Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Библиографический указатель'
Евгений Александрович Казачков : указатель трудов. – изд. 3–е, перераб. и доп. / сост. : Т. В. Ткаченко, В. Ф. Ганжеева; ГВНЗ “Приазовский государств...полностью>>
'Закон'
Институт возмещения НДС как институт налогового права включает в себя отношения, складывающиеся в сфере возмещения НДС, регулируемые нормами налогово...полностью>>
'Документ'
На основании пункта 2 постановления Совета Министров Республики Беларусь от 16 ноября 2001 г. N 1668 "О мерах по обеспечению перехода на новые у...полностью>>
'Практикум'
До І відміни належать іменники чоловічого, жіночого, а також спільного роду із закінченнями –а, -я в називному відмінку однини: ріка, суддя, воєвода,...полностью>>

Бернстайн П. Б51 Против богов: Укрощение риска / Пер с англ (1)

Главная > Документ
Сохрани ссылку в одной из сетей:

Покупая сегодня акции, мы всегда можем продать их завтра. Но что нам делать после возгласа крупье «Ставки сделаны, госпо­да!»? Что делать, когда партнер по покеру удваивает ставку? Здесь нет пути назад. Не следовало ли воздержаться от игры в надежде, что через некоторое время удача повернется к нам лицом и кости лягут в нашу пользу?

Гамлет осуждал колебания перед лицом неизвестности, потому что «...решимости природный цвет / Хиреет под налетом мысли бледным, / И начинанья, взнесшиеся мощно, / Сворачивая в сто­рону свой ход, / Теряют имя действия» (Перевод М. Лозинского. — Примеч. переводчика.). Однако, решившись дей­ствовать, мы теряем право переждать до поступления новой ин­формации. В этом смысле бездействие имеет свою цену. Чем больше степень неопределенности исхода, тем ценнее может оказаться возможность отложить действие на потом. Гамлет не прав: колеблю­щийся находится на полпути к цели.

Описывая устроение мирового порядка, греческая мифология использует гигантскую игру в кости для объяснения того, что совре­менные ученые называют Большим взрывом. Три брата разыграли мироздание в кости: Зевс выиграл небеса, Посейдон — море, а про­игравший Аид спустился в ад, став хозяином подземного царства.

Теория вероятностей кажется созданной специально для греков, для их склонности к игре, математических способностей, логическо­го мышления и страсти к доказательствам. Однако, будучи самым цивилизованным из всех древних народов, они тем не менее не про­никли в ее пленительные пределы. Это удивительно, потому что к то­му времени это была единственная цивилизация, относительно сво­бодная от доминирования жречества, монополизировавшего связь с тайными силами. Цивилизация, как нам кажется, смогла бы разви­ваться гораздо быстрее, если бы греки предугадали то, что их интел­лектуальным наследникам — людям Ренессанса — удалось открыть через две тысячи лет.

Однако склонные к теоретическому осмыслению мира греки ма­ло интересовались применением теории к какой бы то ни было тех­нологии, которая могла бы изменить их представления о возможно­сти воздействовать на будущее. Когда Архимед изобрел рычаг, он объявил, что может сдвинуть Землю, если найдется соответствую­щая точка опоры, но это его, по-видимому, не очень занимало. По­вседневная жизнь греков, их отношение к ней оставались в основном теми же, что и у их предков, живших за тысячи лет до них. Они охо­тились, ловили рыбу, сеяли хлеб, рожали детей и использовали тех­нику строительства, копирующую достижения тех, кто строил в меж­дуречье Тигра и Евфрата и на берегах Нила.

Поклонение ветрам было единственной формой управления рис­ком, которая привлекала их внимание: поэты и драматурги посто­янно воспевали зависимость от ветров и любимые дети приноси­лись в жертву для их умиротворения. Но самое главное, грекам недоставало системы счисления, которая позволила бы им счи­тать, вместо того чтобы просто фиксировать результаты своей де­ятельности9.

Я не собираюсь утверждать, что греки не размышляли о природе вероятности. Древнегреческое слово zixoq (eihos), которое означает 'правдоподобный' или 'вероятный', имеет тот же смысл, что и со­временное понятие вероятности: «ожидаемое с некоторой степенью определенности». Сократ определял eixo? как 'правдоподобие' (Точнее было бы сказать «истиноподобие». — Примеч. науч. редактора.)10.

Определение Сократа выявляет весьма серьезную тонкость. Правдоподобие не то же самое, что истина. Для греков исти­на — это то, что можно доказать с помощью логики и аксиом. Их настойчивое требование доказательств противопоставляет истину эмпирике эксперимента. Например, в «Федоне» Симмиас обращает внимание Сократа на то, что «предположение, будто душа пребывает в гармонии, вообще ничем не подтверждено, а остается только вероятным». Аристотель выражает недовольство философами, кото­рые «...говорят хоть и правдоподобно... не говорят, что есть истина». В другом месте Сократ предваряет Аристотеля, когда декларирует, что «математик, который исходит из вероятности в геометрии, не за­служивает внимания»11. Еще пару тысяч лет после этого раздумья об играх и игра оставались разными видами деятельности.

Самуил Самбурски (Sambursky), выдающийся израильский ис­торик и философ-науковед, приводит единственный убедительный тезис, который, на мой вкус, объясняет, почему греки не сделали стратегический шаг для развития количественного подхода к веро­ятности12. Проводя четкое разграничение между истиной и вероят­ностью, замечает Самбурски в статье, написанной в 1956 году, греки и не могли усмотреть никакой основательной структуры или гар­монии в беспорядочной природе повседневного существования. Хотя Аристотель утверждал, что люди должны принимать решения на основе «желаний и рассуждений, направленных к какой-либо це­ли», он не дал рецептов определения вероятности успешного исхо­да. Греческие трагедии рассказывают историю за историей о бес­помощности человека в тисках безликого рока. Когда греки хотели узнать, что может принести им завтрашний день, они обращались не к своим мудрым философам, а к оракулам.

Греки верили, что упорядоченность можно найти только на не­бесах, где планеты и звезды с неподражаемой регулярностью появ­ляются в установленных местах. К этой предустановленной гармо­нии они относились с большим почтением, и их математики интен­сивно ее изучали. Но совершенство небес только подчеркивало несо­вершенство земного существования. Более того, предсказуемость не­бесной тверди резко контрастировала и с поведением пребывающих там непостоянных и глупых богов.

Древние еврейские философы-талмудисты смогли подойти к проб­леме квантификации риска чуть ближе. Но и у них мы не обнару­живаем следов методического подхода к его пониманию. Самбурски цитирует отрывок из Талмуда, где философ объясняет, что муж мо­жет развестись с женой в случае прелюбодеяния, не наказывая ее, но не в случае, если он заявляет, что прелюбодеяние совершено до заключения брака13.

«Здесь есть двойное сомнение», — декларирует Талмуд. Если установлено (непонятно, как), что невеста взошла на брачное ложе не девственницей, то, с одной стороны, сомнительно, ответствен ли за это сам жених — случилось ли это «под ним... или не под ним». Касательно другой стороны сомнения приводится следующий аргумент: «И если ты говоришь, что это случилось под ним, остается сомнение, было ли это насильно или по ее свободной воле». Каж­дый альтернативный ответ на каждый из двух вопросов имеет шансы 50 на 50. С впечатляющей статистической точностью фило­соф заключает, что есть только один шанс из четырех (V2 х i/2), что женщина виновна в совершении прелюбодеяния. Это означает, что муж не может развестись с ней на этом основании.

Трудно избавиться от искушения рассматривать промежуток вре­мени между изобретением игры в кости и открытием вероятност­ных законов как историческую случайность. Ведь и греки, и уче­ные-талмудисты были так близки к анализу, предпринятому Пас­калем и Ферма много столетий спустя, что недоставало только лег­кого толчка для следующего шага.

Тем не менее это не случайность. Прежде чем наука смогла включить понятие риска в культуру, должно было измениться от­ношение не к настоящему, а к будущему.

Ко времени Ренессанса люди воспринимали будущее как нечто мало отличающееся от случайности или как результат беспорядоч­ных изменений и большую часть решений принимали инстинктив­но. Когда условия жизни так тесно связаны с природой, мало что остается под контролем человека. Пока зависимость от внешнего мира сводит интересы людей к основным функциям выживания — рождению детей, выращиванию хлеба, охоте, рыболовству и строи­тельству жилища, — они просто не способны обсуждать условия, при которых могла бы появиться возможность влиять на послед­ствия их решений. Пока будущее остается тайной за семью печа­тями, сэкономить не значит заработать.

По крайней мере вплоть до крестовых походов большинство лю­дей вело довольно монотонную, скудную на неожиданные события жизнь. Укорененные в стабильных социальных структурах, они не очень много внимания уделяли войнам, смене правителей и даже религиозным реформам. Изменения погоды волновали их чаще. Как отметил египтолог Генри Франкфорт, «прошлое и будущее, не вы­зывая особого интереса, были полностью имплицированы в насто­ящем»14.

Несмотря на такое отношение к будущему, за столетия, разделя­ющие античность и Ренессанс, цивилизация продвинулась далеко вперед. Этому не смогло помешать отсутствие современного взгляда на риск. И ее (цивилизации) успехи сами по себе не стали доста­точной мотивацией для побуждения людей к исследованию воз­можностей научного предвидения.

Когда христианское учение получило распространение в запад­ном мире, воля единого Бога стала проводником в будущее, заме­нив мешанину божеств, которым люди поклонялись с древнейших времен. Это привело к серьезному сдвигу в миропонимании: буду­щая жизнь на земле оставалась тайной, но теперь она была пре­допределена силой, чьи влияние и принципы были ясны каждому, кто взял на себя труд ознакомиться с ними.

С тех пор как представления о будущем стали предметом мора­ли и веры, оно перестало казаться таким непостижимым, как прежде, но тем не менее еще не позволяло строить какие-либо ма­тематические прогнозы. Ранние христиане ограничивались в своих пророчествах тем, что будет в загробной жизни, хотя и молили Бо­га повлиять на события в этом мире в свою пользу.

Однако со временем поиски путей улучшения жизни на земле становились все более настойчивыми. В X веке христиане уже пла­вали на большие расстояния, знакомились с новыми странами и на­родами, проникались новыми идеями. Потом начались крестовые походы, которые привели к взрыву интеллектуальной активности. Запад столкнулся с империей арабов, созданной в ходе распростра­нения мусульманства и простиравшейся на восток до Индии. Христи­ане с их верой в загробную жизнь встретились с арабами, обладав­шими несравненно большей интеллектуальной утонченностью, чем незваные пришельцы, явившиеся изгнать их со святой земли.

Арабы после вторжения в Индию познакомились с индийской системой счисления, которая позволила им состыковать интеллекту­альные достижения Востока с собственными философскими и науч­ными исследованиями и экспериментами. Результаты не заставили себя ждать, сначала у арабов, затем на Западе 11.(Питер Киндер в связи с этим обратил мое внимание на иронию исторической судь­бы. Викинги и другие северные народы, сокрушившие цивилизацию Рима и унич­тожившие памятники его культуры, в IX веке вновь появились на историческом не­босклоне под именем норманнов, которые в XII веке перенесли на Запад достижения арабской культуры (в том числе и заимствования из античности).

В руках арабов индийские числа превратились в математические инструменты измерения в астрономии, навигации и коммерции. Новые методы вычислений постепенно вытеснили счеты, которые по­всеместно, начиная с Западного полушария, где ими пользовались майя, включая Европу и вплоть до стран Востока и Индии, в тече­ние многих веков были единственным средством выполнения ариф­метических расчетов. Слово abacus 'счеты' происходит от греческо­го слова abax, что означает 'песочный лоток'. Внутри этих лотков на песке выкладывались колонки из гальки15. Слово calculate 'счи­тать' происходит от латинского calculus, что по-латыни означает 'галька'.

Прошло свыше пяти веков, пока новая система счисления за­менила примитивные счеты и на место бегающих костяшек при­шли вычисления на бумаге. Письменные вычисления стимулиро­вали абстрактное мышление, открыв путь развитию неизвестных в прошлом разделов математики. Теперь стали возможны более про­должительные морские путешествия, более точное исчисление вре­мени, более сложная архитектура, стали быстрее развиваться про­изводства. Современный мир был бы иным, если бы мы всё еще считали с помощью I, V, X, L, С, D и М или с помощью греческих или еврейских букв вместо цифр.

Однако перехода к арабским цифрам было недостаточно, чтобы побудить европейцев к радикальному переходу от гадательного к систематическому вероятностному подходу к будущему, подразу­мевающему возможность предвидения и в определенной степени контроля над ним. Для такого перехода необходимо было дождать­ся отказа от убежденности в том, что люди являются игрушкой в руках судьбы и их будущее предопределено Богом.

Ренессанс и Реформация расчистили сцену для изучения пробле­мы риска. Когда в XIV веке мистицизм стал уступать место науке и логике, греческие и римские архитектурные формы начали вытес­нять готику, церковные окна открылись для света, а скульпторы стали изображать твердо стоящих на земле мужчин и женщин вмес­то стилизованных бесплотных и невесомых фигур. Новые идеи сти­мулировали изменение характера искусства, усиливая протестант­скую реформацию и ослабляя господство католической церкви.

Реформация представляет собой нечто большее, чем изменение отношений человека с Богом. Отказ от исповедальни предупреждал человека, что с этого момента он должен прочно стоять на собствен­ных ногах и нести полную ответственность за свои решения.

Но раз уж люди перестали быть заложниками произвола безлич­ного божества и слепого случая, они не могли больше сохранять пас­сивность перед лицом неведомого будущего. Хотели они того или нет, им пришлось взять на себя решения, касающиеся значительно более длинного ряда обстоятельств и гораздо больших промежутков времени, чем когда-либо прежде. Понятия бережливости и воздержа­ния, характерные для протестантской этики, свидетельствуют о том, что будущее стало важнее настоящего. С этим изменением отноше­ния к выбору и решениям люди постепенно усвоили, что будущее столь же опасно, сколь и благоприятно, что оно не предопределено и обещает многое. XVI и XVII столетия были веками географиче­ских открытий, контактов с новыми странами и новыми общест­вами, экспериментирования в искусстве, поэзии, науке, архитектуре и математике. Осознание новых возможностей привело к бурному развитию ремесел и торговли, ставшему в свою очередь мощным стимулом для последующих изменений и исследований. Колумб вовсе не собирался в круиз по Карибскому морю, — он хотел проложить новый торговый маршрут в Индию. Возможность разбогатеть — сильная мотивация, но мало кому удается разбогатеть, не вступая в азартную игру.

Пусть столь прямолинейное утверждение режет слух, но торгов­ля — взаимовыгодный процесс и оба партнера при этом становятся богаче. Какая радикальная идея! До этого момента богатство было преимущественно результатом эксплуатации или грабежа. Хотя ев­ропейцы продолжали разбойничать на море, дома накопление богат­ства стало доступным скорее многим, нежели избранным. Теперь богатели не наследные принцы и их фавориты, а люди крутые, про­ворные, предприимчивые, склонные к новаторству — большей частью предприниматели.

Торговля — рискованное дело. Когда развитие ремесел и торгов­ли изменило правила игры, определяющие процесс накопления бо­гатства, неожиданным результатом этого стал капитализм, как во­площение деятельности в условиях риска. Но капитализм не смог бы достичь расцвета, если бы не два новых вида деятельности, без которых люди обходились, пока будущее считалось делом случая или воли Божьей. Первым был бухгалтерский учет — скромная ра­бота, которая способствовала распространению новых методов учета и расчета. Вторым было прогнозирование — деятельность гораздо менее скромная и требующая гораздо большей активности, связан­ной с принятием рискованных решений, чреватых неожиданными результатами.

Вы не возьметесь перевозить товары через океан, или закупать товары на продажу, или занимать деньги, не попытавшись перед этим узнать, что ждет вас впереди. Доставка в срок заказанных вами материалов, получение всех товаров, которые вы собираетесь продать, в соответствии с заказной спецификацией, установка вашего торгового оборудования — всё нужно спланировать и органи­зовать до того момента, когда появится первый клиент и выложит деньги на прилавок. Успешное ведение бизнеса — это в первую очередь предвидение и только потом покупка, производство, мар­кетинг, оценка и организация продажи.

Люди, с которыми вы встретитесь в последующих главах, рас­сматривали открытия Паскаля и Ферма как начала мудрости, а не как решение интеллектуальной головоломки, возникшей на попри­ще азартных игр. Им хватило смелости энергично взяться за ис­следование многих аспектов риска, требующее решения проблем нарастающей сложности и огромной практической важности, и при этом осознать, что этот предмет связан с самыми фундаментальны­ми аспектами человеческого существования.

Но философия должна ненадолго отойти в сторонку, потому что история начнется с самого начала. Современные методы познания неведомого начинаются с измерения, с шансов, с вероятности. Числа пришли первыми. Но откуда они пришли?

Глава 2

Просто как I, II, III

Без цифр не было бы ни шансов, ни вероятностей; без шансов и вероятностей идущему на риск остается надеяться только на Бога или судьбу. Без цифр риск — это просто нахрап. Мы живем в мире цифр и вычислений. Утром, едва продрав глаза, мы смотрим на часы, а потом считаем ложки кофе, засыпая его в кофеварку. Мы платим за квартиру, изучаем вчерашний курс акций, набираем телефон приятеля, проверяем, сколько осталось бензина в машине, следим за скоростью по спидометру, нажимаем на кнопку нужного этажа в лифте своей конторы и набираем циф­ры кодового замка на ее двери. И это только начало дня, который окончится отключением перед отходом ко сну телевизионного ка­нала номер такой-то.

Нам трудно представить себе время, когда не было цифр. Одна­ко если мы постараемся представить себе хорошо образованного человека, скажем, 1000 года в современной обстановке, то заме­тим, что он наверняка не обратит внимания на цифру ноль и не сможет сдать арифметику за третий класс; его потомок 1500 года окажется не намного лучше.

История цифр на Западе началась в 1202 году, когда подходило к концу строительство Шартрского кафедрального собора и завер­шался третий год правления английского короля Джона. В этом году в Италии появилась книга, озаглавленная «Liber Abaci», или «Книга о счётах». Все ее пятнадцать глав были написаны от руки — ведь до изобретения книгопечатания оставалось почти триста лет. Ее автору Леонардо Пизано было всего двадцать семь лет, и он был очень удачливым человеком: его книга получила одобрение самого императора Священной Римской империи Фридриха П. О лучшем нельзя и мечтать1.

Большую часть своей жизни Леонардо Пизано был известен как Фибоначчи, под этим именем он и вошел в историю. Его отца зва­ли Боначио, а его — сын Боначио, т. е. Фибоначчи. Боначио озна­чает 'простак', а фибоначчи — 'чурбан'. Однако Боначио, по-види­мому, был не совсем простаком, поскольку он представлял Пизу в качестве консула во многих городах, а его сын Леонардо тем более не был чурбаном.

Фибоначчи был подвигнут к написанию «Liber Abaci» во время визита в Багио, процветающий алжирский город, где его отец пре­бывал в качестве пизанского консула. Там он столкнулся с чудеса­ми индо-арабской системы счисления, перенесенной арабскими ма­тематиками на Запад во время крестовых походов. Ознакомившись со всеми вычислениями, выполняемыми в рамках этой системы, которые даже не снились математикам, использовавшим римскую систему счисления, он постарался изучить ее как можно более дос­конально. Чтобы поучиться у арабских математиков, живших по берегам Средиземного моря, он предпринял путешествие в Египет, Сирию, Грецию, Сицилию и Прованс.

В результате появилась книга, необычная со всех точек зрения. «Liber Abaci» открыла европейцам новый мир, в котором для пред­ставления чисел вместо букв, применяемых в еврейской, греческой и римской системах счисления, использовались цифры. Книга бы­стро привлекла внимание математиков как в Италии, так и по всей Европе.

«Liber Abaci» — это далеко не букварь по чтению и написанию новых численных символов. Фибоначчи начинает с объяснения, как по количеству символов, представляющих число, определить, включа­ет ли оно только единицы, или десятки, или сотни и так далее. В сле­дующих главах рассматриваются более сложные вопросы. Здесь мы находим вычисления, использующие все виды чисел и дробей, пра­вила пропорции, извлечение квадратных корней и корней высших степеней и даже решение линейных и квадратных уравнений.

Каким бы остроумным и оригинальным ни было содержание книги Фибоначчи, она наверняка не смогла бы привлечь к себе много внимания за пределами узкого круга знатоков математики, если бы в ней излагались только теоретические вопросы. Огромный успех книги объяснялся тем, что Фибоначчи насытил ее примерами практического применения изложенных в ней методов. Там, в част­ности, описаны и проиллюстрированы примерами многие новшест­ва, которые благодаря новой системе счисления удалось применить в бухгалтерских расчетах, таких, как представление размера при­были, операций с обменом денег, конвертацией мер и весов и, хотя ростовщичество было еще запрещено во многих местах, исчисления процентных выплат.

О том, насколько сильный ажиотаж вызвало появление книги Фи­боначчи, можно судить по тому, что от нее пришел в восторг даже та­кой блистательный и творческий человек, каким был император Фридрих. Этот монарх, правивший с 1211-го по 1250 год, сочетал же­стокость и властность с живым интересом к науке, искусству и фило­софии государственного правления. В Сицилии он разрушил феодаль­ные замки и упразднил их гарнизоны, обложил налогом и отрешил от управления государством духовенство, устранил все ограничения, препятствующие импорту, и отменил государственную монополию.

Фридрих не терпел никакого противодействия. В отличие от сво­его деда Фридриха Барбароссы, который был унижен папой в битве при Легнано в 1176 году, этот Фридрих, кажется, получал удоволь­ствие от нескончаемых столкновений с папством. Его непреклон­ность принесла ему даже не одно, а два отлучения. Во втором слу­чае папа Григорий IX объявил Фридриха лишенным императорской короны, назвав его еретиком, распутником и Антихристом. Фрид­рих ответил жестоким нападением на владения папы, а тем време­нем его флот задержал большую делегацию прелатов, направляв­шихся в Рим для участия в соборе, который должен был лишить его императорской короны.

Фридрих окружил себя ведущими интеллектуалами своего вре­мени, пригласив многих из них к себе в Палермо. Он построил на Сицилии несколько великолепнейших замков и в 1224 году основал университет для подготовки государственных служащих — первый европейский университет, получивший устав от монарха.

Фридрих был в восхищении от книги Фибоначчи. Как-то в 1220-х годах во время визита в Пизу он пожелал его увидеть. На аудиенции Фибоначчи решал алгебраические задачи, в том числе кубические уравнения, поочередно предлагаемые ему одним из мно­гих придворных ученых. Это побудило его написать еще одну кни­гу — «Liber Quadratorum», или «Книгу о квадратах», которую он посвятил императору.

Фибоначчи широко известен благодаря короткому отрывку из «Liber Abaci», содержание которого производит впечатление мате­матического чуда. В отрывке обсуждается задача о том, сколько кроликов родится в течение года от одной пары кроликов в пред­положении, что каждый месяц каждая пара рождает другую пару и что кролики начинают рожать с двухмесячного возраста. Фибонач­чи доказывает, что в этом случае потомство исходной пары к концу года достигнет 233 пар.

Дальше он утверждает нечто еще более интересное. Предполо­жим, что первая пара кроликов не будет размножаться до второго месяца. К четвертому месяцу начнут размножаться их первые двое отпрысков. Коль скоро процесс продолжится, числа пар в конце каждого месяца будут такими: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233. Здесь каждое последующее число является суммой двух пре­дыдущих. Если кролики продолжат в том же духе в течение ста месяцев, число пар достигнет 354 224 848 179 261 915 075.

Этим не исчерпываются изумительные свойства чисел Фибо­наччи. Разделим каждое из них на следующее за ним. Начиная с 3, будем получать 0,625. После 89 ответ будет 0,618; с увеличением чи­сел в ответе будет возрастать лишь число десятичных знаков после запятой1'.(Одним из удивительных свойств этих чисел является то, что число 0,618 получается, если извлечь квадратный корень из 5, который равен 2,24, вычесть 1 и затем раз­делить на 2; это алгебраическое выражение входит в формулу, представляющую числа Фибоначчи).

Разделим теперь каждое число, начиная с 2, на предыду­щее. Будем получать 1,6. После 144 ответ будет всегда 1,618.

Греки знали это соотношение и называли его золотой пропорци­ей. Эта величина определяет пропорции Пантеона, игральных карт и кредитных карточек и здания Генеральной Ассамблеи Организа­ции Объединенных Наций в Нью-Йорке. Горизонтальная перекла­дина большинства христианских крестов делит вертикальную в том же отношении: длина над перекладиной составляет 61,8% от длины под пересечением. Золотая пропорция обнаруживается также в при­родных явлениях — в цветочных лепестках, в листьях артишока, в черешках пальмовых листьев. Отношение длины части тела чело­века выше пупка к длине части ниже пупка у нормально сложен­ного человека равно 0,618. Длина фаланг пальцев, если последова­тельно идти от кончиков до ладони, соотносится так же 2)(Точнее говоря, по формуле Фибоначчи, отношение меньшей части к большей равно отношению большей части к целому).

Одним из наиболее романтичных воплощений отношения Фибо­наччи являются пропорции и форма чудесной спирали. На приведен­ном рисунке видно, как она формируется на основе ряда квадратов, длины сторон которых определяются рядом Фибоначчи. Процесс начи­нается с построения двух маленьких квадратов одинакового размера.



Скачать документ

Похожие документы:

  1. Бернстайн П. Б51 Против богов: Укрощение риска / Пер с англ (2)

    Документ
    В этом уникальном исследовании, посвященном роли риска в нашем обществе, Питер Бернстайн доказывает, что освоение методов оценки риска и контроля над ним является одной из главных особенностей нашего времени, отличающих его от более ранних эпох.

Другие похожие документы..