Поиск

Полнотекстовый поиск:
Где искать:
везде
только в названии
только в тексте
Выводить:
описание
слова в тексте
только заголовок

Рекомендуем ознакомиться

'Документ'
Заказчик поручает и оплачивает, а Поставщик обязуется поставить продукцию в соответствии с условиями, определенными в проекте договора, входящего в до...полностью>>
'Документ'
У статті розглянуто основні підходи до вирішення проблем організації інформаційного забезпечення, формування систем управління використанням розподіл...полностью>>
'Закон'
В настоящее время перед многими российскими предприятиями стоит серьезная проблема поиска и привлечения долгосрочных инвестиций для расширения произв...полностью>>
'Урок'
Цель - создать условия для осознания учащимися народного характера произведения, осмысления духовно-эстетического идеала писателя, обобщения знаний по...полностью>>

С задачами и упражнениями

Главная > Задача
Сохрани ссылку в одной из сетей:

Сложные формулы, вообще говоря, могут иметь разное значение истинности и ложности в зависимости от значений истинности и ложности их элементарных компонентов. Однако, могут быть такие сложные формулы, которые получают значение истинности независимо от того, какое значение истинности и ложности принимают атомарные высказывания. Вспомним диагноз, который поставил лекарь Богомол: “...пациент жив или он умер. Если он жив, он останется жив или он не останется жив. Если он мертв — его можно или нельзя оживить” (А. Толстой. Золотой ключик или приключения Буратино).

Такого рода диагнозы и прогнозы справедливо высмеиваются, поскольку они оказываются всегда истинными. Тем не менее, всегда истинные формулы, называемые тавтологиями, играют в логике весьма существенную роль. То, что выше было названо законами мышления, выражается с помощью тавтологий.

Возьмем закон противоречия, который запрещает одновременную истинность высказывания и его отрицания. Его можно выразить в виде следующей формулы:

       ⌐ (а & а), что можно прочитать следующим образом: ложно, что а и не а.

Построим таблицу функций истинности для этого сложного высказывания.

 

Табл. 14

Итак, оказывается, что наше высказывание, выражающее закон противоречия, всегда истинно, к какому бы элементарному высказыванию а оно ни относилось. Плохо ли это?

Это хорошо и очень важно для нас. Закон противоречия выражает фундаментальное требование к нашему мышлению. Как показал еще Аристотель, мышление всегда должно соблюдать этот совершенно очевидный принцип.

Его можно было бы и не формулировать, если бы этот закон всегда соблюдался автоматически. Однако, нетрудно привести массу фактов, когда человек противоречит сам себе в зависимости от того, что является выгодным в данный момент. Вспомним, например, разговор Полония с принцем Гамлетом. Царедворец Полоний не хочет спорить с принцем и поэтому противоречит сам себе.

Гамлет: Видите вы вон то облако в форме верблюда?

Полоний: Ей-богу, вижу, и действительно, ни дать, ни взять —

верблюд.

Гамлет: По-моему, оно смахивает на хорька.

Полоний: Правильно: спинка хорьковая.

Гамлет: Или как у кита.

Полоний: Совершенно как у кита. (В. Шекспир. Гамлет, принц

Датский).

Используя закон противоречия, можно понять, что человек мыслит нелогично, т. е. неправильно.

Возьмем другой закон — закон исключенного третьего. Его можно выразить в виде формулы: (a v a)

Составим таблицу:

 

Табл. 15

 

Выражение a v а является всегда истинным, независимо от того, истинным или ложным является само высказывание а.

Лиллипутские мыслители потратили много усилий для того, чтобы решить вопрос о том, является ли попавший к ним Гулливер объектом, называемым Реюмплюмсюльплекс. Вы, конечно, не знаете, что это такое. Д. Свифт, который все это сочинил (см. его Путешествие Гулливера в Лиллипутию), тоже, наверное, не знал, что это такое. И тем не менее, он, так же, как и мы с вами, вполне можем быть уверены в том, что Гулливер был Реюмплюмсюльплексом или же он не был Реюмплюмсюльплексом.

Истина здесь — между этими двумя возможностями, 3-е исключено.

Логическая ошибка будет допущена в том случае, если будут отвергаться оба противоречащие друг другу высказывания. В таком положении может оказаться студент, отвергающий положение о том, что он не знает, что такое логика, и вместе с тем вынужденный признать ложность того, что он знает, что это такое.

Есть еще и третий закон мышления — закон тождества. Обычно его считают первым законом мышления, и это вполне справедливо. Применительно к высказываниям он говорит о том, что каждое высказывание тождественно самому себе, что оно не может быть чем-то отличным от самого себя. Это можно выразить в виде формулы: а  а. Нетрудно видеть, что мы записали тавтологию

 

Табл. 16

 

Несмотря на свою тавтологичность, закон тождества может нарушаться, когда одно высказывание подменяется другим, отличным от него, хотя, возможно, и близким по смыслу.

В пьесе Шекспира “Венецианский купец” Шейлок дает взаймы Антонио 3000 дукатов с условием в случае неуплаты долга в срок —

“назначим неустойку,

Фунт вашего прекраснейшего мяса,

Чтоб выбрать мог часть тела я любую

И мясо вырезать, где пожелаю”.

Антонио не хотел платить такую неустойку. Судья Порция выносит решение:

“Твой вексель не дает ни капли крови,

Слова точны и ясны в нем: фунт мяса.

Бери ж свой долг, бери же свой фунт мяса;

Но, вырезая, если ты прольешь

Одну хоть каплю христианской крови,

Твое добро и земли по закону

К республике отходят” (акт IV, сцена 1).

Здесь высказывание “разрешается вырезать фунт мяса” подменяется “разрешается вырезать фунт мяса без крови”. Это разные по смыслу высказывания.

Только ли указанные три закона мышления выражают тавтологию? Нет!

Тавтологий в логике высказываний много. Например, существует правило Клавия: (¬a  а)  а.

Составим таблицу:

Табл. 17

 

Уже на этом высказывании вы можете почувствовать значимость того, что та или иная формула логики представляет собой тавтологию.

Если закон противоречия, закон исключенного третьего и закон тождества представляются очевидными, то правило Клавия уже таковым не является. В логике мы имеем дело с формальной стороной высказываний, и поэтому не сразу ясно, истинно высказывание или нет.

И уже совсем непонятно, истинен или нет так называемый закон Дунса Скота, установленный известным философом-схоластом XIII-XIV в.:

а  (¬а  b)

Смысл этого положения заключается в том, что ложное высказывание имплицирует любое другое высказывание. Это кажется обескураживающим, но посмотрим на таблицу:

 

Табл. 18

 

С помощью наших таблиц мы можем давать формальные определения новых логических связок, которые могут быть найдены среди тех 16 (см. таб. 11), о которых шла речь выше. Рассмотрим одну из таких связок — эквивалентность. Эквивалентность будет иметь место у двух высказываний а и b тогда и только тогда, когда а  b и b  а. Формально можно записать так:

а ≡ b =df (а  b) & (b  а)

Запись =df означает “равно по определению” (от лат. definicio — df).

Этот знак отделяет то, что мы определяем (дефиниендум) от того, с помощью чего мы определяем (дефиниенс).

Составим таблицу для эквивалентности:

Табл. 19

Из таблицы мы видим, что эквивалентность будет иметь место между высказываниями а и b в том и только в том случае, если они оба истинны или оба ложны. Возвратимся к нашей таблице, и мы найдем введенный нами функтор там. Это — колонка № 7.

С помощью введенного понятия сформулируем еще одну очень интересную тавтологию, которая называется законом де Моргана (по имени известного шотландского логика XIX в.). Некоторые исследователи считают это законами У. Оккама (в честь средневекового схоласта, не менее известного, чем Д. Скот).

Вот эти тавтологии:

Содержательный смысл формулы Оккама — де Моргана заключается в том, что отрицание конъюнкции высказываний а и b эквивалентно дизъюнкции отрицаний каждой их них по отдельности и, соответственно, наоборот, отрицание дизъюнкции эквивалентно конъюнкции отрицаний.

Пример. Если известно, что кандидат не выполнил обещания того, что будет демократия и благоденствие, то это будет эквивалентно тому, что нет демократии или нет благоденствия.

Существует еще много очень интересных и важных тавтологий логики высказываний. Здесь мы их разбирать не будем, надеясь на то, что читатель уже понял предложенные образцы тавтологий и сумеет разобраться в упражнениях и задачах, которые его ожидают через несколько страниц.

 

 

ГЛАВА II. ПРОБЛЕМА ВЫВОДА В ЛОГИКЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

 

§ 1. Схемы Хрисиппа

 

Все, что мы делали до сих пор, еще не может называться логикой в подлинном смысле этого слова. Ведь мы только вычисляли значение истинности одного высказывания в зависимости от истинности других. А выводов никаких не делали. Логика же должна иметь дело прежде всего с выводом одних мыслей (здесь — высказываний) из других мыслей.

Однако, мы уже создали аппарат, с помощью которого нетрудно построить теорию, дающую возможность отличить правильные выводы из данных высказываний от неправильных.

Что значит правильный вывод? Это совсем не означает, что полученное высказывание истинно само по себе. Например, мы можем рассуждать так. Известно, что имеет место а  b и оказывается, что высказывание b — истинно. Значит, полагаем мы, истинным является высказывание а. Хорошо ли мы рассуждаем?

Приведем конкретный пример рассуждения, удовлетворяющего приведенной формуле. Если у человека повышенная температура, то он болен. Этот человек болен. Значит, у него повышенная температура. Проверяем. На самом деле, у него температура повышена. И мы думаем, что рассуждаем хорошо. Но так ли это? Запишем схему нашего рассуждения. Для этого отделим те мысли, из которых мы исходили, т. е. такие, истинность которых нам известна заранее, от той мысли, которую мы получаем, т. е. истинность которой определяется с помощью нашего рассуждения. Первое мы назовем посылками, а второе — выводом. Процесс же получения вывода на основе посылок будем называть умозаключением.

Представим умозаключение в виде схемы, в которой посылки будем записывать сверху черты, а вывод — под чертой. Применительно к нашему умозаключению, эта схема будет иметь вид:

Если у человека повышена температура, он болен.

Этот человек болен.______

У него повышена температура.

Мы уже знаем, что у больного человека, назовем его Петровым, на самом деле температура повышена. А могла бы она не быть повышена при том же условии, т. е. при том, что Петров болен? Для ответа на этот вопрос нужно знать, бывают ли болезни, не сопровождающиеся повышением температуры. Мы можем и не знать этого, несмотря на то, что уверены в истинности наших посылок. Значит, истинность посылок в нашем примере не гарантирует истинности вывода. А если бы мы рассуждали правильно? Тогда при условии истинности посылок вывод обязательно был бы истинным. Для того, чтобы быть уверенным в истинности вывода, нам не нужно было бы ничего знать, кроме истинности посылок.

Можно ли убедиться в ошибочности умозаключения с помощью чисто формальных методов? Да. Для этого мы воспользуемся уже хорошо известными нам таблицами истинности. Построим таблицу истинности для a, b и а  b, с помощью которой можно будет выяснить, могла ли быть такая ситуация, когда (а  b) и b были бы истинными, но а, тем не менее, — ложным.

 

Табл. 20                         

Обратим внимание на 3-ю строчку нашей таблицы. Мы видим, что здесь (а  b) истинно и b — истинно, но а, тем не менее, — ложно. Таким образом, выяснилась возможность ложного вывода при наличии истинных посылок. Это никуда не годится! Мы обнаружили ложность вывода о высокой температуре Петрова, не заглядывая ни в какие медицинские справочники, руководствуясь только таблицами истинности.

А какое умозаключение было бы правильным? Правильным было бы такое умозаключение: если у человека повышена температура, то он болен. У Петрова повышена температура. Значит, он болен.

Этому умозаключению соответствует следующая формула:

Проверим этот вывод с помощью нашей таблицы. В каком случае истинным является а и (а  b)? Только в первой строчке, и именно в этом случае будет истинным b.

Мы привели одну из форм умозаключений, которые были сформулированы еще древнегреческим философом-стоиком Хрисиппом1. Он выражал его в форме:

I. Если есть А, то есть и В

Кроме этой формы, у Хрисиппа были еще четыре типа умозаключений.

II. Если есть А, есть и В

Первая и вторая формы получили впоследствии название условно-категорических силлогизмов. Первая форма — утверждающий модус (Ponens), вторая — отрицающий модус (Tollens). Импликация (условное суждение) называется большей посылкой. Элементарные высказывания — меньшей посылкой.

III. Может быть или А, или

           

IV. Может быть или А, или В

Третья и четвертая формы называются разделительно-категорическими силлогизмами. Дизъюнкция называется большой посылкой, а элементарное высказывание в посылках — меньшей посылкой. Третья форма — утверждающе-отрицающий модус (Ропепdo-tollens), четвертая — отрицающе-утверждающий модус (Tollendo ponens).

V. А и В не могут быть вместе

В нашей символике четыре типа умозаключений Хрисиппа (I-IV) выразятся следующим образом:

Для последней формулы (V) у нас нет знака. Мы ее не проходили. Такое отношение мы не изучали, но это не беда. Мы легко можем построить таблицу для посылки, используемой Хрисиппом. И если она обнаружится в составе нашей большой таблицы (Табл. 11), то это будет означать, что мы ее уже предусмотрели.

Что значит, что а и b не могут быть вместе? Это значит, что они не могут быть вместе истинными. Если хотя бы одно утверждение — а или b ложно, то истинно, что а и b не могут быть вместе.

В таблице это отобразится так:

  Табл. 21

Наша связка новая, но она, естественно, не нова в логике. И в ней имеет свое название. Она называется штрих Шеффера и обозначается так: а/b.

Мы можем найти соответствующую связку в нашей большой таблице 11. Это колонка № 5. Нетрудно заметить, что штрих Шеффера будет эквивалентен отрицанию конъюнкции.

(а/b) ≡ ¬(a & b), т. е. левая и правая части нашего соотношения, будут принимать значение истинности и ложности одновременно. Используя штрих Шеффера, мы можем формализовать пятый тип выводов по Хрисиппу следующим образом:

           

Теперь приведем содержательные примеры на все формулы умозаключений, сформулированных Хрисиппом.

Это мы уже разобрали выше.

            Если у Петрова повышена температура, то он болен. Петров

не болен. Значит, у него температура не повышена.

Или мы будем лениться, или будем трудиться. Но мы будем

трудиться. Значит, мы не будем лениться.

Или мы будем лениться, или мы будем трудиться. Но мы не

будем лениться. Значит, будем трудиться.

Гений и злодейство несовместимы. Моцарт — гений. Значит, он не злодей.

Теперь мы должны предостеречь против похожих на верные, но ошибочных умозаключений. Выше уже говорилось об ошибках, связанных с тем, что вы делали вывод не от утверждения антецедента к утверждению консеквента, как учил Хрисипп, а, наоборот, от утверждения консеквента к утверждению антецедента.

Это очень распространенная, весьма досадная ошибка. Если читатель научится не делать хотя бы одной только этой ошибки, можно будет считать, что его труд, затраченный на изучение логики, оправдан. Тем более, если он научится не делать и той ошибки, о которой сейчас пойдет речь.

Ошибка может заключаться в следующем. Вернемся к тому самому Петрову, который, непонятно, то ли болен, то ли нет.

Хрисипп говорит, что если у Петрова повышенная температура, то он болен. Петров не болен. Значит, у него температура не повышена. Здесь отрицается консеквент (в дальнейшем мы будем называть его также следствием), а в выводе отрицается истинность антецедента (мы будем называть его также основанием). Значит, вывод делается от отрицания следствия к отрицанию основания:

Однако, в практике повседневного мышления мы часто отрицаем антецедент и на этом основании отрицаем консеквент. В данном случае оказывается, что у Петрова нет повышенной температуры, значит, он здоров.

Правы ли мы?

Таблица истинности нам поможет обнаружить ошибку. Вот что получается:

 

Табл. 22

 

Схема, по которой получается , что Петров здоров, следующая:

Напомним все умозаключение: если у Петрова повышенная температура (обозначим это высказывание — а), то он болен (высказывание — b). У Петрова нет повышенной температуры (¬а), следовательно, он не болен (¬b). По таблице истинности ищем истинность (а  b) и ¬а. Это будет 3-я строчка, в этой же строчке ¬b является ложным. Следовательно, наш вывод о том, что Петров не болен, — ложен. Читатель может возразить, что в 4-й строчке таблицы ¬b является истинным при одновременной истинности (а  b) и ¬а. Однако, это уже несущественно. При истинности посылок заключение должно быть всегда истинным, а в 3-й строчке оно уже ложное. Вывод неверен. Быть может, будет более удобен следующий способ проверки правильности умозаключения. Если посылки истинны, то заключение всегда должно быть истинным. Это означает, что всегда должна быть истинна импликация: а, & а,... & ап  b. Здесь в антецеденте — конъюнкция всех посылок, а в консеквенте — заключение. Включаем полученную импликацию в Таблицу истинности в качестве ее последней колонки. Если во всех клетках этой колонки для этой импликации получим истинность, это будет означать, что наша импликация является тавтологией, а соответствующее умозаключение — правильным.

Применительно к разбираемому умозаключению со схемой

, наша импликация будет иметь вид: [(а  b) & ¬a]  ¬b.

Антецедент [(а  b) & ¬а], консеквент ¬b. Добавим к нашей таблице колонку [(а  b) & ¬а] и колонку [(а  b) & ¬а]  ¬b, получим:

Табл. 23

Видим, что в 3-й строчке импликация оказывается ложной, вывод о том, что Петров здоров — неверен.

Проверим этим же способом, верен ли вывод: [(а  b) & ¬b]  ¬а. Снова построим таблицу:

 

Табл. 24

 

Видим, что во всех строчках последней колонки мы получили Истину. Вывод от отрицания консеквента к отрицанию антецедента верен.

Другое дело — неверный вывод от отрицания антецедента к отрицанию консеквента. Хорошо запомните: нельзя делать вывод от отрицания основания (антецедента) к отрицанию следствия (консеквента).

Какие ошибки могут быть связаны с использованием третьего типа умозаключений, приведенных Хрисиппом? Рассуждения Хрисиппа связаны с использованием исключающей дизъюнкции. Довольно часто в рассуждениях исключающая дизъюнкция подменяется неисключающей дизъюнкцией. И тогда возникает ошибка. Например, мы можем рассуждать так. Вам сообщили, что тот же Петров является доктором не то физико-математических, не то философских наук. И потом вы узнаете, что Петров — доктор физико-математических наук. Отсюда вы делаете вывод, что он не является доктором философских наук. Это неверно, ибо дизъюнкция здесь не является исключающей. Петров вполне может быть доктором физико-математических наук и доктором философских наук.

Построим таблицу, но предварительно схему Хрисиппа

выразим в виде импликации [(a w b) & а]  ¬b.

Табл. 25

Заменим исключающую дизъюнкцию на соединительную (неисключающую), которая может быть в ошибочном выводе, и проверим по таблице:

Табл. 26

Видим, что в первой строчке получается ложь, поскольку из истинности основания не следует ложность следствия. Следовательно, рассуждение по III схеме Хрисиппа с заменой исключающей дизъюнкции на соединительную приводит к ошибке.

Рассмотрим четвертый тип вывода или рассуждения, предложенный Хрисиппом:

Хрисипп и здесь предлагает исключающую дизъюнкцию. В рассуждениях по этой схеме иногда заменяют исключающую дизъюнкцию на соединительную.

Рассмотрим тот же пример. Если Петров — доктор физико-математических наук или доктор философских наук, а мы обнаружили, что Петров не является доктором физмат наук, то будем иметь полное право считать Петрова доктором философских наук. Это можно проверить по таблице.

IV.  Схема Хрисиппа или, в импликативной форме,

b [(a w b) & ¬а]  b.

 

Табл. 27

 



Скачать документ

Похожие документы:

  1. Задачи и упражнения москва  2005 Балашов Л. Е. Философия

    Книга
    Курс основан на авторской концепции философии, изложенной в книгах «Мир глазами философа. Категориальная картина мира», «Практическая философия» и др.
  2. Задачи и упражнения москва  2006 Балашов Л. Е. Философия

    Книга
    Курс основан на авторской концепции философии, изложенной в книгах «Мир глазами философа. Категориальная картина мира», «Практическая философия» и др.
  3. Задачи и упражнения москва  2009 Балашов Л. Е. Философия

    Учебник
    Учебник является универсальным учебным пособием по философии. В нем дается систематическое изложение основных тем философии в ясной и живой форме, даются задачи и упражнения по философии.
  4. Задачи и упражнения по философии москва  2003 (1)

    Книга
    Курс основан на авторской концепции философии, изложенной в книгах «Мир глазами философа. Категориальная картина мира», «Практическая философия» и др.
  5. Задачи и упражнения по философии москва  2003 (2)

    Книга
    Курс основан на авторской концепции философии, изложенной в книгах «Мир глазами философа. Категориальная картина мира», «Практическая философия» и др.
  6. Задачи и упражнения по введению в теорию языка Канск

    Документ
    Пособие может быть использовано как для аудиторной работы, так и в ходе самостоятельной деятельности студента. Представленные в сборнике задачи могут задаваться на дом в качестве домашних работ, могут многообразно использоваться для

Другие похожие документы..