Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Методичні рекомендації'
Принципові розрізнення у підходах до наукової типології особистості. Короткий огляд наукових типологічних систем К.Г.Юнга, П.Б.Ганнушкіна, К.Леонгард...полностью>>
'Лекция'
Экспериментальное изучение излучения нагретых тел показало, что любое нагретое тело излучает ЭМ волны (свет) в широком диапазоне, причем интенсивност...полностью>>
'Учебно-тематический план'
2.1 Основные методы решения уравнений механики жидкости и газа – метод конечных разностей, метод конечных элементов, метод контрольного объема, спект...полностью>>
'Закон'
Стратегия социально-экономического развития Чувашской Республики до 2020 года (далее - Стратегия) - это система мер государственного управления, осно...полностью>>

Бернстайн П. Б51 Против богов: Укрощение риска / Пер с англ (1)

Главная > Документ
Сохрани ссылку в одной из сетей:

Леонардо был мало знаком с математикой до встречи с Паццио­ли, хотя имел интуитивное понимание пропорций и хорошее гео­метрическое воображение. Его записные книжки и раньше были заполнены изображениями прямоугольников и кругов, но Паццио­ли побудил его к математическому осмыслению понятий, ранее ис­пользуемых интуитивно. Мартин Кемп, один из биографов Леонар­до, отмечает, что Пацциоли «стимулировал внезапно появившиеся у Леонардо математические амбиции, обусловившие переориента­цию его интересов в направлении, на котором ни один из ученых современников ему не сопутствовал». Леонардо отблагодарил Пац­циоли, снабдив рисунками написанную им большую книгу «De Divine Proportione» («Божественная пропорция»), которая появилась в двух прекрасно оформленных манускриптах в 1498 году. Ее печатное из­дание вышло в свет в 1509 году.

Леонардо имел экземпляр «Summa» и, должно быть, прилежно проштудировал его. Его записные книжки свидетельствуют о по­вторяющихся попытках освоить умножение и дроби в применении к использованию пропорций. В одном месте он напоминает себе, что должен «изучить умножение корней по мастеру Луке». По ны­нешним меркам математические познания Леонардо соответствова­ли бы уровню третьего арифметического класса.

Тот факт, что у таких гениев Ренессанса, как Леонардо, было столько трудностей с элементарной арифметикой, дает представле­ние о состоянии математических знаний в конце XV века. Каким образом математики нашли в себе силы с этих позиций сделать пер­вые шаги к созданию методов измерения риска и контроля за ним?

Сам Пацциоли чувствовал, какие огромные возможности таятся в волшебстве чисел. В тексте «Summa» он предложил следующую задачу:

А и В играют в balla* (Игра в мяч. — Примеч. переводчика.). Они договорились играть, пока один из них не выиграет шесть конов. На самом деле игра прекратилась, когда А вы­играл пять, а В три кона. Как поделить банк?3

В течение XVI и XVII столетий математики вновь и вновь об­ращались к этой головоломке. Она имела много вариаций, но все­гда вопрос сводился к одному: как поделить банк в неоконченной игре? Предлагались разные ответы, разгорались горячие споры.

Головоломка, получившая известность как задача об очках, име­ла более глубокий смысл, чем кажется на первый взгляд. Ее реше­ние ознаменовало начало систематического анализа вероятности — измерения нашего знания о том, что что-то должно произойти. Оно приводит нас на порог квантификации риска.

Получив представление о том, каким могучим барьером на пути ис­следования тайн теории вероятностей были предрассудки Средневеко­вья, интересно снова вернуться к вопросу, почему греки и даже рим­ляне не интересовались задачами, подобными головоломке Пацциоли.

Вообще-то греки понимали, что в будущем может произойти больше вещей, чем произойдет на самом деле. Они отмечали, что естественные науки — это, используя терминологию Платона, «науки о возможном». Аристотель в «De Caelo» говорил: «Добиться успе­ха во многих вещах или много раз трудно; например, выбросить не­кую комбинацию в кости десять тысяч раз подряд было бы невоз­можно, но сделать это один или два раза сравнительно легко»4.

Это подтверждалось простыми наблюдениями. Но следует заме­тить, что правила, по которым греки и римляне играли в случайные игры, в наше время показались бы весьма нелепыми. Это тем более странно, что в античном мире такие игры были очень популярны (гре­кам уже были известны шестигранные кости) и являлись настоящей лабораторией для изучения шансов и вероятностей.

Рассмотрим игры с применением таранных костей. В отличие от позднейших кубических костей они продолговатые, с двумя узкими и двумя широкими поверхностями. В играх обычно бросали сразу че­тыре кости. Шансы, что кость выпадет широкой стороной, конечно, выше, чем узкой. Поэтому было бы естественно ожидать, что узкая сторона должна приносить больше очков, чем широкая. Но сумма оч­ков, приносимых менее вероятными узкими сторонами — 1 на одной кости и 6 на другой, — приравнивалась тому, что приносили более ве­роятные широкие стороны, — 3 и 4. Результат же, называемый «Ве­нера», когда на вас смотрят все возможные игровые грани костей — 1, 3, 4, 6, — приносил максимум очков, хотя столь же вероятны ком­бинации 6, 6, 6, 6 или 1, 1, 1, 1, приносившие по правилам меньше очков5.

Кроме того, хотя было очевидно, что длинные серии выигры­шей или проигрышей менее вероятны, чем короткие, эти ожида­ния носили не количественный, а качественный характер: Аристо­тель говорил, что «...сделать это один или два раза сравнительно легко»6. И хотя в эти игры играли повсеместно и с диким азартом, никому не приходило в голову подсчитывать шансы.

Надо полагать, дело было в том, что греки вообще не проявляли интереса к экспериментированию; их занимали только теории и доказательства. Они, кажется, никогда не обсуждали возможность воспроизведения какого-либо явления достаточное для доказатель­ства гипотезы число раз, видимо, потому, что им была чужда мысль об упорядоченности событий на земле. Точность считалась монополией богов.

В отличие от античности во времена Ренессанса каждый, от ученого до изобретателя, от художника до архитектора, испытывал зуд исследований, экспериментирования и демонстрации результа­тов опыта. В этой интеллектуальной атмосфере кто-то из игроков должен был обратить внимание на регулярности, проявляющиеся при так называемой игре в длинную.

Такой игрок появился в XVI веке. Им оказался лекарь по име­ни Джироламо Кардано. Одной только репутации Кардано как азартного игрока, пытавшегося осмыслить закономерности игры, достаточно для упоминания его имени в истории освоения риска, но он проявил выдающиеся таланты и во многих других областях. Удивительно, что в наше время он сравнительно мало известен. Он был олицетворением Ренессанса7.

Кардано родился в Милане около 1500 года и умер в 1571 году. Он был современником Бенвенуто Челлини и, подобно Челлини, од­ним из первых знаменитостей, оставивших автобиографию. Свою книгу он назвал «De Vita Propria Liber» («Книга моей жизни»), и что это была за жизнь! Поистине, его любознательность была сильнее его самого. Характерно увлечение, с которым он, описывая собственную жизнь, обсуждает четыре выдающихся достижения своего времени: вступление в новую эру географических открытий, познакомивших европейцев с двумя третями земной поверхности, о которых древние ничего не знали, изобретение огнестрельного оружия, компаса и кни­гопечатания с использованием набора.

Кардано был худым, с длинной шеей, тяжелой нижней губой, бородавкой над глазом и таким громким голосом, что вызывал раз­дражение даже у друзей. По его собственному признанию, он стра­дал диареей, грыжей, болезнью почек, тахикардией и даже воспа­лением соска. Не без рисовки он пишет о себе: «Я был горяч, про­стодушен и падок на женщин», а также «хитер, силен, саркасти­чен, прилежен, дерзок, печален, вероломен, склонен к чародейству и колдовству, жалок, злобен, похотлив, непристоен, лжив, подобо­страстен, старчески болтлив».

Кардано был игрок из игроков. Он признавался в «неодолимой тя­ге к игорному столу и костям... Долгие годы... я играл не время от времени, но, стыдно сказать, каждый день». Он играл во всё — от ко­стей и карт до шахмат. Он зашел так далеко, что признавал благо­творность игры: «...в периоды потрясений и бедствий... я находил уте­шение в постоянной игре в кости». Кардано терпеть не мог непроше­ных советчиков и все знал о шулерских проделках, в частности осте­регался игроков, «которые натирали карты мылом, чтобы они легко скользили и были послушны в руках». Анализируя в своей книге ве­роятностные закономерности игры в кости, он не забывал осторожно оговориться: «...если игра ведется честно». Тем не менее ему приходилось проигрывать крупно и достаточно часто, чтобы заключить, что «лучший из возможных выигрышей — это отказ от игры». Он, кажет­ся, первым в истории взялся за серьезный анализ случайных игр.

Кардано был не только игроком и математиком «от случая к случаю», но и самым знаменитым врачом своего времени — его настойчиво стремились заполучить многие европейские дворы и Ватикан. Однако он не терпел придворные интриги и отклонял все высокие приглашения. Ему принадлежит первое клиническое опи­сание симптомов тифа, он писал о сифилисе и предложил новый метод операции грыжи. Он говорил, что «человек есть не что иное, как дух; если дух не в порядке, все плохо, если же он здоров, все остальное лечится просто», и был одним из первых пропагандистов купания и душа. Когда его в 1552 году пригласили в Эдинбург для лечения архиепископа Шотландского от астмы, он на основе своих знаний об аллергии порекомендовал пациенту набить перину не пе­рьями и пухом, а некрученым шелком, заменить кожаные наволоч­ки полотняными, а причесываться гребнем из слоновой кости. Перед отъездом из Милана в Эдинбург ему предложили за услуги ежеднев­ную плату в размере десяти золотых крон; когда же через сорок дней он покидал Эдинбург, благодарный пациент вручил ему 1400 крон, не считая дорогих подарков.

Кажется, Кардано был очень занятым человеком. Он опублико­вал 131 печатную работу, сжег, по его словам, еще 170, а после смер­ти оставил 111 неопубликованных рукописей. В его писаниях затра­гиваются самые разные вопросы, касающиеся математики, астро­номии, физики, состава мочи, зубов, жизни Девы Марии, гороско­па Иисуса Христа, морали, аморальности, жизни Нерона, музыки, снов. Его «De Subtilitate Rerum» («О сущности вещей») стала тог­дашним бестселлером и выдержала шесть изданий подряд; в ней обсуждаются научные и философские вопросы наряду с суевериями и загадочными историями.

У него было два сына, заставивших его испытать много горя. В «De Vita» Кардано пишет о старшем сыне Джамбаттисте, своем любимце, что он был «глух на правое ухо, с маленькими бесцветны­ми беспокойными глазами. На левой ноге у него было два пальца; третий и четвертый, если я не ошибаюсь, срослись с большим, обра­зуя гусиную лапу. Он был немного горбат...». Джамбаттиста женил­ся на девушке с подпорченной репутацией, которая была ему невер­на; по ее признанию, муж не был отцом ни одного из ее троих детей. После трех лет семейной жизни, ставшей для него адом, Джамбат­тиста приказал своему слуге приготовить пирог с мышьяком и дал его жене, которая тут же умерла. Кардано сделал все для спасения сына, но Джамбаттиста уже после освобождения из тюрьмы при­знался в убийстве жены. По пути к месту казни, где его обезглави­ли, палачи отрубили ему левую руку и пытали его. Младший сын, Альдр, постоянно обкрадывал своего отца и время от времени по­падал в тюрьму, где побывал не менее восьми раз.

У Кардано был молодой протеже, Лодовико Феррари, блестящий математик, какое-то время служивший секретарем у кардинала Мантуи. В возрасте 14 лет Феррари поселился у Кардано и скра­шивал его старость, называя себя «творением Кардано». Он защи­щал доказательства Кардано в нескольких диспутах с другими ма­тематиками, и многие авторитетные ученые считают, что ему при­надлежали многие идеи, приписываемые его учителю. Но Феррари не смог утешить Кардано, тяжело переживавшего трагедию соб­ственных сыновей. Темпераментный, щедро растрачивавший себя, Феррари потерял все пальцы на правой руке в трактирной ссоре и в 43 года был отравлен то ли сестрой, то ли ее любовником.

Главный математический труд Кардано «Ars Magna» («Великое искусство») вышел в свет в 1545 году; к этому времени Коперник уже опубликовал описание гелиоцентрической планетной системы, а Везалий закончил свой трактат по анатомии. Пятью годами рань­ше в «Основах искусств» («Grounde of Artes») англичанина по имени Роберт Рикорд впервые появились символы «+» и «-». Сем­надцать лет спустя в английской же книге под названием «Оселок остроумия» («Whetstone of Witte») впервые был использован сим­вол «=», потому что «на свете не может быть большей идентично­сти, чем у пары параллельных прямых»8.

«Ars Magna» была первой основательной работой эпохи Ренес­санса по алгебре. В ней Кардано углубляется в решение кубиче­ских и квадратных уравнений и даже ломает голову над квадрат­ными корнями отрицательных чисел, неизвестных до использова­ния цифровой системы счисления и все еще остающихся для мно­гих тайной за семью печатями9. Хотя система алгебраических ус­ловных обозначений в то время еще не устоялась и каждый автор произвольно пользовался собственной символикой, Кардано ввел ис­пользование символов а, & и с, ныне привычных для всех, изучав­ших алгебру. Удивительно, но он не сумел решить головоломку Пацциоли об игре в balla. Несмотря на все старания, ему, как и другим математикам его времени, это не удалось.

Игре посвящен трактат Кардано «Liber de Ludo Aleae» («Книга о случайных играх»). Слово aleae имеет отношение к игре в кости. Aleatorius происходит от того же корня и относится к случайным играм вообще. Эти слова дошли до нас в слове «aleatory», обознача­ющем события с неопределенным исходом. Так элегантная латынь невольно объединила для нас понятия игры и неопределенности.

В «Liber de Ludo Aleae» были предприняты первые серьезные попытки разработать статистические принципы теории вероятнос­тей. Но само слово «вероятность» в тексте не встречается. В назва­нии, которое Кардано дал своей книге, и большей части текста ис­пользуется слово «шансы». Латинские корни слова probability*(Вероятность, правдоподобность. — Примеч. переводчика.) представлены комбинацией probare, что означает 'испытывать, пробовать' или 'проявлять себя', и His, что означает 'способность быть'; именно в этом смысле могло бы оказаться на поверку вер­ным или стоящим рассмотрения предположение, что Кардано мог знать это слово. Понимание связи между вероятностью и случайно­стью, составляющей суть случайных игр, еще около ста лет после опубликования «Liber de Ludo Aleae» не смогло стать достоянием обыденного мышления.

По утверждению канадского философа Яна Хакинга (Hacking), латинские корни слова «вероятность» означают нечто вроде 'заслуживающее проверки'10. Это значение слова сохранялось дол­гое время. В качестве примера Хакинг приводит отрывок из рома­на Даниэля Дефо «Роксана, или Удачливая любовница», датиро­ванного 1724 годом. Леди, убедившая состоятельного мужчину за­ботиться о ней, именно в этом смысле употребляет слово probable, когда говорит: «Я тогда впервые увидела, что значит вести ком­фортабельную жизнь, и это стоило испытать (it was a very probable way)». Это значит, что она создала себе образ жизни, соответст­вующий благосостоянию ее покровителей; как сказал Хакинг, она «сумела выбраться из той грязи, в которой начинала»11.

Хакинг приводит и другой пример толкования этого слова12. Галилео назвал теорию Коперника о вращении Земли вокруг Солн­ца improbable (неправдоподобной, невероятной), потому что она противоречит тому, что люди могут видеть собственными глаза­ми, — Солнце ходит вокруг Земли. Теория была неправдоподоб­ной, потому что не находила подтверждения. Менее столетия спус­тя, используя новое (но все же не новейшее) значение слова, не­мецкий философ Лейбниц охарактеризовал гипотезу Коперника как «несравненно более вероятную». Для Лейбница, пишет Хакинг, «вероятность определяется через очевидность и разум»13. На са­мом деле в немецком слове wahrscheinlich* (Вероятный. — Примеч. переводчика.) хорошо отображается смысл понятия: оно переводится как «кажущееся правдой, прав­доподобное».

Вероятность всегда несет в себе двоякий смысл: с одной стороны, это взгляд в будущее, с другой — истолкование прошлого; с одной стороны, речь идет о наших предположениях, с другой — о том, что мы действительно знаем. Эта двуединость понятия пронизыва­ет все, о чем пойдет речь в этой книге.

В первом смысле вероятность означает степень правдоподобия или приемлемости мнения — хороший взгляд на вероятность. Уче­ные обозначают такое понимание термином «эпистемологический», т. е. не поддающийся до конца анализу и пониманию, находящийся на границе познаваемого и непознаваемого.

Понимание этого первого аспекта возникло значительно рань­ше, чем идея об измерении вероятности. Старое понимание разви­лось с течением времени из идеи проверки: насколько можно при­нимать на веру то, что мы знаем? В случае Галилео вероятность была оценкой того, насколько можно верить тому, о чем нам ска­зали. Использование этого понятия у Лейбница ближе к современ­ному: насколько можно доверять собственному восприятию.

Этот более современный подход не мог получить развития, по­ка математики не разработали теоретическую концепцию частоты событий в прошлом. Кардано мог первым наметить статистический подход к теории вероятностей, но характерное для его времени и психологии игрока отношение к жизни обусловило интерес толь­ко к субъективно-волевому аспекту вероятностей, и такое пони­мание не стыковалось с тем, что он пытался осуществить на пути измерения.

Кардано осознавал, что он стоит перед чем-то значительным. В ав­тобиографии он, оценивая «Liber de Ludo Aleae» как одно из своих главных достижений, отметил, что «открыл разум для тысячи пора­зительных фактов». Заметьте слова «разум для». Упоминаемые в книге факты о частоте исходов были известны каждому игроку, но не было теории, объясняющей эти частоты. Кардано высказывает характерную для теоретика жалобу: «...эти факты много дают для понимания, но вряд ли что-либо для самой игры».

В автобиографии Кардано сообщает, что написал «Liber de Ludo Aleae» в 1525 году, будучи еще молодым человеком, и переписал за­ново в 1565-м. При экстраординарной оригинальности книга чрезвычайно беспорядочна. Она собрана из бесчисленных черновых на­бросков и решений проблем, которые появляются в одном месте, перемежаются с решениями, базирующимися на существенно от­личных методах, описанных в другом месте. Отсутствие какой-ли­бо системы в использовании математических символов страшно за­трудняет понимание текста. Работа не публиковалась при жизни Кар-дано. Она была найдена среди рукописей после его смерти и впервые опубликована в Базеле только в 1663 году. К этому времени в тео­рии вероятностей был достигнут значительный прогресс силами дру­гих ученых, которые не были знакомы с направленными к той же цели усилиями Кардано.

Если бы эта работа не пролежала целое столетие в безвестности, содержащиеся в ней обобщения, касающиеся вероятностей в играх, могли бы значительно ускорить развитие математики и теории ве­роятностей. Здесь впервые сформулировано общепринятое теперь представление вероятности через отношение числа благоприятных исходов к «совокупности» (circuit), то есть к общему числу воз­можных исходов. Например, когда мы говорим, что шансы выбра­сывания орла или решки составляют 50/5о> эт° значит, что орел выпадает в одном из двух равновозможных случаев. Вероятность достать даму из колоды карт составляет Vis> поскольку в колоде из 52 карт имеется четыре дамы; вероятность же достать даму пик равна !/52' поскольку в колоде только одна дама пик.

Последуем за Кардано в его рассмотрении вероятностей различ­ных результатов бросков при игре в кости1'. В главе 15 его «Liber de Ludo Aleae», в параграфе, озаглавленном «О выбрасывании од­ной кости», он проясняет некоторые общие принципы, ранее ни­кем не рассматривавшиеся:

Частоты появления значений, относящихся к каждой из двух половин числа граней, одинаковы; отсюда шансы, что данное значение выпадет в трех бросках из шести, равны шансам, что одно из трех заданных значений выпадет в одном броске. Например, я могу легко выбросить один, три или пять, так же как два, четыре или шесть. Ставки должны соответствовать этому равенству, если игра ведется честно14.

Далее Кардано продолжает вычислять вероятность того, что в од­ном броске выпадет одно из двух чисел, скажем 1 или 2. Ответ: один шанс из трех, или 33%, поскольку речь идет о двух исходах из шести возможных. Он также подсчитывает вероятность повто­рения благоприятных исходов при бросании одной кости. Вероят­ность того, что в двух бросках подряд выпадет 1 или 2, равна 1/д, то есть квадрату одного шанса из трех, или 1/3, умноженной сама на себя. Вероятность того, что в трех бросках подряд выпадет 1 или 2, равна 1/27, или */з x Vs x Va» a вероятность выбросить 1 или 2 в четырех бросках подряд равна 1/3 в четвертой степени.

Кардано продолжает определять вероятность выбросить 1 или 2 с двумя костями вместо одной. Если шансы, что в одном броске
выпадет 1 или 2, оцениваются как один к трем, интуиция под­
сказывает, что при бросании двух костей они удвоятся и достиг­
нут 67%. Правильным ответом будет соотношение пять к девяти,
или 55,6%. Действительно, при выбрасывании двух костей есть
один шанс из девяти, что 1 или 2 выпадут сразу на двух костях
в одном броске, но вероятность того, что на каждой кости выпа­
дет 1 или 2, уже подсчитана ранее; значит, мы должны вычесть
1/9 из 67%, предсказанных нами на основе интуиции. Отсюда
1/3 + 1/3 - 1/9 = 5/9.

Далее Кардано углубляется в игры с большим числом костей и большим числом успешных исходов при большем числе бросков. В конце концов это исследование приводит его к обобщению за­конов о шансах, которое превращает экспериментальный резуль­тат в теорию.

Он рассматривает принципиальный переход от бросков одной кости к броскам с двумя костями. Еще раз, но более детально, проследим за его рассуждениями. Хотя две кости имеют в сумме двенадцать граней, Кардано в случае двух костей не определяет вероятность выбрасывания 1 или 2, исходя из предположения, что число возможных исходов равно двенадцати. Он замечает, что игрок может, например, выбросить 3 на первой кости и 4 на второй, но точно так же он может выбросить 4 на первой кости и 3 на второй.

Число возможных комбинаций, образующих совокупность — об­щее число возможных исходов, — оказывается значительно боль­шим, чем общее число граней на двух костях. Заметив решающую роль комбинаций чисел, Кардано сделал гигантский шаг на пути разработки вероятностных законов.

Игра в крепе дает полезную иллюстрацию важности комбина­ций в вычислении вероятностей. Как продемонстрировал Кардано, бросание пары шестигранных костей дает не одиннадцать (от двух до двенадцати), а тридцать шесть возможных комбинаций, от «зме­иных глаз» (один-один) до «вагончиков» (шесть-шесть).

Семерку, ключевое число в крепсе, выбросить легче всего. Она в шесть раз более вероятна, чем дубль-один или дубль-шесть, и в три раза более вероятна, чем одиннадцать, другое ключевое число. Шесть возможных исходов, дающих семерку, суть следующие: 6 + 1,5 + 2, 4 + 3, 3 + 4, 2 + 5и 1+6; заметьте, что эти исходы есть не что иное, как варианты представления сумм трех различных комбина­ций — 5 и 2, 4 и 3, 1 иб. Одиннадцать получается только в двух исходах, потому что образуется из двух вариантов представления суммы одной комбинации: 5 + 6 и 6 + 5. Есть только по одному варианту для представления дублей — от один-один до шесть-шесть. Игроки в крепе повысят свой класс, если запомнят следующую таблицу:



Скачать документ

Похожие документы:

  1. Бернстайн П. Б51 Против богов: Укрощение риска / Пер с англ (2)

    Документ
    В этом уникальном исследовании, посвященном роли риска в нашем обществе, Питер Бернстайн доказывает, что освоение методов оценки риска и контроля над ним является одной из главных особенностей нашего времени, отличающих его от более ранних эпох.

Другие похожие документы..