, который ста­рается добиться, чтобы бракованные булавки встречались не ча­ще, чем в 10 случаях из 100000, то есть чтобы брак составлял не бо­лее 0,01% от объема производства14. Для контроля дел он проводит обследование произвольной выборки из 100 000 сошедших с кон­вейера булавок и выясняет, что у 12 нет головок — на 2 больше, чем он надеялся получить в среднем по всей производимой про­дукции. Насколько значима эта разница? Какова вероятность най­ти 12 бракованных булавок из выборки объемом в 100000, если средний процент брака составляет 10 бракованных булавок на каж­дый 1 000 000? Нормальное распределение и среднее квадратичное отклонение де Муавра дают ответ на этот вопрос.

Но обычно вопрос ставится по-иному. Чаще никто точно не зна­ет, сколько именно бракованных изделий в среднем выпускает фабрика. Вопреки благим намерениям действительная доля брака может оказаться в среднем выше, чем 10 из 100000. Что скажет выборка из 100000 булавок о вероятности того, что для всей вы­пускаемой продукции брак в среднем составляет 0,01%? Насколь­ко более точные сведения можно получить из выборки объемом в 200 000 булавок? Какова вероятность того, что процент брака окажется в пределах от 0,009% до 0,011%? А в пределах от 0,007% до 0,013%? Какова вероятность того, что одна наугад взятая бу­лавка окажется бракованной?

Здесь исходными данными являются 10 булавок, 12 булавок, 1 булавка, а вероятность оказывается искомой величиной. В такой постановке задача сводится к вычислению так называемой обрат­ной вероятности: какова вероятность того, что по всей произве­денной продукции брак составляет в среднем 0,01%, если в выбор­ке из 100000 булавок оказалось 12 бракованных?

Одно из наиболее эффективных решений этой задачи было пред­ложено пастором Томасом Байесом, который родился в 1701 году и жил в Кенте15. Байес был нонконформистом. Он отвергал большин­ство обрядов англиканской церкви, перенятых ею от католической после отделения от Рима во время правления Генриха VIII.

Хоть Байес и был членом Королевского общества, известно о нем немного. В одном довольно скучном и безликом учебнике статистики он характеризуется :сак «загадочная личность»18. При жизни он не издал ни одного сочинения по математике и оставил только две рабо­ты, которые были опубликованы после его смерти, но не смогли обра­тить на себя должного внимания.

Тем не менее одна из этих работ, «О решении проблемы в тео­рии случайностей» («Essay towards Solving a Problem in the Doctrine of Chances»), оказалась замечательно оригинальным про­изведением, которое обессмертило имя Байеса среди статистиков, экономистов и других представителей социальных наук. В нем за­ложены основы современных методов статистического анализа, на­чало работы над которыми было положено трудами Якоба Бер-нулли.

После смерти Байеса в 1761 году, согласно составленному за год до того завещанию, рукопись этой работы и сто фунтов стерлингов достались «Ричарду Прайсу, в настоящее время, как я полагаю, пастору в Ньюингтон-Грин»17. Любопытно, что у Байеса были столь неверные сведения о Прайсе, фигуре тогда намного более важной, чем простой священник в маленьком городке графства Кент.

Ричард Прайс был человеком высоких нравственных принци­пов, страстным поборником свободы вообще и свободы вероиспове­дания в частности. Он был убежден, что свобода дана человеку Бо­гом и поэтому является непременным условием нравственного по­ведения, и утверждал, что лучше быть свободным грешником, чем рабом. В 1780 году он написал книгу об американской революции с чрезвычайно длинным названием: «Соображения о значении американской революции и путях превращения ее во всемирное благо» («Observations on the Importance of the American Revolution and the Means of Making it a Benefit to the World»), в которой выразил свою веру в то, что революция была предначертана Богом. Рискуя собой, он заботился о перемещенных в Англию американских военноплен­ных. Он был другом Бенджамина Франклина и хорошо знал Адама Смита. Смит отсылал Франклину и Прайсу некоторые главы книги «О богатстве народов» («The Wealth of Nations») для чтения и кри­тических замечаний.

Одна разновидность свободы беспокоила Прайса: свобода заимст­вования. Он был глубоко озабочен величиной национального долга Британии, выросшего в результате войн с Францией и с колонис­тами Северной Америки. Он сетовал по поводу непрекращающего­ся накопления государственного долга и называл его «величайшим национальным злом»18.

Но Прайс был не просто священником и страстным поборником свободы. Он известен также как математик, который за работы в области теории вероятностей был принят в члены Королевского общества.

В 1765 году три человека из страховой компании, носящей на­звание «Общество справедливости» (Equitable Society), пригласили Прайса помочь им в составлении таблиц смертности, на основе ко­торых должны были определяться размеры сборов при страховании жизни и продаже пожизненной ренты. После изучения среди прочих трудов Галлея и де Муавра Прайс опубликовал по этому вопросу две статьи в «Philosophical Transactions»; его биограф Карл Кон со­общает, что голова Прайса поседела за одну ночь от напряжения при работе над второй из этих статей.

Прайс начал с изучения записей в лондонских регистрационных книгах, но математическое ожидание продолжительности жизни, получаемое на основе этих записей, оказалось значительно ниже имевшихся данных о смертности19. Тогда он обратился в графство Нортгемптон, где записи велись более аккуратно, чем в Лондоне. Он опубликовал результаты своих изысканий в 1771 году в книге, озаглавленной «Заметки о страховых выплатах» («Observations on Reversionary Payments»), которая оставалась катехизисом страхов­щиков до конца XIX столетия. Эта работа принесла ему славу осно­воположника страховой статистики как комплекса вероятностных методов, применяемых ныне всеми страховыми компаниями в ка­честве основы исчисления сборов и выплат.

Однако в работе Прайса были серьезные, весьма дорогостоящие ошибки, частично обусловленные погрешностями исходных данных, которые не охватывали большое число незарегистрированных рож­дений. Более того, он завысил коэффициенты смертности для ран­них возрастов и занизил их для старших, а его оценки величины миграции населения в Нортгемптон и из него оказались неточны­ми. Наиболее серьезные последствия имело занижение ожидаемой продолжительности жизни, что привело к значительному завыше­нию сборов при страховании жизни. «Общество справедливости» обогатилось на этой ошибке, а британское правительство, использо­вавшее те же таблицы для определения выплат покупателям по­жизненной ренты, понесло значительные убытки20.

Через два года после смерти Байеса Прайс послал копию его «очень остроумной» работы некоему Джону Кантону, другому члену Королев­ского общества, с сопроводительным письмом, дающим представление о намерениях, с которыми Байес ее писал. Впоследствии в 1764 году Королевское общество опубликовало ее в «Philosophical Transactions», но и это не помешало новаторской работе Байеса прозябать в безвест­ности в течение двадцати лет.

Здесь приводится постановка Байесом задачи, которую он пытал­ся решить:

ЗАДАЧА

Дано: число случаев [в выборке], в которых некое событие наступи­ло, и число случаев, в которых оно не наступило.

Требуется определить: вероятность того, что вероятность на­ступления события в одном испытании [в генеральной совокупности] находится в некоем заданном интервале значений21.

Поставленная здесь задача в точности обратна задаче, постав­ленной Якобом Бернулли примерно шестьюдесятью годами ранее (с. 136). Байес задается вопросом, как определить вероятность того, что событие будет иметь место, при том что мы знаем только, что оно в определенном числе случаев наступило и в некоем другом числе случаев не наступило. Другими словами, булавка может оказаться бракованной или качественной. Если мы обнаружим десять брако­ванных булавок в выборке из ста, какова вероятность, что во всей совокупности булавок — не только в выборке из ста — процент бра­ка окажется в интервале между 9 и 11%?

Сопроводительное письмо Прайса Кантону показывает, как да­леко за одно столетие продвинулся анализ вероятности в практике принятия решений. «Каждый здравомыслящий человек, — пишет Прайс, — поймет, что поставленная здесь задача ни в коем случае не является простым упражнением в области теории случайностей, но требует решения в целях построения прочного основания для всех наших суждений относительно предыдущих событий и выяс­нения вероятности последующих»22. Он далее указывает, что ни Якоб Бернулли, ни де Муавр не поставили вопрос именно таким об­разом, хотя де Муавр и охарактеризовал трудности в получении своего собственного решения как «наибольшие из всех, какие мож­но ожидать в теории случайностей ».

Для доказательства своей точки зрения Байес использовал не очень подходящий для диссидентствующего священника пример — бильярд. Запущенный по бильярдному столу шар где-то останавлива­ется и остается на месте. Затем другой шар многократно запускается таким же образом, и подсчитывается число случаев, когда он оста­навливается справа от первого. Это «число случаев, когда неопреде­ленное событие наступило», — успех. Неуспех — это число случаев, когда событие не наступило, то есть шар оказался слева от первого. Вероятность местонахождения первого шара — единичное испыта­ние — следует вывести из «успеха» или «неуспеха» второго23.

Важнейшее применение подхода Байеса заключается в использо­вании новой информации для уточнения вероятности, основанной на старой информации, или, пользуясь языком статистики, сравнении апостериорной вероятности с априорной. В случае с бильярдными ша­рами положение первого шара представляет собой априорную, а мно­гократные оценки его местонахождения повторяющимися запусками второго шара — апостериорную вероятность.

Процедура пересмотра выводов относительно старой информа­ции по мере получения новой имеет источником философскую точ­ку зрения, делающую достижения Байеса чрезвычайно современ­ными: в динамичном мире в условиях неопределенности нет одно­значных ответов. Математик А. Ф. М. Смит (Smith) это очень хоро­шо сформулировал: «Каждая попытка научно обосновать ответы, возникающие в ситуации сложной неопределенности, является, на мой вкус, тоталитарной пародией на считающийся разумным про­цесс познания»24.

Хотя из-за сложности байесовского подхода детальное рассмот­рение его здесь неуместно, пример типичного применения его при­веден в конце этой главы.

Важнейшей отличительной особенностью всех описанных в этой главе научных достижений является смелая мысль, что неопреде­ленность может быть измерена. Неопределенность означает, что значение вероятности неизвестно; перефразируя высказывание Ха-кинга об определенности, можно сказать, что нечто является нео­пределенным, если наша информация верна, а событие не проис­ходит или если наша информация неверна, а событие происходит.

Якоб Бернулли, Абрахам де Муавр и Томас Байес показали, как вычислять величину вероятности на основании эмпирических фак­тов. В этих достижениях впечатляют живость ума, проявленная в постановке вопросов, и смелость, с которой он дерзко атакует неиз­вестное. Де Муавр не скрывал восхищенного удивления перед соб­ственными результатами, когда сослался на БОЖЕСТВЕННОЕ ПРЕД­НАЧЕРТАНИЕ. Он любил такого рода выражения. В другом месте у него читаем: «Если бы мы не ослепляли себя метафизической пы­лью, то могли бы коротким и очевидным путем прийти к познанию великого СОЗДАТЕЛЯ и ВСЕДЕРЖИТЕЛЯ всего сущего»28.

Мы уже основательно углубились в XVIII столетие, когда англи­чане считали познание высшей формой человеческой деятельности. Это действительно было время, когда ученые стряхнули со своих глаз метафизическую пыль. Не было больше препятствий для ис­следования непознанного и созидания нового. Огромные успехи в освоении природы риска, достигнутые до 1800 года, дали мощный толчок науке наступающего столетия, и в Викторианскую эпоху исследования в этом направлении получили дальнейшее развитие.

Приложение

Пример практического применения Байесова подхода к статистическим задачам

Обратимся вновь к булавочной компании. Компания имеет две фабрики, причем старая выпускает 40% продукции. Это озна­чает, что взятая наугад булавка, бракованная или нет, с веро­ятностью 40% выпущена на старой фабрике; это исходная ве­роятность. Известно, что на старой фабрике процент брака вдвое больше, чем на новой. Если клиент звонит и сообщает о купленной им бракованной булавке, на какую из двух фаб­рик должен звонить менеджер по сбыту?

Исходная вероятность побуждает утверждать, что, скорее всего, бракованная булавка сделана на новой фабрике, выпу­скающей 60% продукции компании. С другой стороны, час­тота появления брака на этой фабрике вдвое меньше, чем на старой. Пересмотрев исходную вероятность с учетом этой до­полнительной информации, получаем, что вероятность выпус­ка бракованной булавки новой фабрикой равна только 42,8%; это значит, что с вероятностью 57,2% виновата старая фабри­ка. Эта новая оценка становится апостериорной вероятностью.

Глава 8

Предельный закон хаоса

В 1855 году в Гёттингене в возрасте 78 лет скончался Карл Фридрих Гаусс. За последние 27 лет жизни он только од­нажды не ночевал дома и, надо думать, из неприязни к пу­тешествиям категорически отказывался от предложений самых из­вестных университетов Европы занять место профессора1.

Подобно многим математикам до и после него, Гаусс уже в ран­нем детстве проявил гениальные способности, чем в равной степе­ни огорчил отца и обрадовал мать. Его отец был простым рабочим, презирал заумные увлечения своего гениального сына и всячески портил ему жизнь. Мать, напротив, как могла, старалась защитить своего мальчика и всемерно поощряла его увлечение математикой, за что Гаусс до конца дней вспоминал о ней с глубокой благодар­ностью.

Биографы, как обычно в таких случаях, сообщают всевозможные истории о математических головоломках, которые будущий великий математик решал в том возрасте, когда большинство детей с трудом делят 24 на 12. Он обладал феноменальной памятью и помнил всю логарифмическую таблицу назубок. В восемнадцать лет он сделал удивительное открытие, касающееся свойств семнадцатиугольника; такого в математике не случалось уже 2000 лет со времен древних греков. Его докторская диссертация на тему «Новое доказательство того, что каждая целая рациональная функция одной переменной может быть представлена произведением действительных чисел пер­вой и второй степени» посвящена решению основной теоремы ал­гебры. Сама теорема была известна и раньше, но он предложил со­вершенно новое доказательство.

Слава Гаусса была столь велика, что, когда в 1807 году фран­цузские войска подошли к Гёттингену, Наполеон приказал побе­речь город, в котором живет «величайший математик всех вре­мен»2. Со стороны Наполеона это было очень любезно, но слава имеет и оборотную сторону. Когда победители наложили на Герма­нию контрибуцию, они потребовали с Гаусса 2000 франков. Это соответствовало примерно 5000 нынешних долларов — довольно крупная сумма для университетского профессора1}. Друзья пред­лагали помощь, Гаусс отказывался; пока шли препирательства, выяснилось, что деньги уже уплачены знаменитым французским математиком Морисом Пьером де Лапласом (1749-1827). Лаплас объяснил свой поступок тем, что считает Гаусса, который был на 29 лет моложе его, «величайшим математиком в мире»3, т. е. оце­нил его чуть ниже, чем Наполеон. Позднее анонимный почитатель прислал Гауссу 1000 франков, чтобы помочь ему рассчитаться с Лапласом.

Соотношение франка и доллара в течение многих лет с удивительным постоянством держалось на уровне 5 : 1. Таким образом, 2000 франков можно приравнять к 400 дол­ларам. В 1807 году покупательная способность доллара была в двенадцать раз выше, чем сегодня.

Сам Лаплас был весьма колоритной фигурой, о которой стоит сказать здесь несколько слов; подробнее мы поговорим о нем в гла­ве 12.

В детстве он, как и Гаусс, был математическим вундеркиндом, а впоследствии прославился своей космогонической теорией в аст­рономии. В течение многих лет его внимание привлекали некото­рые разделы теории вероятностей, которые исследовал Гаусс. Но на этом сходство кончается. Жизнь Лапласа протекала на фоне Фран­цузской революции, Наполеоновских войн и реставрации Бурбо­нов. Честолюбивому человеку нужно было обладать большой лов­костью, чтобы в этой кутерьме удержаться на поверхности. Лаплас оказался как раз таким человеком4.

В 1784 году король сделал его инспектором королевской артил­лерии, положив очень приличное жалованье. Однако с установле­нием республики в Лапласе проснулась «неугасимая ненависть к монархии»5, а очень скоро после захвата власти Наполеоном он за­явил о своей решительной поддержке нового вождя, который дал ему пост министра внутренних дел и титул графа, по-видимому рассчитывая, что сотрудничество всемирно известного ученого укре­пит авторитет нового режима. Но уже через шесть недель, уволив Лапласа и посадив на его место своего брата, Наполеон скажет: «Он был хуже самого посредственного чиновника, который во всем видит только хитросплетения. Министерство под его руководством погрязло в трясине бесконечно малой чепухи»8. Неплохой урок для ученых, которым неймется стать власть имущими!

Правда, позже Лаплас взял реванш. Вышедшее в 1812 году первое издание своей «Theorie analytique des probabilites» («Аналитической теории вероятностей») он еще посвятил «Великому Наполеону», но из второго издания 1814 года это посвящение вычеркнул и связал пере­мену политических ветров с темой своего трактата. «Падение импе­рий, стремившихся к господству над миром, — написал он, — с очень высокой степенью вероятности мог предсказать каждый сведущий в вычислениях шансов»7. Людовик XVIII после коронации припомнил это замечание, и Лаплас стал маркизом.

В отличие от Лапласа Гаусс был очень замкнутым человеком и вел затворнический образ жизни. Он не опубликовал массу своих открытий, и многие из них были заново сделаны другими матема­тиками. В публикациях он уделял больше внимания результатам, не придавая особого значения методам их получения и часто зас­тавляя других математиков тратить массу сил на доказательство его выводов. Эрик Темпл Белл, один из биографов Гаусса, считает, что его необщительность задержала развитие математики по мень­шей мере на пятьдесят лет; полдюжины математиков могли бы прославиться, если бы получили результаты, годами, а то и деся­тилетиями хранившиеся у него архиве8.

Слава и замкнутость сделали Гаусса неисправимым интеллекту­альным снобом. Хотя его основные достижения связаны с теорией чисел, в которой прославился Ферма, он почти не использовал ре­зультаты знаменитого тулузского адвоката, а от его великой теоре­мы, остающейся более трех столетий завораживающей загадкой для математиков всего мира, отмахнулся, назвав ее «частным ут­верждением, для меня малоинтересным, потому что я легко могу выложить множество подобных утверждений, которые никто не сможет ни доказать, ни опровергнуть»9.

Это не было пустой похвальбой. В 1801 году, когда ему было 24 года, Гаусс опубликовал «Disquisitiones Arithmeticae» («Арифме­тическое исследование»), написанное на элегантной латыни яркое и значительное историко-научное исследование по теории чисел. Большая часть книги недоступна нематематикам, но для него са­мого написанное звучало как музыка10. Он находил в теории чисел «магическое очарование» и радовался открытию и доказательству всеобщности таких, например, соотношений:

1 = 12

1 + 3 = 22 1 + 3 + 5 = З2

1 + 3 + 5 + 7 = 42

Или, в общем виде, сумма п первых нечетных чисел равна п2. Отсюда сумма первых 100 нечетных чисел от 1 до 199 равна 1002, или 10 000, а сумма нечетных чисел от 1 до 999 равна 250 000.

В 1801 году Гаусс снизошел до демонстрации важных практи­ческих приложений своих теоретических выкладок. В 1800 году один итальянский астроном открыл маленькую новую планету, на астрономическом языке астероид, и назвал ее Церера. Год спустя Гаусс вычислил ее орбиту; раньше он уже занимался вычислением лунных таблиц, позволяющих в любой год определить дату празд­ника Пасхи. В те времена он еще руководствовался желанием за­воевать признание, и ему очень хотелось попасть в компанию сво­их выдающихся предшественников — от Птолемея до Галилея и Ньютона — в изучении небесной механики, хотя он был далек от мысли превзойти астрономические достижения своего современни­ка и благодетеля Лапласа. Впрочем, эта частная задача была при­влекательна и сама по себе, в особенности учитывая неполноту данных и незнание скорости вращения Цереры вокруг Солнца.

В результате лихорадочных вычислений Гаусс нашел очень точ­ное решение, дающее возможность предсказывать местонахождение Цереры в любой момент. За время этой работы он настолько подна­торел в небесной механике, что научился вычислять орбиты комет в течение одного-двух часов, в то время как у других ученых эта рабо­та отнимала три-четыре дня.

Гаусс особенно гордился своими астрономическими достижения­ми, ощущая себя последователем Ньютона, который был его идеалом. Восхищенный открытиями великого англичанина, он впадал в бе­шенство при упоминании об истории с яблоком, падение которого якобы послужило поводом к открытию закона всемирного тяготе­ния, и так отзывался об этой басне:

Глупость! Какой-то надоедливый дурак пристал к Ньютону с вопросом, как он открыл закон тяготения. Увидев, что имеет дело с несмышле­нышем, и стараясь избавиться от надоеды, Ньютон сказал, что ему на нос упало яблоко. Удовлетворенный ответом приставала отошел в пол­ной уверенности, что все понял11.

Гаусс был невысокого мнения о человечестве, порицал рост наци­оналистических настроений, сопровождаемый прославлением воин­ских доблестей, и считал завоевательную политику «непостижимой глупостью». Из-за своей мизантропии он и просидел дома большую часть жизни12.

Не питая особого интереса к управлению риском как таковому, он, однако, интересовался теоретическими проблемами, поднятыми в работах по вероятности, теории больших чисел и теории выборки, начатых Якобом Бернулли и продолженных де Муавром и Байесом, и его собственные достижения в этой области легли в основу совре­менных методов контроля риска.

Впервые он обратился к вероятностным проблемам лри описа­нии метода определения орбиты на основе множества дискретных наблюдений в книге о движении небесных тел, опубликованной в 1809 году под названием «Theoria Motus» («Теория движения»). Когда в 1810 году «Theoria Motus» попала в руки Лапласу, тот сразу ухватился за нее и занялся выяснением некоторых неясно­стей, которых Гауссу не удалось избежать.

Но наиболее ценный вклад в теорию вероятностей Гаусс внес в результате работы, к вероятности никакого отношения не имеющей, а именно занимаясь геодезическими измерениями кривизны Земли для определения точности географических наблюдений. Из-за шаро­образности Земли расстояние между двумя точками на ее поверхно­сти отличается от расстояния между ними, пролетаемого вороной. Эта разница пренебрежимо мала для расстояния в несколько миль, но при расстоянии более десяти миль она становится ощутимой.

В 1816 году Гаусс получил приглашение руководить геодезиче­скими съемками в Баварии и состыковать их результаты с такими же измерениями, уже выполненными в Дании и Северной Германии. На­до полагать, эта работа была малоинтересна для такого до корней во­лос теоретика, каким был Гаусс. Ему пришлось покинуть кабинет, работать на пересеченной местности, общаться с чиновниками и про­чим людом, включая коллег, интеллектуальный уровень которых был ему неинтересен. Но работа затянулась до 1848 года, и опубликован­ные в конце концов результаты составили шестнадцать томов.

Поскольку невозможно обмерить каждый квадратный дюйм зем­ной поверхности, геодезическая съемка представляет собой замеры, выполняемые на заданном расстоянии друг от друга. Анализируя распределение результатов этих замеров, Гаусс заметил, что они име­ют разброс, но, когда число замеров растет, результаты группируются вокруг некоторой центральной точки. Этой центральной точкой явля­ется среднее значение всех результатов измерений, а сами результаты распределяются симметрично по обе стороны от среднего значения. Чем больше измерений выполнялось, тем больше прояснялась кар­тина распределения результатов и тем больше она напоминала коло-колообразную кривую, полученную де Муавром 83 годами раньше.

Связь между риском и измерением кривизны земной поверхно­сти оказалась теснее, чем можно было предположить. Пытаясь ус­тановить кривизну Земли, Гаусс день за днем осуществлял на ба­варских холмах одно геодезическое измерение за другим, пока не набралось огромное количество наблюдений. Точно так же, как мы рассматриваем опыт прошлого для вынесения суждений о вероят­ности того или иного направления развития событий в будущем, Гаусс оценивал накопившиеся результаты и выносил суждение о том, как кривизна земной поверхности влияет на результаты заме­ров расстояний между разными точками в Баварии. Он мог судить о точности своих наблюдений по распределению массы результатов наблюдений вокруг среднего значения.

Принимая связанные с риском решения, мы на каждом шагу встречаемся с разновидностями вопроса, на который он пытался ответить. Сколько в среднем ливней следует ожидать в Нью-Йорке в апреле и каковы наши шансы остаться сухими, если, уезжая на неделю в Нью-Йорк, мы не захватим плащ? Какова вероятность попасть в автомобильную аварию, если мы собираемся проехать 3000 миль, чтобы пересечь страну? Какова вероятность падения курса акций на 10% в будущем году?

Разработанные Гауссом методы получения ответов на подобные вопросы настолько общеизвестны, что мы редко задаемся вопросом об их происхождении. Но без этих методов невозможно оценить степень риска, с которым мы сталкиваемся в жизни, и принимать обоснованные решения о том, стоит или не стоит идти на риск. Без этих методов мы не смогли бы оценивать точность имеющейся ин­формации, как не смогли бы оценивать вероятность того, что некое событие произойдет — дождь, смерть 85-летнего человека или па­дение курса акций на 20%, победа русских на Кубке Дэвиса или демократического большинства на выборах в конгресс, что срабо­тают ремни безопасности при аварии или при бурении наугад будет открыто месторождение нефти.

Процесс оценки данных начинается с анализа колоколообразной кривой, главным назначением которой является не определение точ­ного значения, а оценка ошибок. Если бы результат каждого измере­ния точно соответствовал тому, что мы измеряем, не о чем было бы говорить. Если бы люди, слоны, орхидеи или гагарки не отличались друг от друга в пределах своего вида, жизнь на Земле была бы совсем другой. Но в мире господствует не тождество, а сходство; ни одно из­мерение не является абсолютно точным. При наличии нормального распределения колоколообразная кривая упорядочивает эту путаницу. Фрэнсис Гальтон, с которым мы встретимся в следующей главе, с не­малой долей пафоса писал о нормальном распределении:

«Закон частоты ошибок»... с непоколебимым самообладанием безмятеж­но царит в немыслимом хаосе. Чем больше толпа... тем больше в ней единства. Это предельный закон хаоса. Чем больше беспорядочных эле­ментов попадает в его руки... тем более неожиданной и прекрасной ока­зывается скрывающаяся за видимым хаосом форма упорядоченности13.

Большинство из нас сталкивается с колоколообразной кривой еще в школьные годы. Учитель выставляет оценки «по кривой», в слу­чайном порядке, он не начинает с низшей, чтобы закончить высшей. Успеваемость средних студентов вознаграждается средней троечкой. Слабые и сильные получают оценки, распределяющиеся симметрич­но относительно средней. Даже если все работы выполнены прекрас­но или, наоборот, безобразно, в совокупности имеющихся работ лучшая оценивается по высшему баллу, а худшая по низшему.

Многие натуральные показатели, например рост людей в группе или длина среднего пальца, описываются нормальным распределени­ем. По утверждению Гальтона, для того чтобы результаты наблюде­ний располагались нормально или симметрично относительно средне­го значения, необходимы два условия. Во-первых, число наблюдений должно быть достаточно велико, во-вторых, наблюдения должны быть независимыми, как бросание кости. Упорядочить можно только хаос.

Взаимозависимость входящих в выборку данных может стать причиной серьезных ошибок. В 1936 году ныне забытый журнал «Literary Digest» предпринял опрос для предсказания исхода борьбы между кандидатами в президенты Франклином Рузвельтом и Альфредом Лэндоном. Редакция разослала лицам, отобранным с ис­пользованием телефонной книги и данных о регистрации автомоби­лей, около десяти миллионов опросных листов в виде открыток с оп­лаченным возвратом. Подсчет возвращенных открыток показал, что за Лэндона собираются голосовать 59% избирателей, а за Рузвельта только 41%. Однако в ходе выборов Лэндон получил 19% голосов, .в то время как за Рузвельта проголосовали 61% избирателей. Дело в том, что в середине 30-х годов владельцы автомобилей и телефо­нов не составляли типичной выборки американских избирателей: их избирательные предпочтения были обусловлены их уровнем жизни, который был тогда не по карману большинству населения.

По-настоящему независимые наблюдения дают богатую инфор­мацию о вероятностях. Возьмем для примера кости.

Все шесть сторон костяного кубика могут выпасть с равной ве­роятностью. Если графически представить вероятность получить каждое из шести возможных значений, мы получим горизонталь­ную прямую на уровне Ve- График не будет иметь ничего общего с нормальной кривой, как выборка, состоящая из одного броска, ни­чего не скажет о шансах ожидания того или иного значения кости. Мы окажемся в состоянии слепых, ощупывающих слона.

Бросим теперь кость шесть раз и посмотрим, что получится. (Я моделировал этот опыт на моем компьютере, чтобы быть уве­ренным в том, что в результате получаются случайные числа.) Первая серия из шести бросков дала четыре пятерки, одну шестер­ку и одну четверку, в среднем ровно 5,0. Во второй серии получи­лась смесь из трех шестерок, двух четверок и одной двойки, в сред­нем 4,7. Информации не намного больше.

После десяти испытаний по шесть бросков каждый средние ре­зультаты по шести броскам стали группироваться около значения 3,5, являющегося средним числом очков на поверхности кости: (1 + 2 + + 3 + 4 + 5 + 6):6 = 3,5 — и ровно половиной величины математиче­ского ожидания при бросании двух костей. Шесть моих средних бы­ли ниже 3,5 и четыре превышали это число. Вторая серия из десяти бросков дала следующие результаты: четыре раза среднее значение было ниже 3,0, четыре раза оно превышало 4,0, было также по од­ному значению выше 4,5 и ниже 2,5.

Следующим шагом было определение среднего значения первых десяти испытаний по шесть бросков каждый. В то время как распределение в каждом из этих испытаний, рассматриваемых по от­дельности, само по себе мало о чем говорило, среднее от средних оказалось равным 3,48! Теперь среднее уточнилось, но среднее квадратичное отклонение оказалось равным 0,82 — значительно большим, чем хотелось бы2). (Среднее квадратичное отклонение — это величина, которую де Муавр предложил исполь­зовать для измерения разброса наблюдаемых значений вокруг среднего значения. В рас­пределении де Муавра приблизительно две трети (68,26%) результатов наблюдений в большую или меньшую сторону отличаются от среднего значения на величину среднего квадратичного отклонения; 95,46% отличаются от среднего на удвоенное среднее квадра­тичное отклонение).

Иными словами, в семи из десяти ис­пытаний среднее значение оказалось в пределах 3,48 + 0,82 и 3,48 - 0,82, или между 4,30 и 2,66; в остальных трех испытаниях разброс результатов был еще большим.

Тогда я заставил компьютер выполнить 256 испытаний по шесть бросков каждое. Первые 256 испытаний дали близкую к ожидаемому значению величину 3,49 со средним квадратичным отклонением 0,69, то есть две трети результатов оказались в ин­тервале между 4,18 и 2,80. Только в 10% испытаний средние зна­чения были меньше 2,5 или больше 4,5, в то время как больше по­ловины значений попало в интервал от 3,0 до 4,0.

Продолжая насиловать компьютер, я повторил серию из 256 испытаний десять раз. Усреднив результаты, полученные в каждой из десяти выборок, я затем усреднил эти средние и получил 3,499 (я привожу результат с точностью до трех знаков после запятой, чтобы показать степень приближения к 3,5). Впечатляющим ока­залось уменьшение величины среднего квадратичного отклонения до 0,044. При этом пять средних оказались ниже 3,5 и пять выше, а семь из десяти выборок по 256 испытаний дали значение в пре­делах от 3,455 до 3,543. Это неплохая точность.

Как выяснил Якоб Бернулли, количества важны. Это он обратил внимание на то, что среднее от средних значений отдельных выбо­рок удивительным образом снижает дисперсию вокруг основного среднего значения, — утверждение, известное как центральная пре­дельная теорема. Эта теорема была впервые сформулирована Лапла­сом в 1809 году в работе, которую он закончил и опубликовал перед тем, как в 1810 году ознакомился с «Theoria Motus» Гаусса.

Среднее от средних интересно еще и с другой стороны. Мы на­чали эксперименты с бросанием шестигранной кости, каждая грань которой имеет равные шансы выпасть. Распределение получалось плоским, не имеющим ничего общего с нормальным. По мере того как компьютер моделировал все большее и большее число бросков, накапливая число выборок, мы получали всё больше и больше ин­формации о свойствах кости.

Очень редко среднее значение в испытании из шести бросков оказывалось близким к шести или к единице; большая часть их оказывалась между двумя и тремя или четырьмя и пятью. Струк­тура результатов в точности повторила расчеты Кар дано, выпол­ненные им для игры 250 лет назад, когда он начал нащупывать подходы к вероятностным законам. Множество бросков одной кос­ти дают среднее значение 3,5. Отсюда ясно, что многократное бро­сание двух костей даст в среднем удвоенную величину, то есть 7,0. Как показал Кардано, значения, отличающиеся от 7 в ту или дру­гую сторону, будут встречаться с одинаково убывающей частотой по мере продвижения от 7 к 2 или к 12.

Нормальное распределение является основным элементом боль­шинства систем управления риском. На нем целиком основан стра­ховой бизнес, потому что от пожара в Атланте не загораются дома в Чикаго, а смерть определенного человека в одном месте, как прави­ло, не имеет отношения к смерти другого человека в другом месте и в другое время. Когда страховые компании собирают сведения о миллионах людей обоего пола всех возрастов, значения ожидаемой продолжительности жизни оказываются распределенными по нор­мальной кривой. В силу этого страховые компании способны с боль­шой степенью надежности оценивать продолжительность жизни раз­ных групп населения. Они могут не только определять ожидаемую среднюю продолжительность жизни, но и диапазоны, в которых она может колебаться из года в год. Уточняя эти оценки на основе до­полнительных данных, таких, как истории болезней, число куриль­щиков, постоянные места проживания, профессиональная деятель­ность, эти компании повышают точность оценки ожидаемой про­должительности жизни 3).

Порой нормальное распределение дает гораздо больше важной информации, чем простые оценки представительности выборки. Нормальное распределение менее вероятно, хотя и не исключено, когда наблюдения зависимы друг от друга, то есть когда вероят­ность события определяется предыдущим событием. Например, если у лучника проблемы со зрением, стрелы будут ложиться слева от яблочка, т. е. центр распределения окажется сдвинутым. В по­добных ситуациях распределение относительно среднего значения обычно оказывается асимметричным.

В таких случаях мы можем воспользоваться рассуждением на­оборот. Если независимость событий является необходимым усло­вием нормального распределения, можно предположить, что дан­ные, распределение которых представлено колоколообразной кри­вой, получены на основе независимых наблюдений. Теперь мы мо­жем поставить несколько интересных вопросов.

Насколько точно изменения курса акций на бирже подчинены законам нормального распределения? Некоторые знатоки рынка ут­верждают, что курс подвержен случайным колебаниям, напомина­ющим пошатывающегося пьяного, пытающегося ухватиться за фо­нарный столб. Они полагают, что у курса не больше памяти, чем у рулетки или пары костей, и что каждое наблюдение здесь независи­мо от предыдущего наблюдения. Сегодняшнее движение цен не за­висит от того, что произошло минуту назад, вчера или позавчера.

Лучший способ решения вопроса о том, являются ли изменения курса акций независимыми событиями, заключается в сравнении ко­лебаний курса с нормальным распределением. У нас есть веские осно­вания утверждать, что эти колебания подчиняются нормальному за­кону, и в этом нет ничего удивительного. В условиях постоянной из­менчивости и конкурентной борьбы на нашем рынке капитала, когда каждый инвестор стремится переиграть других, новая информация мгновенно отражается на котировках. Когда выясняется падение при­были у General Motors или Merck объявляет о выпуске нового чудо­действенного лекарства, котировки не стоят на месте в ожидании, по­ка инвесторы переварят информацию. Ни один инвестор не станет ждать, пока начнут действовать другие. На рынке действуют сворой, и новая информация немедленно изменит котировки акций General Mo­tors или Merck. При этом сама новая информация поступает в слу­чайном порядке. В силу этого изменения котировок непредсказуемы.

Интересные данные в поддержку этой точки зрения были при­ведены в 1950-х годах профессором Чикагского университета Гар­ри Робертсом (Roberts)14. Роберте с помощью компьютера брал слу­чайные числа из наборов с тем же средним и тем же средним квад­ратичным отклонением, какие наблюдались у цен на фондовой бирже. Затем он начертил диаграмму последовательной смены этих случайных чисел. Результаты оказались идентичными с результа­тами аналитиков рынков ценных бумаг, пытающихся предугадать движение котировок. Реальная динамика цен и динамика случайных чисел, выданных компьютером, оказались практически нераз­личимыми. Возможно, что и на самом деле биржевые котировки не имеют памяти.

На приведенных диаграммах представлены в процентах месяч­ные, квартальные и годовые изменения котировок столь любимого профессиональными инвесторами индекса Standard & Poor's 500. Данные охватывают период с января 1926-го по декабрь 1995 года и содержат результаты 840 месячных наблюдений, 280 кварталь­ных и 70 годовых 4).

Хотя диаграммы отличаются друг от друга, у них есть две об­щие черты. Во-первых, как, по слухам, говаривал Д. П. Морган, «рынок переменчив». Действительно, фондовый рынок непредска­зуем, на нем может случиться все что угодно. Во-вторых, большая часть наблюдений попадает вправо от нуля: в среднем рынок чаще рос, чем падал.

Нормальность распределения — это жесткая проверка гипотезы случайных колебаний рынка. Но нужна одна важная оговорка. Да­же если гипотеза случайных колебаний адекватно описывает ситу­ацию на фондовом рынке, даже если изменения котировок описы­ваются нормальным распределением, среднее значение изменений всегда отлично от нуля. Тенденция к повышению котировок не должна нас удивлять. Состояние владельцев акций со временем ра­стет, как и сбережения, доходы и прибыли корпораций. Поскольку по большей части котировки не падают, а растут, среднее значение их изменений оказывается положительным.

Сопоставление годовых данных показывает, что все среднегодо­вые изменения котировок нетипичны. Котировки беспорядочно ра­стут со средней скоростью 7,7% в год5'. Среднее квадратичное от­клонение равно 19,3%, что означает, что в любой год 2/з времени котировки изменяются в интервале от +27,0% до -12,1%. Хотя максимальный подъем котировок до 46,4% наблюдался на протя­жении только 2,5% лет, то есть раз в сорок лет, утешает то, что и максимальное падение котировок до -31,6% оказалось возможным не чаще чем раз в сорок лет.

Искушенным в статистике читателям может не понравиться, что я использую в после­дующем обсуждении логарифмически нормальное распределение. Для не столь сведу­щих в статистике читателей такая форма изложения будет более понятной, и при этом потеря точности оказалась слишком незначительной, чтобы оправдать последующие сложности.

Эти данные относятся только к росту котировок и не включают данные о диви­дендах. Если же включить данные о доходе от дивидендов, значение средней будет равно 12,3%, а среднее квадратичное отклонение — 20,5%.

Диаграммы месячных, квартальных и годовых процентных изменений

значения индекса Standard & Poor's 500 за период с января 1926-го по декабрь 1995 г.

На обследуемом отрезке времени котировки росли в течение 47 из 70 лет, или каждые два года из трех. При этом они падали в те­чение 23 лет, почти половину этого срока, т. е. в течение десяти лет они выходили за пределы среднего квадратичного отклонения, то есть больше, чем на 12,1%. Среднее же падение за эти 22 несча­стливых года составило 15,2%.

Достаточно ли 70 наблюдений, чтобы подтвердить вывод о слу­чайном изменении котировок акций? Возможно, нет. Известно, что при бросании кости получаемые результаты случайны, но если бросить кость только шесть раз, то ничего похожего на нормальное распределение мы не увидим. Нужно существенно увеличить число бросков, чтобы результаты стали согласовываться с теорией.

Распределение 280 квартальных наблюдений гораздо ближе к нормальной кривой, чем 70 годовых. Но величина дисперсии очень велика и никоим образом не симметрична, поскольку наличествует небольшое число очень значительных изменений. Величина средне­го изменения за квартал равна +2,0%, но значение среднего квад­ратичного отклонения 12,0% говорит, что это значение (+2,0%) вряд ли типично для квартальных изменений. 45% кварталов по­казали изменения, меньшие чем 2,0%, а 55% — большие.

Инвестор, который бы купил портфель акций и держал его 70 лет, заработал бы очень неплохие деньги. Но инвестор, который бы рассчитывал на то, что каждый квартал будет зарабатывать на ак­циях по 2%, был бы дураком. (Заметьте, что я здесь использую только прошлое время — у нас нет гарантий, что в будущем фон­довый рынок будет вести себя так же, как в прошлом.)

Распределение 840 помесячных изменений котировок отличается большей упорядоченностью, чем в случае квартальных и годовых из­менений. Среднемесячное изменение составило +0,6%. Если мы выч­тем 0,6% из каждого наблюдаемого значения, чтобы сделать поправку на постоянный рост котировок за весь рассматриваемый период, то среднее изменение составит +0,00000000000000002%, причем в тече­ние 50,6% месяца оно было положительным, а в течение 49,4% месяца отрицательным. Средняя для первого квартиля составила -2,78%, а для третьего квартиля +2,91%. Почти безупречная сим­метричность.

Случайный характер месячных колебаний проявляется также в кратковременности периодов с постоянным направлением измене­ния котировок. Сохранение тенденции в течение двух месяцев на­блюдалось не более половины исследуемого отрезка времени, и только 9% времени направление изменения котировок не менялось в течение пяти месяцев.

Итак, изменение котировок акций носит чисто случайный харак­тер, по крайней мере если судить по 840 месячным наблюдениям, — ведь мы не имели бы такой формы распределения данных вокруг сред­ней, если бы изменения цен не были взаимно независимыми — как ре­зультат бросания костей. После внесения поправок на долговременную тенденцию роста частота повышения и понижения котировок практи­чески сравнялись; серии однонаправленных изменений встречались редко; значение коэффициентов изменчивости близко к теоретическому.

Считая, что можно руководствоваться предположением Бернулли о сходстве будущего с прошлым, мы вправе использовать эту инфор­мацию для вычисления вероятности того, что в некоем месяце коти­ровки изменятся на некую определенную величину. Среднемесячное изменение значения индекса S&P было в этот период 0,6%, а среднее квадратичное отклонение — 5,8%. Если изменения котировок рас­пределены случайно, то мы имеем 68% шансов за то, что в любой ме­сяц изменение котировок окажется в интервале от -5,2% до +6,4%. Предположим, мы хотим узнать вероятность того, что цены в тече­ние какого-то месяца упадут. Ответ — 45%, то есть чуть меньше по­ловины времени. Но вероятность падения курса более чем на 10% равна только 3,5%, иными словами, такое падение возможно в од­ном месяце из тридцати; изменение курса за месяц на 10% вверх или вниз случалось примерно один раз в пятнадцать месяцев.

В 33 из 840 месячных наблюдений, то есть в 4% наблюдений, наблюдаемые значения оказались за пределами двух стандартных отклонений от среднего значения, равного +0,6%, то есть измене­ния находились в интервале от -11% до +12,2%. Хотя 33 сильных отклонения — это меньше, чем можно было бы ожидать от совер­шенно случайной серии наблюдений, 21 из них было в сторону па­дения; в совершенно случайной серии это число должно было бы быть равно 16 или 17. У рынка с длительной тенденцией к росту курса могло бы быть и меньше неприятностей, чем 16 или 17 ме­сяцев значительного падения из 816.

В пределе рынок — это не случайные колебания. В пределе на рынке с большей вероятностью можно потерять, чем выиграть. Рынок — это опасное место.

До сих пор речь шла главным образом о числах. Математика была в центре нашего внимания, когда мы обсуждали многие до­стижения от древних индусов, арабов и греков до Гаусса и Лапласа в XIX столетии. Нашей главной темой была скорее вероятность, чем неопределенность.

Теперь речь пойдет о другом. Реальная жизнь, в отличие от игры в balla Пацциоли, — это не последовательность взаимно независи­мых событий. Происходящее на фондовом рынке похоже на чисто случайные изменения цен, но сходство еще не тождество. В неко­торых случаях средние полезны, но в других вводят в заблужде­ние. А бывает и так, что числа вовсе бесполезны, и нам приходит­ся принимать решения исключительно по догадке.

Это не значит, что в реальной жизни числа не нужны. Важно научиться понимать, когда ими можно пользоваться, а когда не­льзя. И тут перед нами встает целый ряд вопросов.

Например, чем определяется риск погибнуть от бомбы? Какое из трех средних мы выберем для определения нормального распределе­ния, описывающего ситуацию на фондовом рынке: среднемесячное изменение котировок +0,6% за период с 1926-го по 1995 год, мизерное значение этого же показателя 0,1% за период с 1930-го по 1940 год или привлекательный 1,0% в месяц за период с 1954-го по 1964 год?

Другими словами, что мы называем «нормальным»? Насколько хорошо любое среднее значение соотносится с «нормальным»? На­сколько стабильно, насколько исчерпывающе оно характеризует поведение? Если результаты наблюдений сильно отклонялись от среднего в прошлом, какова вероятность их схождения к среднему в будущем? И если схождение будет иметь место, сохранится ли прежнее значение средней?

Как быть с теми редкими случаями, когда фондовый рынок прет вверх пять месяцев подряд? Верно ли, что подъем обязательно сменяется падением? Какова вероятность того, что убыточная ком­пания поправит свои дела? Быстро ли маниакальная фаза психоза сменится депрессией и наоборот? Когда кончится засуха? Не нач­нется ли процветание прямо завтра?

Для ответа на все эти вопросы нужна способность различать между нормальным и анормальным. Многие рискованные предпри­ятия основываются на благоприятных обстоятельствах, возникших за счет отклонения от нормы. Когда аналитики говорят, что их лю­бимые акции «недооценены», это значит, что инвестор может выиг­рать, если купит эти акции теперь и дождется возврата их цены к норме. С другой стороны, душевные депрессии и маниакальные состояния иногда длятся всю жизнь. И экономика США в 1932 году отказывалась сама выходить из кризиса, хотя мистер Гувер и его советники были убеждены, что деятельное участие правительства только помешает ей найти выход из этого положения.

На самом деле никто не исследовал понятие «нормальное», рав­но как и понятие «среднее». Но Фрэнсис Гальтон, ученый-дилетант из викторианской Англии, воспользовался разработанным Гауссом и его предшественниками обоснованием понятия среднего — нор­мальным распределением — и разработал новые средства, помога­ющие отличать ситуации с измеримым риском от ситуаций на­столько неопределенных, что нам остается только гадать о возмож­ном будущем.

Гальтон не был ученым, погруженным в поиски вечных истин. Он был человеком практичным, хотя и увлеченным наукой, но все же дилетантом. Тем не менее его новшества и достижения оказали весомое влияние и на математику, и на практику принятия реше­ний в повседневной жизни.

Глава 9

Человек с вывихнутыми мозгами

Фрэнсис Гальтон (1822-1911) был светским снобом и ни­когда не зарабатывал на жизнь, если не считать кратко­временной службы в больнице, когда ему было около двад­цати1. Тем не менее трудно представить себе более приятного и при­влекательного человека. Он был двоюродным братом Чарлза Дарви­на, изобретателем и неутомимым исследователем той части Африки, куда до него не ступала нога белого человека. Он внес плодотворный вклад в развитие стратегии риска, но сделал это за счет упорной приверженности порочным идеям.

Измерения были хобби Гальтона, его навязчивой идеей. Его де­визом могло бы быть «Считайте всё, что можно»2. Он измерял и об­считывал головы, носы, руки, ноги, фиксировал у разных людей рост и вес, цвет глаз, изменения цвета лица у посетителей лошадиных бе­гов, бесплодие наследниц и число случаев невнимания на лекциях. Он классифицировал проходящих по улице девушек по степени при­влекательности, прокалывая карту в левом кармане, если встречал хорошенькую, и другую карту в правом кармане, встречая дурнуш­ку. В его «Карте красоты» Британии первое место занимают Лондон-ки, а последнее абердинки. Он проанализировал 10 000 судебных приговоров и заметил, что большинство из них повторяются с ин­тервалами в 3, 6, 9, 12, 15, 18 и 24 года, в то время как нет пригово­ров, повторяющихся через 17 лет, и очень мало повторяющихся че­рез 11 и 13 лет. На выставке крупного рогатого скота он представил в табличной форме 800 предположений посетителей относительно веса одного быка и нашел, что «в среднем общественное мнение ока­залось верным с точностью до одного процента»3.

Основанная им в 1884 году антропометрическая лаборатория за­нималась выполнением обмеров и фиксацией всех возможных раз­меров человеческого тела, включая отпечатки пальцев. Последние особенно заинтересовали Гальтона, потому что, в отличие от дру­гих характеристик человеческого тела, они не меняются в процессе старения человека. Опубликованная им в 1893 году книга объемом в 200 страниц, посвященная этому вопросу, вскоре легла в основу использования отпечатков пальцев полицейскими службами.

Страсть Гальтона к измерениям не оставила его и во время предпринятого им в 1849 году путешествия в ту часть Африки, где сейчас находится Намибия. Попав в селение готтентотов, он обна­ружил «фигуры, которые довели бы английскую женщину до от­чаяния, — фигуры, которые были бы посмешищем в кринолине»4. Одна из женщин особенно привлекла его внимание5. Как человек науки, он, по его словам, был «чрезвычайно заинтересован в точ­ном обмере ее форм». Не имея возможности объясниться с готтен­тотами и не зная, что предпринять для проведения этого крайне необходимого обследования, он все же нашел выход из положения:

Случайно мне на глаза попался мой секстант, и тотчас пришла в го­лову блестящая мысль воспользоваться им для выполнения обмеров. Я провел серию измерений ее фигуры с разных точек... затем нагло вы­тащил рулетку, измерил расстояние между мной и объектом и, полу­чив таким образом расстояния и углы, вычислил нужные мне величи­ны с помощью тригонометрии и логарифмов.

Гальтон был типичным британцем Викторианской эпохи, ша­гавшим по земле как по собственным угодьям. Как-то во время охоты в Африке у него возникли опасения, что местный вождь на­падет на его бивак. Натянув на себя красную охотничью куртку, шапку и высокие сапоги, он взгромоздился на быка, атаковал са­мую большую хижину в деревне и принудил быка сунуться голо­вой в хижину. Его бивак стали обходить стороной.

В другой деревне он позволил себе бестактность, отказавшись уча­ствовать в церемонии, в ходе которой хозяин полощет горло и вы­плевывает остатки в лицо гостю. Как-то король Нангоро подарил ему принцессу Чапангу на вечерок. Когда она пришла к нему, «вы­мазанная красной охрой и маслом», Гальтон ужаснулся. «Я был в моем единственном приличном белом льняном костюме и выпрово­дил ее с минимумом церемоний».

Королю Нангоро трудно было поверить, что в мире есть места, населенные людьми с белой кожей. Гальтон и его друзья казались ему редкими кочующими животными или какой-то аномалией. Од­ному из спутников Гальтона неоднократно приходилось раздеваться перед королем, чтобы убедить его, что у него вся кожа белого цвета. Любопытство Гальтона было ненасытным. Как-то, когда через Кембридж, где он тогда учился, проходил бродячий цирк, он вошел в клетку со львом; за всю историю этого цирка такое позволили себе только четыре человека. В студенческие годы он любил заниматься ночью и, чтобы не спать, надевал себе на голову «соображалку» — сложную конструкцию, время от времени подающую к голове хо­лодную воду. Позднее он изобрел приспособление для чтения под водой и чуть не утонул в собственной ванне, увлекшись книгой.

Скоро вы узнаете, какие ужасные последствия имело увлечение Гальтона измерениями и выдумками. Тем не менее ему мы обяза­ны крупным вкладом в развитие статистики и управления риском. Проверяя, подобно Кардано, свои идеи на опыте, он способствовал созданию новой статистической теории, хотя вовсе не ставил перед собой этой задачи.

Гальтон вводит нас в мир повседневности, где люди дышат, по­теют, совокупляются и размышляют о будущем. В отличие от ма­тематиков прежних времен мы не анализируем игры и не смотрим на звезды для проверки своих теорий. Гальтон брал уже готовые теории и пускал их в работу.

Хотя он никогда не ссылался на Бернулли, в его работах нашла отражение мысль сварливого швейцарца о том, что вероятность яв­ляется важнейшим средством анализа болезней, умственных спо­собностей и физической ловкости. Он шел по стопам Гранта и Прай­са, которых больше интересовало устройство человеческого общест­ва, нежели исследование природы. То, что сделали эти люди, в конце концов привело к созданию набора средств для контроля за риском и оценки его в бизнесе и финансовой деятельности.

Гальтон вырос в обстановке материального благополучия и ожив­ленной интеллектуальной деятельности. Его дед, Эразм Дарвин, был одним из самых известных врачей своего времени, интересы которого отнюдь не ограничивались медициной. Он, в частности, изобрел паром, использующий механическую тягу вместо животной, туалет со сливом, экспериментировал с ветряными мельницами и паровыми двигателями, написал поэму в 2000 строк с детальным описанием про­цесса воспроизводства множества растений под названием «Любовь растений» («The Loves of Plants»). В 1796 году, когда ему было 65 лет, Эразм опубликовал двухтомный труд под названием «Зоономия, или Теория наследственности» («Zoonomia, or the Theory of Generations»). Хотя эта книга, имевшая сугубо теоретический характер, за семь лет выдержала три издания, она не получила должного отклика в научных кругах из-за скудости содержавшегося в ней фактического материала. Тем не менее «Зоономия» имеет поразительное сходство с «Про­исхождением видов» («The Origin of the Species»), опубликованным 63 года спустя его более знаменитым внуком Чарлзом Дарвином.

Гальтон рассказывал, что в четыре года он мог читать любую книгу, написанную на английском. Он декламировал наизусть «латинские су­ществительные, прилагательные и все активные глаголы, а кроме того, 52 строки латинских стихов» и умел умножать на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 106.

В 16 лет он начал изучать медицину в Бирмингеме, но описал посещение палат и морга как «ужас-ужас-ужас!»7. После того как Чарлз Дарвин порекомендовал ему «подзаняться математикой», он направился в Кембридж изучать математику и филологию8.

Ему было 22 года, когда умер его отец, оставив своим семерым де­тям приличное состояние. Решив, что теперь можно делать все, что вздумается, он вскоре бросил учебу и, воодушевленный путешествием Дарвина на Галапагосские острова, предпринял свое первое путешест­вие в Африку. Он поднялся вверх по Нилу, а затем на верблюдах до­брался до Хартума, пройдя в общей сложности более тысячи миль. Вернувшись домой, он четыре года бездельничал, а потом совершил второе путешествие в Африку. В 1853 году он написал книгу об Афри­ке, получившую признание в научных кругах, после чего был принят в члены Королевского Географического общества, наградившего его золотой медалью, а в 1856 году стал членом Королевского общества.

Это предпринятое в 27 лет второе путешествие привело Гальто-на к «расстройству здоровья» и приступам депрессии, повторяв­шимся довольно часто на протяжении всей его жизни. Он говорил, что во время этих приступов у него «вывихнутые мозги»9.

Гальтон был ученым-дилетантом, проявлявшим глубокий инте­рес к проблемам наследственности, но совершенно равнодушным к экономике и бизнесу. Тем не менее его работы, касающиеся «иде­ального среднего дочернего типа», «родительского типа» и «усред­ненного наследственного типа», привели к открытиям в области статистики, имеющим существенное значение для прогнозирования и управления риском.

Наука о наследственности занимается изучением передачи из по­коления в поколение таких ключевых характеристик, как умствен­ные способности, цвет глаз, рост, манера поведения и пр. Всегда ин­тересны исключения — индивидуумы, чьи характеристики не соот­ветствуют норме, — но еще интереснее то, что все члены вида в зна­чительной степени похожи друг на друга. Тенденция к усреднению, таящаяся за этой тенденцией к однородности, является важнейшей статистической закономерностью, имеющей отношение ко многим аспектам управления риском.

Гальтон пытался выяснить, как талант упорно сохраняется из поколения в поколение в некоторых семьях, в частности в его се­мье и в семье Бернулли. Он надеялся на сохранение таланта в соб­ственном потомстве, но они с супругой оказались бездетными, так же как двое из его братьев и одна из сестер. Он очень старался вы­явить «черты природного благородства» у членов семей, которые он считал наиболее одаренными.

В 1883 году он назвал предмет своих ученых занятий евгени­кой; греческий корень этого слова означает 'хорошее' или 'благое'. Использование этого термина полстолетия спустя нацистами ассо­циируется с уничтожением миллионов людей, которых они сочли бездарными и малоценными.

Вопрос о том, насколько Гальтон ответствен за эти преступле­ния, был предметом острых дискуссий. Ничто не указывает на то, что он мог бы одобрить столь варварское поведение. Для него хоро­шее общество — это общество, признающее свою обязанность помо­гать «высокоодаренным» индивидуумам получать образование вне зависимости от их материального благосостояния, социальной и ра­совой принадлежности. Он предлагал приглашать и обустраивать в Британии «эмигрантов и спасающихся бегством» и способствовать тому, чтобы их потомки становились гражданами страны. В то же время он размышлял о путях ограничения рождаемости менее спо­собных или больных людей, утверждая, что хорошее общество должно быть обществом, «в котором слабые могут найти приют и убежище в монастырях или сестринских общинах»10.

Невзирая на спорные трактовки труда Гальтона по евгенике, сле­дует признать, что его значение выходит далеко за пределы прямо по­ставленных в нем вопросов. В сущности, это очередное подтверждение трюизма, что разнообразие придает вкус. Отдавая должное Клео­патре, римский военачальник Энобарбус заметил: «Возраст не лиша­ет ее свежести, а бесконечное разнообразие делает ее неизменно при­влекательной». Оставаясь самой собой, она была попеременно влюб­ленной, дружелюбной, холодной, горячей, соблазнительной, враж­дебной, покорной, требовательной. Человек может быть разным.

Каждый из живущих ныне 6 миллиардов людей является индиви­дуальностью. В вермонтских лесах растет несчетное количество кле­нов, каждый из которых отличается от других, но ни один из них нельзя спутать с березой или сосной. Акции General Electric, как и акции Biogen, одинаково просто купить на Нью-Йоркской фондовой бирже, но факторы риска для этих акций не имеют между собой ни­чего общего.

Какой из многочисленных ликов Клеопатры, кто из миллиар­дов ныне живущих людей, какой клен, какая береза или сосна в вермонтских лесах, какая акция на Нью-Йоркской бирже является типичным представителем своего вида? Насколько представители каждого вида отличаются друг от друга? Насколько младенец из Уганды отличается от старушки из Стокгольма? Есть ли в разли­чиях закономерность, или они являются просто результатом слу­чайных воздействий? Иначе говоря, что мы называем нормой?

В поисках ответов на такие вопросы Гальтон не использовал до­стижения математики и игнорировал специалистов по социальной статистике, подобных Гранту. Однако он ссылался на серию эмпи­рических исследований, выполненных в 1820-х и 1830-х годах бель­гийским ученым Ламбертом Адольфом Жаком Кветеле (Quetelet), который был на двадцать лет старше Гальтона, приобрел извест­ность как настойчивый исследователь устройства общества и был одержим измерениями не менее самого Гальтона11.

Кветеле было всего 23 года, когда он получил степень доктора в новом университете в Генте. К этому времени он уже отдал дань изучению искусства, писал стихи и был соавтором оперы.

Он был, пользуясь выражением историка статистики Стивена Стиглера, «в равной степени ученым и организатором науки»12. Он принял участие в создании нескольких статистических ассоциа­ций, включая Лондонское Королевское статистическое общество и Международный статистический конгресс, и многие годы был ре­гиональным корреспондентом Бельгийского правительственного статистического бюро. Около 1820 года он возглавил кампанию за осно­вание новой обсерватории в Бельгии, хотя его познания в астроно­мии в то время оставляли желать лучшего. После создания обсер­ватории он убедил правительство командировать его на три месяца в Париж для изучения астрономии и метеорологии и стажировки в Парижской обсерватории.

Во время пребывания в Париже он встречался со многими ве­дущими французскими астрономами и математиками, в результате чего приобрел хорошие познания в теории вероятностей. Он мог да­же встретиться с завершавшим работу над последним томом своей «Mecanique celeste» («Небесной механики») Лапласом, которому бы­ло в ту пору 74 года. Кветеле был очарован теорией вероятностей и написал о ней три книги подряд, последнюю в 1853 году. Кроме то­го, он нашел хорошее практическое применение своим новым по­знаниям.

После возвращения из Парижа в 1820 году он, не оставляя ра­боту в Королевской обсерватории в Брюсселе, проводил исследова­ния, касающиеся народонаселения Франции, и готовился к пред­стоящей переписи 1829 года. В 1827 году была опубликована его монография, озаглавленная «Исследование населения, рождений, смертей, тюрем, приютов для бедных и т. п. в Королевстве Нидер­ланды» («Researches on population, births, deaths, prisons, and poor houses, etc. in the Kingdom of the Low Countries»), в которой Кве­теле провел критический разбор процедур, используемых при сборе и анализе статистических данных. Ему не терпелось применить метод определения численности населения, разработанный Лапла­сом еще для переписи 1780-х годов во Франции. Этот метод сво­дился к обследованию случайных выборок из различных групп на­селения тридцати департаментов и использованию этих выборок в качестве основы для подсчета общей численности населения.

Коллеги скоро отговорили Кветеле от использования этого под­хода. Дело в том, что чиновники, проводившие перепись, не знали, насколько репрезентативны эти выборки. В каждой местности бы­ли свои условия и обычаи, оказывавшие влияние на рождаемость. Более того, как отмечали еще Галлей и Прайс, на качество перепи­си даже в небольшом регионе может оказать сильное влияние пе­ремещение населения. В отличие от Энобарбуса Кветеле счел, что структура народонаселения Франции слишком неоднородна, чтобы делать обобщения на основе выборочного обследования. Было ре­шено провести сплошную перепись населения Франции.

Это заставило Кветеле заняться поисками объяснения различий между местностями и группами населения — откуда это разнообразие, придающее вкус жизни? Если различия случайны, данные должны выглядеть одинаково для каждой выборки, если же они закономерны, то выборки должны отличаться одна от другой.

Эта идея побудила Кветеле окунуться в оргию измерений, кото­рую Стиглер описывал следующим образом:

Он обследовал рождения и смерти по месяцам и городам, в зависимо­сти от температуры воздуха и времени дня... Он исследовал смертность по возрастам, по профессиям, по местностям, по сезонам, в тюрьмах и больницах. Он учитывал рост, вес, скорость роста и физическую си­лу... [и вел] статистический учет пьянства, сумасшествия, самоубийств и преступности13.

В результате в 1835 году появился «Трактат о человеке и раз­витии его способностей» («A Treatise on Man and the Development of his Faculties»), вскоре переведенный на английский язык. Сло­вом «faculties» ('способности') переведено использованное Кветеле французское выражение physique social. Эта работа составила Кве­теле имя. Автор трехчастной статьи в ведущем научном журнале заметил: «Мы рассматриваем появление этого тома как вступление в новую эпоху писаной истории цивилизации»14.

Книга представляет собой нечто большее, нежели просто набор сухих статистических данных и тяжеловесного текста. Кветеле со­здал героя, который жив до сих пор: I'homme moyen, или средний человек. Новое понятие покорило воображение публики и принесло огромную известность его создателю.

Кветеле старался определить характеристики среднего мужчины (в некоторых случаях женщины), становившегося затем образом определенной группы, которую он представлял, будь то группа преступников, пьяниц, солдат или мертвецов. Кветеле даже теоре­тизирует, что, «если бы индивидуум на каком-нибудь этапе разви­тия общества представлял все качества среднего человека, в нем отразилось бы все великое, доброе и прекрасное»15.

Не все были с этим согласны. Одним из самых суровых крити­ков книги Кветеле стал Антуан Августин Карно, знаменитый мате­матик и экономист, большой авторитет в области теории вероятно­стей, утверждавший, что, не принимая во внимание законы веро­ятности, «мы не можем получить ясной оценки точности измере­ний, предлагаемых наукой о наблюдениях... или условий, ведущих к успеху коммерческих предприятий»16. Карно высмеял концепцию среднестатистического человека. Усреднением набора прямоуголь­ных треугольников мы не получим прямоугольного треугольника, заметил он, а средний человек должен бы представлять собой не­кое чудовище.

Кветеле был непреклонен. Он был убежден, что сможет найти об­раз среднего человека для любой возрастной группы, рода занятий, места проживания или этнической принадлежности. Более того, он утверждал, что может не только определить, но и объяснить, почему данный индивидуум принадлежит скорее к одной группе, нежели к другой. Это был принципиально новый шаг: до сих пор еще никому не приходило в голову использовать математику и статистику для отделения причины от следствия. «Следствие пропорционально при­чине, — написал он и продолжил курсивом: — Чем большее число индивидуумов подвергается наблюдению, тем больше проявляются превалирующие характерные качества, физические или моральные, позволяющие выявить общие доминирующие факты, благодаря ко­торым общество существует и сохраняется»". К 1836 году Кве­теле развил эти идеи в книге о применении теории вероятностей в «моральных и политических науках».

Работа Кветеле о причинах и следствиях представляет собой увлекательное чтиво. Например, в ней можно найти подробный анализ факторов, влияющих на долю осужденных среди тех, кому предъявлено обвинение. В среднем 61,4% всех обвиняемых были осуждены, но вероятность обвинительного приговора в случае пре­ступлений против личности составляла менее 50%, в то время как вероятность осуждения по обвинению в имущественных преступ­лениях составила свыше 60%. Вероятность осуждения была ниже 61,4%, если обвиняемыми оказывались женщины старше тридцати лет, грамотные и хорошо образованные, которые добровольно яв­лялись в суд, вместо того чтобы уклоняться от него. Кветеле ста­рался определить, являются ли отклонения от среднего значения 61,4% значимыми или случайными: он искал моральной достовер­ности в процессах над аморальностью.

Что бы ни брался исследовать Кветеле, всюду он видел колоко-лообразную кривую. Почти всегда «ошибки» или отклонения от среднего послушно распределялись согласно описанному Лапласом и Гауссом нормальному закону, симметрично уменьшаясь по обе стороны от среднего значения. Эта замечательно сбалансированная упорядоченность с пиком, соответствующим среднему значению, убеждала Кветеле в правомерности его излюбленного понятия сред­него человека. Оно положено в основу всех его выводов, полученных на основе статистических обследований.

Например, в одном из обследований проводились измерения объема грудной клетки 5738 солдат шотландской армии. Кветеле построил кривую распределения результатов обследования и сравнил его с тео­ретической нормальной кривой. Они почти идеально совпали18.

К этому времени уже было установлено, что нормальное рас­пределение, описываемое формулой Гаусса, имеет широкое распро­странение в природе; теперь подтвердилось, что оно может быть по­ложено в основу описания социальных явлений и физических ха­рактеристик людей. Исходя из этого, Кветеле пришел к заключе­нию, что совпадение нормального распределения с результатами об­следования шотландских солдат указывает на то, что отклонения от среднего значения, скорее всего, не отражали систематических раз­личий в исследуемой совокупности, а носили случайный характер. Другими словами, совокупность представлялась в основном одно­родной, и средний солдат шотландской армии является идеальным представителем всех шотландских солдат. Клеопатра была прежде всего женщиной.

Однако в одной из работ Кветеле совпадение с нормальным рас­пределением оказалось несколько менее выраженным. Анализируя распределение 100 000 французских призывников по росту, он об­наружил большое число малорослых, не позволяющее признать распределение нормальным. Поскольку в то время малый рост служил основанием для освобождения от воинской службы, Квете­ле сделал вывод, что в ходе обследования результаты измерений мошеннически искажались с целью получения освобождения.

Замечание Карно о том, что среднестатистический человек должен оказаться монстром, отражало его мнение, что теория ве­роятностей применима к анализу естественнонаучных данных, но не применима в анализе общества. Он утверждал, что совокупность людей допускает сколь угодно произвольную классификацию. В отличие от него Кветеле верил, что нормальное распределение из­мерений, относящихся к группе людей, свидетельствует только о случайном характере различий в группе испытуемых. Но Карно подозревал, что различия могут быть не случайными. Рассмотрим, например, как можно классифицировать число рождений мальчи­ков в течение года: по возрасту родителей, по географическому по­ложению обследуемых регионов, по дням недели, по этнической принадлежности, по весу, по времени беременности, по цвету глаз или длине среднего пальца, и это далеко не исчерпывающий спи­сок. Как здесь с уверенностью сказать, какое дитя является сред-нестатистическим! Карно полагал, что невозможно установить, какие из этих данных следует считать значимыми, а какие слу­чайными: «Одна и та же величина отклонения [от среднего значе­ния] может служить основанием для различных суждений»19. Карно не учитывал того, что хорошо известно современной науке, а именно что результаты большинства подобных измерений физиче­ских данных человека напрямую зависят от питания, то есть что они также являются отражением и социального статуса обследуемых.

Сегодня статистики обозначают то, что вызвало неприятие Кар-но, «добычей данных». Они говорят, что, если мучить данные до­статочно долго, можно доказать что угодно. Карно чувствовал, что Кветеле ступил на опасную почву широких обобщений на основе ограниченного числа наблюдений. Весьма вероятно, что другая се­рия наблюдений над группой того же размера может дать резуль­таты, существенно отличные от полученных в первой серии.

Несомненно, увлеченность нормальным распределением завела Кветеле слишком далеко. Тем не менее в свое время его работы сыграли огромную роль. Позже знаменитый математик и эконо­мист Фрэнсис Исидор Эджворт употребил термин «кветелизм» для обозначения повального увлечения нахождением нормальных рас­пределений там, где их не было, или идеи считать нормальным любое распределение, далеко не отвечающее требованиям, предъяв­ляемым нормальному распределению20.

Первая работа Кветеле, с которой Гальтон впервые познакомил­ся в 1863 году, произвела на него неизгладимое впечатление. «Среднее — это всего лишь единичный факт, — писал он, — тогда как при добавлении другого единичного факта начинает прояв­ляться действующая нормальная схема, хорошо согласующаяся с данными наблюдений. Некоторые люди не переносят само упоми­нание о статистике, я же нахожу в ней бездну красоты и занима­тельности»21.

Гальтон был очарован Кветеле, считая, что «самый любопыт­ный теоретический закон об отклонениях от среднего» — нормаль­ное распределение — оказался вездесущим и особенно удобным для описания результатов таких измерений, как измерения роста или грудной клетки22. Самому Гальтону понравилась колоколообразная кривая распределения 7634 оценок по математике, которые были проставлены студентам Кембриджского университета на выпуск­ном экзамене, ранжированных от самой высокой до «трудно ска­зать, насколько плохой»23. Он обнаружил схожее статистическое распределение экзаменационных оценок на вступительных экзаме­нах в Королевский военный колледж в Сандхерсте.

Больше всего колоколообразная кривая привлекала Гальтона тем, что выявляла определенные наборы данных, которые могли рассматриваться как относительно однородные. И наоборот, отсут­ствие нормального распределения свидетельствовало о «неоднород­ности системы». Гальтон любил сильные высказывания: «Это пред­положение не может быть опровергнуто»24.

Но Гальтон искал как раз различия, а не однородность, — ему нужна была Клеопатра, а не среднестатистическая женщина. В рам­ках создаваемой им евгеники он искал различия даже в пределах групп, где измеряемые качества, казалось, укладывались в нор­мальное распределение. Гальтон ставил своей целью классификацию людей по «природным способностям», которые он понимал следую­щим образом:

...такие качества интеллекта и предрасположенности, которые побужда­ют человека и делают его способным совершать действия, ведущие к сла­ве... Я имею в виду натуры, которые, будучи предоставлены самим себе, побуждаемые врожденными стимулами, карабкаются по тропе, ведущей на вершину, и имеют достаточно сил добраться до нее... Люди, достигшие вершины, и другие, по природе своей способные на это, в значительной

Гальтон начал с фактов. С 1866-го по 1869 год он собрал массу фактов для доказательства того, что таланты и достижения явля­ются наследственными качествами. Потом он суммировал резуль­таты поисков в самой значительной из своих работ «Наследственная одаренность», в приложение к которой включил отрывок из рабо­ты Кветеле, а также собственные едкие оценки неуживчивости, характерной для мужчин из семьи Бернулли. Книга начинается с оценки доли той части населения, которую Гальтон считает воз­можным охарактеризовать как «выдающуюся». На основе некро­логов из «London Times» и биографического справочника он под­считал, что в Британии того времени на 4000 или 5000 англичан среднего возраста приходилась одна знаменитость.

Хотя Гальтон говорил, что его не занимают люди со способнос­тями ниже среднего уровня, он все же оценил, что на двенадцать миллионов англичан приходится 50 000 «идиотов и слабоумных», или один на 400, то есть в десять раз больше, чем одаренных граждан26. Впрочем, интересовали его только одаренные. «Я уве­рен, — заключил он, — что никто не может сомневаться в суще­ствовании высших человеческих особей, по природе своей наде­ленных врожденным благородством, рожденных быть королями среди людей»27. Гальтон не игнорировал «очень одаренных жен­щин», но считал, что, «может быть, и хорошо для другого пола, что одаренная женщина — это большая редкость»28.

Гальтон был убежден, что если результаты измерений роста и грудной клетки подтверждают гипотезу Кветеле, то так же обстоит дело и с размерами черепной коробки, весом головного мозга и нерв­ными волокнами, как, впрочем, и с интеллектуальными способно­стями. Он показал, как хорошо выводы Кветеле согласуются с его собственными оценками распределения способностей британцев: от одаренности с одной стороны до идиотизма с другой. Он пришел к «неоспоримому, но неожиданному заключению, что люди с выда­ющимися дарованиями настолько же выше людей среднего уровня, насколько последние выше идиотов»29.

Но кроме всего этого, Гальтон хотел доказать, что источником выдающихся талантов является только наследственность, а не «до­машнее воспитание, не школа или университет и не профессиональ­ная карьера»30. И кажется, действительно дело в наследственности, по крайней мере если речь идет о параметрах, избранных Гальтоном. Он, например, обнаружил, что каждый девятый из близких родственников 286 судей был отцом, сыном или братом другого су­дьи, в то время как доля судей в общей численности населения не­сравненно меньше 1/д. Более того, он выяснил, что многие родст­венники судей являются адмиралами, генералами, писателями, поэ­тами и врачами Ч (Гальтон явно исключал служителей церкви из числа одаренных людей.) Он был вынужден с разочарованием отме­тить, что в его выборке в неразделимой связке оказываются одарен­ные люди и «конгенитальные идиоты»31.

Однако Гальтон установил, что высокие способности сохраня­ются в семье ненадолго, или, как говорят физики, имеют короткий период полураспада. Он обнаружил, что только 36% сыновей име­нитых людей сами достигали высокого положения, а внукам это удавалось только в 9% случаев. Он пытается объяснить, почему именитые фамилии имеют тенденцию к вымиранию, ссылаясь на общеизвестный обычай жениться на наследницах. Чем они винова­ты? Потому что наследницы должны происходить из неплодовитых семей, утверждает Гальтон; если бы они имели большое число братьев и сестер, фамильное состояние делилось бы на всех и они не имели бы статуса «наследниц». Это было неожиданное утвержде­ние в устах человека, который жил в комфорте после того, как по­делил наследство своего отца с шестью братьями и сестрами.

' Гальтон наверняка счел бы Кардано выдающейся личностью, но что он должен был бы подумать о его несчастном потомстве? С Гауссом, тоже выдающимся человеком, дело обстоит получше, пятеро из его детей выжили; один стал известным инжене­ром, а двое эмигрировали в Соединенные Штаты, чтобы стать удачливыми бизнес­менами (а также сбежать от подавляющего влияния своего отца); один из них был одновременно блестящим лингвистом, игроком и искусным математиком.

: «Не думаю, что мне приходилось читать что-нибудь бо­лее интересное и оригинальное... примечательная книга»32. Дарвин советовал продолжить анализ статистических данных о наследствен­ности, но Гальтона не нужно было подстегивать. Дело по разработ­ке новой науки евгеники шло полным ходом, и он был полон стра­стного желания выявить и сохранить то, что он называл лучшим в человечестве. Гальтон хотел, чтобы лучшие люди имели больше потомства, а бездарности проявляли сдержанность.

Но на его пути упорно стоял закон об отклонениях от среднего. Нужно было как-то объяснить различия внутри нормального рас­пределения. Гальтон понимал, что прежде всего для этого нужно выяснить, почему данные распределяются по колоколообразной кривой. Поиски ответа на этот вопрос привели его к потрясающему открытию, влияющему ныне на принятие большинства решений, больших и малых.

О первом шаге Гальтон сообщил в статье, которая была опублико­вана в 1875 году; в ней он высказал предположение, что универсаль­ность симметричного распределения относительно среднего значения может быть результатом влияний факторов, которые сами распреде­лены нормальным образом, выстраиваясь от наиболее редких усло­вий к наиболее частым и затем опять к наиболее редким противопо­ложным условиям. Гальтон предположил, что даже в рамках каждого отдельного фактора влияние распределяется от самого слабого к силь­ному и затем опять к противоположному слабому. Суть его аргумен­тации сводилась к тому, что «посредственные» влияния встречаются гораздо чаще, чем экстремальные, неважно, плохие или хорошие.

Гальтон продемонстрировал модель своей идеи в Королевском обществе в 1874 году с помощью приспособления, которое он на­звал quincunx33*(Квинкункс — математическое понятие, означающее расположение элементов по уг­лам прямоугольника или квадрата с пятым элементом в центре. — Примеч.. пере­водчика.). Это нечто вроде игры в пинбол: наклонная доска с узкой горловиной вверху, как у песочных часов, с торчащими пониже горловины двенадцатью штырьками. На противоположном широком конце лотка ряд небольших ячеек. Стоит сыпануть дроби, и она, натыкаясь на штырьки, падает вниз, заполняя расположен­ные внизу ячейки в полном соответствии с распределением Гаус­са — большая часть дробинок собирается в средних ячейках, ос­тальные в убывающих количествах заполняют крайние.

В 1877 году во время выступления с большим докладом на тему «Основные законы наследственности» («Typical Laws of Heredity») Гальтон предложил новую модель своего приспособления. (Мы не знаем, построил ли он ее на самом деле.) В этой модели на пути дробинок после горловины устанавливались такие же ячейки, как на дне первой модели, но с отверстием на дне, до поры закрытым. Когда отверстие на дне какой-либо из этих верхних ячеек откры­валось, дробинки скатывались в нижние ячейки, где и располага­лись, как вы уже, наверное, догадались, по закону нормального распределения.

Потрясающее открытие! Свойства любой группы, сколь угодно малой и хоть как-то отличающейся от других групп, имеют тен­денцию распределяться в соответствии с колоколообразной кривой, так что большая часть группы попадает близко к центру, или, как принято говорить, к среднему. Когда все группы сливаются в одну, как это было в первом варианте модели, дробинки также распола­гаются в соответствии с нормальным распределением. Таким обра­зом, нормальное распределение большой группы выявляет среднее от средних значений для малых подгрупп.

Вторая механическая модель была упрощенным воплощением идеи, к которой Гальтон пришел по ходу эксперимента, предло­женного Дарвином в 1875 году. В этом эксперименте не использо­вались кости, звезды и даже люди. Использовался сладкий струч­ковый горох. Сладкий горох хорошо хранится, плодовит и имеет слабую тенденцию к перекрестному опылению. В каждом стручке горошины почти одинакового размера. Взвесив и пересчитав тыся­чи сладких горошин, Гальтон разослал десять партий по семь упа­ковок разного веса, в каждой девяти друзьям, включая Дарвина, жившим в разных концах Британии, с подробными инструкциями, касающимися посадки и выращивания гороха в разных условиях.

Проанализировав результаты, Гальтон сообщил, что потомство от каждой из семи партий по весу в точности повторило распреде­ление, которое предсказало бы его приспособление. Веса горошин, выращенных из каждой из семи упаковок внутри каждой партии, образовывали нормальное распределение, и веса горошин, выращенных из каждой партии, также образовали нормальное распре­деление. Этот убедительный результат не был, как сказал Гальтон, следствием «разных комбинаций незначительных влияний» [кур­сив Гальтона. — П.Б.]. Скорее, «процессы наследования... находятся под действием не малых, а очень важных влияний»34. Подобно тому как немногие индивидуумы в группе людей оказываются одаренны­ми, среди их отпрысков также немногие отличаются заметными та­лантами; поскольку большинство людей имеют средние способности, их потомки также обречены на средний уровень. Посредственность всегда многочисленнее талантов. Последовательность малых-боль­ших-малых размеров горошин, образующая нормальное распреде­ление, убедила Гальтона, что доминирующим фактором, определя­ющим свойства потомства, являются качества родителей.

Как свидетельствует приведенная ниже таблица распределения горошин первого и второго поколений по диаметру, эксперимент выявил кое-что еще.

Диаметр высеянных горошин и их потомства'1'' (в сотых долях дюйма)

Исходные горошины 15 16 17 18 19 20 21

Средний диаметр горошин

второго поколения 15,4 15,7 16,0 16,3 16,6 17,0 17,3

Заметьте, что разброс диаметров среди родительских семян боль­ше, чем у потомства. Средний диаметр родительских горошин был 0,18 дюйма с разбросом от 0,15 до 0,21 дюйма, или по 0,03 дюйма справа и слева от среднего значения. Средний диаметр выращен­ных горошин оказался равным 0,163 дюйма с разбросом от 0,154 до 0,173 дюйма, или по 0,01 дюйма справа и слева от среднего значения. Потомство распределено в более узком интервале, чем ро­дительское поколение.

На основе этого эксперимента Гальтон предложил общий прин­цип, получивший название регрессии, или схождения к среднему. «Схождение, — писал Гальтон, — это тенденция идеально среднего второго поколения отойти от родительского типа, возвращаясь к тому, что можно грубовато, но, по-видимому, верно назвать усред­ненным наследственным типом»36. Если бы этот процесс схождения не срабатывал, то есть если бы (в нашем случае) большие гороши­ны продуцировали бы еще большие, а малые — еще меньшие, то в мире не осталось бы никого, кроме карликов и гигантов. Природа из поколения в поколение становилась бы все более причудливой, стремясь к абсолютной нестабильности или выходя за такие преде­лы, о которых не хочется и думать.

Гальтон подытожил результаты этих исследований в одном из своих наиболее красноречивых и выразительных высказываний:

Ребенок наследует частично от своих родителей, частично от их пред­ков... Чем дальше мы возвращаемся назад по его генеалогическому древу, тем большее число предков и вариаций выявляется в его на­следственности, пока они не перестанут отличаться от столь же много­численной случайной выборки, произвольно взятой из расы... Этот за­кон наносит сильный удар по представлениям о простом наследовании какого-либо таланта. <...> Закон симметричен: он касается наследова­ния как пороков, так и добродетелей. Охлаждая экстравагантные на­дежды одаренных родителей на то, что их дети унаследуют все их та­ланты, он не менее убедительно рассеивает их опасения относительно возможного наследования их слабостей и болезней37.

Элегантность формулировки не могла сделать этот вывод при­ятным для Гальтона, но он стимулировал его усилия по разработке евгеники. Само собой напрашивалось решение усилить влияние «усредненного наследственного типа» за счет ограничения воспро­изводства потомства на нижнем конце шкалы; нужно было просто отсечь левую ветвь нормального распределения.

Гальтон нашел еще одно подтверждение схождения к среднему в эксперименте, о котором он рассказал в 1885 году по случаю его избрания президентом Британской ассоциации развития науки. Для этого эксперимента он собрал огромное количество данных о людях, которые он получил в ответ на публичное предложение снабдить его информацией за определенную плату. Он проанализировал данные о 928 взрослых детях, рожденных от 205 родительских пар.

На этот раз Гальтон занялся сравнением роста родителей и детей. Так же как и в эксперименте со сладким горошком, он и в этом об­следовании поставил своей целью проверить, как это частное свой­ство передается по наследству. Чтобы скорректировать для целей анализа различие в росте между мужчинами и женщинами, он ум­ножал рост женщины на 1,08, складывал показатели роста обоих родителей и делил на два. Он назвал эту величину «средним рос­том родителей». Ему нужно было также быть уверенным в отсутствии тенденции к женитьбе высоких мужчин на высоких женщи­нах, а маленьких на маленьких; его вычисления были «достаточно скрупулезны», чтобы исключить наличие такой тенденции38

Соотношение между ростом 928 взрослых детей и ростом 205 родительских пар

Средний рост роди­тельских пар

Рост взрослых детей

Число взрос­лых детей

Число роди­тель­ских пар

Меди­аны

>73,0 72,5

<61,7

62,2 63,2

64,2

65,2

66,2

67,2

68,2 1

69,2 2

70,2 1

71,2 2

72,2 73,2 1 3

7 2

>75,7
4

4 19

5 6

72,2

71,5

— —

1

3

4

3

5

10

4

9 2

2 43

11

69,9

70,5

1

— 1

1

1

3

12

18

14

7

4 3

3 68

22

69,5

69,5

— 1

16

4

17

27

20

33

25

20

11 4

5 183

41

68,9

68,5

1

— 7

11

16

25

31

34

48

21

18

4 3

— 219

49

68,2

67,5

3 5

14

15

36

38

28

38

19

11

4 —

— 211

33

67,6

66,5

3 3

5

2

17

17

14

13

4

— —

— 78

20

67,2

65,5

1

— 9

5

7

11

11

7

7

5

2

1 —

— 66

12

66,7

64,5

1

1 4

4

1

5

5

2

— —

— 23

5

65,8

<64,0

1

— 2

4

1

2

2

1

1

— —

— 14

1

Всего

5

7 21

59

48

117

138

120

167

99

64

41 17

14 928

205

Медианы

— 66,3

67,8

67,9

67,7

67,9

68,3

68,5

69,0

70,0

— —

— —

Источник: Francis Gallon. Regression toward Mediocrity in Hereditary Stature// Journal of Anthropological Institute, 1886, vol. 15, p. 246-263.

.

Как видно из таблицы, результат получился великолепный. Структура чисел по диагонали от левого нижнего угла до правого верхнего показывает, что у высоких родителей вырастают высокие дети и наоборот — наследственность имеет значение. Группы боль­ших чисел в центральной части таблицы позволяют сделать вывод, что распределение детей по росту является нормальным и что рост детей, родители которых относятся к одной группе роста, также описывается нормальным распределением. И наконец, сравним са­мую правую и самую левую колонки. («Медиана» означает, что в по­ловине группы люди были выше, а в половине — ниже этого числа.) Дети всех родителей, средний рост которых был выше 68,5 дюйма, в среднем оказались ниже своих родителей; дети всех родителей, средний рост которых был ниже 68,5 дюйма, в среднем оказались выше своих родителей. Совсем как в эксперименте со сладким го­рошком.

Упорядоченность нормального распределения и наличие сходи­мости позволили Гальтону вычислить другие показатели — напри­мер, долю высоких родителей, дети которых выше своих сверстни­ков, но ниже родителей. Когда профессиональные математики под­твердили его результаты, Гальтон написал: «Я еще никогда не ис­пытывал такого глубокого уважения к величественной и непрере­каемой власти математического анализа»39.

Подход Гальтона в конце концов привел к разработке понятия корреляции, которая измеряет, насколько тесно связаны между со­бой изменения двух величин, будь то размеры родителей и детей, количество осадков и урожай, инфляция и процентные ставки или цены на акции General Motors и Biogen.

Карл Пирсон, главный биограф Гальтона и сам выдающийся математик, заметил, что Гальтон совершил «революцию в наших научных представлениях, [которая] изменила философский подход к науке и даже к самой жизни»40. Это не преувеличение: идея схож­дения к среднему сработала как динамит. Гальтон превратил стати­ческое понятие вероятности, базирующееся на случайности и законе больших чисел, в динамическую концепцию, описывающую процесс, в котором преемникам крайних предопределено присоединиться к толпе в центре. Изменение и движение от внешних границ к цент­ру постоянно, неизбежно и предсказуемо. Учитывая динамические свойства этого процесса, нельзя и помыслить, что его результатом будет что-либо, кроме нормального распределения. Тенденция всегда направлена к среднему, к восстановлению «нормальности», к сред­нему, или среднестатистическому, человеку Кветеле.

Принцип схождения к среднему объясняет почти все разнообра­зие поведения в условиях риска и прогнозирования. Этот принцип сквозит в поговорках типа: «Не всё коту масленица», «С высоты больнее падать», «Карта не лошадь, к утру да придет». Именно эту предопределенность событий имел в виду Иосиф, когда предсказал фараону, что за семью тучными годами последуют семь тощих лет. Об этом же думал Д. П. Морган, когда говаривал, что «рынок пере­менчив». Это кредо так называемых контрапунктных инвесторов, которые всегда работают в противофазе: когда они говорят, что це­на акций завышена или занижена, то имеют в виду, что страх или жадность побудили толпу поддерживать цену на акции, не соответ­ствующую их внутренней ценности, к которой цена непременно вер­нется со временем. Именно на это уповает проигрывающий игрок — карта не лошадь, к утру да придет. Именно это имеет в виду мой врач, когда говорит, что «потерпи» и всё пройдет. И именно с этой точки зрения воспринимал события Герберт Гувер, когда в 1931 го­ду, ободряя сограждан, говорил, что процветание уже за углом, — к несчастью для него и других, он был не прав, середина находилась не там, где он предполагал.

Фрэнсис Гальтон был гордый человек, правда он ни разу не пе­режил падения. Его достижения получили широкое признание, и он прожил долгую, насыщенную жизнь. Став вдовцом, он сохранил любовь к путешествиям и продолжал писать, наслаждаясь общест­вом родственницы, которая была намного моложе его. Он никогда не позволял своему увлечению числами и фактами заслонить пре­лести жизни, и его чрезвычайно радовало ее разнообразие:

Трудно понять, почему статистики обычно ограничиваются исследова­нием Среднего и не наслаждаются более широким взглядом на мир. Их души кажутся такими же закрытыми для прелести разнообразия, как у жителя какого-нибудь английского графства, чьи воспоминания о Швей­царии сводятся к тому, что, если бы ее горы сбросить в озера, швейцар­цам удалось бы одним движением избавиться сразу от двух напастей41.

Глава 10

Стручки и риски

Понятие схождения к среднему значению породило многие системы принятия решений с их философскими обоснова­ниями. И понятно почему: превращение большего в беско­нечно большое или малого в бесконечно малое маловероятно. До небес деревья не растут. Уступая, как водится, искушению экстра­полировать тенденции прошлого в будущее, нужно помнить о го­рошинах Гальтона.

Но если схождение к среднему столь неотвратимо, почему про­гнозирование остается таким неблагодарным делом? Почему мы не умеем провидеть грядущее так же, как Иосиф в разговоре с фара­оном? Простейший ответ на этот вопрос заключается в том, что си­лы, управляющие природой, отличаются от сил, управляющих че­ловеческой психологией. Точность большинства предсказаний зави­сит в большей степени от людей, нежели от матери-природы, кото­рая со всеми ее причудами ведет себя гораздо определеннее, нежели группа людей, пытающихся выработать свое понимание чего бы то ни было.

Можно назвать три причины того, почему схождение к средне­му может быть таким ненадежным ориентиром в процессе приня­тия решений. Во-первых, иногда оно осуществляется так медленно, что любое возмущение снижает очевидность процесса. Во-вторых, оно может быть настолько сильным, что на подходе к среднему значения начинают колебаться вокруг него с повторяющимися не­регулярными отклонениями в обе стороны. Наконец, само среднее может оказаться нестабильным, так что его вчерашнее значение сегодня может быть вытеснено новым, о котором нам ничего не известно. В разгар кризиса рискованно предполагать, что процвета­ние уже за углом, исходя только из того, что до него всегда было рукой подать.

Схождение к среднему описывает поведение большинства игро­ков на фондовом рынке. Фольклор Уолл-стрит усыпан расхожими фразами типа «Дешево купи — дорого продай», «Изымая прибыль из игры, не обнищаешь», «Быку достанется, медведю достанется, а теленку не достанется». Всё это перепевы на одну тему: если ста­вишь на то, что сегодняшнее положение будет длиться до беско­нечности, то можно быстрее и с меньшим риском разбогатеть, чем следуя за толпой. Однако многие инвесторы сплошь и рядом пре­небрегают этим правилом, потому что они по складу характера не способны покупать дешево и продавать дорого. Не в силах проти­востоять алчности и страху, они следуют за толпой вместо того, чтобы подумать своей головой.

Не так уж легко постоянно помнить о горошинах. Никто не знает, что будет завтра, и проще предполагать, что оно будет по­хоже на сегодня, чем ждать неведомых перемен. Кажется, что вы­годнее покупать акции, которые уже имеют опыт роста, чем те, что раньше стояли как вкопанные. Рост цен внушает нам пред­ставление о процветании компании, а падение — о ее затруднени­ях. Зачем же выходить из общей колеи?

Профессионалы не реже дилетантов пытаются избегать риска в игре. Например, в декабре 1994 года аналитики брокерской фирмы Sanford С. Bernstein & Co. пришли к выводу, что специалисты, ко­торые предсказывали больший чем в среднем рост котировок ак­ций, постоянно завышали прогноз, в то время как пессимис­ты постоянно занижали его Ч «В среднем, — констатировали ана­литики, — прогнозы не сбываются»1.

Последствия понятны: акции с розовыми перспективами взле­тают до небес, тогда как акции с мрачными перспективами рушат­ся в пропасть. Затем вступает в действие принцип схождения к среднему. Наиболее реалистичные и уравновешенные инвесторы покупают, пока большинство других продает, и продают, когда другие спешат купить. Результаты всегда печальны для тех, кто следует общей тенденции.

Между прочим, я не родственник Санфорда Бернстайна.

Биржа помнит многих легендарных инвесторов, сколотивших со­стояние на том, что ставили на схождение к среднему, т. е. покупа­ли дешево и продавали дорого. В их числе можно назвать Бернарда Баруха, Бенджамина Грэма и Уоррена Баффетта. Обоснованность контрапунктной стратегии подтверждается множеством научных исследований.

Но заслуживают внимания и те немногие, кто сделал прилич­ные деньги, идя вместе с толпой. Нам мало известно о таких инве­сторах, которые старались идти по этому пути и проигрывали то ли из-за того, что действовали слишком быстро или вообще никак, то ли потому, что среднее, на схождение к которому они рассчиты­вали, оказалось не тем, к которому все свелось.

Стоит вспомнить о тех инвесторах, которые опрометчиво покупа­ли акции в начале 1930 года, сразу после Великого краха, когда це­ны упали на 50%. Цены упали еще на 80%, пока не достигли ниж­него уровня в конце 1932 года. Не следует забывать и об осторожных инвесторах, которые продавали акции в начале 1955 года, когда ин­декс Dow Jones Industrial вырос втрое по сравнению с 1949 годом и наконец-то опять достиг уровня 1929 года. Уже через девять лет цены стали вдвое выше уровня 1929-го и 1955 годов. В обоих случа­ях ожидаемый возврат к «норме» не состоялся: нормальный уровень сместился на другую позицию.

Обсуждая вопрос, в какой степени схождение к среднему опре­деляет поведение рынка, мы, по сути дела, выясняем, можно ли предсказать цены, и если да, то что для этого надо. Не ответив на этот вопрос, ни один инвестор не может знать, чем он рискует.

Есть факты, что цены некоторых акций поднимаются «слиш­ком высоко» или падают «слишком низко». В 1985 году на еже­годном собрании Американской финансовой ассоциации экономис­ты Ричард Талер (Thaler) и Вернер ДеБондт (DeBondt) представили доклад на тему «Не слишком ли сильна реакция рынка?»2. Чтобы выяснить, не вызывают ли экстремальные отклонения цен на ак­ции в одном направлении реакции схождения к среднему и не со­провождается ли это последующим экстремальным отклонением цен в противоположную сторону, они исследовали трехлетние по­казатели прибыльности более тысячи акций с января 1926-го по декабрь 1982 года. Они выделили, с одной стороны, акции-«победи­тели», которые в каждом трехлетнем периоде поднимались выше и падали не столь сильно, как рынок в среднем, а с другой — «проиг­равшие» акции, которые поднимались не так высоко, как рынок в среднем, но падали сильнее, чем рынок в среднем. Потом они под­считали среднюю доходность каждой группы акций в каждом трех­летнем периоде.

Результаты оказались недвусмысленными: «За последние пол­столетия портфели с «проигравшими» акциями уже через тридцать шесть месяцев после формирования портфеля оказывались на 19,6% прибыльнее, чем рынок в среднем. С другой стороны, портфели с акциями-«победителями» по прошествии того же срока оказывались в среднем на 5% менее прибыльными, чем рынок в среднем»3.

Метод анализа, который использовали ДеБондт и Талер, подверг­ся критике, но их результаты были подтверждены другими анали­тиками, использовавшими иные методы. Когда инвесторы слишком бурно реагируют на новую информацию, забывая при этом о долго­временных тенденциях, механизм схождения к среднему превраща­ет средних «победителей» в «проигравших» и наоборот. Это превра­щение осуществляется с известной задержкой, которая создает воз­можности для извлечения прибыли: можно с уверенностью утвер­ждать, что сначала рынок слишком сильно реагирует на краткосроч­ные новости, а затем реагирует слишком слабо в ожидании новых краткосрочных новостей противоположного характера4.

Причина этого достаточно проста. В целом цены на акции от­ражают положение дел в компании. Инвесторы, которые слишком сконцентрированы на краткосрочных тенденциях, пренебрегают множеством фактов, свидетельствующих, что взлет прибыльности компаний по большей части недолговечен. С другой стороны, ком­пании, попавшие в затруднительное положение, не могут пассивно скользить в пропасть. Их руководители примут трудные решения и наведут порядок или потеряют работу, а их место займут другие, более расторопные.

Схождение к среднему исключает другой поворот событий. Ес­ли победители всегда будут побеждать, а проигравшие всегда будут в проигрыше, наша экономика выродится в жалкий пучок гигант­ских монополий, а мелкие компании практически исчезнут. Неког­да прославленные монополии Японии и Кореи сейчас пребывают в состоянии упадка: непреодолимый наплыв импортных товаров обеспечивает схождение к среднему и постепенно ослабляет их эко­номическое могущество.

Динамика эффективности профессиональных инвестиционных менеджеров также является сферой действия принципа схождения к среднему. Весьма вероятно, что менеджер, очень успешно работающий сегодня, станет неудачником завтра или по крайней мере послезавтра и наоборот. Это не означает, что от удачливых менед­жеров неизбежно отвернется удача или что неудачникам непремен­но улыбнется счастье, хотя такое часто бывает. Вообще, надо ска­зать, инвестиционные менеджеры часто теряют почву под ногами только потому, что ни один стиль игры на бирже не может вечно приносить удачу.

Ранее, обсуждая петербургский парадокс, мы отметили трудно­сти инвесторов при оценке акций, доходность которых обещает бесконечный рост (см. гл. 6, с. 125-126). Было неизбежным, что без­граничный оптимизм инвесторов сделает цены этих акций бессмыс­ленно высокими. Когда механизм схождения к среднему обвалива­ет цены этих акций, даже лучший менеджер портфеля акций роста поневоле остается в дураках. В конце 1970-х годов то же самое случилось с теми, кто инвестировал в акции малых компаний, когда научные исследования показали, что, несмотря на связанный с ними значительный риск, в долгосрочной перспективе именно акции малых компаний давали наибольшую прибыль инвесторам. К 1983 году опять сработал механизм схождения к среднему, и фе­номен повышенной доходности акций малых компаний надолго пе­рестал действовать. В то время даже лучший менеджер по инвести­рованию в малые компании был обречен на проигрыш.

В 1994 году «Morningstar», ведущее издание по взаимным ин­вестиционным фондам, опубликовала приведенную ниже таблицу, отобразившую динамику разных видов фондов за пятилетние пери­оды 1984-1989 годов и 1989-1994 годов5.

Направленность фонда

1984-1989 гг.

1989-1994 гг.

Международные акции

20,6%

9,4%

Доход

14,3%

11,2%

Рост и доход

14,2%

11,9%

Рост

13,3%

13,9%

Малые компании

10,3%

15,9%

Ускоренный рост

8,9%

16,1%

В среднем

13,6%

13,1%

Это наглядный пример того, как действует механизм схождения к среднему. Средние показатели за обе пятилетки почти идентичны, но резкие изменения эффективности для разных видов фондов про­сто поразительны. У трех групп, показатели которых в первом пери­оде были выше среднего, во втором периоде они стали ниже средне­го, а у трех других групп, у которых показатели в первом периоде были ниже среднего, во втором периоде стали выше среднего.

Глядя на эту впечатляющую работу механизма схождения к сред­нему, можно дать ценный совет инвесторам, которые постоянно меня­ют своих менеджеров. Самая мудрая стратегия заключается в том, чтобы увольнять менеджеров с лучшими достижениями и нани­мать тех, у кого перед этим дела шли хуже всех. Эта стратегия рав­ноценна продаже акций, котировки которых выросли больше дру­гих, и покупке акций, котировки которых упали больше других. Если придерживаться этой контрапунктной стратегии трудно, мож­но добиться того же результата другим способом. Положитесь на ин­туицию — и вперед! Увольняйте неудачливых менеджеров и нани­майте удачливых, но прежде стоит выждать пару лет.

Что можно сказать о фондовом рынке в целом? Предсказуемы ли популярные средние типа индексов Dow Jones Industrial и S & Р 500?

Диаграммы в главе 8 (с. 166) показывают, что показатель при­быльности акций по годам не описывается нормальным распреде­лением, но прибыльность помесячная и поквартальная подчинена нормальному распределению, хотя и не с абсолютной точностью. Кветеле истолковал бы этот факт как доказательство того, что краткосрочные колебания рыночных котировок являются незави­симыми, т. е. что сегодняшние изменения ничего не говорят о том, какими будут цены завтра. Фондовый рынок непредсказуем. Для объяснения, почему это так, понадобилась концепция случайных блужданий.

Но как быть с большими периодами? В конце концов большин­ство инвесторов, даже самых нетерпеливых, остается на рынке не месяц, не квартал и не год. Несмотря даже на то, что содержимое их портфелей меняется со временем, серьезные инвесторы старают­ся держать свои деньги на фондовом рынке многие годы, даже де­сятилетия. Отличается ли на деле длительный период на фондовом рынке от коротких?

Если концепция случайных блужданий верна, значит, вся отно­сящаяся к делу информация отражена в сегодняшних котировках. Изменить их может только появление дополнительной информации. Коль скоро у нас нет способа узнать, какой будет эта дополнитель­ная информация, нет и способа предугадать то среднее, к которому будут стремиться котировки. Иными словами, нет такой вещи, как временная цена акций — то есть цена, зафиксированная на каком-то уровне и ожидающая, пока не придет пора переместиться на дру­гой уровень. А это значит, что изменения непредсказуемы.

Но есть две другие возможности. Если гипотеза ДеБондта-Тале-ра о чрезмерной реакции на последние новости применима к рынку в целом, а не только к отдельным акциям, схождение к среднему в поведении основных показателей рынка в целом должна прояв­ляться как ощутимая долговременная реалия. Если, с другой сторо­ны, в одних экономических ситуациях инвесторы бывают напуганы больше, чем в других, — например, в 1932-м или 1974 годах по срав­нению с 1968-м или 1986 годами — акции будут падать, пока не прой­дет страх, и начнут расти, когда изменятся обстоятельства и появит­ся надежда на будущее.

В обеих ситуациях неплохо пренебречь кратковременной неус­тойчивостью конъюнктуры и, проявив выдержку, дождаться ново­го подъема. Скачки и падения рынка не имеют значения, и при­быль инвесторов должна с неизбежностью оказаться равной неко­торой нормальной — в долговременной перспективе — величине. Если все действительно так, фондовый рынок можно считать рис­кованным местом для помещения капитала на несколько месяцев или пару лет, но риск понести на нем существенные убытки за пять лет и более невелик.

Убедительное подтверждение этой точки зрения дает моногра­фия двух профессоров Байлорского университета Уильяма Рай-хенштайна (Reichenstein) и Дювалье Дорсетта (Dorsett), опублико­ванная в 1995 году Ассоциацией управления и исследования инве­стиций (Association for Investment Management & Research) — орга­низацией, к которой принадлежит большинство профессиональных инвесторов6. На основе подробных исследований они пришли к вы­воду, что плохие периоды на рынке предсказуемо сменяются хоро­шими и наоборот. Это утверждение противоречит концепции слу­чайных блужданий, которая отрицает предсказуемость изменения котировок. Котировки, подобно горошинам Гальтона, не проявляют склонности к безграничному изменению вверх или вниз.

Математика утверждает, что дисперсия (величина, определяю­щая, как результаты наблюдений распределяются вокруг среднего значения) серии случайных чисел будет неуклонно возрастать с ро­стом длины серии. Таким образом, дисперсия результатов наблю­дений за три года должна оказаться втрое больше дисперсии ре­зультатов наблюдений за год, а за десять лет она должна превы­сить годичную в десять раз. Если же, с другой стороны, числа не являются случайными, потому что действует механизм схождения к среднему, формулы таковы, что отношение изменения дисперсий к периоду времени окажется меньшим единицы 2).

Райхенштайн и Дорсетт проанализировали динамику S & Р 500 с 1926-го по 1993 год и выяснили, что дисперсия прибылей за трех­летние периоды только в 2,7 раза превышает дисперсию годовых прибылей. Когда они составили портфели из смеси акций и облига­ций, выяснилось, что здесь отношение дисперсии к периоду времени даже меньше, чем для портфелей, содержащих только акции.

Ясно, что степень долговременной изменчивости на фондовом рынке меньше, чем если бы экстремальные тенденции имели шанс возобладать. Б конце концов, несмотря на всю свою строптивость, инвесторы предпочитают прислушиваться к Галътону, а не сле­довать за дудочкой Крысолова.

Этот результат очень важен для долгосрочного инвестирования, потому что отсюда следует, что в длительной перспективе неопре­деленность доходности акций меньше, чем в короткой. Райхен­штайн и Дорсетт используют кучу исторических данных и прогно­зов будущих возможностей, но их главные выводы (с учетом по­правки на инфляцию) содержатся в следующем отрывке7:

При покупке акций на год с вероятностью пять процентов инвестор по­теряет не меньше 25% вложенных денег и с вероятностью пять про­центов его прибыль превысит 40%. Зато при покупке портфеля акций на срок 30 лет с вероятностью всего пять процентов прибыль окажется меньше 20% и с вероятностью пять процентов этот портфель к концу периода принесет прибыль 5000 процентов.

Со временем разница между прибылью от вложений в акции и в об­лигации оказывается поразительно большой. С вероятностью только пять процентов ценность портфеля, состоящего только из долгосроч­ных корпоративных облигаций, может за двадцать лет вырасти намно­го больше, чем в четыре раза, в то время как ценность 100-процентного портфеля обыкновенных акций вырастет за тот же срок по меньшей мере в восемь раз с вероятностью пятьдесят процентов.

' Противоположные тенденции с очевидностью прослеживаются в динамике про­центных ставок, которые демонстрируют «уклонение» (aversion) от средней. Более велика вероятность того, что сложившаяся тенденция будет длиться и впредь, а не сменится противоположной. За двухлетние периоды дисперсия доходности 90-днев­ных казначейских векселей США в 2,2 раза превысила показатель дисперсии за годовые периоды, а за восьмилетний период — почти в 32 раза; в еще более дли­тельной перспективе результаты оказываются сходными, хотя и не столь выра­жение.

Но даже это кропотливое исследование не дает рецепта легко разбогатеть. К тому же Райхенштайн и Дорсетт рассказали нам только о том, что произошло между 1926-м и 1993 годами. Сколь соблазнительным ни представляется долгосрочное инвестирование в свете их расчетов, их анализ на 100% обращен в прошлое. Хуже того, даже небольшие различия в величине годовой прибыльности за многие годы сильно сказываются на богатстве инвесторов в кон­це длительного периода.

Чрезмерная реакция на новую информацию, которую выявили ДеБондт и Талер в изменении котировок, была результатом обще­человеческой склонности преувеличивать значение последних со­бытий и, как следствие этого, забывать о долгосрочной перспективе. В конце концов, мы намного больше знаем о том, что произошло только что, чем способны знать о том, что произойдет в неопределен­ном будущем.

Тем не менее избыточная фиксация на настоящем может стать причиной искажения действительности, а как следствие — оши­бочных оценок и неразумных решений. Например, некоторые обо­зреватели скорбели о том, что они сочли замедлением роста произ­водительности труда в США за период с конца 1960-х годов. Но на деле-то результаты этого периода значительно лучше, чем они пы­таются нас уверить. Учет схождения к среднему откорректировал бы ошибочную точку зрения пессимистов.

В 1986 году экономист из Принстона Уильям Бомол опублико­вал поучительное исследование долгосрочных тенденций произво­дительности труда. Его данные охватывают 72 страны и простира­ются до 1870 года8. В центре исследования то, что Бомол называет процессом конвергенции. Смысл идеи в том, что страны, имевшие в 1870 году самую низкую производительность труда, имели самые высокие темпы роста производительности, в то время как страны, наиболее продвинутые по уровню производительности на 1870 год, показали самые медленные темпы роста производительности, — иными словами, снова горошек. Разница в темпах роста быстро, но уверенно сужала разрыв в производительности труда между наибо­лее отсталыми и наиболее развитыми странами, как и везде, где действует механизм схождения к среднему.

За 110 лет, проанализированных Бомолом, разница между наи­более и наименее развитыми странами по такому показателю, как производительность труда, уменьшилась с отношения 8:1 до отно­шения 2:1. Бомол указывает: «...поразительно, что сколь-нибудь су­щественное значение имеет только одна переменная — величина произведенного в 1870 году за один час валового национального про­дукта»9. Факторы, обычно связываемые экономистами с ростом про­изводительности труда, — свободные рынки, выраженная склон­ность к накоплению и инвестированию и «разумная» экономическая политика — в данной ситуации проявились как несущественные. «Как бы ни вела себя нация, — заключает Бомол, — ее будущее по­ложение предопределено»10. Здесь во всемирном масштабе мы стал­киваемся с явлением, точно воспроизводящим эксперименты Галь-тона с горошинами.

Если встать на эту точку зрения, оценка динамики производи­тельности труда в США кардинально изменяется. Поскольку с на­чала века США имели самую высокую производительность труда среди индустриально развитых стран, относительно медленные темпы роста производства в последние годы не должны восприни­маться как неожиданность. Чем выше абсолютный уровень произ­водительности, тем меньше его относительный рост в результате внедрения очередного технологического чуда. Данные Бомола по­казывают, что на самом деле темпы роста производительности в США были «весьма средненькими» на протяжении большей части столетия, а не только в последние десятилетия. Между 1899-м и 1913 годами они уже были медленнее, чем темпы роста в Швеции, Франции, Германии, Италии и Японии.

Хотя в Японии были самые высокие из всех экономически раз­витых стран долгосрочные, за исключением периода Второй миро­вой войны, темпы роста, Бомол указывает, что в 1870 году она име­ла самый низкий уровень производительности труда и до сих пор от­стает от США по этому показателю. Но процесс конвергенции неот­вратим, поскольку технологии и образование совершенствуются, а рост производственных мощностей позволяет получать экономию на масштабах производства.

Бомол утверждает, что неудовлетворенность показателями США с конца 1960-х годов является результатом близорукости той части комментаторов, которая переоценивает новейшие проблемы и забывает о долгосрочных тенденциях. Он указывает, что большой ска­чок уровня производительности труда в период от 1950-го до при­мерно 1970 года не был чем-то естественным даже для такой ориен­тированной на технологический прогресс страны, как США. Ретро­спективный анализ позволяет утверждать, что этот скачок был толь­ко отклонением, которое скомпенсировало резкое искажение исто­рически сложившихся тенденций роста в 1930-х годах и во время Второй мировой войны.

Несмотря на то что предмет исследования Бомола отличается от того, чем занимались ДеБондт и Талер, их выводы перекликаются:

Мы не можем понять происходящего... без систематического исследо­вания предшествующих событий, которые влияют на настоящее и бу­дут серьезно влиять на будущее... Важность долгосрочного подхода в том, что экономистам и политикам нет смысла выделять долгосрочные тенденции и их результаты из потока текущих событий, которые могут находиться под влиянием мимолетных обстоятельств11.

Иногда, даже если регрессия к среднему имеет место, долго­срочная тенденция проявляется слишком поздно, чтобы мы успели выйти из затруднений. Известно высказывание великого английско­го экономиста Джона Мейнарда Кейнса:

В долгосрочной перспективе мы все мертвы. Экономисты ставят перед собой слишком легкую и столь же бесполезную задачу, если в сезон бурь могут утешить нас только тем, что, когда шторм пройдет, океан успокоится12.

Но жизнь — это последовательность краткосрочных периодов. Задача бизнеса — остаться на плаву, и не приходится ждать, когда океан успокоится. Штиль может оказаться только недолгой пере­дышкой между бурями.

Зависимость от схождения к среднему становится ненадежным средством для предвидения грядущих тенденций, если само сред­нее непостоянно. Рекомендации Райхенштайна и Дорсетта исходят из того, что будущее будет подобно прошлому, но нет закона приро­ды, который утверждал бы, что так будет всегда. Если действитель­но впереди общее потепление, длинный ряд жарких лет не обяза­тельно сменится такой же чередой холодных лет. Если человек стал не невротиком, а психопатом, депрессия может оказаться постоян­ной, а не периодической. Если люди преуспеют в разрушении окру­жающей среды, засухи могут перестать сменяться дождями.

Если в природе перестанет действовать механизм схождения к среднему, человечеству конец, и никакая стратегия риска не помо­жет. Гальтон осознавал такую возможность и предостерегал: «Сред­нее — это только единичный факт, но, если добавить к нему любой другой единичный факт, Нормальная Схема, почти соответствующая наблюдаемой, имеет потенциальную возможность воплощения»13.

В начале книги мы говорили о стабильности повседневной жиз­ни большинства людей в разные века. С началом Промышленной революции около двух веков назад к «Среднему» добавились столь многие «единичные дополнительные факты», что определение «Нор­мальной Схемы» стало делом непростым. Когда грозит разрыв не­прерывности, рискованно принимать решения на основе устано­вившихся тенденций, которые внезапно теряют прежнюю привыч­ную ясность и осмысленность.

Вот два примера того, как можно обмануться, переоценив воз­можности механизма схождения к среднему.

В 1930 году, когда президент Гувер заявил, что «процветание за углом», он не собирался дурачить публику. Он верил в то, что го­ворил. В конце концов, история всегда поддерживала такую точку зрения. Депрессии приходили и всегда уходили 3). Если исключить период Первой мировой войны, с 1869-го по 1929 год спады дело­вой активности наблюдались в общей сложности в течение семи лет. Самый продолжительный за этот период спад, причем с очень высо­кой точки, длился два года, с 1907-го по 1908 год; среднегодовое па­дение реального внутреннего валового продукта составило скром­ные 1,6%, при том что в первый год падение составило 5,5%!

Но в 1930 году объем производства снизился на 9,3%, а в 1931 году еще на 8,6%. В низшей точке депрессии в июне 1932 года ва­ловой национальный продукт (ВНП) был на 55% ниже его макси­мального значения, достигнутого в 1929 году, т. е. даже ниже, чем в нижней точке кратковременной депрессии 1920 года. Шестьдесят лет истории внезапно пошли насмарку. Трудности возникли час­тью из-за потери юношеского динамизма за долгий период про­мышленного развития; даже во время бума 1920-х годов экономи­ческий рост был медленнее, чем в период с 1870-го по 1918 год.

В те дни депрессии называли «паниками»; термин «депрессия» представляет собой удобный эвфемизм. Позднее общепринятым эвфемизмом стал «спад». Остается толь­ко гадать, насколько глубоким должен стать спад, чтобы эксперты- решились на­звать его «депрессией».

Предшествующее ослабление в сочетании с рядом политических неурядиц у нас и за рубежом, а также шок от краха финансового рынка в октябре 1929 года отодвинули процветание, до которого, казалось, было рукой подать.

Второй пример: в 1959 году, ровно через тридцать лет после Великого краха, произошло событие, которое с исторической точки зрения не имело никакого смысла. До конца 1950-х годов инвесто­ры, как правило, получали от акций большие прибыли, чем от об­лигаций. Каждый раз, когда доходности сближались, дивиденды от обычных акций опять поднимались, сохраняя превышение над доходностью от облигаций. Цены на акции упали, так что доллар, вложенный в акции, приносил больше прибыли, чем раньше.

Казалось, так и должно быть. В конце концов, в акциях риска больше, чем в облигациях. Облигации — это контракты, которые точно определяют, когда заемщик должен выплатить основную сумму долга и каков график выплат процентов. Если заемщики нарушают долговое обязательство, они кончают банкротством, те­ряют доверие, а их активы переходят под контроль кредиторов.

В случае акций притязания акционеров на собственность ком­пании не имеют силы, пока не удовлетворены все кредиторы ком­пании. Акции бессрочны: они не имеют определенного срока, по истечении которого собственность компании распределялась бы между акционерами. Более того, дивиденды выплачиваются акци­онерам по решению Совета директоров; компания не обязана пла­тить дивиденды акционерам. За период с 1871-го по 1929 год было только девятнадцать случаев сокращения дивидендных выплат ак­ционерам публичных компаний, за период с 1929-го по 1933 год дивиденды снизились более чем на 50%, а в 1938 году пример­но на 40%.

Так что неудивительно, что инвесторы покупали акции, только когда их прибыльность была выше, чем у облигаций. И неудиви­тельно, что курс акций падает каждый раз, как прибыль от акций приближается к прибыли от облигаций.

Так было до 1959 года. С этого момента цены на акции стали стремительно расти, а цены на облигации падать. Это означало, что отношение облигационного процента к цене облигации взлете­ло вверх, а отношение дивидендов к ценам акций стало падать. Прежнее соотношение между акциями и облигациями исчезло, об­разовав такой огромный разрыв, что в конце концов доходность облигаций стала превышать доходность акций даже на большую величину, чем прежде доходность акций превышала доходность облигаций.

Причина этого обращения соотношений не могла быть триви­альной. Инфляция была главным фактором, который отделил на­стоящее от прошлого. С 1800-го по 1940 год стоимость жизни росла в среднем только на 0,2% в год и снижалась за это время 69 раз. В 1940 году индекс стоимости жизни был только на 28% выше, чем за 140 лет до этого. В таких условиях владеть собственностью, оцениваемой фиксированной суммой в долларах, было одно удо­вольствие, а владеть собственностью, не оцененной фиксированной суммой в долларах, было весьма рискованно.

Все изменила Вторая мировая война и ее последствия. С 1941-го по 1959 год уровень инфляции составлял в среднем 4% в год, а индекс стоимости жизни рос все годы, кроме одного. Неумолимый рост уров­ня цен превратил облигации из финансового инструмента, казавшего­ся вечным, в очень рискованную штуку. К 1959 году цена 21/2-про-центной облигации государственного казначейства, выпущенной в 1945 году, упала с 1000 долларов до 820, причем покупательная спо­собность этих 820 долларов была вдвое меньше, чем в 1949 году!

Между тем дивиденды быстро росли и за период с 1945-го по 1959 год практически утроились, причем уменьшение дивидендов имело место только в течение одного года, и то менее чем на 2%. Инвесторы больше не считали акции рискованной собственностью с непредсказуемыми ценой и прибылью. Их цена по сравнению с тогдашними дивидендами казалась несоизмеримо малой. Имел зна­чение только растущий поток ожидаемых в будущем дивидендов. Можно было рассчитывать, что эти дивиденды превысят процент­ные выплаты по облигациям, а при этом еще ожидался и рост ко­тировок. Было выгодно даже переплачивать за акции, потому что они обещали рост дохода и защиту от инфляции, и избавляться от облигаций с их фиксированной долларовой доходностью.

Хотя контуры этого нового мира были различимы и до 1959 го­да, старые отношения на рынках капитала сдерживали эти процес­сы, пока основными инвесторами оставались люди, еще помнившие старые добрые времена. Например, мои партнеры, ветераны Вели­кой депрессии, уверяли меня, что все это только видимость, времен­ное отклонение. Они предсказывали, что все вот-вот войдет в свою колею и через несколько месяцев цены на акции упадут, а цены на облигации вырастут.

Я жду до сих пор. Тот факт, что возможны такие немыслимые вещи, навсегда изменил мои представления о жизни и, в частно­сти, об инвестировании. Это определило мое отношение к будуще­му и сделало меня скептиком относительно возможностей экстра­поляции от прошлого к будущему.

Насколько правомерны суждения о будущем, уповающие на дей­ственность механизма схождения к среднему? Что делать с концеп­цией, столь действенной в одних условиях и ведущей к роковым ошибкам в других?

Кейнс признавал, что, «как живые и движущиеся существа, мы вынуждены действовать... [даже когда] наши познания недостаточны для вычисления математического ожидания»14. Опираясь на прибли­зительные подсчеты, опыт, интуицию и традиции, мы ковыляем из прошлого в будущее. Выражение «традиционная мудрость», впервые использованное Джоном Кеннетом Гэлбрейтом (Galbraith), часто имеет уничижительный смысл, как если бы то, во что верят большинство людей, обречено оказаться заблуждением. Но без традиционной мудро­сти мы бы не смогли принимать долгосрочные решения, да и с каж­додневными трудностями справляться стало бы намного труднее.

Нужно обладать достаточной гибкостью, чтобы понять, что схож­дение к среднему — это только инструмент, а не религия с незыб­лемыми догмами и церемониями. Нельзя только пользоваться ей как палочкой-выручалочкой, чего не понимали ни президент Гувер, ни мои партнеры. Нужно постоянно задаваться вопросом — како­вы основания рассчитывать на действие этого механизма? Фрэнсис Гальтон был прав, когда убеждал нас, что среднее — не самое ис­черпывающее из понятий.

Глава 11

Фабрика счастья

До сих пор речь шла главным образом о теории вероятностей и надежных способах ее измерения: треугольник Паскаля, поиски Якобом Бернулли практической достоверности в кув­шине с черными и белыми камешками, бильярдный стол Байеса, колоколообразная кривая Гаусса, квинкункс Гальтона. Даже Даниил Бернулли, впервые, по-видимому, поставивший вопрос о психоло­гии выбора, был убежден, что то, что он называл полезностью, мо­жет быть измерено.

Теперь обратимся к другим вопросам: какой риск приемлем, от какого риска нужно подстраховаться, какая информация нужна? Насколько можно доверять нашим представлениям о будущем? Короче, как мы собираемся управлять риском?

Для принятия решения в условиях неопределенности одинаково важны измерения и рассудительность. Разумные люди стараются объективно оценивать информацию: если их прогнозы и оказывают­ся ошибочными, то это скорее случайные ошибки, нежели результат упрямой предрасположенности к оптимизму или пессимизму. Такие люди воспринимают новую информацию в соответствии с ясно вы­раженным набором приоритетов. Они знают, чего хотят, и исполь­зуют информацию для реализации своих предпочтений.

Предпочтения определяют, что нечто является более желатель­ным, чем что-то другое, — борьба приоритетов заложена в самом этом понятии. Это полезная идея, но метод измерения предпочти­тельности должен сделать ее более ощутимой.

Именно это имел в виду Даниил Бернулли в 1738 году, когда утверждал в своей замечательной статье: «Было бы неправомерно отрицать [его идеи] как абстракции, опирающиеся на сомнительные гипотезы». Речь идет о понятии полезности в качестве меры предпочтительности — для вычисления того, насколько одну вещь мы предпочитаем другой. Мир полон желанных вещей, говорил он, но разные люди готовы платить за них разную цену. И чем больше мы чего-то имеем, тем меньше склонны платить за то, что­бы получить больше1.

Предложенное Бернулли понятие полезности явилось впечат­ляющим нововведением, но его трактовка этого понятия страдала односторонностью. Сегодня мы знаем, что стремление держаться наравне с Джонсами может побудить нас желать все большего и большего, даже если по объективным критериям у нас уже всего достаточно. Характерно, что Бернулли построил свой мысленный эксперимент с игрой Петра и Павла в орлянку таким образом, что Павел, выигрывая, когда выпадает орел, ничего не проигрывает, когда выпадает решка. Понятие «проигрыш» вообще не фигуриру­ет в его статье, как и ни в одной работе по теории полезности за последующие двести лет. Но когда его начали учитывать, теория полезности стала парадигмой выбора при определении степени риска, на который люди идут ради достижении желанной цели в условиях неопределенности.

Тем не менее значимость предложенного Бернулли понятия по­лезности проявляется в том, что его понимание «натуры человека» сохраняет свое значение и поныне. Каждым своим достижением теория принятия решений и исследования риска в определенной степени обязана его усилиям по разработке определений, кванти-фикации и установлению критериев рациональных решений.

Можно было предположить, что в истории теории полезности и принятия решений будут доминировать представители семьи Бер­нулли, тем более что Даниил Бернулли был таким известным уче­ным. Но это не так: последующая история теории полезности была скорее рядом новых открытий, чем развитием первоначальных формулировок Бернулли.

Создавало ли проблемы то, что Бернулли писал на латыни? Кеннет Эрроу установил, что статья о новой теории измерения риска была переведена на немецкий язык только в 1896 году, а первый перевод ее на английский появился в американском науч­ном журнале в 1954 году. Тем не менее в XIX веке математики еще пользовались латынью, и работы Гаусса, писавшего на этом языке, отнюдь не страдали от недостатка внимания. Все же выбор Бернулли латыни помогает объяснить, почему его достижения бы­ли в большей степени восприняты математиками, нежели эконо­мистами и другими представителями гуманитарных наук.

Эрроу утверждает и другое. Бернулли обсуждал полезность в терминах чисел, в то время как последующие авторы предпочита­ли рассматривать ее как механизм определения приоритетов. Ска­зать: «Это мне нравится больше, чем то» — не то же самое, что сказать: «Это обойдется мне в х единиц полезности».

Теория полезности была вновь открыта в конце XVIII века по­пулярным английским философом Иеремией Бентамом (1748-1832). Вы еще и сейчас при случае можете увидеть его в Универси­тетском колледже в Лондоне, где, в соответствии с его предсмерт­ной волей, его мумия сидит в стеклянном ящике с восковой голо­вой вместо настоящей и со шляпой между колен.

От главного труда Бентама «Принципы морали и законодатель­ство» («The Principles of Morals and Legislation»), опубликованного в 1789 году, веет духом эпохи Просвещения:

Природа отдала человечество в руки двух полновластных верховных правителей — страдания и удовольствия. Только они одни указыва­ют, что нам следует делать, и определяют, что мы будем делать... Принцип полезности выражает осознание этой власти и подразумевает ее в качестве основы той системы, элементы которой должны воздвиг­нуть фабрику счастья силами разума и законности2.

Бентам потом объясняет, что он называет полезностью: «...это свойство любого объекта, посредством которого он производит вы­году, преимущество, удовольствие, благо или счастье... когда его действие ведет скорее к умножению общественного блага, нежели к его уменьшению».

Здесь Бентам говорил о жизни вообще. Но экономисты XIX сто­летия ухватились за полезность как за средство постижения меха­низма выработки соглашения о цене между покупателем и продав­цом. Этот окольный путь вывел их прямо на закон спроса и пред­ложения.

Ведущие экономические модели XIX столетия изображали дело так: будущее ждет, пока продавцы и покупатели рассматривают имеющиеся у них возможности. Вопрос в том, какая из возможно­стей лучше. Возможность потерь вообще не учитывалась. В силу этого вопрос о неопределенности и деловой цикл в целом не отвле­кали внимания и не рассматривались. Вместо этого экономисты проводили время, анализируя психологические и субъективные факторы, побуждающие людей платить такую-то цену за буханку хлеба или бутылку портвейна — или за десятую бутылку портвей­на. Предположение, что кто-то не может купить даже одну бутыл­ку портвейна, казалось немыслимым. Альфред Маршалл, выдаю­щийся экономист Викторианской эпохи, как-то заметил: «Не сле­дует выбирать себе профессию, которая не может обеспечить хотя бы положение джентльмена»3.

Уильям Стэнли Джевонс (Jevons), член общества бентамитов (ути­литаристов), увлекавшийся математикой, был одним из главных разработчиков этого подхода. Он родился в Ливерпуле в 1837 году и с юности загорелся желанием стать ученым. Однако финансовые затруднения принудили его поступить на службу в пробирную па­лату Королевского монетного двора в Сиднее, Австралия, населе­ние которого под влиянием золотого бума быстро приближалось к 100 000 человек. Только через десять лет Джевонс смог возвра­титься в Лондон, чтобы изучать экономику, и провел там большую часть своей жизни в качестве профессора политической экономии Университетского колледжа; он был первым после Уильяма Петти экономистом, ставшим членом Королевского общества. Академиче­ское звание не помешало ему оказаться в числе первых, кто пред­ложил отбросить слово «политическая» из словосочетания «поли­тическая экономия», чтобы подчеркнуть уровень всеобщности, ко­торого достигла эта наука.

Тем не менее его главный труд, опубликованный в 1871 году, был озаглавлен «Теория политической экономии» («The Theory of Political Economy»)4. Он открывает свое исследование утверждени­ем, что «цена целиком зависит от полезности», и далее продол­жает: «...нам нужно только тщательно проследить естественные за­коны изменения полезности в зависимости от количества принад­лежащих нам предметов потребления, чтобы получить удовлетво­рительную теорию обмена».

Фактически это обращение к кардинальной идее Даниила Бер-нулли о том, что полезность чего-либо зависит от количеств того же самого, которые уже нам принадлежат. Дальше Джевонс до­полняет это обобщение фразой в духе истинного джентльмена Вик­торианской эпохи: «Чем утонченнее и интеллектуальнее становят­ся наши запросы, тем менее возможно пресыщение».

Джевонс был уверен, что он разрешил проблему ценности ут­верждением, что возможность количественного представления лю­бого отношения делает неуместными неопределенные обобщения, использовавшиеся до него экономической наукой. Он отмахнулся от проблемы неопределенности, заявив, что достаточно использо­вать вероятности, полученные из накопленного опыта и наблюде­ний: «Проверка правильности оценки вероятностей заключается в выяснении, насколько вычисления в среднем совпадают с факта­ми... Мы выполняем вычисления такого рода более или менее ак­куратно во всех обычных житейских ситуациях».

Джевонс уделяет много страниц своей книги описанию усилий предшественников, направленных на использование математичес­ких методов в экономической науке, хотя даже не упоминает о ра­боте Бернулли. Зато он не оставляет никаких сомнений относи­тельно собственных достижений в этом направлении:

Кто до Паскаля думал об измерении сомнения и уверенности? Кто мог предположить, что изучение ничтожных азартных игр может привести к созданию самой, пожалуй, утонченной ветви математической науки — теории вероятностей?

Теперь ни у кого не может возникнуть сомнения в том, что удовольст­вие, боль, труд, полезность, ценность, богатство, деньги, капитал и т. д. — это всё понятия, подлежащие квантификации; более того, все наши дей­ствия на поприще промышленности и торговли, несомненно, зависят от сравнения количеств выгоды и ущерба.

Удовлетворенность Джевонса своими достижениями отражала характерное для Викторианской эпохи увлечение измерениями. Кван-тифицировались всё новые и новые аспекты действительности. Подъем научных исследований, вызванный запросами Промышленной рево­люции, добавил мощный импульс этой тенденции.

Первая систематическая перепись населения была проведена в Британии уже в 1801 году, а использование статистики в страхо­вом деле, непрерывно совершенствуясь, делалось повсеместным. Многие здравомыслящие мужчины и женщины обратились к соци­ологическим измерениям в надежде на избавление от болезней ин­дустриализации. Они намеревались улучшить жизнь в трущобах, бороться с преступностью, неграмотностью и пьянством среди об­нищавших слоев общества.

Однако некоторые попытки применить измерения полезности для исследования и совершенствования общества отличались пре­дельной непрактичностью. Фрэнсис Эджворт (Edgeworth), например, современник Джевонса и изобретательный экономист-математик, додумался до предложения разработать измеритель наслаждения — гедониметр, а уже в середине 1920-х годов блистательный молодой математик из Кембриджа Фрэнк Рэмси (Ramsay) изучал возмож­ность создания психогальванометра.

Некоторые викторианские деятели протестовали против такого бурного развития измерений с привкусом материализма. В 1860 го­ду, когда Флоренс Найтингейл после консультаций с Гальтоном и другими предложила профинансировать создание кафедры приклад­ной статистики в Оксфорде, она получила категорический отказ. Морис Кенделл (Kendall), крупный статистик и историк статистики, заметил по этому поводу: «Кажется, наши главные университеты всё еще бормотали со своих башен последние колдовские заклинания Средневековья... После тридцати лет борьбы Флоренс сдалась» 1)6.1' (Флоренс Найтингейл описывается Эдвардом Гуком, одним из ее биографов, как «страстный статистик». Неутомимая собирательница данных в традициях Гальтона, она была также восторженным почитателем работы Кветеле, которая побудила ее к написанию книги по медицинской и другим разделам социальной статистики. См.: [Kendall, Plackett, 1977, с. 310-327].)

Но стремление привнести в социальные науки ту же степень квантификации, какая воцарилась в естественных науках, с тече­нием времени становилось все сильнее и сильнее. Экономисты по­степенно усваивали словарь естественных наук. Джевонс, например, говорил о «механике» пользы и своекорыстия. Понятия равновесия, инерции, давления и функции стали общими для естествознания и экономической науки. В наше время представители мира финансов пользуются такими терминами, как финансовое конструирование, нейронные сети и генетические алгоритмы.

Заслуживает внимания другой экономический аспект книги Дже-вонса. Как человек искушенный в естественных науках, он не мог не заметить того, что бросалось в глаза, — хозяйственная деятельность испытывала колебания. В 1873 году, как раз через два года после опубликования «Теории политической экономии», экономический бум, который продолжался в Европе и Соединенных Штатах более двадцати лет, пошел на убыль. Деловая активность постоянно пада­ла в течение трех лет. В 1878 году объем промышленного производ­ства в США только на 6% превысил уровень 1872 года. В течение последующих 23 лет цены на товары и услуги в США падали почти непрерывно и снизились на 40%, что вызвало большие экономи­ческие трудности в Западной Европе и Северной Америке.

Не привел ли Джевонса этот разорительный опыт к постановке вопроса о том, способна ли экономика неизменно оставаться на оп­тимальном уровне производства и занятости, как уверяли Рикардо и его последователи? Ничуть не бывало. Вместо этого он выступил с теорией циклов деловой активности, основанной на влиянии сол­нечных пятен на погоду, погоды на урожайность и урожайности на цены, заработную плату и уровень занятости. Для Джевонса ис­точник бед на небесах и на земле, а не в философии.

Теории о том, как люди принимают решения и делают выбор, казалось, стали отдаляться от повседневной жизни в реальном ми­ре. Однако эти теории господствовали около ста лет. Даже во вре­мена Великой депрессии еще сохранялась точка зрения, будто ко­лебания экономики — это скорее своего рода случайность, нежели явление, внутренне присущее экономической системе, действую­щей в условиях риска. Обещанное Гувером в 1930 году процвета­ние, до которого якобы рукой подать, отражало его веру в то, что Великий крах был вызван скорее преходящими случайными от­клонениями, нежели структурными изъянами экономической сис­темы. В 1931 году сам Кейнс еще проявлял унаследованный от Викторианской эпохи оптимизм, когда выражал свою «...глубокую убежденность в том, что Экономические Проблемы... не что иное, как страшная неразбериха, мимолетная и ненужная неразбериха»* [курсив Кейнса. — П. Б.].



Глава 12

Мера нашего незнания

Наши надежды на измерения часто нас подводят, и мы отка­зываемся от них. «Прошлой ночью они убили слона». В та­ких ситуациях мы ссылаемся на случай, счастливый или несчастливый.

Если бы все зависело только от случая, управлять риском было бы невозможно. Уповая на случай, мы отделяем событие от его причины и уходим от истины.

Сказать, что кому-то не повезло, значит снять с него всякую ответственность за то, что произошло. Сказать, что кому-то повез­ло, значит отказать ему в признании заслуг, которые могли приве­сти к счастливому результату. Но вправе ли мы так говорить? Судьба или выбор поведения решили исход дела?

Мы никогда не сможем ответить ни на вопрос, какова наша заслуга в том, чего мы достигли, ни на вопрос, как мы этого до­стигли, пока не научимся отличать поистине случайные события от событий, являющихся результатом причинно-следственной свя­зи. Рискуя, мы ставим на исход, становящийся результатом при­нятого нами решения, хотя сам результат в точности нам неизве­стен. Сущность управления риском состоит в максимизации на­бора обстоятельств, которые мы можем контролировать, и ми­нимизации набора обстоятельств, контролировать которые нам не удастся и в рамках которых связь причины и следствия от нас скрыта.

Что же мы понимаем под случаем? Лаплас, например, вообще не допускал его существования. В своем «Essai philosophique sur les probabilites» («Опыте философии теории вероятностей») он заявил:

Настоящее связано с прошлым узами, основанными на всеобщем принципе, утверждающем, что ни одна вещь не может произойти без причины, ее породившей. <...> Все события, даже те, которые вслед­ствие их незначительности не представляются нам следующими вели­ким законам природы, подчиняются им с той же необходимостью, с какой всходит и заходит солнце1.

Это утверждение перекликается с замечанием Якоба Бернулли о том, что, если бы удалось повторить все события с начала мира, мы бы обнаружили, что каждое из них имеет «определенную при­чину» и что даже события, которые нам представляются скорее случайными, были предопределены «некоей необходимостью или, так сказать, СУДЬБОЙ». Де Муавр называл это БОЖЕСТВЕННЫМ ПРЕДНАЧЕРТАНИЕМ. Лаплас, предположивший существование «бес­конечного разума», способного к постижению всех причин и следст­вий, отвергал саму идею неопределенности. В духе своего времени он пророчил, что человечество сможет достигнуть того же уровня постижения причинно-следственной связи событий, который уже был достигнут к тому времени в астрономии, механике, геометрии и теории тяготения. Он приписывал эти достижения «особенности, свойственной только человеческой расе, которой предопределено господство над всем живым и степень совершенствования в кото­рой определяет различие между веками и нациями и составляет их славу»2.

Тем не менее Лаплас допускал, что в некоторых случаях трудно найти причину там, где кажется, что ее нет, и предостерегал от тенденции непродуманно приписывать определенную причину со­бытиям в тех случаях, когда действуют только вероятностные за­коны. Он приводил такой пример: «На столе мы видим буквы, по­рядок расположения которых образует слово КОНСТАНТИНОПОЛЬ, и не считаем это расположение случайностью. Однако, не будь этого слова ни в одном языке, мы не смогли бы даже заподозрить, что у этого расположения букв есть вполне определенная причина»3. Ес­ли бы эти же буквы оказались расположены на столе случайно, например СТНОЬОАКОИПЛТНН, мы не придали бы этому факту никакого значения, хотя вероятность такого случайного расположе­ния равна вероятности случайного расположения букв, образую­щих слово КОНСТАНТИНОПОЛЬ. Мы бы удивились, если бы из бу­тылки с 1000 чисел вытащили бы число 1000, хотя вероятность вынуть 427 точно так же равна Viooo- «Чем необычней событие, — заключает Лаплас, — тем больше ощущаемая нами необходимость найти ему точное объяснение»4.

В октябре 1987 года котировки на фондовом рынке упали более чем на 20%. Такое падение за один месяц наблюдалось с 1926 года в четвертый раз, но в 1987 году этому не было никаких видимых причин. Среди специалистов до сих пор нет согласия в том, что вызвало это падение. Ясно, что причина должна быть, но она неиз­вестна. Несмотря на крайнюю необычность этого события, никто не смог строго объяснить его происхождение.

Другой французский математик, родившийся на сто лет позже Лапласа, придал добавочный акцент концепции причинно-следствен­ной связи и важности информации при принятии решений. Жюль Анри Пуанкаре (1854-1912) был, по словам Джеймса Ньюмена,

...крупный французский ученый, до ужаса похожий на маститого фран­цузского ученого. Он был короток и толст, с огромной головой, густой окладистой бородой и великолепными усами, близорук, сутуловат, рас­сеян, говорил непонятно и носил пенсне на черной шелковой ленте5.

В детстве Пуанкаре пополнил число математических вундеркин­дов, о которых уже шла речь, а потом стал ведущим математиком Франции своего времени.

Тем не менее он совершил большую ошибку, недооценив до­стижения студента по имени Луи Башелье (Bachelier), защитивше­го в 1900 году в Сорбонне диссертацию на тему «Теория спекуля­ции»6. В отзыве на эту диссертацию он с неудовольствием отметил: «Месье Башелье обладает острым и точным умом, но тема его ра­боты как-то отклоняется от того, чем имеют обыкновение зани­маться другие наши кандидаты». Диссертация получила оценку «успешно» (mention honorable) вместо высшей оценки «весьма ус­пешно» (mention tres honorable), что было важно для получения приличного места в академических учреждениях. Башелье такого места не получил никогда.

Прошло больше пятидесяти лет, прежде чем эта диссертация случайно увидела свет. Юношески свежее, каким был в то время его автор, математическое описание процесса формирования цен на государственные облигации, выпущенные французским правительст­вом, на пять лет опередило открытие Эйнштейна о движении элект­ронов, которое в свою очередь подготовило почву для теории слу­чайных блужданий в научном осмыслении финансовой деятельно­сти. Более того, это описание процесса спекуляции предвосхитило многие теории, описывающие нынешнее положение на финансовом рынке. Mention honorablel

Центральной идеей диссертации Башелье было следующее вы­сказывание: «Для спекулянта математическое ожидание равно нулю». Выводы из этой исходной идеи сегодня применяются повсеместно — в стратегии торговли, в использовании производных ценных бумаг и в самой изощренной технике управления портфелями ценных бумаг. Несмотря на внешнюю невозмутимость, Башелье знал, что он наткнулся на что-то очень ценное. «Очевидно, — писал он, — что дан­ная теория спекуляции разрешает большую часть проблем с помо­щью исчисления вероятностей».

Но вернемся к строгому рецензенту Башелье. Подобно Лапласу, Пуанкаре верил, что все имеет свою причину, хотя простые смерт­ные не способны постичь все причины всех происходящих собы­тий. «Бесконечный разум, бесконечно информированный о законах природы, смог бы предвидеть все начала мира. Если бы такой ра­зум существовал, нам не следовало бы играть с ним в азартные иг­ры, потому что мы бы всегда проигрывали»7.

Чтобы подчеркнуть всесилие причинно-следственной связи, Пуан­каре предлагает представить себе мир без нее. Он ссылается на фан­тазию, предложенную Камилем Фламмарионом, французским аст­рономом того времени, который предложил рассмотреть путешест­вие человека в пространстве со скоростью, большей скорости света:

Для него время изменит направление [с положительного на отрицатель­ное]. История повернется вспять, и Ватерлоо случится раньше Аустер­лица... Все будет казаться ему своего рода хаосом в состоянии неустой­чивого равновесия. Все в мире покажется сплошной случайностью8.

В мире причинно-следственных связей знание причин позволя­ет предсказать следствия. Поэтому «случайное для несведущего не случайно для ученого. Случайное — это мера нашего незнания»9.

Но затем Пуанкаре задается вопросом, удовлетворительно ли такое определение случайности. В конце концов, мы ведь все-таки можем предсказывать будущее на основе теории вероятностей. Пусть невозможно с точностью предсказать, какая команда побе­дит в бейсбольном турнире, но с помощью треугольника Паскаля было показано, что команда, проигравшая первую игру, может по­бедить в четырех играх раньше, чем их соперники выиграют три игры, с вероятностью 22/б4- Мы знаем, что есть один шанс из шести за то, что при бросании кости выпадет 3. Синоптики предсказыва­ют на завтра дождь с вероятностью 30%. Башелье показывает, что вероятность повышения котировок акций на следующих торгах равна точно 50%. Пуанкаре указывает, что директор страховой компании не знает время смерти каждого своего клиента, но «он полагается на вычисление вероятности и на закон больших чисел, и он не обманывается, поскольку выплачивает дивиденды своим акционерам»10.

Пуанкаре обращает внимание на то, что некоторые события, ко­торые кажутся случайными, на самом деле таковыми не являются, просто их причины малозаметны. Поставленная на ребро монета свалится при малейшем нарушении симметрии, а если такого на­рушения нет, будет оставаться в состоянии неустойчивого равнове­сия, пока не свалится «от малейшей вибрации или дуновения воз­духа». Именно этим Пуанкаре объяснял, почему в его время си­ноптики так редко правильно предсказывали погоду:

Многие считают совершенно естественным молиться, чтобы полил дождь или выглянуло солнце, но считают нелепым вымаливать затмение... Стоит чему-то измениться на одну десятую, и ураган направляется ту­да, а не сюда, и он бушует над странами, которые мог бы обойти сто­роной. Мы могли бы это предвидеть, если бы .знали про эту десятую, но... всё списываем на случай11.

Даже вращение колеса рулетки и бросание кости дает различ­ные результаты в зависимости от силы, приводящей их в движение. Неспособные зафиксировать эти малейшие различия, мы предпола­гаем, что их результаты случайны и непредсказуемы. «Поэтому коло­тится мое сердце, и я надеюсь только на удачу», — писал Пуанкаре12.

Не так давно возникшая теория хаоса базируется на сходном предположении. Согласно этой теории, большая часть явлений, представляющихся хаотичным набором случайностей, есть прояв­ление скрытого от нас порядка и мельчайшие возмущения в нем часто оказываются причиной предустановленных крахов и устой­чивого процветания рынков. 10 июля 1994 года в газете «The New York Times» появилось сообщение о фантастическом применении теории хаоса ученым из Беркли Джеймсом Кратчфилдом (Crutchfield), который с помощью компьютерных вычислений «установил, что гравитационное поле электрона, беспорядочно движущегося на гра­ницах Млечного Пути, может повлиять на результат бильярдной игры на Земле».

Лаплас и Пуанкаре обратили внимание на то, что нам зачастую недостает информации для применения теории вероятностей. Во время одной научной конференции по инвестированию приятель прислал мне следующую записку:

Информация, которая у вас есть, не та, которую вы хотели бы иметь. Информация, которую вы хотели бы иметь, не та, которая вам нужна. Информация, которая вам нужна, не та, которую вы можете получить.

Информация, которую вы можете получить, стоит дороже, чем вы мо­жете заплатить.

Мы можем собрать много или мало информации, но мы никогда не сможем собрать всю информацию. Более того, мы никогда не можем быть уверены в качестве собранной информации. Эта нео­пределенность делает сомнительными суждения и рискованными основанные на них действия. Мы не можем предсказать со стопро­центной уверенностью даже завтрашний восход солнца: древние, которые предсказывали это событие, сами имели дело с ограничен­ной выборкой из истории мироздания.

При нехватке информации мы прибегаем к индуктивным рас­суждениям и пытаемся угадать возможные шансы. Джон Мейнард Кейнс в работе по теории вероятностей пришел к заключению, что статистические концепции часто оказываются бесполезными: «Меж­ду данными и событием есть определенная связь, но ее не всегда можно измерить»13.

Индуктивные рассуждения приводят нас к некоторым курьез­ным выводам, когда мы пытаемся совладать с неопределенностью и риском. Наиболее впечатляющее исследование этого феномена выполнено нобелевским лауреатом Кеннетом Эрроу. Эрроу родился во время Первой мировой войны и вырос в Нью-Йорке в тот пери­од, когда город был центром интеллектуальной деятельности и оживленных дискуссий. Он посещал школу и городской универси­тет, а затем стал преподавателем в Гарварде и Стэнфорде. Сейчас он заслуженный профессор в Стэнфорде по двум кафедрам — иссле­дованию операций и экономической теории.

С самого начала Эрроу пришел к заключению, что в большинстве своем люди переоценивают информацию, которая им доступна. Не­способность экономистов установить причины Великой депрессии в свое время убедили его, что их знание экономики было «очень огра­ниченно». Его опыт работы в метеорологической службе военно-воз­душных сил во время Второй мировой войны «добавил убежденности в том, что мир природы также непредсказуем»14. Здесь я привожу полностью отрывок, который частично цитировал во введении:

Наши знания о ходе дел в обществе и в природе тонут в тумане нео­пределенности. Вера в определенность — будь это вера в историческую неизбежность, в прочность системы международных договоров или в экстремальные приемы экономической политики — бывала причиной многих бед. При выработке политических решений, оказывающих ши­рокое влияние на жизнь отдельных людей или общества в целом, необ­ходима особая осторожность, потому что нам не дано предугадать по­следствия»15.

Один случай, который произошел с Эрроу во время войны, ког­да он занимался предсказанием погоды, является хорошей иллюс­трацией и неопределенности, и нежелания людей осознавать ее. Группе офицеров-метеорологов была поручена работа по предсказа­нию погоды на месяц вперед, но Эрроу и его статистики полагали, что эти долгосрочные прогнозы ничуть не лучше гадания на ко­фейной гуще. Метеорологи согласились с этим и попросили руко­водство освободить их от этой работы. Им ответили: «Командующе­му хорошо известно, что прогнозы никуда не годятся. Но они ему необходимы для планирования операций»16.

В одной из своих работ, посвященных риску, Эрроу задается вопросом, почему многие из нас время от времени играют в азарт­ные игры и почему мы регулярно оплачиваем взносы за страховые полисы. Математические вероятности убеждают в том, что в обоих случаях это простая потеря денег. В случае игры с точки зрения статистики можно рассчитывать разве что остаться при своих (хотя можно и выиграть); в случае страховки деньги, которые мы платим, стоят большего, чем вероятность пожара в нашем доме или кражи наших бриллиантов.

Почему же мы все-таки втягиваемся в эти убыточные предпри­ятия? Дело в том, что мы склонны смириться с большой вероятно­стью незначительного проигрыша в надежде на малую вероятность много выиграть; во всяком случае, для большинства игра — это скорее развлечение, чем риск. Мы покупаем страховой полис, по­тому что не можем рисковать потерей нашего дома от огня или преждевременной утратой трудоспособности. Это означает, что мы предпочитаем игру, в которой с вероятностью почти 100% проиг­рываем помалу (выплачиваемая страховая премия), но с очень ма­лыми шансами большого выигрыша (если разразится катастрофа), игре с определенным малым выигрышем (сэкономить расходы на страховку), но с неопределенными, однако потенциально разруши­тельными последствиями для нас и наших близких.

Эрроу получил Нобелевскую премию за исследования, посвя­щенные воображаемой страховой компании или любой другой орга­низации, принимающей на себя чужие риски, которая, оперируя на «совершенном рынке», принимала бы на себя страхование от потерь любого сорта и любых размеров. Мир, считал он, был бы совершен­нее, если бы мы могли застраховаться от любой возможности. Тог­да люди охотнее бы шли на риск, без которого невозможен эконо­мический прогресс.

Часто у нас не оказывается возможности провести нужное ко­личество испытаний или получить выборку, достаточную для ис­пользования законов вероятности в процессе принятия решения, и приходится принимать решения, подбрасывая монетку десять раз, а не сто. При отсутствии страховки почти любой исход кажется случайным. Страхование, объединяя риски многих людей, позво­ляет каждому наслаждаться преимуществами, создаваемыми дей­ствием закона больших чисел.

На практике страхование возможно только в условиях, при ко­торых этот закон выполняется. Закон требует, чтобы число стра­хующихся от риска было велико, а сами риски были независимы друг от друга, подобно результатам подбрасывания монетки.

На самом деле эта «независимость» имеет несколько аспектов. Она означает, например, что причина пожара должна быть незави­сима от действий держателя страхового полиса. Она также означа­ет, что страхуемые риски не должны быть зависимы друг от друга, подобно тому как изменение котировки какой-либо акции зависит от общего падения на рынке или как война бывает причиной мно­гих одновременных разрушений. Наконец, она означает, что стра­хование возможно только в том случае, когда есть надежные спо­собы оценить вероятность наступления страхового случая, — огра­ничение, которое исключает возможность страховать от опасности, что новое направление моды вообще не привьется или что страна ввяжется в войну в ближайшие десять лет.

Это значит, что число рисков, против которых можно застрахо­ваться, меньше числа рисков, с которыми нам приходится иметь де­ло. Мы часто сталкиваемся с возможностью сделать неверный вы­бор, чтобы потом горько сожалеть об этом. Деньги, что мы платим страховым компаниям, только один из видов определенных умерен­ных трат, на которые мы идем, чтобы избежать возможности нео­пределенных больших утрат, и мы порой прилагаем громадные уси­лия, чтобы предотвратить возможность ошибочного выбора. Кейнс однажды спросил: «Почему не только сумасшедшие хотят владеть наличными деньгами?» И сам же ответил: «Обладание наличными деньгами избавляет от тревоги; и премия, которую мы требуем за расставание с деньгами, — это мера нашей тревоги»17.

В бизнесе при заключении сделки подписывают контракт или ударяют по рукам. Эти формальности определяют наше поведение в будущем, даже если ситуация изменится и мы пожалеем, что за­ключили именно такое соглашение. В то же время они защищают нас от ущерба, который нам могли бы нанести партнеры по кон­тракту. Фирмы, производящие товары с нестабильными ценами, та­кие, как зерно или золото, защищают себя от потерь, заключая то­варные фьючерсные контракты, позволяющие им продать свою про­дукцию еще до того, как она будет произведена. Они отказываются от возможности продать позже по более высокой цене, чтобы избе­жать неопределенности относительно будущей цены.

В 1971 году Кеннет Эрроу вместе со своим коллегой экономистом Фрэнком Ханом (Hahn) указал на соотношение между деньгами, контрактами и неопределенностью. Контракты не должны состав­ляться в терминах денег, «если речь идет об экономике без про­шлого или будущего»18. Но прошлое и будущее для экономики — это то же самое, что уток и основа для ткани. Мы не принимаем ре­шений без учета прошлого, о котором можем судить с некоторой степенью определенности, и будущего, о котором не можем сказать ничего определенного. Контракты и наличные деньги защищают нас от нежелательных последствий, даже когда мы плаваем в том са­мом тумане, о котором говорил Эрроу.

Некоторые люди стараются избежать неопределенности другим путем. Они звонят и заказывают лимузин, чтобы избежать риска, со­здаваемого поездкой в такси или на общественном транспорте. У се­бя дома они устанавливают охранную сигнализацию. Борьба с нео­пределенностью — дорогое удовольствие.

Идея Эрроу о совершенном рынке основана на его понимании ценности человеческой жизни. «По-моему, главный элемент хорошего общества, — писал он, — идея, что каждый в центре... Эти принци­пы подразумевают общую преданность свободе... Повышение эконо­мического положения и возможностей... является базовым компо­нентом увеличения свободы»19. Но страх потери часто сковывает наш выбор. Именно поэтому Эрроу приветствует систему страхова­ния и другие средства распределения рисков вроде товарных фью­черсных контрактов и публичных рынков для акций и облигаций. Наличие этих институтов поощряет инвесторов держать диверси­фицированные портфели активов, а не складывать все яйца в одну корзину.

Впрочем, Эрроу предостерегает, что полное устранение стра­ха перед риском может создать благодатную почву для антисо­циального поведения. Например, федеральная система страхования вкладов в ссудосберегательных ассоциациях сделала их владель­цев безответственными: они могли много заработать, если дела шли хорошо, и мало чем рисковали, если дела шли плохо. Когда в 1980-х годах дела пошли плохо, расплачиваться пришлось на­логоплательщикам. Любая страховка является источником той или иной моральной опасности — в виде безответственности, без­заботности и т. п.(Есть и другая сторона медали. Риск часто выполняет роль стимулятора. Без него общество могло бы впасть в вечную дремоту).

Между Лапласом и Пуанкаре, с одной стороны, и Эрроу и его современниками, с другой, огромная разница. После катастрофы Первой мировой войны улетучились мечты о том, что когда-нибудь человечество будет знать все, что нужно знать, и определенность вытеснит неопределенность. Вместо этого бурный рост знаний сде­лал жизнь еще более неопределенной, а мир еще более сложным для понимания.

В свете этого Эрроу является самым современным из персона­жей нашей истории. Его интересует не то, как работают вероятно­стные законы и как наблюдения сходятся к среднему. Его интере­сует, как мы принимаем решения в условиях неопределенности и как живем с решениями, которые приняли. Он подводит нас к бо­лее осмысленному взгляду на то, как люди маневрируют между риском, который им уготован судьбой, и риском, который они выбирают сами. Уже авторы «Логики» Пор-Рояля и Даниил Вернул-ли осознавали будущее направление анализа риска, но именно Эр-роу следует считать отцом концепции управления риском как осознанной формы искусства жизни.

Понимание стратегии риска как искусства жизни покоится на простом стереотипе с далеко ведущими выводами: когда наш мир создавался, никто не вспомнил, что его надо снабдить определен­ностью. Мы никогда ни в чем не уверены; мы всегда остаемся в некотором неведении. Большая часть информации, которой мы обладаем, неточна или неполна.

Предположим, незнакомка предлагает вам сыграть в орлянку. Она уверяет, что монете, которую она предлагает для игры, можно верить. Как узнать, правда ли это? Вы решаете, прежде чем согла­ситься на игру, подбросить монетку десять раз.

Если восемь раз выпадет орел и два раза решка, вы говорите, что у монеты смещен центр тяжести. Незнакомка дает вам учебник ста­тистики, и вы узнаёте, что ваш односторонний результат может по­лучиться в одном из девяти испытаний по десять бросков в каждом.

Стараясь держать себя в руках, вы обращаетесь к учению Якоба Бернулли и требуете время, чтобы испытать монету в ста бросках. И в восьмидесяти случаях выпадает орел! Учебник по статистике сообщает, что вероятность выбросить орла восемьдесят раз из ста пренебрежимо мала. Она близка к одной миллиардной!

Однако и теперь у вас нет стопроцентной уверенности в том, что монета жульническая. Такую уверенность вы не получите никогда, даже если будете бросать монету всю оставшуюся жизнь. Тем не менее достаточно и одной миллиардной, чтобы признать незнаком­ку мошенницей, хотя всегда останется вероятность того, что вы со­вершили несправедливость по отношению к даме. Ведь вероятность правды не есть правда, как сказал Сократ, и практическая досто­верность — это меньше, чем достоверность, как сказал Бернулли.

В условиях неопределенности выбор осуществляется не между принятием гипотезы и отказом от нее, а между отказом и неотка­зом. Вы можете решить, что вероятность вашей неправоты так ма­ла, что не следует отказываться от гипотезы. Вы можете решить, что вероятность вашей неправоты так велика, что вы должны от­казаться от гипотезы. Но если вероятность того, что вы не правы, не равна нулю, вы не можете принять гипотезу.

Эта принципиальная позиция отделяет обоснованное научное ис­следование от шарлатанства. Гипотеза является обоснованной и на­учной, если она фальсифицируема, иными словами, если она допус­кает проверку, по результатам которой может быть отвергнута, и ве­роятность такого исхода должна быть измеримой. Утверждение «Он симпатичный человек» слишком неопределенно, чтобы его можно было проверить. Утверждение «Этот человек не ест шоколад после каждой еды» фальсифицируемо, поскольку мы можем выяснить, ел ли этот человек шоколад после каждой еды в прошлом. Если факты покрывают только неделю, вероятность того, что мы можем отверг­нуть гипотезу (мы сомневаемся в том, что он не ест шоколад после каждой еды), выше, чем если бы речь шла о годе. Если бы не нашлось свидетельство того, что этот человек регулярно ел шоколад, мы бы не отвергли гипотезу. Но даже не отвергнув гипотезу по отношению к длительному периоду прошлого, мы не можем быть уверены, что в будущем человек не начнет есть шоколад после каждой еды. Коль скоро мы не провели каждую минуту его жизни с ним вместе, мы не можем быть уверены в том, что он никогда в прошлом не ел шоко­лад после каждой еды.

Уголовные процессы дают полезный пример этого принципа. В на­шей системе права подсудимый не должен доказывать свою невинов­ность, поскольку судебное разбирательство основывается на принципе презумпции невиновности. Гипотеза заключается в том, что обвиняе­мый виновен, и задача обвинения — убедить присяжных, что они не должны отвергать эту гипотезу. Защита стремится просто убедить присяжных в наличии достаточных оснований для сомнения в обо­снованности обвинения, чтобы гипотеза была отвергнута. Вот почему приговор суда всегда однозначен: «виновен» или «невиновен».

Зал заседаний суда предназначен не только для проверки гипотез и жарких споров о степени неопределенности, оправдывающей ре­шение их отвергнуть. Степень неопределенности сама не предопре­делена законом. В конце концов мы должны принять субъективное решение о том, какая степень неопределенности приемлема для нас, и только потому мы сможем составить собственное мнение о деле.

Например, менеджеры взаимных фондов встречаются с двумя ви­дами риска. Первый — это очевидный риск неэффективного управ­ления активами фонда. Второй — риск не дотянуть до определенных критериев, известных потенциальным инвесторам.

Приведенная диаграмма20 показывает сумму годового доналогового дохода по акциям (дивиденды плюс изменение цены акций) с 1983-го по 1995 год акционеров American Mutual Fund, одного из старей­ших и крупнейших взаимных инвестиционных фондов. На диаграмме доходность акций фонда показана линией с точками, а столбцы показывают эффективность индекса Standard & Poor's 500.

Доходность American Mutual и S & Р 500, 1983-1995 гг.

Хотя доходность American Mutual близка к показателю для S&P 500, но только три года из тринадцати American Mutual имел доходность выше, чем S&P 500, — в 1983-м и 1993 годах, когда его доходность поднялась выше, чем у S&P 500, и в 1990 году, когда падение оказалось меньшим. В течение десяти лет акции American Mutual приносили прибыль, равную или чуть меньшую, чем ин­декс S & Р 500.

Было ли это следствием меньшей удачливости, или менеджеры American Mutual оказались недостаточно квалифицированными, чтобы превзойти показатели неуправляемого конгломерата акций S & Р 500? Стоит отметить, что, поскольку показатели American Mutual ока­зались менее изменчивыми, чем показатели S&P 500, они отста­вали от последних в течение двенадцати лет из тринадцати, когда рынок в целом возрастал. Показатели фонда могут выглядеть на­много предпочтительнее в годы, когда на рынке наблюдается падение или стабильность.

Тем не менее строгий математический анализ этих данных по­казал, что менеджеры American Mutual, по-видимому, сработали не наилучшим образом21. Можно с вероятностью лишь 20% утвер­ждать, что результаты фонда объясняются случайными факторами. Иными словами, есть основания утверждать, что, если бы у нас была возможность проверки в пяти тринадцатилетних периодах, мы бы обнаружили, что American Mutual превзошел бы S & Р 500 в четырех из них.

Многие наблюдатели будут настаивать, что тринадцать лет — слишком малый срок для таких широких обобщений. Кроме того, 20% вероятности — это не так уж мало, хотя, конечно, меньше, чем 50%. В мире финансов принято считать, что утверждение ста­тистически значимо (современный эквивалент практической досто­верности), если вероятность его соответствия истине не менее 95%. Якоб Бернулли говорил, что 1000 шансов из 1001 достаточно для признания практической достоверности утверждения; мы удовлет­воряемся вероятностью 95%.

Но если мы не можем получить 95% уверенности в чем-либо на основе только двенадцати наблюдений, сколько наблюдений нам нужно? Строгий математический анализ показывает, что нам нужно сравнить показатели American Mutual и S&P 500 приблизительно за тридцать лет, прежде чем мы сможем с 95% уверенности утверж­дать, что более низкая доходность фонда не была результатом слу­чайности. Поскольку такая проверка практически невозможна, луч­ше допустить, что менеджеры American Mutual работали, быть мо­жет, и неплохо — их результаты приемлемы в этой ситуации.

На следующей диаграмме совсем другая картина. Здесь пред­ставлены данные о доходности небольшого агрессивного фонда AIM Constellation. Этот фонд был в данном периоде намного более из­менчив, чем S&P 500 и American Mutual. Заметьте, что вертикаль­ная ось на этой диаграмме вдвое выше, чем на предыдущей. У AIM неудачным был 1984 год, но в течение пяти других лет он имел значительно более высокую доходность, чем S&P 500. Общая до­ходность AIM за эти тринадцать лет составила 19,8% против 16,7% у S&P 500 и 15% у American Mutual.

Что это — везение или уменье? Доходность AIM намного выше, чем у индекса S&P 500, но сильные колебания доходности фонда затрудняют ответ на этот вопрос. К тому же колебания AIM не столь точно следовали за колебаниями доходности S&P 500, как это было в случае American Mutual: доходность AIM упала в тот год, когда ак­ции S&P 500 росли, а в 1986 году AIM заработал столько же, сколько в 1985-м, в то время как доходность S&P 500 снизилась. Динамика доходности настолько хаотична, что очень сложно предсказать поведе­ние акций этого фонда, даже если бы удалось в порядке чуда доста­точно точно предсказать поведение индекса S & Р 500.



AIM Constellation, S&P 500

Доходность AIM Constellation и S & P 500, 1983-1995 гг.

Наш математический анализ показал, что из-за сильной неу­стойчивости и слабой корреляции приходится признать, что в случае с AIM, как и в случае с American Mutual, результаты в значительной мере следует приписать случаю. На самом деле, чтобы с 95%-ной уверенностью сказать, что показатели фонда AIM не являются ре­зультатом удачи, нужно проследить за его деятельностью в течение столетия. В терминах управления риском это равносильно утверж­дению, что менеджеры AIM, пожалуй, часто шли на чрезмерный риск в своем стремлении обыграть рынок.

Многие противники курения беспокоятся о вредном воздействии табачного дыма на окружающих и выступают за запрещение куре­ния в общественных местах. Каков риск заполучить рак легких, если кто-нибудь курит за соседним столом в ресторане или на соседнем сиденье в самолете? Согласитесь ли вы смириться с этим риском или настоите на немедленном прекращении курения рядом с вами?

В январе 1993 года Министерство по охране окружающей среды выпустило отчет на 510 страницах под зловещим заголовком «Респираторные эффекты пассивного курения: рак легких и другие заболевания»22. Год спустя Кэрол Браунер, директор агентства по охране окружающей среды, выступила перед комитетом конгресса с предложением провести законопроект, предусматривающий ряд мер, направленных на запрещение курения в общественных здани­ях. Браунер утверждала, что ее рекомендации обосновываются со­держащимся в отчете заключением о том, что пассивное курение (ПК) — это «известная причина рака легких»23.

А насколько это «известно», по крайней мере относительно ок­ружающих? Каков риск заболевания раком от нахождения рядом с курильщиком?

Есть только один способ попытаться точно ответить на этот вопрос — проверить всех, кто находился рядом с курильщиками с момента их появления несколько сот лет назад. Но даже если бы такая проверка и подтвердила связь между так называемым пас­сивным курением и раком легких, не было бы доказано, что имен­но оно было причиной рака.

Практическая невозможность тестирования всех, всего, повсюду и по всему историческому периоду, связанному с курением табака, делает все результаты научных исследований неопределенными. То, что похоже на строгую связь, может оказаться не чем иным, как ре­зультатом лотереи, в которой разные наборы выборок из разных пе­риодов, или разных мест, или разных групп людей из того же пери­ода или того же места могут принести противоположные результаты.

Только одно мы знаем точно: вероятность совпадения (не при­чинно-следственной связи) двух фактов — тесного общения с ку­рильщиками и заболеваемости раком легких — меньше 100%. Раз­ница между 100% и действительным значением вероятности — это вероятность того, что пассивное курение может не иметь отноше­ния к раку легких и что подобные факты не обязательно выявятся в другой выборке. Риск умереть от рака легких из-за курящих в вашем присутствии людей сводится к набору шансов так же, как и в случайных играх.

Большинство исследований, подобных анализу связи между пассивным курением и заболеванием раком легких, сводится к сравнению результатов обследования групп людей, подвергающих­ся влиянию исследуемого фактора, с результатами обследования контрольной группы, члены которой не подвергаются такому влиянию. Когда тестируется большинство новых лекарств, одной груп­пе больных дают лекарство, а другой группе — плацебо, т. е. впол­не нейтральные вещества того же внешнего вида, после чего срав­нивают результаты.

В случае пассивного курения анализировались случаи рака лег­ких у некурящих женщин, живущих с курящими мужчинами. Контрольную группу составили из заболевших раком легких неку­рящих женщин, живущих с некурящими мужчинами. Отношение результата, полученного в ходе обследования группы, испытавшей воздействие исследуемого фактора, к результату, полученному в контрольной группе, не испытавшей такого воздействия, называет­ся статистикой тестирования. Абсолютная величина статистики тестирования и степень неопределенности кладется в основу реше­ния о необходимости тех или иных действий. Другими словами, статистика тестирования помогает наблюдателю провести различие между случаем с двумя расположениями букв КОНСТАНТИНОПОЛЬ и СТНОЬОАКОИПЛТНН и случаями с более значимыми результата­ми. В силу большого числа неопределенностей окончательное ре­шение является в большей степени делом вкуса и установки, чем измерения, как в случае с вопросом — правильная монетка у не­знакомки или со смещенным центром тяжести.

Эпидемиологи — статистики здоровья — соблюдают те же кри­терии, что и при оценке эффективности инвестиционных менедже­ров. Они обычно считают результат статистически значимым, если вероятность того, что здесь игра случая, составляет не более 5%.

Результаты изучения пассивного курения были и близко не столь убедительны, как результаты гораздо более обширных иссле­дований активных курильщиков. Хотя риск заболевания раком легких довольно хорошо коррелировал с интенсивностью пассивно­го курения — сколь много курил приятель больной, — процент за­болевших женщин, подвергавшихся пассивному курению, оказался всего в 1,19 раза больше, чем у женщин, которых никто не обку­ривал. Более того, эта скромная статистика тестирования базиро­валась только на тридцати обследованиях, из которых шесть не показали вообще никакой реакции на пассивное курение. Так как многие из этих обследований охватывали слишком малые выборки, только девять из них были признаны статистически значимыми24. Ни одно из одиннадцати обследований, проведенных в Соединен­ных Штатах, не отвечало этому критерию, а в семи из них обсле­довалось менее сорока пяти больных25.

В конце концов, признав, что «агентство по охране окружаю­щей среды никогда не утверждало, что пассивное курение в минимальном объеме создает большой риск заболеть раком»26, агентство заявило, что «приблизительно 3000 некурящих американцев каж­дый год умирают от рака легких, вызванного пассивным курени­ем»27. Это заключение побудило конгресс принять закон, практи­чески запрещающий курение в общественных местах.

В нашей истории мы добрались до того момента, когда неопреде­ленность и насылаемая ею удача передвинулись к центру сцены. Де­корации решительно переменились, потому что за время после Пер­вой мировой войны мир постоянно сталкивался со все новыми и но­выми рисками, да и традиционные риски никуда от нас не делись.

Необходимость в управлении риском возрастала вместе с появ­лением новых видов риска. Острее других эту тенденцию ухватили Фрэнк Найт (Knight) и Джон Мейнард Кейнс, к чьим новаторским работам мы обратимся в следующей главе. Хотя они оба уже ушли из жизни, почти все их соображения и расчеты, о которых сейчас пойдет речь, еще живы. Это свидетельство того, насколько молоды идеи управления риском.

Понятия, которые мы рассмотрим в следующей главе, никогда не затрагивались математиками и философами прошлого, потому что они были слишком заняты установлением законов вероятности, чтобы ухватиться за тайны неопределенности.

Глава 13

Радикально иная идея

Фрэнсис Гальтон умер в 1911 году, а в следующем не стало Анри Пуанкаре. Их уход ознаменовал конец великой эпохи измерений, начало которой положил Пацциоли, затеявший пять столетий назад исследование игры в balla. Его задача о разделе банка в неоконченной игре между игроками (см. гл. 3, с. 61) стала исходной точкой долгого пути к определению будущего на основе законов вероятности. Ни один из великих математиков и философов прошлого, о которых мы говорили до сих пор, нимало не сомневался в том, что стоит правильно зафиксировать факты и проанализиро­вать их на основе этих законов — и будущее откроет свои тайны.

Я не имею в виду, что Гальтон и Пуанкаре закрыли эту тему: развитие принципов управления риском продолжается и сегодня. Но они умерли, исчерпав все возможности своего подхода к управ­лению риском, в преддверии великого исторического потрясения — Первой мировой войны.

Оптимизм Викторианской эпохи был погашен бессмысленным уничтожением людей на полях сражений, послевоенными неуря­дицами и демонами, раскрепощенными русской революцией. Люди никогда уже больше не поверят в утверждение Роберта Браунинга: «Над нами Бог: / Всё в мире совершенно». Никогда больше эконо­мисты не станут утверждать, что колебания экономики теорети­чески невозможны. Никогда больше ученые не будут столь безого­ворочно благодушны, и никогда впредь институты религии и семьи не вернут прежнего уважения в западном мире.

Первая мировая война всему этому положила конец. Радикаль­ные изменения в искусстве, литературе и музыке породили абст­рактные и часто шокирующие формы, которые резко контрастируют с уютными стилями XIX столетия. Стоило Альберту Эйнштейну показать, что евклидова геометрия небезупречно отображает свой­ства нашего пространства, а Зигмунду Фрейду провозгласить, что в основе человеческого поведения лежит иррациональность, как им была дарована мировая слава.

До этого момента представители классической экономической науки рассматривали экономику как свободную от риска систему, автоматически ведущую к оптимальным результатам. Они уверяли, что ее стабильность гарантирована. Если люди решали, что лучше копить, а не вкладывать деньги, процентные ставки падали, ободряя инвесторов и разочаровывая вкладчиков, после чего равновесие вос­станавливалось. Если руководители предприятий принимали реше­ние о быстром расширении производства, а домашние хозяйства не имели достаточных сбережений, чтобы дать кредиты на этот рост, процентные ставки начинали расти, и равновесие восстанавлива­лось. В такой экономике, за исключением, пожалуй, кратковремен­ных периодов приспособления, не могло быть длительной недобро­вольной безработицы или недостаточных прибылей. Отдельным ин­весторам и фирмам приходилось, конечно, рисковать, но экономика в целом была свободна от риска.

Даже созданные войной проблемы не сразу разрушили эти пред­ставления. Но зазвучали и новые голоса, утверждавшие, что мир уже не тот, каким казался раньше. В 1921 году экономист из Чи­кагского университета Фрэнк Найт написал нечто такое, что было странным для человека его профессии: «Очень большой вопрос, по­стижим ли мир вообще... Только в очень редких и критических случаях можно предпринять что-то вроде математического анали­за»1. В разгар Великой депрессии пессимизму Найта вторил Джон Мейнард Кейнс:

На каждом шагу мы встречаемся с проблемами органического единства, дискретности, разрыва непрерывности — целое оказывается не равным сумме его частей, количественные сравнения обманывают, малые изме­нения влекут за собой серьезные последствия, а предположения о едином и однородном континууме оказываются неудовлетворительными2.

В 1936 году в своем основном труде «Общая теория занятости, процента и денег» («The General Theory of Employment, Interest and Money») Кейнс решительно отверг веру Джевонса в универ­сальную применимость измерений: «[Большинство наших реше­ний] добиться чего-то положительного... принимается под влияни­ем одной лишь жизнерадостности... но отнюдь не в результате определения арифметической средней из тех или иных количественно измеренных выгод, взвешенных по вероятности каждой из них»3.

В напряженной атмосфере послевоенного мира только самые на­ивные теоретики могли надеяться на то, что все проблемы можно решить с помощью рационального применения дифференциального исчисления и законов вероятности с верно подобранными предпоч­тениями. Математикам и философам пришлось признать, что реаль­ность предъявляет целые наборы проблем, над которыми люди преж­де не задумывались. Распределение вероятностей в этой реальности больше не укладывалось в схему треугольника Паскаля. Оно наруша­ло симметрию колоколообразной кривой и сходилось к средним, ко­торые были намного менее стабильными, чем предполагал Гальтон.

Исследователи искали методы систематического анализа неожи­данностей. Перед войной их усилия концентрировались на исходной информации для принятия решений. Теперь они поняли, что реше­ние — это только начало, самое трудное — не сами решения, а их по­следствия. Как заметил австралийский экономист Роберт Диксон (Dixon), «неопределенность, свойственная процессу принятия реше­ния, обусловлена не столько тем, что существует будущее, сколько тем, что существует и всегда будет существовать прошлое... Мы оказываемся узниками будущего, потому что остаемся в ловушке прошлого»4. Предельный реалист Омар Хайям около тысячи лет назад думал приблизительно так же:

Чертит Небесный Перст, а начертив, Труд свой продолжит. Будь благочестив Иль мудр — не зачеркнешь и пол-Строки, Не смоешь Слова, море Слез пролив.

Что делать, если решение привело вас к результату, о котором и речи не было в наборе вероятных исходов? Или если маловеро­ятные исходы реализуются с большей частотой, чем ожидалось? Всегда ли модели прошлого определяют тропу в будущее?

Найт и Кейнс, первые поставившие эти вопросы всерьез, были отъявленными нонконформистами, но их определения риска акту­альны и сегодня.

Фрэнк Найт родился в 1885 году на ферме вУайт-Оук, штат Ил­линойс, и был старшим из одиннадцати детей5. Не имея аттестата о среднем образовании, он отучился в двух крошечных колледжах и большего, по-видимому, из-за бедности семьи просто не мог себе позволить. Первым был Американский университет, не имеющий ничего общего с одноименным университетом в Вашингтоне, штат Колумбия; в этом колледже особое значение придавалось умерен­ности во всем и даже преподавали «основы политической экономии в отношении употребления горячительных напитков». Рекламная брошюра этого университета рекомендовала родителям «отдавать своих трудновоспитуемых мальчиков в Американский университет для дисциплинирования». Вторым колледжем был Миллиган. На вы­пускном вечере президент колледжа отозвался о Найте как о «луч­шем студенте из всех, каких я знал... очень начитанном... с боль­шими способностями к практическому бизнесу и широкими техни­ческими познаниями».

Отвечая на вопрос, почему он стал экономистом, Найт сказал, что ему было трудно пахать. Перед тем как заняться экономикой, он написал дипломную работу по философии в Корнелле, а к экономике обратился после того, как профессор однажды произнес: «Хватит бол­тать, или покиньте философское отделение!» Но не этот резкий, обес­кураживающий окрик привел Найта в замешательство; один из его преподавателей философии предсказал, что «он разрушит истинную философию, как только прикоснется к ней». Найт был неисправимый циник, когда речь заходила о человеческой натуре. Более симпатизи­ровавший ему профессор заметил: «Вы выбрались из дерьмовой сре­ды, где каждый человек с мозгами сомневается во всем».

В 1919 году Найт начал преподавать экономику в университете Айовы, а в 1928 году перешел в Чикагский университет. Он препо­давал там до самой смерти, которая последовала в 1972 году на 88 году жизни. «Зарабатывать на жизнь нелегко», — признался он как-то. Найт часто плохо готовился к своим лекциям, перескакивал с одного на другое, как неотесанная деревенщина, и обильно сдабривал речь тяжеловесным юмором.

Несмотря на раннее приобщение к религии и продолжительное изучение религиозных проблем в течение всей своей жизни, Найт был непримиримым противником всех и всяческих церквей на све­те. В своем президентском обращении к Американской экономиче­ской ассоциации в 1950 году он уподобил Папу Римского Гитлеру и Сталину. Однажды он сказал, что религия мешает ему спокойно спать: «Это все проклятая религия. Я никак не могу выкинуть ее из головы».

Раздражительный, преданный своему делу, честный человек, он был невысокого мнения о людях, принимавших самих себя слишком всерьез. Об экономической теории Найт говорил, что она счита­ется непонятной и сложной из-за того, что большинству людей вы­годно не понимать «оскорбительно очевидные вещи». Увидев цитату из лорда Кельвина, высеченную в камне на здании гуманитарного факультета Чикагского университета — «Когда чего-то нельзя изме­рить... наши знания об этом мало чего стоят», — Найт саркастиче­ски прокомментировал эту фразу следующим образом: «Ну что ж, если не умеете измерять как следует, измерьте как угодно»6.

Цинизм Найта и его преданность моральным ценностям меша­ли ему примириться с эгоизмом, а зачастую и жестокостью капи­тализма. Он презирал своекорыстие, которое движет покупателями и продавцами на рынке, хотя и понимал, что только своекорыстие помогает понять экономическую систему. Тем не менее он оставал­ся приверженцем капитализма, потому что считал альтернативы неприемлемыми.

Найт не интересовался эмпирическими доказательствами своих теоретических взглядов. У него было слишком много сомнений в ра­циональности и последовательности поведения людей, чтобы верить в то, что в изучении этого поведения есть хоть малейший смысл. Самый едкий сарказм он направлял на то, что называл «почти обессмысливанием экономической науки людьми, точка зрения ко­торых кажется мне неприемлемой и, по сути дела, пустой, а имен­но что можно перенести в гуманитарные науки понятия и методы естествознания».

Мысль, отразившаяся в этом замечании, впервые высказана Най-том в докторской диссертации, завершенной в 1916 году в Корнелле и опубликованной в 1921 году. «Риск, неопределенность и прибыль» («Risk, Uncertainty and Profit») — первая серьезная работа, посвя­щенная подробному анализу принятия решений в условиях неопре­деленности.

Найт строит анализ на различении риска и неопределенности:

Неопределенность следует рассматривать в смысле, радикально отлич­ном от хорошо знакомого понятия риска, от которого ее прежде никог­да должным образом не отличали... Станет ясно, что измеримая нео­пределенность, или собственно «риск»... настолько далека от неизме­римой неопределенности, что, в сущности, вообще не является неопре­деленностью7.

Подчеркнутое внимание к неопределенности противопоставило Найта господствовавшей в то время экономической теории, в цент­ре внимания которой было принятие решений в условиях абсолют­ной определенности или с применением установленных законов ве­роятности; это направление еще и сейчас влачит жалкое существо­вание в некоторых разделах современной экономической теории. Найт говорил о непригодности вероятностных вычислений для, выражаясь словами Эрроу, «отражения вечно ищущей, творческой природы человеческого духа перед лицом неведомого»8. Он был ти­пичным порождением XX столетия.

Элемент неожиданности, доказывал Найт, встречается обычно во всех системах, в которых многие решения зависят от прогнозирова­ния будущего. В классической экономике особое неприятие вызыва­ла у него ее понимание так называемой совершенной конкуренции, основанное на упрощенном представлении о «практическом всеведе­нии каждого участника процесса конкуренции»9. В классической экономике покупатели и продавцы, рабочие и капиталисты всегда обладают всей необходимой информацией. А когда будущее неизвест­но, результаты определяют законы вероятности. Даже Карл Маркс в его динамичной версии классической экономики никогда не обра­щается к прогнозированию. В его версии рабочие и капиталисты втянуты в драму, сюжет которой известен каждому и развязку кото­рой они не в силах изменить.

Найт доказывал, что трудности прогнозирования отнюдь не сводятся к невозможности применения математических утверж­дений. Хотя он не ссылается впрямую на Байеса, очевидны его сомнения в познавательной ценности эмпирических оценок час­тоты события в прошлом. Он утверждал, что априорные рассуж­дения не могут исключить неопределенность будущего. В резуль­тате он считает, что весьма рискованно полагаться на частоту со­бытия в прошлом.

Почему? Экстраполяция от прошлого к будущему всегда была любимым методом вынесения суждений о том, что нас ждет впереди. Способность экстраполировать прошлое отличает взрослых от детей. Опытные люди замечают, что инфляция как-то связана с ростом процентных ставок, что при выборе партнеров в покер и жены важ­ны личные качества, что облачность обычно предшествует ухудше­нию погоды, а езда на большой скорости по городу опасна.

Деловые люди постоянно экстраполируют от прошлого к буду­щему, но часто не успевают заметить, когда ситуация начинает ме­няться от неблагоприятной к благоприятной и наоборот. Как прави­ло, они фиксируют поворотные точки только постфактум. Если бы они лучше чуяли скрытые перемены, не было бы столь часто случа­ющихся внезапных изменений доходности. Частые неожиданности в мире бизнеса с очевидностью доказывают, что неопределенность здесь превалирует над математической вероятностью. Найт следу­ющим образом объясняет, почему это происходит:

[Каждый] «отдельный случай»... настолько уникален, что других таких или вообще нет, или слишком мало, чтобы обеспечить возможность со­ставить таблицу, пригодную для обоснования заключения о действи­тельной вероятности случая, который нас интересует. Очевидно, это касается принятия решений не только в бизнесе, но и в других сфе­рах человеческой деятельности10 [курсив мой. — П. Б.].

Математические вероятности относятся к множеству независимых наблюдений однородных событий, таких, как бросание кости, к ко­торым Найт применяет понятие «аподиктической определенности» случайных игр1'11. Но не бывает события, в точности идентичного тем, что были прежде или будут потом. Во всяком случае, наша жизнь слишком коротка, чтобы можно было собрать большие вы­борки, позволяющие проводить такой анализ. Мы можем себе по­зволить утверждения типа «Мы на 60% уверены в том, что доходы возрастут в будущем году» или «В будущем году 60% нашей про­дукции будет расходиться лучше». Но Найт настаивал на том, что ошибки в таких прогнозах «должны быть решительно отделены от вероятностей или шансов... Говорить в объективном смысле о вероятности того, что суждение верно, бессмысленно, это неиз­бежно приводит к ошибке»12. Найт, подобно Эрроу, не любил рас­плывчатости. (Найт редко использует такие таинственные понятия. Apodeictic означает 'неопро­вержимый, необходимо верный вследствие логической определенности").

Идеи Найта касаются, в частности, финансовых рынков, где все решения отражают прогноз на будущее, а неожиданности случают­ся постоянно. Много лет назад Луи Башелье как-то заметил: «Ясно, что цена, которая считается на рынке наиболее вероятной, и является текущей рыночной ценой: если бы рынок рассудил иначе, он выбрал бы не эту цену, а другую, выше или ниже». Кол­лективно согласованные прогнозы, воплощенные в курсе ценных бумаг, означают, что курс не изменится, если случится то, чего ожидают участники рынка. Изменчивость курсов акций и облига­ций показывает, сколь часто ожидаемое не происходит и инвесто­ры оказываются не правы. Изменчивость курса — это приблизи­тельная мера неопределенности, которую нужно учитывать при оп­ределении инвестиционного риска.

Гальтон, представитель Викторианской эпохи, сказал бы, что це­ны колеблются около стабильного среднего значения. Найт и Баше-лье, как представители поствикторианской эпохи, ничего не говорят ни о точном значении среднего, ни о том, будет ли оно превалировать вообще. Позже мы еще вернемся к обсуждению этой проблемы.

Найт невзлюбил Джона Мейнарда Кейнса, когда узнал в 1940 го­ду, что Чикагский университет присудил ему почетную степень. Это побудило Найта написать сумбурное письмо протеста Якобу Винеру, почетному члену Чикагского факультета экономики. Винер, как ут­верждал Найт, считается ответственным «более, чем кто-либо дру­гой», за решение почтить Кейнса, и поэтому «именно ему следует послушать о шоке, который я испытал, узнав об этой новости»13.

Найта возмутило, что работа Кейнса и энтузиазм, с которым его чествовали академики и политики, создали «один из самых глав­ных источников... трудностей в последние годы». Воздав Кейнсу должное как «весьма неординарному мыслителю в смысле изобре­тательности и диалектичности», он отдается негодованию:

Я пришел к пониманию, что такие способности, направленные к оши­бочным и гибельным целям, представляют собой одну из самых серь­езных опасностей для всей системы образования. <...> Я считаю, что взгляды мистера Кейнса, касающиеся денег вообще и теории денег в частности... это предательство, это, фигурально выражаясь, то же са­мое, что бросить из окна рвущимся в ворота филистимлянам ключ от крепости.

Хотя большая часть чикагских экономистов были сторонниками свободного рынка и не могли согласиться с утверждением Кейнса, что капиталистическая система, чтобы выжить, нуждается в частом вмешательстве правительства, они не разделяли презрительного отношения к нему Найта. Они считали уместным почтить Кейнса как блистательного новатора в экономической теории.

Может быть, Найт просто ревновал к Кейнсу, потому что у них был один и тот же философский подход к экономическим пробле­мам. Например, оба они не доверяли классическим теориям, в ко­торые основой принятия решений была теория вероятностей или предположения об определенности. И оба одинаково презирали «среднестатистический взгляд на жизнь»14. В эссе «Мои ранние убеждения» («My Early Beliefs»), написанном в 1938 году, Кейнс клеймит как «беспочвенное и гибельное» предположение класси­ческой экономики о разумности человеческой природы15. Он ука­зывает на «глубокие и ослепляющие страсти» и на «болезненные и иррациональные вспышки злобы, свойственные столь многим». Вряд ли это взгляды человека, способного передать из окна ключи от крепости филистимлянам, рвущимся в ворота.

Найта могло раздражать, что Кейнс пошел по пути разграниче­ния понятий риска и неопределенности гораздо дальше, чем он сам. И уж совсем его должно было взбесить то, что единственная ссылка на него в книге Кейнса «Общая теория занятости, процента и денег» была помещена в сноске, в которой с пренебрежением упоминалась одна из его работ о процентных ставках как написан­ная «в традиционно классическом стиле», хотя Кейнс признавал, что работа «содержит много интересных наблюдений о природе ка­питала»1 . И это — всё! После пятнадцати лет новаторских иссле­дований Найта в области риска и неопределенности.

Кейнс был интеллектуальным и социальным антиподом Найта. Он родился в 1883 году в состоятельной и хорошо известной бри­танской семье, один из предков которой высадился на берег Бри­тании вместе с Вильгельмом Завоевателем. Как пишет его после­дний биограф Роберт Скидельски, Кейнс был «не только человек истеблишмента, но и входил в элиту любого истеблишмента, чле­ном которого он был. Едва ли был такой момент, когда бы он не смотрел свысока на Англию, да и на мир в целом»17. Среди близ­ких друзей Кейнса были премьер-министры, финансисты, филосо­фы Бертран Рассел и Людвиг Витгенштейн, художники и писатели Литтон Стречи, Роджер Фрай, Дункан Грант, Вирджиния Вулф.

Кейнс получил образование в Итоне и Кембридже, где изучал эко­номику, математику и философию под руководством ведущих уче­ных. Он был великолепный эссеист, о чем можно судить по тому, как он преподносил публике свои противоречивые идеи и планы.

Профессиональную карьеру Кейнс начал с длительной службы в казначействе Министерства финансов Великобритании, включая служ­бу в Индии и деятельное участие в работе казначейства во время Первой мировой войны. Позднее он участвовал в Версальских мир­ных переговорах в качестве представителя казначейства. Считая, что мстительный характер заключенного там договора должен привести к экономическим неурядицам и политической нестабильности в по­слевоенном мире, он оставил свой пост, чтобы написать книгу, оза­главленную «Экономические последствия мира» («The Economic Conse­quences of the Peace»). Книга скоро стала бестселлером и принесла Кейнсу международную известность.

Впоследствии он вернулся в свой любимый Королевский колледж в Кембридже преподавать, писать и служить в качестве казначея и инспектора по инвестированию, совмещая все это со службой в каче­стве председателя и инвестиционного менеджера крупной страховой компании. Он был активным игроком на фондовой бирже, где играл с переменным успехом. (Подобно многим своим самым знаменитым современникам, он не смог предвидеть Великой депрессии 1929 года.) Играя на бирже, он обогатил Королевский колледж, а к 1936 году превратил свое скромное наследственное состояние в круглую сум­му, эквивалентную нынешним 10 млн. фунтов стерлингов18. Во вре­мя Второй мировой войны он планировал британское военное фи­нансирование, а по ее окончании добился в переговорах с США вы­деления ими Британии крупной суммы и написал большую часть текста Бреттон-Вудских соглашений, определивших устройство по­слевоенной международной валютной системы.

Идеи приходили к Кейнсу так стремительно и в таких количе­ствах, что он часто вступал в противоречие с тем, что говорил или писал прежде. Это его не беспокоило. «Когда меня удается убедить, что я не прав, — писал он, — я меняю свою точку зрения. А как поступаете вы?»19

В 1921 году Кейнс закончил книгу, озаглавленную «Курс тео­рии вероятности» («A Treatise on Probability»). Он начал работу над ней вскоре после окончания Кембриджского университета и работал с перерывами около пятнадцати лет; он даже брал ее с со­бой во время своих путешествий за границу, включая путешествие верхом по Греции с художником Дунканом Грантом. Он старался выражать новые идеи с ясностью, которую так ценил, и никогда не прерывал занятий философией, начатых еще в Кембридже, где, как он позже вспоминал, все постоянно задавали друг другу вопрос «"Что вы в точности имеете в виду?". Если в результате перекре­стного допроса выяснялось, что вы не имели в виду ничего опреде­ленного, возникало сильное подозрение, что вы говорите просто ни о чем»20.

«Курс теории вероятности», являющийся блистательным иссле­дованием сущности и приложений вероятностных законов, содер­жит критический анализ работ мыслителей, большинство из кото­рых уже упоминались на страницах этой книги. В отличие от Найта Кейнс не проводит категорического разграничения между неопреде­ленностью и риском; в менее точной манере он противопоставляет в наших размышлениях о будущем определимое неопределимому. Тем не менее, как и Найт, он не терпел решений, основанных на час­тоте событий в прошлом: он чувствовал, что гальтоновская аналогия с горошком уместна при анализе явлений природы, но не челове­ческого поведения. Он отвергал прогнозирование на основе событий и предпочитал прогнозы на основе предположений. Его любимым выражением было: «Степень убежденности — или, как часто гово­рят, априорная вероятность»21.

Книга Кейнса начинается с критики традиционной точки зрения на вероятность; ее жертвами стали многие из наших старых знако­мых, включая Гаусса, Паскаля, Кветеле и Лапласа. Он утверждает, что теория вероятностей имеет мало отношения к реальным жиз­ненным ситуациям, в особенности когда используют «опрометчивые методы и максималистские претензии школы Лапласа»22.

Объективная вероятность будущего события существует — «это не то, что называют результатом человеческой причуды», — но наше невежество не позволяет точно знать величину вероятности; мы мо­жем оперировать только оценками. «Маловероятно, — утверждает Кейнс, — что мы сможем открыть метод определения конкретной вероятности без помощи интуиции или прямого суждения... Пред­положение не является вероятным, поскольку мы его таким пола­гаем»23.

Кейнс считал, что «мы переходим от мнения теоретиков к опыту людей практики». Он подшучивал над фантастически приблизи­тельными методами, которые используют многие страховые компа­нии для вычисления страховых взносов. Он сомневается, что два одинаково квалифицированных страховых маклера способны до­стичь одинаковых результатов в одной и той же ситуации: «Доста­точно, если он назначит величину взноса, превышающую возмож­ный риск»24. Он припоминает, как 23 августа 1912 года компания Ллойда объявила о шансах на победу трех кандидатов на выборах президента США: сумма вероятностей стать президентом оказалась равной 110%! Ставки перестрахования «Варатага», судна, исчез­нувшего у берегов Южной Африки, менялись ежечасно, когда бы­ли найдены обломки потерпевшего крушение корабля и распрост­ранились слухи, что при подобных обстоятельствах корабль оста­вался на плаву без серьезных повреждений в течение двух месяцев, пока не был обнаружен. При этом вероятность того, что «Варатаг» затонул, оставалась постоянной, несмотря на значительные коле­бания рыночных оценок этой вероятности.

Кейнс пренебрежительно относился ко всему, что он считал име­ющим отношение к закону больших чисел. Простой факт, что сход­ные события неоднократно наблюдались в прошлом, — слабое оправ­дание убежденности, что вероятно их повторение в будущем. Скорее, наша уверенность в некоем исходе должна бы усилиться, если мы обнаружим «ситуацию, в которой каждый новый ряд событий по некоторым существенным признакам отличается от других»25.

Он презирал среднее арифметическое как «очень неадекватную аксиому». Вместо сложения результатов наблюдений и последую­щего деления полученной суммы на общее число наблюдений «одинаковые предположения должны иметь следствием одинако­вые соображения, если... оценки перемножить, вместо того чтобы складывать»26. Допуская, что среднее арифметическое просто ис­пользовать, Кейнс ссылается на французских математиков, кото­рые указывали, что если природе нет никакого дела до трудностей анализа, то и человечеству незачем об этом беспокоиться.

Кейнс отказался от термина «событие», использовавшегося его предшественниками в теории вероятностей, потому что этот термин предполагает, что прогнозы должны зависеть от математической частоты прошлых событий. Он предпочитал термин «предположе­ние», который отражает степень веры в вероятность будущих со­бытий. Брэдли Бетмен (Bateman), экономист, который преподавал в Гриннел-колледже, заметил, что вероятность для Кейнса являет­ся основой для анализа и оценки предположений27.

Если Кейнс полагал, что вероятность отражает степень веры в определенное будущее и что прошлые события являются лишь скромной частью исходной информации, можно сделать вывод, что он рассматривал вероятность как субъективное понятие. Но это не так. Будучи во многих отношениях человеком современным, он порой обнаруживает свои викторианские корни. Во время работы над «Курсом теории вероятности» он верил, что все разумные люди в свое время узнают истинную вероятность определенных исходов и придут к одинаковой степени веры в них. «Когда заданы факты, определяющие наше знание, тогда то, что в этих обстоятельствах вероятно, а что невероятно, объективно зафиксировано и более не зависит от нашего мнения»28.

Уступая критике этой нереалистической точки зрения, Кейнс впо­следствии начал уделять больше внимания тому, как неопределен­ность влияет на решения вообще и на мировую экономику в частно­сти. В одном месте своего «Курса» он провозглашает: «Восприятие вероятности, веса и риска — всё это очень сильно зависит от сужде­ния» и «Основа нашей степени убежденности — часть нашего умст­венного снаряжения»29. Чарлз Ланге (Lange), статистик и старый друг Кейнса, однажды с удовлетворением заметил, что «Мейнард все-таки предпочел жизнь, а не алгебру».

Размышления Кейнса об экономике постоянно вращались во­круг понятия неопределенности — неопределенности того, сколько семья сбережет или потратит, какую часть своих сбережений она потратит в будущем (и когда она ее потратит) и, что еще важнее, какую прибыль принесут определенные вложения в основной ка­питал. Решения деловых кругов о том, сколько и когда потратить на новое строительство, новое оборудование, новые технологии и новые методы производства, образуют движущую силу экономики. Однако тот факт, что эти решения, в сущности, необратимы, дела­ет их чрезвычайно рискованными вследствие отсутствия объектив­ных данных о вероятности того, что они приведут к желаемым ре­зультатам.

Как заметил Фрэнк Найт за пятнадцать лет до опубликования «Общей теории» Кейнса, «причиной проблемы неопределенности в экономике является ориентированный на будущее характер самого экономического процесса»30. Поскольку экономическая обстановка постоянно меняется, все экономические данные соотносятся с их собственным периодом времени. В силу этого они представляют со­бой крайне утлую основу для обобщений. Реальное время более значимо, чем абстрактное, и прошлые наборы данных редко быва­ют уместны. Если вчера вероятность чего-либо оценивалась в 75%, то чаще всего неизвестно, какова она будет завтра. Система, кото­рая не может положиться на частотное распределение прошлых со­бытий, особенно подвержена неожиданностям и колебаниям.

Кейнс не видит смысла в рассмотрении гипотетической экономи­ки, в которой прошлое, настоящее и будущее сливаются безликой машиной времени в единый момент. Вынужденная безработица и низкая прибыльность стали слишком частым явлением, чтобы пред­полагать, что экономика функционирует по классическим образцам. Если люди решают сберегать больше и тратить меньше, потребитель­ские расходы упадут, а следом за ними и величина инвестиций. В любом случае в ответ на рост склонности к сбережению процент­ные ставки должны упасть. Кейнс утверждает, что процент — это вознаграждение за расставание с деньгами, а не за воздержание от потребления. Даже если процентные ставки падают, они могут не дойти до настолько низкого уровня, чтобы поощрить бизнесменов рискнуть дальнейшим вложением капитала в экономической ситуа­ции, в которой жизнерадостный натиск отсутствует, а переход к но­вому набору решений представляется непозволительной роскошью. Решения, будучи принятыми, ведут к возникновению новой ситуа­ции, которая никак не может изменить уже сделанное.

Другой причиной снижения инвестиционных расходов может быть тот факт, что предприятия исчерпали все возможности для получения прибыли. Кейнс однажды заметил: «Средневековье строило соборы и пело панихиды... Две мессы для мертвеца вдвое лучше, чем одна; но этого нельзя сказать о двух железных дорогах между Лондоном и Йорком»31. Эта же мысль прозвучала в извест­ной песне, которая пользовалась популярностью во времена Вели­кой депрессии, «Братья, можете истратить грош?»: «Я строил дом, но он уже построен. / Я рельсы клал, но поезда пошли».

Кейнс и его последователи занялись исследованием денежного обращения и контрактами, чтобы показать, что в реальном мире правит неопределенность, а не математическая вероятность. По­требность в ликвидности и стремление закрепить будущие опера­ции с помощью имеющих юридическую силу контрактов свиде­тельствуют о том, что в принятии решений господствует неопреде­ленность. Мы больше не хотим руководствоваться математической вероятностью прошлых событий.

Кейнс отказался от теорий, пренебрегающих неопределенностью. «Явная непригодность [классической доктрины] для целей научных прогнозов, — отмечает он, — значительно подорвала с течением времени престиж ее адептов»32. Экономисты-классики, обвиняет он, стали похожи на «Кандидов, которые, удалившись из мира ради возделывания своих садов, учат, что всё к лучшему в этом лучшем из миров, лишь бы предоставить его самому себе»33.

Раздраженный этими теориями в стиле Кандида, Кейнс пред­ложил политику, прямо противоположную системе laissez-faire, — активизацию роли правительства не только для компенсации па­дения частного спроса правительственными заказами, но и для уменьшения степени неопределенности в экономике. Со временем мы поняли, что предложенное Кейнсом лекарство в некоторых от­ношениях было хуже самой болезни и что в его анализе были дру­гие, менее наглядные пороки. Впрочем, это не может умалить зна­чение его вклада в экономическую теорию и в понимание риска.

В конце состоящей из единственного параграфа первой главы «Общей теории» Кейнс написал: «Характеристики... предполагае­мые классической экономической теорией, не имеют отношения к экономическому обществу, в котором мы живем, и попытки приме­нить это учение к фактам опыта вводят в заблуждение и ведут к ка­тастрофическим последствиям»34. Учитывая состояние мировой эко­номики в 1936 году, Кейнс вряд ли мог думать иначе. Неопределен­ность должна занять центральное место в новой экономической тео­рии.

В 1937 году, в ответ на критику «Общей теории», Кейнс так суммировал свои взгляды:

Под неопределенным знанием... я не подразумеваю просто различие между тем, что достоверно известно, и тем, что только вероятно. В этом смысле игра в рулетку не имеет отношения к тому, что я называю неопределенным... Я использую это понятие в том смысле, в каком нео­пределенны перспективы новой европейской войны, или цен на медь, или ставки процента через двадцать лет, или устаревания новых изоб­ретений... В подобных случаях вообще нет никаких научных предпо­сылок для вычисления какой-либо вероятности. Мы просто не знаем!35

Потрясающая идея заложена в утверждении, что мы просто не знаем. Слова Кейнса не столько пугают нас, сколько несут благую весть: мы не узники неизбежного будущего. Неопределенность де­лает нас свободными.

Рассмотрим альтернативу. Все мыслители от Паскаля до Галь-тона говорили нам, что законы вероятности действуют, потому что мы не контролируем результат следующего броска кости, или ка­кой будет ошибка следующего измерения, или влияние статического нормального состояния, к которому в конце концов должен прийти процесс. В этом контексте всё в жизни уподобляется кувшину Якоба Бернулли: мы можем вытянуть любой камешек, но не мы выбираем его цвет. Как напоминал нам Лаплас, «все события, даже те, кото­рые вследствие их незначительности не представляются нам следу­ющими великим законам природы, подчиняются им с той же не­обходимостью, с какой всходит и заходит солнце» .

Короче говоря, речь о неизбежности. Там, где все подчиняется законам вероятности, мы уподобляемся дикарям или игрокам, у ко­торых есть единственный выход — бормотать заклинания своим бо­гам. Ни наши дела, ни наши суждения, ни наша жизненная энергия не оказывают ни малейшего влияния на конечный итог. Может по­казаться, что мир, в котором вероятность всегда вычислима, уютен и благоустроен, но каждый из нас может с тем же успехом удалиться в тюремную камеру без окон — такую судьбу вполне могло уготовить трепыханье крыльев бабочки миллиард лет назад.

Какая скука! Но, благодарение Богу, мир чистой вероятности существует только на бумаге или, возможно, в частных описаниях явлений природы. Он не имеет отношения к дышащему, потеюще­му, беспокойному и созидающему человеку, старающемуся найти свою дорогу к свету.

Это хорошие новости, а не плохие. Стоит понять, что мы не обя­заны подчиняться повороту колеса рулетки или раскладу карт, — и мы свободны. От наших решений многое зависит. Мы можем изменить мир. Экономические предписания Кейнса открывают, что, прини­мая решения, мы действительно изменяем мир.

Приведет ли это изменение к добру или к худу, зависит от нас. Вращение колеса рулетки не имеет к этому никакого отношения.

Глава 14

Человек,

который считал всё, кроме калорий

В предыдущей главе мы познакомились с тем, как Фрэнк Найт отвел неопределенности центральную роль в анализе риска и принятии решений, а Кейнс со свойственными ему энергией и красноречием атаковал основные предпосылки класси­ческой экономической науки. Однако вера в действенность рацио­нального поведения и измерений в стратегии риска устояла, несмот­ря на все неурядицы Великой депрессии и Второй мировой войны. Соответствующие теории двинулись по двум резко расходящимся направлениям: одно развивалось последователями Кейнса («Мы просто не знаем»), второе — последователями Джевонса («Удоволь­ствие, боль, труд, полезность, ценность, богатство, деньги, капитал и т. д. — это всё понятия, подлежащие квантификации»).

В течение четверти века, последовавшей за публикацией Кейн-сом «Общей теории», серьезный прогресс в понимании риска и нео­пределенности был достигнут в рамках теории стратегических игр. Это был прагматичный подход, уходящий корнями в культуру Вик­торианской эпохи: для истолкования человеческого поведения необ­ходимо измерение. Теория игр, сосредоточившая свои усилия на анализе принятия решений, мало походила на другие теории, ко­торые ранее возникали на основе анализа случайных игр.

Несмотря на свою укорененность в идеологии XIX века, теория игр осуществила драматический разрыв с предшествующими уси­лиями привнести математическую неизбежность в анализ приня­тия решений. В теориях полезности как Даниила Бернулли, так и Джевонса человек принимал решения в изоляции, не имея пред­ставления, да и не интересуясь тем, что делают другие. В теории игр уже не изолированный человек, а двое или более людей стара­ются максимизировать свои выгоды одновременно, зная о целях, выгодах и возможных действиях других.

Таким образом, теория игр привнесла принципиально новый аспект в понимание неопределенности. Предшествующие теории принимали неопределенность как жизненную данность и мало за­нимались ее происхождением. Теория игр показала, что истинным источником неопределенности являются намерения других.

С этой точки зрения почти всякое принимаемое нами решение является результатом ряда переговоров, в которых мы стараемся снизить неопределенность, давая другим то, что они хотят, в обмен на то, чего хотим мы. Подобно покеру и шахматам, реальная жизнь является стратегической игрой, подкрепляемой контрактами и ру­копожатиями для защиты от мошенников.

Но в отличие от покера и шахмат мы редко можем рассчитывать на «победу» в этих играх. Выбор альтернативы, обещающей наиболь­шую выгоду, как правило, создает наибольший риск, потому что он может спровоцировать усиленную защиту со стороны игроков, кото­рые в результате наших усилий должны проиграть. Поэтому мы обычно выбираем компромиссные альтернативы, которые могут побу­дить нас заключить лучшую из худших сделок; для описания таких решений теория игр использует термины «максиминные» и «мини­максные» решения. Подумайте о соотношениях продавец—покупа­тель, землевладелец—арендатор, муж—жена, кредитор—должник, «Дженерал моторе»—Форд, родители—дети, президент—конгресс, во­дитель—пешеход, хозяин—служащий, горшок—тесто, солист—акком­паниатор.

Теория игр была придумана поразительно одаренным физиком Джоном фон Нейманом (fon Neumann, 1903-1957)1. Фон Пейман способствовал разработке квантовой механики в Берлине в 1920-х го­дах и сыграл важную роль в создании первой американской атом­ной, а позднее и водородной бомбы. Кроме того, он изобрел число­вой компьютер, был замечательным метеорологом и математиком, мог перемножать в уме восьмизначные числа, любил неприличные шутки и декламировал непристойные пятистишья. Работая с воен­ными, он предпочитал адмиралов генералам, потому что первые могли больше выпить. Его биограф Норман Макрэ характеризует его как «весьма обходительного со всеми, кроме... двух многострадальних жен», одна из которых однажды заметила: «Он может со­считать всё, кроме калорий»2.

Коллега, интересовавшийся вероятностным анализом, как-то по­просил фон Неймана дать определение определенности. Фон Нейман ответил, что, проектируя дом, надо убедиться, что пол в гостиной никуда не денется. Для этого необходимо «подсчитать вес большо­го рояля и шести человек, взгромоздившихся на него попеть. По­том утроить вес». Это гарантирует уверенность.

Фон Нейман родился в Будапеште в состоятельной, культурной и благополучной семье. В то время Будапешт был шестым по величине городом в Европе, растущим и процветающим, с первым в мире мет­рополитеном. Уровень грамотности в нем уже тогда составлял 90%. Более 25% населения были евреи, включая фон Нейманов, хотя сам Джон фон Нейман вспоминал о своем еврейском происхожде­нии, только рассказывая анекдоты.

Он был не единственным знаменитым выходцем из Будапешта в период перед Первой мировой войной. Его современниками были столь же знаменитые физики Лео Сциллард и Эдвард Теллер, а также из­вестные представители артистического мира Георг Шолти, Пол Лукас, Лесли Ховард (урожденный Ласло Штайнер), Адольф Цукор, Алек­сандр Корда и, возможно, самая знаменитая из всех За-За Габор.

Учился фон Нейман в ведущем учебном заведении Берлина, ко­торое сочло, что исследования Эйнштейна не заслуживают финан­совой помощи3. Затем он переехал в Гёттинген, где встретился с та­кими выдающимися учеными, как Вернер Гейзенберг, Энрико Фер­ми и Роберт Оппенгеймер. Во время своего первого визита в Соеди­ненные Штаты в 1929 году фон Нейман влюбился в эту страну, и большая часть его карьеры, за исключением периода работы на правительство США, связана с Центром научных исследований в Принстоне. Его первоначальное жалованье в 1937 году составило 10000 долларов, что по покупательной способности превышает ны­нешние 100000 долларов. Заметим для сравнения, что Эйнштейн, когда поступал на работу в тот же центр, попросил 3000 долларов жалованья (ему положили 16 000).

Впервые фон Нейман изложил свою теорию стратегических игр в статье, которую представил в Математическое общество Гёттин-генского университета в 1926 году в возрасте 23 лет; статья была напечатана два года спустя. Роберт Леонард (Leonard) из Квебек­ского университета, ведущий историк теории игр, подозревает, что эта статья была не столько продуктом «вдохновения», сколько по­пыткой фон Неймана направить свою беспокойную фантазию на предмет, привлекавший некоторое время внимание немецких и вен-герских математиков. Его интересовала чисто математическая сто­рона вопроса и очень мало волновала или не волновала вовсе про­блема принятия решений как таковая.

Хотя предмет рассмотрения статьи на первый взгляд казался тривиальным, он весьма сложен, особенно с математической точки зрения. В статье рассматривалась рациональная стратегия детской игры «чет и нечет», в которой два игрока одновременно открывают по монетке. Если открываются два орла или две решки, выигрывает игрок А. Если на монетах выпадают разные стороны, выигрывает иг­рок В. Когда я был мальчишкой, мы играли в вариант этой игры. По счету «три» мы открывали сжатые кулаки и, выставляя один или два пальца, кричали «Нечет!» или «Чет!».

Согласно фон Нейману, «если ваш противник хотя бы не дурак», надо стараться не столько угадать его намерения, сколько не от­крыть свои. Любая стратегия, ориентированная на выигрыш, а не на избежание проигрыша, неизменно приводит к проигрышу. (Заметь­те, что здесь впервые идет речь об анализе возможности проигрыша как неотъемлемой части управления риском.) Поэтому следует класть монету кверху орлом или решкой случайным образом, моделируя машину, которая будет открывать каждую сторону монеты с веро­ятностью 50%. Следуя этой стратегии, не приходится рассчиты­вать на выигрыш, но зато и проиграть так невозможно.

Если вы стараетесь выиграть, показывая орла шесть раз в каж­дых десяти играх, противник разгадает план игры и легко победит. Он будет показывать в каждых десяти играх шесть раз решку, если ему нужен «нечет», и шесть раз орла, если «чет».

Таким образом, единственная рациональная стратегия для обо­их игроков заключается в том, чтобы открывать монету случайным образом. Тогда после достаточно большого количества игр в поло­вине случаев выпадет «чет», а в половине — «нечет». Эта игра бы­стро надоедает.

Математический результат, полученный фон Нейманом, заклю­чается в доказательстве того, что это единственный исход, если оба игрока используют рациональную стратегию игры. Это не закон вероятности, утверждающий, что шансы в этой игре 50 на 50. Ско­рее, сами игроки являются причиной такого результата. Статья фон Неймана в этом плане недвусмысленна:

Даже если правила игры не содержат элементов «риска» (т. е. вытяги­вания из урны)... зависимость от... статистического элемента настолько свойственна игре самой по себе (если не всему миру), что нет необхо­димости вводить его искусственно4.

Внимание, которое привлекла к себе статья фон Неймана, пока­зывает, что в ней было нечто важное с точки зрения математики. Лишь позднее ему самому стало ясно, что теория игр затрагивает не только математиков.

В 1938 году, когда фон Нейман еще был в Принстоне и общался с Эйнштейном и его друзьями, он встретил экономиста из Герма­нии Оскара Моргенштерна (Morgenstern), который стал его незаме­нимым помощником. Он немедленно оценил теорию игр и сказал фон Нейману, что хочет написать о ней статью. Хотя его матема­тические способности были не на уровне задачи, Моргенштерн убе­дил фон Неймана сотрудничать с ним в написании статьи, и это сотрудничество растянулось на все годы войны. Результатом их со­вместных усилий стала «Теория игр и экономическое поведение» («Theory of Games and Economic Behavior») — классическая работа как собственно по теории игр, так и по ее применению в ходе при­нятия решений в экономике и бизнесе. Они закончили объемистую книгу — 650 страниц — в 1944 году. Издательство Принстонского университета, сославшись на войну и дефицит бумаги, отказалось ее публиковать. В конце концов один из членов семьи Рокфеллера в 1953 году субсидировал издание.

Экономические проблемы не были чем-то совершенно новым для фон Неймана. Он и раньше интересовался экономикой, пыта­ясь понять, чего можно достичь, используя математику для разра­ботки модели экономического роста. Он был не только математи­ком, но и физиком, а потому был особенно восприимчив к понятию равновесия. «Поскольку экономисты сплошь и рядом имеют дело с количествами, — писал фон Нейман, — экономика должна быть математической наукой по существу, если не по языку... тесная аналогия со статистической механикой».

Моргенштерн родился в Германии в 1902 году, но вырос и по­лучил образование в Вене. К 1931 году он был уже достаточно при­знан как экономист, чтобы стать преемником Фридриха фон Хайе-ка (fon Hayek) на посту директора престижного Венского института исследований делового цикла. Хотя он был христианином с приме­сью антисемитизма, в 1938 году, после вторжения Германии в Ав­стрию, он уехал в Соединенные Штаты и скоро нашел место на экономическом факультете в Принстоне5.

Моргенштерн не верил в возможность использования экономи­ческой науки для предсказания деловой активности. Он доказывал, что потребители, бизнесмены и политики учитывают прогнозы и в соответствии с ними меняют свои решения и действия. Эти изме­нения заставляют прогнозистов изменять прогнозы, побуждая пуб­лику к новым реакциям. Моргенштерн сравнивал эту постоянную обратную связь с игрой Шерлока Холмса и профессора Мориарти, старающихся перехитрить друг друга. Отсюда следовал вывод, что в экономике статистические методы пригодны только в описательных целях, «но твердолобые, кажется, не отдают себе в этом отчета»6.

Моргенштерна раздражала идея о возможности идеального про­гноза, господствовавшая в экономической теории XIX века. Никто, утверждал Моргенштерн, не может знать, что собираются делать все остальные в любой данный момент: «Неограниченный прогноз и экономическое равновесие взаимно несовместимы»7. Фрэнк Найт высоко оценил этот вывод и предложил перевести статью Морген­штерна с немецкого на английский.

Кажется, Моргенштерн был лишен шарма. Нобелевский лауре­ат Пол Самуэльсон (Samuelson), автор самого популярного в тече­ние нескольких десятилетий учебника по экономике, так писал о нем: «Наполеоновский комплекс... постоянно ссылается на автори­тет каких-то физиков или других ученых».(Кажется, их «любовь» была взаимной. Моргенштерн был невысокого мнения о мате­матических познаниях Самуэльсона. Наябедничав, что, по словам фон Неймана, Са­муэльсон имеет «смутное представление о стабильности», он пророчил, что «ему и тридцати лет не хватит, чтобы понять теорию игр!», см.: [Leonard, 1994, р. 494п]. Репке, тоже христианин, намного откровеннее, чем Моргенштерн, рассказывал о при­чинах, заставивших его покинуть гитлеровскую Германию).

Другой современник утверждал, что принстонские экономисты «просто терпеть не мог­ли Оскара»9. Да и сам Моргенштерн жаловался на недостаток вни­мания к своему любимому детищу. После посещения Гарварда в 1945 году он заметил, что «никто из них» не проявил никакого интереса к теории игр10. В 1947 году его огорчил экономист Репке, назвавший теорию игр «досужей венской болтовней» 2), а в 1950 году при посещении группы выдающихся экономистов в Роттерда­ме он обнаружил, что они «знать ничего не хотели о [теории игр], потому что она их раздражает».

Моргенштерн в свою очередь презирал лишенную строгости трактовку Кейнсом проблемы определенности и отзывался о его «Общей теории» как о «просто чудовищной работе», но, даже бу­дучи энтузиастом использования математических методов в эконо­мическом анализе, постоянно жаловался на свои проблемы с но­выми материалами, которые подсовывал ему фон Нейман11. К фон Нейману Моргенштерн относился с благоговением. «Он загадочный человек, — написал он как-то. — Столкнувшись с чем-то научным, он весь загорается, проясняется, оживает, потом гаснет, погружа­ется в спячку, ведет поверхностные сумбурные разговоры... В нем есть что-то непостижимое».

Перспектива увязать холодный математический расчет теории игр с коллизиями экономики показалась заманчивой и математи­ку, интересующемуся экономикой, и экономисту, увлеченному ма­тематикой. Дополнительным стимулом к их сотрудничеству по­служило разделяемое обоими ощущение того, что, говоря словами Моргенштерна, использование математики в экономике пребывало тогда «в плачевном состоянии»12.

Действовали здесь и высшие мотивы: стремление сделать мате­матику столь же мощным инструментом анализа общества, каким она проявила себя в естественных науках. Но если в наши дни та­кое стремление приветствовалось бы большинством представителей общественных наук, в конце 1940-х годов оно, вероятнее всего, и было главной причиной отторжения самой идеи применения тео­рии игр. В то время академическим курятником правил Кейнс, а он считал невозможным математическое описание человеческого поведения.

«Теория игр и экономическое поведение» не теряла времени на апологию применения математических методов в ходе принятия экономических решений. Фон Нейман и Моргенштерн отвергли как «совершенно ошибочный» аргумент, будто человеческие и психологические аспекты экономики препятствуют использованию математического анализа. Указывая на то, что математику начали использовать в физике только в XVI веке, а в химии и биологии — в XVIII, они утверждали, что перспективы математизации этих наук «в эти ранние периоды вряд ли могли быть лучшими, чем в экономике — mutatis mutandis* (С соответствующими изменениями, на свой манер (лат.). Примеч. Переводчика) — сегодня»13.

Фон Нейман и Моргенштерн отвергали возражения, основанные на том, что их строгие математические операции и упор на кван-тификацию являются нереалистическими упрощениями, потому что «рядовой человек... осуществляет экономическую активность в сфере господства неопределенности»14. Ведь в конце концов свет и тепло люди тоже воспринимают нечетко:

Чтобы превратить физику в науку, эти явления (тепло и свет) нужно было измерить. А в результате люди начали использовать — прямо или косвенно — результаты таких измерений даже в повседневной жизни. То же самое может случиться в будущем и в экономике. Когда с помощью теории, использующей [измерения], удастся достичь более полного понимания человеческого поведения, человеческая жизнь мо­жет существенно измениться. А это означает, что изучение этих про­блем не обязательно представляет собой упадок науки»15.

В «Теории игр и экономическом поведении» анализ начинается с простого примера: человек выбирает между двумя альтернатива­ми, как при выборе между орлом и решкой в игре в «чет и нечет». Но на этот раз фон Нейман и Моргенштерн проникают значительно глубже в природу принятия решений, заставляя человека делать выбор не между двумя простыми возможностями, а между двумя комбинациями событий.

Они рассматривают пример с человеком, который предпочитает кофе чаю, а чай молоку16. Ему задают вопрос: «Что ты предпоч­тешь — чашку кофе или стакан, в котором с шансами 50 на 50 бу­дет чай или молоко?» Естественно, он выберет чашку кофе.

А если сменить его предпочтения и задать тот же вопрос? Пусть на этот раз он предпочитает молоко и чаю, и кофе, но все-таки лучше кофе, чем чай. Теперь выбор между гарантированным кофе и воз­можностью с равной вероятностью получить чай или молоко стано­вится менее очевидным, чем в первом случае, потому что неопреде­ленный исход сулит ему выполнение главного желания (молоко) или же то, что ему нужно меньше всего (чай). Изменяя вероятности на­хождения в стакане чая или молока и спрашивая, в какой момент для человека гарантия получения кофе и игра на получение молока с риском получить вместо него нежеланный чай станут одинаково предпочтительны, мы можем получить количественную оценку — фиксированное число — для измерения степени предпочтительности молока, кофе и чая.

Пример становится более наглядным, если перейти к технике измерения выгоды — степени удовлетворенности — от обладания одним долларом по сравнению с выгодой от получения второго дол­лара, то есть обладания двумя долларами. Теперь для человека луч­шим исходом должно быть обладание двумя долларами, которое мы поставим на место получения молока в предыдущем примере; отсут­ствие денег займет теперь место чая, как наименее благоприятного исхода, и один доллар займет место среднего по предпочтительности варианта — получения кофе.

Сделаем опыт более реалистичным и будем измерять полезность, т.е. степень удовлетворения. Пусть наш человек выбирает между гарантированным одним долларом и возможностью получить либо еще один, либо остаться без ничего.

С вероятностью 50% человек получает два доллара и с вероят­ностью 50 — ноль, то есть математическое ожидание в игре равно одному доллару. Если человек скажет, что ему безразлично, играть ли, чтобы с равными шансами получить два доллара или ничего, или получить без игры один доллар, можно считать, что он нейт­рален к риску при столь малых ставках. В соответствии с форму­лой, предложенной фон Нейманом и Моргенштерном, вероятность самой желанной возможности — в этом случае получить два долла­ра — определяет, насколько человек предпочитает один доллар вме­сто нуля по сравнению с тем, насколько он предпочитает два доллара вместо нуля. Здесь 50% означают, что его предпочтение получить один доллар вместо нуля составляет половину от его предпочтения получить два доллара вместо нуля. В такой ситуации полезность двух долларов вдвое больше полезности одного доллара.

Ответы других людей или при других обстоятельствах могут сильно отличаться. Посмотрим, что произойдет, если мы увеличим ставки и изменим вероятности в игре. Предположим теперь, что этот человек безразличен к альтернативе гарантированно получить 100 долларов или игре с 67% вероятности получить 200 долларов и с 33% вероятности не получить ничего. Математическое ожидание в этой игре составляет 133 доллара; иными словами, предпочти­тельность гарантированного исхода — получения 100 долларов — теперь больше, чем когда речь шла только о паре долларов. 67% ве­роятности получения 200 долларов означают, что его предпочтение получить 100 долларов вместо нуля составляет две трети от предпоч­тения получить 200 долларов вместо нуля: полезность от первых 100 долларов выше, чем полезность от последующих 100 долларов. Полезность большей суммы уменьшается, когда сумма денег, под­вергающаяся риску, увеличивается с однозначного числа до трех­значного.

Если все это кажется вам знакомым, то так оно и есть. Рассуж­дение здесь то же самое, что и при вычислении «эквивалента опре­деленности», который мы получали из фундаментального принципа Бернулли, утверждавшего, что полезность от увеличения богатства обратно пропорциональна количеству уже имеющегося богатства (см. гл. 6, с. 123-124). В этом суть избежания риска — насколько мы готовы принимать решения, способные побудить других принять ре­шения, результаты которых будут неблагоприятны для нас. Эта ли­ния анализа ведет от фон Неймана и Моргенштерна прямо к клас­сическим рациональным методам, потому что разумные люди все­гда ясно понимали свои предпочтения, неуклонно следовали им и представляли их себе именно так.

Алан Блиндер (Blinder), многолетний сотрудник Принстонского экономического факультета, соавтор популярного учебника по эко­номике и вице-председатель Совета управляющих Федеральной ре­зервной системы с 1994-го по 1996 год, предложил интересный пример из теории игр17. Пример появился в статье, опубликован­ной в 1982 году. Он посвящен вопросу о том, возможна ли или да­же желательна ли координация между денежной политикой, кото­рая включает в себя контроль величины краткосрочного процента и денежного предложения, и фискальной политикой, определяю­щей сбалансированность расходов федерального правительства и налоговых поступлений.

Участниками игры являются руководители Федеральной резерв­ной системы (ФРС) и политики, определяющие соотношение между расходами и налоговыми доходами федерального бюджета. Основной задачей руководства ФРС является контроль за инфляцией, в силу чего они предпочитают политику охлаждения экономики политике ее разогрева. Срок службы членов Совета управляющих ФРС — 14 лет, а президент Федерального резервного банка сохраняет свою долж­ность вплоть до ухода на пенсию, — это в значительной степени защищает их от политического давления. С другой стороны, поли­тики регулярно переизбираются, так что им выгоднее сражаться за подогрев, а не за охлаждение экономики.

В ходе игры противники стараются принудить друг друга к принятию неприятных решений. Руководители ФРС хотели бы, чтобы сумма налоговых поступлений была больше суммы феде­ральных расходов, что предупреждает возникновение бюджетного дефицита. Профицит бюджета является средством сдерживания инфляции и, следовательно, защищает руководителей ФРС от уп­реков в плохой работе. Политики, которые беспокоятся о переиз­брании, предпочли бы, чтобы ФРС удерживала процентные ставки на низком уровне, денежное предложение — на высоком. Такая политика стимулирует деловую активность и занятость населения и может избавить конгресс и президента от бюджетного дефицита. Каждая сторона не хочет делать то, чего хочет другая.

Блиндер построил матрицу, показывающую предпочтения каж­дой стороны в ответ на три возможных решения противоположной стороны: охлаждать экономику, ничего не предпринимать, разогре­вать экономику.

Матрица предпочтений Блиндера

Источник: Alan S. Blinder, Issues in the Coordination of Monetary and Fiscal Policies // Monetary Policy Issues in the 1980s. Kansas City, Missouri: Federal Reserve Bank of Kansas City, 1982, p. 3-34.

В каждом квадрате числа над диагональю представляют поря­док предпочтений для руководства ФРС, числа под диагональю — для политиков.

Наиболее предпочтительные для руководства ФРС варианты (1, 2 и 3) наблюдаются в верхнем левом углу матрицы, где по крайней мере одна сторона проявляет склонность к антиинфляционной по­литике (охлаждение), а другая или поддерживает этот курс, или не раскачивает лодку. Руководители ФРС явно предпочитают, чтобы политики играли им на руку. Три варианта, наиболее предпочтительных для политиков, представлены в правом нижнем углу, где по крайней мере одна сторона выступает за ослабление денежной и кре­дитной политики, а другая или поддерживает эту идею, или не рас­качивает лодку. Политики явно предпочитают, чтобы федеральные чиновники загружали деньги в экономику, а политики могли бы не сопротивляться этому, т. е. ничего не делать. Наименее желательные варианты для политиков представлены в левом столбце, а для руко­водства ФРС — в нижней строке. Вряд ли в этой ситуации вероятно достижение удовлетворяющего обе стороны соглашения.

Чем закончится игра? Если предположить, что отношения между чиновниками Федеральной резервной системы и политиками тако­вы, что сотрудничество и координация их действий невозможны, игра закончится в левом нижнем углу, где денежно-кредитная поли­тика антиинфляционна, а бюджетно-налоговая политика ведет к де­фициту бюджета. Именно так обстояло дело в первые годы прези­дентства Рейгана, когда Блиндер писал эту статью.

Почему такой исход, а не другой? Во-первых, обе стороны здесь проявили свой характер — жесткая денежная политика ФРС и щед­рые политики. Мы полагаем, что чиновники ФРС не могут убедить политиков в пользе бюджетного профицита, а политики в свою оче­редь не могут убедить руководство ФРС снизить процентные ставки; ни одна сторона не имеет ни малейшего желания ни уступить, ни занять нейтральную позицию.

Посмотрите, что происходит сверху и справа от этих двух семерок. Обратите внимание, что под диагоналями (предпочтения политиков) выше по левой вертикали нет ни одного числа, меньшего семи, и что выше диагоналей (предпочтения ФРС) справа по нижней горизонта­ли тоже нет ни одного такого числа. Коль скоро руководство ФРС склонно к охлаждению, а политики — к разогреву экономики, обе стороны вынужденно заключают лучшую из худших сделок.

Это не случай в правом верхнем углу, где жесткая бюджетная политика обеспечивает бюджетный профицит. Проследив налево по горизонтали и над диагоналями, мы заметим, что порядок пред­почтительности обоих результатов для руководства ФРС выше че­тырех: они скорее ничего не предпримут или ужесточат денежную политику, чем пойдут на политику разогрева экономики, которая может привести к инфляции. У политиков другая перспектива. Глядя вниз по вертикали ниже диагоналей, мы заметим, что ранг этих решений выше четырех: политики скорее соглашаются без­действовать или пойти на дефицит бюджета, чем согласиться с по­литикой, которая может для них обернуться потерей голосов изби­рателей на следующих выборах из-за всплеска безработицы.

Этот исход известен как равновесие Нэша, по имени Джона Нэша (Nash), другого принстонца и одного из лауреатов Нобелевской премии за 1994 год за вклад в теорию игр18. Равновесие Нэша обещает хоть и стабильный, но не оптимальный исход. Очевидно, обе стороны предпочтут почти что угодно, только не это. Однако они не смогут добиться лучшего соглашения, пока не пойдут на взаимные уступки и не выработают совместно общую политику, которую каждая сторона поддержала бы или осталась по отноше­нию к ней нейтральной, — роль, которая удержала бы их от кон­фронтации. Этот пример принципиально отличается от ситуации, сложившейся в 1994 году, когда ФРС пошла на сокращение денеж­ной массы, а политики вопреки обыкновению были готовы этому не препятствовать.

Игра Блиндера дает ясное представление о поведении по отно­шению друг к другу соперничающих сил в Вашингтоне. Она может быть использована и для описания множества других ситуаций. Сбросить бомбу, ничего не делать или искать мира. Снизить цены, ничего не делать или поднять цены. Торговаться с учетом своих карт и вероятности, пасовать или блефовать в покере.

В примере Блиндера игроки знают намерения друг друга, что бывает довольно редко. Здесь также не учитываются предпочтения потребителей, наемных работников и бизнесменов, интересы кото­рых сильно затрагиваются исходом игры. Если мы изменим пра­вила игры, увеличив число игроков или ограничив их возможности получать информацию, нам придется обратиться к высшей матема­тике. Как заметили фон Нейман и Моргенштерн, «...теория общест­ва подкидывает нам сложнейшие теоретические построения».

В августе 1993 года Федеральная комиссия связи решила про­давать с аукциона права на частотные диапазоны для теле- и ра­диостанций. На каждую из 51 зоны, на которые разделена страна, должно быть выпущено по две лицензии; ни один покупатель не имеет права купить больше одной лицензии в любой зоне. Обычная процедура на этих торгах заключается в том, что называются пред­лагаемые цены и лицензию получает тот, кто предложит больше денег. На этот раз по совету профессора Стэнфордского университе­та Пола Милгрома (Milgrom) Федеральная комиссия связи устано­вила правила проведения аукциона в соответствии с рекомендаци­ями теории игр, назвав его «спектральным аукционом».

Во-первых, все предлагаемые цены должны быть открыты и каждый претендент в любой момент может знать, что делают ос­тальные. Во-вторых, торги должны проводиться в несколько раун­дов, до тех пор, пока соперники не перестанут поднимать цены. В-третьих, между раундами покупатели имеют право переадресо­вать предлагаемые ими цены с одной зоны в другую или одновре­менно предложить цену за частотные диапазоны в соседних зонах; так как иметь лицензии в соседних зонах выгодно, за конкретную лицензию один участник может предложить больше, чем другой. Короче говоря, решение каждого игрока может опираться на зна­ние о решениях всех других игроков.

Претенденты нашли, что в такой ситуации принять решение непросто. Каждый из них должен был строить предположения о на­мерениях других, изучая их репутацию с точки зрения агрессив­ности, финансовых возможностей, имеющихся у них наборов ли­цензий. Бывали случаи, когда предложение одного из покупателей столь ясно говорило другим о его намерениях, что те просто выхо­дили из борьбы за эту конкретную лицензию. Компания Pacific Telesis, нанявшая Милгрома в качестве консультанта на время аук­циона, пошла даже на сбор и анализ всех рекламных объявлений своих потенциальных конкурентов, чтобы определить их готовность выигрывать — все равно что. Некоторые соперники заключали меж­ду собой соглашения, чтобы избежать разорительной конкуренции за лицензии.

Аукцион прошел в 112 раундов, продолжался три месяца и принес в федеральный бюджет 7,7 млрд. долларов. Некоторые ут­верждали, что правительство могло бы получить больше денег, ес­ли бы Федеральная комиссия запретила сговор между покупателя­ми, но вполне возможно, что лицензии оказались размещены более эффективно и экономично, чем при использовании традиционной процедуры.

Стремление избежать разрушительной конкуренции на аукцио­не понятно. Победители на таких аукционах часто страдают от синдрома, известного как «проклятие победителя», — за победу было заплачено слишком дорого. Чтобы заполучить «проклятие победителя», не обязательно участвовать в экзотических аукцио­нах. Та же болезнь доступна любому инвестору, который в спешке покупает акции, на которые ему дали «100-процентную наводку». Чтобы не допустить подобной неприятности, торги часто проводят с использованием компьютеров по системе, напоминающей прави­ла спектрального аукциона. Игроки — обычно это крупные финан­совые учреждения вроде пенсионных фондов или взаимных инвестиционных фондов — анонимны, но предлагаемые ими цены ото­бражаются на экране дисплея вместе с предельными ценами, выше которых инвесторы не будут покупать и ниже которых продавцы не будут продавать.

В январе 1995 года издание «Pensions and Investments» опубли­ковало сообщение о другом применении теории игр в инвестирова­нии. В Чикаго компания ANB Investment Management & Trust ис­пользовала стратегию, предназначенную для предотвращения синд­рома «проклятия победителя». Нейл Райт (Wright), руководитель отдела инвестирования, отметив, что он ориентировался на страте­гию равновесия Нэша, объяснил, что болезнь «проклятие победите­ля» обычно ассоциируется с акциями, для которых характерен чрез­вычайно широкий диапазон цен, «свидетельствующий о сильной неопределенности перспектив компании». Широкий диапазон цен говорит также об ограниченности ликвидных средств, что означает, что относительно малый объем продаж или покупок сильно повлия­ет на цену акций. В соответствии с этим Райт решил отбирать для своего портфеля акции с узким диапазоном цен — знак того, что у публики, а точнее говоря, у продавцов и покупателей, есть единое мнение о судьбе этих компаний и о разумной цене их акций. Расчет состоял в том, что эти акции могут быть куплены по цене, немного превышающей ту, вокруг которой сплотились мнения рынка.

Фон Нейман и Моргенштерн заложили в основу «Теории игр и экономического поведения» важный стереотип человеческого пове­дения: выигрыши, которые выпадут на долю человека, максимизи­рующего свою полезность, — т. е. заключающего лучшую из возмож­ных сделок в пределах ограничений, налагаемых теорией игр, — бу­дут зависеть от того, сколько он «сможет получить, если будет вес­ти себя разумно. Это „сможет получить" [выигрыш, который мож­но ожидать] является, конечно, минимумом; он может получить и больше, если другие наделают ошибок (поведут себя неразумно)»19.

Это условие стало главной проблемой для критиков, включая та­ких известных психологов, как Дэниел Эллсберг (Ellsberg) и Ричард Талер, с которыми мы еще встретимся позже. В 1991 году в резкой критической статье историк Филип Мировски (Mirowski) утверж­дал: «Все нехорошо в доме теории игр: в сказочной стране у каждого инфаркт и признаки патологии, которых больше не скрыть»20. Он цитирует критические высказывания нобелевских лауреатов Генри Саймона (Simon), Кеннета Эрроу и Пола Самуэльсона. Он утверж­дает, что теория игр никогда бы ничем не стала, если бы фон Ней­ман не всучил ее военным; он даже доходит до предположений, что «кое-кто возлагает ответственность за развертывание ядерного ору­жия на теорию игр»21. Мировски утверждает, что Моргенштерн был «послан Богом» фон Нейману, потому что именно он предложил экономистов в качестве «потребителей» теории игр, когда никто о ней и слыхом не слыхал. Мировски критикует наивность и упро­щенность их определений понятия «рациональность», «которым, увы, так злоупотребляют» и которое он сам характеризует как «стран­ный напиток*"2.

Тем не менее постулат теории игр о рациональности поведения и уверенность фон Неймана и Моргенштерна в том, что такое пове­дение может быть измерено и выражено количественными показа­телями, породили поток захватывающих теорий и практических приложений. Как видно из приведенных мною примеров, влияние теории игр вышло далеко за пределы интересов военных.

В 1950-х и 1960-х годах были предприняты новые попытки расширить область применения рациональных методов, особенно в экономике и финансовом деле. Некоторые из возникших тогда идей кажутся сегодня бессодержательными; в главах 16 и 17 мы подвергнем эти идеи критическому анализу. Но следует отдавать себе отчет, что до 1970-х годов значительная часть обаяния идеи рациональности, измерений и использования математики для про­гнозирования в немалой степени была обусловлена оптимизмом, порожденным великой победой во Второй мировой войне.

Возврат к мирной жизни считался благоприятной возможнос­тью извлечь пользу из болезненных уроков, полученных за долгие годы депрессии и войны. Человечество, по-видимому, истоскова­лось по утраченной ясности эпохи Просвещения и Викторианской эпохи. Экономическая теория Кейнса пользовалась поддержкой как средство управления циклами деловой активности и обеспече­ния полной занятости. Целью Бреттон-Вудских соглашений был возврат к стабильности, которую дала XIX веку система золотого стандарта. Для ускорения экономического прогресса слаборазви­тых стран были созданы Международный валютный фонд и Все­мирный банк. А Организация Объединенных Наций должна была обеспечить сохранение мира между народами.

В этой ситуации вновь стала популярна характерная для Вик­торианской эпохи идея разумности поведения. Измерения надеж­нее интуиции: разумные люди делают выбор скорее на основе ана­лиза информации, чем потакая собственным капризам, эмоциям и привычкам. Проанализировав всю доступную информацию, они принимают решения в соответствии с четко определенными пред­почтениями. Они предпочитают большее богатство меньшему и стремятся к максимизации полезности. Но они также склонны из­бегать риска в смысле утверждения Бернулли о том, что полез­ность дополнительного богатства обратно пропорциональна объему уже имеющегося.

Поскольку понятие рациональности было так хорошо разрабо­тано и получило признание в научных кругах, его преобразование в набор правил управления риском и максимизации полезности не могло не оказать влияния на мир инвестиций и управления ресур­сами. Ситуация благоприятствовала этому.

Достигнутые вследствие всего этого результаты принесли ода­ренным ученым Нобелевские премии, а определения риска и раз­вившиеся на их основе практические приложения революционизи­ровали принципы управления инвестициями, структуру рынков, используемые инвесторами методы анализа и поведение миллионов людей, поддерживающих работоспособность системы.

Глава 15

Странный случай

с безымянным

биржевым маклером

Эта глава целиком посвящена вопросам измерения риска при инвестировании в ценные бумаги. Может показаться, что квантификация инвестиционного риска невозможна, но в совре­менных условиях глобализации финансовых рынков этим успеш­но — и с немалой пользой — занимаются профессиональные инвес­торы. Чарлз Чемпион (Tschampion), распорядитель пенсионного фон­да компании General Motors с капиталом 50 миллиардов долларов, недавно заметил: «Управление инвестициями — это не наука и не искусство, это конструирование. <...> Мы занимаемся конструиро­ванием и управлением финансовым риском». По словам Чемпиона, основная задача GM в том, чтобы «не рисковать больше, чем необхо­димо для получения намеченных прибылей»1. За этими словами стоит глубокое философское и математическое понимание проблемы.

На протяжении большей части истории фондовых рынков, на­считывающей около 200 лет в Соединенных Штатах и еще больше в странах Европы, никто не определял риск с помощью чисел. С ак­циями всегда была связана та или иная степень риска, и люди ми­рились с этим. Источником риска были не числа, а люди. Целью агрессивных инвесторов была просто максимальная прибыль, более осторожные довольствовались сберегательными счетами и надеж­ными долговременными облигациями.

Весьма поучительное, хотя и умышленно туманное суждение о риске прозвучало в 1830 году2. Оно содержится в решении суда по делу об управлении имуществом Джона Маклина из Бостона. Мак-лин скончался 23 октября 1823 года, оставив состояние в 50 000 дол­ларов доверительному фонду с тем, чтобы его жена до конца своих дней получала «доход и прибыль»; оставшееся после ее смерти со­стояние должно было быть разделено поровну между Гарвардским колледжем и массачусетской больницей общего типа. После смерти миссис Маклин, последовавшей в 1828 году, состояние оценива­лось всего в 29 450 долларов. Колледж и больница сразу предъя­вили иск к доверительному фонду.

В обосновании своего решения по делу судья Сэмюэл Патнем от­метил, что доверительный фонд поступил «честно, законно и обо­снованно в соответствии со сложившимися в ходе исполнения его обязанностей обстоятельствами». Он заявил, что фонд не может не­сти ответственность за сохранность капитала, который растрачен не «по их недосмотру... иначе в таких зависящих от случая обстоятель­ствах кто взял бы на себя ответственность?». Далее он продолжил словами, которые заслуживают увековечения в качестве наставле­ния благоразумному человеку:

Делайте что хотите, но капитал — это риск... Все, что можно требовать от попечителя капитала, — это быть честным и проявлять известную осмотрительность. Он должен присматриваться, как ведут свои дела люди благоразумные и осторожные, ориентируясь не на спекуляции, а на постоянное размещение своих средств, сообразуясь как с вероятной прибылью, так и с безопасностью помещаемого капитала.

Так оно все и застыло на 122 года.

В июне 1952 года ведущий академический журнал по финансо­вым вопросам «Journal of Finance» опубликовал статью под назва­нием «Формирование портфеля»3 объемом в четырнадцать страниц. Ее автором был никому не известный выпускник Чикагского уни­верситета Гарри Маркович. Статья была настолько новаторской и оказала впоследствии такое влияние на теорию и практику финан­совой деятельности, что в 1990 году принесла ее автору Нобелевскую премию по экономике.

Обратившись к теме акционирования, Маркович занялся про­блемой, которая в серьезных журналах до сих пор считается слиш­ком непредсказуемой и рискованной для трезвого академического анализа. При этом он рассмотрел наиболее сложную задачу — управ­ление всем богатством инвестора, его портфелем1.(Слово портфель (portfolio) имеет латинские корни и происходит от portare, что зна­чит 'нести', и folio, что значит 'страница' или 'лист'. Portfolio означает 'набор бу­маг, фиксирующих имущественные права').

Он исходил из того, что портфели ценных бумаг принципиально отличаются от па­кетов акций отдельных компаний, рассматриваемых изолированно.

Его не интересовали характерные для большей части литературы о фондовом рынке благоглупости вроде поучений балетного танцора, как без особых усилий стать миллионером или гуру среди пророков фондового рынка4. Он не пытался изложить свои идеи на типичном для большинства статей о фондовом рынке общедоступном языке. В те времена, когда любое применение математики в экономической науке, в частности в ее разделах, касающихся финансов, было большой редкостью — надежды Джевонса и фон Неймана взломать этот лед еще не вполне оправдались, — десять из четырнадцати страниц статьи Марковича были заполнены уравнениями и сложными графиками.

Маркович скуп на ссылки и библиографию — в статье всего три ссылки на других авторов, и это несмотря на то, что в академиче­ских кругах принято оценивать подобные работы по количеству ссылок на тексты, которые автор сумел обработать. Это отсутствие ссылок на интеллектуальных предшественников любопытно: мето­дология Марковича является синтезом идей Паскаля, де Муавра, Байеса, Лапласа, Гаусса, Гальтона, Даниила Бернулли, Джевонса, фон Неймана и Моргенштерна. Она основывается на теории веро­ятностей, выборке, колоколообразной кривой и дисперсии относи­тельно среднего, регрессии к среднему и теории полезности. Мар­кович сказал мне, что ему были известны все эти идеи, но он не был знаком с их авторами, хотя и потратил немало времени на изу­чение книги фон Неймана и Моргенштерна об экономическом по­ведении и полезности.

Маркович уверенно вошел в круг тех, кто считал людей способ­ными к принятию рациональных решений. Он стал носителем духа первых послевоенных лет, когда многие представители социальных наук стремились возродить свойственную Викторианской эпохе веру в измерения и убеждение, что мировые проблемы могут быть решены.

Как ни странно, он не проявлял никакого интереса к вложени­ям в акции и ничего не знал о фондовом рынке до того момента, когда впервые обратился к идеям, из которых потом возникла ра­бота «Формирование портфеля». Будучи студентом, он занимался сравнительно новой областью — линейным программированием, большой вклад в развитие которого внес фон Нейман. Основная задача линейного программирования — это разработка математических моделей минимизации издержек при постоянном объеме производ­ства, или максимизации объема производства при неизменной ве­личине издержек. Методы линейного программирования полезны, например, в авиакомпании, которая хочет по возможности полно загружать имеющийся парк самолетов, обслуживая при этом мак­симальное число маршрутов.

Однажды, дожидаясь профессора, чтобы обсудить тему своей докторской диссертации, Маркович разговорился с оказавшимся в приемной биржевым маклером, который уговорил его применить линейное программирование к проблемам инвесторов на фондовом рынке. Профессор горячо поддержал предложение брокера, хотя сам имел столь смутное представление о фондовом рынке, что не смог посоветовать Марковичу, как и с чего начать. Он отослал его к декану Школы бизнеса, который, как он надеялся, мог кое-что знать об этом предмете.

Декан посоветовал Марковичу почитать «Теорию инвестиций» («The Theory of Investment Value»)